Naudojant sinusų teoremą. Kosinuso teorema

Sukonstruokime savavališką trikampį, įrašytą į apskritimą. Pažymėkime jį kaip ABC.
Norint įrodyti visą teoremą, kadangi trikampio matmenys parenkami savavališkai, pakanka įrodyti, kad vieneto santykis savavališka pusėį priešingą kampą lygus 2R. Tegul 2R = a / sin α, tai yra, jei iš brėžinio paimsime 2R = BC / sin A.

Apskaičiuokime apibrėžtojo apskritimo skersmenį BD. Gautas trikampis BCD yra stačiakampis, nes jo hipotenuzė yra ant apibrėžto apskritimo skersmens (į apskritimą įbrėžtų kampų savybė).

Kadangi kampai, įrašyti į apskritimą, pagrįstą tuo pačiu lanku, yra lygūs, kampas CDB yra arba lygus kampui CAB (jei taškai A ir D yra toje pačioje linijos BC pusėje) arba lygūs π - CAB (kitaip).

Pereikime prie trigonometrinių funkcijų savybių. Kadangi sin(π − α) = sin α, nurodytos trikampio sudarymo parinktys vis tiek lems tą patį rezultatą.

Apskaičiuokime reikšmę 2R = a / sin α, pagal brėžinį 2R = BC / sin A. Norėdami tai padaryti, pakeiskite sin A atitinkamų kraštinių santykiu stačiakampis trikampis.

2R = BC / nuodėmė A
2R = BC / (BC / DB)
2R = DB

Ir kadangi DB buvo sudarytas kaip apskritimo skersmuo, tada lygybė yra įvykdyta.
Pakartodami tuos pačius argumentus kitoms dviem trikampio kraštinėms, gauname:

Sinuso teorema įrodyta.

Sinusų teorema

Pastaba. Tai dalis pamokos su geometrijos problemomis (sinusų atkarpos teorema). Jei jums reikia išspręsti geometrijos problemą, kurios čia nėra, parašykite apie tai forume. Užduotyse vietoj simbolio "kvadratinė šaknis" naudojama funkcija sqrt(), kurioje sqrt yra simbolis kvadratinė šaknis, o radikali išraiška nurodyta skliausteliuose.

Sinusų teorema:
Trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams arba, išplėstoje formuluotėje:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
kur R yra apibrėžtojo apskritimo spindulys

Dėl teorijos - teoremos formulavimo ir įrodymo, išsamiai žiūrėkite skyriuje "Sinesų teorema" .

Užduotis

Trikampyje XYZ kampas X=30, kampas Z=15. Statmenas YQ padalija XZ į dalis XQ ir QZ Raskite XY, jei QZ = 1,5 m

Sprendimas.
Aukštis sudarė du stačiuosius trikampius XYQ ir ZYQ.
Norėdami išspręsti problemą, naudosime sinusų teoremą.
QZ / nuodėmė (QYZ) = QY / nuodėmė (QZY)

QZY = 15 laipsnių, atitinkamai, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

Kadangi dabar žinomas trikampio aukščio ilgis, XY rasime naudodami tą pačią sinusų teoremą.

QY / nuodėmė (30) = XY / nuodėmė (90)

Atsižvelgkime į lentelės reikšmės kai kurios trigonometrinės funkcijos:

30 laipsnių sinusas yra lygus sin(30) = 1/2
90 laipsnių sinusas yra lygus sin(90) = 1

QY = XY sin (30)
3/2 (√3 – 1) / (√3 + 1) = 1/2 XY
XY = 3 (√3 – 1) / (√3 + 1) ≈ 0,8 m

Atsakymas: 0,8 m arba 3 (√3 – 1) / (√3 + 1)

Sinusų teorema (2 dalis)

Pastaba. Tai dalis pamokos su geometrijos problemomis (sinusų atkarpos teorema). Jei reikia išspręsti geometrijos problemą, kurios čia nėra, parašykite apie tai forume .

Išsamiai žiūrėkite teoriją skyriuje „Sinesų teorema“ .

Užduotis

Pusė AB trikampis ABC lygus 16 cm. Kampas A yra 30 laipsnių. Kampas B yra 105 laipsniai. Apskaičiuokite kraštinės BC ilgį.

Sprendimas.
Pagal sinusų dėsnį trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ

Taigi
BC / sin α = AB / sin γ

Kampo C dydį randame remdamiesi tuo, kad trikampio kampų suma lygi 180 laipsnių.
C = 180 - 30 -105 = 45 laipsniai.

Kur:
BC / sin 30° = 16 / sin 45°

BC = 16 sin 30° / sin 45°

Remdamiesi trigonometrinių funkcijų lentele, randame:

BC = (16 * 1 / 2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11,3 cm

Atsakymas: 16 / √2

Užduotis.
Trikampyje ABC kampas A = α, kampas C = β, BC = 7cm, BN yra trikampio aukštis.
Raskite AN

Šiame straipsnyje yra sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų lentelės. Pirmiausia pateiksime trigonometrinių funkcijų pagrindinių verčių lentelę, tai yra 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 laipsnių kampų sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų lentelę ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radianas). Po to pateiksime sinusų ir kosinusų lentelę, taip pat V. M. Bradiso liestinių ir kotangentų lentelę ir parodysime, kaip naudoti šias lenteles ieškant trigonometrinių funkcijų reikšmių.

Puslapio naršymas.

Sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų lentelė 0, 30, 45, 60, 90, ... laipsnių kampams

Nuorodos.

Algebra: Vadovėlis 9 klasei. vid. mokykla/Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova; Red. S. A. Telyakovsky - M.: Išsilavinimas, 1990. - 272 p.: ISBN 5-09-002727-7
Bašmakovas M. I. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis. 10-11 klasėms. vid. mokykla - 3 leidimas. - M.: Išsilavinimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn ir kt. Red. A. N. Kolmogorovas - 14 leidimas - M.: Išsilavinimas, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.
Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.
Bradis V. M. Keturių skaitmenų matematikos lentelės: Bendrajam lavinimui. vadovėlis įstaigose. - 2 leidimas. - M.: Bustard, 1999.- 96 p.: iliustr. ISBN 5-7107-2667-2

Pirma teoremos dalis: savavališko trikampio kraštinės, proporcingos sinusams priešingi kampai, tai yra:

Antroji teoremos dalis: kiekviena trupmena lygi apskritimo skersmeniui, apribotam maždaug duotas trikampis, tai yra: .

Matematikos mokytojo komentaras: sinuso teoremos antrosios dalies panaudojimas įtrauktas į beveik kas antrą varžybų uždavinį ant apskritimo. Kodėl? Faktas yra tas, kad lygybė leidžia rasti apskritimo, turinčio tik du trikampio elementus, spindulį. Tai labai dažnai naudoja rimtų problemų sudarytojai, kurie konkrečiai pasirenka sąlygą, kad iš viso nebūtų kitų trikampio elementų (ir viso paveikslėlio!) „Nuotrauka“ bus plūduriuojanti. Ši aplinkybė labai apsunkina egzamino darbą, nes ji neleidžia veikti aplink būdingą turtą.

Sinusų teoremos įrodymas:

pagal Atanasyano vadovėlį
Įrodykime, kad bet kuriam trikampiui, kurio kraštinės yra a, b, c ir priešingi kampai A, B ir C, galioja lygybė: .
Iš viršūnės B nubrėžkime aukštį BH. Galimi du atvejai:
1) Taškas H yra šone AC (tai įmanoma, kai ir yra aštrūs).
Pagal sinuso apibrėžimą aštrus kampas stačiajame trikampyje ABH rašome

Panašiai trikampyje CBH turime . Sulyginę BH išraiškas viena kitai, gauname:
2)Tegul H guli ant kraštinės AC tęsinio (pavyzdžiui, į kairę nuo A). Taip atsitiks, jei būsi kvailas. Panašiai pagal smailiojo kampo A sinuso apibrėžimą trikampyje ABH rašome lygybę, bet kadangi sinusai gretimų kampų yra lygūs, tada šią lygybę pakeitę , gauname tą patį, kaip ir pirmuoju atveju. Todėl, nepaisant kampų A ir C verčių, lygybė yra teisinga.
Padalijus abi puses iš gauname . Panašiai įrodoma ir antrosios trupmenų poros lygybė

Sinuso teoremos įrodymas pagal Pogorelovo vadovėlį:

Taikykime dviejų kampų A ir C trikampio ploto formulę:

Sulyginę dešiniąsias puses ir sumažinę iki, gauname tokią pat lygybę kaip ir įrodinėjant pirmuoju būdu. Iš jo tokiu pačiu būdu gauname trupmenų lygybę.

Sinuso teoremos antrosios dalies įrodymas:

Aprašykime apskritimą aplink šį trikampį ir nubrėžkime jo skersmenį BD per B. Kadangi kampai D ir C remiasi į tą patį lanką, jie yra lygūs (įbrėžtosios kampo teoremos pasekmė). Tada . Taikykime kampo D sinuso apibrėžimą trikampyje ABD: Ką mums reikėjo įrodyti.

Sinuso teoremos antrosios dalies uždaviniai:
1) Į 15 spindulio apskritimą įbrėžta trapecija. Trapecijos įstrižainės ir aukščio ilgiai yra atitinkamai 20 ir 6. Raskite kraštinę.
2) Aplink trapeciją apibrėžto apskritimo spindulys yra 25, o jo kosinusas bukas kampas lygus -0,28 (minus!!!). Trapecijos įstrižainė sudaro kampą su pagrindu. Raskite trapecijos aukštį.
3) Į 10 spindulio apskritimą įbrėžta trapecija. Įstrižainės ilgiai ir vidurio linija trapecijos yra atitinkamai 15 ir 12. Raskite trapecijos kraštinės ilgį.
4) Olimpinės žaidynės Finansų akademija 2009 m Apskritimo stygos susikerta taške Q. Yra žinoma, kad a apskritimo spindulys yra 4 cm. Raskite stygos ilgį PN. 2009 m. finansų akademijos olimpiada
5) Trikampyje PST. Apibrėžiamas 8 cm spindulio apskritimas apie jo pusiausvyros ir viršūnių P ir T susikirtimo tašką. Raskite apie trikampį PST apibrėžto apskritimo spindulį (autoriaus uždavinys).

Matematikos dėstytojas visada padės išsamiai išanalizuoti sinuso teoremą ir įgyti reikiamos praktikos ją naudojant uždaviniuose. Ji planavo mokyklinis tyrimas vyksta 9 klasės geometrijos kurse trikampių sprendimo tema (visoms programoms). Jei jums reikia pasiruošimo vieningam valstybiniam matematikos egzaminui, kad egzaminą išlaikytumėte ne mažiau kaip 70 balų, turėsite pasitreniruoti spręsti stiprius planimetrinius uždavinius iš skaičių C4. Juose sinusų teorema dažnai taikoma įbrėžtiems trikampiams, atsižvelgiant į santykį. Prisimink tai!

Pagarbiai Kolpakovas Aleksandras Nikolajevičius,
matematikos dėstytojas

Trigonometrija plačiai naudojama ne tik algebros atkarpoje – analizės pradžioje, bet ir geometrijoje. Šiuo atžvilgiu pagrįsta manyti, kad egzistuoja teoremos ir jų įrodymai, susiję su trigonometrinėmis funkcijomis. Iš tiesų, kosinusų ir sinusų teoremos išveda labai įdomius ir, svarbiausia, naudingus ryšius tarp trikampių kraštinių ir kampų.

Naudodami šią formulę galite gauti bet kurią iš trikampio kraštinių:

Teiginio įrodymas išvestas remiantis Pitagoro teorema: hipotenuzės kvadratas lygi sumai kojų kvadratai.

Apsvarstykite savavališką trikampį ABC. Nuo viršūnės C nuleidžiame aukštį h iki figūros pagrindo, ties šiuo atveju Jo ilgis visiškai nesvarbus. Dabar, jei svarstysime savavališką trikampį ACB, tada taško C koordinates galime išreikšti trigonometrinėmis cos funkcijas ir nuodėmė.

Prisiminkime kosinuso apibrėžimą ir užrašykime trikampio ACD kraštinių santykį: cos α = AD/AC | padauginkite abi lygybės puses iš AC; AD = AC * cos α.

Ilgį AC imame kaip b ir gauname pirmosios taško C koordinatės išraišką:
x = b * cos⁡α. Panašiai randame ordinatės C reikšmę: y = b * sin α. Toliau taikome Pitagoro teoremą ir pakaitomis išreiškiame h trikampiui ACD ir DCB:

Akivaizdu, kad abi išraiškos (1) ir (2) yra lygios viena kitai. Sulyginkime dešiniąsias puses ir pateiksime panašias:

Praktikoje šią formulę leidžia rasti nežinomos trikampio kraštinės ilgį pagal duotus kampus. Kosinuso teorema turi tris pasekmes: trikampio stačiajam, smailiam ir bukajam kampui.

Pakeiskime cos α reikšmę įprastu kintamuoju x, tada trikampio ABC smailiam kampui gausime:

Jei kampas pasirodys teisingas, tada 2bx išnyks iš išraiškos, nes cos 90° = 0. Grafiškai antrą pasekmę galima pavaizduoti taip:

Buku kampo atveju ženklas „-“ prieš dvigubą argumentą formulėje pasikeis į „+“:

Kaip matyti iš paaiškinimo, santykiuose nėra nieko sudėtingo. Kosinuso teorema yra ne kas kita, kaip Pitagoro teoremos vertimas į trigonometrinius dydžius.

Praktinis teoremos taikymas

1 užduotis. Duotas trikampis ABC, kurio kraštinė BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm, o cos α = ½. Turite rasti kraštinės AB ilgį.

Norėdami teisingai apskaičiuoti, turite nustatyti kampą α. Norėdami tai padaryti, turėtumėte peržiūrėti trigonometrinių funkcijų verčių lentelę, pagal kurią lanko kosinusas yra lygus 1/2, kai kampas yra 60 °. Remdamiesi tuo, naudojame teoremos pirmosios išvados formulę:

2 užduotis. Trikampiui ABC žinomos visos kraštinės: AB =4√2,BC=5,AC=7. Turite rasti visus figūros kampus.

Tokiu atveju neapsieisite be problemos sąlygų brėžinio.

Kadangi kampo reikšmės lieka nežinomos, turėtumėte naudoti pilna formulė smailiam kampui.

Pagal analogiją nėra sunku sukurti formules ir apskaičiuoti kitų kampų reikšmes:

Trijų trikampio kampų suma turi būti 180°: 53 + 82 + 45 = 180, todėl sprendimas rastas.

Sinusų teorema

Teorema teigia, kad visos savavališko trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams. Santykiai parašyti trigubos lygybės forma:

Klasikinis teiginio įrodymas atliekamas naudojant apskritime įbrėžtos figūros pavyzdį.

Norint patikrinti teiginio teisingumą naudojant trikampio ABC pavyzdį paveiksle, būtina patvirtinti faktą, kad 2R = BC / sin A. Tada įrodyti, kad kitos kraštinės yra susijusios su priešingų kampų sinusais, pavyzdžiui, 2R arba D apskritimo.

Norėdami tai padaryti, nubrėžkite apskritimo skersmenį iš viršūnės B. Atsižvelgiant į kampų, įrašytų į apskritimą, savybę, ∠GCB yra tiesi linija, o ∠CGB yra lygi ∠CAB arba (π - ∠CAB). Sinuso atveju pastaroji aplinkybė nėra reikšminga, nes nuodėmė (π –α) = sin α. Remiantis aukščiau pateiktomis išvadomis, galima teigti, kad:

sin ∠CGB = BC/BG arba sin A = BC/2R,

Jei atsižvelgsime į kitus figūros kampus, gausime išplėstinę sinusų teoremos formulę:

Tipiškos sinusų teoremos žinių praktikavimo užduotys yra susijusios su nežinomos trikampio kraštinės ar kampo paieška.

Kaip matyti iš pavyzdžių, sprendimas panašias užduotis nesukelia sunkumų ir susideda iš matematinių skaičiavimų.

Centruota taške A.
α - kampas, išreikštas radianais.

Apibrėžimas
Sinusas (sin α)- Tai trigonometrinė funkcija, priklausomai nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygus santykiui ilgio priešinga koja|BC| iki hipotenuzės ilgio |AC|.

Kosinusas (cos α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi gretimos kojos ilgio santykiui |AB| iki hipotenuzės ilgio |AC|.

Priimti užrašai

;
;
.

Sinuso funkcijos grafikas, y = sin x

Kosinuso funkcijos grafikas, y = cos x

Sinuso ir kosinuso savybės

Periodiškumas

Funkcijos y = nuodėmė x ir y = cos x periodinis su periodu 2π.

Paritetas

Sinuso funkcija yra nelyginė. Kosinuso funkcija yra lygi.

Apibrėžimo ir vertybių sritis, ekstremumai, padidėjimas, sumažėjimas

Sinuso ir kosinuso funkcijos yra tolydžios savo apibrėžimo srityje, ty visiems x (žr. tęstinumo įrodymą). Pagrindinės jų savybės pateiktos lentelėje (n – sveikas skaičius).

	y= nuodėmė x	y= cos x
Taikymo sritis ir tęstinumas	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Vertybių diapazonas	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Didėja
Mažėjantis
Maxima, y = 1
Minimalus, y = - 1
Nuliai, y = 0
Sukirtimo taškai su ordinačių ašimi, x = 0	y= 0	y= 1