Definisi: Biarkan L diberikan N- diukur ruang linier. Vektor bukan nol L disebut vektor eigen transformasi linier A, jika terdapat bilangan sehingga persamaannya berlaku:

A
(7.1)

Dalam hal ini, bilangan  dipanggil nilai eigen (angka karakteristik) transformasi linier A sesuai dengan vektor .

Setelah ditransfer sisi kanan(7.1) ke kiri dan memperhatikan relasinya
, kita menulis ulang (7.1) dalam bentuk

(7.2)

Persamaan (7.2) ekuivalen dengan sistem linier persamaan homogen:

(7.3)

Agar adanya solusi bukan nol pada sistem persamaan linier homogen (7.3), determinan koefisien sistem ini perlu dan cukup sama dengan nol, yaitu.

|A-λE|=
(7.4)

Penentu ini adalah polinomial derajat ke-n terhadap λ dan disebut polinomial karakteristik transformasi linier A, dan persamaan (7.4) - persamaan karakteristik matriks A.

Definisi: Jika transformasi linier A dalam beberapa basis ,,…,memiliki matriks A =
, Itu nilai eigen transformasi linier A dapat dicari sebagai akar-akar  1 ,  2 , … ,  n dari persamaan karakteristik:

Mari kita pertimbangkan kasus khusus . Biarkan A menjadi beberapa transformasi linier bidang yang matriksnya sama dengan
. Maka transformasi A dapat diberikan dengan rumus:

;

atas dasar tertentu
.

Jika suatu transformasi A mempunyai vektor eigen dengan nilai eigen , maka A
.

atau

Karena vektor eigen bukan nol, maka x 1 dan x 2 tidak sama dengan nol secara bersamaan. Karena suatu sistem bersifat homogen, maka agar sistem tersebut mempunyai solusi nontrivial, maka determinan dari sistem tersebut haruslah sama dengan nol. Kalau tidak, menurut aturan Cramer, sistemnya punya satu-satunya solusi– nol, itu tidak mungkin.

Persamaan yang dihasilkan adalah persamaan karakteristik transformasi linier A.

Dengan demikian, vektor eigen dapat ditemukan (x 1, x 2) transformasi linier A dengan nilai eigen, di mana adalah akar persamaan karakteristik, dan x 1 dan x 2 adalah akar-akar sistem persamaan jika nilai disubstitusikan ke dalamnya.

Jelas bahwa jika persamaan karakteristik tidak mempunyai akar real, maka transformasi linier A tidak mempunyai vektor eigen.

Perlu dicatat bahwa jika adalah vektor eigen dari transformasi A, maka setiap vektor yang kolinear dengannya juga merupakan vektor eigen dengan nilai eigen yang sama.

Benar-benar,. Jika kita memperhitungkan bahwa vektor-vektor tersebut mempunyai asal yang sama, maka vektor-vektor tersebut membentuk apa yang disebut arah sendiri atau garis sendiri.

Karena persamaan karakteristik mungkin memiliki dua akar real yang berbeda  1 dan  2, maka dalam hal ini, ketika mensubstitusikannya ke dalam sistem persamaan, kita memperoleh solusi yang jumlahnya tak terhingga. (Karena persamaannya bergantung linier). Rangkaian solusi ini menentukan dua garis sendiri.

Jika persamaan karakteristik memiliki dua akar yang sama 1 = 2 =, maka hanya ada satu garis lurus, atau, jika disubstitusikan ke dalam sistem, garis tersebut berubah menjadi sistem dengan bentuk:
. Sistem ini memenuhi semua nilai x 1 dan x 2. Maka semua vektor akan menjadi vektor eigen, dan transformasi seperti itu disebut transformasi kesamaan.

Contoh.
.

Contoh. Temukan bilangan karakteristik dan vektor eigen dari transformasi linier dengan matriks A =
.

Mari kita tulis transformasi liniernya dalam bentuk:

Mari kita buat persamaan karakteristik:

 2 - 4+ 4 = 0;

Akar persamaan karakteristik:  1 = 2 = 2;

Kami mendapatkan:

Sistem menghasilkan ketergantungan: X 1 – X 2 = 0. Vektor eigen akar pertama persamaan karakteristik mempunyai koordinat: ( T ; T ) Di mana T- parameter.

Vektor eigen dapat ditulis:
.

Mari kita pertimbangkan yang lain kasus khusus. Jika adalah vektor eigen dari transformasi linier A yang ditentukan dalam ruang linier tiga dimensi, dan x 1, x 2, x 3 adalah komponen vektor ini dalam basis tertentu
, Itu

dimana  adalah nilai eigen (bilangan karakteristik) dari transformasi A.

Jika matriks transformasi linier A berbentuk:

, Itu

Persamaan karakteristik:

Memperluas determinannya, kita memperoleh persamaan kubik untuk . Setiap persamaan kubik dengan koefisien real mempunyai satu atau tiga akar real.

Maka setiap transformasi linier dalam ruang tiga dimensi memiliki vektor eigen.

Contoh. Tentukan bilangan karakteristik dan vektor eigen dari transformasi linier A, matriks transformasi linier A = .

Contoh. Tentukan bilangan karakteristik dan vektor eigen dari transformasi linier A, matriks transformasi linier A =
.

Mari kita buat persamaan karakteristik:

-(3 + )((1 -)(2 -) – 2) + 2(4 - 2- 2) - 4(2 - 1 +) = 0

-(3 + )(2 -- 2+ 2 - 2) + 2(2 - 2) - 4(1 +) = 0

-(3 + )( 2 - 3) + 4 - 4- 4 - 4= 0

3 2 + 9- 3 + 3 2 - 8= 0

 1 = 0; 2 = 1; 3 = -1;

Untuk  1 = 0:

Jika kita ambil x 3 = 1, kita peroleh x 1 = 0, x 2 = -2

vektor eigen
t, dimana t adalah parameter.

Demikian pula, Anda dapat menemukannya Dan untuk  2 dan  3 .

Nilai eigen (angka) dan vektor eigen.
Contoh solusi

Jadilah diri sendiri

Dari kedua persamaan berikut ini.

Mari kita jelaskan: .

Sebagai akibat: – vektor eigen kedua.

Mari kita ulangi poin penting solusi:

– sistem yang dihasilkan pasti memilikinya solusi umum(persamaannya bergantung linier);

– kita memilih “y” sedemikian rupa sehingga bilangan bulat dan koordinat “x” pertama adalah bilangan bulat, positif dan sekecil mungkin.

– kita memeriksa bahwa solusi tertentu memenuhi setiap persamaan sistem.

Menjawab .

Terdapat cukup banyak “pos pemeriksaan” perantara, jadi pada prinsipnya pemeriksaan kesetaraan tidak diperlukan.

DI DALAM berbagai sumber informasinya, koordinat vektor eigen seringkali ditulis bukan dalam kolom, melainkan dalam baris, misalnya: (dan sejujurnya saya sendiri sudah terbiasa menuliskannya dalam baris-baris). Opsi ini dapat diterima, namun sesuai dengan topiknya transformasi linier secara teknis lebih nyaman digunakan vektor kolom.

Mungkin solusinya terasa sangat panjang bagi Anda, tetapi ini hanya karena saya mengomentari contoh pertama dengan sangat rinci.

Contoh 2

Matriks

Ayo berlatih sendiri! Sampel perkiraan menyelesaikan tugas di akhir pelajaran.

Terkadang Anda perlu melakukannya tugas tambahan, yaitu:

tulis dekomposisi matriks kanonik

Apa itu?

Jika vektor eigen dari matriks terbentuk dasar, maka dapat direpresentasikan sebagai:

Dimana matriks terdiri dari koordinat vektor eigen, – diagonal matriks dengan nilai eigen yang sesuai.

Dekomposisi matriks ini disebut resmi atau diagonal.

Mari kita lihat matriks pada contoh pertama. Vektor eigennya independen linier(non-collinear) dan membentuk basis. Mari kita buat matriks koordinatnya:

Pada diagonal utama matriks dalam urutan yang sesuai nilai eigen berada, dan elemen lainnya sama dengan nol:
– Saya sekali lagi menekankan pentingnya keteraturan: “dua” berhubungan dengan vektor pertama dan oleh karena itu terletak di kolom pertama, “tiga” – dengan vektor ke-2.

Menggunakan algoritma biasa untuk mencari matriks terbalik atau Metode Gauss-Jordan kami menemukan . Tidak, itu bukan salah ketik! - sebelum kamu jarang, seperti gerhana matahari suatu kejadian ketika inversnya berimpit dengan matriks aslinya.

Tetap menuliskan dekomposisi kanonik matriks:

Sistem dapat diselesaikan dengan menggunakan transformasi dasar dan masuk contoh berikut kami akan menggunakan metode ini. Namun di sini metode “sekolah” bekerja lebih cepat. Dari persamaan ke-3 kita nyatakan: – substitusikan ke persamaan kedua:

Karena koordinat pertama adalah nol, kita memperoleh sistem dari setiap persamaan yang berikut ini.

Dan lagi perhatikan adanya wajib hubungan linier. Jika hanya solusi sepele yang diperoleh , maka nilai eigen yang ditemukan salah, atau sistem dikompilasi/diselesaikan dengan kesalahan.

Koordinat kompak memberi nilai

vektor eigen:

Dan sekali lagi, kami memeriksa apakah solusinya ditemukan memenuhi setiap persamaan sistem. Dalam paragraf berikutnya dan tugas selanjutnya, saya merekomendasikan untuk menganggap keinginan ini sebagai aturan wajib.

2) Untuk nilai eigen, dengan menggunakan prinsip yang sama, kita peroleh sistem berikut:

Dari persamaan ke-2 sistem kita nyatakan: – substitusikan ke persamaan ketiga:

Karena koordinat “zeta” sama dengan nol, kita memperoleh sistem dari setiap persamaan yang diikutinya ketergantungan linier.

Membiarkan

Memeriksa itu solusinya memenuhi setiap persamaan sistem.

Jadi, vektor eigennya adalah: .

3) Dan terakhir, sistem sesuai dengan nilai eigen:

Persamaan kedua terlihat paling sederhana, jadi mari kita nyatakan dan substitusikan ke persamaan ke-1 dan ke-3:

Semuanya baik-baik saja - hubungan linier telah muncul, yang kami substitusikan ke dalam ekspresi:

Hasilnya, “x” dan “y” dinyatakan melalui “z”: . Dalam praktiknya, tidak perlu mencapai hubungan seperti itu secara tepat; dalam beberapa kasus, lebih mudah untuk mengekspresikan keduanya melalui atau dan melalui . Atau bahkan "melatih" - misalnya, "X" hingga "I", dan "I" hingga "Z"

Mari kita jelaskan:

Kami memeriksa apakah solusinya ditemukan memenuhi setiap persamaan sistem dan menulis vektor eigen ketiga

Menjawab: vektor eigen:

Secara geometris, vektor-vektor ini menentukan tiga arah spasial yang berbeda ("bolak-balik"), yg mana transformasi linier mengubah vektor bukan nol (vektor eigen) menjadi vektor kolinear.

Jika kondisi tersebut memerlukan penemuan dekomposisi kanonik, maka hal ini dimungkinkan di sini, karena bermacam-macam nilai eigen sesuai dengan vektor eigen independen linier yang berbeda. Membuat matriks dari koordinatnya, matriks diagonal dari relevan nilai eigen dan temukan matriks terbalik .

Jika, dengan syarat, Anda perlu menulis matriks transformasi linier berdasarkan vektor eigen, lalu kita berikan jawabannya dalam bentuk . Ada perbedaan, dan perbedaannya signifikan! Karena matriks ini merupakan matriks “de”.

Masalah dengan lebih banyak perhitungan sederhana Untuk keputusan independen:

Contoh 5

Temukan vektor eigen dari transformasi linier yang diberikan oleh matriks

Saat mencari bilangan Anda sendiri, usahakan untuk tidak sampai ke polinomial derajat 3. Selain itu, solusi sistem Anda mungkin berbeda dengan solusi saya - tidak ada kepastian di sini; dan vektor yang Anda temukan mungkin berbeda dari vektor sampel hingga proporsionalitas koordinatnya masing-masing. Misalnya, dan. Memang lebih estetis menyajikan jawaban dalam bentuk, tapi tidak apa-apa jika Anda berhenti pada pilihan kedua. Namun, ada batasan wajar untuk semuanya; versinya tidak lagi terlihat bagus.

Perkiraan contoh tugas akhir di akhir pelajaran.

Bagaimana cara mengatasi masalah jika ada banyak nilai eigen?

Algoritma umum tetap sama, tetapi memiliki karakteristiknya sendiri, dan disarankan untuk mempertahankan beberapa bagian solusi dalam gaya akademis yang lebih ketat:

Contoh 6

Temukan nilai eigen dan vektor eigen

Larutan

Tentu saja, mari kita gunakan huruf besar pada kolom pertama yang menakjubkan:

Dan, setelah penguraian trinomial kuadrat dengan pengganda:

Hasilnya, diperoleh nilai eigen yang dua di antaranya merupakan kelipatan.

Mari kita cari vektor eigennya:

1) Mari kita berurusan dengan seorang prajurit menurut skema yang “disederhanakan”:

Dari dua persamaan terakhir terlihat jelas persamaan yang tentunya harus disubstitusikan ke persamaan pertama sistem:

Anda tidak akan menemukan kombinasi yang lebih baik:
vektor eigen:

2-3) Sekarang kita singkirkan beberapa penjaga. DI DALAM dalam hal ini itu mungkin berhasil baik dua atau satu vektor eigen. Terlepas dari banyaknya akar, kita substitusikan nilainya ke dalam determinan yang membawa kita selanjutnya sistem persamaan linear yang homogen:

Vektor eigen sebenarnya adalah vektor
sistem dasar solusi

Sebenarnya, sepanjang pelajaran kita tidak melakukan apa pun selain menemukan vektor-vektor sistem fundamental. Hanya untuk saat ini istilah ini tidak terlalu membutuhkannya. Ngomong-ngomong, para siswa pintar yang melewatkan topik dalam pakaian kamuflase persamaan homogen, akan terpaksa merokok sekarang.

Satu-satunya tindakan adalah menghapus garis tambahan. Hasilnya adalah matriks satu per tiga dengan “langkah” formal di tengahnya.
– variabel dasar, – variabel bebas. Oleh karena itu, ada dua variabel bebas ada juga dua vektor sistem fundamental.

Mari kita nyatakan variabel dasar dalam bentuk variabel bebas: . Pengganda nol di depan “X” memungkinkannya mengambil nilai apa pun (yang terlihat jelas dari sistem persamaan).

Dalam konteks masalah ini, akan lebih mudah untuk menulis solusi umum bukan dalam satu baris, tetapi dalam kolom:

Pasangan ini sesuai dengan vektor eigen:
Pasangan ini sesuai dengan vektor eigen:

Catatan : pembaca yang mahir dapat memilih vektor-vektor ini secara lisan - cukup dengan menganalisis sistem , tetapi diperlukan beberapa pengetahuan di sini: ada tiga variabel, peringkat matriks sistem- satu, yang artinya sistem keputusan mendasar terdiri dari 3 – 1 = 2 vektor. Namun, vektor yang ditemukan terlihat jelas bahkan tanpa sepengetahuan ini, murni pada tingkat intuitif. Dalam hal ini, vektor ketiga akan ditulis lebih “indah”: . Namun, saya memperingatkan Anda bahwa dalam contoh lain, pemilihan sederhana mungkin tidak dapat dilakukan, itulah sebabnya klausa tersebut ditujukan untuk orang yang berpengalaman. Selain itu, mengapa tidak mengambil, katakanlah, sebagai vektor ketiga? Bagaimanapun, koordinatnya juga memenuhi setiap persamaan sistem, dan vektor-vektornya independen linier. Opsi ini, pada prinsipnya, cocok, tetapi “bengkok”, karena vektor “lainnya” adalah kombinasi linier dari vektor-vektor sistem fundamental.

Menjawab: nilai eigen: , vektor eigen:

Contoh serupa untuk solusi independen:

Contoh 7

Temukan nilai eigen dan vektor eigen

Contoh perkiraan desain akhir di akhir pelajaran.

Perlu dicatat bahwa dalam contoh ke-6 dan ke-7 diperoleh rangkap tiga vektor eigen bebas linier, dan oleh karena itu matriks asli dapat direpresentasikan dalam dekomposisi kanonik. Tetapi raspberry seperti itu tidak terjadi di semua kasus:

Contoh 8

Larutan: Mari kita buat dan selesaikan persamaan karakteristiknya:

Mari kita perluas determinan di kolom pertama:

Kami melakukan penyederhanaan lebih lanjut sesuai dengan metodologi yang dipertimbangkan, menghindari polinomial derajat ke-3:

– nilai eigen.

Mari kita cari vektor eigennya:

1) Tidak ada kesulitan dengan root:

Jangan kaget, selain kit, ada juga variabel yang digunakan - tidak ada perbedaan di sini.

Dari persamaan ke-3 kita nyatakan dan substitusikan ke persamaan ke-1 dan ke-2:

Dari kedua persamaan berikut:

Biarkan kemudian:

2-3) Untuk beberapa nilai kita mendapatkan sistemnya .

Mari kita tuliskan matriks sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Matriks diagonal mempunyai struktur yang paling sederhana. Timbul pertanyaan apakah mungkin menemukan basis yang matriks operator liniernya berbentuk diagonal. Dasar seperti itu memang ada.
Mari kita diberi ruang linier R n dan operator linier A yang bekerja di dalamnya; dalam hal ini, operator A mengambil R n ke dalam dirinya sendiri, yaitu A:R n → R n .

Definisi. Vektor bukan nol x disebut vektor eigen dari operator A jika operator A mengubah x menjadi vektor kolinear, yaitu. Bilangan λ disebut nilai eigen atau nilai eigen dari operator A, yang bersesuaian dengan vektor eigen x.
Mari kita perhatikan beberapa sifat nilai eigen dan vektor eigen.
1. Setiap kombinasi linier dari vektor eigen operator A yang bersesuaian dengan nilai eigen yang sama λ adalah vektor eigen dengan nilai eigen yang sama.
2. Vektor eigen operator A dengan nilai eigen berbeda berpasangan λ 1 , λ 2 , …, λ m bebas linier.
3. Jika nilai eigen λ 1 =λ 2 = λ m = λ, maka nilai eigen λ berhubungan dengan tidak lebih dari m vektor eigen bebas linier.

Jadi, jika terdapat n vektor eigen bebas linier , sesuai dengan nilai eigen yang berbeda λ 1, λ 2, ..., λ n, maka nilai-nilai tersebut bebas linier, oleh karena itu, nilai-nilai tersebut dapat diambil sebagai basis ruang R n. Mari kita cari bentuk matriks dari operator linier A berdasarkan vektor eigennya, yang mana kita akan bertindak dengan operator A berdasarkan vektor basis: Kemudian .
Jadi, matriks operator linier A berdasarkan vektor eigennya berbentuk diagonal, dan nilai eigen operator A berada di sepanjang diagonal.
Apakah ada basis lain yang matriksnya berbentuk diagonal? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema berikut.

Dalil. Matriks operator linier A pada basis (i = 1..n) berbentuk diagonal jika dan hanya jika semua vektor basisnya merupakan vektor eigen dari operator A.

Aturan untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen

. (*)

(1)
Di mana - matriks operator linier.

Sistem (1) mempunyai solusi bukan nol jika determinannya D sama dengan nol

Contoh 12. Operator linier A bekerja di R 3 menurut hukum, dimana x 1, x 2, .., x n adalah koordinat vektor di basis , , . Temukan nilai eigen dan vektor eigen dari operator ini.
Larutan. Kami membangun matriks operator ini:
.
Kami membuat sistem untuk menentukan koordinat vektor eigen:

Kami membuat persamaan karakteristik dan menyelesaikannya:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Substitusikan λ = -1 ke dalam sistem, kita peroleh:
atau
Karena , maka ada dua variabel terikat dan satu variabel bebas.
Misalkan x 1 adalah bilangan tak diketahui bebas Kami menyelesaikan sistem ini dengan cara apa pun dan menemukan solusi umum untuk sistem ini: Sistem mendasar solusi terdiri dari satu solusi, karena n - r = 3 - 2 = 1.
Himpunan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = -1 berbentuk: , dengan x 1 adalah bilangan apa pun selain nol. Mari kita pilih satu vektor dari himpunan ini, misalnya dengan memasukkan x 1 = 1: .
Dengan alasan yang sama, kita menemukan vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen λ = 3: .
Pada ruang R3, basisnya terdiri dari tiga garis linier vektor independen, kami hanya menerima dua vektor eigen yang bebas linier, yang darinya basis dalam R 3 tidak dapat dibuat. Akibatnya, kita tidak dapat mereduksi matriks A dari operator linier menjadi bentuk diagonal.

Contoh 13. Diberikan sebuah matriks .
1. Buktikan bahwa vektor adalah vektor eigen dari matriks A. Temukan nilai eigen yang sesuai dengan vektor eigen tersebut.
2. Temukan basis yang matriks A berbentuk diagonal.
Larutan.
1. Jika , maka x adalah vektor eigen

.
Vektor (1, 8, -1) merupakan vektor eigen. Nilai eigen λ = -1.
Matriks tersebut mempunyai bentuk diagonal dengan basis yang terdiri dari vektor-vektor eigen. Salah satunya terkenal. Mari kita temukan sisanya.
Kami mencari vektor eigen dari sistem:

Persamaan karakteristik: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Mari kita cari vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen λ = -3:

Rank matriks sistem ini adalah dua dan sama dengan nomornya tidak diketahui, jadi sistem ini hanya mempunyai solusi nol x 1 = x 3 = 0. x 2 di sini bisa berupa apa pun selain nol, misalnya x 2 = 1. Jadi, vektor (0,1,0) adalah vektor eigen , sesuai dengan λ = -3. Mari kita periksa:
.
Jika λ = 1, maka diperoleh sistemnya
Pangkat matriksnya adalah dua. Kami mencoret persamaan terakhir.
Misalkan x 3 adalah suatu bilangan tidak diketahui bebas. Maka x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Dengan asumsi x 3 = 1, kita mempunyai (-3,-9,1) - vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen λ = 1. Periksa:

.
Karena nilai eigennya nyata dan berbeda, maka vektor-vektor yang bersesuaian dengannya adalah bebas linier, sehingga dapat dijadikan basis dalam R 3 . Jadi, sebagai dasarnya , , matriks A berbentuk:
.
Tidak semua matriks operator linier A:R n → R n dapat direduksi menjadi bentuk diagonal, karena untuk beberapa operator linier mungkin terdapat kurang dari n vektor eigen bebas linier. Namun, jika matriksnya simetris, maka akar persamaan karakteristik multiplisitas m bersesuaian dengan tepat m vektor bebas linier.

Definisi. Matriks simetris adalah matriks persegi yang elemen-elemennya simetris terhadap diagonal utamanya adalah sama, yaitu .
Catatan. 1. Semua nilai eigen matriks simetris adalah nyata.
2. Vektor eigen suatu matriks simetris yang bersesuaian dengan nilai eigen berbeda berpasangan adalah ortogonal.
Sebagai salah satu dari banyak aplikasi peralatan yang dipelajari, kami mempertimbangkan masalah penentuan jenis kurva orde kedua.

Di mana? adalah skalar pasti, yaitu nyata atau bilangan kompleks.
Artinya, vektor eigen dari matriks A adalah vektor bukan nol yang, di bawah aksi transformasi linier, ditentukan oleh matriks A tidak berubah arah, tetapi dapatkah panjang berubah dengan faktor tertentu?.
Matriks memiliki dimensi tidak lebih dari N vektor eigen dan nilai eigen yang sesuai dengannya.
Relasi (*) juga masuk akal untuk operator linier dalam ruang vektor V. Jika ruang ini berdimensi terbatas, maka operatornya dapat ditulis sebagai matriks terhadap basis tertentu V.
Karena vektor eigen dan nilai eigen dilambangkan tanpa menggunakan koordinat, tidak bergantung pada pilihan basis. Oleh karena itu, matriks yang serupa mempunyai nilai eigen yang sama.
Peran utama dalam memahami nilai eigen matriks dimainkan oleh teorema Hamilton-Cayley. Oleh karena itu nilai eigen dari matriks tersebut A dan hanya merekalah akarnya polinomial karakteristik matriks A:

P (?) adalah polinomial derajat N, oleh karena itu, menurut teorema dasar aljabar, pasti ada N nilai eigen yang kompleks, dengan mempertimbangkan keberagamannya.
Jadi matriksnya A tidak punya lagi N nilai eigen (tetapi banyak vektor eigen untuk masing-masingnya).
Mari kita tuliskan polinomial karakteristik melalui akar-akarnya:

Multiplisitas akar polinomial karakteristik suatu matriks disebut multiplisitas aljabar nilai eigen
Himpunan semua nilai eigen suatu matriks atau operator linier dalam ruang vektor berdimensi berhingga disebut spektrum matriks atau operator linier. (Terminologi ini dimodifikasi untuk non-skinchenotherworldly ruang vektor: V kasus umum, spektrum operator mungkin termasuk?, yang bukan merupakan nilai eigen.)
Karena hubungan antara polinomial karakteristik suatu matriks dan nilai eigennya, nilai eigennya disebut juga nomor karakteristik matriks.
Untuk setiap nilai eigen, kami memperoleh sistem persamaan kami sendiri:

Apa yang akan terjadi linier keputusan independen.
Himpunan semua solusi dari sistem terbentuk subruang linier dimensi dan disebut ruang sendiri(Bahasa inggris) ruang eigen) matriks dengan nilai eigen.
Dimensi ruang yang tepat disebut multiplisitas geometris nilai eigen yang sesuai?.
Semua ruang eigen adalah subruang invarian untuk .
Jika terdapat paling sedikit dua vektor eigen yang bebas linier dengan nilai eigen yang sama?, maka nilai eigen tersebut disebut merosot. Terminologi ini digunakan terutama ketika multiplisitas geometrik dan aljabar dari nilai eigen bertepatan, misalnya, untuk matriks Hermitian.

Di mana - Matriks persegi ukuran nxn,-Kolom kedua adalah vektor, A – Ini adalah matriks diagonal dengan nilai-nilai yang bersesuaian.

Masalah nilai eigen adalah masalah mencari vektor eigen dan bilangan suatu matriks.
Menurut definisi (menggunakan persamaan karakteristik), Anda hanya dapat mencari nilai eigen matriks yang berdimensi kurang dari lima. Persamaan karakteristik mempunyai derajat sama matriks. Untuk derajat yang lebih tinggi menemukan solusi persamaan menjadi sangat bermasalah, sehingga mereka menggunakan berbagai macam solusi metode numerik
Tugas lain-lain memerlukan penerimaan jumlah yang berbeda nilai eigen. Oleh karena itu, terdapat beberapa permasalahan dalam pencarian nilai eigen yang masing-masing menggunakan metode tersendiri.
Tampaknya masalah parsial nilai eigen adalah masalah parsial dari masalah lengkap, dan diselesaikan dengan metode yang sama seperti masalah lengkap. Namun, metode yang diterapkan pada masalah tertentu jauh lebih efisien, sehingga dapat diterapkan pada matriks berdimensi tinggi (misalnya, pada fisika nuklir timbul permasalahan dalam mencari nilai eigen matriks berdimensi 10 3 – 10 6).
metode Jacobi

Salah satu yang tertua dan terbanyak pendekatan umum untuk suatu keputusan masalah lengkap nilai eigen adalah metode Jacobi, pertama kali diterbitkan pada tahun 1846.
Metode ini diterapkan pada matriks simetris A
Ini adalah algoritma iteratif sederhana di mana matriks vektor eigen dihitung dengan serangkaian perkalian.

Dengan matriks A, jika terdapat bilangan l sehingga AX = lX.

Dalam hal ini, nomor l dipanggil nilai eigen operator (matriks A) yang bersesuaian dengan vektor X.

Dengan kata lain, vektor eigen adalah vektor yang, di bawah aksi operator linier, berubah menjadi vektor kolinear, yaitu. kalikan saja dengan angka tertentu. Sebaliknya, vektor tak wajar lebih rumit untuk diubah.

Mari kita tuliskan definisi vektor eigen dalam bentuk sistem persamaan:

Mari kita pindahkan semua suku ke sisi kiri:

Sistem yang terakhir dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:

(A - lE)X = O

Sistem yang dihasilkan selalu mempunyai solusi nol X = O. Sistem seperti itu dimana semuanya anggota gratis sama dengan nol disebut homogen. Jika matriks sistem tersebut berbentuk persegi dan determinannya tidak sama dengan nol, maka dengan menggunakan rumus Cramer kita akan selalu mendapatkan solusi unik - nol. Dapat dibuktikan bahwa suatu sistem mempunyai solusi bukan nol jika dan hanya jika determinan matriks tersebut sama dengan nol, yaitu.

|A - le| = = 0

Persamaan dengan l yang tidak diketahui ini disebut persamaan karakteristik (polinomial karakteristik) matriks A (operator linier).

Dapat dibuktikan bahwa polinomial karakteristik suatu operator linier tidak bergantung pada pilihan basis.

Misalnya, cari nilai eigen dan vektor eigen dari operator linier yang ditentukan oleh matriks A = .

Untuk melakukannya, mari kita buat persamaan karakteristik |A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; nilai eigen l 1 = (2 - 12)/2 = -5; aku 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Untuk mencari vektor eigen, kita menyelesaikan dua sistem persamaan

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Untuk yang pertama, matriks yang diperluas mengambil bentuk

,

maka x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, mis. X (1) = (-(2/3)s; s).

Untuk yang kedua, matriks yang diperluas mengambil bentuk

,

dari mana x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, yaitu X (2) = ((2/3) s 1; s 1).

Jadi, vektor eigen dari operator linier ini adalah semua vektor berbentuk (-(2/3)с; с) dengan nilai eigen (-5) dan semua vektor berbentuk ((2/3)с 1 ; с 1) dengan nilai eigen 7 .

Dapat dibuktikan bahwa matriks operator A pada basis yang terdiri dari vektor-vektor eigennya berbentuk diagonal dan berbentuk:

,

dimana aku adalah nilai eigen dari matriks ini.

Kebalikannya juga benar: jika matriks A pada suatu basis berbentuk diagonal, maka semua vektor pada basis tersebut akan menjadi vektor eigen dari matriks tersebut.

Dapat juga dibuktikan bahwa jika suatu operator linier mempunyai n nilai eigen berbeda berpasangan, maka vektor eigen yang bersesuaian adalah bebas linier, dan matriks operator ini pada basis yang bersesuaian berbentuk diagonal.

Mari kita ilustrasikan hal ini dengan contoh sebelumnya. Mari kita ambil nilai sembarang bukan nol c dan c 1, tetapi sedemikian rupa sehingga vektor X (1) dan X (2) bebas linier, mis. akan membentuk suatu dasar. Misal c = c 1 = 3, maka X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Mari kita pastikan kemandirian linier vektor-vektor ini:

12 ≠ 0. Pada basis baru ini, matriks A akan berbentuk A * = .

Untuk memverifikasinya, mari kita gunakan rumus A* = C -1 AC. Pertama, cari C -1.

C -1 = ;

Bentuk kuadrat

Bentuk kuadrat f(x 1, x 2, xn) dari n variabel disebut penjumlahan, yang setiap sukunya merupakan kuadrat salah satu variabel, atau hasil kali dua variabel berbeda, diambil dengan koefisien tertentu: f(x 1 , x 2, xn) = (a ij = aji).

Matriks A yang tersusun dari koefisien-koefisien ini disebut matriks bentuk kuadrat. Itu selalu simetris matriks (yaitu matriks yang simetris terhadap diagonal utama, a ij = a ji).

DI DALAM notasi matriks bentuk kuadrat mempunyai bentuk f(X) = X T AX, dimana

Memang

Misalnya kita menulis bentuk kuadrat dalam bentuk matriks.

Untuk melakukan ini, kita menemukan matriks berbentuk kuadrat. Elemen diagonalnya sama dengan koefisien variabel kuadrat, dan elemen sisanya sama dengan setengah koefisien bentuk kuadrat yang bersesuaian. Itu sebabnya

Misalkan kolom-matriks variabel X diperoleh dengan transformasi linier tak-degenerasi dari kolom-matriks Y, yaitu. X = CY, dimana C adalah matriks nonsingular orde ke-n. Maka bentuk kuadratnya f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Jadi, dengan transformasi linier tak berdegenerasi C, matriks berbentuk kuadrat berbentuk: A* = C T AC.

Misalnya, cari bentuk kuadrat f(y 1, y 2), yang diperoleh dari bentuk kuadrat f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 melalui transformasi linier.

Bentuk kuadrat disebut resmi(memiliki pandangan kanonik), jika semua koefisiennya a ij = 0 untuk i ≠ j, yaitu
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Matriksnya berbentuk diagonal.

Dalil(bukti tidak diberikan di sini). Bentuk kuadrat apa pun dapat direduksi menjadi bentuk kanonik menggunakan transformasi linier non-degenerasi.

Misalnya, mari kita reduksi bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Untuk melakukan ini, pertama-tama kita pilih persegi sempurna dengan variabel x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Sekarang kita pilih persegi lengkap dengan variabel x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

Kemudian transformasi linier tak berdegenerasi y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 dan y 3 = x 3 menjadikan bentuk kuadrat ini menjadi bentuk kanonik f(y 1, y 2 , kamu 3) = 2kamu 1 2 - 5kamu 2 2 + (1/20)kamu 3 2 .

Perhatikan bahwa bentuk kanonik dari bentuk kuadrat ditentukan secara ambigu (bentuk kuadrat yang sama dapat direduksi menjadi bentuk kanonik dengan cara yang berbeda). Namun, yang diterima dalam berbagai cara bentuk kanonik memiliki sejumlah sifat umum. Secara khusus, jumlah suku dengan koefisien positif (negatif) dari bentuk kuadrat tidak bergantung pada metode pengurangan bentuk menjadi bentuk ini (misalnya, dalam contoh yang dipertimbangkan akan selalu ada dua koefisien negatif dan satu positif). Sifat ini disebut hukum inersia bentuk kuadrat.

Mari kita verifikasi ini dengan membawa bentuk kuadrat yang sama ke bentuk kanonik dengan cara yang berbeda. Mari kita mulai transformasi dengan variabel x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (kamu 1 , kamu 2 , kamu 3) = -3kamu 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, dimana y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 dan kamu 3 = x 1 . Di sini terdapat koefisien negatif -3 pada y 1 dan dua koefisien positif 3 dan 2 pada y 2 dan y 3 (dan dengan menggunakan metode lain kita mendapatkan koefisien negatif (-5) pada y 2 dan dua koefisien positif: 2 pada y 1 dan 1/20 pada y 3).

Perlu juga diperhatikan bahwa pangkat suatu matriks berbentuk kuadrat disebut peringkat bentuk kuadrat, sama dengan jumlah koefisien bukan nol bentuk kanonik dan tidak berubah pada transformasi linier.

Bentuk kuadrat f(X) disebut secara positif (negatif) yakin, jika untuk semua nilai variabel yang tidak simultan sama dengan nol, bernilai positif, yaitu f(X) > 0 (negatif, mis.
f(x)< 0).

Misalnya bentuk kuadrat f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 adalah pasti positif, karena adalah jumlah kuadrat, dan bentuk kuadrat f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 adalah pasti negatif, karena menyatakannya dapat direpresentasikan sebagai f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Dalam sebagian besar situasi praktis, agak lebih sulit untuk menetapkan tanda pasti suatu bentuk kuadrat, jadi untuk ini kami menggunakan salah satu teorema berikut (kami akan merumuskannya tanpa bukti).

Dalil. Suatu bentuk kuadrat pasti positif (negatif) jika dan hanya jika semua nilai eigen matriksnya positif (negatif).

Dalil(Kriteria Sylvester). Suatu bentuk kuadrat adalah pasti positif jika dan hanya jika semua minor utama dari matriks bentuk ini adalah positif.

Utama (sudut) minor Matriks A orde ke-k dari orde ke-n disebut determinan matriks, terdiri dari k baris dan kolom pertama matriks A().

Perhatikan bahwa untuk bentuk kuadrat pasti negatif, tanda minor utama bergantian, dan minor orde pertama harus negatif.

Sebagai contoh, mari kita periksa bentuk kuadrat f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 untuk mengetahui kepastian tanda.

= (2 - aku)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Oleh karena itu, bentuk kuadratnya adalah pasti positif.

Cara 2. Minor utama matriks orde pertama A D 1 = a 11 = 2 > 0. Minor utama matriks orde kedua D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Oleh karena itu, menurut kriteria Sylvester, bentuk kuadratnya adalah pasti positif.

Kita periksa bentuk kuadrat lain untuk kepastian tanda, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metode 1. Mari kita buat matriks berbentuk kuadrat A = . Persamaan karakteristiknya akan berbentuk = (-2 - aku)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Oleh karena itu, bentuk kuadratnya adalah pasti negatif.

Metode 2. Minor utama matriks orde pertama A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Oleh karena itu, menurut kriteria Sylvester, bentuk kuadratnya adalah pasti negatif (tanda-tanda minor utama bergantian, dimulai dengan minus).

Dan sebagai contoh lain, kita periksa bentuk kuadrat bertanda f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metode 1. Mari kita buat matriks berbentuk kuadrat A = . Persamaan karakteristiknya akan berbentuk = (2 - aku)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Salah satu dari angka-angka ini negatif dan yang lainnya positif. Tanda nilai eigennya berbeda-beda. Oleh karena itu, bentuk kuadrat tidak dapat bersifat pasti negatif atau positif, yaitu. bentuk kuadrat ini tidak pasti tanda (dapat mengambil nilai tanda apa pun).

Cara 2. Minor utama matriks orde pertama A D 1 = a 11 = 2 > 0. Minor utama matriks orde kedua D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).