Ar matematinis lūkestis gali būti lygus 0. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis ir dispersija

– berniukų skaičius tarp 10 naujagimių.

Visiškai aišku, kad šis skaičius iš anksto nežinomas, o į kitus dešimt gimusių vaikų gali būti:

Arba berniukai - vienas ir vienintelis iš išvardytų parinkčių.

O norint palaikyti formą, šiek tiek fizinio lavinimo:

– šuolio į tolį nuotolis (kai kuriuose vienetuose).

Net sporto meistras to negali nuspėti :)

Tačiau jūsų hipotezės?

2) Nuolatinis atsitiktinis dydis – priima Visi skaitines reikšmes iš kokio nors baigtinio ar begalinio intervalo.

Pastaba : V mokomoji literatūra populiarios santrumpos DSV ir NSV

Pirmiausia išanalizuokime diskrečiąjį atsitiktinį kintamąjį, tada - tęstinis.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis

- Tai susirašinėjimą tarp galimų šio dydžio verčių ir jų tikimybių. Dažniausiai įstatymas rašomas lentelėje:

Terminas vartojamas gana dažnai eilė paskirstymas, bet kai kuriose situacijose tai skamba dviprasmiškai, todėl pasiliksiu prie „įstatymo“.

Ir dabar Labai svarbus punktas : kadangi atsitiktinis dydis Būtinai priims viena iš vertybių, tada susiformuoja atitinkami įvykiai pilna grupė o jų atsiradimo tikimybių suma lygi vienetui:

arba, jei parašyta trumpai:

Taigi, pavyzdžiui, ant kauliuko metamų taškų tikimybių pasiskirstymo dėsnis turi tokią formą:

Komentarų nėra.

Jums gali susidaryti įspūdis, kad atskiras atsitiktinis kintamasis gali įgyti tik „geras“ sveikųjų skaičių reikšmes. Išsklaidykime iliuziją – jos gali būti bet kokios:

1 pavyzdys

Kai kurie žaidimai turi kitas įstatymas laimėjęs paskirstymas:

...turbūt seniai svajojote apie tokias užduotis :) Išduosiu paslaptį - aš taip pat. Ypač kai baigiau dirbti lauko teorija.

Sprendimas: kadangi atsitiktinis kintamasis gali turėti tik vieną iš tris reikšmes, tada susiformuoja atitinkami įvykiai pilna grupė , o tai reiškia, kad jų tikimybių suma yra lygi vienetui:

„Partizano“ demaskavimas:

– taigi, tikimybė laimėti sutartinius vienetus yra 0,4.

Kontrolė: tuo turėjome įsitikinti.

Atsakymas:

Neretai pasitaiko, kad platinimo įstatymą reikia parengti pačiam. Tam jie naudoja klasikinis tikimybės apibrėžimas, įvykių tikimybių daugybos/sudėties teoremos ir kiti traškučiai tervera:

2 pavyzdys

Dėžutėje yra 50 loterijos bilietų, iš kurių 12 laimi, o 2 iš jų laimi po 1000 rublių, o likusieji - po 100 rublių. Sudarykite atsitiktinio dydžio paskirstymo įstatymą - laimėjimo dydį, jei atsitiktine tvarka iš dėžutės ištrauktas vienas bilietas.

Sprendimas: kaip pastebėjote, atsitiktinio kintamojo reikšmės paprastai pateikiamos didėjimo tvarka. Todėl pradedame nuo mažiausių laimėjimų, būtent rublių.

Tokių bilietų iš viso yra 50 – 12 = 38, o pagal klasikinis apibrėžimas:
– tikimybė, kad atsitiktinai ištrauktas bilietas bus pralaimėtojas.

Kitais atvejais viskas paprasta. Tikimybė laimėti rublių yra:

Patikrinkite: – ir tai ypatinga grazi akimirka tokios užduotys!

Atsakymas: norimas laimėjimų paskirstymo dėsnis:

Kita užduotis skirta savarankiškas sprendimas:

3 pavyzdys

Tikimybė, kad šaulys pataikys į taikinį, yra . Sudarykite atsitiktinio dydžio paskirstymo dėsnį - pataikymų skaičių po 2 šūvių.

...žinojau, kad tu jo pasiilgai :) Prisiminkime daugybos ir sudėjimo teoremos. Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Pasiskirstymo dėsnis visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį, tačiau praktiškai gali būti naudinga (o kartais ir naudingiau) žinoti tik dalį jo skaitinės charakteristikos .

Diskretaus atsitiktinio dydžio lūkestis

Kalbėdamas paprasta kalba, Šis vidutinė numatoma vertė kai bandymas kartojamas daug kartų. Tegul atsitiktinis kintamasis įgauna reikšmes su tikimybėmis atitinkamai. Tada šio atsitiktinio dydžio matematinė lūkestis yra lygi produktų suma visos jo reikšmės atitinka atitinkamas tikimybes:

arba sugriuvo:

Apskaičiuokime, pavyzdžiui, matematinį atsitiktinio dydžio lūkesčius – ant kauliuko metamų taškų skaičių:

Dabar prisiminkime mūsų hipotetinį žaidimą:

Kyla klausimas: ar apskritai apsimoka žaisti šį žaidimą? ...kas turi įspūdžių? Taigi jūs negalite to sakyti „neatsargiai“! Tačiau į šį klausimą galima nesunkiai atsakyti apskaičiavus matematinį lūkestį, iš esmės - svertinis vidurkis pagal laimėjimo tikimybę:

Taigi, matematinis šio žaidimo lūkestis pralaimi.

Nepasitikėk savo įspūdžiais – pasitikėk skaičiais!

Taip, čia galima laimėti 10 ar net 20-30 kartų iš eilės, bet ilgainiui mūsų laukia neišvengiama pražūtis. Ir tau nepatarčiau tokių žaidimų žaisti :) Na gal tik pramogai.

Iš viso to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia, kad matematinis lūkestis nebėra ATSITIKTINĖ reikšmė.

Kūrybinė užduotis Už nepriklausomi tyrimai:

4 pavyzdys

Ponas X žaidžia europietišką ruletę kita sistema: nuolat stato 100 rublių už „raudoną“. Sudarykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį – jo laimėjimą. Apskaičiuokite matematinį laimėjimo tikėjimą ir suapvalinkite jį iki artimiausios kapeikos. Kiek vidutiniškai Ar žaidėjas pralaimi už kiekvieną statytą šimtą?

Nuoroda : Europietiškoje ruletėje yra 18 raudonų, 18 juodų ir 1 žalias sektorius („nulis“). Jei pasirodo „raudonas“, žaidėjui sumokamas dvigubas statymas, kitu atveju jis patenka į kazino pajamas

Yra daugybė kitų ruletės sistemų, kurioms galite sukurti savo tikimybių lenteles. Bet tai yra atvejis, kai mums nereikia jokių paskirstymo dėsnių ir lentelių, nes yra tikrai nustatyta, kad žaidėjo matematinis lūkestis bus visiškai toks pat. Vienintelis dalykas, kuris keičiasi nuo sistemos iki sistemos, yra

Be pasiskirstymo dėsnių, galima aprašyti ir atsitiktinius kintamuosius skaitinės charakteristikos .

Matematinis lūkestis Atsitiktinio dydžio M (x) vadinamas jo vidutine reikšme.

Laukimas diskretinis atsitiktinis dydis apskaičiuojamas pagal formulę

Kur – atsitiktinių dydžių reikšmės, p aš- jų tikimybės.

Panagrinėkime matematinio lūkesčio savybes:

1. Matematinis konstantos lūkestis yra lygus pačiai konstantai

2. Jei atsitiktinis dydis padauginamas iš tam tikro skaičiaus k, tai matematinis lūkestis bus padaugintas iš to paties skaičiaus

M (kx) = kM (x)

3. Sumos matematinis lūkestis atsitiktiniai dydžiai lygus jų matematinių lūkesčių sumai

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių x 1, x 2, … x n sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.

M (x 1, x 2, … x n) = M (x 1) M (x 2) … M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

Apskaičiuokime atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą pagal 11 pavyzdį.

M(x) = = .

12 pavyzdys. Atsitiktinius dydžius x 1, x 2 tegul atitinkamai nurodo skirstymo dėsniai:

x 1 2 lentelė

x 2 3 lentelė

Apskaičiuokime M (x 1) ir M (x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0

Abiejų atsitiktinių dydžių matematiniai lūkesčiai yra vienodi – jie lygūs nuliui. Tačiau jų pasiskirstymo pobūdis skiriasi. Jei reikšmės x 1 mažai skiriasi nuo jų matematinio lūkesčio, tada reikšmės x 2 colių didele dalimi skiriasi nuo jų matematinio lūkesčio, o tokių nukrypimų tikimybė nemaža. Šie pavyzdžiai rodo, kad iš vidutinės reikšmės neįmanoma nustatyti, kokie nukrypimai nuo jos būna – tiek mažesni, tiek didesni. didžioji pusė. Taigi su tuo pačiu vidutinis Remiantis metiniu kritulių kiekiu dviejose vietovėse, negalima teigti, kad šios vietovės yra vienodai palankios žemės ūkio darbams. Panašus į vidurkį darbo užmokesčio negalima teisti savitasis svoris daug ir mažai apmokamų darbuotojų. Todėl įvedama skaitinė charakteristika - dispersija D(x) , kuris apibūdina atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo vidutinės reikšmės laipsnį:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Dispersija yra matematinis atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo matematinio lūkesčio kvadratas. Diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams dispersija apskaičiuojama naudojant formulę:

D(x)= = (3)

Iš dispersijos apibrėžimo matyti, kad D (x) 0.

Dispersijos savybės:

1. Konstantos dispersija lygi nuliui

2. Jei atsitiktinis dydis padauginamas iš tam tikro skaičiaus k, tada dispersija bus padauginta iš šio skaičiaus kvadrato

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. Porinių nepriklausomų atsitiktinių dydžių x 1 , x 2 , … x n sumos dispersija yra lygi dispersijų sumai.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

Apskaičiuokime atsitiktinio dydžio dispersiją pagal 11 pavyzdį.

Matematinė lūkestis M (x) = 1. Todėl pagal (3) formulę turime:

D (x) = (0–1) 2 1/4 + (1–1) 2 1/2 + (2–1) 2 1/4 = 1 1/4 +1 1/4 = 1/2

Atminkite, kad lengviau apskaičiuoti dispersiją, jei naudojate 3 ypatybę:

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

Apskaičiuokime atsitiktinių dydžių x 1 , x 2 dispersijas pagal 12 pavyzdį naudodami šią formulę. Abiejų atsitiktinių dydžių matematiniai lūkesčiai yra lygūs nuliui.

D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260

Kaip artimesnę vertę dispersija iki nulio, tuo mažesnė atsitiktinio dydžio sklaida, palyginti su vidutine verte.

Kiekis vadinamas standartinis nuokrypis. Atsitiktinio kintamojo režimas x diskretinio tipo Md Vadinama didžiausią tikimybę turinčio atsitiktinio dydžio reikšmė.

Atsitiktinio kintamojo režimas x ištisinio tipo Md, paskambino realus skaičius, apibrėžiamas kaip didžiausio tikimybės tankio skirstinio f(x) taškas.

Atsitiktinio dydžio mediana x ištisinis tipas Mn yra realusis skaičius, tenkinantis lygtį

X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5

Sprendimas: matematinis lūkestis yra lygus visų galimų X reikšmių ir jų tikimybių sandaugų sumai:

M (X) = 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 = 6.

Pats sprendimo pavyzdys (galite naudoti skaičiuotuvą).
Raskite diskretiškojo atsitiktinio dydžio X matematinį tikėjimą, nurodytą skirstymo dėsnio:

X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4

Matematinis lūkestis turi šias savybes.

Savybė 1. Matematinis lūkestis pastovią vertę lygus pastoviausiajai: M(C)=C.

2 nuosavybė. Pastovus daugiklis gali būti priimtas kaip matematinio lūkesčio ženklas: M(СХ)=СМ(Х).

Savybė 3. Matematinis vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos lūkestis yra lygus faktorių matematinių lūkesčių sandaugai: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)

Savybė 4. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).

189 uždavinys. Raskite atsitiktinio dydžio Z matematinę lūkesčius, jei žinomi X ir Y matematiniai lūkesčiai: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Sprendimas: Naudodamiesi matematinio lūkesčio savybėmis (matematinis sumos lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai; pastovų koeficientą galima išimti iš matematinio lūkesčio ženklo), gauname M(Z )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Naudodamiesi matematinio lūkesčio savybėmis, įrodykite, kad: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) nuokrypio X-M(X) matematinė lūkestis lygi nuliui.

191. Diskretusis atsitiktinis dydis X įgyja tris galimas reikšmes: x1= 4 Su tikimybe p1 = 0,5; xЗ = 6 Su tikimybe P2 = 0,3 ir x3 su tikimybe p3. Raskite: x3 ir p3, žinant, kad M(X)=8.

192. Pateikiamas galimų diskretinio atsitiktinio dydžio X reikšmių sąrašas: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1 taip pat žinomi šios reikšmės ir jos kvadrato matematiniai lūkesčiai: M(X) = 0,1; , M(X^2) = 0 ,9. Raskite tikimybes p1, p2, p3, atitinkančias galimas xi reikšmes

194. 10 dalių partijoje yra trys nestandartinės dalys. Dvi dalys buvo parinktos atsitiktinai. Raskite matematinį diskretinio atsitiktinio dydžio X lūkestį – nestandartinių dalių skaičių tarp dviejų pasirinktų.

196. Raskite tokių metimų iš penkių matematinį diskretinio atsitiktinio dydžio X skaičių. kauliukai, kurių kiekviename ant dviejų kauliukų atsiras vienas taškas, jei bendras skaičius metimai lygūs dvidešimt.

Matematinis lūkestis. Matematinis lūkestis diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X, šeimininkas galutinis skaičius vertybes Xi su tikimybėmis ri, suma vadinama:

Matematinis lūkestis nuolatinis atsitiktinis dydis X vadinamas jo vertybių sandaugos integralu X apie tikimybių pasiskirstymo tankį f(x):

(6b)

Netinkamas integralas (6 b) laikomas absoliučiai konvergenciniu (kitaip jie sako, kad matematinis lūkestis M(X) neegzistuoja). Matematinis lūkestis apibūdina vidutinė vertė atsitiktinis kintamasis X. Jo matmuo sutampa su atsitiktinio dydžio matmeniu.

Matematinės lūkesčių savybės:

Sklaida. Dispersija atsitiktinis kintamasis X numeris vadinamas:

Skirtumas yra sklaidos charakteristika atsitiktinių kintamųjų reikšmės X palyginti su jo vidutine verte M(X). Dispersijos matmuo yra lygus atsitiktinio dydžio kvadratiniam matmeniui. Remdamiesi dispersijos (8) ir matematinių lūkesčių (5) apibrėžimais diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui ir (6) nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui, gauname panašias dispersijos išraiškas:

(9)

Čia m = M(X).

Dispersijos savybės:

Standartinis nuokrypis:

(11)

Kadangi vidurkio matmuo kvadratinis nuokrypis kaip ir atsitiktinis dydis, jis dažniau naudojamas kaip dispersijos, o ne dispersijos matas.

Paskirstymo akimirkos. Matematinio lūkesčio ir sklaidos sąvokos yra ypatingi daugiau atvejai bendra koncepcija atsitiktinių dydžių skaitinėms charakteristikoms – paskirstymo momentai. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo momentai pateikiami kaip kai kurių paprastų atsitiktinio dydžio funkcijų matematiniai lūkesčiai. Taigi, užsakymo momentas k taško atžvilgiu X 0 vadinamas matematiniu lūkesčiu M(X–X 0 )k. Akimirkos apie kilmę X= 0 yra vadinami pradines akimirkas ir yra paskirti:

(12)

Pirmosios eilės pradinis momentas yra nagrinėjamo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo centras:

(13)

Akimirkos apie paskirstymo centrą X= m yra vadinami centriniai taškai ir yra paskirti:

(14)

Iš (7) išplaukia, kad pirmosios eilės centrinis momentas visada yra lygus nuliui:

Centriniai momentai nepriklauso nuo atsitiktinių dydžių reikšmių kilmės, nuo tada, kai jie pasislenka pastovią vertę SU jo paskirstymo centras pasislenka ta pačia verte SU, o nuokrypis nuo centro nesikeičia: X – m = (X – SU) – (m – SU).
Dabar tai aišku dispersija- Tai antros eilės centrinis momentas:

Asimetrija. Trečios eilės centrinis momentas:

(17)

tarnauja vertinimui pasiskirstymo asimetrija. Jei skirstinys yra simetriškas taško atžvilgiu X= m, tada trečiosios eilės centrinis momentas bus lygus nuliui (kaip ir visi centriniai nelyginių eilių momentai). Todėl, jei trečios eilės centrinis momentas skiriasi nuo nulio, pasiskirstymas negali būti simetriškas. Asimetrijos dydis vertinamas naudojant bedimensį asimetrijos koeficientas:

(18)

Asimetrijos koeficiento ženklas (18) rodo dešiniąją arba kairiąją asimetriją (2 pav.).

Ryžiai. 2. Pasiskirstymo asimetrijos tipai.

Perteklius. Ketvirtosios eilės centrinis momentas:

(19)

tarnauja įvertinti vadinamąją perteklius, kuris nustato pasiskirstymo kreivės statumo (smailumo) laipsnį šalia pasiskirstymo centro kreivės atžvilgiu. normalusis pasiskirstymas. Kadangi normaliam pasiskirstymui, kurtozės vertė yra:

(20)

Fig. 3 parodyta pasiskirstymo kreivių su skirtingos reikšmės perteklius. Normaliam pasiskirstymui E= 0. Kreivės, kurios yra smailesnės nei įprasta, turi teigiamą kreivę, o tos, kurių viršūnė yra plokščia, turi neigiamą.

Ryžiai. 3. Skirtingo statumo laipsnio pasiskirstymo kreivės (kurtozė).

Aukštesnio lygio momentai inžinerinėse programose matematinė statistika paprastai nenaudojamas.

Mada diskretiškas atsitiktinis kintamasis yra labiausiai tikėtina jo reikšmė. Mada tęstinis atsitiktinis dydis yra jo reikšmė, kuriai esant tikimybės tankis yra didžiausias (2 pav.). Jei pasiskirstymo kreivė turi vieną maksimumą, tada skirstinys vadinamas vienarūšis. Jei pasiskirstymo kreivė turi daugiau nei vieną maksimumą, tada skirstinys vadinamas multimodalinis. Kartais pasitaiko skirstinių, kurių kreivės turi ne maksimumą, o minimumą. Tokie skirstiniai vadinami antimodalinis. IN bendras atvejis atsitiktinio dydžio režimas ir matematinis lūkestis nesutampa. Ypatingu atveju, už modalinis, t.y. turintis modą, simetrišką pasiskirstymą ir su sąlyga, kad yra matematinis lūkestis, pastarasis sutampa su skirstinio moda ir simetrijos centru.

Mediana atsitiktinis kintamasis X- tai yra jo prasmė Meh, kurioms galioja lygybė: t.y. lygiai taip pat tikėtina, kad atsitiktinis dydis X bus mažiau ar daugiau Meh. Geometriškai mediana yra taško, kuriame plotas po pasiskirstymo kreive yra padalintas per pusę, abscisė (2 pav.). Simetriško modalinio pasiskirstymo atveju mediana, režimas ir matematinis lūkestis yra vienodi.

Diskrečiųjų ir nuolatinių atsitiktinių dydžių pagrindinės skaitinės charakteristikos: matematinė tikėtis, dispersija ir standartinis nuokrypis. Jų savybės ir pavyzdžiai.

Pasiskirstymo dėsnis (paskirstymo funkcija ir pasiskirstymo eilutė arba tikimybių tankis) visiškai apibūdina atsitiktinio dydžio elgesį. Tačiau daugelyje problemų pakanka žinoti kai kurias skaitines tiriamos vertės charakteristikas (pavyzdžiui, jos vidutinę vertę ir galimą nuokrypį nuo jos), kad būtų galima atsakyti į pateiktą klausimą. Panagrinėkime pagrindines skaitines diskrečiųjų atsitiktinių dydžių charakteristikas.

Apibrėžimas 7.1.Matematinis lūkestis Diskretusis atsitiktinis dydis yra jo galimų reikšmių sandaugų ir atitinkamų tikimybių suma:

M(X) = X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x p p p.(7.1)

Jei atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra begalinis, tada, jei gauta eilutė absoliučiai suartėja.

1 pastaba. Matematinis lūkestis kartais vadinamas svertinis vidurkis, nes jis apytiksliai lygus atsitiktinio dydžio stebimų verčių aritmetiniam vidurkiui didelis skaičius eksperimentai.

2 pastaba. Iš matematinio lūkesčio apibrėžimo išplaukia, kad jo reikšmė yra ne mažesnė už mažiausią įmanomą atsitiktinio dydžio reikšmę ir ne didesnė už didžiausią.

3 pastaba. Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis yra neatsitiktinis(nuolatinis. Vėliau pamatysime, kad tas pats pasakytina ir apie nuolatinius atsitiktinius dydžius.

1 pavyzdys. Raskime matematinį laukia atsitiktinio dydžio X- standartinių dalių skaičius tarp trijų, parinktų iš 10 dalių partijos, įskaitant 2 su defektais. Sukurkime paskirstymo seriją X. Iš probleminių sąlygų matyti, kad X gali įgauti reikšmes 1, 2, 3. Tada

2 pavyzdys. Nustatykite atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius X– monetų metimų skaičius prieš pirmą kartą pasirodžius herbui. Ši vertė gali užtrukti begalinis skaičius reikšmės (galimų verčių rinkinys yra rinkinys natūraliuosius skaičius). Jo platinimo serija yra tokia:

+ (skaičiuojant, be galo mažėjančios sumos formulė geometrinė progresija: , kur).

Matematinės lūkesčių savybės.

1) Matematinis konstantos lūkestis yra lygus pačiai konstantai:

M(SU) = SU.(7.2)

Įrodymas. Jei svarstysime SU kaip diskrečiųjų atsitiktinių dydžių, turinčių tik vieną reikšmę SU su tikimybe r= 1, tada M(SU) = SU?1 = SU.

2) Pastovus koeficientas gali būti paimtas iš matematinio lūkesčio ženklo:

M(CX) = CM(X). (7.3)

Įrodymas. Jei atsitiktinis dydis X pateikta paskirstymo serijomis

Tada M(CX) = Cx 1 r 1 + Cx 2 r 2 + … + Cx p p p = SU(X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x p r p) = CM(X).

Apibrėžimas 7.2. Vadinami du atsitiktiniai dydžiai nepriklausomas, jei vieno iš jų paskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokias reikšmes įgavo kitas. Kitu atveju atsitiktiniai dydžiai priklausomas.

Apibrėžimas 7.3. Paskambinkime nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandauga X Ir Y atsitiktinis kintamasis XY, kurių galimos reikšmės yra lygios visų galimų verčių sandaugoms X visoms įmanomoms vertybėms Y, o atitinkamos tikimybės lygios veiksnių tikimybių sandaugoms.

3) Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Įrodymas. Norėdami supaprastinti skaičiavimus, apsiribojame tuo atveju, kai X Ir Y imkite tik dvi galimas reikšmes:

Vadinasi, M(XY) = x 1 y 1 ?p 1 g 1 + x 2 y 1 ?p 2 g 1 + x 1 y 2 ?p 1 g 2 + x 2 y 2 ?p 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + y 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M(X)?M(Y).

1 pastaba. Panašiai galime įrodyti šią savybę daugiau galimos veiksnių reikšmės.

2 pastaba. 3 savybė yra teisinga bet kokio nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugai, kuri įrodoma matematinės indukcijos metodu.

Apibrėžimas 7.4. Apibrėžkime atsitiktinių dydžių suma X Ir Y kaip atsitiktinis dydis X+Y, kurių galimos reikšmės yra lygios kiekvienos galimos reikšmės sumoms X su visais galima prasmė Y; tokių sumų tikimybės yra lygios terminų tikimybių sandaugoms (priklausomiems atsitiktiniams dydžiams - vieno nario tikimybės sandaugai sąlyginė tikimybė antra).

4) Dviejų atsitiktinių dydžių (priklausomų arba nepriklausomų) sumos matematinė lūkestis yra lygi terminų matematinių lūkesčių sumai:

M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Įrodymas.

Dar kartą apsvarstykite atsitiktinius kintamuosius, pateikiamos eilutėmis nuosavybės įrodyme pateikti skirstiniai 3. Tada galimos reikšmės X+Y yra X 1 + adresu 1 , X 1 + adresu 2 , X 2 + adresu 1 , X 2 + adresu 2. Jų tikimybes pažymėkime atitinkamai kaip r 11 , r 12 , r 21 ir r 22. Mes rasime M(X+Y) = (x 1 + y 1)p 11 + (x 1 + y 2)p 12 + (x 2 + y 1)p 21 + (x 2 + y 2)p 22 =

= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).

Įrodykime tai r 11 + r 22 = r 1. Iš tiesų, įvykis, kuris X+Y imsis vertybių X 1 + adresu 1 arba X 1 + adresu 2 ir kurio tikimybė yra r 11 + r 22 sutampa su įvykiu, kuris X = X 1 (jo tikimybė yra r 1). Panašiai įrodyta, kad p 21 + p 22 = r 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. Reiškia,

M(X+Y) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).

komentuoti. Iš 4 savybės išplaukia, kad bet kokio atsitiktinių dydžių skaičiaus suma yra lygi terminų matematinių lūkesčių sumai.

Pavyzdys. Raskite taškų, gautų metant penkis kauliukus, sumos matematinį lūkestį.

Raskime matematinį taškų skaičiaus tikėjimą metant vieną kauliuką:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Tas pats skaičius yra lygus matematiniam bet kurio kauliuko išmestų taškų skaičiaus lūkesčiui. Todėl pagal 4 turtą M(X)=

Sklaida.

Norint susidaryti idėją apie atsitiktinio dydžio elgesį, neužtenka žinoti tik jo matematinius lūkesčius. Apsvarstykite du atsitiktinius kintamuosius: X Ir Y, nurodyta formos paskirstymo serijomis

Mes rasime M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Kaip matote, abiejų dydžių matematiniai lūkesčiai yra vienodi, bet jei HM(X) gerai apibūdina atsitiktinio dydžio elgesį, nes jis yra labiausiai tikėtina jo reikšmė (o likusios reikšmės mažai skiriasi nuo 50), tada reikšmės Yžymiai pašalintas iš M(Y). Todėl kartu su matematiniu lūkesčiu pageidautina žinoti, kiek atsitiktinio dydžio reikšmės nuo jo nukrypsta. Šiam rodikliui apibūdinti naudojama dispersija.

Apibrėžimas 7.5.Sklaida (sklaidymas) Atsitiktinio kintamojo matematinis tikėjimasis kvadrato nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio:

D(X) = M (X-M(X))². (7.6)

Raskime atsitiktinio dydžio dispersiją X(standartinių dalių skaičius tarp pasirinktų) šios paskaitos 1 pavyzdyje. Apskaičiuokime kiekvienos galimos reikšmės nuokrypį nuo matematinio lūkesčio kvadratu:

(1–2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Vadinasi,

1 pastaba. Nustatant sklaidą, vertinamas ne pats nuokrypis nuo vidurkio, o jo kvadratas. Tai daroma taip, kad skirtingų ženklų nukrypimai nepanaikintų vienas kito.

2 pastaba. Iš dispersijos apibrėžimo matyti, kad šis dydis turi tik neneigiamas reikšmes.

3 pastaba. Yra patogesnė skaičiavimams dispersijos skaičiavimo formulė, kurios pagrįstumą įrodo ši teorema:

7.1 teorema.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Įrodymas.

Naudojant ką M(X) yra pastovi reikšmė, o matematinės lūkesčio savybes, formulę (7.6) transformuojame į formą:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) – 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) – 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), ką reikėjo įrodyti.

Pavyzdys. Apskaičiuokime atsitiktinių dydžių dispersijas X Ir Y aptarta šio skyriaus pradžioje. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Taigi antrojo atsitiktinio dydžio dispersija kelis tūkstančius kartų didesnė už pirmojo. Taigi, net ir nežinant šių dydžių pasiskirstymo dėsnių, pagal žinomos vertės dispersiją galime pasakyti taip X mažai nukrypsta nuo savo matematinių lūkesčių, o už Yšis nukrypimas yra gana reikšmingas.

Sklaidos savybės.

1) Pastovios reikšmės dispersija SU lygus nuliui:

D (C) = 0. (7.8)

Įrodymas. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Pastovus koeficientas gali būti paimtas iš dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Įrodymas. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija yra lygi jų dispersijų sumai:

D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Įrodymas. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

1 išvada. Kelių vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija yra lygi jų dispersijų sumai.

2 išvada. Konstantos ir atsitiktinio dydžio sumos dispersija lygi atsitiktinio dydžio dispersijai.

4) Skirtumo tarp dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių dispersija yra lygi jų dispersijų sumai:

D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Įrodymas. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

Dispersija suteikia atsitiktinio dydžio kvadratinio nuokrypio nuo vidurkio vidutinę reikšmę; pačiam nuokrypiui įvertinti naudojama reikšmė, vadinama standartiniu nuokrypiu.

Apibrėžimas 7.6.Standartinis nuokrypisσ atsitiktinis dydis X paskambino kvadratinė šaknis iš dispersijos:

Pavyzdys. Ankstesniame pavyzdyje vidurkiai standartiniai nuokrypiai X Ir Y yra atitinkamai vienodi