Kaip žinote, dauginant išraiškas su laipsniais, jų rodikliai visada sumuojasi (a b *a c = a b+c). Tai matematinis dėsnis buvo išvestas Archimedo, o vėliau, VIII amžiuje, matematikas Virasenas sukūrė sveikųjų rodiklių lentelę. Būtent jie pasitarnavo tolesniam logaritmų atradimui. Šios funkcijos naudojimo pavyzdžių galima rasti beveik visur, kur reikia supaprastinti sudėtingą daugybą paprastu sudėjimu. Jei skaitydami šį straipsnį skirsite 10 minučių, paaiškinsime, kas yra logaritmai ir kaip su jais dirbti. Paprasta ir prieinama kalba.
Apibrėžimas matematikoje
Logaritmas yra tokios formos išraiška: log a b=c, tai yra bet kurio logaritmas neneigiamas skaičius(ty bet koks teigiamas) „b“ pagal bazę „a“ yra laikomas „c“ laipsniu, iki kurio reikia pakelti bazę „a“, kad galiausiai būtų gauta reikšmė „b“. Išanalizuokime logaritmą naudodami pavyzdžius, tarkime, kad yra išraiška log 2 8. Kaip rasti atsakymą? Tai labai paprasta, reikia rasti tokią galią, kad nuo 2 iki reikiamos galios gautumėte 8. Galvoje atlikę skaičiavimus, gausime skaičių 3! Ir tai tiesa, nes 2 iki 3 laipsnio suteikia atsakymą kaip 8.
Logaritmų tipai
Daugeliui studentų ši tema atrodo sudėtinga ir nesuprantama, tačiau iš tikrųjų logaritmai nėra tokie baisūs, svarbiausia suprasti jų bendrą reikšmę ir prisiminti jų savybes bei kai kurias taisykles. Yra trys atskiros rūšys logaritminės išraiškos:
- Natūralusis logaritmas ln a, kur bazė yra Eulerio skaičius (e = 2,7).
- Dešimtainė a, kur bazė yra 10.
- Bet kurio skaičiaus b logaritmas bazei a>1.
Kiekvienas iš jų yra nuspręstas standartiniu būdu, kuris apima supaprastinimą, sumažinimą ir vėlesnį redukavimą iki vieno logaritmo naudojant logaritmines teoremas. Norėdami gauti teisingas logaritmų reikšmes, spręsdami turėtumėte atsiminti jų savybes ir veiksmų seką.
Taisyklės ir kai kurie apribojimai
Matematikoje yra keletas taisyklių-apribojimų, kurie priimami kaip aksioma, tai yra, jie nėra diskutuojami ir yra tiesa. Pavyzdžiui, neįmanoma skaičių padalyti iš nulio, taip pat neįmanoma išgauti neigiamų skaičių lyginės šaknies. Logaritmai taip pat turi savo taisykles, kurių laikydamiesi galite lengvai išmokti dirbti net su ilgomis ir talpiomis logaritminėmis išraiškomis:
- pagrindas „a“ visada turi būti didesnis už nulį, ir tuo pačiu negali būti lygus 1, kitaip posakis praras savo reikšmę, nes „1“ ir „0“ bet kokiu laipsniu visada yra lygūs jų reikšmėms;
- jei a > 0, tai a b >0, pasirodo, kad „c“ taip pat turi būti didesnis už nulį.
Kaip išspręsti logaritmus?
Pavyzdžiui, pateikiama užduotis rasti atsakymą į lygtį 10 x = 100. Tai labai paprasta, reikia pasirinkti laipsnį, padidinant skaičių dešimt, iki kurio gauname 100. Tai, žinoma, yra 10 2 = 100.
Dabar įsivaizduokime ši išraiška logaritmine forma. Gauname logaritmą 10 100 = 2. Sprendžiant logaritmus visi veiksmai praktiškai susilieja, kad rastų laipsnį, į kurį reikia įvesti logaritmo bazę, norint gauti duotą skaičių.
Norėdami tiksliai nustatyti nežinomo laipsnio reikšmę, turite išmokti dirbti su laipsnių lentele. Tai atrodo taip:
Kaip matote, kai kuriuos eksponentus galima atspėti intuityviai, jei turite techninį protą ir išmanote daugybos lentelę. Tačiau už didelės vertės jums reikės laipsnių lentelės. Ją gali naudoti net tie, kurie nieko nežino apie kompleksą matematines temas. Kairiajame stulpelyje yra skaičiai (bazė a), viršutinė skaičių eilutė yra laipsnio c reikšmė, iki kurios pakeliamas skaičius a. Sankryžoje langeliuose yra skaičių reikšmės, kurios yra atsakymas (a c = b). Paimkime, pavyzdžiui, patį pirmąjį langelį su skaičiumi 10 ir padėkite jį kvadratu, gausime reikšmę 100, kuri yra nurodyta mūsų dviejų langelių sankirtoje. Viskas taip paprasta ir lengva, kad supras net pats tikriausias humanistas!
Lygtys ir nelygybės
Pasirodo, tam tikromis sąlygomis eksponentas yra logaritmas. Todėl bet koks matematinis skaitinės išraiškos galima parašyti kaip logaritminę lygtį. Pavyzdžiui, 3 4 =81 gali būti parašytas kaip 81 bazinis 3 logaritmas, lygus keturiems (log 3 81 = 4). Už neigiamų galių taisyklės tos pačios: 2 -5 = 1/32 rašome kaip logaritmą, gauname log 2 (1/32) = -5. Viena įdomiausių matematikos skyrių yra „logaritmų“ tema. Žemiau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius ir sprendimus, iš karto ištyrę jų savybes. Dabar pažiūrėkime, kaip atrodo nelygybės ir kaip jas atskirti nuo lygčių.
Duota tokios formos išraiška: log 2 (x-1) > 3 – tai yra logaritminė nelygybė, nes nežinoma reikšmė "x" yra po logaritmo ženklu. Taip pat išraiškoje lyginami du dydžiai: norimo skaičiaus logaritmas su baziniu du yra didesnis nei skaičius trys.
Svarbiausias skirtumas tarp logaritminių lygčių ir nelygybių yra tas, kad lygtys su logaritmais (pavyzdžiui, logaritmas 2 x = √9) reiškia vieną ar daugiau konkrečių atsakymų. skaitinės reikšmės, o sprendžiant nelygybės apibrėžiamos kaip regionas priimtinos vertės, ir šios funkcijos lūžio taškai. Todėl atsakymas yra ne paprastas atskirų skaičių rinkinys, kaip lygties atsakyme, o ištisinė skaičių seka arba rinkinys.
Pagrindinės teoremos apie logaritmus
Sprendžiant primityvias logaritmo reikšmių paieškos užduotis, jo savybės gali būti nežinomos. Tačiau kalbant apie logaritmines lygtis ar nelygybes, pirmiausia reikia aiškiai suprasti ir praktiškai pritaikyti visas pagrindines logaritmų savybes. Vėliau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius, pirmiausia pažvelkime į kiekvieną ypatybę išsamiau.
- Pagrindinė tapatybė atrodo taip: a logaB =B. Jis taikomas tik tada, kai a yra didesnis nei 0, nelygus vienetui, o B yra didesnis už nulį.
- Produkto logaritmas gali būti pavaizduotas tokią formulę: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šiuo atveju privaloma sąlyga yra: d, s 1 ir s 2 > 0; a≠1. Galite pateikti šios logaritminės formulės įrodymą su pavyzdžiais ir sprendimu. Tegu log a s 1 = f 1 ir log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Gauname, kad s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ypatybės laipsniai ), o tada pagal apibrėžimą: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ką reikėjo įrodyti.
- Dalinio logaritmas atrodo taip: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema formulės pavidalu įgauna tokią formą: log a q b n = n/q log a b.
Ši formulė vadinama „logaritmo laipsnio savybe“. Tai primena įprastų laipsnių savybes, ir tai nenuostabu, nes visa matematika remiasi natūraliais postulatais. Pažiūrėkime į įrodymą.
Tegu log a b = t, pasirodo a t =b. Jei abi dalis pakelsime laipsniu m: a tn = b n ;
bet kadangi a tn = (a q) nt/q = b n, todėl log a q b n = (n*t)/t, tada log a q b n = n/q log a b. Teorema įrodyta.
Problemų ir nelygybių pavyzdžiai
Dažniausiai pasitaikančios logaritmų problemos yra lygčių ir nelygybių pavyzdžiai. Jie randami beveik visose probleminėse knygose, taip pat yra įtrauktos privalomoji dalis matematikos egzaminus. Dėl stojimo į universitetą arba išlaikymo stojamieji egzaminai matematikoje reikia mokėti teisingai išspręsti tokius uždavinius.
Deja, nėra vieno plano ar schemos, kaip išspręsti ir nustatyti nežinomą logaritmo reikšmę, bet kiekvienam matematinė nelygybė arba galima taikyti logaritminę lygtį tam tikras taisykles. Visų pirma, jūs turėtumėte išsiaiškinti, ar posakis gali būti supaprastintas ar sukelti bendra išvaizda. Supaprastinkite ilgus logaritmines išraiškasįmanoma, jei teisingai naudosite jų savybes. Greitai su jais susipažinkime.
Sprendžiant logaritmines lygtis, turime nustatyti, kokio tipo logaritmą turime: pavyzdinėje išraiškoje gali būti natūralusis logaritmas arba dešimtainis.
Štai pavyzdžiai ln100, ln1026. Jų sprendimas yra susijęs su tuo, kad jiems reikia nustatyti galią, kuriai bazė 10 bus lygi atitinkamai 100 ir 1026. Dėl sprendimų natūralūs logaritmai reikia taikyti logaritmines tapatybes arba jų savybes. Pažvelkime į sprendimą su pavyzdžiais logaritminės problemos skirtingų tipų.
Kaip naudoti logaritmo formules: su pavyzdžiais ir sprendimais
Taigi, pažvelkime į pagrindinių logaritmų teoremų naudojimo pavyzdžius.
- Produkto logaritmo savybė gali būti naudojama atliekant užduotis, kur reikia plėsti puiki vertė skaičius b į paprastesnius veiksnius. Pavyzdžiui, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atsakymas yra 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kaip matote, naudojant ketvirtąją logaritmo galios savybę, mums pavyko išspręsti iš pažiūros sudėtingą ir neišsprendžiamą išraišką. Jums tereikia apskaičiuoti bazę ir išimti eksponentų reikšmes iš logaritmo ženklo.
Vieningo valstybinio egzamino užduotys
Logaritmai dažnai randami stojamieji egzaminai, ypač daug logaritminių problemų vieningo valstybinio egzamino ( valstybinis egzaminas visiems mokyklą baigusiems asmenims). Paprastai šios užduotys pateikiamos ne tik A dalyje (lengviausia bandomoji dalis egzaminas), bet ir C dalyje (sudėtingiausios ir didžiausios užduotys). Egzaminas reikalauja tikslių ir tobulos žinios temos „Natūralūs logaritmai“.
Pavyzdžiai ir problemų sprendimai paimti iš oficialaus Vieningo valstybinio egzamino parinktys. Pažiūrėkime, kaip tokios užduotys sprendžiamos.
Duotas log 2 (2x-1) = 4. Sprendimas:
perrašykime išraišką, šiek tiek supaprastindami log 2 (2x-1) = 2 2, pagal logaritmo apibrėžimą gauname, kad 2x-1 = 2 4, todėl 2x = 17; x = 8,5.
- Geriausia visus logaritmus sumažinti iki vienodo pagrindo, kad sprendimas nebūtų sudėtingas ir painus.
- Visos išraiškos po logaritmo ženklu nurodomos kaip teigiamos, todėl, kai po logaritmo ženklu esančios išraiškos ir jo bazės eksponentas išimamas kaip daugiklis, po logaritmu likusi išraiška turi būti teigiama.
Kas yra logaritmas?
Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)
Kas yra logaritmas? Kaip išspręsti logaritmus? Šie klausimai glumina daugelį abiturientų. Tradiciškai logaritmų tema laikoma sudėtinga, nesuprantama ir bauginančia. Ypač lygtys su logaritmais.
Tai visiškai netiesa. absoliučiai! Netikite manimi? gerai. Dabar vos per 10–20 minučių jūs:
1. Jūs suprasite kas yra logaritmas.
2. Išmokite apsispręsti visa klasė eksponentinės lygtys. Net jei nieko apie juos negirdėjote.
3. Išmokite skaičiuoti paprastus logaritmus.
Be to, tam jums tereikia žinoti daugybos lentelę ir kaip skaičių pakelti į laipsnį...
Jaučiu, kad tau kyla abejonių... Na, gerai, pažymėk laiką! einam!
Pirmiausia savo galvoje išspręskite šią lygtį:
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
log a r b r =log a b arba log a b= log a r b r
Logaritmo reikšmė nepasikeis, jei logaritmo bazė ir skaičius po logaritmo ženklu bus padidintos iki vienodos laipsnio.
Po logaritmo ženklu gali būti tik teigiami skaičiai, o logaritmo bazė nėra lygi vienetui.
Pavyzdžiai.
1) Palyginkite log 3 9 ir log 9 81.
log 3 9=2, nes 3 2 =9;
log 9 81=2, nes 9 2 =81.
Taigi log 3 9 = log 9 81.
Atkreipkite dėmesį, kad antrojo logaritmo pagrindas yra lygus pirmojo logaritmo pagrindo kvadratui: 9=3 2, o skaičius po antrojo logaritmo ženklu yra lygus skaičiaus po pirmojo logaritmo ženklu kvadratui logaritmas: 81 = 9 2. Pasirodo, kad ir pirmojo logaritmo log 3 9 skaičius, ir bazė buvo pakelti į antrą laipsnį, o logaritmo reikšmė nuo to nepasikeitė:
Kitas, nuo šaknies ištraukimo n laipsnis iš tarpo A yra skaičiaus didinimas A iki laipsnio ( 1/n), tada iš log 9 81 galite gauti log 3 9, paėmę skaičiaus kvadratinę šaknį ir iš logaritmo pagrindo:
2) Patikrinti lygybę: log 4 25=log 0,5 0,2.
Pažvelkime į pirmąjį logaritmą. Ištraukime kvadratinė šaknis nuo pagrindo 4 ir iš tarpo 25 ; gauname: log 4 25=log 2 5.
Pažvelkime į antrąjį logaritmą. Logaritmo bazė: 0,5 = 1/2. Skaičius po šio logaritmo ženklu: 0,2= 1/5. Padidinkime kiekvieną iš šių skaičių iki minuso pirmojo laipsnio:
0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;
0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.
Taigi log 0,5 0,2 = log 2 5. Išvada: ši lygybė yra tiesa.
Išspręskite lygtį:
log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Sumažinkime logaritmus iš kairės į pagrindą 2 .
log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Paimkite kvadratinę šaknį iš skaičiaus ir pirmojo logaritmo pagrindo. Ištraukite ketvirtąją skaičiaus šaknį ir antrojo logaritmo pagrindą.
log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Konvertuokite logaritmų sumą į sandaugos logaritmą.
3x2 =5x+2. Gauta po stiprinimo.
3x 2 -5x-2 = 0. Nuspręskime kvadratinė lygtis Autorius bendroji formulė Norėdami gauti visą kvadratinę lygtį:
a=3, b=-5, c=-2.
D=b 2 –4ac=(-5) 2 –4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 tikros šaknys.
Apžiūra.
x=2.
log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);
log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;
log 2 (4∙3) = log 2 12;
log 2 12=log 2 12;
log a n b=(1/
n)∙
log a b
Skaičiaus logaritmas b remiantis a n lygus produktui trupmenomis 1/ n iki skaičiaus logaritmo b remiantis a.
Rasti:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30 log 32 3∙log 125 2 , jei tai žinoma log 2 3=b,log 5 2=c.
Sprendimas.
Išspręskite lygtis:
1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.
Sprendimas.
Sumažinkime šiuos logaritmus iki 2 bazės. Taikykite formulę: log a n b=(1/ n)∙ log a b
log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;
log 2 x+0.5log 2 x+0.25log 2 x=5.25. Čia yra panašūs terminai:
(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;
1,75 log 2 x=5,25 |:1,75
žurnalas 2 x=3. Pagal logaritmo apibrėžimą:
2) 0,5log 4 (x-2) + log 16 (x-3) = 0,25.
Sprendimas. Paverskime logaritmą iš 16 į bazę 4.
0,5 log 4 (x-2) + 0,5 log 4 (x-3) = 0,25 |: 0,5
log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Paverskime logaritmų sumą sandaugos logaritmu.
log 4 ((x-2) (x-3)) = 0,5;
log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;
log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Pagal logaritmo apibrėžimą:
x 2 -5x+4=0. Pagal Vietos teoremą:
x 1 = 1; x 2 =4. Pirmoji x reikšmė neveiks, nes esant x = 1 šios lygybės logaritmai neegzistuoja, nes Po logaritmo ženklu gali būti tik teigiami skaičiai.
Patikrinkim duota lygtis ties x=4.
Apžiūra.
0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3) = 0,25
0,5log 4 2+log 16 1=0,25
0,5∙0,5+0=0,25
log a b=log c b/log c a
Skaičiaus logaritmas b remiantis A lygus logaritmui skaičių b nauju pagrindu Su, padalintas iš senojo pagrindo logaritmo A nauju pagrindu Su.
Pavyzdžiai:
1) log 2 3=lg3/lg2;
2) log 8 7=ln7/ln8.
Apskaičiuokite:
1) žurnalas 5 7, jei tai žinoma lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.
c b / žurnalas c a.
log 5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.
Atsakymas: žurnalas 5 7≈1,209 0≈1,209 .
2) žurnalas 5 7 , jei tai žinoma ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.
Sprendimas. Taikykite formulę: log a b =log c b / žurnalas c a.
log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.
Atsakymas: žurnalas 5 7≈1,209 1≈1,209 .
Rasti x:
1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.
Mes naudojame formulę: log c b / žurnalas c a = log a b . Mes gauname:
log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;
log 3 x=log 3 (4∙6∙8);
log 3 x=log 3 192;
x=192 .
2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.
Mes naudojame formulę: log c b / žurnalas c a = log a b . Mes gauname:
log 7 x=lg143-lg11-lg13;
log 7 x=lg143- (lg11+lg13);
log 7 x=lg143-lg (11∙13);
log 7 x=lg143-lg143;
x=1.
1 puslapis iš 1 1
Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų surinkta asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš valdžios organai Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
