Binomio laipsnio išplėtimas. Konkretaus nario radimas

Kuryakova Tatjana Sergeevna

matematikos mokytojas, Savivaldybės švietimo įstaiga „36 vidurinė mokykla“, Angarskas

Niutono dvinaris yra viena iš temų, kurios svarstymas padeda mokiniams nuodugniai suprasti ne tik kombinatorines sąvokas, bet ir sutrumpintas daugybos formules. Šiame straipsnyje pateikiamas vienas iš paskaitos variantų aukštųjų mokyklų studentams tema „Niutono binomėlis“.

Tema: "Niutono binomija"

Paskaitos metmenys 1. Niutono dvinario samprata

2. Binominių ir dvinarių koeficientų savybės

3. Tipiškos užduotys tema "Niutono dvinaris"

4. Problemos, kylančios naudojant Niutono dvejetainę formulę (nestandartinės problemos tema „Niutono dvinaris“)

Literatūra

1. Konkursinių matematikos uždavinių rinkinys stojantiesiems į kolegijas / Red. M.I. Skanavi: Vadovėlis. pašalpa. Sankt Peterburgas, 1995. – p.84.

2. Suprun V.P. Pasirinkti padidinto sudėtingumo matematikos uždaviniai. Mn.: Polymya, 1998. – 108 p.

Niutono dvinario samprata

Niutono dvinamis yra formos išplėtimas:

Tačiau griežtai kalbant, visos formulės negalima vadinti dvinariu, nes „binomialas“ yra išverstas kaip „binomialas“. Be to, išplėtimo formulė buvo žinoma dar prieš tai, kai Izaokas Niutonas išplėtė šį išplėtimą iki n

Tikslas tiriant Niutono dvinarį – supaprastinant skaičiavimo veiksmus.

Komponentai Niutono binominė formulė:

Praktinė Paskalio trikampio reikšmė slypi tame, kad jo pagalba galite lengvai atkurti iš atminties ne tik gerai žinomas sumos ir skirtumo kvadratų, bet ir sumos (skirtumo) kubo formules, ketvirtasis ir aukštesnis laipsnis.

Pavyzdžiui, ketvirtoji trikampio eilutė aiškiai parodo binominiai koeficientai ketvirtojo laipsnio binomiui:

Paskalio trikampio alternatyva:

keturis skliaustus padauginkite iš termino:

prisiminkime Niutono ketvirtojo laipsnio binomo išplėtimą:

kur T yra išplėtimo narys;
– serijos numeris išplėtimo terminas.

– 2 –

Binominių ir dvinarių koeficientų savybės

Įrodymas

Apsvarstykite išplėtimo terminą:

Rodiklių suma a Ir b:

Įrodymas

Leisti
, Tada:

Tada:

Įrodymas – tu pats

– 3 –

Tipiškos problemos tema „Niutono dvinomas“

Tipiškos (standartinės) užduotys šia tema apima skaičiavimo užduotis, įskaitant:

Raskite dvinario plėtinio terminą (nario numerį).

Išveskite dvinarį pagal žinomus išplėtimo terminus (naudojant žinomą sumą)

Apskaičiuokite dvinario plėtimosi dvinario koeficientų sumą

ir kiti.

Demonstruosime pavyzdžiais (jų sprendimas nesudėtingas, todėl daugumą siūlome išspręsti patiems).

1 pavyzdys

Išplėskite pagal binominę formulę

Sprendimas yra jūsų pačių

ATKREIPKITE DĖMESĮ į ženklų seką!

2 pavyzdys

Raskite šeštąjį išplėtimo terminą

Sprendimas yra jūsų pačių

ATKREIPKITE DĖMESĮ į ženklą!

Geriau pradėti nuo šių dalykų:

3 pavyzdys

Raskite du vidurinius išplėtimo terminus

Sprendimas yra jūsų pačių

ATKREIPKITE DĖMESĮ, kad šie terminai yra vienodu atstumu nuo pabaigos, todėl jų dvejetainiai koeficientai bus lygūs.

NEPAMIRŠKITE sprendimo proceso metu atlikti galių transformacijas tais pačiais pagrindais (ty supaprastinti).

4 pavyzdys

Binominiame plėtinyje
rasti išplėtimo terminą, kuriame nėra X

Kadangi išplėtime ieškome termino, kuriame nėra X, Tai

Atsakymas:

– 4 –

Problemos, kylančios naudojant Niutono binominę formulę

(nestandartinės problemos tema „Niutono dvinaris“)

Nestandartinės užduotys šia tema apima tas, kuriose nėra aiškios užuominos apie būtinybę naudoti dvinarį. Tačiau galiausiai sprendimas ateina į jį ir atrodo labai įdomus.

5 pavyzdys

Įrodykite tai bet kuriam
ir bet kokiam
teisingai Bernulio nelygybė :

Įrodymas

Leisti

Nuo tada

Performuluokime reikalavimą: Įrodykite tai
, Kur

Nes
, o tai reiškia, kad plėtinyje yra bent trys išplėtimo terminai, tada:

Tai reiškia kad

6 pavyzdys

Įrodyk tai

Įrodymas – tu pats

(Užuomina: naudokite Bernulio nelygybę)

7 pavyzdys

Įrodykite, kad tai bet koks natūralus n skaičius dalijasi iš 9

Įrodymas

Pradėkime žiūrėti į dvinarį bendras vaizdas:

8 pavyzdys

Išspręskite lygtį

Pakeiskime:

Tada perrašome lygtį:

Taikykime dvinarę formulę kairėje lygties pusėje:

Atsakymas:
Nestandartinis užduotys... Paprasčiausia tikimybinė užduotys+ + + 124-130 Deriniai ir paskirties vietos. Formulė dvinario Niutonas. + ...

Apsvarstykite šias išraiškas su laipsniais (a + b) n, kur a + b yra bet koks dvinaris, o n yra sveikas skaičius.

Kiekviena išraiška yra daugianario. Visose išraiškose galite pastebėti ypatybes.

1. Kiekvienoje išraiškoje yra vienu nariu daugiau nei rodiklis n.

2. Kiekviename dėinyje laipsnių suma lygi n, t.y. galia, į kurią pakeliamas dvinario.

3. Laipsniai prasideda nuo dvinario laipsnio n ir mažėja link 0. Paskutinis narys neturi koeficiento a. Pirmasis narys neturi b faktoriaus, t.y. laipsniai b prasideda nuo 0 ir didėja iki n.

4. Koeficientai prasideda nuo 1 ir didėja tam tikromis reikšmėmis iki „pusės kelio“, o tada tomis pačiomis vertėmis mažėja iki 1.

Pažvelkime atidžiau į koeficientus. Tarkime, kad norime rasti (a + b) 6 reikšmę. Pagal ypatybę, kurią ką tik pastebėjome, čia turėtų būti 7 nariai
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 .
Bet kaip galime nustatyti kiekvieno koeficiento reikšmę c i ? Tai galime padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas apima koeficientų rašymą trikampyje, kaip parodyta žemiau. Tai žinoma kaip Paskalio trikampis :


Trikampyje yra daug funkcijų. Raskite kuo daugiau.
Galbūt radote būdą, kaip parašyti kitą skaičių eilutę naudodami skaičius aukščiau esančioje eilutėje. Vienetai visada yra šonuose. Kiekvienas likęs skaičius yra dviejų skaičių, viršijančių tą skaičių, suma. Pabandykime rasti išraiškos (a + b) 6 reikšmę pridėdami šią eilutę, naudodami rastas funkcijas:

Tai matome paskutinėje eilutėje

pirma ir paskutinis numeris 1 ;
antrasis skaičius yra 1 + 5 arba 6 ;
trečiasis skaičius yra 5 + 10 arba 15 ;
ketvirtasis skaičius yra 10 + 10 arba 20 ;
penktasis skaičius yra 10 + 5 arba 15 ; Ir
šeštas skaičius yra 5 + 1 arba 6 .

Taigi išraiška (a + b) 6 bus lygi
(a + b) 6 = 1 6+ 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5+ 1 b 6.

Norėdami padidinti laipsnį (a + b) 8, Paskalio trikampyje pridedame dvi eilutes:

Tada
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

Savo rezultatus galime apibendrinti taip.

Niutono dvinaris naudojant Paskalio trikampį

Bet kuriam dvejetainiam a+ b ir bet kuriam natūraliajam skaičiui n,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n ,
kur skaičiai c 0 , c 1 , c 2 ,...., c n-1 , c n paimti iš Paskalio trikampio (n + 1) serijos.

1 pavyzdys Pakelkite iki laipsnio: (u - v) 5 .

Sprendimas Turime (a + b)n, kur a = u, b = -v ir n = 5. Mes naudojame Paskalio trikampio 6 eilutę:
1 5 10 10 5 1
Tada mes turime
(u - v) 5 = 5 = 1 (u)5+ 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u) (-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5 uv 4 - v 5 .
Atkreipkite dėmesį, kad terminų ženklai svyruoja tarp + ir -. Kai laipsnis -v yra nelyginis skaičius, ženklas yra -.

2 pavyzdys Pakelkite iki galios: (2t + 3/t) 4 .

Sprendimas Turime (a + b)n, kur a = 2t, b = 3/t ir n = 4. Naudojame Paskalio trikampio 5 eilutę:
1 4 6 4 1
Tada mes turime

Dvejetainis išplėtimas naudojant faktorines reikšmes

Tarkime, kad norime rasti (a + b) 11 reikšmę. Paskalio trikampio naudojimo trūkumas yra tas, kad turime apskaičiuoti visas ankstesnes trikampio eilutes, kad gautume reikalinga eilutė. Kitas metodas leidžia to išvengti. Tai taip pat leidžia rasti konkrečią eilutę, tarkime, 8 eilutę, nevertinant visų kitų eilučių. Šis metodas yra naudingas atliekant skaičiavimus, statistiką ir jį naudojant dvinario koeficiento žymėjimas .
Niutono dvinarį galime suformuluoti taip.

Niutono dvinaris naudojant faktorinį žymėjimą

Bet kuriam dvejetainiam (a + b) ir bet kuriam natūraliajam skaičiui n,
.

Niutono binomį galima įrodyti metodu matematinė indukcija. Tai parodo, kodėl jis vadinamas binominis koeficientas .

3 pavyzdys Pakelkite iki galios: (x 2 - 2y) 5 .

Sprendimas Turime (a + b) n , kur a = x 2 , b = -2y ir n = 5. Tada, naudojant Niutono dvinarį, gauname


Galiausiai (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5 .

4 pavyzdys Padidinti iki galios: (2/x + 3√x) 4.

Sprendimas Turime (a + b)n, kur a = 2/x, b = 3√x ir n = 4. Tada, naudojant Niutono dvinarį, gauname


Galiausiai (2/x + 3√x) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x2.

Konkretaus nario radimas

Tarkime, kad iš išraiškos norime nustatyti vieną ar kitą terminą. Mūsų sukurtas metodas leis mums rasti šį terminą neskaičiuojant visų Paskalio trikampio eilučių ar visų ankstesnių koeficientų.

Atkreipkite dėmesį, kad Niutono dvinaris suteikia mums 1-ąjį narį, suteikia mums 2-ąjį narį, suteikia mums 3-ią narį ir pan. Tai galima apibendrinti taip.

(k + 1) nario radimas

(k + 1) išraiškos (a + b) narys n yra .

5 pavyzdys Raskite 5-ąjį reiškinio narį (2x - 5y) 6 .

Sprendimas Pirmiausia atkreipkite dėmesį, kad 5 = 4 + 1. Tada k = 4, a = 2x, b = -5y ir n = 6. Tada 5-asis išraiškos narys bus

6 pavyzdys Raskite 8-ąjį terminą reiškinyje (3x - 2) 10.

Sprendimas Pirmiausia pažymime, kad 8 = 7 + 1. Tada k = 7, a = 3x, b = -2 ir n = 10. Tada 8-asis išraiškos narys bus

Bendras poaibių skaičius

Tarkime, kad aibėje yra n objektų. Poaibių, kuriuose yra k elementų, skaičius yra . Iš viso aibės poaibiai yra poaibių su 0 elementų skaičius, taip pat poaibių su 1 elementu skaičius, taip pat poaibių su 2 elementais skaičius ir pan. Bendras aibės su n elementų poaibių skaičius yra
.
Dabar pažiūrėkime į laipsnio (1 + 1) n didinimą:

.
Taigi. viso poaibiai (1 + 1) n arba 2 n. Mes įrodėme šiuos dalykus.

Bendras poaibių skaičius

Bendras aibės su n elementų poaibių skaičius yra 2n.

7 pavyzdys Kiek poaibių turi aibė (A, B, C, D, E)?

Sprendimas Aibę sudaro 5 elementai, tada poaibių skaičius yra 2 5 arba 32.

8 pavyzdys„Wendy's“ restoranų tinklas siūlo šiuos mėsainių priedus:
{kečupas, garstyčios, majonezas, pomidorai, salotos, svogūnai, grybai, alyvuogės, sūris}.
Kiek skirtingi tipai Kokius mėsainius gali pasiūlyti Wendy, neįskaitant mėsainių dydžio ar mėsainių skaičiaus?

Sprendimas Kiekvieno mėsainio užpilai yra visų galimų priedų rinkinio pogrupio nariai, o tuščias rinkinys yra tik mėsainis. Bendras galimų mėsainių skaičius bus lygus

. Taigi, Wendy's gali pasiūlyti 512 skirtingų mėsainių.

Matematikos pamokos planas:

« Binominė teorema. Binominių koeficientų savybės

Tikslai :

- edukacinis : pristatyti Niutono dvejetainę formulę, išmokyti naudoti Niutono dvinarį formulę keliant dvinarį laipsniu;
- besivystantis : skatina atminties raidą, algoritminį ir loginis mąstymas, dėmesys;
- edukacinis: toliau ugdyti atsakomybės jausmą, savarankiškumą ir sąžiningumą.)

Įranga : kompiuteris, multimedijos projektorius, ekranas, prezentacija, kortelės su teorine medžiaga.

Pamokos tipas - k kombinuotas;

Studentų darbo formos – priekinis, individualus.

Užsiėmimų metu:

1 . Organizavimo laikas:

Pranešimas apie temą, pamokos tikslus ir praktinę nagrinėjamos temos reikšmę.

2. Žinių atnaujinimas

aš . Priekinė apklausa:

1) Ką tiria kombinatorika?

2) Kokius jungčių tipus ar pavyzdžius žinote?

3) Išspręskite kryžiažodį „Kombinatorika“

II . Žodinis skaičiavimas:

5!=….(120), A 5 2 =…(20), C 4 2 =….(8)

Keliais būdais ant suoliuko gali sėdėti 5 žmonės?

3. Naujos medžiagos pristatymas: Darbas su kortelėmis teorinė medžiaga. Klausytis ir analizuoti studentų žinutes. Santraukos rašymas.

aš ) Kombinatorikos istorija ( Studento žinutė)

Paskutinėje pamokoje mokėmės kombinatorikos pagrindų. Namų darbai pirmajam kūrybinė grupė turėjo parengti pranešimą apie kombinatorikos, kaip mokslo, atsiradimo istoriją. (Studento žinutė)

Kokie mokslininkai prisidėjo kuriant kombinatoriką kaip mokslą?

Vienas iškiliausių to meto protų buvo anglų kalba mokslininkas Izaokas Niutonas. Jūsų namų darbas buvo parengti pranešimą apie šį puikų genijų.

II ) Izaokas Niutonas yra puikus matematikas ( Studento žinutė)

Iš pranešimo girdėjote, kiek puikių idėjų ir atradimų priklauso didžiajam matematikui Isaacui Newtonui. Vienas iš jo atradimų yra formulėBinominė teorema .

III ) Niutono dvinaris.

Būtent šiam atradimui šiandien skirsime savo pamoką. Užsirašykime pamokos temą.Mūsų pamokos tikslai : susipažinti su Niutono binomine formule, išmokti taikyti Niutono dvinarį formulę keliant dvinarį laipsniu.

Žodis dvejetainis reiškia „du skaičiai“. Sekime Newtonu ir pabandykime jį išvesti, kad galėtume jį pritaikyti.

Tikriausiai prisimenate (ar bent jau turėtumėte prisiminti) sutrumpintas dviejų narių sumos kvadrato ir kubo daugybos formules (ši suma vadinama "dvinario ", rusiškai -dvinario .

Jei pamiršote šias formules, jas galite gauti tiesiogiai atidarę skliaustus akivaizdžiose lygybėse

Gal jums iškilo klausimas: ar įmanoma (be kompiuterio) gauti ketvirto, penkto, dešimto laipsnio dvinarių formules - bet ką?

Pabandykime tiesiai patekti bent į penktą laipsnį, o ten, ko gero, bus „fortepijonas krūmuose“ (tvarkos dėlei terminus dėsime dešinėje pusėje mažėjančia tvarkaA , jis sumažėja nuo maksimumo iki nulio):

Dabar parašykime tai atskirai skaitiniai koeficientai dešiniosiose formulių pusėse, kai dvinarį didinate iki nurodytos laipsnio:

Galbūt jau atspėjote, kad „fortepijonas krūmuose“ yra Paskalio trikampis ankstesniame puslapyje. Nesunku patikrinti, ar išrašyti skaitiniai koeficientai yra Paskalio trikampio linijos, pradedant nuo trečiosios. Šį „sutrumpintą trikampį“, kuriame trūksta pirmųjų dviejų eilučių, galima nesunkiai užbaigti (eiles gaukiten=0 Irn=1 ):

Galiausiai gauname:

Šis teiginys buvo žinomas gerokai prieš Paskalį – jį žinojo kažkas, gyvenęs XI-XII a. Vidurinės Azijos matematikas ir poetas Omaras Khayyamas (deja, jo darbai mūsų nepasiekė). Pirmasis pas mus atėjusios formulės aprašymas yra Vidurinės Azijos matematiko al-Tusi knygoje, pasirodžiusioje 1265 m., kur pateikiama skaičių (binominių koeficientų) lentelė iki imtinai.

Europos mokslininkai su formule susipažino, matyt, per Rytų matematikus. Atliko išsamų savybių tyrimą prancūzų matematikas o filosofas B. Pascalis 1654. Jūsų namų darbas buvo parengti pranešimą apie prancūzų mokslininkas Pascale.

IV ) Blezas Paskalis ( Studento žinutė)

Dabar aišku, kaip pakelti dvinarį iki bet kokios galios n. Kairėje pusėje rašome (a+b) n. O dešinėje pusėje užrašome sumą A n + a n-1 b + … + b n, paliekant vietos koeficientui kiekviename termine. Ir mes užpildome šias vietas skaičiais iš n-Paskalio trikampio eilutė, kurią, žinoma, reikia parašyti iš anksto.

Binomio konstravimasa+b iki laipsnion gali būti sudarytas pagal formulę, vadinamą skaidymuNiutono dvinaris :

(a+b) n =a n +C 1 n a n - 1 b+C 2 n a n - 2 b 2 +...+C k n a n - k b k +... +C n - 1 n ab n - 1 +C n n b n

KurC k n - visi galimi deriniai , kuris gali būti suformuotasn elementų, k kiekvienas .

Pavyzdys : (a+b) 5 =a 5 +C 1 5 a 4 b+C 2 5 a 3 b 2 +C 3 5 a 2 b 3 +C 4 5 ab 4 +C 5 5 b 5 =a 5 + 5a 4 b+10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

Tokiu būdu galite parašyti formulę, kaip padidinti dvinarį iki bet kurios laipsnio. Pastebėkime kai kurias terminų ypatybes dvinario išplėtimo naudojant Niutono dvinario formulę.

V ) Niutono dvinario savybės

Koeficientai yra simetriški.

Jei skliausteliuose yra minuso ženklas, tada + ir – ženklai pakaitomis.

Kiekvieno nario laipsnių suma yra lygi dvejetainio laipsniui.

Plėtimo koeficientų suma (a + b) nlygus 2 n .

VI ) Naujos medžiagos konsolidavimas.

Supažindinome jus su Niutono dvinario vartojimu studijuodami sutrumpintas daugybos formules: Kur dar naudojamas Niutono dvinaris?

VII ) Niutono dvinario taikymas.

Pabaigoje apsvarstykite pavyzdį, kuriame Niutono dvinario naudojimas leidžia įrodyti išraiškos dalijimąsi iš tam tikro skaičiaus.

Pavyzdys.

Įrodykite, kad išraiškos reikšmė , kur n yra natūralusis skaičius, dalijamasi iš 16 be liekanos.

Sprendimas.

Pirmąjį išraiškos terminą pavaizduokime kaip ir naudokite Niutono binominę formulę:

Gauta sandauga įrodo pradinės išraiškos dalijimąsi iš 16.Niutono dvinaris naudojamas Fermato teoremos įrodyme, begalinių eilučių teorijoje ir Niutono-Leibnizo formulės išvedime

VIII ) Ką reiškia frazeologinis vienetas „Niutono dvinaris“?

Nuotaikinga frazė, pritaikoma nereikšmingai užduočiai, paprastai užduočiai, kurią kai kurie klaidingai laiko per sunkia arba itin sunkia.
Frazės kilmė : iš romano (1891 - 1940) "Meistras ir Margarita" (1940).
Korovjevo, nusprendusio pakomentuoti Wolando pokalbį su barmenu Sokovu, žodžiai. Barmenas skundžiasi žiūrovais, kurie jam sumokėjo padirbtais pinigais, taip „baigdami bufetą šimtu devyniais rubliais“.
- Na, žinoma, tai ne ta suma, - nuolaidžiai tarė Volandas savo svečiui, - nors, beje, jums jos irgi nereikia. Kada tu mirsi?
Tuo metu barmenas pasipiktino.
„Tai niekam nežinoma ir niekam nerūpi“, – atsakė jis.
„Na, taip, mes nežinome“, – pasakė tas pats balsas (Korovjevas) iš biuro, -pagalvokite apie tai, Niutono dvinaris ! Jis mirs po devynių mėnesių, kitų metų vasarį, nuo kepenų vėžio Pirmojo Maskvos valstybinio universiteto klinikoje, ketvirtoje palatoje.

IX ) Pamokos santrauka. Atspindys

Tik pagalvok, Niutono dvinaris

„Tik pagalvok, Niutono dvinaris“
Katė mikčiojo begemotą
(Jis yra nuolankus Volando tarnas)
Numatyti gyvenimo eigą.
Visa tai tik patvirtina
Niutonas yra genijus, bet ilgam
Binomas buvo žinomas Kinijoje,
Arabai apie jį žinojo.
Tačiau Niutonas apibendrino sprendimą,
Jis iškėlė daugianarį į laipsnį...
Išlaisvink mus nuo visų abejonių
Kitų problemų neturime.
Pasakykite mums be jokių diskusijų
Kam mums reikalingas tas dvejetainis?
Reiškinių kombinatorika
Nerasime jo be dvinario.
Lapkričio mėn. 2015 m. 7 d

Ką naujo išmokote pamokoje? Ar ši formulė svarbi matematikai? Ar tau buvo sunku suprasti nauja medžiaga?

Namų darbai. Pasiruošimas testui.

( Užduotis ant popieriaus lapelių kiekvienam mokiniui)

1. Iš 12 komandos narių reikia pasirinkti kapitoną ir pavaduotoją. Kiek būdų tai galima padaryti?

2. Apskaičiuokite: 4P 3 +3A 2 10 -C 2 5

Absolventai ekonomikos institutas Jie dirba trijose skirtingose ​​organizacijose: 17 žmonių banke, 23 įmonėje ir 19 mokesčių inspekcijoje. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai sutiktas absolventas dirba banke?

Yra 8 skirtingos knygos, iš kurių 2 yra poezijos rinkiniai. Keliais būdais šias knygas galima išdėstyti lentynoje, kad žinynai būtų vienas šalia kito?

Norėdami žaisti KVN, turite pasirinkti 6 žmonių komandą. Kiek būdų tai padaryti, jei komandoje turėtų būti vienodas berniukų ir mergaičių skaičius, o klasėje yra 12 mergaičių ir 10 berniukų?

Kiek triženklius skaičius su skirtingais skaičiais galite sudaryti iš skaičių 0,1,3,6,7,9?

Faktorizuoti: ( a- b) 9 ir (3 x+ y) 10

Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos

Blezas Paskalis (1623-1662).

Izaokas Niutonas (1643-1727).

Paskalio trikampis.

Šiandien, kaip prieš trisdešimt ar keturiasdešimt metų, pretendentai į stojamieji egzaminai Universiteto studentai tradiciškai bijo gauti bilietą su klausimu apie Niutono binomį. (Formulės autorius yra puikus anglų fizikas, matematikas, astronomas ir filosofas seras Isaacas Newtonas.) Esmė ne tik ta, kad formulė atrodo sudėtinga. Jo tyrimas buvo įtrauktas į programą vidurinė mokykla, tada jie buvo paimti už pagrindinio kurso ribų, tačiau rimtuose universitetuose egzaminuotojai klausdavo ir tebeklausinėja apie Niutono binomį.

Tiesą sakant, čia nėra ko ypatingo bijoti. Niutono dvinaris – savavališko išplėtimo formulė natūralus laipsnis dvinarį \((a+b)^n \) į daugianarį. Kiekvienas iš mūsų mintinai žino „sumos kvadrato“ \((a+b)^2 \) ir „sumos kubo“ \((a+b)^3 \ formules, bet su laipsnio padidėjimas nustatant daugianario narių koeficientus, sunkumai. Siekiant išvengti klaidos, naudojama Niutono binominė formulė:

\[ (a+b)^n = a^n + \frac(n)(1a^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2 + \ldots + b^n. \]!}

Bendresne forma dvinario koeficientų formulė parašyta taip:

\[ C_(n)^(k) = \frac(n{k!(n-k)!} \]!}

Kur k- daugianario termino eilės numeris.

Prisiminkite, kad faktorialas yra produktas natūraliuosius skaičius nuo 1 iki n, tai yra, \(1*2*3*\ldots*n \) – žymimas n!, pavyzdžiui, \(4! = 1*2*3*4 = 24\).

Tikrai sunku prisiminti formulę. Bet pabandykime tai išanalizuoti. Galima pastebėti, kad bet kuriame daugianare yra a n Ir b n su koeficientais 1. Taip pat aišku, kad kiekvienas kitas daugianario narys atrodo kaip kiekvieno dvinalio nario tam tikrų laipsnių sandauga (a+b), o galių suma visada lygi n. Pavyzdžiui, reiškinyje \[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] faktorių laipsnių suma visuose terminuose yra lygi trims (3, 2+1, 1+2, 3). Tas pats pasakytina apie bet kurį kitą laipsnį. Vienintelis klausimas, kokius koeficientus reikėtų naudoti terminams.

Matyt, norėdamas palengvinti moksleivių ir studentų darbą, didysis prancūzų matematikas ir fizikas Blaise'as Pascalis sugalvojo prieš tris šimtus penkiasdešimt metų. specialus įrankis nustatyti tuos pačius koeficientus - „Paskalio trikampis“.

Jis konstruojamas taip: Trikampio viršūnėje rašome 1. Vienetas atitinka išraišką \((a+b)^0, \), nes bet koks skaičius, pakeltas iki nulio laipsnio, suteikia vienetą. Kai užbaigiame trikampį, toliau parašome dar vieną. Tai to paties dvejetainio plėtimosi koeficientai, pakelti iki pirmo laipsnio:\((a+b)^1 = a+b.\) Eikime toliau. Trikampio kraštinės sudaro vienetus, o tarp jų yra dviejų viršuje esančių vienetų suma, tai yra 2. Tai yra trinario „sumos kvadrato“ koeficientai:

\[ a^2 + 2ab + b^2. \]

Kita eilutė, kaip ir ankstesnė, prasideda ir baigiasi vienetais, o tarp jų yra viršuje esančių skaičių sumos: 1, 3, 3, 1. Gavome „sumos kubo“ skilimo koeficientus. Ketvirtojo laipsnio dvinario koeficientų skaičius bus 1, 4, 6, 4, 1 ir pan.

Pavyzdžiui, naudodami Paskalio trikampį, išplėskime dvinarių sumą iki šeštojo laipsnio į daugianarį:

\[ (a + b)^6 = a^6+6a^5b + 15a^4b^2+20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6. \]

Viskas labai paprasta ir išliks atmintyje visam gyvenimui. Beje, taip pat daug lengviau atsiminti ir išvesti Niutono binominę formulę, nubraižant Paskalio trikampį ant grubaus piešinio.

Kai kurie mokslo istorikai Blaise'ui Pascaliui priskiria ne tik trikampio, leidžiančio rasti dvejetainius koeficientus, bet ir pačios dvinario formulės autorystę. Jie mano, kad Paskalis jį išvedė šiek tiek anksčiau nei Niutonas, kuris tik apibendrino skirtingų eksponentų formulę.