અલગ રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ માટે વિતરણ કાયદો. બે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના વિતરણનો કાયદો

વ્યાખ્યા. રેન્ડમ ચલ X 1, X 2, ..., X n ને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે જો કોઈપણ x 1, x 2, ..., x n ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોય

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

વ્યાખ્યામાંથી તે તરત જ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો માટે અનુસરે છે X 1, X 2, …, એક્સ એનવિતરણ કાર્ય n- પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ એક્સ = X 1, X 2, …, એક્સ એનરેન્ડમ ચલોના વિતરણ કાર્યોના ઉત્પાદનની સમાન X 1, X 2, …, એક્સ એન

એફ(x 1 , x 2, …, x n) = એફ(x 1)એફ(x 2)…એફ(x n). (1)

ચાલો સમાનતાને અલગ પાડીએ (1) nદ્વારા વખત x 1 , x 2, …, x n, અમને મળે છે

પી(x 1 , x 2, …, x n) = પી(x 1)પી(x 2)…પી(x n). (2)

રેન્ડમ ચલોની સ્વતંત્રતાની બીજી વ્યાખ્યા આપી શકાય છે.

જો એક રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો અન્ય રેન્ડમ ચલોએ લીધેલા સંભવિત મૂલ્યો પર આધાર રાખતો નથી, તો આવા રેન્ડમ ચલોને સામૂહિક રીતે સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, વિવિધ મુદ્દાઓની બે લોટરી ટિકિટો ખરીદવામાં આવી હતી. દો એક્સ- પ્રથમ ટિકિટ પર જીતની રકમ, વાય- બીજી ટિકિટ પર જીતની રકમ. રેન્ડમ ચલો એક્સઅને વાય- સ્વતંત્ર, કારણ કે એક ટિકિટ જીતવાથી બીજી ટિકિટના વિતરણ કાયદાને અસર થશે નહીં. પરંતુ જો ટિકિટો સમાન મુદ્દાની હોય, તો પછી એક્સઅને વાય- આશ્રિત.

બે રેન્ડમ ચલોને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે જો તેમાંથી એકનો વિતરણ કાયદો અન્ય ચલ કયા સંભવિત મૂલ્યો લે છે તેના આધારે બદલાતો નથી.

પ્રમેય 1(કન્વોલ્યુશન) અથવા "2 રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ઘનતા પર પ્રમેય."

દો એક્સ = (X 1;X 2) – સ્વતંત્ર સતત દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ, વાય = X 1+ X 2. પછી વિતરણ ઘનતા

પુરાવો. તે બતાવી શકાય છે કે જો, તો

જ્યાં એક્સ = (એક્સ 1 , એક્સ 2 , …, એક્સ એન). પછી જો એક્સ = (એક્સ 1 , એક્સ 2), પછી વિતરણ કાર્ય વાય = એક્સ 1 + એક્સ 2 ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે (ફિગ. 1) –

=.

વ્યાખ્યા અનુસાર, કાર્ય રેન્ડમ ચલ Y = X 1 + X 2 ની વિતરણ ઘનતા છે, એટલે કે.

p y (t) = Q.E.D.

ચાલો બે સ્વતંત્ર અલગ રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની સંભાવના વિતરણ શોધવા માટે એક સૂત્ર મેળવીએ.

પ્રમેય 2.દો એક્સ 1 , એક્સ 2 - સ્વતંત્ર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો,

, , પછી

પુરાવો. ચાલો એક ઘટનાની કલ્પના કરીએ એ એક્સ = {એક્સ 1 +એક્સ 2 = x) રકમ તરીકે અસંગત ઘટનાઓ

એ એક્સ = å( એક્સ 1 = xહું ; એક્સ 2 = x– x i).

કારણ કે એક્સ 1 , એક્સ 2 - પછી સ્વતંત્ર પી(એક્સ 1 = xહું ; એક્સ 2 = x– x i) = પી(એક્સ 1 = x i) પી(એક્સ 2 = x - x i), પછી

પી(એ એક્સ) = પી(å( એક્સ 1 = xહું ; એક્સ 2 = x – x i)) = å( પી(એક્સ 1 = x i) પી(એક્સ 2 = x - x i)),

Q.E.D.

ઉદાહરણ 1.દો એક્સ 1 , એક્સ 2 - સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો ધરાવતાં સામાન્ય વિતરણપરિમાણો સાથે એન(0;1); એક્સ 1 , એક્સ 2 ~ એન(0;1).

ચાલો તેમના સરવાળાની વિતરણ ઘનતા શોધીએ (અમે સૂચિત કરીએ છીએ એક્સ 1 = x, વાય = એક્સ 1 +એક્સ 2)

તે જોવાનું સરળ છે કે એકીકૃત કાર્ય એ પરિમાણો સાથેના સામાન્ય રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા છે. એ= , , એટલે કે અવિભાજ્ય 1 ની બરાબર છે.

.

કાર્ય p y(t) એ પેરામીટર્સ a = 0, s = સાથે સામાન્ય વિતરણ ઘનતા છે. આમ, પેરામીટર્સ (0,1) સાથે સ્વતંત્ર સામાન્ય રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો પેરામીટર્સ (0,) સાથે સામાન્ય વિતરણ ધરાવે છે, એટલે કે. વાય = એક્સ 1 + એક્સ 2 ~ એન(0;).

ઉદાહરણ 2. પોઈસન ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ધરાવતા બે અલગ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો આપવા દો , પછી

, (5)

જ્યાં k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.

પ્રમેય 2 દ્વારા અમારી પાસે છે:

ઉદાહરણ 3.દો એક્સ 1, એક્સ 2 – ઘાતાંકીય વિતરણ સાથે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો . ચાલો ઘનતા શોધીએ વાય= એક્સ 1 +એક્સ 2 .

ચાલો સૂચિત કરીએ x = x 1. ત્યારથી એક્સ 1, એક્સ 2 સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે, પછી આપણે "કન્વોલ્યુશન પ્રમેય" નો ઉપયોગ કરીશું

તે બતાવી શકાય છે કે જો સરવાળો ( ક્ઝીપરિમાણ l સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ હોય), પછી વાય= વિતરણ ધરાવે છે , જેને એર્લાંગ વિતરણ કહેવામાં આવે છે ( n- 1) ઓર્ડર. આ કાયદો કામનું અનુકરણ કરીને મેળવવામાં આવ્યું હતું ટેલિફોન એક્સચેન્જોસિદ્ધાંત પરના પ્રથમ કાર્યોમાં કતાર.

ગાણિતિક આંકડાઓમાં, રેન્ડમ ચલોના વિતરણના નિયમો, જે સ્વતંત્ર સામાન્ય રેન્ડમ ચલોના કાર્યો છે, તેનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. ચાલો રેન્ડમ અસાધારણ ઘટનાનું મોડેલિંગ કરતી વખતે મોટાભાગે સામનો કરવામાં આવતા ત્રણ કાયદાઓને ધ્યાનમાં લઈએ.

પ્રમેય 3.જો રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર છે એક્સ 1, ..., એક્સ એન, તો પછી આ રેન્ડમ ચલોના કાર્યો પણ સ્વતંત્ર છે વાય 1 = f 1 (એક્સ 1), ...,Y n = fn(એક્સ એન).

પીયર્સન વિતરણ(2 થી - વિતરણ). દો એક્સ 1, ..., એક્સ એન- પરિમાણો સાથે સ્વતંત્ર સામાન્ય રેન્ડમ ચલો એ= 0, s = 1. ચાલો રેન્ડમ ચલ બનાવીએ

ચાલો બે રેન્ડમ સતત ચલોની સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લઈએ. જો આ સિસ્ટમની સંભાવના ઘનતા કાર્યનું સ્વરૂપ હોય તો આ સિસ્ટમનો વિતરણ કાયદો સામાન્ય વિતરણ કાયદો છે

. (1.18.35)

તે અહીં બતાવી શકાય છે કે - ગાણિતિક અપેક્ષાઓરેન્ડમ ચલો, – તેમના પ્રમાણભૂત વિચલનો, – ચલોનો સહસંબંધ ગુણાંક. સૂત્રો (1.18.31) અને (1.18.35) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ આપે છે

. (1.18.36)

તે જોવાનું સરળ છે કે જો સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલોનો સહસંબંધ નથી, તો તે સ્વતંત્ર પણ છે.

.

આમ, સામાન્ય વિતરણ કાયદા માટે, બિન-સંબંધ અને સ્વતંત્રતા સમાન ખ્યાલો છે.

જો , તો પછી રેન્ડમ ચલો નિર્ભર છે. શરતી વિતરણ કાયદાની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે (1.18.20)

. (1.18.37)

બંને કાયદા (1.18.37) સામાન્ય વિતરણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. હકીકતમાં, ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, સંબંધોનો બીજો (1.18.37) સ્વરૂપમાં રૂપાંતર કરીએ

.

આ ખરેખર એક સામાન્ય વિતરણ કાયદો છે, જે ધરાવે છે શરતી ગાણિતિક અપેક્ષા બરાબર

, (1.18.38)

એ શરતી પ્રમાણભૂત વિચલન સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત

. (1.18.39)

નોંધ કરો કે નિશ્ચિત મૂલ્ય પર જથ્થાના વિતરણના શરતી કાયદામાં, માત્ર શરતી ગાણિતિક અપેક્ષા આ મૂલ્ય પર આધારિત છે, પરંતુ નહીં શરતી વિચલન – .

ચાલુ સંકલન વિમાનઅવલંબન (1.18.38) એક સીધી રેખા છે

, (1.18.40)

જેને કહેવામાં આવે છે રીગ્રેસન રેખા પર

બરાબર એ જ રીતે તે સ્થાપિત થયેલ છે શરતી વિતરણનિશ્ચિત મૂલ્ય પર જથ્થો

, (1.18.41)

શરતી ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે સામાન્ય વિતરણ છે

, (1.18.42)

શરતી પ્રમાણભૂત વિચલન

. (1.18.43)

આ કિસ્સામાં, રીગ્રેસન રેખા જેવો દેખાય છે

. (1.18.44)

રીગ્રેસન રેખાઓ (1.18.40) અને (1.18.44) માત્ર ત્યારે જ એકરૂપ થાય છે જ્યારે જથ્થા વચ્ચેનો સંબંધ અને રેખીય હોય. જો જથ્થાઓ અને સ્વતંત્ર હોય, તો રીગ્રેસન રેખાઓ સંકલન અક્ષોની સમાંતર હોય છે.

કામનો અંત -

આ વિષય વિભાગનો છે:

ગણિતની સંભાવના સિદ્ધાંત ગાણિતિક આંકડાઓમાં વ્યાખ્યાન નોંધો

વિભાગ ઉચ્ચ ગણિતઅને કોમ્પ્યુટર સાયન્સ.. લેક્ચર નોટ્સ.. ગણિતમાં..

જો તમને જરૂર હોય વધારાની સામગ્રીઆ વિષય પર, અથવા તમે જે શોધી રહ્યા હતા તે તમને મળ્યું નથી, અમે અમારા કાર્યોના ડેટાબેઝમાં શોધનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ:

પ્રાપ્ત સામગ્રી સાથે અમે શું કરીશું:

જો આ સામગ્રી તમારા માટે ઉપયોગી હતી, તો તમે તેને સામાજિક નેટવર્ક્સ પર તમારા પૃષ્ઠ પર સાચવી શકો છો:

આ વિભાગના તમામ વિષયો:

સંભાવના સિદ્ધાંત
સંભાવના સિદ્ધાંત એ ગણિતની એક શાખા છે જેમાં રેન્ડમ સામૂહિક ઘટનાના દાખલાઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

અવ્યવસ્થિત ઘટના કહેવાય છે
સંભાવનાની આંકડાકીય વ્યાખ્યા

ઘટના એ એક અવ્યવસ્થિત ઘટના છે જે અનુભવના પરિણામે દેખાઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે (અસ્પષ્ટ ઘટના). મોટા લેટિન અક્ષરોમાં ઇવેન્ટ્સ સૂચવો
પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા

કેટલાક અનુભવ સાથે સંકળાયેલી ઘણી ઘટનાઓ હોવા દો, અને: 1) અનુભવના પરિણામે એક અને માત્ર એક જ વસ્તુ દેખાય છે
ઘટનાઓ પર ક્રિયાઓ

બે ઘટનાઓનો સરવાળો અને
પુનઃ ગોઠવણો

તત્વોના વિવિધ ક્રમચયોની સંખ્યા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે
પ્લેસમેન્ટ

અનુસાર તત્વો મૂકીને
સંયોજનો

તત્વોનું મિશ્રણ
અસંગત ઘટનાઓ માટે સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનું સૂત્ર પ્રમેય. બેના સરવાળાની સંભાવનાઅસંગત ઘટનાઓ

આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા સમાન છે.
(1

મનસ્વી ઘટનાઓ માટે સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેનું ફોર્મ્યુલા
પ્રમેય. બે ઘટનાઓના સરવાળાની સંભાવના તેમના ઉત્પાદનની સંભાવના વિના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે.

સંભાવના ગુણાકાર સૂત્ર
અસંગત ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનવા દો તેમને પૂર્વધારણા કહેવામાં આવે છે. કેટલીક ઘટનાનો વિચાર કરો

પૂર્વધારણા સંભાવના સૂત્ર (બેયસ)
ચાલો ફરી જોઈએ - સંપૂર્ણ જૂથઅસંગત પૂર્વધારણાઓ અને ઘટનાઓ

એસિમ્પ્ટોટિક પોઈસન ફોર્મ્યુલા
એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં પરીક્ષણોની સંખ્યા મોટી હોય અને ઘટના બનવાની સંભાવના હોય

રેન્ડમ અલગ જથ્થા
રેન્ડમ ક્વોન્ટિટી એ એવો જથ્થો છે જે, પ્રયોગનું પુનરાવર્તન કરતી વખતે, અસમાન મૂલ્યો લઈ શકે છે. સંખ્યાત્મક મૂલ્યો. રેન્ડમ ચલને ડિસ્ક્રીટ કહેવામાં આવે છે,

રેન્ડમ સતત ચલો
જો, પ્રયોગના પરિણામે, રેન્ડમ ચલ ચોક્કસ સેગમેન્ટ અથવા સમગ્રમાંથી કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે. વાસ્તવિક ધરી, પછી તેને સતત કહેવામાં આવે છે. કાયદો

રેન્ડમ સતત ચલનું સંભવિત ઘનતા કાર્ય
રહેવા દો. ચાલો એક મુદ્દા પર વિચાર કરીએ અને તેને ઇન્ક્રીમેન્ટ આપીએ

રેન્ડમ ચલોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ
અવ્યવસ્થિત અલગ અથવા સતત ચલોને સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ ગણવામાં આવે છે જો તેમના વિતરણ કાયદાઓ જાણીતા હોય. હકીકતમાં, વિતરણ કાયદાઓ જાણીને, તમે હંમેશા હિટ થવાની સંભાવનાની ગણતરી કરી શકો છો

રેન્ડમ ચલોના ક્વોન્ટાઇલ્સ
રેન્ડમ સતત ચલના ક્રમનું ક્વોન્ટાઇલ

રેન્ડમ ચલોની ગાણિતિક અપેક્ષા
રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા તેના સરેરાશ મૂલ્યને દર્શાવે છે. રેન્ડમ ચલના તમામ મૂલ્યો આ મૂલ્યની આસપાસ જૂથબદ્ધ છે. ચાલો પહેલા રેન્ડમ ડિસ્ક્રીટ વેરીએબલને ધ્યાનમાં લઈએ

રેન્ડમ ચલોનું પ્રમાણભૂત વિચલન અને વિક્ષેપ
ચાલો પહેલા રેન્ડમ ડિસ્ક્રીટ વેરીએબલને ધ્યાનમાં લઈએ. સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ મોડ, મધ્યક, પરિમાણ અને ગાણિતિક અપેક્ષા

રેન્ડમ ચલોની ક્ષણો
ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપ ઉપરાંત, સંભાવના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરે છે સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓઉચ્ચ ઓર્ડર, જેને રેન્ડમ ચલોની ક્ષણો કહેવામાં આવે છે.

રેન્ડમ ચલોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ પર પ્રમેય
પ્રમેય 1. બિન-રેન્ડમ મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા આ મૂલ્યની બરાબર છે.

સાબિતી: ચાલો

દ્વિપદી વિતરણ કાયદો
ઝેર વિતરણ કાયદો

રેન્ડમ અલગ ચલને મૂલ્યો લેવા દો
સમાન વિતરણ કાયદો

રેન્ડમ સતત ચલના વિતરણનો સમાન કાયદો એ સંભાવના ઘનતા કાર્યનો નિયમ છે, જે
સામાન્ય વિતરણ કાયદો

રેન્ડમ સતત ચલનો સામાન્ય વિતરણ કાયદો ઘનતા કાર્ય કાયદો છે
ઘાતાંકીય વિતરણ કાયદો ઘાતાંકીય અથવાઘાતાંકીય વિતરણ

રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમો
વ્યવહારમાં, સંભાવના સિદ્ધાંતના ઉપયોગોમાં, વ્યક્તિ ઘણીવાર સમસ્યાઓનો સામનો કરે છે જેમાં પ્રયોગના પરિણામોનું વર્ણન એક રેન્ડમ ચલ દ્વારા નહીં, પરંતુ એક સાથે અનેક રેન્ડમ દ્વારા કરવામાં આવે છે.

બે રેન્ડમ ડિસ્ક્રીટ ચલોની સિસ્ટમ
બે રેન્ડમ થવા દો અલગ માત્રામાંએક સિસ્ટમ બનાવો. રેન્ડમ ચલ

બે રેન્ડમ સતત ચલોની સિસ્ટમ
ચાલો હવે સિસ્ટમ બે રેન્ડમ દ્વારા રચાય સતત માત્રા. આ સિસ્ટમના વિતરણ કાયદાને કદાચ કહેવામાં આવે છે

વિતરણના શરતી કાયદા
આશ્રિત રેન્ડમ સતત માત્રામાં દો

બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ
શરૂઆતની ક્ષણરેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમનો ક્રમ

અનેક રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ
બે રેન્ડમ મેગ્નિટ્યુડની સિસ્ટમ માટે મેળવેલા પરિણામોને સમાવિષ્ટ સિસ્ટમ્સના કિસ્સામાં સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે કોઈપણ સંખ્યારેન્ડમ ચલો.

સેટ દ્વારા સિસ્ટમની રચના થવા દો
સંભાવના સિદ્ધાંતના પ્રમેયને મર્યાદિત કરો

સંભાવનાના શિસ્ત સિદ્ધાંતનો મુખ્ય ધ્યેય રેન્ડમ સામૂહિક ઘટનાના દાખલાઓનો અભ્યાસ કરવાનો છે.
પ્રેક્ટિસ બતાવે છે કે સજાતીય રેન્ડમ ઘટનાના સમૂહનું અવલોકન દર્શાવે છે

ચેબીશેવની અસમાનતા
ચાલો ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે રેન્ડમ ચલને ધ્યાનમાં લઈએ

ચેબીશેવનું પ્રમેય
જો રેન્ડમ ચલો જોડી પ્રમાણે સ્વતંત્ર હોય અને મર્યાદિત, સામૂહિક રીતે બાઉન્ડેડ વેરિએન્સ હોય

બર્નૌલીનું પ્રમેય
પ્રયોગોની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, ઘટનાની ઘટનાની આવર્તન સંભવિતતામાં ઘટનાની સંભાવનામાં ફેરવાય છે.

કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય
કોઈપણ વિતરણ કાયદા સાથે રેન્ડમ ચલ ઉમેરતી વખતે, પરંતુ સંયુક્ત રીતે મર્યાદિત ભિન્નતા સાથે, વિતરણ કાયદો ગાણિતિક આંકડાઓની મુખ્ય સમસ્યાઓઉપર ચર્ચા કરેલ સંભાવના સિદ્ધાંતના નિયમો છે

ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ
વાસ્તવિક પેટર્ન જે વાસ્તવમાં વિવિધ રેન્ડમ માસ ઘટનાઓમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

અભ્યાસ કરે છે
એક સરળ આંકડાકીય વસ્તી. આંકડાકીય વિતરણ કાર્ય ચાલો કેટલાક રેન્ડમ ચલોને ધ્યાનમાં લઈએ જેનો વિતરણ કાયદો અજાણ છે. અનુભવના આધારે જરૂરીઆંકડાકીય શ્રેણી. હિસ્ટોગ્રામ મુમોટી સંખ્યામાં

અવલોકનો (લગભગ સેંકડો)
સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, રેન્ડમ ચલોની વિવિધ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી: ગાણિતિક અપેક્ષા, વિક્ષેપ, વિવિધ ઓર્ડરની પ્રારંભિક અને કેન્દ્રીય ક્ષણો. સમાન સંખ્યાઓ

ક્ષણોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સૈદ્ધાંતિક વિતરણની પસંદગી
કોઈપણ આંકડાકીય વિતરણ અનિવાર્યપણે મર્યાદિત સંખ્યામાં અવલોકનો સાથે સંકળાયેલ રેન્ડમનેસના ઘટકો ધરાવે છે. મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો સાથે, અવ્યવસ્થિતતાના આ તત્વોને સરળ બનાવવામાં આવે છે,

વિતરણ કાયદાના સ્વરૂપ વિશેની પૂર્વધારણાની વાજબીતા તપાસવી
આપેલ દો આંકડાકીય વિતરણકેટલાક સૈદ્ધાંતિક વળાંક દ્વારા અંદાજિત અથવા

સંમતિ માપદંડ
ચાલો સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા સારાતા-ઓફ-ફિટ માપદંડોમાંથી એકને ધ્યાનમાં લઈએ - કહેવાતા પીયર્સન માપદંડ.

ધારી
અજ્ઞાત વિતરણ પરિમાણો માટે પોઈન્ટ અંદાજો પીપીમાં. 2.1. - 2.7 અમે પ્રથમ અને બીજી મુખ્ય સમસ્યાઓ કેવી રીતે હલ કરવી તે વિગતવાર તપાસ્યુંગાણિતિક આંકડા

. પ્રાયોગિક ડેટાના આધારે રેન્ડમ ચલોના વિતરણના નિયમો નક્કી કરવાની આ સમસ્યાઓ છે
અપેક્ષા અને ભિન્નતા માટે અંદાજ

અજ્ઞાત ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે રેન્ડમ વેરીએબલ પર દો
આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ. આત્મવિશ્વાસની સંભાવના

વ્યવહારમાં, રેન્ડમ ચલ પર પ્રયોગોની નાની સંખ્યા સાથે, અજાણ્યા પરિમાણનું અંદાજિત રિપ્લેસમેન્ટ ચાલો ઉપરનો ઉપયોગ કરીએસામાન્ય પદ્ધતિ

એક સમસ્યા ઉકેલવા માટે, એટલે કે બે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના વિતરણનો નિયમ શોધવા માટે. વિતરણ ઘનતા f(x,y) સાથે બે રેન્ડમ ચલ (X,Y) ની સિસ્ટમ છે. ચાલો રેન્ડમ ચલ X અને Y ના સરવાળાને ધ્યાનમાં લઈએ: અને Z મૂલ્યના વિતરણનો નિયમ શોધીએ. આ કરવા માટે, ચાલો xOy પ્લેન પર એક રેખા બનાવીએ, જેનું સમીકરણ છે (ફિગ. 6.3.1). આ એક સીધી રેખા છે જે અક્ષો પર z ના સમાન ભાગોને કાપી નાખે છે. સીધું xOy પ્લેનને બે ભાગોમાં વહેંચે છે; જમણી તરફ અને તેની ઉપર

; ડાબી અને નીચે વિસ્તાર ડી માંઆ કિસ્સામાં

- xOy પ્લેનનો નીચેનો ડાબો ભાગ, ફિગમાં છાંયો. 6.3.1. સૂત્ર (6.3.2) મુજબ અમારી પાસે છે:

આ બે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના ઘનતા વિતરણ માટેનું સામાન્ય સૂત્ર છે.

X અને Y ના સંદર્ભમાં સમસ્યાની સમપ્રમાણતાના કારણોસર, આપણે સમાન સૂત્રનું બીજું સંસ્કરણ લખી શકીએ છીએ:

આ કાયદાઓની રચના કરવી જરૂરી છે, એટલે કે, જથ્થાના વિતરણનો કાયદો શોધવા માટે: .

ચાલો વિતરણ કાયદાની રચના માટે સામાન્ય સૂત્ર લાગુ કરીએ:

આ અભિવ્યક્તિઓને સૂત્રમાં બદલીને જે આપણે પહેલેથી જ અનુભવી છે

અને આ વિક્ષેપના કેન્દ્ર સાથેના સામાન્ય કાયદા કરતાં વધુ કંઈ નથી

કૌંસ ખોલ્યા વિના અને ઇન્ટિગ્રેન્ડ (6.3.3) માં કોઈપણ પરિવર્તન કર્યા વિના, અમે તરત જ નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે ઘાતાંક ચતુર્ભુજ ત્રિપદી x પ્રજાતિઓની તુલનામાં

જ્યાં મૂલ્ય z એ ગુણાંક A માં બિલકુલ સમાયેલ નથી, ગુણાંક B માં તે પ્રથમ ઘાતમાં સમાવવામાં આવેલ છે, અને ગુણાંક C માં તેનો વર્ગ કરવામાં આવે છે. આને ધ્યાનમાં રાખીને અને ફોર્મ્યુલા (6.3.4) લાગુ કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે g(z) છે. ઘાતાંકીય કાર્ય, જેનો ઘાતાંક z અને વિતરણ ઘનતાના સંદર્ભમાં એક ચોરસ ત્રિપદી છે; આ પ્રકાર સામાન્ય કાયદાને અનુરૂપ છે. તેથી અમે; અમે સંપૂર્ણ ગુણાત્મક નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ: મૂલ્ય z ના વિતરણનો કાયદો સામાન્ય હોવો જોઈએ. આ કાયદાના પરિમાણો શોધવા માટે - અને - આપણે ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉમેરણના પ્રમેય અને ભિન્નતાના ઉમેરાનું પ્રમેય વાપરીશું.

ગાણિતિક અપેક્ષાઓના વધારાના પ્રમેય મુજબ . ભિન્નતાના ઉમેરાના પ્રમેય દ્વારા અથવા જ્યાંથી સૂત્ર (6.3.7) અનુસરે છે.

પ્રમાણભૂત વિચલનોથી તેમના પ્રમાણસર સંભવિત વિચલનો તરફ આગળ વધતાં, અમે મેળવીએ છીએ:
.

આમ અમે આવ્યા છીએ આગામી નિયમ: સામાન્ય કાયદાઓની રચના સાથે, એક સામાન્ય કાયદો ફરીથી પ્રાપ્ત થાય છે, અને ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને વિક્ષેપો (અથવા સંભવિત વિચલનોના વર્ગો)નો સારાંશ આપવામાં આવે છે.

સામાન્ય કાયદાઓની રચના માટેના નિયમને સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોની મનસ્વી સંખ્યાના કિસ્સામાં સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે.

જો ત્યાં n સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો છે: વિક્ષેપના કેન્દ્રો અને પ્રમાણભૂત વિચલનો સાથેના સામાન્ય કાયદાને આધીન, તો મૂલ્ય પણ પરિમાણો સાથેના સામાન્ય કાયદાને આધીન છે.

જો રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ (X, Y) સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ મૂલ્યો X, Y પર આધારિત છે, તો તે સાબિત કરવું મુશ્કેલ નથી, પહેલાની જેમ, તેના આધારે સામાન્ય સૂત્ર(6.3.1) કે જથ્થાના વિતરણનો કાયદો પણ એક સામાન્ય કાયદો છે. સ્કેટરિંગ કેન્દ્રો હજુ પણ બીજગણિતીય રીતે ઉમેરવામાં આવે છે, પરંતુ પ્રમાણભૂત વિચલનો માટે નિયમ વધુ જટિલ બને છે: , જ્યાં r એ X અને Y મૂલ્યોનો સહસંબંધ ગુણાંક છે.

જ્યારે કેટલાક આશ્રિત રેન્ડમ ચલો ઉમેરવામાં આવે છે, જે સંપૂર્ણ રીતે સામાન્ય કાયદાને આધીન હોય છે, ત્યારે સરવાળાના વિતરણનો નિયમ પણ પરિમાણો સાથે સામાન્ય હોવાનું બહાર આવે છે.

X i, X j જથ્થાઓનો સહસંબંધ ગુણાંક ક્યાં છે, અને સરવાળો તમામ અલગ-અલગ જોડીવાઇઝ સંયોજનો સુધી વિસ્તરે છે.

અમને ખાતરી છે કે મહત્વપૂર્ણ મિલકતસામાન્ય કાયદો: સામાન્ય કાયદાઓની રચના સાથે, સામાન્ય કાયદો ફરીથી પ્રાપ્ત થાય છે. આ કહેવાતી "સ્થિરતા મિલકત" છે. વિતરણ કાયદો સ્થિર કહેવાય છે જો આ પ્રકારના બે કાયદાઓની રચના ફરીથી સમાન પ્રકારના કાયદામાં પરિણમે છે. અમે ઉપર બતાવ્યું કે સામાન્ય કાયદો સ્થિર છે. બહુ ઓછા વિતરણ કાયદાઓમાં સ્થિરતાની મિલકત હોય છે. સમાન ઘનતાનો નિયમ અસ્થિર છે: 0 થી 1 ના વિભાગોમાં સમાન ઘનતાના બે નિયમોને જોડીને, અમે સિમ્પસનનો કાયદો મેળવ્યો.

વ્યવહારમાં તેના વ્યાપક ઉપયોગ માટે સામાન્ય કાયદાની સ્થિરતા એ એક આવશ્યક શરતો છે. જો કે, સામાન્ય એક ઉપરાંત, કેટલાક અન્ય વિતરણ કાયદાઓમાં પણ સ્થિરતાની મિલકત છે. સામાન્ય કાયદાની એક વિશેષતા એ છે કે પૂરતી મોટી સંખ્યાની રચના સાથે, વ્યવહારીક રીતે મનસ્વી કાયદાવિતરણ, શરતોના વિતરણના કાયદા શું હતા તે ધ્યાનમાં લીધા વિના, કુલ કાયદો ઇચ્છિત તરીકે સામાન્યની નજીક છે. આને ઉદાહરણ તરીકે, 0 થી 1 સુધીના વિસ્તારોમાં સમાન ઘનતાના ત્રણ નિયમો બનાવીને સમજાવી શકાય છે. પરિણામી વિતરણ કાયદો g(z) ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 6.3.1. ડ્રોઇંગમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, ફંક્શન g(z) નો ગ્રાફ સામાન્ય કાયદાના ગ્રાફ જેવો જ છે.

જ્યારે ત્રીજા રેન્ડમ ચલ હોય ત્યારે કેસને ધ્યાનમાં લો ઝેડબે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો છે એક્સઅને વાય, એટલે કે

આ જથ્થાઓની ઘનતા
અનુક્રમે વિતરણ ઘનતા ઝેડ

આ અભિન્ન કહેવાય છે ક્રાંતિઅથવા રચનાઘનતા અને નીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે:

.

આમ, જો સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો કરવામાં આવે, તો તેમની વિતરણ ઘનતા તૂટી જાય છે.

આ નિયમ સ્વતંત્ર પદોની કોઈપણ સંખ્યાના સરવાળા પર લાગુ થાય છે. એટલે કે, જો

.

ઉદાહરણ.ચાલો ઘનતા સાથે બે સમાનરૂપે વિતરિત જથ્થા X 1 અને X 2 ના સરવાળાની વિતરણ ઘનતા નક્કી કરીએ:

આ ઘનતાને (13.2.1) માં બદલીને અને ધારણા હેઠળ એકીકૃત કર્યા પછી
અમે તે મેળવીએ છીએ

આ ઘનતાને ટ્રેપેઝોઇડલ કહેવામાં આવે છે (ફિગ 13.2.1 જુઓ). જો
, પછી ટ્રેપેઝોઇડ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં અધોગતિ પામે છે અને અનુરૂપ ઘનતાને સિપ્સન ઘનતા કહેવામાં આવે છે.

ફિગ. 13.2.1. ટ્રેપેઝોઇડલ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન - બે સમાન વિતરણો

13.3 સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનું વિતરણ

જો
, એક્સઅને વાયસ્વતંત્ર અને સામાન્ય રીતે ઘનતા સાથે વિતરિત

પછી રકમ ઝેડપણ ઘનતા સાથે સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવશે

,

આ હકીકત અવેજી પછી કમ્પાઇલેશન ઇન્ટિગ્રલ (13.2.1) ના સીધા એકીકરણ દ્વારા સાબિત થાય છે.
અને
.

વધુ સામાન્ય વિધાન પણ સાચું છે: જો

, (13.3.1)

જ્યાં અને b- સ્થિરાંકો, અને એક્સ i - સરેરાશ મૂલ્યો સાથે સ્વતંત્ર સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલો
અને ભિન્નતા , તે વાયસરેરાશ મૂલ્ય સાથે પણ સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવશે

(13.3.2)

અને તફાવત

. (13.3.3)

તે અનુસરે છે કે જો સ્વતંત્ર રીતે સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો કરવામાં આવે, તો સરવાળાનું ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે સામાન્ય વિતરણ પણ હશે, રકમ જેટલીશરતોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને શરતોના ભિન્નતાના સરવાળાના સમાન તફાવત. એટલે કે, જો

,

. (13.3.4)

14. પ્રમેય મર્યાદા

14.1 મોટી સંખ્યાના કાયદાનો ખ્યાલ

તે અનુભવથી જાણીતું છે કે સામૂહિક ઘટનામાં પરિણામ વ્યક્તિગત અભિવ્યક્તિઓ પર થોડો આધાર રાખે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કન્ટેનરની દિવાલો પર ગેસ દ્વારા દબાણ કરવામાં આવે છે તે ગેસના અણુઓ દિવાલોને અથડાવાનું પરિણામ છે. હકીકત એ છે કે દરેક ફટકો તાકાત અને દિશામાં સંપૂર્ણપણે રેન્ડમ હોવા છતાં, પરિણામી દબાણ વ્યવહારીક રીતે નિર્ણાયક હોવાનું બહાર આવ્યું છે. શરીરના તાપમાન વિશે પણ એવું જ કહી શકાય, જે શરીરના અણુઓની ગતિની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા નક્કી કરે છે. વર્તમાન શક્તિ એ પ્રાથમિક શુલ્ક (ઇલેક્ટ્રોન) ની હિલચાલનું અભિવ્યક્તિ છે. દરેકની વિશિષ્ટ સુવિધાઓ અવ્યવસ્થિત ઘટનાઆવી ઘટનાના સમૂહની સરેરાશ પરિણામ પર લગભગ કોઈ અસર થતી નથી. સરેરાશથી રેન્ડમ વિચલનો, દરેક વ્યક્તિગત ઘટનામાં અનિવાર્ય, પરસ્પર રદ કરવામાં આવે છે, સમતળ કરવામાં આવે છે, સમૂહમાં સમતળ કરવામાં આવે છે. તે આ હકીકત છે - સરેરાશની સ્થિરતા - તે અંતર્ગત છે કાયદો મોટી સંખ્યામાં: મોટી સંખ્યામાં રેન્ડમ અસાધારણ ઘટના સાથે, તેમનું સરેરાશ પરિણામ વ્યવહારીક રીતે રેન્ડમ થવાનું બંધ કરે છે અને ઉચ્ચ ડિગ્રી નિશ્ચિતતા સાથે આગાહી કરી શકાય છે.

સંભાવનાના સિદ્ધાંતમાં, મોટી સંખ્યાના કાયદાને ગાણિતિક પ્રમેયની શ્રેણી તરીકે સમજવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક, ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓ હેઠળ, એ હકીકતને સ્થાપિત કરે છે કે મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગોની સરેરાશ લાક્ષણિકતાઓ સતત મૂલ્યો અથવા મર્યાદા વિતરણનો સંપર્ક કરે છે.