Dauginant daugianarius. Greitas daugianario dauginimas naudojant Furjė transformaciją yra lengvas

Atgal Pirmyn

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Pamokos tikslai:(Pristatymas. 2 skaidrė)

Švietimas:

išveskite daugianario dauginimo iš daugianaro taisyklę;
ugdyti gebėjimą taikyti šią taisyklę.

Švietimas:

dėmesio ugdymas;
ugdyti gebėjimą analizuoti ir apibendrinti žinias šia tema;
protinio skaičiavimo įgūdžių ugdymas.

Švietimas:

tvarkingumo ugdymas;
puoselėti tvarų susidomėjimą šia tema.

Pamokos tipas: Pamoka apie naujų žinių studijavimą ir pradinį įtvirtinimą.

Pamokos eiga

aš. Darbas žodžiu(Pristatymas. 3 skaidrė)

Atlikite dauginimą.

a) a (x – y);

b) 2p (3 – q);

c) –2x (x – 4);

d) 4y(y 3 + 0,25);

e) – 0,5 s 2 (c 3 + 2);

e) –5x (3x 2 – 4);

g) 2a 4 (a 3 – 0,5);

h) –q 7 (q 3 – q 5).

II. Naujos medžiagos paaiškinimas (Pristatymas. 4 skaidrė)

Aiškinimas atliekamas keliais etapais pagal vadovėlio medžiagą.

1. Išveskite polinomo dauginimo iš daugianario taisyklę ir vizualiai pateikite jį skaidrėje (arba lentoje):

2. Suformuluokite gautą taisyklę ir paprašykite kelių mokinių ją pakartoti.

3. Išanalizuoti taisyklės taikymo pavyzdžius.

Nes ši tema yra naujiena studentams, patartina pateikti kelis paprastus dviejų daugianarių daugybos taisyklės tiesioginio taikymo pavyzdžius. Tolesnėse pamokose geriau apsvarstyti šios taisyklės naudojimo pavyzdžius sprendžiant daugybę problemų.

1 pavyzdys.(Pristatymas. 5 skaidrė) Padauginkite daugianarį (3a – 2b) iš daugianario (2a + 3b).

Sprendimas: (3a – 2b)(2a + 3b) = 3a * 2a + 3a * 3b + (– 2b) * 2a + (– 2b) * 3b = 6a 2 + 9ab – 4 ab – 6b 2 = 6a 2 + 5ab – 6b 2 .

2 pavyzdys.(Pristatymas. 6 skaidrė) Supaprastinkite posakį: (2x – 3)(5 – x) – 3x(4 – x).

Sprendimas: (2x – 3)(5 – x) – 3x(4 – x) = 10x – 2x 2 – 15 + 3x – 12x + 3x 2 = x 2 + x – 15.

3 pavyzdys.(Pristatymas. 7 skaidrė) Įrodykime, kad bet kuriai gamtinė vertė n išraiškos (n + 1)(n + 2) – (3n – 1)(n + 3) + 5n(n + 2) + n +7 reikšmė yra 3 kartotinis.

Sprendimas: (p + 1) (p + 2) – (3p – 1) (p + 3) + 5p (p + 2) + p +7 = p 2 + 2p + p + 2 – 3p 2 – 9p + p + 3 + 5p 2 + 10p + p +7 = 3p 2 + 6p + 12 = 3 (p 2 + 2p + 4).

III. Gebėjimų ir įgūdžių formavimas (Pristatymas. 8 skaidrė)

Pamokos metu reikėtų apklausti kuo daugiau mokinių, kad įsitikintumėte, jog jie išmoko daugianario dauginimo iš daugianaro taisyklę. Todėl kiekvieną užduotį atlikti prie lentos vienu metu galima pakviesti tris mokinius.

1. № 677, № 678.

Šiose daugianario daugybos problemose kiekvienas veiksnys yra tiesinis. Svarbu, kad mokiniai stebėtų atitinkamos taisyklės taikymo tikslumą ir neklystų ženkluose.

2. № 680.

Šios užduotys yra šiek tiek sunkesnės, nes be daugianario daugybos taisyklių taikymo studentai turi prisiminti laipsnių savybes.

c) 12a 4 – a 2 b 2 – b 4;

e) 56p 3 – 51p 2 + 10p.

3. № 682 (a, c).

a) (x + 10) 2 = (x + 10) (x + 10) = x 2 + 10x + 10x + 100 = x 2 + 20x + 100;

c) (3a – 1) 2 = (3a – 1) (3a – 1) = 9a 2 – 3a – 3a – 1 = 9a 2 – 6a + 1.

IV. Pamokos santrauka (pristatymas. 9 skaidrė)

– Kaip padauginti vienanarį iš daugianaro?

– Suformuluokite daugianario dauginimo iš daugianaro taisyklę.

– Kokius požymius turės terminai, gauti padauginus daugianario:

a) (x + y) (a – b);

b) (n – m) (p – q)?

V. Namų darbai: (Pristatymas. 10 skaidrė)

Nr.679; Nr.681; Nr.682 (b, d).

Naudoti vadovėliai ir mokymo priemonės: (Pristatymas. 11 skaidrė)

Vadovėlis „Algebra 7“. Yu. N. Makarychev, N. G. Neshkov, S. B. Suvorova, redagavo S. A. Telyakovsky. Maskvos „Švietimas 2010“.
Rurukin A.N., Lupenko G.V., Maslennikova I.A. Pamokomis pagrįsti pokyčiai algebroje: 7 klasė.

Naudotas dizainas.

Jei skaičiai žymimi skirtingomis raidėmis, tada galima žymėti tik gaminį; Pavyzdžiui, padauginkime skaičių a iš skaičiaus b – galime tai pažymėti arba a ∙ b, arba ab, bet negali būti nė kalbos, kad kažkaip šis dauginimas būtų atliktas. Tačiau kai kalbame apie monomelius, tai dėl 1) koeficientų buvimo ir 2) dėl to, kad šiuose vienatūriuose gali būti faktoriai, žymimi tomis pačiomis raidėmis, galima kalbėti apie monomijų dauginimą; Ši galimybė yra dar platesnė daugianariams. Pažvelkime į keletą atvejų, kai galima atlikti daugybą, pradedant nuo paprasčiausio.

1. Galias dauginant su tuo pačiu pagrindu . Tegul, pavyzdžiui, reikia 3 ∙ a 5. Parašykime tą patį, žinodami eksponentiškumo reikšmę:

a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

Žiūrint į tai išsamus įrašas, matome, kad parašėme a su koeficientu 8 kartus arba, trumpai tariant, 8 . Taigi, a 3 ∙ a 5 = a 8.

Tegul reikia b 42 ∙ b 28. Pirmiausia turėtume parašyti koeficientą b 42 kartus, o po to vėl koeficientą b 28 kartus – apskritai gautume, kad b imamas kaip koeficientas 70 kartų. t.y. b 70. Taigi, b 42 ∙ b 28 = b 70. Iš čia jau aišku, kad padauginus laipsnius su vienodomis bazėmis, laipsnio bazė lieka nepakitusi, o laipsnių rodikliai pridedami. Jei turime 8 ∙ a, tada turėsime nepamiršti, kad koeficientas a reiškia 1 eksponentą („a į pirmą laipsnį“), todėl a 8 ∙ a = a 9.

Pavyzdžiai: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 = a 66 ; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5 ir kt.

Kartais tenka susidurti su laipsniais, kurių rodikliai žymimi raidėmis, pavyzdžiui, xn (x iki n laipsnio). Reikia priprasti prie tokių posakių. Štai pavyzdžiai:

Paaiškinkime kai kuriuos iš šių pavyzdžių: b n – 3 ∙ b 5 reikia palikti bazę b nepakeistą ir pridėti eksponentus, t. y. (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Žinoma, Jūs turite išmokti greitai atlikti tokius papildymus savo galvoje.

Kitas pavyzdys: x n + 2 ∙ x n – 2, – bazę x reikia palikti nepakeistą ir pridėti eksponentą, t.y. (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.

Dabar galite išreikšti aukščiau pateiktą tvarką, kaip atlikti galių dauginimą tais pačiais pagrindais, lygybe:

a m ∙ a n = a m + n

2. Monomalio padauginimas iš monomio. Tarkime, kad reikia 3a²b³c ∙ 4ab²d². Matome, kad čia vienas daugybos ženklas žymimas tašku, bet žinome, kad tas pats daugybos ženklas reiškia tarp 3 ir a², tarp a² ir b³, tarp b³ ir c, tarp 4 ir a, tarp a ir b², tarp b² ir d². Todėl čia matome 8 faktorių sandaugą ir galime juos padauginti iš bet kokių grupių bet kokia tvarka. Pertvarkykime juos taip, kad koeficientai ir laipsniai su vienodomis bazėmis būtų šalia, t.y.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

Tada galime padauginti 1) koeficientus ir 2) laipsnius su tomis pačiomis bazėmis ir gauti 12a³b5cd².

Taigi, daugindami monomį iš monomio, galime padauginti koeficientus ir laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, tačiau likusius veiksnius reikia perrašyti be pakeitimų.

Daugiau pavyzdžių:

3. Dauginamą daugianalį iš monomio. Tarkime, kad pirmiausia reikia padauginti kokį nors daugianarį, pavyzdžiui, a – b – c + d, iš teigiamo sveikojo skaičiaus, pavyzdžiui, +3. Kadangi teigiami skaičiai laikomi tokiais pat kaip aritmetiniai skaičiai, tai tas pats, kas (a – b – c + d) ∙ 3, t. y. imkite a – b – c + d kaip terminą 3 kartus arba

(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,

y., dėl to kiekvienas daugianario narys turėjo būti padaugintas iš 3 (arba +3).

Iš to išplaukia:

(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,

y., kiekvienas daugianario narys turėjo būti padalintas iš (+3). Be to, apibendrindami gauname:

ir tt

Dabar reikia padauginti (a – b – c + d) iš teigiama trupmena, pavyzdžiui, į +. Tai tas pats, kas padauginti iš aritmetinė trupmena, o tai reiškia paimti dalis iš (a – b – c + d). Lengva paimti penktadalį šio daugianario: reikia padalyti (a – b – c + d) iš 5, ir mes jau žinome, kaip tai padaryti, ir gauname . Belieka rezultatą pakartoti 3 kartus arba padauginti iš 3, t.y.

Dėl to matome, kad kiekvieną daugianario narį turėjome padauginti iš + arba iš +.

Dabar reikia padauginti (a – b – c + d) iš neigiamas skaičius, sveikasis skaičius arba trupmena,

y., šiuo atveju kiekvienas daugianario narys turėjo būti dauginamas iš –.

Taigi, kad ir koks būtų skaičius m, visada yra (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.

Kadangi kiekvienas mononomas yra skaičius, čia matome nurodymą, kaip daugianarį padauginti iš monomio – kiekvieną daugianario narį turime padauginti iš šio monomio.

4. Dauginamą dauginame iš daugianario. Tegul tai (a + b + c) ∙ (d + e). Kadangi d ir e reiškia skaičius, tada (d + e) išreiškia bet kurį vieną skaičių.

(a + b + c) ∙ (d + e) = a (d + e) + b (d + e) + c (d + e)

(galime tai paaiškinti taip: turime teisę laikinai priimti d + e kaip monomiją).

Ad + ae + bd + be + cd + ce

Dėl to galite pakeisti narių tvarką.

(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,

tai yra, norint padauginti daugianarį iš daugianario, kiekvienas vieno daugianario narys turi būti padaugintas iš kiekvieno kito nario. Patogu (tam tikslui gautų dėmenų tvarka buvo pakeista aukščiau) kiekvieną pirmojo daugianario narį padauginti iš pradžių iš antrojo pirmojo nario (iš +d), tada iš antrojo nario (iš + e), tada, jei buvo vienas, trečiasis ir tt .d.; po to turėtumėte atlikti gipsą panašių narių.

Šiuose pavyzdžiuose dvinaris padauginamas iš dvejetainio; kiekviename dvinaryje terminai yra išdėstyti abiem dvinariams bendromis raidės mažėjančiomis galiomis. Lengva atlikti tokį dauginimą savo galvoje ir iškart parašyti galutinį rezultatą.

Pirmąjį dvinalį padauginus iš antrojo pirmaujančio nario, t. y. 4x² iš 3x, gauname 12x³ pirminį gaminio narį – aišku, kad panašių nebus. Toliau ieškome, kuriuos terminus padauginus bus gaunami terminai, kurių raidės x laipsnis yra 1 mažesnis, t. y. su x². Lengvai matome, kad tokie terminai gaunami padauginus pirmojo koeficiento 2-ąjį narį iš antrojo 1-ojo nario ir padauginus pirmojo koeficiento 1-ąjį narį iš antrojo 2-ojo nario (skliausteliai tai rodo pavyzdys). Atlikti šiuos daugybas savo galva ir taip pat atlikti šių dviejų panašių dėmenų redukciją (po kurios gauname terminą –19x²) nėra sunku. Tada pastebime, kad kitas narys, kuriame raidė x yra net 1 laipsniu mažesnė, t.y. x iki 1 laipsnio, bus gauta tik antrąjį narį padauginus iš antrojo, o panašių nebus.

Kitas pavyzdys: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

Taip pat lengva galvoje paleisti pavyzdžius, pavyzdžiui:

Pagrindinis narys gaunamas padauginus pagrindinį terminą iš pagrindinio nario, į jį panašių terminų nebus, ir jis = 2a³. Tada ieškome, kurie daugybos rezultatai duos terminus su a² - nuo 1-ojo nario (a²) padauginimo iš 2-ojo (-5) ir nuo antrojo nario (-3a) padauginimo iš 1-ojo (2a) - tai nurodyta toliau skliausteliuose. ; Atlikę šiuos daugybos veiksmus ir sujungę gautus terminus į vieną, gauname –11a². Tada ieškome, kurie daugybos veiksmingi terminai duos terminus su a iki pirmo laipsnio – šie daugybos variantai pažymėti skliaustais viršuje. Jas užpildę ir gautus terminus sujungę į vieną, gauname +11a. Galiausiai pažymime, kad mažiausias sandaugos narys (+10), kuriame iš viso nėra a, gaunamas vieno daugianario žemąjį narį (–2) padauginus iš kito mažojo nario (–5).

Kitas pavyzdys: (4a 3 + 3a 2 – 2a) ∙ (3a 2 – 5a) = 12a 5 – 11a 4 – 21a 3 + 10a 2.

Iš visų ankstesnių pavyzdžių taip pat gauname bendras rezultatas: prekės pirmaujantis terminas visada gaunamas padauginus pirminius faktorių narius ir į jį negali būti panašių terminų; Taip pat mažiausias gaminio narys gaunamas padauginus žemos eilės faktorių narius, į jį panašių terminų taip pat negali būti.

Likę nariai, gauti padauginus daugianarį iš daugianario, gali būti panašūs ir netgi gali atsitikti taip, kad visi šie nariai yra tarpusavyje sunaikinami ir lieka tik vyresnysis ir jauniausias.

Štai pavyzdžiai:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a 4 – b 4 (rašome tik rezultatą)
(x 4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x 5 + 1 ir kt.

Šie rezultatai verti dėmesio ir juos naudinga prisiminti.

Ypač svarbus yra toks daugybos atvejis:

(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
arba (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
arba (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9 ir kt.

Visuose šiuose pavyzdžiuose, pritaikius aritmetikai, gauname dviejų skaičių sumos sandaugą ir jų skirtumą, o rezultatas yra šių skaičių kvadratų skirtumas.

Jeigu pamatysime panašus atvejis, tada nereikia detaliai atlikti daugybos, kaip buvo padaryta aukščiau, bet galite iškart parašyti rezultatą.

Pavyzdžiui, (3a + 1) ∙ (3a – 1). Čia pirmasis veiksnys, aritmetikos požiūriu, yra dviejų skaičių suma: pirmasis skaičius yra 3a, o antrasis 1, o antrasis koeficientas yra tų pačių skaičių skirtumas; todėl rezultatas turėtų būti: pirmojo skaičiaus kvadratas (t. y. 3a ∙ 3a = 9a²) atėmus antrojo skaičiaus kvadratą (1 ∙ 1 = 1), t.y.

(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.

Taip pat

(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25 ir kt.

Taigi prisiminkime

(a + b) (a – b) = a² – b²

tai dviejų skaičių sumos ir jų skirtumo sandauga lygi šių skaičių kvadratų skirtumui.

Tarp įvairios išraiškos, kurie nagrinėjami algebroje, svarbi vieta užimti monomijų sumas. Štai tokių posakių pavyzdžiai:
$5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8$
$xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2$

Vienanarių suma vadinama daugianario. Dauginamo terminai vadinami daugianario nariais. Monomai taip pat priskiriami daugianariams, nes mononomas yra daugianomas, susidedantis iš vieno nario.

Pavyzdžiui, daugianario
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 $
galima supaprastinti.

Visus terminus pateiksime standartinės formos monomijomis:
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = $
$= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16$

Pateikiame panašius terminus gautame polinome:
$8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 $
Gaunamas daugianaris, kurio visi nariai yra standartinės formos mononomai, o tarp jų nėra panašių. Tokie daugianariai vadinami standartinės formos daugianariai.

Už daugianario laipsnis standartinės formos turi didžiausią iš jos narių galių. Taigi dvinaris $12a^2b - 7b$ turi trečiąjį laipsnį, o trinaris $2b^2 -7b + 6$ – antrąjį.

Paprastai standartinės formos polinomų, turinčių vieną kintamąjį, terminai yra išdėstyti mažėjančia laipsnio tvarka. Pavyzdžiui:
$5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1$

Kelių daugianarių suma gali būti paversta (supaprastinta) į standartinės formos daugianarį.

Kartais daugianario terminus reikia suskirstyti į grupes, kiekvieną grupę įrašant skliausteliuose. Kadangi įtraukiamieji skliaustai yra atvirkštinė atidaromų skliaustų transformacija, tai lengva suformuluoti skliaustų atidarymo taisyklės:

Jei prieš skliaustus dedamas ženklas „+“, tada skliausteliuose esantys terminai rašomi tais pačiais ženklais.

Jei prieš skliaustus dedamas ženklas „-“, tada skliausteliuose esantys terminai rašomi priešingais ženklais.

Vienanario ir daugianaro sandaugos transformacija (supaprastinimas).

Naudojant paskirstymo nuosavybė daugybas galima paversti (supaprastinti) į daugianarį, mononario ir daugianario sandaugą. Pavyzdžiui:
$9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = $
$= 9a^2b \ctaškas 7a^2 + 9a^2b \ctaškas (-5ab) + 9a^2b \ctaškas (-4b^2) = $
$= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 $

Vienanario ir daugianario sandauga yra identiškai lygi šio vienanalio sandaugų ir kiekvieno daugianalio nario sandaugų sumai.

Šis rezultatas paprastai formuluojamas kaip taisyklė.

Norėdami padauginti vienanarį iš daugianario, turite padauginti tą vienanarį iš kiekvieno daugianario nario.

Šią taisyklę jau kelis kartus naudojome padaugindami iš sumos.

Daugiavardžių sandauga. Dviejų daugianario sandaugos transformacija (supaprastinimas).

Apskritai dviejų daugianario sandauga yra identiškai lygi vieno daugianario kiekvieno nario sandaugos ir kiekvieno kito daugianalio sandaugos sumai.

Paprastai naudojama ši taisyklė.

Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito nario ir pridėti gautas sandaugas.

Sutrumpintos daugybos formulės. Sumos kvadratai, kvadratų skirtumai ir skirtumas

Su kai kuriais posakiais algebrinės transformacijos tenka susidurti dažniau nei kitiems. Bene dažniausios išraiškos yra $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ ir $a^2 - b^2 $, t.y. sumos kvadratas, kvadratas kvadratų skirtumas ir skirtumas. Ar pastebėjote, kad vardai nurodytas išraiškas tarsi neužbaigtas, pavyzdžiui, $(a + b)^2 $, žinoma, yra ne tik sumos kvadratas, bet ir a ir b sumos kvadratas. Tačiau a ir b sumos kvadratas dažniausiai pasitaiko nedažnai, vietoj raidžių a ir b jame yra įvairių, kartais gana sudėtingų išraiškų.

Išraiškos $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ gali būti lengvai konvertuojamos (supaprastintos) į standartinės formos polinomus :
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = $
$= a^2 + 2ab + b^2 $

Naudinga atsiminti gautas tapatybes ir jas taikyti be tarpinių skaičiavimų. Tam padeda trumpos žodinės formuluotės.

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $ – sumos kvadratas lygi sumai kvadratų ir padvigubinkite gaminį.

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $ - skirtumo kvadratas yra lygus kvadratų sumai be dvigubos sandaugos.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ - kvadratų skirtumas lygus skirtumo ir sumos sandaugai.

Šios trys tapatybės leidžia transformacijose pakeisti kairiąsias dalis dešiniosiomis ir atvirkščiai – dešiniąsias dalis kairiosiomis. Sunkiausia pamatyti atitinkamas išraiškas ir suprasti, kaip jose pakeičiami kintamieji a ir b. Pažvelkime į kelis sutrumpintų daugybos formulių naudojimo pavyzdžius.

Viena iš operacijų su daugianariais yra daugianario padauginimas iš daugianario. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tokio daugybos taisyklę ir pritaikysime ją problemoms spręsti.

Polinomo dauginimo iš daugianario taisyklė

Apibrėžkime du daugianario a + b ir c + d ir atlikti jų dauginimą.

Pirmiausia užrašome pradinių daugianarių sandaugą: tarp jų dedame daugybos ženklą, prieš tai daugianarius įrašę skliausteliuose. Mes gauname: (a + b) (c + d). Dabar pažymime veiksnį (c+d) Kaip x, tada išraiška atrodys taip: (a + b) x, kuris iš esmės yra daugianario ir monomio sandauga. Padarykime daugybą: (a + b) x = a x + b x, tada pakeiskite jį atgal X ant (c + d) : a · (c + d) + b · (c + d) . Ir vėl taikydami polinomo dauginimo iš monomio taisyklę, išraišką paverčiame į: a · c + a · d + b · c + b · d. Apibendrinant: duotųjų daugianario sandauga a+b Ir c + d atitinka lygybę (a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d.

Aukščiau pateikti argumentai leidžia padaryti svarbias išvadas:

Dauginamą padauginus iš daugianario gaunamas daugianario rezultatas. Šis teiginys galioja bet kokiems dauginamiems daugianariams.
Daugianaro sandauga yra vieno daugianario kiekvieno nario sandaugų ir kiekvieno kito daugianario sandaugų suma. Iš kur galime daryti išvadą, kad dauginant daugianario, kuriame yra m Ir n atitinkamai narių, nurodytą narių produktų sumą sudaro m n terminai.

Dabar galime suformuluoti polinomų dauginimo taisyklę:

1 apibrėžimas

Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito daugianario ir rasti gautų sandaugų sumą.

Dauginamo dauginimo iš daugianario pavyzdžiai

IN praktiškas sprendimas daugianario sandaugos radimo problemos suskaidomos į kelis nuoseklius veiksmus:

padaugintų daugianarių sandaugos įrašymas (polinomai rašomi skliausteliuose, o tarp jų rašomas daugybos ženklas);
konstruojant kiekvieno pirmojo daugianario kiekvieno nario sandaugų sumą iš kiekvieno antrojo nario. Šiuo tikslu pirmasis pirmojo daugianario narys dauginamas iš kiekvieno antrojo daugianario nario, tada antrasis pirmojo daugianario narys dauginamas iš kiekvieno antrojo daugianario nario ir pan.
jei įmanoma, gauta suma rašoma kaip standartinės formos daugianario.

1 pavyzdys

Pateikiami polinomai: 2–3 x Ir x 2 – 7 x + 1

Sprendimas

Užrašykime pradinių daugianario sandaugą. Mes gauname: (2–3 x) (x 2–7 x + 1).

Kitas žingsnis yra sudaryti kiekvieno daugianario sandaugų sumą 2–3 x kiekvienam daugianario nariui x 2 – 7 x + 1. Pažiūrėkime atidžiau: padauginkime pirmąjį pirmojo daugianario narį (skaičius 2) iš kiekvieno antrojo daugianario nario, gausime: 2 x 2, 2 (− 7 x) ir 2 1. Tada padauginame antrąjį pirmojo daugianario narį iš kiekvieno antrojo daugianario nario ir gauname: − 3 x x 2, − 3 x (− 7 x) ir – 3 x 1. Visas gautas išraiškas surenkame į sumą: 2 x 2 + 2 (- 7 x) + 2 1 - 3 x x 2 - 3 x (- 7 x) - 3 x 1.

Patikrinkime, ar nepraleidome kokių nors terminų sandaugos: tam perskaičiuojame terminų skaičių užrašytoje sumoje, gauname 6. Tai tiesa, nes pradiniai daugianariai susideda iš 2 ir 3 narių, o tai iš viso sudaro 6.

Paskutinis žingsnis yra įrašytą sumą paversti standartinės formos daugianario: 2 x 2 + 2 (- 7 x) + 2 1 - 3 x x 2 - 3 x (- 7 x) - 3 x 1 = 2 x 2 - 14 x + 2 - 3 x 3 + 21 x 2 - 3 x = = (2 x 2 + 21 x 2) + (− 14 x − 3 x) + 2 − 3 x 3 = 23 · x 2 - 17 · x + 2 - 3 · x 3

Trumpai be paaiškinimo sprendimas atrodys taip:

(2 - 3 x) (x 2 - 7 x + 1) = 2 x 2 + 2 (- 7 x) + 2 1 - 3 x x 2 - 3 x (- 7 x) - 3 x 1 = = 2 x 2 − 14 x + 2 − 3 x 3 + 21 x 2 − 3 x = = (2 x 2 + 21 x 2) + (− 14 x − 3 x) + 2 − 3 x 3 = 23 x 2 − 17 x + 2–3 x 3

Atsakymas: (2 - 3 x) (x 2 - 7 x + 1) = 23 x 2 - 17 x + 2 - 3 x 3.

Paaiškinkime, kad kai pirminiai daugianariai pateikiami nestandartinė forma, prieš surandant savo darbą, patartina juos atnešti į standartinę formą. Rezultatas, žinoma, bus tas pats, tačiau sprendimas bus patogesnis ir trumpesnis.

2 pavyzdys

Duoti daugianariai 1 7 x 2 (- 3) y + 3 x - 2 7 x y x ir x y − 1. Reikia susirasti jų darbą.

Sprendimas

Vienas iš pateiktų daugianario parašytas nestandartine forma. Pataisykime tai įvesdami į standartinę formą:

1 7 x 2 (- 3) y + 3 x - 2 7 x x y x = - 3 7 x 2 + 3 x - 2 7 x 2 y = = - 3 7 x 2 y - 2 7 x 2 y + 3 x = - 5 7 x 2 m + 3 x

Dabar suraskime reikiamą produktą:

5 7 x 2 y + 3 x x y - 1 = = - 5 7 x 2 y x y - 5 7 x 2 y (- 1) + 3 x x · y + 3 · x · (- 1) = = - 5 7 · x 3 · y 2 + 5 7 · x 2 · y + 3 · x 2 · y - 3 · x = - 5 7 · x 3 · y 2 + 3 5 7 x 2 y - 3 x

Atsakymas:- 5 7 x 2 m + 3 x x y - 1 = - 5 7 x 3 y 2 + 3 5 7 x 2 y - 3 x

Galiausiai išsiaiškinkime situaciją, kai reikia padauginti tris ar daugiau daugianario. Šiuo atveju sandaugos radimas sumažinamas iki nuoseklaus daugianario daugybos iš dviejų: t.y. Pirma, pirmieji du daugianariai padauginami; gautas rezultatas dauginamas iš trečiojo daugianario; šio daugybos rezultatas yra ketvirtasis daugianario ir pan.

3 pavyzdys

Pateikiami daugianariai: x 2 + x · y − 1 , x + y ir 2 · y − 3 . Reikia susirasti jų darbą.

Sprendimas

Įrašykime darbą: (x 2 + x y − 1) (x + y) (2 y − 3).

Padauginus pirmuosius du daugianario gausime: (x 2 + x y − 1) (x + y) = x 2 x + x 2 y + x y x + x y y − 1 x − 1 · y = = x 3 + 2 · x 2 · y + x · y 2 − x − y .

Pradinis kūrinio įrašymas yra tokia forma: (x 2 + x y − 1) (x + y) (2 y − 3) = (x 3 + 2 x 2 y + x y 2 − x − y) (2 y − 3).

Raskime šio daugybos rezultatą:

(x 3 + 2 x 2 y + x y 2 − x − y) (2 y − 3) = = x 3 2 y + x 3 (− 3) + 2 x 2 y 2 y + 2 x 2 y (− 3) ) + x y 2 2 y + + x y 2 (− 3) − x 2 y − x (− 3) − y · 2 · y − y · (− 3) = = 2 · x 3 · y − 3 · x 3 + 4 · x 2 · y 2 - 6 · x 2 · y + 2 · x · y 3 - - 3 x x y 2 - 2 x y + 3 x - 2 y 2 + 3 y

Atsakymas:

(x 2 + x y - 1) (x + y) (2 y - 3) = 2 x 3 y - 3 x 3 + 4 x 2 y 2 - 6 x 2 y + + 2 x y 3 - 3 x y 2 - 2 x y + 3 x − 2 y 2 + 3 m

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Daugiavardžių sandaugos skaičiavimo taisyklė.

Norėdami apsvarstyti daugianario sandaugą, pirmiausia prisiminkime, kaip padauginti mononomą iš daugianario.

Monomalio ir daugianario sandauga randama taip:

sudaryta vienanario ir daugianaro sandauga.
Skliausteliai atsidaro.
skaičiai sugrupuoti su skaičiais, kurie yra vienodi kintamieji draugas su draugu.
skaičiai dauginami ir pridedami atitinkamų identiškų kintamųjų laipsniai.

Dabar panagrinėkime dviejų polinomų dauginimą naudodami pavyzdį:

1 pavyzdys

Padauginkime daugianarį $x-y+z$ iš daugianario $\(xy)^5+y^6-(xz)^5$.

Pirmiausia užrašykite daugianario sandaugą:

\[\left(x-y+z\right)((xy)^5+y^6-(xz)^5)\]

Atlikime tokį pakeitimą. Tegul $x-y+z=t$, gauname:

Gavome vienanario ir daugianaro sandaugą. Raskime tai pagal aukščiau nurodytą taisyklę.

Išplėskime skliaustus:

Atlikime atvirkštinį pakeitimą:

\[(\left(x-y+z\right)xy)^5+(\left(x-y+z\right)y)^6-(\left(x-y+z\right)xz) ^5\]

IN ši išraiška matome, kad yra trys mononario ir daugianario sandaugai. Suraskime juos atskirai, vadovaudamiesi aukščiau pateikta taisykle:

\[(\left(x-y+z\right)xy)^5=x(xy)^5-y(xy)^5+z(xy)^5=(x^2y)^5-(xy) )^6+z(xy)^5\] \[(\left(x-y+z\right)y)^6=xy^6-yy^6+zy^6=xy^6-y^7 +zy^6\] \[(\left(x-y+z\right)xz)^5=x(xz)^5-y(xz)^5+z(xz)^5=x^2z^ 5-xyz^5+(xz)^6\]

Perrašykime savo išraišką:

\[\left((x^2y)^5-(xy)^6+z(xy)^5\right)+\left(xy^6-y^7+zy^6\right)-(x^ 2z^5-xyz^5+(xz)^6)\]

Atidarykime skliaustus. Priminsime, kad jei prieš skliaustus yra pliuso ženklas, tai skliausteliuose esantys ženklai lieka nepakitę, o jei prieš skliaustus yra minuso ženklas, tada skliausteliuose esantys ženklai pasikeis į priešingą. . Mes gauname

\[(x^2y)^5-(xy)^6+z(xy)^5+xy^6-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-(xz)^6 \]

Gavome daugianarį. Belieka jį įvesti į standartinę formą. Iš viso atsakymas bus toks:

\[(x^2y)^5+xy^5z-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-(xz)^6\]

Atidžiau pažvelgę į gautą rezultatą, gauname kita taisyklė daugianario padauginimas iš daugianario:

Taisyklė: norint padauginti daugianarį iš daugianario, reikia padauginti kiekvieną pirmojo daugianario narį iš kiekvieno antrojo daugianario, pridėti gautas sandaugas ir sumažinti gautą daugianarį iki standartinės formos.

2 pavyzdys

Padauginkite $2x+y$ ir $x^2+2y+3$.

Užrašykime produktą:

\[\left(2x+y\right)(x^2+2y+3)\]

\[\left(2x+y\right)\left(x^2+2y+3\right)=2x^3+4xy+6x+x^2y+2y^2+3y\]

Matome, kad gautas daugianomas turi standartinis vaizdas, tada daugyba baigta.