) yra skaičiai su teigiamu arba neigiamu ženklu (sveikieji skaičiai ir trupmenos) ir nulis. Tikslesnė racionaliųjų skaičių sąvoka skamba taip:
Racionalus skaičius- pavaizduotas skaičius paprastoji trupmena m/n, kur skaitiklis m yra sveikieji skaičiai ir vardiklis n- natūraliuosius skaičius, pavyzdžiui 2/3.
Begalinis neperiodinės trupmenos NEĮtrauktas į racionalių skaičių rinkinį.
a/b, Kur a∈ Z (a priklauso sveikiesiems skaičiams), b∈ N (b priklauso natūraliems skaičiams).
Racionalių skaičių naudojimas realiame gyvenime.
IN tikras gyvenimas racionaliųjų skaičių aibė naudojama skaičiuojant kai kurių sveikųjų skaičių dalijamų objektų dalis, Pavyzdžiui, pyragaičiai ar kiti maisto produktai, kurie prieš vartojimą supjaustomi į gabalus arba apytiksliai įvertinti išplėstų objektų erdvinius ryšius.
Racionaliųjų skaičių savybės.
Pagrindinės racionaliųjų skaičių savybės.
1. Tvarkingumas a Ir b yra taisyklė, leidžianti vienareikšmiškai nustatyti 1 ir tik vieną iš 3 santykių tarp jų: “<», «>" arba "=". Tai yra taisyklė - užsakymo taisyklė ir suformuluokite taip:
- 2 teigiami skaičiai a=m a /n a Ir b=mb/nb yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip ir 2 sveikieji skaičiai m a⋅ n b Ir m b⋅ n a;
- 2 neigiami skaičiai a Ir b yra susiję tokiu pačiu santykiu kaip ir 2 teigiami skaičiai |b| Ir |a|;
- Kada a teigiamas ir b- Tada neigiamai a>b.
∀ a, b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)
2. Papildymo operacija. Visiems racionaliems skaičiams a Ir b Yra sumavimo taisyklė, kuris susieja juos su tam tikru racionaliu skaičiumi c. Tuo pačiu ir pats skaičius c- Tai suma skaičių a Ir b ir jis žymimas kaip (a+b) sumavimas.
Sumavimo taisyklė atrodo taip:
m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).
∀ a, b∈ K∃ !(a+b)∈ K
3. Daugybos operacija. Visiems racionaliems skaičiams a Ir b Yra daugybos taisyklė, susieja juos su tam tikru racionaliu skaičiumi c. Iškviečiamas skaičius c dirbti skaičių a Ir b ir žymėti (a⋅b), ir iškviečiamas šio numerio radimo procesas daugyba.
Daugybos taisyklė atrodo taip: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.
∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q
4. Užsakymo santykio tranzityvumas. Bet kokiems trims racionaliesiems skaičiams a, b Ir c Jeigu a mažiau b Ir b mažiau c, Tai a mažiau c, o jei a lygus b Ir b lygus c, Tai a lygus c.
∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)
5. Sudėjimo komutaciškumas. Pakeitus racionaliųjų terminų vietas, suma nekeičiama.
∀ a, b∈ Q a+b=b+a
6. Papildymo asociatyvumas. 3 racionalių skaičių pridėjimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)
7. Nulio buvimas. Yra racionalusis skaičius 0, jis išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių pridėjus.
∃ 0 ∈ K∀ a∈ Q a+0=a
8. Priešingų skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi priešingą racionalųjį skaičių, o juos sudėjus gaunamas 0.
∀ a∈ K∃ (-a)∈ Q a+(−a)=0
9. Daugybos komutaciškumas. Pakeitus racionalių veiksnių vietas, produktas nekeičiamas.
∀ a, b∈ Qa⋅ b=b⋅ a
10. Daugybos asociatyvumas. 3 racionalių skaičių padauginimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)
11. Vieneto prieinamumas. Yra racionalusis skaičius 1, jis daugybos procese išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių.
∃ 1 ∈ K∀ a∈ Qa⋅ 1=a
12. Prieinamumas abipusiai skaičiai . Kiekvienas racionalusis skaičius, išskyrus nulį, turi atvirkštinį racionalųjį skaičių, padauginus iš kurio gauname 1 .
∀ a∈ K∃ a−1∈ Qa⋅ a−1=1
13. Daugybos pasiskirstymas sudėjimo atžvilgiu. Daugybos operacija yra susijusi su sudėjimu naudojant paskirstymo dėsnį:
∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c
14. Ryšys tarp užsakymo santykio ir pridėjimo operacijos. Į kairę ir dešinėje pusėje racionalioji nelygybė pridėkite tą patį racionalųjį skaičių.
∀ a,b,c∈ Qa ⇒ a+c
15. Ryšys tarp eilės santykio ir daugybos operacijos. Racionaliosios nelygybės kairę ir dešinę puses galima padauginti iš to paties neneigiamo racionalaus skaičiaus.
∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c
16. Archimedo aksioma. Kad ir koks būtų racionalus skaičius a, nesunku paimti tiek vienetų, kad jų suma būtų didesnė a.
Šioje pamokoje prisiminsime pagrindines operacijų su skaičiais savybes. Apžvelgsime ne tik pagrindines savybes, bet ir išmoksime jas pritaikyti racionaliesiems skaičiams. Visas įgytas žinias įtvirtinsime spręsdami pavyzdžius.
Pagrindinės operacijų su skaičiais savybės:
Pirmosios dvi savybės yra sudėjimo savybės, kitos dvi yra daugybos savybės. Penktoji savybė taikoma abiem operacijoms.
Šiose nuosavybėse nėra nieko naujo. Jie galiojo tiek natūraliems, tiek sveikiesiems skaičiams. Jie taip pat galioja racionaliesiems skaičiams ir bus teisingi skaičiams, kuriuos tyrinėsime toliau (pavyzdžiui, neracionaliesiems skaičiams).
Permutacijos savybės:
Terminų ar veiksnių pertvarkymas rezultato nekeičia.
Derinio savybės:, .
Kelių skaičių sudėti arba dauginti galima bet kokia tvarka.
Platinimo turtas:.
Savybė jungia abi operacijas – sudėtį ir daugybą. Be to, jei skaitote iš kairės į dešinę, tai vadinama skliaustų atidarymo taisykle, o jei į atvirkštinė pusė- sprendimo taisyklė bendras daugiklis iš skliaustų.
Toliau pateikiamos dvi savybės neutralūs elementai sudėjimui ir dauginimui: pridėjus nulį ir padauginus iš vieneto, pradinis skaičius nekeičiamas.
Dar dvi savybės, kurios apibūdina simetriški elementai sudėjus ir dauginant priešingų skaičių suma lygi nuliui; grįžtamųjų skaičių sandauga lygi vienetui.
Kitas turtas: . Jei skaičius padauginamas iš nulio, rezultatas visada bus nulis.
Paskutinė nuosavybė, kurią apžvelgsime, yra: .
Padauginus skaičių iš , gauname priešingas skaičius. Šis turtas turi ypatingą savybę. Visų kitų nagrinėjamų savybių nepavyko įrodyti naudojant kitas. Tą pačią savybę galima įrodyti naudojant ankstesnes.
Padauginus iš
Įrodykime, kad jei skaičių padauginsime iš , gausime priešingą skaičių. Tam naudojame paskirstymo savybę: .
Tai galioja bet kokiems skaičiams. Pakeiskime ir vietoj skaičiaus:
Kairėje skliausteliuose yra viena kitai priešingų skaičių suma. Jų suma lygi nuliui (turime tokią savybę). Dabar kairėje. Dešinėje gauname: 
.
Dabar kairėje yra nulis, o dešinėje - dviejų skaičių suma. Bet jei dviejų skaičių suma lygi nuliui, tai šie skaičiai yra priešingi. Tačiau skaičius turi tik vieną priešingą skaičių: . Taigi, štai kas tai yra: .
Turtas įrodytas.
Tokia savybė, kurią galima įrodyti naudojant ankstesnes savybes, vadinama teorema
Kodėl čia nėra atimties ir dalybos savybių? Pavyzdžiui, atimti galima parašyti paskirstymo savybę: .
Bet kadangi:
- Bet kurio skaičiaus atėmimas gali būti lygiavertis parašytas kaip sudėjimas, skaičių pakeičiant jo priešingumu:
- Padalinys gali būti parašytas kaip daugyba iš jo abipusio skaičiaus:
Tai reiškia, kad sudėjimo ir daugybos savybės gali būti taikomos atimti ir dalyti. Dėl to savybių, kurias reikia atsiminti, sąrašas yra trumpesnis.
Visos mūsų nagrinėjamos savybės nėra išskirtinai racionaliųjų skaičių savybės. Kiti skaičiai, pavyzdžiui, neracionalūs, taip pat paklūsta visoms šioms taisyklėms. Pavyzdžiui, jo priešingo skaičiaus suma lygi nuliui: .
Dabar pereisime prie praktinės dalies, spręsdami kelis pavyzdžius.
Racionalūs skaičiai gyvenime
Vadinamos tos objektų savybės, kurias galime apibūdinti kiekybiškai, pažymėti kokiu nors skaičiumi vertybes: ilgis, svoris, temperatūra, kiekis.
Tas pats dydis gali būti žymimas sveikuoju ir trupmeniniu skaičiumi, teigiamu arba neigiamu.
Pavyzdžiui, jūsų ūgis yra m - trupmeninis skaičius. Bet galime sakyti, kad jis lygus cm – tai jau sveikas skaičius (1 pav.).
Ryžiai. 1. Pavyzdžiui, iliustracija
Kitas pavyzdys. Neigiama temperatūra Celsijaus skalėje bus teigiama Kelvino skalėje (2 pav.).
Ryžiai. 2. Pavyzdžiui, iliustracija
Statydamas namo sieną vienas žmogus gali išmatuoti plotį ir aukštį metrais. Jis gamina trupmeninius kiekius. Jis atliks visus tolesnius skaičiavimus su trupmeniniais (racionaliais) skaičiais. Kitas žmogus gali viską išmatuoti plytų skaičiumi pločio ir aukščio. Gavęs tik sveikųjų skaičių reikšmes, jis atliks skaičiavimus su sveikaisiais skaičiais.
Patys kiekiai nėra nei sveikieji, nei trupmeniniai, nei neigiami, nei teigiami. Tačiau skaičius, kuriuo apibūdiname kiekio reikšmę, jau yra gana konkretus (pavyzdžiui, neigiamas ir trupmeninis). Tai priklauso nuo matavimo skalės. Ir kai pereiname nuo tikrų vertybių prie matematinis modelis, tada dirbame su tam tikro tipo skaičiais
Pradėkime nuo papildymo. Terminus galima pertvarkyti bet kokiu mums patogiu būdu, o veiksmus atlikti bet kokia tvarka. Jei skirtingų ženklų terminai baigiasi tuo pačiu skaitmeniu, tada patogu pirmiausia atlikti operacijas su jais. Norėdami tai padaryti, pakeiskime sąlygas. Pavyzdžiui:
Bendrosios trupmenos su tie patys vardikliai lengva sulankstyti.
Priešingi skaičiai sudaro nulį. Skaičius su tomis pačiomis dešimtainėmis uodegomis lengva atimti. Naudodami šias savybes, taip pat komutacinį sudėjimo dėsnį, galite lengviau apskaičiuoti, pavyzdžiui, šios išraiškos vertę:
Skaičius su papildomomis dešimtainėmis uodegomis pridėti nesunku. Su visa ir trupmeninėmis dalimis mišrūs skaičiai patogu dirbti atskirai. Mes naudojame šias savybes apskaičiuodami šios išraiškos reikšmę:
Pereikime prie daugybos. Yra skaičių porų, kurias lengva padauginti. Naudodami komutuojamąją savybę, galite pertvarkyti veiksnius taip, kad jie būtų greta. Iš karto galima suskaičiuoti gaminio minusų skaičių ir padaryti išvadą apie rezultato ženklą.
Apsvarstykite šį pavyzdį:
Jei nuo veiksnių lygus nuliui, tada sandauga lygi nuliui, pavyzdžiui: .
Atvirkštinių skaičių sandauga lygi vienetui, o padauginus iš vieno sandaugos vertės nekeičiama. Apsvarstykite šį pavyzdį:
Pažvelkime į naudojimo pavyzdį paskirstymo nuosavybė. Jei atidarysite skliaustus, kiekvienas dauginimas yra lengvas.
TIKRAI SKAIČIAI II
§ 36 Veiksmai baigti racionalūs skaičiai
Kaip žinote, dvi frakcijos m / n Ir k / l yra lygūs, tai yra, jie reiškia tą patį racionalųjį skaičių, jei ir tik tada ml = nk .
Pavyzdžiui, 1/3 = 2/6, nes 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14, nes (-5) (- 14) = 7 10; 0 / 1 = 0 / 5, nes 0 5 = 1 0 ir kt.
Akivaizdu, kad bet koks sveikasis skaičius r , nelygu 0,
: m / n = m r / n r
Tai išplaukia iš akivaizdžios lygybės T (n r ) = n (T r ). Todėl bet kurį racionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip dviejų skaičių santykį begalinis skaičius būdais. Pavyzdžiui,
5 = 5 / 1 = -10 / -2 = 15 / 3 ir tt
1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 ir tt
0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 ir tt
Visų racionaliųjų skaičių aibėje įmanomos sudėties, daugybos, atimties ir dalybos operacijos (išskyrus dalijimą iš nulio). Prisiminkime, kaip šie veiksmai nustatomi.
Dviejų racionalių skaičių suma m / n Ir k / l nustatoma pagal formulę:
Dviejų racionaliųjų skaičių sandauga m / n Ir k / l nustatoma pagal formulę:
m / n k / l = mk / nl (2)
Kadangi tą patį racionalųjį skaičių galima užrašyti keliais būdais (pvz., 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = ...), reikėtų parodyti, kad racionaliųjų skaičių suma ir sandauga nepriklauso nuo kaip rašomi terminai ar veiksniai. Pavyzdžiui,
1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6
ir tt Tačiau šių klausimų svarstymas nepatenka į mūsų programos taikymo sritį.
Sudedant ir dauginant racionalius skaičius, laikomasi šių pagrindinių dėsnių:
1) komutacinės(arba komutacinis) sudėjimo dėsnis
m / n + k / l = k / l + m / n
2) asociatyvus(arba asociatyvinis) sudėjimo dėsnis:
( m / n + k / l ) + p / q = m / n + ( k / l + p / q )
3) komutacinės(arba komutacinis) daugybos dėsnis:
m / n k / l = k / l m / n
4) asociatyvus(arba asociatyvinis) daugybos dėsnis:
( m / n k / l ) p / q = m / n ( k / l p / q )
5) paskirstymo(arba paskirstymo) daugybos dėsnis, susijęs su sudėjimu:
( m / n + k / l ) p / q = m / n p / q + k / l p / q
Sudėjimas ir daugyba yra pagrindiniai dalykai algebrinės operacijos. Kalbant apie atimtį ir padalijimą, šie veiksmai apibrėžiami kaip atvirkštiniai sudėjimo ir daugybos veiksmai.
Dviejų racionaliųjų skaičių skirtumas m / n Ir k / l vadinamas šiuo numeriu X , kuri yra iš viso su k / l duoda m / n . Kitaip tariant, skirtumas m / n - k / l
k / l + x = m / n
Galima įrodyti, kad tokia lygtis visada turi šaknį ir tik vieną:
Taigi, dviejų skaičių skirtumas m / n Ir k / l randama pagal formulę:
Jei skaičiai m / n Ir k / l yra lygūs vienas kitam, tada jų skirtumas tampa lygus nuliui; jei šie skaičiai nėra lygūs vienas kitam, tai jų skirtumas yra teigiamas arba neigiamas. At m / n - k / l Sakoma, kad > 0 yra skaičius m / n daugiau numerio k / l ; jeigu m / n - k / l < 0, то говорят, что число m / n mažesnis skaičius k / l .
Racionaliojo skaičiaus koeficientas m/ n pagal racionalųjį skaičių k/ l vadinamas šiuo numeriu X, kuris gaminyje su k/ l duoda m/ n . Kitaip tariant, privatus m/ n : k/ l apibrėžiamas kaip lygties šaknis
k/ l X = m/ n .
Jeigu k/ l =/= 0, tada duota lygtis turi vieną šaknį
X = ml/ nk
Jeigu k/ l = 0, tada ši lygtis arba iš viso neturi šaknų (for m/ n =/= 0), arba turi be galo daug šaknų (su m/ n = 0). Kad padalijimo operacija būtų vienareikšmiškai įmanoma, sutinkame iš viso nesvarstyti dalybos iš nulio. Taigi, dalijant racionalųjį skaičių m/ n pagal racionalųjį skaičių k/ l visada apibrėžiamas nebent k/ l =/= 0. Tuo pačiu
m/ n : k/ l = ml/ nk
Pratimai
295. Apskaičiuokite daugiausia racionaliu būdu ir nurodyti, kokie veiksmų dėsniai turi būti taikomi;
a) (5 1/12 - 3 1/4) 24; c) (333 1/3 4) (3/125 1/16) .
b) (1/10 – 3 1/2) + 9/10
Šioje pamokoje prisiminsime pagrindines operacijų su skaičiais savybes. Apžvelgsime ne tik pagrindines savybes, bet ir išmoksime jas pritaikyti racionaliesiems skaičiams. Visas įgytas žinias įtvirtinsime spręsdami pavyzdžius.
Pagrindinės operacijų su skaičiais savybės:
Pirmosios dvi savybės yra sudėjimo savybės, kitos dvi yra daugybos savybės. Penktoji savybė taikoma abiem operacijoms.
Šiose nuosavybėse nėra nieko naujo. Jie galiojo tiek natūraliems, tiek sveikiesiems skaičiams. Jie taip pat galioja racionaliesiems skaičiams ir bus teisingi skaičiams, kuriuos tyrinėsime toliau (pavyzdžiui, neracionaliesiems skaičiams).
Permutacijos savybės:
Terminų ar veiksnių pertvarkymas rezultato nekeičia.
Derinio savybės:, .
Kelių skaičių sudėti arba dauginti galima bet kokia tvarka.
Platinimo turtas:.
Savybė jungia abi operacijas – sudėtį ir daugybą. Be to, jei skaitote iš kairės į dešinę, tai vadinama skliaustų atidarymo taisykle, o jei priešinga kryptimi, tai vadinama bendrojo koeficiento išdėstymo iš skliaustų taisykle.
Toliau pateikiamos dvi savybės neutralūs elementai sudėjimui ir dauginimui: pridėjus nulį ir padauginus iš vieneto, pradinis skaičius nekeičiamas.
Dar dvi savybės, kurios apibūdina simetriški elementai sudėjus ir dauginant priešingų skaičių suma lygi nuliui; grįžtamųjų skaičių sandauga lygi vienetui.
Kitas turtas: . Jei skaičius padauginamas iš nulio, rezultatas visada bus nulis.
Paskutinė nuosavybė, kurią apžvelgsime, yra: .
Padauginus skaičių iš , gauname priešingą skaičių. Šis turtas turi ypatingą savybę. Visų kitų nagrinėjamų savybių nepavyko įrodyti naudojant kitas. Tą pačią savybę galima įrodyti naudojant ankstesnes.
Padauginus iš
Įrodykime, kad jei skaičių padauginsime iš , gausime priešingą skaičių. Tam naudojame paskirstymo savybę: .
Tai galioja bet kokiems skaičiams. Pakeiskime ir vietoj skaičiaus:
Kairėje skliausteliuose yra viena kitai priešingų skaičių suma. Jų suma lygi nuliui (turime tokią savybę). Dabar kairėje. Dešinėje gauname: .
Dabar kairėje yra nulis, o dešinėje - dviejų skaičių suma. Bet jei dviejų skaičių suma lygi nuliui, tai šie skaičiai yra priešingi. Tačiau skaičius turi tik vieną priešingą skaičių: . Taigi, štai kas tai yra: .
Turtas įrodytas.
Tokia savybė, kurią galima įrodyti naudojant ankstesnes savybes, vadinama teorema
Kodėl čia nėra atimties ir dalybos savybių? Pavyzdžiui, atimti galima parašyti paskirstymo savybę: .
Bet kadangi:
- Bet kurio skaičiaus atėmimas gali būti lygiavertis parašytas kaip sudėjimas, skaičių pakeičiant jo priešingumu:
- Padalinys gali būti parašytas kaip daugyba iš jo abipusio skaičiaus:
Tai reiškia, kad sudėjimo ir daugybos savybės gali būti taikomos atimti ir dalyti. Dėl to savybių, kurias reikia atsiminti, sąrašas yra trumpesnis.
Visos mūsų nagrinėjamos savybės nėra išskirtinai racionaliųjų skaičių savybės. Kiti skaičiai, pavyzdžiui, neracionalūs, taip pat paklūsta visoms šioms taisyklėms. Pavyzdžiui, jo priešingo skaičiaus suma lygi nuliui: .
Dabar pereisime prie praktinės dalies, spręsdami kelis pavyzdžius.
Racionalūs skaičiai gyvenime
Vadinamos tos objektų savybės, kurias galime apibūdinti kiekybiškai, pažymėti kokiu nors skaičiumi vertybes: ilgis, svoris, temperatūra, kiekis.
Tas pats dydis gali būti žymimas sveikuoju ir trupmeniniu skaičiumi, teigiamu arba neigiamu.
Pavyzdžiui, jūsų ūgis m yra trupmeninis skaičius. Bet galime sakyti, kad jis lygus cm – tai jau sveikas skaičius (1 pav.).
Ryžiai. 1. Pavyzdžiui, iliustracija
Kitas pavyzdys. Neigiama temperatūra Celsijaus skalėje bus teigiama Kelvino skalėje (2 pav.).
Ryžiai. 2. Pavyzdžiui, iliustracija
Statydamas namo sieną vienas žmogus gali išmatuoti plotį ir aukštį metrais. Jis gamina trupmeninius kiekius. Jis atliks visus tolesnius skaičiavimus su trupmeniniais (racionaliais) skaičiais. Kitas žmogus gali viską išmatuoti plytų skaičiumi pločio ir aukščio. Gavęs tik sveikųjų skaičių reikšmes, jis atliks skaičiavimus su sveikaisiais skaičiais.
Patys kiekiai nėra nei sveikieji, nei trupmeniniai, nei neigiami, nei teigiami. Tačiau skaičius, kuriuo apibūdiname kiekio reikšmę, jau yra gana konkretus (pavyzdžiui, neigiamas ir trupmeninis). Tai priklauso nuo matavimo skalės. O kai pereiname nuo realių dydžių prie matematinio modelio, dirbame su tam tikro tipo skaičiais
Pradėkime nuo papildymo. Terminus galima pertvarkyti bet kokiu mums patogiu būdu, o veiksmus atlikti bet kokia tvarka. Jei skirtingų ženklų terminai baigiasi tuo pačiu skaitmeniu, tada patogu pirmiausia atlikti operacijas su jais. Norėdami tai padaryti, pakeiskime sąlygas. Pavyzdžiui:
Lengva pridėti bendrąsias trupmenas su panašiais vardikliais.
Priešingi skaičiai sudaro nulį. Skaičius su tomis pačiomis dešimtainėmis uodegomis lengva atimti. Naudodami šias savybes, taip pat komutacinį sudėjimo dėsnį, galite lengviau apskaičiuoti, pavyzdžiui, šios išraiškos vertę:
Skaičius su papildomomis dešimtainėmis uodegomis pridėti nesunku. Patogu atskirai dirbti su mišrių skaičių sveikosiomis ir trupmeninėmis dalimis. Mes naudojame šias savybes apskaičiuodami šios išraiškos reikšmę:
Pereikime prie daugybos. Yra skaičių porų, kurias lengva padauginti. Naudodami komutuojamąją savybę, galite pertvarkyti veiksnius taip, kad jie būtų greta. Iš karto galima suskaičiuoti gaminio minusų skaičių ir padaryti išvadą apie rezultato ženklą.
Apsvarstykite šį pavyzdį:
Jei vienas iš veiksnių yra lygus nuliui, sandauga lygi nuliui, pavyzdžiui: .
Atvirkštinių skaičių sandauga lygi vienetui, o padauginus iš vieno sandaugos vertės nekeičiama. Apsvarstykite šį pavyzdį:
Pažiūrėkime į pavyzdį naudojant paskirstymo ypatybę. Jei atidarysite skliaustus, kiekvienas dauginimas yra lengvas.
