Kai kurių histogramų modifikavimo metodų įgyvendinimas Matlab

Kaip jau ne kartą buvo pažymėta, viena iš svarbiausių vaizdo charakteristikų yra jo elementų ryškumo pasiskirstymo histograma. Anksčiau jau buvome trumpai apžvelgę teorinius histogramų modifikavimo pagrindus, todėl šiame darbe daugiau dėmesio skirsime praktiniams kai kurių histogramų transformavimo metodų įgyvendinimo Matlab sistemoje aspektams. Kartu pažymime, kad histogramų modifikavimas yra vienas iš būdų pagerinti vaizdų vaizdo kokybę.

1 veiksmas: pradinio vaizdo skaitymas.

Perskaitome originalų vaizdą iš failo į Matlab darbo sritį ir rodome jį monitoriaus ekrane.

L=imread("lena.bmp");

figūra, imshow(L);

Kadangi pradinis tiriamas vaizdas yra pustonis, nagrinėsime tik vieną daugiamačio masyvo komponentą.

Ryžiai. 1. Originalus vaizdas.

Kadangi darbe nagrinėjami histogramos transformavimo metodai, taip pat sudarysime pirminio vaizdo histogramą.

2 pav. Pradinio vaizdo histograma.

2 veiksmas: vienoda histogramos transformacija.

Vienoda histogramos transformacija atliekama pagal formulę

kur , - pradinio vaizdo intensyvumo masyvo elementų minimalios ir didžiausios vertės;

Pirminio vaizdo tikimybių pasiskirstymo funkcija, kuri aproksimuojama pasiskirstymo histograma . Kitaip tariant, mes kalbame apie apie kaupiamąją vaizdo histogramą.

Matlab tai gali būti įgyvendinta taip. Apskaičiuokite kaupiamąją pradinio vaizdo histogramą

CH=cumsum(H)./(N*M);

Pradinio vaizdo histogramos reikšmių vektorius ir , yra šio vaizdo matmenys, kurie nustatomi naudojant dydžio funkciją

L1(i,j)=CH(ceil(255*L(i,j)+eps));

figūra, imshow(L1);

Eps reikšmė naudojama kartu su lubų funkcija, kad būtų išvengta nulinių reikšmių priskyrimo kaupiamųjų histogramų indeksams. Vienodos histogramos transformacijos metodo taikymo rezultatas pateiktas fig. 3.

Ryžiai. 3. Originalus vaizdas, apdorotas vienodos histogramos transformacijos metodu.

Vaizdo, transformuoto pagal (1) formulę, histograma parodyta fig. 4. Jis tikrai užima beveik visą dinaminį diapazoną ir yra vienodas.

Ryžiai. 4. Vaizdo histograma, parodyta pav. 3.

Tolygų vaizdo elementų intensyvumo lygių perdavimą liudija ir jo kaupiamoji histograma (5 pav.).

5 pav. Vaizdo, parodyto Fig., kaupiamoji histograma. 3.

3 veiksmas: eksponentinė histogramos transformacija.

Eksponentinė histogramos transformacija atliekama pagal formulę

kur yra tam tikra konstanta, apibūdinanti eksponentinės transformacijos statumą.

Programoje Matlab transformacijos pagal (2) formulę gali būti įgyvendintos taip.

L2(i,j)=-(1/alfa1)*log10(1-CH(ceil(255*L(i,j)+eps)));

figūra, imshow(L2);

Ryžiai. 6. Originalus vaizdas po apdorojimo eksponentinės histogramos transformacijos metodu.

Eksponentinės transformacijos metodu apdoroto vaizdo histograma parodyta fig. 7.

Ryžiai. 7. Eksponentinės transformacijos metodu apdoroto vaizdo histograma.

Eksponentinis transformacijų pobūdis aiškiausiai pasireiškia apdoroto vaizdo kumuliacinėje histogramoje, kuri parodyta Fig. 8.

Ryžiai. 8. Eksponentinės transformacijos metodu apdoroto vaizdo kaupiamoji histograma.

4 veiksmas: transformuokite histogramą pagal Reilio dėsnį.

Histogramos transformacija pagal Rayleigh dėsnį vykdoma pagal išraišką

kur yra tam tikra konstanta, apibūdinanti gauto vaizdo elementų intensyvumo pasiskirstymo histogramą.

Pateiksime šių transformacijų įgyvendinimą Matlab aplinkoje.

L3(i,j)=sqrt(2*alfa2^2*log10(1/(1-CH(ceil(255*L(i,j)+eps)))));

figūra, imshow(L3);

Ryžiai. 9. Originalus vaizdas, apdorotas histogramos transformacijos metodu pagal Rayleigh dėsnį.

Vaizdo, apdoroto Rayleigh dėsnio transformacijos metodu, histograma parodyta fig. 10.

Ryžiai. 10. Vaizdo, apdoroto Reili dėsnio transformacijos metodu, histograma.

Reili dėsnio transformacijos metodu apdoroto vaizdo kaupiamoji histograma parodyta fig. 11.

Ryžiai. 11. Reilio dėsnio transformacijos metodu apdoroto vaizdo kaupiamoji histograma.

5 veiksmas: transformuokite histogramą naudodami galios dėsnį.

Vaizdo histogramos transformacija pagal galios dėsnį įgyvendinama pagal išraišką

Matlab programoje šis metodas gali būti įgyvendintas taip.

L4(i,j)=(CH(ceil(255*L(i,j)+eps)))^(2/3);

figūra, imshow(L4);

Ryžiai. 12. Originalus vaizdas, apdorotas histogramos transformacijos metodu pagal galios dėsnį.

Apdorojamo vaizdo elementų intensyvumo pasiskirstymo histograma parodyta fig. 13.

Ryžiai. 13. Vaizdo histograma, apdorota histogramos transformacijos metodu pagal galios dėsnį.

Apdoroto vaizdo kaupiamoji histograma, kuri aiškiausiai parodo pilkumo lygių perdavimo pobūdį, pateikta Fig. 14.

Ryžiai. 14. Galios dėsnio transformacijos metodu apdoroto vaizdo kaupiamoji histograma.

6 veiksmas: hiperbolinės histogramos transformacija.

Hiperbolinė histogramos transformacija įgyvendinama pagal formulę

kur yra tam tikra konstanta, kurios atžvilgiu atliekama histogramos hiperbolinė transformacija. Tiesą sakant, parametras yra lygus minimaliai vaizdo elementų intensyvumo vertei.

Matlab aplinkoje šis metodas gali būti įgyvendintas taip

L5(i,j)=.01^(CH(ceil(255*L(i,j)+eps))); % V šiuo atveju A = 0,01

figūra, imshow(L5);

Ryžiai. 15. Originalus vaizdas, apdorotas hiperbolinės transformacijos metodu.

Taip apdoroto vaizdo elementų intensyvumo pasiskirstymo histograma parodyta fig. 16.

Ryžiai. 16. Hiperbolinės transformacijos metodu apdoroto vaizdo histograma.

Kaupiamoji histograma, kurios forma atitinka atliekamų transformacijų pobūdį, pateikta Fig. 17.

Ryžiai. 17. Hiperbolinės transformacijos metodu apdoroto vaizdo kaupiamoji histograma.

Šiame darbe buvo apsvarstyti kai kurie histogramų modifikavimo būdai. Taikant kiekvieną metodą, apdorojamo vaizdo elementų ryškumo pasiskirstymo histograma įgauna tam tikrą formą. Tokio tipo transformacija gali būti naudojama norint pašalinti iškraipymus perduodant kvantavimo lygius, kurie buvo paveikti vaizdų formavimo, perdavimo arba duomenų apdorojimo etape.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad nagrinėjami metodai gali būti įgyvendinami ne tik globaliai, bet ir slankiojančiu režimu. Tai apsunkins skaičiavimus, nes kiekviename iš jų reikės analizuoti histogramą vietinė sritis. Tačiau, kita vertus, tokios transformacijos, priešingai nei visuotinis įgyvendinimas, leidžia padidinti vietinių teritorijų detalumą.

RUSIJOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA

Federalinė valstybės biudžetinė švietimo įstaiga

aukštasis profesinis išsilavinimas

„Čuvašo valstybinis universitetas, pavadintas I. N. Uljanovas"

Dizaino ir kompiuterinių technologijų fakultetas

Kompiuterinių technologijų katedra

disciplinoje „Automatizuotų valdymo sistemų ir valdymo sistemų patikimumas, ergonomika ir kokybė“

tema" Pagrindinis matematiniai modeliai, naudojamas teoriškaipatikimumas»

Užbaigta:

studentas gr. ZDIKT-25-08

Lyusenkovas I.V.

Patikrinta:

Grigorjevas V.G.

Čeboksarai

Įvadas

Pagrindiniai matematiniai modeliai, naudojami patikimumo teorijoje…….

Weibull paskirstymas……………………………………………………….

Eksponentinis pasiskirstymas…………………………………………….

Rayleigh pasiskirstymas…………………………………………………………………………

Normalus skirstinys (Gauso skirstinys)…………………………….. 5 Paskirstymo įstatymo apibrėžimas………………………………………………. 6

Patikimumo rodiklių skaičiaus parinkimas……………………………………….

Tikslumas ir patikimumas

statistinis įvertinimas

patikimumo rodikliai... 10 Patikimumo programų ypatybės………………………………………… 11 Literatūra…………………………………………………………………………………… 13

Pagrindiniai matematiniai modeliai, naudojami patikimumo teorijoje

Minėtuose matematiniuose ryšiuose dažnai buvo vartojama tikimybių tankio sąvoka ir pasiskirstymo dėsnis.

Paskirstymo dėsnis – tam tikru būdu nustatytas ryšys tarp galimų vertybių

atsitiktinis kintamasis ir atitinkamas tikimybes., δ > 0);

Pasiskirstymo (tikimybių) tankis yra plačiai naudojamas pasiskirstymo dėsnio apibūdinimo būdas

Weibull paskirstymas

Weibull skirstinys yra dviejų parametrų skirstinys. Pagal šį skirstinį – gedimo momento tikimybės tankis

(2)

kur δ yra formos parametras (nustatomas pasirinkus apdorojimo rezultatą

(3)

eksperimentiniai duomenys

λ - skalės parametras,<1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при δ >Tikimybių tankio funkcijos grafikas labai priklauso nuo formos koeficiento reikšmės.

Gedimo dažnis nustatomas pagal išraišką

Kaip pažymėta, eksponentinis veikimo be gedimų tikimybės skirstinys yra ypatingas Veibulio skirstinio atvejis, kai formos parametras δ = 1. Šis skirstinys yra vieno parametro, tai yra, norint parašyti apskaičiuotą išraišką, vienas parametras λ = const pakanka. Šiam dėsniui galioja ir priešingas teiginys: jei gedimo dažnis yra pastovus, tai begedimo tikimybė, kaip laiko funkcija, paklūsta eksponentiniam dėsniui:

(4)

Vidutinė be gedimų veikimo trukmė pagal eksponentinį begedimų veikimo intervalo pasiskirstymo dėsnį išreiškiama formule:

(5)

Taigi, žinant vidutinę be gedimų veikimo trukmę T 1 (arba pastovų gedimų dažnį λ), esant eksponentiniam skirstiniui, galima rasti be gedimų tikimybę laiko intervalui nuo objekto momento. yra įjungtas bet kuriuo momentu t.

Rayleigh paskirstymas

Reilio dėsnio tikimybės tankis turi tokią formą

(6)

kur δ * yra Rayleigh skirstinio parametras.

Gedimų procentas yra:

. (7)

Būdingas Rayleigh skirstinio bruožas yra grafiko tiesė λ(t), prasidedanti nuo pradžios.

Objekto veikimo be gedimų tikimybę šiuo atveju lemia išraiška

(8)

Normalus pasiskirstymas (Gauso skirstinys)

Normalaus skirstinio dėsnis apibūdinamas formos tikimybių tankiu

(9)

kur m x, σ x - atitinkamai matematinis lūkestis ir atsitiktinio dydžio X standartinį nuokrypį.

Analizuojant RESI patikimumą, atsitiktinio dydžio forma, be laiko, dažnai atsiranda srovės, elektros įtampos ir kitų argumentų reikšmės. Normalus dėsnis yra dviejų parametrų dėsnis, kurį parašyti reikia žinoti m x ir s x.

Veikimo be gedimų tikimybė nustatoma pagal formulę

(10)

o gedimo koeficientas yra pagal formulę

(11)

Šiame vadove pateikiami tik dažniausiai pasitaikantys atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai. Yra žinoma nemažai dėsnių, kurie taip pat naudojami patikimumo skaičiavimuose: gama skirstinys, χ 2 skirstinys, Maksvelo, Erlango skirstinys ir kt.

Tikimybių tankio funkcija

Paskirstymo funkcija

, x ³ 0;

Taško įvertinimas paskirstymo dėsnio parametras

Erlango paskirstymo dėsnis (gama skirstinys)

Tikimybių tankio funkcija

Paskirstymo funkcija

, x ³ 0;

Paskirstymo dėsnio parametrų taškinis įvertis:

ir k" k imamas kaip artimiausias sveikasis skaičius (k=1, 2, 3,...); .

Weibull paskirstymo įstatymas

Tikimybių tankio funkcija

paskirstymo funkcija

, x ³ 0;

Pasiskirstymo dėsnio parametrų taškinis įvertis

;

Sistemose su prioritetiniais reikalavimais skiriamas santykinis prioritetas (be paslaugos pertraukimo), kai, gavus aukštesnio prioriteto užklausą, ji priimama aptarnauti užbaigus anksčiau pradėtą žemesnio prioriteto užklausos aptarnavimą, ir absoliutus prioritetas, kai kanalas iš karto išlaisvinamas, kad galėtų aptarnauti aukštesnio prioriteto gaunamą užklausą.

Prioritetų skalė gali būti sudaryta remiantis kai kuriais ne paslaugų sistemos kriterijais arba rodikliais, susijusiais su pačios paslaugų sistemos veikimu. Praktinė reikšmė turėti šių tipų prioritetai:

reikalavimai turi pirmenybę mažiausiai laiko paslauga. Šio prioriteto veiksmingumas gali būti parodytas sekantį pavyzdį. Iš eilės gautos dvi užklausos, kurių aptarnavimo trukmė yra atitinkamai 6,0 ir 1,0 valandos. Kai jie priimami aptarnauti tuščiu kanalu pagal atvykimo tvarką, 1-ojo užklausos prastovos trukmė bus 6,0 valandos, o 6,0 + 1,0 = 7. antrasis .0 val. arba iš viso 13.0 val. dviem reikalavimams. Jei pirmenybę teikiate antrajam reikalavimui ir pirmiausia priimsite jį aptarnauti, tada jo prastovos bus 1.0 val., o kito prastovos 1.0 + 6.0 =. 7,0 valandos arba iš viso už du reikalavimus 8,0 valandos Priskirto prioriteto pelnas bus 5,0 valandų (13-8) sumažintas sistemos reikalavimų prastovos laikas.

pirmenybė teikiama reikalavimams su minimaliu eksploatacijos trukmės ir paklausos šaltinio galios (našumo) santykiu, pavyzdžiui, su transporto priemonės keliamoji galia.

Aptarnavimo mechanizmas apibūdinamas atskirų paslaugų kanalų parametrais, visos sistemos pralaidumu ir kitais duomenimis apie paslaugų reikalavimus. Sistemos pajėgumą lemia kanalų (įrenginių) skaičius ir kiekvieno iš jų našumas.

45. Atsitiktinių dydžių pasikliautinųjų intervalų nustatymas

Intervalo įvertinimas atsitiktinio dydžio pasiskirstymo parametrą lemia tai, kad su tikimybe g

abs(P – P m) ≤d,

kur P yra tiksli (tikroji) parametro reikšmė;

P m – parametro įvertinimas pagal imtį;

d – parametro P įvertinimo tikslumas (klaida).

Dažniausiai priimtos reikšmės yra g nuo 0,8 iki 0,99.

Pasitikėjimo intervalas parametras yra intervalas, kuriame parametro reikšmė patenka su tikimybe g. Pavyzdžiui, šiuo pagrindu randamas reikiamas atsitiktinio dydžio imties dydis, kuris suteikia matematinio lūkesčio įvertį tikslumu d su tikimybe g. Ryšio tipą lemia atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis.

Tikimybę, kad atsitiktinis dydis pateks į tam tikrą intervalą [Х 1 , Х 2 ], nustatoma integralinio skirstinio funkcijos padidėjimu nagrinėjamame intervale F(Х 2)–F(Х 1). Remiantis tuo, kada žinoma funkcija pasiskirstymą, galite rasti numatomą garantuotą minimumą X gn (x≥ X gn) arba maksimali vertė X gv (x≤ X gv) atsitiktinis dydis c duota tikimybe g (2.15 pav.). Pirmasis iš jų yra reikšmė, kad atsitiktinis dydis bus didesnis nei su tikimybe g, o antrasis – kad atsitiktinis dydis su tikimybe g bus mažesnis už šią reikšmę. Garantuotas minimali vertė X gn su tikimybe g užtikrinamas, kai F(x)= 1-g, o didžiausias X gy, kai F(x)=g. Taigi, X gn ir X gv reikšmės randamos pagal išraiškas:

X gn = F-1 (1-g);

X gv = F -1 (g).

Pavyzdys. Atsitiktinis dydis turi eksponentinį pasiskirstymą su funkcija .

Reikia rasti X r ir X r reikšmes, kurioms yra atsitiktinis dydis X su tikimybe g=0,95, atitinkamai daugiau nei X gv ir mažiau nei X gv.

Remdamiesi tuo, kad F -1 (α) = -1/l ln(1- α) (žr. išvadą anksčiau) ir α = 1-g = 0,05 gauname

X gn = -1/l ln(1- α) = -1/0,01 ln(1-0,05) = -100 (-,0513) = 5,13.

Jei X gv α = g = 0,95, mes taip pat turime

X gv = -1/l ln(1- α) = -1/0,01 ln(1-0,95) = -100 (-2,996) = 299,6.

Už normalus įstatymas X gv ir X gv reikšmių pasiskirstymą galima apskaičiuoti naudojant formules

X g = x m + s U 1- g = x m - s U g;

X gv = x m + s U g,

čia x m yra atsitiktinio dydžio matematinė prognozė; s – atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis; U g – normaliojo skirstinio dėsnio vienpusis kvantilis su tikimybe g.

2.15 pav. – X gn ir X gv apibrėžimo grafinis aiškinimas

46. Paslaugų reikalavimų srautų aprašymas

Įeinantis srautas – tai į paslaugų sistemą ateinančių reikalavimų (aplikacijų) seka, kuriai būdingas reikalavimų gavimo dažnumas per laiko vienetą (intensyvumą) ir srauto intensyvumo pasiskirstymo dėsnis. Įeinantį srautą taip pat galima apibūdinti laiko intervalais tarp užklausų gavimo momentų ir šių intervalų paskirstymo dėsniu.

Užklausos sraute gali būti pateikiamos po vieną (įprasti srautai) arba grupėmis (neįprasti srautai).

Įprasto srauto savybė yra ta, kad vienu metu gali būti gauta tik viena užklausa. Kitaip tariant, savybė ta, kad tikimybė gauti daugiau nei vieną užklausą per trumpą laiką yra be galo maža.

Grupinio reikalavimų gavimo atveju nurodomas poreikių grupių gavimo intensyvumas ir jo paskirstymo dėsnis, taip pat grupių dydis ir jų paskirstymo dėsnis.

Reikalavimų gavimo intensyvumas gali skirtis laikui bėgant (nestacionarūs srautai) arba priklauso tik nuo laiko vieneto, priimto intensyvumui nustatyti (stacionarūs srautai). Srautas vadinamas stacionariu, jei per tam tikrą laikotarpį (t 0, t 0 +Δt) atsiradimo n užklausų tikimybė nepriklauso nuo t 0, o priklauso tik nuo Δt.

Esant nepastoviam srautui, intensyvumas laikui bėgant kinta neperiodiškai arba periodinis modelis(pavyzdžiui, sezoniniai procesai), taip pat gali turėti laikotarpių, atitinkančių dalinį arba visišką srauto uždelsimą.

Priklausomai nuo to, ar yra ryšys tarp užklausų, įeinančių į sistemą prieš ir po tam tikro momento, skaičiaus, srautas gali turėti pasekmių arba ne.

Įprastas, stacionarus poreikių srautas, neturintis jokio šalutinio poveikio paprasčiausias.

47. Pearsono ir Romanovskio susitarimo kriterijai

Tolesniuose skyriuose sutiksime keletą įvairių tipų atsitiktiniai dydžiai. Šiame skyriuje pateikiame šių naujų dažnai pasitaikančių atsitiktinių kintamųjų, jų PDF, PDF ir momentų sąrašą. Pradėsime nuo dvejetainio skirstinio, kuris yra diskretiškojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymas, o tada pristatysime kai kurių nuolatinių atsitiktinių dydžių pasiskirstymą.

Binominis skirstinys. Leisti būti diskrečiu atsitiktiniu dydžiu, kuris užima du galimas vertes, pavyzdžiui, arba , su tikimybe ir atitinkamai. Atitinkamas PDF failas parodytas pav. 2.1.6.

Ryžiai. 2.1.6. Tikimybių pasiskirstymo funkcija

Dabar tarkim

kur , , yra statistiškai nepriklausomi ir identiškai paskirstyti atsitiktiniai dydžiai su PDF, parodytu Fig. 2.1.6. Kas yra paskirstymo funkcija?

Norėdami atsakyti į šį klausimą, atkreipkite dėmesį, kad iš pradžių tai yra sveikųjų skaičių nuo 0 iki . Tikimybė, kad , tiesiog lygi tikimybei, kad viskas . Kadangi jie yra statistiškai nepriklausomi, tada

Tikimybė, kad , yra lygi tikimybei, kad vienas narys yra , o likusieji yra lygūs nuliui. Kadangi šis įvykis gali įvykti įvairiais būdais,

(2.1.84)

įvairių kombinacijų, kurios veda prie rezultato, gauname

kur yra binominis koeficientas. Todėl PDF gali būti išreikštas kaip

, (2.1.87)

kur reiškia didžiausią sveikąjį skaičių, kad .

IFR (2.1.87) charakterizuoja binominis skirstinys atsitiktinis kintamasis.

Pirmos dvi akimirkos yra lygios

ir būdinga funkcija

. (2.1.89)

Vienodas paskirstymas. Tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio PDF ir IDF parodyta fig. 2.1.7.

Ryžiai. 2.1.7. Tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio PDF ir IFR grafikai

Pirmos dvi akimirkos yra lygios

, (2.1.90)

o charakteringoji funkcija lygi

(2.1.91)

Gauso skirstinys. Gauso arba normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio PDF yra nustatomas pagal formulę

, (2.1.92)

kur yra matematinis lūkestis ir yra atsitiktinio dydžio dispersija. FMI yra lygus

kur yra klaidos funkcija, kuri nustatoma pagal išraišką

. (2.1.94)

PDF ir PFR iliustruoti Fig. 2.1.8.

Ryžiai. 2.1.8. Gauso atsitiktinio dydžio PDF (a) ir IDF (b) grafikai

IFR gali būti išreikštas ir papildoma klaidos funkcija, t.y.

. (2.1.95)

Atkreipkite dėmesį, kad , , Ir. Papildomos klaidos funkcija yra proporcinga plotui po Gauso PDF dalimi. Didelėms reikšmėms papildoma klaidos funkcija gali būti aproksimuota pagal seriją

, (2.1.96)

o aproksimacijos paklaida mažesnė už paskutinį išlaikytą terminą.

Funkcija, kuri paprastai naudojama sričiai po Gauso PDF dalimi, žymima ir apibrėžiama kaip

, . (2.1.97)

Palyginę (2.1.95) ir (2.1.97), randame

. (2.1.98)

Gauso atsitiktinio dydžio būdingoji funkcija su vidurkiu ir dispersija yra lygi

Gauso atsitiktinio dydžio centriniai momentai yra

(2.1.100)

ir įprastas akimirkas galima išreikšti per centriniai taškai

. (2.1.101)

Statiškai nepriklausomų Gauso atsitiktinių dydžių suma taip pat yra Gauso atsitiktiniai dydžiai. Norėdami tai įrodyti, tarkime

kur , yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai su vidurkiu ir dispersijomis. Naudodamiesi rezultatu (2.1.79), nustatome, kad charakteristinė funkcija yra lygi

Todėl yra Gauso atsitiktinis kintamasis su vidurkiu ir dispersija.

Chi kvadrato skirstinys. Atsitiktinis dydis su chi kvadrato skirstiniu yra generuojamas Gauso atsitiktiniu dydžiu ta prasme, kad jo formavimas gali būti laikomas pastarojo transformacija. Tiksliau, leiskite , kur yra Gauso atsitiktinis kintamasis. Tada turi chi kvadrato pasiskirstymą. Skiriame du chi kvadrato skirstinio tipus. Pirmasis vadinamas centriniu chi kvadrato skirstiniu ir gaunamas, kai jo vidurkis yra nulis. Antrasis vadinamas necentriniu chi kvadrato skirstiniu ir gaunamas, kai jo vidurkis yra ne nulis.

Pirmiausia apsvarstykite centrinį chi kvadrato skirstinį. Leisti būti Gauso atsitiktiniu dydžiu, kurio vidurkis ir dispersija yra nulinis. Kadangi , rezultatas pateikiamas funkcija (2.1.47) su parametrais ir . Taigi gauname PDF formatu

, . (2.1.105)

kurių negalima išreikšti uždara forma. Būdinga funkcija tačiau gali būti išreikštas uždara forma:

. (2.1.107)

Dabar tarkime, kad atsitiktinis kintamasis yra apibrėžtas kaip

kur , , yra statistiškai nepriklausomi ir identiškai pasiskirstę Gauso atsitiktiniai dydžiai, kurių vidurkis ir dispersija nulinė. Dėl statistinis nepriklausomumas būdinga funkcija

. (2.1.109)

Šios charakteringos funkcijos atvirkštinė transformacija suteikia PDF

, , (2.1.110)

kur yra gama funkcija, apibrėžta kaip

Sveikasis skaičius, , (2.1.111)

Šis PDF yra (2.1.105) apibendrinimas ir vadinamas chi kvadrato (arba gama) PDF su laisvės laipsniais. Jis pavaizduotas pav. 2.1.9.

Atvejis, kai jie yra lygūs

Pirmos dvi akimirkos yra lygios

, (2.1.112)

FMI yra lygus

, (2.1.113)

Ryžiai. 2.1.9 PDF brėžiniai atsitiktiniam dydžiui su chi kvadrato skirstiniu kelių laisvės laipsnių reikšmėms

Šis integralas konvertuojamas į nepilną gama funkciją, kurią sudarė Pearsonas (1965).

Jei jis lyginis, integralas (2.11.113) gali būti išreikštas uždara forma.

Visų pirma, tegul , Kur yra sveikasis skaičius. Tada, naudojant pakartotinį integravimą dalimis, gauname

, . (2.1.114)

Dabar apsvarstykite necentrinį chi kvadrato pasiskirstymą, kuris gaunamas Gauso atsitiktinio kintamojo kvadratu su nuliniu vidurkiu. Jei yra Gauso atsitiktinis kintamasis su vidurkiu ir dispersija, atsitiktinis kintamasis turi PDF

, (2.1.115)

Šis rezultatas gaunamas naudojant (2.1.47) Gauso PDF su paskirstymu (2.1.92). Būdinga PDF funkcija

. (2.1.116)

Norėdami apibendrinti rezultatus, tarkime, kad tai yra Gauso atsitiktinių dydžių, apibrėžtų (2.1.108), kvadratų suma. Laikoma, kad visi , , yra statistiškai nepriklausomi su vidurkiais , ir lygiomis dispersijomis. Tada charakteristinė funkcija, gauta iš (2.1.116), naudojant ryšį (2.1.79), yra lygi

. (2.1.117)

Šios charakteringos funkcijos atvirkštinė Furjė transformacija suteikia PDF

kur įvedamas pavadinimas

a yra modifikuota pirmosios eilės Besselio funkcija, kuri gali būti pavaizduota begaline seka

, . (2.1.120)

PDF, apibrėžtas (2.1.118), vadinamas necentriniu chi kvadrato skirstiniu su laisvės laipsniais. Parametras vadinamas paskirstymo necentriškumo parametru. IDF necentriniam chi kvadrato pasiskirstymui su laisvės laipsniais

Šis integralas nėra išreikštas uždara forma. Tačiau, jei yra sveikasis skaičius, IDF gali būti išreikštas apibendrinta Marcum funkcija, kuri apibrėžiama kaip

, (2.1.122)

, (2.1.123)

Jei integravimo kintamąjį (1.2.121) pakeisime , ir , ir manysime, kad , tada galime lengvai rasti

. (2.1.124)

Baigdami pažymime, kad pirmieji du atsitiktinių dydžių centrinio chi kvadrato pasiskirstymo momentai yra lygūs

Rayleigh paskirstymas. Rayleigh paskirstymas dažnai naudojamas kaip statistinių signalų, perduodamų radijo kanalais, pavyzdžiui, korinio radijo ryšio, modelis. Šis pasiskirstymas yra glaudžiai susijęs su centriniu chi kvadrato pasiskirstymu. Norėdami tai iliustruoti, darykime prielaidą, kad , kur ir yra statistiškai nepriklausomi Gauso atsitiktiniai dydžiai su nuline vidurkiu ir vienoda dispersija. Iš to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia, kad jis turi chi kvadrato pasiskirstymą su dviem laisvės laipsniais. Todėl PDF, skirtas

, . (2.1.126)

Dabar tarkime, kad apibrėžiame naują atsitiktinį kintamąjį

. (2.1.127)

Atlikę paprastas transformacijas (2.1.126), gauname PDF

, . (2.1.128)

Tai yra Rayleigh atsitiktinio kintamojo PDF failas. Atitinkamas FMI yra lygus

, . (2.1.129)

Akimirkos iš vienodos

, (2.1.130)

ir dispersija

. (2.1.131)

Rayleigh paskirstyto atsitiktinio dydžio charakteristinė funkcija

. (2.1.132)

Šis integralas gali būti išreikštas taip:

kur yra išsigimusi hipergeometrinė funkcija, apibrėžta kaip

, … (2.1.134)

Bowley (1990) parodė, kad tai gali būti išreikšta kaip

. (2.1.135)

Apibendrinant aukščiau gautas išraiškas, apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį

kur , , yra statistiškai nepriklausomi identiškai pasiskirstę Gauso atsitiktiniai dydžiai, kurių vidurkis nulinis. Akivaizdu, kad jis turi chi kvadrato pasiskirstymą su laisvės laipsniais. Jo PDF pateikiama pagal formulę (2.1.100). Paprastos konversijos kintamasis (2.1.110) veda į PDF formoje

, . (2.1.137)

Dėl esminio ryšio tarp centrinio chi kvadrato skirstinio ir Rayleigh skirstinio atitinkamas IDF yra gana paprastas. Taigi bet kuriam IFR for gali būti pavaizduotas nepilnos gama funkcijos pavidalu. Ypatingu atveju, kai yra aišku, t.y. kai , FMI už gali būti pateikta uždara forma

, . (2.1.138)

Pabaigoje pateikiame th momento formulę

, , (2.1.139)

sąžininga bet kam.

Ryžių platinimas. Nors Rayleigh skirstinys yra susijęs su centriniu chi kvadrato pasiskirstymu, ryžių pasiskirstymas yra susijęs su ne centriniu chi kvadrato skirstiniu. Norėdami iliustruoti šį ryšį, nustatykime , kur ir yra statistiškai nepriklausomi Gauso atsitiktiniai dydžiai, kurių vidurkis , ir ta pati dispersija. Iš ankstesnės diskusijos žinome, kad necentrinis chi kvadrato skirstinys turi nuokrypio parametrą. PDF failas yra gautas iš (2.1.118), ir mes randame

, . (2.1.140)

Dabar pristatykime naują kintamąjį.

PDF failas gaunamas iš (2.1.140), pakeičiant kintamąjį

, . (2.1.141)

Funkcija (2.1.141) vadinama Ryžių skirstiniu.

Kaip bus parodyta skyriuje. 5, šis PDF apibūdina harmoninio signalo gaubtinės statistiką, kurią veikia siaurajuostis Gauso triukšmas. Jis taip pat naudojamas kai kuriais radijo kanalais perduodamo signalo statistikai. IFR nesunku rasti iš (2.1.124) tuo atveju, kai . Tai suteikia

, , (2.1.142)

kur apibrėžiamas (2.1.123).

Apibendrindami aukščiau pateiktą rezultatą, leiskite jį apibrėžti pagal (2.1.136), kur , yra statistiškai nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, kurių vidurkis ir identiškos dispersijos. Atsitiktinis dydis turi necentrinį chi kvadrato skirstinį su -laisvės laipsniais necentriniu parametru , apibrėžtu (2.1.119). Jo PDF yra nustatytas (2.1.118), todėl PDF yra lygus

, , (2.1.143)

ir atitinkama FMI

kur apibrėžiamas (2.1.121). Ypatingu atveju, kai yra sveikasis skaičius, turime

, , (2.1.145)

kuris išplaukia iš (2.1.124). Apibendrinant, pažymime, kad momentas nuo

, , (2.1.146)

kur yra išsigimusi hipergeometrinė funkcija.

-Nakagami platinimas. Tiek Rayleigh, tiek Rice skirstiniai dažnai naudojami signalo svyravimų statistikai apibūdinti blukančio kelių kanalų išvestyje. Šis kanalo modelis aptariamas skyriuje. 14. Kitas skirstinys, dažnai naudojamas apibūdinti statistinius signalus, perduodamus daugiatakiais blukimo kanalais, yra Nakagami skirstinys. Šio platinimo PDF failą pateikė Nakagami (1960)

, , (2.1.147)

kur apibrėžiamas kaip

o parametras apibrėžiamas kaip momentų santykis ir vadinamas blukimo parametru:

, . (2.1.149)

Normalizuotą (2.1.147) versiją galima gauti įvedus kitą atsitiktinį kintamąjį (žr. 2.15 uždavinį). momentas nuo yra lygus

Galima pastebėti, kad (2.1.147) veda į Rayleigh skirstinį. Jei vertes tenkina sąlyga, gauname PDF failą, kurio uodegos ilgesnės nei Rayleigh paskirstymo atveju. Esant reikšmėms, Nakagami skirstinio PDF uodegos mažėja greičiau nei Rayleigh skirstinio. 2.1.10 paveiksle parodytas PDF failas skirtingos reikšmės.

Daugiamatis Gauso skirstinys. Iš daugybės daugiamačių ar daugiamačių skirstinių, kuriuos galima apibrėžti, daugiakintamojo Gauso skirstinys yra svarbiausias ir dažniausiai naudojamas praktikoje. Supažindinsime su šiuo paskirstymu ir apsvarstykime pagrindines jo savybes.

Tarkime, kad , yra Gauso atsitiktiniai dydžiai su vidurkiais , dispersijomis ir kovariacijomis , . Akivaizdu, kad,. Leisti būti matmenų kovariacijos matrica su elementais . Apibrėžiame atsitiktinių dydžių stulpelio vektorių ir pažymime vidutinių verčių stulpelio vektorių, . Gauso atsitiktinių dydžių bendras PDF , , apibrėžiamas taip. Matome, kad jei Gauso atsitiktiniai dydžiai nėra koreliuojami, jie taip pat yra statistiškai nepriklausomi. yra nekoreliuojami ir todėl statistiškai nepriklausomi. formoje yra įstrižai. Todėl turime reikalauti, kad gautume savuosius vektorius

Vadinasi,

Nesunku parodyti, kad ir , kur įstrižainės yra lygios ir .

Federalinė agentūra pagal išsilavinimą

Valstybinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga „Uralo valstybinis technikos universitetas-UPI, pavadintas pirmojo Rusijos prezidento B. N. vardu. Jelcinas"

Radijo inžinerijos teorinių pagrindų katedra

RAYLeigh PASKIRSTYMAS

disciplinoje „Tikimybiniai modeliai“

Grupė: R-37072

Studentas: Reshetnikova N.E.

Mokytojas: Trukhin M.P.

Jekaterinburgas, 2009 m

3 kilmės istorija

Tikimybių tankio funkcija 4

6 kaupiamoji paskirstymo funkcija

Centriniai ir absoliutūs momentai 8

10 būdinga funkcija

Kumuliantai (pusiau invariantai) 11

Taikymo sritis 12

Literatūra 13

Išvaizdos istorija

1842 m. lapkričio 12 d. Langford Grove (Eseksas) gimė lordas Johnas Williamas Rayleighas, anglų fizikas. Nobelio premijos laureatas. Įgijo išsilavinimą namuose. Jis baigė Kembridžo universiteto Trejybės koledžą ir dirbo ten iki 1871 m. 1873 m. Terlin Place šeimos dvare įkūrė laboratoriją. 1879 m. tapo eksperimentinės fizikos profesoriumi Kembridžo universitete, 1884 m. - Londono sekretoriumi. Karališkoji draugija. 1887-1905 metais. – Karališkosios asociacijos profesorius, nuo 1905 – Londono karališkosios draugijos prezidentas, nuo 1908 – Kembridžo universiteto prezidentas.

Būdamas visapusiškai eruditas gamtos mokslininkas, pasižymėjo daugelyje mokslo šakų: virpesių teorijoje, optikoje, akustikoje, šiluminės spinduliuotės teorijoje, molekulinėje fizikoje, hidrodinamikoje, elektroje ir kitose fizikos srityse. Tyrinėdamas akustinius virpesius (stygų, strypų, plokščių virpesius ir kt.), jis suformulavo keletą esminių tiesinės virpesių teorijos (1873 m.) teoremų, leidžiančių daryti kokybines išvadas apie virpesių sistemų natūraliuosius dažnius, ir sukūrė kiekybinis perturbacijos metodas natūraliems dažniams rasti svyravimo sistema. Rayleigh'as pirmasis atkreipė dėmesį į netiesinių sistemų, galinčių atlikti neslopintus svyravimus be periodinio išorinio poveikio, specifiką ir ypatingą šių svyravimų, vėliau vadinamų savaiminiais virpesiais, pobūdį.

Jis paaiškino skirtumą tarp grupės ir fazių greičiai ir gauta grupės greičio formulė (Rayleigh formulė).

Reilio skirstinys atsirado 1880 m., apsvarsčius svyravimų su atsitiktinių fazių rinkinio pridėjimo problemą, kurioje jis gavo gautos amplitudės pasiskirstymo funkciją. Rayleigh sukurtas metodas ilgą laiką lėmė tolesnę atsitiktinių procesų teorijos raidą.

Tikimybių tankio funkcija

Paskirstymo funkcijos tipas:

σ-parametras.

Taigi, priklausomai nuo parametro σ, kinta ne tik amplitudė, bet ir skirstinio sklaida. Kai σ mažėja, amplitudė didėja ir grafikas „susiaurėja“, o σ didėjant sklaida didėja ir amplitudė mažėja.

Kaupiamojo skirstinio funkcija

Kaupiamoji skirstinio funkcija, pagal apibrėžimą lygi tikimybės tankio integralui, yra lygi:

Įvairių parametrų σ integralinio pasiskirstymo funkcijos grafikas:

Priklausomai nuo σ, pasiskirstymo funkcijos grafikas atrodo taip:

Taigi, pasikeitus parametrui σ, keičiasi grafikas. Kai σ mažėja, grafikas tampa statesnis, o didėjant σ tampa plokštesnis:

Centrinės ir absoliučios akimirkos

Pasiskirstymo dėsniai visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį X Su tikimybinis taškas regėjimas (turi visą informaciją apie atsitiktinį kintamąjį). Praktikoje dažnai to nereikia pilnas aprašymas, pakanka nurodyti atskirų parametrų (skaitinių charakteristikų) reikšmes, kurios lemia tam tikras atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo savybes.

Tarp skaitinių charakteristikų matematinis lūkestis vaidina svarbiausią vaidmenį ir yra laikomas taikymo rezultatu. vidurkinimo operacijos į atsitiktinį dydį X, žymimas kaip
.

Pradžios momentass – pirmas užsakymas atsitiktinis kintamasis X vadinamas matematiniu lūkesčiu s – šio dydžio galia:

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui:

Matematinė vertė, paskirstyta pagal Rayleigh dėsnį, yra lygi:

Matematinės lūkesčių reikšmė skirtingoms parametro σ reikšmėms:

Centruotas atsitiktinis kintamasis X jo nukrypimas nuo matematinio lūkesčio vadinamas
.

Centrinis momentas s – pirmas užsakymas atsitiktinis kintamasis X vadinamas matematiniu lūkesčiu s– centruoto dydžio laipsnis
:

Dėl nuolatinio atsitiktinio dydžio

Antras centrinis taškas. Sklaida Yra sklaidos charakteristika atsitiktinis kintamasis apie jo matematinius lūkesčius

Atsitiktinio dydžio, paskirstyto pagal Rayleigh dėsnį, dispersija (antrasis centrinis momentas) yra lygi:

Būdinga funkcija

Atsitiktinio dydžio X būdinga funkcija yra funkcija

- ši funkcija parodo kai kurių sudėtingų atsitiktinių dydžių matematinius lūkesčius
, kuri yra atsitiktinio dydžio X funkcija. Sprendžiant daugelį uždavinių, patogiau naudoti charakteringąją funkciją, o ne skirstinio dėsnį.

Žinodami paskirstymo dėsnį, galite rasti būdingą funkciją naudodami formulę:

Kaip matome, šią formulę yra ne kas kita, kaip pasiskirstymo tankio funkcijos atvirkštinė Furjė transformacija. Aišku, su pagalba tiesioginis konvertavimas Furjė gali naudoti būdingąją funkciją paskirstymo dėsniui rasti.

Būdinga atsitiktinio dydžio, paskirstyto pagal Rayleigh dėsnį, funkcija:

Kur
- sudėtingo argumento tikimybės integralas.

Kumuliantai (pusiau invariantai)

Funkcija
vadinama kumuliantine atsitiktinio dydžio X funkcija. Kumuliacinė funkcija yra visiška tikimybinė atsitiktinio dydžio charakteristika, kaip ir. Kumuliacinės funkcijos įvedimo esmė ta, kad ši funkcija dažnai pasirodo esanti paprasčiausia iš visų tikimybinių charakteristikų.