Šiandien ji nusipelno būti dainuojama poezijoje
Vietos teorema apie šaknų savybes.
Kas yra geriau, pasakykite man, tokia nuoseklumas:
Jūs padauginote šaknis - ir frakcija yra paruošta
Skaitiklyje Su, vardiklyje A.
Ir trupmenos šaknų suma taip pat lygi
Net ir su minus šia trupmena
Kokia problema
Skaitikliuose V, vardiklyje A.
(Iš mokyklos folkloro)
Epigrafe nuostabi teorema François Vieta pateikta ne visai tiksliai. Tiesą sakant, galime užrašyti kvadratinę lygtį, kuri neturi šaknų, ir užrašyti jų sumą bei sandaugą. Pavyzdžiui, lygtis x 2 + 2x + 12 = 0 neturi realių šaknų. Tačiau, vadovaudamiesi formaliu požiūriu, galime užrašyti jų sandaugą (x 1 · x 2 = 12) ir sumą (x 1 + x 2 = -2). Mūsų eilutės atitiks teoremą su išlyga: „jei lygtis turi šaknis“, t.y. D ≥ 0.
Pirmas praktinis naudojimasŠi teorema yra kvadratinės lygties su šaknimis sudarymas. Antra, tai leidžia žodžiu išspręsti daugybę kvadratinių lygčių. Mokykliniuose vadovėliuose daugiausia dėmesio skiriama šių įgūdžių ugdymui.
Čia mes apsvarstysime daugiau sudėtingos užduotys, išspręsta naudojant Vietos teoremą.
1 pavyzdys.
Viena iš lygties 5x 2 šaknų – 12x + c = 0 yra tris kartus didesnė už antrąją. Rasti s.
Sprendimas.
Tegul antroji šaknis yra x 2.
Tada pirmoji šaknis x1 = 3x2.
Pagal Vietos teoremą šaknų suma lygi 12/5 = 2,4.
Sukurkime lygtį 3x 2 + x 2 = 2,4.
Taigi x 2 = 0,6. Todėl x 1 = 1,8.
Atsakymas: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.
2 pavyzdys.
Yra žinoma, kad x 1 ir x 2 yra lygties x 2 šaknys – 8x + p = 0, kai 3x 1 + 4x 2 = 29. Raskite p.
Sprendimas.
Pagal Vietos teoremą x 1 + x 2 = 8, o pagal sąlygą 3x 1 + 4x 2 = 29.
Išsprendę šių dviejų lygčių sistemą, randame reikšmę x 1 = 3, x 2 = 5.
Todėl p = 15.
Atsakymas: p = 15.
3 pavyzdys.
Neskaičiuojant lygties 3x 2 + 8 x – 1 = 0 šaknų, raskite x 1 4 + x 2 4
Sprendimas.
Atkreipkite dėmesį, kad pagal Vietos teoremą x 1 + x 2 = -8/3 ir x 1 x 2 = -1/3 ir transformuokite išraišką
a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2 x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2 x 1 x 2) 2 – 2 (x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9
Atsakymas: 4898/9.
4 pavyzdys.
Kokiomis parametro a reikšmėmis yra skirtumas tarp didžiausio ir mažiausios šaknys lygtys
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 yra lygus jų sandaugai.
Sprendimas.
Tai kvadratinė lygtis. Jis turės 2 skirtingas šaknis, jei D > 0. Kitaip tariant, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 arba (a – 3) 2 > 0. Todėl turime 2 šaknis visiems a, nes išskyrus a = 3.
Tikslumui darysime prielaidą, kad x 1 > x 2 ir gausime x 1 + x 2 = (a + 1)/2 ir x 1 x 2 = (a – 1)/2. Remiantis uždavinio sąlygomis x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Visos trys sąlygos turi būti įvykdytos vienu metu. Pirmąją ir paskutinę lygtis apsvarstykime kaip sistemą. Tai gali būti lengvai išspręsta pridedant algebrą.
Gauname x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Patikrinkim ką A bus įvykdyta antroji lygybė: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Pakeiskime gautas reikšmes ir turėsime: a/4 = (a – 1)/2. Tada a = 2. Akivaizdu, kad jei a = 2, tada tenkinamos visos sąlygos.
Atsakymas: kai a = 2.
5 pavyzdys.
Kas yra lygus mažiausia vertė a, kurioje lygties šaknų suma
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 yra lygus jo šaknų kvadratų sumai.
Sprendimas.
Visų pirma, sumažinkime lygtį iki kanoninė forma: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Jis turės šaknis, jei D/4 ≥ 0. Todėl: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Arba (a – 1) 2 ≥ 0. Ir tai yra sąlyga, galiojanti bet kuriai a.
Taikykime Vietos teoremą: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Apskaičiuokime
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2 x 1 x 2. Arba pakeitus x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Belieka sukurti lygybę, atitinkančią uždavinio sąlygas: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Gauname: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Ši kvadratinė lygtis turi 2 šaknis: a 1 = 1 ir a 2 = 1/2. Mažiausias iš jų –1/2.
Atsakymas: 1/2.
6 pavyzdys.
Raskite ryšį tarp lygties ax 2 + bx + c = 0 koeficientų, jei jos šaknų kubelių suma lygi šių šaknų kvadratų sandaugai.
Sprendimas.
Remsimės tuo, kad duota lygtis turi šaknis, todėl jai galima pritaikyti Vietos teoremą.
Tada uždavinio sąlyga bus parašyta taip: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Arba: (x 1 + x 2) (x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.
Antrasis veiksnys turi būti konvertuojamas. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2 x 1 x 2) – x 1 x 2.
Gauname (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Belieka pakeisti šaknų sumas ir sandaugas per koeficientus.
(-b/a)((b/a) 2–3 c/a) = (c/a) 2 . Ši išraiška gali būti lengvai konvertuojama į formą b(3ac – b 2)/a = c 2. Ryšys rastas.
komentuoti. Reikėtų atsižvelgti į tai, kad gautą ryšį prasminga svarstyti tik tada, kai bus patenkintas kitas: D ≥ 0.
7 pavyzdys.
Raskite kintamojo a reikšmę, kuriai lygties x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 šaknų kvadratų suma yra didžiausia reikšmė.
Sprendimas.
Jei ši lygtis turi šaknis x 1 ir x 2, tai jų suma yra x 1 + x 2 = -2a, o sandauga x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.
Apskaičiuojame x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.
Dabar akivaizdu, kad ši išraiška yra tinkama didžiausia vertė esant a = 3.
Belieka patikrinti, ar pradinė kvadratinė lygtis iš tikrųjų turi šaknis ties a = 3. Tikriname keitimu ir gauname: x 2 + 6x + 7 = 0 ir jai D = 36 – 28 > 0.
Todėl atsakymas yra toks: jei a = 3.
8 pavyzdys.
Lygtis 2x 2 – 7x – 3 = 0 turi šaknis x 1 ir x 2. Raskite trigubą duotosios kvadratinės lygties koeficientų sumą, kurios šaknys yra skaičiai X 1 = 1/x 1 ir X 2 = 1/x 2. (*)
Sprendimas.
Akivaizdu, kad x 1 + x 2 = 7/2 ir x 1 x 2 = -3/2. Antrąją lygtį sudarykime iš jos šaknų formoje x 2 + px + q = 0. Tam naudojame Vietos teoremos atvirkštinį variantą. Gauname: p = -(X 1 + X 2) ir q = X 1 · X 2.
Pakeitus šias formules remiantis (*), tada: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 ir q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.
Reikalinga lygtis bus tokia: x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. Dabar galime lengvai apskaičiuoti trigubą jos koeficientų sumą:
3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Atsakymas gautas.
Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip naudoti Vietos teoremą?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
Pirma pamoka nemokama!
blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.
Savivaldybės valdžia švietimo įstaiga
„Ochkurovskaja vidurinė Bendrojo lavinimo mokyklos»
Nikolajevskis savivaldybės rajonas Volgogrado sritis
Vietos teorema
Užbaigė: Onoprienko Kristina,
8 klasės mokinys
MKOU "Ochkurovskaya vidurinė mokykla"
Nikolajevskio rajonas
Vadovas: E. A. Bulba
Su. Ochkurovka
2015
Turinys
Įvadas………………………………………………………………………………………………3
Pagrindinė dalis
1. Istorijos aplinkybės………………………………………………………….4
2. Vietos teoremos įrodymas………………………………………………………..6
3. Lygčių bloko, išspręsto naudojant Vietos teoremą, sudarymas………………….8
4. Simuliatoriaus konstravimas…………………………………………………………10
Išvada
Praktinė projekto reikšmė………………………………………... 12
Išvados………………………………………………………………………………….13
Informacijos šaltinių sąrašas……………………………………………………14
Taikymas……………………………………………………………………..15
Teisingai vertas būti dainuojamas poezijoje
Vietos teorema apie šaknų savybes.
Kas yra geriau, pasakykite man, tokia nuoseklumas:
Kai padauginsite šaknis, frakcija yra paruošta!
Skaitiklis yra c, vardiklis yra a.
Ir trupmenos šaknų suma taip pat lygi.
Net ir su minusine trupmena, kokia problema!
Skaitiklyje
b
, vardiklyje a.
Įvadas
Projekto temos aktualumas: Vietos teoremos taikymas yra unikali sprendimo technika kvadratines lygtisžodžiu. Vadovėlyje yra labai mažai kvadratinių lygčių, kurias galima išspręsti naudojant Vietos teoremą. Aš ir mano klasės draugai darome klaidas.
Objektas tyrimai yra Vietos teorema, kaip neatsiejama kvadratinių lygčių sprendimo dalis algebros pamokose.
Studijų dalykas – Vietos teorema ir lygčių bloko sudarymas, siekiant sustiprinti kvadratinių lygčių sprendimo įgūdžius.
Hipotezė: Aš pasiūliau, kad galite išmokti tiksliai išspręsti lygtis naudodami Vietos teoremą, naudodami treniruoklį.
Projekto tikslas : sukurti lygčių, išspręstų naudojant Vietos teoremą, simuliatorių.
Užduotys:
išmokti Vietos teoremos atradimo istoriją;
atlikti kvadrato koeficientų priklausomybės tyrimą
lygtis ir sandauga bei jos šaknų suma.
išmokti įrodyti Vietos teoremą;
savarankiškai sudaryti lygtis, kurias galima išspręsti naudojant Vietos teoremą
sudaryti lygčių bloką ant popieriaus ir sukurti treniruoklį elektronine forma
pasiūlykite savo klasės draugams treniruoklį lygtims spręsti naudojant Vietos teoremą
Metodai :
rezultatų palyginimas savarankiškas darbas prieš projektą ir po treniruotės kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą
tyrimas ir analizė elektroniniai šaltiniai ir literatūra
savarankiškas lygčių bloko ir simuliatoriaus sudarymo darbas
1.Istorinė informacija
Francois Viet gimė 1540 m. pietų Prancūzijoje, mažame Fanteney-le-Comte miestelyje.
Vieto tėvas buvo prokuroras. Sūnus pasirinko tėvo profesiją ir tapo teisininku, baigė Puatu universitetą. 1560 m. dvidešimties metų teisininkas pradėjo savo karjerą Gimtasis miestas, bet po trejų metų išvyko tarnauti į didikų hugenotų de Parthenay šeimą. Jis tapo namo savininko sekretoriumi ir dvylikametės dukros Kotrynos mokytoja. Būtent mokymas sužadino jauno teisininko susidomėjimą matematika.
Kai studentė užaugo ir susituokė, Viet nesiskyrė su šeima ir persikėlė su ja į Paryžių, kur jam buvo lengviau sužinoti apie pirmaujančių Europos matematikų pasiekimus. Jis bendravo su iškiliu Sorbonos profesoriumi Ramusu ir draugiškai susirašinėjo su didžiausiu Italijos matematiku Raphaeliu Bombelli.
1571 metais Vietas perėjo į viešoji tarnyba, tapęs parlamento patarėju, o vėliau – Prancūzijos karaliaus Henriko III patarėju.
1580 metais Henrikas III paskyrė Vietą į svarbų valdišką reketininko postą, suteikusį teisę kontroliuoti įsakymų vykdymą šalyje ir sustabdyti stambiųjų feodalų įsakymus.
1584 m., Guisų primygtinai reikalaujant, Vieta buvo pašalinta iš pareigų ir išsiųsta iš Paryžiaus. Radęs ramybę ir atsipalaidavimą, mokslininkas išsikėlė tikslą sukurti visapusišką matematiką, kuri leistų išspręsti bet kokias problemas.
Vietas išdėstė savo tyrimų programą ir išvardijo traktatus, kuriuos vienija bendra koncepcija ir parašyta matematinė kalba nauja raidžių algebra, garsiajame „Analitinės dailės įvade“, išleistame 1591 m. Savo požiūrio pagrindu Vietas pavadino rūšių logistika, jis aiškiai skyrė skaičius, kiekius ir ryšius, surinkdamas juos į tam tikrą „rūšių“ sistemą. Ši sistema apėmė, pavyzdžiui, kintamuosius, jų šaknis, kvadratus, kubus, kvadratus ir kt. Šiems tipams Vietas suteikė ypatingą simboliką, nurodydamas juos. didžiosiomis raidėmis Lotynų abėcėlė. Nežinomiems kiekiams buvo naudojamos balsės, kintamiesiems - priebalsiai.
Viète parodė, kad operuojant simboliais galima gauti rezultatą, pritaikomą bet kokiems atitinkamiems dydžiams, t.y. išspręsti problemą bendras vaizdas. Tai reiškė radikalių algebros raidos pokyčių pradžią: tapo įmanomas pažodinis skaičiavimas.
Garsioji teorema, nustatanti ryšį tarp daugianario koeficientų ir jo šaknų, buvo paskelbta 1591 m. Dabar jis vadinasi Vieta, o pats autorius jį suformulavo taip: „Jei B + D padauginus A minus A kvadratas yra lygus BD, tada A lygus B ir lygus D.
Savo traktate „Geometrijos priedai“ jis siekė sukurti savotišką geometrinę algebrą, naudodamas geometrinius metodus, spręsdamas trečiojo ir ketvirtojo laipsnių lygtis. Vietas teigė, kad galima išspręsti bet kurią trečiojo ir ketvirtojo laipsnio lygtį geometrinis metodas kampo trišakį arba sukonstruojant du vidutinius proporcinguosius.
Matematikai šimtmečius domėjosi trikampių sprendimo klausimu, nes tai padiktavo astronomijos, architektūros ir geodezijos poreikiai. Vietas pirmasis aiškiai suformulavo žodinė forma kosinusų teorema, nors atitikmenys buvo naudojami sporadiškai nuo pirmojo amžiaus prieš Kristų. Trikampio sprendimo atvejis naudojant dvi nurodytas kraštines ir vieną iš priešingų kampų, anksčiau žinomas dėl savo sudėtingumo, gavo išsamią Vietos analizę. Vietai suteikė gilios algebros žinios didelė nauda. Be to, jo susidomėjimą algebra iš pradžių lėmė taikymas trigonometrijoje ir astronomijoje. Kiekvienas naujas algebros taikymas ne tik davė impulsą naujiems trigonometrijos tyrimams, bet ir gauti trigonometriniai rezultatai buvo šaltinis. svarbių laimėjimų algebra. Vieta visų pirma yra atsakinga už kelių lankų sinusų (arba akordų) ir kosinusų išraiškų išvedimą.
Kai kurių Prancūzijos dvariškių atsiminimuose yra nuoroda, kad Vietas buvo vedęs, kad jis turėjo dukterį, vienintelę dvaro paveldėtoją, po kurios Vietas buvo vadinamas Seigneur de la Bigautier. Teismo naujienose Markizas Letual rašė: „... 1603 m. vasario 14 d. Pone Viet, reketininkas, puikaus sumanumo ir protingumo žmogus ir vienas geriausių mokslininkai matematikai amžiuje mirė... Paryžiuje. Jam buvo daugiau nei šešiasdešimt metų“.
2. Vietos teoremos įrodymas
3. Lygčių bloko ir elektroninio treniruoklio sudarymas
Bibliografija
Algebra 8 klasė: vadovėlis skirta švietimo įstaigų. G.V.Dorofejevas, S. B. Suvorova
Didaktinė medžiaga apie algebrą 8 klasei. V.I. Žokovas, Yu.N.Makaričevas, N.G. M.: Išsilavinimas, 2000 m.
Matematika.8 klasė: didaktinės medžiagosį vadovėlį „Matematika 8. Algebra“ / red. G. V. Dorofejeva. – M.: Bustard, 2012\
valstybė baigiamasis egzaminas. 9 klasė. Matematika. Teminės testo užduotys./L.D. Lappo, M.A. Popovas/-M.: Egzaminų leidykla, 2011 m
Planuojamas rezultatas
1. Informacinis
Informacijos rinkimas, jos analizė
Literatūros studija
Medžiaga teorinei projekto daliai
2.Organizacinis
Analizė, apibendrinimas
Lygčių bloko kūrimas
Medžiaga darbui
3. Technologinis etapas
Lygčių parinkimas
Simuliatoriaus kūrimas
Treniruočių aparatai
4. Finalas
Patirties apibendrinimas
Išvados apie atliktus darbus, projekto apipavidalinimą
Projektas. Kolekcijos dizainas. Meistriškumo klasė. Dalyvavimas konkurse.
X 2 + 17x - 38 = 0,
X 2 - 16x + 4 = 0,
3x 2 + 8x - 15 = 0,
7x 2 + 23x + 5 = 0,
X 2 + 2x - 3 = 0,
X 2 + 12x + 32 = 0,
X 2 - 7x + 10 = 0,
X 2 - 2x - 3 = 0,
X 2 + 12x + 32 = 0,
2x 2 - 11x + 15 = 0,
3x 2 + 3x - 18 = 0,
2x 2 - 7x + 3 = 0,
X 2 + 17x - 18 = 0,
X 2 - 17x - 18 = 0,
X 2 - 11x + 18 = 0,
X 2 + 7x - 38 = 0,
X 2 - 9x + 18 = 0,
X 2 - 13x + 36 = 0,
X 2 - 15x + 36 = 0,
X 2 - 5x - 36 = 0.
X 2 + x – 2 = 0
X 2 + 2x – 3 =0
X 2 - 3x + 2 =0
X 2 – x – 2 = 0
X 2 - 2x - 3 =0
X 2 - 3x - 4 = 0
x 2 +17 x -18=0
x 2 + 23 x – 24=0
x 2 – 39x-40 =0
x 2 – 37 kartus – 38=0
x 2 – 3x – 10 = 0
x 2 – 5x + 3 = 0
x 2 + 8 x – 11 = 0
x 2 + 6x + 5 = 0
x 2 – x – 12 = 0
x 2 + 5 x + 6 = 0
x 2 + 3 x – 10 = 0
x 2 – 8 x– 9 = 0
X 2 + x – 56 = 0
X 2 – 19x + 88 = 0
X 2 – 4x – 4 = 0
x 2 -15x+14=0
x 2 +8x+7=0
x 2 +9x+20=0
x 2 +18x -11 = 0
x 2 +27x – 24 = 0
5x 2 +10x – 3 = 0
3x 2 - 16x +9 = 0
x 2 +18x -11 = 0
x 2 +27x – 24 = 0
4x-21=0
4x-21=0
x 2 -15x+56=0
x 2 -4x-60=0
x 2 +5x+6=0
2x-3=0
x 2 +18x+81=0
X-20=0
x 2 +4x+21=0
x 2 -10x-24=0
x 2 + x-56=0
x 2 -x-56=0
x 2 +3x+2=0
x 2 +5x-6=0
x 2 -18x+81=0
x 2 -9x+20=0
x 2 -5 X +6=0
x 2 -4x-21=0
X 2 - 7x+6=0
x 2 -15x+56=0
X 2 – 3x + 2 = 0
X 2 – 4x + 3 = 0
X 2 – 2x + 4 = 0
X 2 – 2x + 5 = 0
X 2 – 2x + 6 = 0
X 2 – 11x + 24 = 0
X 2 + 11x – 30 = 0
X 2 + x – 12 = 0
x 2 – 6x + 8 = 0
X 2 – 15x + 14 = 0
x 2 – 15x + 14 = 0
x 2 + 4 x -21 =0
X 2 + x – 42 =0
X 2 – x – 20 =0
X 2 + 4 x -32 = 0
X 2 - 2x – 35 =0
X 2 + x - 20 =0
X 2 + 7 x + 10 =0
X 2 - x - 6 = 0
X 2 + 2x+0 =0
X 2 + 6 x+0 =0
X 2 + 3x - 18 = 0
X 2 + 5 x -24=0
X 2 - 2 x - 24 = 0
X 2 – 15x + 14 = 0
X 2 + 8x + 7 =0
X 2 + 9x – 20=0
X 2 – 6x – 7 = 0
X 2
4.
Praktinė projekto reikšmė
Taikymas 8 klasės algebros pamokose ir baigiamajame OGE kartojime Išvados:
Mano darbo rezultatas yra kvadratinių lygčių blokas, kurį galima išspręsti naudojant Vietos teoremą. Mane patraukė darbas lengviausias būdas buvo sukurti kvadratines lygtis, kuriose laisvasis narys randamas pagal daugybos lentelę. Dabar aš ne tik tiksliai surandu lygties šaknis naudodamas Vietos teoremą, bet ir taikau ją tikrindamas bet kurios kvadratinės lygties sprendimą. Naudodamiesi treniruokliu, mano klasės draugai ir aš išmokome išspręsti kvadratines lygtis pagal Vietos teoremą. Informacijos šaltinių sąrašas:
„Kaip išspręsti nepilnas kvadratines lygtis“ – sprendimo įgūdžiai. Kostroma. Jaroslavlis. Ladyzhenskaya Olga Aleksandrovna. Steklovas Vladimiras Andrejevičius. Išspręskime lygtį. Lygybė. Darbas žodžiu. Kazanė. Judėjimo objektas. Kriptografinė lentelė. Nižnij Novgorodas. Liapunovas Aleksandras Michailovičius. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas. Greitis. Autobusas. Judėjimo užduotys.
„Matematika „Kvadratinės lygtys“ – f) Kurioje a reikšmėje lygtis turi vieną šaknį? Kvadratinių lygčių sprendimas. Išspręskite kvadratinę lygtį žodžiu. Išspręskite lygtį raidžių koeficientais. Stenkitės duoti savo protui kuo daugiau maisto. Tikslas: išmokti matyti racionalus būdas sprendžiant kvadratines lygtis. M.V. Lomonosovas. Darydamas pratimus.
"François Viète ir jo teorema" - du daugianariai yra identiški. Matematinis mokymas. Matematiniai atradimai. Vietos formulės. Francois Viet. Mokytojai. Sužinokite iš įvairių šaltinių Kas yra Francois Viet? Diskriminuojantis. Vietos teorema gali būti apibendrinta bet kokio laipsnio daugianariams. Viethe išvestos formulės kvadratinėms lygtims.
„Kvadratinės lygties šaknų radimas“ – lygtis neturi šaknų. Nebaigtos kvadratinės lygtys. Lygčių koeficientų savybės. Lygčių sprendimas naudojant formulę. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas. Kvadratinės lygties šaknų skaičiaus nustatymas. Neišsamių kvadratinių lygčių šaknų radimas. Diskriminanto radimas. Kvadratinių lygčių sprendimo būdai.
„Lygčių sprendimas kvadratinėmis šaknimis“ - Priedas. Piešimas. Lygties sprendimas naudojant „metimo“ metodą. Grafinis sprendimas kvadratines lygtis. Kvadratinės lygties koeficientų savybės. Faktorizavimas. Atrankos metodas pilna aikštė. Lygtis. Koeficientas. Koeficientų suma. Kvadratinių lygčių sprendimo būdai. Laisvas narys.
„Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimas“ – problemos sprendimas. Faktų kaupimas. Paskirstykite šias lygtis į 4 grupes. Tarpusavio peržiūra. Pirminis studijuojamos medžiagos supratimas ir taikymas. Pamokos tema. Apsvarstykite, kokia diena ar valanda yra nelaiminga, kai nieko neišmokote. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas. Klausimas. Mokymosi užduoties nustatymas.
Iš viso temoje yra 34 pranešimai
Francois Viet gimė 1540 m. Prancūzijoje Fontenay-le-Comte. Advokatas pagal išsilavinimą. Jis daug užsiėmė teisininkyste, o 1571–1584 m. buvo karalių Jurgio III ir Jurgio IV patarėjas. Bet viskas tavo Laisvalaikis, visą savo laisvalaikį skyrė matematikai ir astronomijai. Ypač intensyviai jis pradėjo dirbti matematikos srityje 1584 m., kai buvo pašalintas iš pareigų. karališkasis teismas. Vietas išsamiai studijavo tiek senovės, tiek šiuolaikinių matematikų darbus.
François Viète iš esmės sukūrė naują algebrą. Jis įvedė į jį abėcėlės simboliką. Pagrindinės jo idėjos pateiktos darbe „Analitinės dailės įvadas“. Jis rašė: „Visi matematikai žinojo, kad po jų algebra ir almukabala slypi neprilygstami lobiai, bet nežinojo, kaip juos rasti: problemos, kurias laikė sunkiausiomis, mūsų meno pagalba visiškai lengvai išsprendžiamos“.
Iš tiesų, visi žinome, kaip lengva išspręsti, pavyzdžiui, kvadratines lygtis. Yra paruoštos jų sprendimo formulės. Iki F. Vietos kiekvienos kvadratinės lygties sprendimas buvo vykdomas pagal savas taisykles labai ilgais žodiniais argumentais ir aprašymais, gana gremėzdiškais veiksmais. Net pati lygtis moderni forma negalėjo to užsirašyti. Tai taip pat reikalavo gana ilgo ir sudėtingo žodinis aprašymas. Prireikė metų, kad įsisavintume lygčių sprendimo būdus. Bendrosios taisyklės, panašių į šiuolaikines, o juo labiau nebuvo lygčių sprendimo formulių. Nuolatiniai šansai nebuvo nurodyti laiškais. Buvo atsižvelgta tik į išraiškas su konkrečiais skaitiniais koeficientais.
Vietas į algebrą įvedė raidžių simbolius. Po Vietos naujovių atsirado galimybė rašyti taisykles formulių pavidalu. Tiesa, Vietas žodžiais vis dar žymėjo eksponentus, ir tai sukėlė tam tikrų sunkumų sprendžiant kai kurias problemas. Vietos metu numerių pasiūla dar buvo ribota. François Viète savo darbuose labai išsamiai išdėstė pirmojo ir ketvirtojo laipsnio lygčių sprendimo teoriją.
Didelis Vietos nuopelnas buvo savavališkos redukuotos formos lygčių šaknų ir koeficientų ryšio atradimas. natūralus laipsnis. Mes puikiai žinome garsiąją Vietos teoremą dėl redukuotos kvadratinės lygties: „redukuotos formos kvadratinės lygties šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui, paimtam iš priešingas ženklas, o šios lygties šaknų sandauga yra lygi laisvas narys“ Ši teorema leidžia žodžiu patikrinti kvadratinių lygčių sprendimo teisingumą, o paprasčiausiais atvejais – rasti lygčių šaknis.
Taip pat atkreipkite dėmesį, kad Viète pirmą kartą analitiškai (naudodamas formulę) pateikė skaičių π Europoje.
Vietas mirė sulaukęs 63 metų 1603 m.
Vietos teorema.
Šaknų suma kvadratinis trinaris x2 + px + q yra lygus antrajam jo koeficientui p su priešingu ženklu, o sandauga lygi laisvajam nariui q.
Įrodymas.
Tegul x1 ir x2 yra skirtingos kvadratinio trinalio x2 + px + q šaknys. Vietos teorema teigia, kad galioja šie santykiai: x1 + x2 = –p x1 x2 = q
Norėdami tai įrodyti, pakeiskime kiekvieną šaknį kvadratinio trinalio išraiškoje. Gauname dvi teisingas skaitines lygybes: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0
Atimkime šias lygybes viena iš kitos. Gauname x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0
Išplėskime kvadratų skirtumą ir tuo pačiu perkelkime antrąjį terminą į dešinę:
(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)
Kadangi pagal sąlygą šaknys x1 ir x2 yra skirtingos, tai x1 – x2 ≠ 0 ir lygybę galime padalyti iš x1 – x2. Gauname pirmąją teoremos lygybę: x1 + x2 = –p
Antrajam įrodyti, vietoj koeficiento p į vieną iš aukščiau parašytų lygybių (pavyzdžiui, pirmąją) pakeiskime lygų skaičių – (x1 + x2): x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0
Transformuojasi kairė pusė, gauname: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, ką ir reikėjo įrodyti.
Neredukuotos kvadratinės lygties ax2 + bx + c = 0 atveju: x1+x2 = x1x2 =
Teorema atvirkštinė Vietos teoremai.
Jei tenkinamos lygybės x1+x2 = ir x1x2 =, tai skaičiai x1 ir x2 yra kvadratinės lygties ax2 + bx + c = 0 šaknys.
Įrodymas.
Iš lygybės x1+x2 = ir x1x2 = išplaukia, kad x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2.
Bet x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) ir todėl x2 + x + = (x-x1)(x-x2).
Iš to seka, kad x1 ir x2 yra lygties x2 + x + = 0 šaknys, taigi ir lygtys ax2 + bx + c = 0.
Vietos teoremos taikymas.
Vietos teorema naudojama 8 klasėje kvadratinių lygčių šaknims rasti. Galite išplėsti šios teoremos taikymo sritį, pavyzdžiui, spręsdami lygčių sistemas 9-11 klasėse ir spręsdami problemas, susijusias su kvadratinių lygčių ir jų šaknų tyrimu. Tai sumažina laiką ir supaprastina sistemos sprendimą.
Išspręskite lygčių sistemą:
Jeigu darysime prielaidą, kad kokios nors kvadratinės lygties, kurios šaknų suma lygi 5, o sandauga lygi 6, x ir y šaknys, tai gausime dviejų sistemų aibę
Atsakymas: (2;3), (3;2).
Studentai greitai įsisavina šį sprendimo būdą ir su malonumu juo naudojasi. Be to, galite apsunkinti sistemas ir naudoti šią techniką studijuodami įvairiomis temomis 10-11 klasėse.
Išspręskite lygčių sistemą:
Pagal sąlygą x > 0 y > 0 gauname
Tada tegul ir yra kokios nors sumažintos kvadratinės lygties šaknys šią sistemą yra lygiavertis dviejų sistemų deriniui
Antroji visumos sistema neturi sprendinio.
Atsakymas: (9;4).
Žemiau pateikiamos lygčių sistemos, kurias galima išspręsti naudojant Vietos teoremą.
Atsakymas: (65;3), (5;63).
Atsakymas: (23;11), (7;27).
Atsakymas: (4;729),(81;4096).
Atsakymas: (2;2).
5. x + y =12 Atsakymas: (8;4), (4;8).
Atsakymas: (9;4), (4;9).
Panašias lygčių sistemas gali sudaryti pats mokytojas arba į tai įtraukti mokiniai, o tai prisideda prie domėjimosi dalyku ugdymo.
Žodinio sprendimo užduotys.
Nesprendžiant kvadratinių lygčių, suraskite jų šaknis.
1. x2 - 6x + 8 = 0 Atsakymas: 2;4.
2. x2 – 5x – 6 = 0 Atsakymas: -1;6.
3. x2 + 2x - 24 = 0 Atsakymas: -6;4.
4. x2 + 9x + 14 = 0 Atsakymas: -7;-2.
5. x2 – 7x + 10 = 0 Atsakymas: 2;5.
6. 2x2 + 7x + 5 = 0 Atsakymas: -2,5;-1.
Panagrinėkime problemas, kuriose naudojama Vietos teorema.
Neišsprendę lygties 9x²+18x-8=0, raskite x1³+x2³, kur x1,x2 yra jos šaknys.
9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0
1) Diskriminuojantis Virš nulio, D>0, o tai reiškia, kad x1, x2 yra tikrosios šaknys.
Pagal Vietos teoremą išeina, kad x1+x2=-2 x1∙x2= -
3) Paverskite išraišką x1³+x2³: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –
X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).
Pakeiskime mums žinomas reikšmes į gautą formulę ir gaukime atsakymą:
2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -
Esant kokiai k reikšmei lygtyje 9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1.
9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.
Pagal Vietos teoremą: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1), gavome dviejų lygčių sistemą ir vietoj x2 pakeitėme 2x1.
2x12=-k│:2 x1²=-k
3x1=2(k-1)│:3 x1=k-
Palyginkime gautas lygtis:
Išspręskime kvadratinę lygtį ir raskime k:
D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1
Atsakymas: su k1=-1 ir k2=2.
Tegul x1;x2 yra kvadratinės lygties x²+13x-17=0 šaknys. Sudarykite lygtį, kurios šaknys būtų skaičiai 2-x1 ir 2-x2.
Apsvarstykite lygtį x²+13x-17=0.
1) Diskriminantas D>0, o tai reiškia, kad x1 yra tikrosios šaknys.
Pagal Vietos teoremą: x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17
3) Į šią sistemą pakeiskite skaičius 2-x2 ir 2-x2.
(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17
(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17
2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13
Todėl, taikant Vietos teoremą, norima lygtis yra x²-17x+13=0.
Atsakymas: x²-17x+13=0.
Duota kvadratinė lygtis ax2+bx+c=0, kokie yra b ir c ženklai, jei x2>x1,x1>0,x2
Kadangi x2 x1, vadinasi, b>0,c
Atsakymas: b>0,с
6) Duota kvadratinė lygtis ax2+bx+c=0, kokie yra b ir c ženklai, jei x1 0,x2>0.
Pagal Vietos teoremą: x1+x2=-b x1∙x2=c
Kadangi x1>0, x2>0 ir x2>x1, tai reiškia, kad b 0.
Savarankiško sprendimo užduotys.
1) Neišsprendus lygties 2x²-3x-11=0, raskite +, kur x1;x2 yra jos šaknys.
2) Raskite reiškinio + reikšmę, kur x1;x2 yra trinalio x²-18x+11=0 šaknys.
3) Tegul x1;x2 yra kvadratinės lygties x²-7x-46=0 šaknys.
Parašykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra skaičiai
2x1 +x2 ir 2x2 +x1.
Atsakymas: 9x2-21x-481=0
4) Kurioje sveikojo skaičiaus k reikšmėje yra viena iš lygties šaknų
4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 tris kartus mažiau nei antrasis?
Atsakymas: k=2.
5) Duota kvadratinė lygtis ax2+bx+c=0, kokie yra b ir c ženklai, jei x1 0.
