Kaip rasti trikampio kampų sumą. Sustiprinti išmoktą medžiagą

Šią teoremą vadovėlyje suformulavo ir L.S. , o vadovėlyje Pogorelovas A.V. . Šios teoremos įrodymai šiuose vadovėliuose labai nesiskiria, todėl pateikiame jos įrodymą, pavyzdžiui, iš A. V. Pogorelovo vadovėlio.

Teorema: Trikampio kampų suma lygi 180°

Įrodymas. Tegul ABC - duotas trikampis. Nubrėžkime tiesę per viršūnę B, lygiagrečią tiesei AC. Pažymėkime ant jo tašką D, kad taškai A ir D būtų išilgai skirtingos pusės nuo tiesioginės linijos BC (6 pav.).

Kampai DBC ir ACB yra lygūs kaip vidiniai kryžminiai, sudaryti iš sekantės BC su lygiagrečiomis tiesėmis AC ir BD. Todėl trikampio kampų, esančių viršūnėse B ir C, suma yra lygi kampui ABD. Ir visų trijų trikampio kampų suma lygi kampų ABD ir BAC sumai. Kadangi tai yra vienpusiai vidiniai kampai lygiagrečioms AC ir BD bei sekant AB, jų suma yra 180°. Teorema įrodyta.

Šio įrodymo idėja yra atlikti lygiagreti linija ir norimų kampų lygybės žymėjimas. Rekonstruokime tokią idėją papildoma statyba, įrodydamas šią teoremą, naudodamas minties eksperimento koncepciją. Teoremos įrodymas naudojant minties eksperimentą. Taigi, mūsų minties eksperimento objektas yra trikampio kampai. Suteikime jį psichiškai tokiomis sąlygomis, kuriose jo esmė gali būti atskleista ypač užtikrintai (1 etapas).

Tokios sąlygos bus toks trikampio kampų išdėstymas, kuriame visos trys jų viršūnės bus sujungtos viename taške. Toks derinys įmanomas, jei leisime kampų „judinimo“ galimybę judinant trikampio kraštines nekeičiant pasvirimo kampo (1 pav.). Tokie judesiai iš esmės yra vėlesnės psichinės transformacijos (2 etapas).

Nurodydami trikampio kampus ir kraštines (2 pav.), kampus, gautus „judėdami“, taip mintyse formuojame aplinką, jungčių sistemą, į kurią įdedame savo mąstymo objektą (3 etapas).

Tiesė AB, „judėdama“ išilgai tiesės BC ir nekeisdama pasvirimo kampo į ją, perkelia kampą 1 į kampą 5, o „judėdama“ išilgai tiesės AC – kampą 2 į kampą 4. Kadangi tokiu „judėjimu“ linija AB nekeičia polinkio kampo į tieses AC ir BC, tada išvada akivaizdi: spinduliai a ir a1 yra lygiagretūs AB ir transformuojasi vienas į kitą, o spinduliai b ir b1 yra atitinkamai kraštinių BC ir AC tąsa. Kadangi kampas 3 ir kampas tarp spindulių b ir b1 yra vertikalūs, jie yra lygūs. Šių kampų suma lygi pasuktam kampui aa1 – tai reiškia 180°.

IŠVADA

IN diplominis darbas atliko „sukonstruotus“ kokios nors mokyklos įrodymus geometrines teoremas, naudojant minties eksperimento struktūrą, kuri patvirtino suformuluotą hipotezę.

Pateikti įrodymai buvo pagrįsti tokiomis vaizdinėmis ir juslinėmis idealizacijomis: „suspaudimas“, „tempimas“, „slydimas“, kurios leido ypatingu būdu transformuoti originalų geometrinį objektą ir išryškinti esmines jo charakteristikas, būdingas minčiai. eksperimentas. Šiuo atveju minties eksperimentas veikia kaip tam tikras „kūrybos įrankis“, prisidedantis prie geometrinių žinių atsiradimo (pavyzdžiui, apie vidurio linija trapecija arba apie trikampio kampus). Tokios idealizacijos leidžia suvokti visą įrodinėjimo idėją, „papildomos konstrukcijos“ idėją, kuri leidžia kalbėti apie galimybę moksleiviams sąmoningiau suprasti formalaus dedukcinio įrodinėjimo procesą. geometrines teoremas.

Minties eksperimentas yra vienas iš pagrindinių geometrinių teoremų gavimo ir atradimo metodų. Būtina parengti metodiką, kaip metodą perduoti studentui. Lieka atviras klausimas apie studento amžių, priimtiną metodui „priimti“, apie „ šalutinis poveikis» tokiu būdu pateiktus įrodymus.

Šie klausimai reikalauja tolesnio tyrimo. Bet kuriuo atveju vienas dalykas yra aiškus: moksleivių minties eksperimentas vystosi teorinis mąstymas, yra jos pagrindas, todėl reikia ugdyti gebėjimą protiškai eksperimentuoti.

>>Geometrija: trikampio kampų suma. Užbaigti pamokas

PAMOKOS TEMA: Trikampio kampų suma.

Pamokos tikslai:

• Mokinių žinių įtvirtinimas ir tikrinimas tema: „Trikampio kampų suma“;
• Trikampio kampų savybių įrodymas;
• Šios savybės pritaikymas sprendžiant nesudėtingus uždavinius;
• Naudojimas istorinė medžiaga plėtrai pažintinė veikla studentai;
• Ugdykite tikslumo įgūdžius kuriant brėžinius.

Pamokos tikslai:

• Patikrinkite mokinių problemų sprendimo įgūdžius.

Pamokos planas:

1. trikampis;
2. Teorema apie trikampio kampų sumą;
3. Užduočių pavyzdžiai.

Trikampis.

Failas: O.gif trikampis- paprasčiausias daugiakampis, turintis 3 viršūnes (kampus) ir 3 kraštines; plokštumos dalis, kurią riboja trys taškai ir trys atkarpos, jungiančios šiuos taškus poromis.
Trys erdvės taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje, atitinka vieną ir tik vieną plokštumą.
Bet kurį daugiakampį galima suskirstyti į trikampius – šis procesas vadinamas trianguliacija.
Yra matematikos skyrius, visiškai skirtas trikampių dėsnių studijoms - Trigonometrija.

Teorema apie trikampio kampų sumą.

Failas:T.gif Trikampio kampo sumos teorema yra klasikinė Euklido geometrijos teorema, kuri teigia, kad trikampio kampų suma yra 180°.

įrodymas" :

Tegu duota Δ ABC. Nubrėžkime tiesę, lygiagrečią (AC), per viršūnę B ir pažymėkime joje tašką D, kad taškai A ir D būtų priešingose ​​tiesės BC pusėse. Tada kampas (DBC) ir kampas (ACB) yra lygūs kaip vidinis kryžminis gulėjimas su lygiagrečiomis tiesėmis BD ir AC bei sekantu (BC). Tada trikampio kampų, esančių viršūnėse B ir C, suma lygi kampui (ABD). Tačiau kampas (ABD) ir kampas (BAC) trikampio ABC viršūnėje A yra vidiniai vienpusiai su lygiagrečiomis tiesėmis BD ir AC bei atsekante (AB), o jų suma yra 180°. Todėl trikampio kampų suma yra 180°. Teorema įrodyta.

Pasekmės.

Išorinis trikampio kampas lygi sumai du trikampio kampai, kurie nėra šalia jo.

Įrodymas:

Tegu duota Δ ABC. Taškas D yra tiesėje AC taip, kad A yra tarp C ir D. Tada BAD yra išorinis trikampio kampo viršūnėje A ir A + BAD = 180°. Bet A + B + C = 180°, taigi B + C = 180° – A. Vadinasi BLOGAS = B + C. Išvada įrodyta.

Pasekmės.

Išorinis trikampio kampas yra didesnis už bet kurį trikampio kampą, kuris nėra šalia jo.

Užduotis.

Išorinis trikampio kampas yra kampas, esantis greta bet kurio trikampio kampo. Įrodyk tai išorinis kampas trikampis yra lygus dviejų trikampio kampų, kurie nėra šalia jo, sumai.
(1 pav.)

Sprendimas:

Tegul Δ ABC ∠DAС yra išorinis (1 pav.). Tada ∠DAC=180°–∠BAC (pagal savybę gretimų kampų), pagal trikampio ∠B+∠C = 180°-∠BAC kampų sumos teoremą. Iš šių lygybių gauname ∠DAС=∠В+∠С

Įdomus faktas:

trikampio kampų suma" :

Lobačevskio geometrijoje trikampio kampų suma visada yra mažesnė už 180. Euklido geometrijoje ji visada lygi 180. Riemann geometrijoje trikampio kampų suma visada yra didesnė nei 180.

Iš matematikos istorijos:

Euklidas (III a. pr. Kr.) savo darbe „Elementai“ pateikia tokį apibrėžimą: „Lygiagrečios linijos yra toje pačioje plokštumoje ir, neribotai pratęsiamos į abi puses, nesusitinka viena su kita.
Posidonijus (I a. pr. Kr.) „Dvi tiesės, esančios toje pačioje plokštumoje, vienodu atstumu viena nuo kitos“
Senovės graikų mokslininkas Pappas (III a. pr. Kr.) pristatė paralelės simbolį tiesus ženklas=. Vėliau anglų ekonomistas Ricardo (1720-1823) naudojo šį simbolį kaip lygybės ženklą.
Tik XVIII amžiuje jie pradėjo naudoti simbolį lygiagrečioms linijoms – ženklą ||.
Gyvas ryšys tarp kartų nenutrūksta nė akimirkai, kiekvieną dieną mokomės protėvių sukauptos patirties. Senovės graikai, remdamiesi stebėjimais ir iš praktinės patirties jie darė išvadas, reiškė hipotezes, o vėliau mokslininkų susitikimuose – simpoziumuose (pažodžiui „šventėje“) – bandė šias hipotezes pagrįsti ir įrodyti. Tuo metu pasirodė teiginys: „Tiesa gimsta ginče“.

Klausimai:

1. Kas yra trikampis?
2. Ką sako teorema apie trikampio kampų sumą?
3. Koks yra išorinis trikampio kampas?

Tikslai ir uždaviniai:

Švietimas:

• kartoti ir apibendrinti žinias apie trikampį;
• įrodyti teoremą apie trikampio kampų sumą;
• praktiškai patikrinti teoremos formulavimo teisingumą;
• išmokti pritaikyti įgytas žinias sprendžiant problemas.

Švietimas:

• ugdyti geometrinį mąstymą, domėjimąsi dalyku, pažinimo ir kūrybinė veikla studentai, matematikos kalba, gebėjimas savarankiškai įgyti žinių.

Švietimas:

• vystytis asmenines savybes mokinių, tokių kaip ryžtas, užsispyrimas, tikslumas, gebėjimas dirbti komandoje.

Įranga: multimedijos projektorius, trikampiai iš spalvoto popieriaus, mokomoji medžiaga " Gyvoji matematika“, kompiuteris, ekranas.

Parengiamasis etapas: Mokytojas duoda mokiniui užduotį pasiruošti istorinę informaciją apie teoremą „Trikampio kampų suma“.

Pamokos tipas: naujos medžiagos mokymasis.

Pamokos eiga

I. Organizacinis momentas

Sveikinimai. Psichologinis požiūris studentų dirbti.

II. Apšilimas

SU geometrinė figūra„trikampis“, kurį sutikome ankstesnėse pamokose. Pakartokime, ką žinome apie trikampį?

Mokiniai dirba grupėse. Jiems suteikiama galimybė bendrauti tarpusavyje, kiekvienam savarankiškai kurti pažinimo procesą.

Kas atsitiko? Kiekviena grupė pateikia savo pasiūlymus, mokytojas juos užrašo lentoje. Rezultatai aptariami:

1 pav

III. Pamokos tikslo formulavimas

Taigi apie trikampį jau žinome gana daug. Bet ne visi. Kiekvienas iš jūsų ant savo stalo turi trikampius ir matuoklius. Kaip manote, kokią problemą galime suformuluoti?

Mokiniai formuluoja pamokos užduotį – rasti trikampio kampų sumą.

IV. Naujos medžiagos paaiškinimas

Praktinė dalis(skatina atnaujinti žinias ir savęs pažinimo įgūdžius). Rezultatus užsirašykite į sąsiuvinį (išklausykite gautus atsakymus). Išsiaiškiname, kad kampų suma kiekvienam skirtinga (taip gali nutikti dėl to, kad netiksliai uždėtas transporteris, neatsargiai atliktas skaičiavimas ir pan.).

Sulenkite išilgai punktyrinių linijų ir sužinokite, kam dar lygi trikampio kampų suma:

A)
2 pav

b)
3 pav

V)
4 pav

G)
5 pav

d)
6 pav

Atlikę praktinį darbą studentai formuluoja atsakymą: Trikampio kampų suma lygi laipsnio matas išskleistas kampas, t.y. 180°.

Mokytojas: Iš matematikos praktinis darbas Tai tik leidžia padaryti kažkokį teiginį, bet tai reikia įrodyti. Teiginys, kurio pagrįstumą nustato įrodymas, vadinamas teorema. Kokią teoremą galime suformuluoti ir įrodyti?

Mokiniai: Trikampio kampų suma yra 180 laipsnių.

Istorinė informacija: Buvo nustatyta trikampio kampų sumos savybė Senovės Egiptas. Pateiktas įrodymas šiuolaikiniai vadovėliai, esantis Proklo komentaruose prie Euklido elementų. Proklas teigia, kad šį įrodymą (8 pav.) atrado pitagoriečiai (V a. pr. Kr.). Pirmojoje elementų knygoje Euklidas pateikia dar vieną trikampio kampų sumos teoremos įrodymą, kurį nesunkiai galima suprasti brėžinio pagalba (7 pav.):

7 pav

8 pav

Piešiniai ekrane rodomi per projektorių.

Mokytojas siūlo teoremą įrodyti brėžiniais.

Tada įrodymas atliekamas naudojant mokymo ir mokymosi kompleksą „Gyvoji matematika“.. Mokytojas projektuoja teoremos įrodymą kompiuteryje.

Teorema apie trikampio kampų sumą: „Trikampio kampų suma lygi 180°“

9 pav

Įrodymas:

A)

10 pav

b)

11 pav

V)

12 pav

Mokiniai tai daro sąsiuviniuose trumpa pastaba teoremos įrodymas:

Teorema: Trikampio kampų suma lygi 180°.

13 pav

Duota:Δ ABC

Įrodykite: A + B + C = 180°.

Įrodymas:

Ką reikėjo įrodyti.

V. Fiz. tik minutę.

VI. Naujos medžiagos paaiškinimas (tęsinys)

Teoremos išvadą apie trikampio kampų sumą studentai išveda savarankiškai, tai prisideda prie gebėjimo formuluoti savo tašką požiūrį, išsakykite ir argumentuokite už jį:

Bet kuriame trikampyje arba visi kampai yra smailūs, arba du yra smailūs, o trečiasis yra bukas arba stačias..

Jei trikampis turi visus smailius kampus, tada jis vadinamas smailaus kampo.

Jei vienas iš trikampio kampų yra bukas, tada jis vadinamas bukas kampinis.

Jei vienas iš trikampio kampų yra tiesus, tada jis vadinamas stačiakampio formos.

Trikampių kampų sumos teorema leidžia klasifikuoti trikampius ne tik pagal kraštines, bet ir pagal kampus. (Kai mokiniai pristato trikampių tipus, mokiniai užpildo lentelę)

1 lentelė

Trikampis vaizdas	Lygiašonis	Lygiakraščiai	Universalus
Stačiakampis
Bukas
Smailaus kampo

VII. Studijuotos medžiagos konsolidavimas.

1. Spręskite problemas žodžiu:

(Piešiniai ekrane rodomi per projektorių)

Užduotis 1. Raskite kampą C.

14 pav

2 uždavinys. Raskite kampą F.

15 pav

3 užduotis. Raskite kampus K ir N.

16 pav

4 uždavinys. Raskite kampus P ir T.

17 pav

1. 223 (b, d) uždavinį išspręskite patys.
2. Išspręskite užduotį lentoje ir sąsiuviniuose, mokinys Nr. 224.
3. Klausimai: Ar trikampis gali turėti: a) du stačius kampus; b) du buki kampai; c) vienas stačius ir vienas bukas kampas.
4. (atliekama žodžiu) Ant kiekvieno stalo kortelės rodo įvairius trikampius. Akimis nustatykite kiekvieno trikampio tipą.

18 pav

1. Raskite kampų 1, 2 ir 3 sumą.

19 pav

VIII. Pamokos santrauka.

Mokytojas: Ko mes išmokome? Ar teorema taikoma bet kuriam trikampiui?

IX. Atspindys.

Pasakyk man savo nuotaiką, vaikinai! SU atvirkštinė pusė naudokite trikampį veido išraiškoms pavaizduoti.

20 pav

Namų darbai: 30 pastraipa (1 dalis), 1 klausimas sk. IV vadovėlio 89 psl.; Nr.223 (a, c), Nr.225.

Teorema. Suma vidiniai kampai trikampis yra lygus dviem stačiakampiams kampams.

Paimkime kokį nors trikampį ABC (208 pav.). Jo vidinius kampus pažymėkime skaičiais 1, 2 ir 3. Įrodykime tai

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Per kurią nors trikampio viršūnę, pavyzdžiui, B, nubrėžkime tiesę MN, lygiagrečią su AC.

Viršūnėje B gavome tris kampus: ∠4, ∠2 ir ∠5. Jų suma yra tiesus kampas, todėl lygi 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Bet ∠4 = ∠1 yra vidiniai skersiniai kampai su lygiagrečiomis linijomis MN ir AC bei sekante AB.

∠5 = ∠3 – tai vidiniai skersiniai kampai su lygiagrečiomis linijomis MN ir AC bei sekante BC.

Tai reiškia, kad ∠4 ir ∠5 gali būti pakeisti jų lygiais ∠1 ir ∠3.

Todėl ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema įrodyta.

2. Trikampio išorinio kampo savybė.

Tiesą sakant, į trikampis ABC(209 pav.) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, bet ir ∠ВСD, išorinis šio trikampio kampas, kuris nėra greta ∠1 ir ∠2, taip pat lygus 180° - ∠3.

Taigi:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° – ∠3.

Todėl ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Išvestinė trikampio išorinio kampo savybė paaiškina anksčiau įrodytos išorinio trikampio kampo teoremos turinį, teigiančią tik tai, kad trikampio išorinis kampas yra didesnis už kiekvieną vidinį trikampio kampą, kuris nėra šalia jo; dabar nustatyta, kad išorinis kampas yra lygus abiejų vidinių kampų, kurie nėra šalia jo, sumai.

3. Stačiojo trikampio, kurio kampas 30°, savybė.

Įleisti stačiakampis trikampis ASV kampas B yra 30° (210 pav.). Tada kitas yra jo aštrus kampas bus lygus 60°.

Įrodykime, kad kojelė AC yra lygi pusei hipotenuzės AB. Tęskime koją AC už viršaus stačiu kampu C ir atidėkite segmentą CM, lygus segmentui AC. Sujunkite tašką M su tašku B. Gautas trikampis ВСМ lygus trikampiui DIA Matome, kad kiekvienas trikampio ABM kampas lygus 60°, todėl šis trikampis yra lygiakraštis trikampis.

Kojos AC yra lygi pusei AM, o kadangi AM yra lygi AB, koja AC bus lygi pusei hipotenuzės AB.