Lygties sprendimo, naudojant Vietos teoremą, pavyzdys. Vietos teorema kvadratinėms ir kitoms lygtims

Tarp kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų, be šaknies formulių, yra ir kitų naudingų ryšių, kurie pateikiami Vietos teorema. Šiame straipsnyje pateiksime kvadratinės lygties Vietos teoremos formuluotę ir įrodymą. Toliau svarstome, kad teorema yra atvirkštinė Vietos teoremai. Po to dažniausiai analizuosime sprendimus tipiniai pavyzdžiai. Galiausiai užrašome Vietos formules, kurios apibrėžia ryšį tarp tikrųjų šaknų algebrinė lygtis n laipsnis ir jo koeficientai.

Puslapio naršymas.

Vietos teorema, formuluotė, įrodymas

Iš formos kvadratinės lygties a·x 2 +b·x+c=0, kur D=b 2 −4·a·c, šaknų formulių išplaukia tokie ryšiai: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 · x 2 = c/a . Šie rezultatai patvirtinami Vietos teorema:

Teorema.

Jeigu x 1 ir x 2 yra kvadratinės lygties a x 2 +b x+c=0 šaknys, tada šaknų suma lygi koeficientų b ir a, paimtų iš priešingas ženklas, o šaknų sandauga lygi koeficientų c ir a santykiui, tai yra.

Įrodymas.

Vietos teoremos įrodymą atliksime pagal tokią schemą: kvadratinės lygties šaknų sumą ir sandaugą sudarysime naudodami garsios formulėsšaknis, po to gautas išraiškas transformuojame ir įsitikiname, kad jos yra atitinkamai lygios −b/a ir c/a.

Pradėkime nuo šaknų sumos ir ją sudarykime. Dabar sumažiname trupmenas iki bendras vardiklis, mes turime. Gautos trupmenos skaitiklyje, po kurio:. Galiausiai, po 2, mes gauname . Tai įrodo pirmąjį Vietos teoremos ryšį su kvadratinės lygties šaknų suma. Pereikime prie antrojo.

Sudarome kvadratinės lygties šaknų sandaugą: . Pagal trupmenų dauginimo taisyklę, paskutinis gabalas gali būti parašytas kaip. Dabar skaitiklyje skliaustą padauginame iš skliausto, bet greičiau sutraukti šį produktą kvadratinio skirtumo formulė, Taigi. Tada, prisimindami, atliekame kitą perėjimą. O kadangi kvadratinės lygties diskriminantas atitinka formulę D=b 2 −4·a·c, tai vietoje D paskutinėje trupmenoje galime pakeisti b 2 −4·a·c, gauname. Atidarius skliaustus ir užmetus panašius terminus gauname trupmeną , o jos sumažinimas 4 ·a suteikia . Tai įrodo antrąjį Vietos teoremos santykį su šaknų sandauga.

Jei paaiškinimų praleisime, Vietos teoremos įrodymas bus lakoniškas:
,
.

Belieka tik pastebėti, kad kada lygus nuliui Diskriminacinė kvadratinė lygtis turi vieną šaknį. Tačiau jei manysime, kad lygtis šiuo atveju turi dvi identiškos šaknys, tada galioja ir Vietos teoremos lygybės. Iš tiesų, kai D=0 kvadratinės lygties šaknis yra lygi , tada ir , o kadangi D=0, tai yra b 2 −4·a·c=0, iš kur b 2 =4·a·c, tada .

Praktikoje Vietos teorema dažniausiai naudojama redukuotos kvadratinės lygties (su pirmaujančiu koeficientu a lygiu 1) atžvilgiu, kurios forma x 2 +p·x+q=0. Kartais jis suformuluojamas tik tokio tipo kvadratinėms lygtims, o tai neriboja bendrumo, nes bet kurią kvadratinę lygtį galima pakeisti lygiaverte lygtimi, padalijus abi puses iš nulinio skaičiaus a. Pateikiame atitinkamą Vietos teoremos formuluotę:

Teorema.

Sumažintos kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknų suma lygi x koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui, tai yra x 1 +x 2 =-p, x 1 x 2 = q.

Teorema priešinga Vietos teoremai

Antroji Vietos teoremos formuluotė, pateikta ankstesnėje pastraipoje, rodo, kad jei x 1 ir x 2 yra sumažintos kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknys, tada santykiai x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Kita vertus, iš užrašytų ryšių x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q išplaukia, kad x 1 ir x 2 yra kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknys. Kitaip tariant, atvirkštinė Vietos teorema yra teisinga. Suformuluokime tai teoremos forma ir įrodykime.

Teorema.

Jei skaičiai x 1 ir x 2 yra tokie, kad x 1 +x 2 =−p ir x 1 · x 2 =q, tai x 1 ir x 2 yra sumažintos kvadratinės lygties x 2 +p · x+q šaknys. =0.

Įrodymas.

Lygtyje x 2 +p·x+q=0 pakeitus koeficientus p ir q jų išraiškomis per x 1 ir x 2, ji paverčiama lygiaverte lygtimi.

Pakeiskime skaičių x 1 vietoj x gautoje lygtyje ir gausime lygybę x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, kuri bet kuriam x 1 ir x 2 reiškia teisingą skaitinę lygybę 0=0, nes x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 · x 2 =0. Todėl x 1 yra lygties šaknis x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, o tai reiškia, kad x 1 yra lygiavertės lygties x 2 šaknis +p·x+q=0.

Jei lygtyje x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 vietoj x pakeičiant skaičių x 2, gauname lygybę x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Tai tikra lygybė, nes x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 · x 2 −x 2 2 +x 1 · x 2 =0. Todėl x 2 taip pat yra lygties šaknis x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, todėl lygtys x 2 +p·x+q=0.

Tai užbaigia teoremos, priešingos Vietos teoremai, įrodymą.

Vietos teoremos panaudojimo pavyzdžiai

Atėjo laikas pakalbėti apie Vietos teoremos ir jos atvirkštinės teoremos praktinį taikymą. Šiame skyriuje analizuosime kelių tipiškiausių pavyzdžių sprendimus.

Pradėkime taikydami atvirkštinę teoremą Vietos teoremai. Patogu naudoti norint patikrinti, ar du skaičiai yra duotosios kvadratinės lygties šaknys. Tokiu atveju apskaičiuojama jų suma ir skirtumas, po to tikrinamas ryšių pagrįstumas. Jei tenkinami abu šie ryšiai, tai remiantis teorema, priešinga Vietos teoremai, daroma išvada, kad šie skaičiai yra lygties šaknys. Jei bent vienas iš santykių netenkinamas, tai šie skaičiai nėra kvadratinės lygties šaknys. Šis metodas gali būti naudojamas sprendžiant kvadratines lygtis, kad būtų patikrintos rastos šaknys.

Pavyzdys.

Kuri iš skaičių porų 1) x 1 =−5, x 2 =3 arba 2) arba 3) yra kvadratinės lygties 4 x 2 −16 x+9=0 šaknų pora?

Sprendimas.

Duotos kvadratinės lygties 4 x 2 −16 x+9=0 koeficientai yra a=4, b=−16, c=9. Pagal Vietos teoremą kvadratinės lygties šaknų suma turi būti lygi −b/a, tai yra 16/4=4, o šaknų sandauga turi būti lygi c/a, tai yra 9 /4.

Dabar apskaičiuokime kiekvieno iš trijų skaičių sumą ir sandaugą duotos poros ir palyginkite jas su ką tik gautomis reikšmėmis.

Pirmuoju atveju turime x 1 +x 2 =−5+3=−2. Gauta reikšmė skiriasi nuo 4, todėl tolesnio patikrinimo atlikti negalima, tačiau naudojant Vietos teoremai atvirkštinę teoremą, galima iš karto daryti išvadą, kad pirmoji skaičių pora nėra duotosios kvadratinės lygties šaknų pora.

Pereikime prie antrojo atvejo. Čia, tai yra, įvykdyta pirmoji sąlyga. Mes patikriname antrąją sąlygą: gauta vertė skiriasi nuo 9/4. Vadinasi, antroji skaičių pora nėra kvadratinės lygties šaknų pora.

Pasiliko paskutinis atvejis. Čia ir. Tenkinamos abi sąlygos, todėl šie skaičiai x 1 ir x 2 yra duotosios kvadratinės lygties šaknys.

Atsakymas:

Vietos teoremos atvirkštinis variantas gali būti naudojamas praktiškai norint rasti kvadratinės lygties šaknis. Paprastai parenkamos sveikosios duotųjų kvadratinių lygčių šaknys su sveikaisiais koeficientais, nes kitais atvejais tai padaryti gana sunku. Šiuo atveju jie naudojasi tuo, kad jei dviejų skaičių suma yra lygi antrajam kvadratinės lygties koeficientui, paimtam su minuso ženklu, o šių skaičių sandauga yra lygi laisvajam nariui, tada šie skaičiai yra šios kvadratinės lygties šaknys. Supraskime tai pavyzdžiu.

Paimkime kvadratinę lygtį x 2 −5 x+6=0. Kad skaičiai x 1 ir x 2 būtų šios lygties šaknys, turi būti tenkinamos dvi lygybės: x 1 + x 2 =5 ir x 1 · x 2 =6. Belieka pasirinkti tokius skaičius. IN šiuo atveju tai padaryti gana paprasta: tokie skaičiai yra 2 ir 3, nes 2+3=5 ir 2·3=6. Taigi 2 ir 3 yra šios kvadratinės lygties šaknys.

Vietos teoremai atvirkštinę teoremą ypač patogu naudoti norint rasti antrąją duotosios kvadratinės lygties šaknį, kai viena iš šaknų jau žinoma arba akivaizdi. Šiuo atveju antrąją šaknį galima rasti iš bet kurio ryšio.

Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį 512 x 2 −509 x −3=0. Čia nesunku pastebėti, kad lygties šaknis yra vienybė, nes šios kvadratinės lygties koeficientų suma lygi nuliui. Taigi x 1 = 1. Antrąją šaknį x 2 galima rasti, pavyzdžiui, iš santykio x 1 ·x 2 =c/a. Turime 1 x 2 = −3/512, iš kurių x 2 = −3/512. Taip nustatėme abi kvadratinės lygties šaknis: 1 ir −3/512.

Akivaizdu, kad šaknis pasirinkti patartina tik daugumoje paprasti atvejai. Kitais atvejais, norėdami rasti šaknis, galite naudoti kvadratinės lygties šaknų formules per diskriminantą.

Dar vienas dalykas praktinis pritaikymas Teorema, priešinga Vietos teoremai, susideda iš kvadratinių lygčių sudarymo, atsižvelgiant į šaknis x 1 ir x 2. Norėdami tai padaryti, pakanka apskaičiuoti šaknų sumą, kuri suteikia koeficientą x su priešingu duotosios kvadratinės lygties ženklu, ir šaknų sandaugą, kuri suteikia nemokamas narys.

Pavyzdys.

Parašykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra skaičiai –11 ir 23.

Sprendimas.

Pažymėkime x 1 =−11 ir x 2 =23. Apskaičiuojame šių skaičių sumą ir sandaugą: x 1 +x 2 =12 ir x 1 ·x 2 =−253. Vadinasi, nurodytus skaičius yra redukuotos kvadratinės lygties šaknys, kurių antrasis koeficientas yra –12 ir laisvasis narys –253. Tai reiškia, kad x 2 −12·x−253=0 yra reikalinga lygtis.

Atsakymas:

x 2 −12·x−253=0 .

Vietos teorema labai dažnai naudojama sprendžiant uždavinius, susijusius su kvadratinių lygčių šaknų ženklais. Kaip Vietos teorema susijusi su redukuotos kvadratinės lygties x 2 +p·x+q=0 šaknų ženklais? Štai du svarbūs teiginiai:

Jei laisvasis narys q yra teigiamas skaičius, o kvadratinė lygtis turi realias šaknis, tada jie abu yra teigiami arba abu neigiami.
Jei laisvasis narys q yra neigiamas skaičius, o kvadratinė lygtis turi realias šaknis, tai jų ženklai yra skirtingi, kitaip tariant, viena šaknis yra teigiama, o kita – neigiama.

Šie teiginiai išplaukia iš formulės x 1 · x 2 =q, taip pat teigiamo daugybos taisyklių, neigiamus skaičius ir skaičiai su skirtingais ženklais. Pažvelkime į jų taikymo pavyzdžius.

Pavyzdys.

R tai teigiama. Naudodami diskriminantinę formulę randame D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, raiškos r 2 +8 reikšmę. yra teigiamas bet kuriam realiam r, taigi D>0 bet kuriam realiam r. Vadinasi, pradinė kvadratinė lygtis turi dvi šaknis bet kuriai tikrosios vertybės parametras r.

Dabar išsiaiškinkime, kada yra šaknys skirtingi ženklai. Jei šaknų ženklai yra skirtingi, tai jų sandauga yra neigiama, o pagal Vietos teoremą redukuotos kvadratinės lygties šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Todėl mus domina tos r reikšmės, kurių laisvasis terminas r−1 yra neigiamas. Taigi, norėdami rasti mus dominančias r vertes, mums reikia nuspręsti tiesinė nelygybė r−1<0 , откуда находим r<1 .

Atsakymas:

adresu r<1 .

Vietos formulės

Aukščiau kalbėjome apie Vietos teoremą kvadratinei lygčiai ir išanalizavome jos teigiamus ryšius. Tačiau yra formulių, jungiančių tikrąsias šaknis ir koeficientus ne tik kvadratinių lygčių, bet ir kubinių lygčių, ketvirto laipsnio lygčių ir apskritai, algebrines lygtis laipsnis n. Jie vadinami Vietos formulės.

Parašykime Vietos formulę formos n laipsnio algebrinei lygčiai ir manysime, kad ji turi n realių šaknų x 1, x 2, ..., x n (tarp jų gali būti ir sutampančių):

Vietos formules galima gauti teorema apie daugianario skaidymą į tiesinius veiksnius, taip pat lygių daugianario apibrėžimas per visų juos atitinkančių koeficientų lygybę. Taigi daugianomas ir jo plėtimas į formos tiesinius veiksnius yra lygūs. Atidarę skliaustus paskutiniame sandaugoje ir sulyginę atitinkamus koeficientus, gauname Vietos formules.

Visų pirma, n = 2, turime jau pažįstamas kvadratinės lygties Vieta formules.

Kubinei lygčiai Vietos formulės turi formą

Belieka tik pastebėti, kad kairėje Vietos formulių pusėje yra vadinamosios elementarios simetriniai daugianariai.

Nuorodos.

Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai / [Yu. M. Koliaginas, M. V. Tkačiova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuninas]; redagavo A. B. Žižčenka. – 3 leidimas. - M.: Švietimas, 2010.- 368 p. : serga. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Pirmiausia suformuluokime pačią teoremą: Turėkime redukuotą kvadratinę lygtį, kurios formos x^2+b*x + c = 0. Tarkime, kad šioje lygtyje yra šaknys x1 ir x2. Tada pagal teoremą galioja šie teiginiai:

1) Šaknų x1 ir x2 suma bus lygi neigiamai koeficiento b reikšmei.

2) Tų pačių šaknų sandauga duos mums koeficientą c.

Bet kas yra pateikta lygtis?

Sumažinta kvadratinė lygtis – tai kvadratinė lygtis, kurios aukščiausio laipsnio koeficientas lygus vienetui, t.y. tai lygtis formos x^2 + b*x + c = 0. (o lygtis a*x^2 + b*x + c = 0 yra neredukuota). Kitaip tariant, norėdami gauti lygtį į nurodytą formą, turime padalyti šią lygtį iš didžiausios laipsnio koeficiento (a). Užduotis yra pateikti šią lygtį į tokią formą:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Padalinę kiekvieną lygtį iš aukščiausio laipsnio koeficiento, gauname:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

Kaip matote iš pavyzdžių, net lygtys, kuriose yra trupmenos, gali būti sumažintos iki nurodytos formos.

Naudojant Vietos teoremą

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

gauname šaknis: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = -6; x1*x2 = 8;

dėl to gauname šaknis: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = -5; x1*x2 = 4;

gauname šaknis: x1 = −1; x2 = −4.

Vietos teoremos prasmė

Vietos teorema leidžia mums išspręsti bet kurią kvadratinę redukuotą lygtį beveik per kelias sekundes. Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad tai gana sudėtinga užduotis, tačiau po 5 10 lygčių galite iš karto išmokti įžvelgti šaknis.

Iš pateiktų pavyzdžių ir naudojant teoremą aišku, kaip galima žymiai supaprastinti kvadratinių lygčių sprendimą, nes naudojant šią teoremą kvadratinę lygtį galima išspręsti praktiškai be sudėtingų skaičiavimų ir diskriminanto skaičiavimo, o kaip žinote, mažiau skaičiavimų, tuo sunkiau suklysti, o tai svarbu.

Visuose pavyzdžiuose šią taisyklę naudojome remdamiesi dviem svarbiomis prielaidomis:

Duota lygtis, t.y. aukščiausio laipsnio koeficientas lygus vienetui (šios sąlygos nesunku išvengti. Galima naudoti neredukuotą lygties formą, tada galios šie teiginiai x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, bet dažniausiai tai sunkiau išspręsti :))

Kai lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Darome prielaidą, kad nelygybė yra teisinga, o diskriminantas yra griežtai didesnis už nulį.

Todėl galime sukurti bendrą sprendimo algoritmą naudodami Vietos teoremą.

Bendrasis sprendimo algoritmas naudojant Vietos teoremą

Kvadratinę lygtį redukuojame į redukuotą formą, jei lygtis mums pateikiama neredukuota forma. Kai kvadratinės lygties koeficientai, kuriuos anksčiau pateikėme kaip duotus, yra trupmeniniai (ne dešimtainiai), tokiu atveju mūsų lygtis turėtų būti išspręsta per diskriminantą.

Taip pat pasitaiko atvejų, kai grįžus prie pradinės lygties galime dirbti su „patogiais“ skaičiais.

Matematikoje yra daug specialių metodų kvadratines lygtis išsprendžiami labai greitai ir be jokių diskriminacijų. Be to, tinkamai išmokę, daugelis pradeda spręsti kvadratines lygtis žodžiu, pažodžiui „iš pirmo žvilgsnio“.

Deja, šiuolaikinėje mokyklinėje matematikoje tokios technologijos beveik nėra studijuojamos. Bet jūs turite žinoti! Ir šiandien pažvelgsime į vieną iš šių metodų – Vietos teoremą. Pirma, pristatykime naują apibrėžimą.

Kvadratinė lygtis, kurios forma yra x 2 + bx + c = 0, vadinama redukuota. Atkreipkite dėmesį, kad koeficientas x 2 yra 1. Jokių kitų apribojimų koeficientams nėra.

x 2 + 7x + 12 = 0 yra sumažinta kvadratinė lygtis;
x 2 − 5x + 6 = 0 – taip pat sumažinta;
2x 2 − 6x + 8 = 0 - bet tai visai nepateikta, nes x 2 koeficientas lygus 2.

Žinoma, bet kurią kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 + bx + c = 0, galima sumažinti – tereikia visus koeficientus padalinti iš skaičiaus a. Visada galime tai padaryti, nes kvadratinės lygties apibrėžimas reiškia, kad a ≠ 0.

Tiesa, šios transformacijos ne visada bus naudingos ieškant šaknų. Žemiau įsitikinsime, kad tai turėtų būti daroma tik tada, kai galutinėje lygtyje, pateiktoje kvadratu, visi koeficientai yra sveikieji skaičiai. Kol kas pažvelkime į paprasčiausius pavyzdžius:

Užduotis. Konvertuokite kvadratinę lygtį į sumažintą lygtį:

3x 2 − 12x + 18 = 0;

−4x 2 + 32x + 16 = 0;

1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;

2x 2 + 7x − 11 = 0.

Kiekvieną lygtį padalinkime iš kintamojo x 2 koeficiento. Mes gauname:

3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - viską padalinti iš 3;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - padalytas iš −4;
1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - padalijus iš 1,5, visi koeficientai tapo sveikaisiais skaičiais;
2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - padalytas iš 2. Šiuo atveju atsirado trupmeniniai koeficientai.

Kaip matote, aukščiau pateiktos kvadratinės lygtys gali turėti sveikųjų skaičių koeficientus, net jei pradinėje lygtyje buvo trupmenos.

Dabar suformuluokime pagrindinę teoremą, kuriai iš tikrųjų buvo įvesta sumažintos kvadratinės lygties sąvoka:

Vietos teorema. Panagrinėkime redukuotą kvadratinę lygtį, kurios forma yra x 2 + bx + c = 0. Tarkime, kad ši lygtis turi realiąsias šaknis x 1 ir x 2. Šiuo atveju teisingi šie teiginiai:

x 1 + x 2 = −b. Kitaip tariant, duotosios kvadratinės lygties šaknų suma yra lygi kintamojo x koeficientui, paimtam su priešingu ženklu;

x 1 x 2 = c. Kvadratinės lygties šaknų sandauga lygi laisvajam koeficientui.

Pavyzdžiai. Paprastumo dėlei apsvarstysime tik aukščiau pateiktas kvadratines lygtis, kurioms nereikia papildomų transformacijų:

x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; šaknys: x 1 = 4; x 2 = 5;
x 2 + 2x - 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -2; x 1 x 2 = –15; šaknys: x 1 = 3; x 2 = –5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = –5; x 1 x 2 = 4; šaknys: x 1 = −1; x 2 = −4.

Vietos teorema suteikia mums papildomos informacijos apie kvadratinės lygties šaknis. Iš pirmo žvilgsnio tai gali atrodyti sunku, tačiau net ir minimaliai treniruodamiesi išmoksite „pamatyti“ šaknis ir tiesiogine to žodžio prasme jas atspėti per kelias sekundes.

Užduotis. Išspręskite kvadratinę lygtį:

x 2 – 9x + 14 = 0;

x 2 – 12x + 27 = 0;

3x 2 + 33x + 30 = 0;

−7x 2 + 77x − 210 = 0.

Pabandykime išrašyti koeficientus naudodami Vietos teoremą ir „atspėti“ šaknis:

x 2 − 9x + 14 = 0 yra sumažinta kvadratinė lygtis.
Pagal Vietos teoremą turime: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Nesunku pastebėti, kad šaknys yra skaičiai 2 ir 7;
x 2 − 12x + 27 = 0 – taip pat sumažinta.
Pagal Vietos teoremą: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Taigi šaknys: 3 ir 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 – ši lygtis nėra redukuota. Bet dabar tai pataisysime abi lygties puses padalydami iš koeficiento a = 3. Gauname: x 2 + 11x + 10 = 0.
Sprendžiame naudodami Vietos teoremą: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ šaknys: −10 ir −1;
−7x 2 + 77x − 210 = 0 - vėlgi koeficientas x 2 nėra lygus 1, t.y. lygtis nepateikta. Viską padaliname iš skaičiaus a = −7. Gauname: x 2 − 11x + 30 = 0.
Pagal Vietos teoremą: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Iš šių lygčių nesunku atspėti šaknis: 5 ir 6.

Iš aukščiau pateiktų samprotavimų aišku, kaip Vietos teorema supaprastina kvadratinių lygčių sprendimą. Jokių sudėtingų skaičiavimų, jokių aritmetinių šaknų ar trupmenų. Ir mums net nereikėjo diskriminanto (žr. pamoką „Kvadratinių lygčių sprendimas“).

Žinoma, visuose savo apmąstymuose rėmėmės dviem svarbiomis prielaidomis, kurios, paprastai kalbant, ne visada atitinka realias problemas:

Kvadratinė lygtis redukuojama, t.y. koeficientas x 2 yra 1;
Lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Algebriniu požiūriu šiuo atveju diskriminantas yra D > 0 – iš tikrųjų iš pradžių darome prielaidą, kad ši nelygybė yra teisinga.

Tačiau tipinėse matematinėse problemose šios sąlygos yra įvykdytos. Jei apskaičiavus gaunama „bloga“ kvadratinė lygtis (koeficientas x 2 skiriasi nuo 1), tai galima nesunkiai ištaisyti – pažiūrėkite į pavyzdžius pačioje pamokos pradžioje. Aš paprastai tyliu apie šaknis: kokia čia problema, į kurią nėra atsakymo? Žinoma, bus šaknų.

Taigi bendra kvadratinių lygčių sprendimo pagal Vietos teoremą schema yra tokia:

Sumažinkite kvadratinę lygtį iki duotosios, jei tai dar nebuvo padaryta problemos teiginyje;
Jei aukščiau pateiktos kvadratinės lygties koeficientai yra trupmeniniai, sprendžiame naudodami diskriminantą. Jūs netgi galite grįžti prie pradinės lygties ir dirbti su „patogesniais“ skaičiais;
Sveikųjų skaičių koeficientų atveju lygtį sprendžiame naudodami Vietos teoremą;
Jei negalite atspėti šaknų per kelias sekundes, pamirškite Vietos teoremą ir išspręskite naudodami diskriminantą.

Užduotis. Išspręskite lygtį: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Taigi, prieš mus yra lygtis, kuri nėra redukuota, nes koeficientas a = 5. Viską padaliname iš 5, gauname: x 2 − 7x + 10 = 0.

Visi kvadratinės lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai – pabandykime tai išspręsti naudodami Vietos teoremą. Turime: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. Šiuo atveju šaknis atspėti nesunku – jos yra 2 ir 5. Nereikia skaičiuoti naudojant diskriminantą.

Užduotis. Išspręskite lygtį: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Pažiūrėkime: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - ši lygtis nesumažinama, abi puses padalinkime iš koeficiento a = −5. Gauname: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - lygtį su trupmeniniais koeficientais.

Geriau grįžti prie pradinės lygties ir skaičiuoti per diskriminantą: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Užduotis. Išspręskite lygtį: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Pirmiausia viską padalinkime iš koeficiento a = 2. Gauname lygtį x 2 + 5x − 300 = 0.

Tai redukuota lygtis, pagal Vietos teoremą turime: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = –300. Šiuo atveju sunku atspėti kvadratinės lygties šaknis – asmeniškai aš rimtai įstrigo spręsdamas šią problemą.

Šaknų turėsite ieškoti per diskriminantą: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Jei neprisimenate diskriminanto šaknies, tik pažymėsiu, kad 1225: 25 = 49. Todėl 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Dabar, kai žinoma diskriminanto šaknis, išspręsti lygtį nėra sunku. Gauname: x 1 = 15; x 2 = –20.

Vienas iš kvadratinės lygties sprendimo būdų yra naudoti VIET formulės, kuris buvo pavadintas FRANCOIS VIETTE vardu.

Jis buvo garsus teisininkas, XVI amžiuje tarnavęs Prancūzijos karaliui. Laisvalaikiu studijavo astronomiją ir matematiką. Jis nustatė ryšį tarp kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų.

Formulės pranašumai:

1 . Taikydami formulę galite greitai rasti sprendimą. Nes nereikia įvesti antrojo koeficiento į kvadratą, tada iš jo atimti 4ac, rasti diskriminantą ir pakeisti jo reikšmę formulėje, kad rastume šaknis.

2 . Be sprendimo galite nustatyti šaknų požymius ir pasirinkti šaknų reikšmes.

3 . Išsprendus dviejų įrašų sistemą, nesunku surasti pačias šaknis. Aukščiau pateiktoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra lygi antrojo koeficiento reikšmei su minuso ženklu. Aukščiau pateiktoje kvadratinėje lygtyje esančių šaknų sandauga yra lygi trečiojo koeficiento reikšmei.

4 . Naudodamiesi šiomis šaknimis, užrašykite kvadratinę lygtį, tai yra, išspręskite atvirkštinę problemą. Pavyzdžiui, šis metodas naudojamas sprendžiant teorinės mechanikos uždavinius.

5 . Patogu naudoti formulę, kai pirmaujantis koeficientas yra lygus vienetui.

Trūkumai:

1 . Formulė nėra universali.

Vietos teorema 8 klasė

Formulė
Jei x 1 ir x 2 yra sumažintos kvadratinės lygties x 2 + px + q = 0 šaknys, tada:

Pavyzdžiai
x 1 = -1; x 2 = 3 – lygties x 2 šaknys – 2x – 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Atvirkštinė teorema

Formulė
Jei skaičiai x 1, x 2, p, q yra susieti pagal sąlygas:

Tada x 1 ir x 2 yra lygties x 2 + px + q = 0 šaknys.

Pavyzdys
Sukurkime kvadratinę lygtį naudodami jos šaknis:

X 1 = 2 - ? 3 ir x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 ) (2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Reikalinga lygtis yra tokia: x 2 - 4x + 1 = 0.

Bet kuri pilna kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0 galima atvesti į galvą x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, jei pirmiausia kiekvieną narį padalinsite iš koeficiento a prieš x 2. O jei įvesime naujus užrašus (b/a) = p Ir (c/a) = q, tada turėsime lygtį x 2 + px + q = 0, kuris matematikoje vadinamas duota kvadratinė lygtis.

Sumažintos kvadratinės lygties ir koeficientų šaknys p Ir q sujungti vienas su kitu. Tai patvirtinama Vietos teorema, pavadintas XVI amžiaus pabaigoje gyvenusio prancūzų matematiko Francois Vietos vardu.

Teorema. Sumažintos kvadratinės lygties šaknų suma x 2 + px + q = 0 lygus antrajam koeficientui p, paimtas su priešingu ženklu, o šaknų sandauga – į laisvąjį terminą q.

Parašykime šiuos ryšius tokia forma:

Leiskite x 1 Ir x 2 skirtingos duotosios lygties šaknys x 2 + px + q = 0. Pagal Vietos teoremą x 1 + x 2 = -p Ir x 1 x 2 = q.

Norėdami tai įrodyti, pakeiskime kiekvieną iš šaknų x 1 ir x 2 į lygtį. Gauname dvi tikras lygybes:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Iš pirmosios lygybės atimkime antrąją. Mes gauname:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Išplečiame pirmuosius du terminus naudodami kvadratų skirtumo formulę:

(x 1 – x 2) (x 1 – x 2) + p (x 1 – x 2) = 0

Pagal sąlygą šaknys x 1 ir x 2 skiriasi. Todėl lygybę galime sumažinti iki (x 1 – x 2) ≠ 0 ir išreikšti p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Pirmoji lygybė buvo įrodyta.

Norėdami įrodyti antrąją lygybę, pakeičiame pirmąją lygtį

x 1 2 + px 1 + q = 0 vietoj koeficiento p, lygus skaičius yra (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Transformuodami kairę lygties pusę, gauname:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, ką ir reikėjo įrodyti.

Vietos teorema yra gera, nes Net ir nežinodami kvadratinės lygties šaknų, galime apskaičiuoti jų sumą ir sandaugą .

Vietos teorema padeda nustatyti duotosios kvadratinės lygties sveikąsias šaknis. Tačiau daugeliui studentų tai sukelia sunkumų dėl to, kad jie nežino aiškaus veiksmų algoritmo, ypač jei lygties šaknys turi skirtingus ženklus.

Taigi aukščiau pateikta kvadratinė lygtis yra x 2 + px + q = 0, kur x 1 ir x 2 yra jos šaknys. Pagal Vietos teoremą x 1 + x 2 = -p ir x 1 · x 2 = q.

Galima padaryti tokią išvadą.

Jei prieš paskutinį lygties narį yra minuso ženklas, tada šaknys x 1 ir x 2 turi skirtingus ženklus. Be to, mažesnės šaknies ženklas sutampa su antrojo koeficiento ženklu lygtyje.

Atsižvelgiant į tai, kad sudėjus skaičius su skirtingais ženklais, jų moduliai atimami, o prieš gautą rezultatą įrašomas didesnio modulio skaičiaus ženklas, turėtumėte elgtis taip:

nustatyti skaičiaus q veiksnius, kad jų skirtumas būtų lygus skaičiui p;
padėkite antrojo lygties koeficiento ženklą prieš mažesnįjį iš gautų skaičių; antroji šaknis turės priešingą ženklą.

Pažvelkime į keletą pavyzdžių.

1 pavyzdys.

Išspręskite lygtį x 2 – 2x – 15 = 0.

Sprendimas.

Pabandykime išspręsti šią lygtį naudodamiesi aukščiau pasiūlytomis taisyklėmis. Tada galime tvirtai pasakyti, kad ši lygtis turės dvi skirtingas šaknis, nes D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Dabar iš visų skaičiaus 15 faktorių (1 ir 15, 3 ir 5) atrenkame tuos, kurių skirtumas yra 2. Tai bus skaičiai 3 ir 5. Prieš mažesnį skaičių dedame minuso ženklą, t.y. antrojo lygties koeficiento ženklas. Taigi gauname lygties x 1 = -3 ir x 2 = 5 šaknis.

Atsakymas. x 1 = -3 ir x 2 = 5.

2 pavyzdys.

Išspręskite lygtį x 2 + 5x – 6 = 0.

Sprendimas.

Patikrinkime, ar ši lygtis turi šaknis. Norėdami tai padaryti, randame diskriminantą:

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Lygtis turi dvi skirtingas šaknis.

Galimi skaičiaus 6 faktoriai yra 2 ir 3, 6 ir 1. Skirtumas yra 5 porai 6 ir 1. Šiame pavyzdyje antrojo nario koeficientas turi pliuso ženklą, todėl mažesnis skaičius turės tą patį ženklą. Tačiau prieš antrąjį skaičių bus minuso ženklas.

Atsakymas: x 1 = -6 ir x 2 = 1.

Vietos teoremą taip pat galima parašyti visai kvadratinei lygčiai. Taigi, jei kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0 turi šaknis x 1 ir x 2, tada joms galioja lygybės

x 1 + x 2 = -(b/a) Ir x 1 x 2 = (c/a). Tačiau šios teoremos taikymas pilnoje kvadratinėje lygtyje yra gana problemiškas, nes jei yra šaknų, tai bent viena iš jų yra trupmeninis skaičius. O dirbti su trupmenų parinkimu gana sunku. Bet vis tiek yra išeitis.

Apsvarstykite pilną kvadratinę lygtį ax 2 + bx + c = 0. Jos kairiąją ir dešiniąją puses padauginkite iš koeficiento a. Lygtis bus tokia: (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Dabar įveskime naują kintamąjį, pavyzdžiui, t = ax.

Tokiu atveju gauta lygtis pavirs redukuota kvadratine lygtimi t 2 + bt + ac = 0, kurios šaknis t 1 ir t 2 (jei yra) galima nustatyti Vietos teorema.

Šiuo atveju pradinės kvadratinės lygties šaknys bus

x 1 = (t 1 / a) ir x 2 = (t 2 / a).

3 pavyzdys.

Išspręskite lygtį 15x 2 – 11x + 2 = 0.

Sprendimas.

Kompiliavimas pagalbinė lygtis. Padauginkime kiekvieną lygties narį iš 15:

15 2 x 2 – 11 15 x + 15 2 = 0.

Atliekame pakeitimą t = 15x. Turime:

t 2 – 11t + 30 = 0.

Pagal Vietos teoremą šaknys duota lygtis bus t 1 = 5 ir t 2 = 6.

Grįžtame prie pakeitimo t = 15x: