Pavyzdžiai:
\(\log_(2)(x) = 32\)
\(\log_3x=\log_39\)
\(\log_3((x^2-3))=\log_3((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2((x+1))+10=11 \lg((x+1))\)
Kaip išspręsti logaritmines lygtis:
Spręsdami logaritminę lygtį, turėtumėte stengtis ją transformuoti į formą \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\), tada pereikite į \(f(x) )=g(x) \).
\(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).
Pavyzdys:\(\log_2(x-2)=3\)
|
Sprendimas: |
ODZ: |
Labai svarbu!Šis perėjimas gali būti atliktas tik jei:
Jūs parašėte pirminę lygtį, o pabaigoje patikrinsite, ar rastos yra įtrauktos į DL. Jei tai nebus padaryta, gali atsirasti papildomų šaknų, o tai reiškia neteisingą sprendimą.
Skaičius (arba išraiška) kairėje ir dešinėje yra vienodas;
Logaritmai kairėje ir dešinėje yra „grynieji“, tai yra, neturėtų būti daugybos, padalijimo ir pan. – tik pavieniai logaritmai abiejose lygybės ženklo pusėse.
Pavyzdžiui:
Atkreipkite dėmesį, kad 3 ir 4 lygtis galima lengvai išspręsti taikant reikalingos savybės logaritmus.
Pavyzdys . Išspręskite lygtį \(2\log_8x=\log_82.5+\log_810\)
Sprendimas :
|
Parašykime ODZ: \(x>0\). |
||
|
\(2\log_8x=\log_82.5+\log_810\) ODZ: \(x>0\) |
Kairėje prieš logaritmą yra koeficientas, dešinėje - logaritmų suma. Tai mus trikdo. Perkelkime juos į eksponentą \(x\) pagal savybę: \(n \log_b(a)=\log_b(a^n)\). Pavaizduokime logaritmų sumą kaip vieną logaritmą pagal savybę: \(\log_ab+\log_ac=\log_a(bc)\) |
|
|
\(\log_8(x^2)=\log_825\) |
Sumažinome lygtį į formą \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) ir užrašėme ODZ, o tai reiškia, kad galime pereiti prie formos \(f(x) =g(x)\ ). |
|
|
Suveikė. Mes tai išsprendžiame ir gauname šaknis. |
||
|
\(x_1=5\) \(x_2=-5\) |
Mes patikriname, ar šaknys tinka ODZ. Norėdami tai padaryti, \(x>0\) vietoj \(x\) pakeičiame \(5\) ir \(-5\). Šią operaciją galima atlikti žodžiu. |
|
|
\(5>0\), \(-5>0\) |
Pirmoji nelygybė tiesa, antroji – ne. Tai reiškia, kad \(5\) yra lygties šaknis, bet \(-5\) nėra. Užrašome atsakymą. |
Atsakymas : \(5\)
Pavyzdys : išspręskite lygtį \(\log^2_2(x)-3 \log_2(x)+2=0\)
Sprendimas :
|
Parašykime ODZ: \(x>0\). |
||
|
\(\log^2_2(x)-3 \log_2(x)+2=0\) ODZ: \(x>0\) |
Tipinė lygtis, išspręsta naudojant . Pakeiskite \(\log_2x\) į \(t\). |
|
|
\(t=\log_2x\) |
||
|
Gavome įprastą. Ieškome jo šaknų. |
||
|
\(t_1=2\) \(t_2=1\) |
Atvirkštinis pakeitimas |
|
|
\(\log_2(x)=2\) \(\log_2(x)=1\) |
Transformuojame dešiniąsias puses, pateikdami jas logaritmais: \(2=2 \cdot 1=2 \log_22=\log_24\) ir \(1=\log_22\) |
|
|
\(\log_2(x)=\log_24\) \(\log_2(x)=\log_22 \) |
Dabar mūsų lygtys yra \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\), ir galime pereiti prie \(f(x)=g(x)\). |
|
|
\(x_1=4\) \(x_2=2\) |
Mes patikriname ODZ šaknų atitiktį. Norėdami tai padaryti, nelygybėje \(x>0\) vietoj \(x\) pakeiskite \(4\) ir \(2\). |
|
|
\(4>0\) \(2>0\) |
Abi nelygybės yra teisingos. Tai reiškia, kad ir \(4\) ir \(2\) yra lygties šaknys. |
Atsakymas : \(4\); \(2\).
Įjungta šią pamoką pakartosime pagrindinius teoriniai faktai apie logaritmus ir apsvarstykite galimybę išspręsti paprasčiausias logaritmines lygtis.
Leiskite jums priminti centrinis apibrėžimas- logaritmo apibrėžimas. Tai susiję su sprendimu eksponentinė lygtis. Ši lygtis turi vieną šaknį, ji vadinama logaritmu iš b pagrindo a:
Apibrėžimas:
B logaritmas iki bazės a yra eksponentas, iki kurio bazę reikia pakelti, kad gautume b.
Leiskite jums priminti pagrindinis logaritminė tapatybė .
Išraiška (1 išraiška) yra lygties šaknis (2 išraiška). Pakeiskite reikšmę x iš 1 išraiškos vietoj x į 2 išraišką ir gaukite pagrindinę logaritminę tapatybę:
Taigi matome, kad kiekviena vertė yra susieta su verte. B pažymime x(), c – y ir taip gauname logaritminę funkciją:
Pavyzdžiui: 
Prisiminkime pagrindines savybes logaritminė funkcija.
Dar kartą atkreipkime dėmesį, nes po logaritmu gali būti griežtai teigiama išraiška, kaip logaritmo pagrindas.
Ryžiai. 1. Logaritminės funkcijos grafikas su skirtingais pagrindais
Funkcijos at grafikas rodomas juodai. Ryžiai. 1. Jei argumentas didėja nuo nulio iki begalybės, funkcija didėja nuo minuso iki pliuso begalybės.
Funkcijos at grafikas rodomas raudonai. Ryžiai. 1.
Šios funkcijos savybės:
Taikymo sritis: ;
Vertybių diapazonas: ;
Funkcija yra monotoniška visoje apibrėžimo srityje. Kai monotoniškai (griežtai) didėja, didesnę vertę argumentas atitinka didesnę funkcijos reikšmę. Kai monotoniškai (griežtai) mažėja, atitinka didesnė argumento reikšmė mažesnė vertė funkcijas.
Logaritminės funkcijos savybės yra raktas sprendžiant įvairias logaritmines lygtis.
Panagrinėkime paprasčiausią logaritminę lygtį, kaip taisyklė, sumažinamos iki šios formos.
Kadangi logaritmų pagrindai ir patys logaritmai yra lygūs, funkcijos pagal logaritmą taip pat yra lygios, tačiau neturime praleisti apibrėžimo srities. Logaritmas gali tik stovėti teigiamas skaičius, mes turime:
Išsiaiškinome, kad funkcijos f ir g yra lygios, todėl pakanka pasirinkti bet kurią nelygybę, kad atitiktų ODZ.
Taigi, mes turime mišrią sistemą, kurioje yra lygtis ir nelygybė:
Paprastai nelygybės spręsti nereikia, užtenka išspręsti lygtį ir rastąsias šaknis pakeisti į nelygybę, taip atliekant patikrinimą.
Suformuluokime paprasčiausių logaritminių lygčių sprendimo būdą:
Išlyginti logaritmų pagrindus;
Sulyginti sublogaritmines funkcijas;
Atlikite patikrinimą.
Pažvelkime į konkrečius pavyzdžius.
1 pavyzdys – išspręskite lygtį:
Iš pradžių logaritmų pagrindai yra lygūs, turime teisę sulyginti sublogaritmines išraiškas, nepamirškite apie ODZ, pasirenkame pirmąjį logaritmą nelygybei sudaryti:
2 pavyzdys – išspręskite lygtį:
Ši lygtis skiriasi nuo ankstesnės tuo, kad logaritmų bazės yra mažesnės už vieną, tačiau tai neturi jokios įtakos sprendimui:
Raskime šaknį ir pakeiskime ją nelygybe:
Gavome neteisingą nelygybę, vadinasi, rasta šaknis netenkina ODZ.
3 pavyzdys – išspręskite lygtį:
Iš pradžių logaritmų pagrindai yra lygūs, turime teisę sulyginti sublogaritmines išraiškas, nepamirškite apie ODZ, nelygybei sudaryti pasirenkame antrą logaritmą:
Raskime šaknį ir pakeiskime ją nelygybe:
Akivaizdu, kad tik pirmoji šaknis tenkina DD.
Logaritminės išraiškos, sprendimų pavyzdžiai. Šiame straipsnyje apžvelgsime problemas, susijusias su logaritmų sprendimu. Užduotyse keliamas klausimas, kaip rasti posakio prasmę. Pažymėtina, kad logaritmo sąvoka naudojama daugelyje užduočių ir jos prasmės supratimas yra nepaprastai svarbus. Kalbant apie vieningą valstybinį egzaminą, logaritmas naudojamas sprendžiant lygtis, in taikomų problemų, taip pat atliekant užduotis, susijusias su funkcijų tyrimu.
Pateiksime pavyzdžių, kad suprastume pačią logaritmo reikšmę:
Pagrindinė logaritminė tapatybė:
Logaritmų savybės, kurias visada reikia atsiminti:
*Produkto logaritmas lygi sumai faktorių logaritmai.
* * *
*dalinio logaritmas (trupmena) lygus skirtumui faktorių logaritmai.
* * *
* Laipsnio logaritmas lygus produktui eksponentas pagal jo bazės logaritmą.
* * *
*Perėjimas prie naujų pamatų
* * *
Daugiau savybių:
* * *
Logaritmų skaičiavimas yra glaudžiai susijęs su eksponentų savybių naudojimu.
Išvardinkime kai kuriuos iš jų:
Esmė šio turto slypi tame, kad perkeliant skaitiklį į vardiklį ir atvirkščiai, rodiklio ženklas pasikeičia į priešingą. Pavyzdžiui:
Šios nuosavybės pasekmė:
* * *
Didinant laipsnį į laipsnį, bazė išlieka ta pati, tačiau rodikliai dauginami.
* * *
Kaip matėte, pati logaritmo sąvoka yra paprasta. Svarbiausia yra tai, ko reikia gera praktika, kuris suteikia tam tikrų įgūdžių. Žinoma, reikia žinoti formules. Jei įgūdis konvertuoti elementarius logaritmus nebuvo išvystytas, tada sprendžiant paprastos užduotys Lengva suklysti.
Praktikuokite, pirmiausia išspręskite paprasčiausius matematikos kurso pavyzdžius, tada pereikite prie sudėtingesnių. Ateityje tikrai parodysiu, kaip sprendžiami „bražūs“ logaritmai, jie nebus rodomi vieningame valstybiniame egzamine, bet jie yra įdomūs, nepraleiskite jų!
Tai viskas! Sėkmės tau!
Pagarbiai, Aleksandras Krutitskichas
P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.
Pasirengimas galutiniam matematikos testui apima svarbų skyrių - „Logaritmai“. Šios temos užduotys būtinai įtrauktos į vieningą valstybinį egzaminą. Pastarųjų metų patirtis rodo, kad logaritminės lygtys sukėlė sunkumų daugeliui moksleivių. Todėl studentai su skirtingi lygiai paruošimas.
Sėkmingai išlaikykite sertifikavimo testą naudodami „Shkolkovo“ švietimo portalą!
Ruošiantis vieningam valstybinis egzaminas abiturientams reikalingas patikimas šaltinis, kuris pateikia išsamiausią ir tiksli informacija už sėkmingą sprendimą bandymo problemos. Tačiau vadovėlis ne visada po ranka, ir ieškoma būtinų taisyklių o formulės internete dažnai užtrunka.
Švietimo portalas „Shkolkovo“ leidžia pasiruošti vieningam valstybiniam egzaminui bet kur ir bet kada. Mūsų svetainė siūlo patogiausią būdą pakartoti ir įsisavinti didelį kiekį informacijos apie logaritmus, taip pat su vienu ir keliais nežinomaisiais. Pradėkite nuo lengvų lygčių. Jei su jais susidorosite be sunkumų, pereikite prie sudėtingesnių. Jei kyla problemų sprendžiant tam tikrą nelygybę, galite įtraukti ją į mėgstamiausius, kad vėliau galėtumėte prie jos grįžti.
Rasti reikalingos formulės Norėdami atlikti užduotį, galite pakartoti specialius standartinės logaritminės lygties šaknies skaičiavimo atvejus ir metodus, peržiūrėję skyrių „Teorinė žinynas“. Školkovo mokytojai surinko, susistemino ir apibūdino viską, ko reikia sėkmingas užbaigimas medžiagas paprasčiausia ir suprantamiausia forma.
Norėdami lengvai susidoroti su bet kokio sudėtingumo užduotimis, mūsų portale galite susipažinti su kai kurių standartinių logaritminių lygčių sprendimu. Norėdami tai padaryti, eikite į skyrių „Katalogai“. Pristatome didelis skaičius pavyzdžiai, įskaitant profilio lygtis Vieningo valstybinio egzamino lygis matematikoje.
Mūsų portalu gali naudotis mokiniai iš visos Rusijos mokyklų. Norėdami pradėti užsiėmimus, tiesiog užsiregistruokite sistemoje ir pradėkite spręsti lygtis. Norėdami konsoliduoti rezultatus, patariame kasdien grįžti į Shkolkovo svetainę.
Logaritminės lygtys. Mes ir toliau svarstome Vieningo valstybinio matematikos egzamino B dalies uždavinius. Kai kurių lygčių sprendimus jau išnagrinėjome straipsniuose „“, „“. Šiame straipsnyje apžvelgsime logaritmines lygtis. Iš karto pasakysiu, kad sprendžiant tokias lygtis vieningo valstybinio egzamino metu nebus jokių sudėtingų transformacijų. Jie yra paprasti.
Pakanka žinoti ir suprasti pagrindinį logaritminį tapatumą, žinoti logaritmo savybes. Atkreipkite dėmesį, kad išsprendę sprendimą PRIVALOTE atlikti patikrinimą – gautą reikšmę pakeiskite į pradinė lygtis ir apskaičiuoti, rezultatas turėtų būti teisinga lygybė.
Apibrėžimas:
Skaičiaus logaritmas iki bazės b yra eksponentas,į kurią b turi būti pakeltas norint gauti a.
Pavyzdžiui:
Log 3 9 = 2, nes 3 2 = 9
Logaritmų savybės:
Ypatingi logaritmų atvejai:
Išspręskime problemas. Pirmajame pavyzdyje atliksime patikrinimą. Ateityje patikrinkite patys.
Raskite lygties šaknį: log 3 (4–x) = 4
Kadangi log b a = x b x = a, tai
3 4 = 4 – x
x = 4–81
x = – 77
Egzaminas:
3 žurnalas (4–(–77)) = 4
log 3 81 = 4
3 4 = 81 Teisingai.
Atsakymas: 77
Spręskite patys:
Raskite lygties šaknį: log 2 (4 – x) = 7
Raskite lygties log 5 šaknį(4 + x) = 2
Mes naudojame pagrindinę logaritminę tapatybę.
Kadangi log a b = x b x = a, tai
5 2 = 4 + x
x =5 2–4
x = 21
Egzaminas:
log 5 (4 + 21) = 2
log 5 25 = 2
5 2 = 25 Teisingai.
Atsakymas: 21
Raskite lygties log 3 (14 – x) šaknį = log 3 5.
Vyksta kitas turtas, jo reikšmė yra tokia: jei kairėje ir dešinėje lygties pusėse turime logaritmus su tuo pačiu pagrindu, tada išraiškas galime sutapatinti su logaritmų ženklais.
14 – x = 5
x=9
Atlikite patikrinimą.
Atsakymas: 9
Spręskite patys:
Raskite lygties šaknį log 5 (5 – x) = log 5 3.
Raskite lygties šaknį: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).
Jei log c a = log c b, tai a = b
x + 3 = 4x – 15
3x = 18
x=6
Atlikite patikrinimą.
Atsakymas: 6
Raskite lygties log 1/8 (13 – x) = – 2 šaknį.
(1/8) –2 = 13 – x
8 2 = 13 – x
x = 13–64
x = – 51
Atlikite patikrinimą.
Nedidelis papildymas – turtas čia naudojamas
laipsnių ().
Atsakymas: 51
Spręskite patys:
Raskite lygties šaknį: log 1/7 (7 – x) = – 2
Raskite lygties šaknį log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.
Transformuokime dešinėje pusėje. Naudokimės turtu:
log a b m = m∙log a b
log 2 (4 – x) = log 2 5 2
Jei log c a = log c b, tai a = b
4 – x = 5 2
4 – x = 25
x = – 21
Atlikite patikrinimą.
Atsakymas: 21
Spręskite patys:
Raskite lygties šaknį: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3
Išspręskite lygtį log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)
Jei log c a = log c b, tai a = b
x 2 + 4x = x 2 + 11
4x = 11
x = 2,75
Atlikite patikrinimą.
Atsakymas: 2,75
Spręskite patys:
Raskite lygties log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) šaknį.
Išspręskite lygtį log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.
Reikalingas su dešinėje pusėje lygtys gauna tokios formos išraišką:
2 žurnalas (......)
Mes atstovaujame 1 kaip bazinį 2 logaritmą:
1 = log 2 2
log c (ab) = log c a + log c b
log 2 (2 – x) = 2 log 2 (2 – 3x) + log 2 2
Mes gauname:
2 žurnalas (2 – x) = 2 log 2 (2 – 3x)
Jei log c a = log c b, tai a = b, tada
2 – x = 4 – 6x
5x = 2
x = 0,4
Atlikite patikrinimą.
Atsakymas: 0,4
Spręskite patys: Toliau reikia apsispręsti kvadratinė lygtis. Beje,
šaknys yra 6 ir – 4.
Šaknis "-4" nėra sprendimas, nes logaritmo pagrindas turi būti didesnis už nulį ir kada "– 4" tai lygu " – 5". Sprendimas yra 6 šaknis.Atlikite patikrinimą.
Atsakymas: 6.
R valgyti savarankiškai:
Išspręskite lygtį log x –5 49 = 2. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakykite mažesne.
Kaip matėte, jokių sudėtingų transformacijų su logaritminėmis lygtimisNr. Pakanka žinoti logaritmo savybes ir mokėti jas taikyti. IN Vieningo valstybinio egzamino problemos susiję su transformacija logaritmines išraiškas, atliekamos rimtesnės transformacijos ir reikalingi gilesni sprendimo įgūdžiai. Mes pažvelgsime į tokius pavyzdžius, nepraleiskite jų!Sėkmės tau!!!
Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.
P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.
