Paskalio trikampio dvinarių koeficientų Niutono binominės savybės. Niutono dvinaris naudojant faktorinį žymėjimą

Akivaizdu, kad sistemai n tiesines lygtis Su n Nežinomieji gauname dydžio koeficientų matricą:

Supažindinkime su determinanto sąvoka n– įsakymas.

4.1 apibrėžtis:

Determinantas n- eilė yra skaičius, lygus

Suma n! terminai;

Kiekvienas terminas yra produktas n matricos elementai paimti po vieną iš kiekvienos eilutės ir kiekvieno stulpelio;

Kiekvienas narys imamas su „+“ ženklu, jei antrųjų indeksų permutacija yra lyginė, ir su „-“ ženklu, jei antrųjų indeksų permutacija yra nelyginė, su sąlyga, kad pirmieji indeksai sudaro natūralią skaičių seką.

Tai.

Čia å perimamos visos galimos permutacijos, sudarytos iš skaičių 1,2,…, n.

5. Pagrindinės determinantų savybės.

Nustatykime pagrindines determinantų savybes, kurias paprastumo dėlei parodysime naudodami 2 eilės determinantą.

1. Keičiant eilutes atitinkamais stulpeliais (vadinamas perkėlimas) determinantas lieka nepakitęs. Tikrai:

Vadinasi, , ką ir reikėjo įrodyti.

Pastaba: Aukščiau gautas rezultatas suteikia teisę teigti, kad determinanto eilutės ir stulpeliai, toliau vadinami eilutėmis, yra vienodi.

2. Perstačius dvi eilutes, determinantas pakeičia ženklą į priešingą.

tikrai, Sukeiskime eilutes ir apskaičiuokime determinantą

Q.E.D.

3. Jei dvi lygiagrečios determinanto serijos yra identiškos, tai ji lygus nuliui. Iš tiesų, sukeiskime dvi identiškas eilutes. Tada determinanto reikšmė nepasikeis, bet ženklas dėl 2 savybės pasikeis. Vienaskaita, kuris nesikeičia pasikeitus ženklui – nulis.

4. Bendras daugiklis bet kurios serijos narius galima išimti iš determinanto ženklo.

Q.E.D.

5. Jei bet kurios serijos visi elementai yra sumos tas pats numeris terminai, tada determinantas lygi sumai determinantai, kuriuose nagrinėjamos serijos elementai yra atskiri terminai.

Q.E.D.

6. Determinantas nepasikeis, jei prie bet kurios serijos elementų pridedami atitinkami lygiagrečios serijos elementai, padauginti iš tam tikro skaičiaus.

Antrąją eilutę padauginkite iš ir pridėkite prie pirmosios:

Iš tiesų, dėl savybių 3,4,5

=

Q.E.D.

6. Nepilnamečiai ir algebriniai priedai determinanto elementai.

Apsvarstykite determinantą n- užsakymas:

.

Pabrėžkime determinantą i-toji eilutė ir j stulpelis. Šių eilučių sankirtoje yra elementas

Jei determinante išbraukiame i- reguliavimas ir j-th stulpelis, tada gauname eilės determinantą n-1 (t. y. turintis eiliškumą vienu mažiau nei pradinis determinantas), vadinamas nepilnametis elementas determinantas Mes pažymėsime nepilnametis elementas simbolis

Apibrėžimas 6.1. Aalgebrinis papildinys elementas Determinantas vadinamas nepilnamečiu, imamas su ženklu ir žymimas simboliu. Pagal apibrėžimą gauname

.

6.1 pavyzdys. Raskite determinanto mažąjį ir algebrinį papildinį

stačiakampis vienetinė matrica daugialinijinis

2 ir 3 eilės determinantų skaičiavimas.

Gauname antros ir trečios eilės determinantų skaičiavimo formules. Pagal apibrėžimą, kada

Kai išbraukiame pirmąją eilutę ir vieną stulpelį, gauname matricą, kurioje yra vienas elementas, taigi

Pakeitę šias reikšmes į dešinę, gauname antros eilės determinanto skaičiavimo formulę

Antros eilės determinantas lygus skirtumui elementų sandauga pagrindinėje įstrižainėje ir elementų sandauga antrinėje įstrižainėje (2.1 pav.).

Turime trečiosios eilės determinantą

Ištrynę pirmąją eilutę ir vieną stulpelį, gauname antros eilės kvadratinių matricų determinantus:

Šiuos antros eilės determinantus užrašome naudodami formulę (2.2) ir gauname trečios eilės determinanto skaičiavimo formulę

Determinantas (2.3) yra šešių narių suma, kurių kiekvienas yra trijų determinanto elementų, esančių skirtingose ​​eilutėse ir skirtinguose stulpeliuose, sandauga. Be to, trys terminai imami su pliuso ženklu, o kiti trys - su minuso ženklu.

Norint prisiminti formulę (2.3), naudojama trikampių taisyklė: reikia pridėti tris sandaugas iš trijų elementų, stovinčių ant pagrindinės įstrižainės ir dviejų trikampių, kurių kraštinė lygiagreti pagrindinei įstrižai, viršūnėse (2.2a pav.), ir atimti tris sandaugas elementų, stovinčių ant šoninių įstrižainių ir dviejų trikampių, kurių kraštinė lygiagreti kraštinei įstrižai, viršūnėse (2.2,6 pav.).

Taip pat galite naudoti skaičiavimo schemą, parodytą pav. 2.3 (Sarrus taisyklė): pridėkite pirmąjį ir antrąjį stulpelius matricos dešinėje, apskaičiuokite elementų sandaugas kiekvienoje iš šešių nurodytų eilučių ir raskite šių sandaugų algebrinę sumą, o lygiagrečių linijų elementų sandaugą prie pagrindinės įstrižainės imamas pliuso ženklas , o lygiagrečių šoninei įstrižainei lygiagrečių tiesių elementų sandauga yra su minuso ženklu (pagal 2.3 pav. žymėjimą).

N>3 eilės determinantų apskaičiavimas.

Taigi, mes gavome formules antros ir trečios eilės determinantams apskaičiuoti. Galite tęsti skaičiavimus naudodami formulę (2.1) ir gauti ketvirtojo, penktojo ir kt. determinantų skaičiavimo formules. dydžio eilėmis. Vadinasi, indukcinis nustatymas leidžia apskaičiuoti bet kurios eilės determinantą. Kitas dalykas – formulės bus gremėzdiškos ir nepatogios atliekant praktinius skaičiavimus. Todėl determinantai aukšta tvarka(ketvirtas ar daugiau), kaip taisyklė, apskaičiuojami remiantis determinantų savybėmis.

2.1 pavyzdys. Apskaičiuokite determinantus

Sprendimas. Naudodami (2.2) ir (2.3) formules randame;

Determinanto išskaidymo į eilutės (stulpelio) elementus formulė

Tegu pateikiama kvadratinė eilės matrica.

Papildomas elemento minoras yra eilės matricos determinantas, gautas iš matricos ištrinant i-oji eilutė ir j stulpelis.

Matricos elemento algebrinis papildinys yra šio elemento papildomas minoras, padaugintas iš

2.1 teoremos formulė determinanto išskaidymui į eilutės (stulpelio) elementus. Matricos determinantas yra lygus savavališkos eilutės (stulpelio) elementų ir jų algebrinių papildinių sandaugų sumai:

(skilimas išilgai i-osios eilės);

(išplėtimas j stulpelyje).

Pastabos 2.1.

1. Formulės įrodymas atliekamas naudojant matematinės indukcijos metodą.

2. Indukciniame apibrėžime (2.1) iš tikrųjų buvo panaudota determinanto išskaidymo į pirmosios eilutės elementus formulė.

2.2 pavyzdys. Raskite matricos determinantą

Sprendimas. Išplėskime determinantą išilgai 3 eilutės:

Dabar išplėskime trečios eilės determinantą paskutiniame stulpelyje:

Antros eilės determinantas apskaičiuojamas pagal (2.2) formulę:

Matricos determinantas trikampio išvaizdos

Norėdami rasti viršutinės trikampės matricos determinantą, pritaikykime skaidymo formulę

Išplėskime determinantą išilgai paskutinės eilutės (n-osios eilutės):

kur yra papildomas smulkus elementas. Pažymėkime Tada. Atkreipkite dėmesį, kad išbraukus paskutinę determinanto eilutę ir paskutinį stulpelį, gauname to paties tipo, bet (n-1) eilės viršutinės trikampės matricos determinantą. Išplėsdami determinantą paskutinę eilutę ((n-1) eilutę), gauname. Tęsdami panašiai ir atsižvelgdami į tai, pasiekiame formulę.e. viršutinės trikampės matricos determinantas lygus produktui elementai pagrindinėje įstrižainėje.

Pastabos 2.2

1. Apatinės trikampės matricos determinantas yra lygus pagrindinės įstrižainės elementų sandaugai.

2. Tapatybės matricos determinantas yra 1.

3. Trikampės formos matricos determinantas bus vadinamas trikampės formos determinantu. Kaip parodyta aukščiau, trikampės matricos determinantas (viršutinės arba apatinės trikampės matricos determinantas, ypač įstrižainės) yra lygus pagrindinės įstrižainės elementų sandaugai.

Pagrindinės determinantų savybės (determinantai)

1. Bet kam kvadratinė matrica, t.y. Perkėlus, determinantas nesikeičia. Iš šios savybės išplaukia, kad determinanto stulpeliai ir eilutės yra „lygūs“: bet kuri savybė, kuri tinka stulpeliams, bus teisinga ir eilutėms.

2. Jeigu determinante vienas iš stulpelių lygus nuliui (visi stulpelio elementai lygūs nuliui), tai determinantas lygus nuliui:.

3. Pertvarkant du stulpelius, determinantas pakeičia ženklą į priešingą (antisimetrijos savybė):

4. Jei determinantas turi du vienodus stulpelius, tada jis lygus nuliui:

5. Jei determinantas turi du proporcingus stulpelius, tada jis lygus nuliui:

6. Dauginant visus determinanto vieno stulpelio elementus iš skaičiaus, determinantas dauginamas iš šio skaičiaus:

7. Jeigu j-asis stulpelis determinantas pavaizduotas kaip dviejų stulpelių suma, tada determinantas yra lygus dviejų determinantų sumai, kurių j-osios stulpeliai yra atitinkamai ir , o likę stulpeliai yra vienodi:

8. Determinantas yra tiesinis bet kuriame stulpelyje:

9. Determinantas nepasikeis, jei prie vieno stulpelio elementų pridedami atitinkami kito stulpelio elementai, padauginti iš to paties skaičiaus:

10. Bet kurio determinanto stulpelio elementų sandaugų suma iš kitos stulpelio atitinkamų elementų algebrinių komplementų yra lygi nuliui:

Pastabos 2.3

1. Pirmoji determinanto savybė įrodoma indukcija. Kitų savybių įrodymai atliekami naudojant determinanto skaidymo į stulpelio elementus formulę. Pavyzdžiui, norint įrodyti antrąją savybę, pakanka determinantą išplėsti į nulinio stulpelio elementus (tarkime, kad j-asis stulpelis yra nulis, t. y.):

Norėdami įrodyti 10 savybę, turite perskaityti determinanto skaidymo iš dešinės į kairę formulę, ty i-ojo stulpelio elementų sandaugų suma j-ojo stulpelio elementų algebriniais papildiniais yra vaizduojamas kaip išplėtimas determinanto j-ajame stulpelyje

kurie vietoje j-ro stulpelio elementų yra atitinkami i-osios stulpelio elementai. Pagal ketvirtąją savybę toks determinantas lygus nuliui.

2. Iš pirmosios savybės išplaukia, kad visos 2-10 savybės, suformuluotos determinanto stulpeliams, galios ir jo eilutėms.

3. Naudodami determinanto išskaidymo į eilutės (stulpelio) elementus ir 10 savybę formules, darome išvadą, kad

4. Tegul yra kvadratinė matrica. Kvadratinė matrica tos pačios eilės, kaip sakoma, adjunktinė, jei kiekvienas jos elementas yra lygus matricos elemento algebriniam papildiniui. Kitaip tariant, norint rasti jungtinę matricą, reikia:

a) pakeiskite kiekvieną matricos elementą jo algebriniu papildiniu ir gausime matricą;

b) raskite adjungtinę matricą transponuodami matricą.

Iš (2.4) formulių išplaukia, kad kur yra tos pačios eilės tapatumo matrica kaip.

2.5 pavyzdys. Raskite bloko įstrižainės matricos determinantą, kur yra savavališka kvadratinė matrica, yra tapatumo matrica ir yra atitinkamos eilės nulinė matrica, yra perkelta.

Sprendimas. Išplėskime determinantą per paskutinį stulpelį. Kadangi visi elementai šiame stulpelyje yra lygūs nuliui, išskyrus paskutinį, kuris lygus 1, gauname tokios pat formos determinantą kaip ir pradinis, bet žemesnės eilės. Išplėsdami gautą determinantą paskutiniame stulpelyje, sumažiname jo tvarką. Tęsdami tuo pačiu būdu, gauname matricos determinantą. Vadinasi,

N-osios eilės determinantų skaičiavimo metodai.

Tegul duodamas užsakytas rinkinys n elementai. Bet koks susitarimas n elementai tam tikra tvarka paskambino pertvarkymas iš šių elementų.

Kadangi kiekvieną elementą lemia jo skaičius, sakysime, kad duota n natūraliuosius skaičius.

Įvairių permutacijų skaičius iš n skaičiai lygūs n!

Jei tam tikra permutacija n skaičių skaičius i kainuoja anksčiau j, Bet i > j, t.y. didesnis skaičius stovi prieš mažesnįjį, tada jie sako, kad pora i, j siekia inversija.

1 pavyzdys. Nustatykite inversijų skaičių permutacijoje (1, 5, 4, 3, 2)

Sprendimas.

Skaičiai 5 ir 4, 5 ir 3, 5 ir 2, 4 ir 3, 4 ir 2, 3 ir 2 sudaro inversijas. Bendras inversijų skaičius šioje permutacijoje yra 6.

Permutacija vadinama net, Jei bendras skaičius jo inversijos yra lygios, kitaip jis vadinamas nelyginis. Aukščiau aptartame pavyzdyje pateikiama lygi permutacija.

Leiskite pateikti tam tikrą permutaciją... i, …, j, … (*) . Transformacija, kurioje skaičiai i Ir j pakeisti vietomis, o likusieji lieka savo vietose, vadinamas perkėlimas. Po skaičių perkėlimo i Ir j permutacijoje (*) bus pertvarkymas... j, …, i, ..., kur visi elementai, išskyrus i Ir j, liko savo vietose.

Iš bet kokios permutacijos iš n skaičių, galite pereiti prie bet kurios kitos šių skaičių permutacijos, naudodami keletą perkėlimų.

Kiekvienas perkėlimas keičia permutacijos paritetą.

At n ≥ 2 lyginių ir nelyginių permutacijų skaičius iš n skaičiai yra vienodi ir lygūs.

Leiskite M– užsakytas komplektas n elementai. Kiekviena objektyvi aibės transformacija M paskambino pakeitimasnlaipsnis.

Pakeitimai rašomi taip: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> ir viskas ik yra skirtingi.

Pakeitimas paskambino net, jei abiejų jo eilučių (permutacijų) paritetai yra vienodi, t. y. arba abi lyginės, arba abi nelyginės. Priešingu atveju pakeitimas paskambino nelyginis.

At n ≥ 2 lyginių ir nelyginių pakeitimų skaičius nth laipsniai vienodi ir lygūs .

Antros eilės A= kvadratinės matricos A determinantas yra skaičius, lygus = a11a22–a12a21.

Matricos determinantas taip pat vadinamas determinantas. Matricos A determinantui naudojamas toks žymėjimas: det A, ΔA.

Determinantas kvadratas matricos A= trečioji tvarka skambinkite numeriu, lygiu │A│= a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32-a13a22a31-a21a12a33-a32a23a11

Kiekvienas terminas algebrinė suma dešinėje paskutinės formulės pusėje yra matricos elementų sandauga, paimta po vieną iš kiekvieno stulpelio ir kiekvienos eilutės. Norint nustatyti gaminio ženklą, pravartu žinoti taisyklę (ji vadinama trikampio taisykle), schematiškai pavaizduotą 1 pav.:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" width="73" height="75 src=">.

Sprendimas.

Tegu A yra n-osios eilės matrica su sudėtingais elementais:

A=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width="112" height="27 src="> (1) ..gif" width="111" height="51"> (2) .

N-osios eilės determinantas arba kvadratinės matricos A=(aij), kai n>1, yra algebrinė visų galimų formos sandaugų suma (1) , ir darbas (1) paimamas su „+“ ženklu, jei atitinkamas pakeitimas (2) lyginis ir su „-“ ženklu, jei pakeitimas nelyginis.

Nepilnametis Mij elementas aij determinantas yra determinantas, gautas iš originalo išbraukiant i eilutė ir j- stulpelis.

Algebrinis papildinys Aij elementas aij determinantas vadinamas skaičiumi Aij=(–1) i+ jMij, Kur Mij – elementas minor aij.

Determinantų savybės

1. Determinantas nesikeičia pakeičiant visas eilutes atitinkamais stulpeliais (determinantas nesikeičia perkeliant).

2. Perstačius dvi eilutes (stulpelius), determinantas keičia ženklą.

3. Determinantas su dviem identiškomis (proporcingomis) eilutėmis (stulpeliais) yra lygus nuliui.

4. Visiems eilutės (stulpelio) elementams bendras veiksnys gali būti paimtas už determinanto ženklo.

5. Determinantas nepasikeis, jei prie tam tikros eilutės (stulpelio) elementų bus pridėti atitinkami kitos eilutės (stulpelio) elementai, padauginti iš to paties skaičiaus, išskyrus nulį.

6. Jei determinanto tam tikros eilutės (stulpelio) visi elementai yra lygūs nuliui, tai jis lygus nuliui.

7. Determinantas lygus bet kurios eilutės (stulpelio) elementų sandaugų sumai pagal jų algebrinius papildinius (determinanto skilimo savybė eilėje (stulpelyje)).

Pažiūrėkime kai kuriuos eilės determinantų skaičiavimo metodai n .

1. Jei n-osios eilės determinante bent viena eilutė (arba stulpelis) susideda iš nulių, tai determinantas yra lygus nuliui.

2. Tegul kurioje nors n-osios eilės determinanto eilutėje yra elementų, kurie skiriasi nuo nulio. N-osios eilės determinanto apskaičiavimas šiuo atveju gali būti sumažintas iki n-1 eilės determinanto skaičiavimo. Iš tiesų, naudodamiesi determinanto savybėmis, visus eilutės elementus, išskyrus vieną, galite padaryti nuliu, o tada išplėsti determinantą išilgai nurodytos eilutės. Pavyzdžiui, pertvarkykime determinanto eilutes ir stulpelius taip, kad jie būtų vietoje a11 buvo elementas, kuris skiriasi nuo nulio.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" width="32 height=37" height="37">.gif" width="307" height="101 src=">

Atminkite, kad nebūtina pertvarkyti eilučių (ar stulpelių). Nulius galite gauti bet kurioje determinanto eilutėje (arba stulpelyje).

Nėra bendro n eilės determinantų skaičiavimo metodo, išskyrus determinanto apskaičiavimą duotas įsakymas tiesiogiai pagal apibrėžimą. To ar ano determinantui specialus tipas taikyti įvairių metodų paprastesni determinantai.

3. Paimkime jį į trikampę formą. Naudodamiesi determinanto savybėmis, sumažiname jį iki vadinamosios trikampės formos, kai visi elementai, stovintys vienoje pagrindinės įstrižainės pusėje, yra lygūs nuliui. Gautas trikampis determinantas yra lygus elementų sandaugai pagrindinėje įstrižainėje. Jei patogiau gauti nulius vienoje antrinės įstrižainės pusėje, tada jis bus lygus antrinės įstrižainės elementų sandaugai, paimtam su ženklu https://pandia.ru/text/78/456/ images/image022_48.gif" width="49" height= "37">.

3 pavyzdys. Apskaičiuokite determinantą pagal eilutės išplėtimą

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">

4 pavyzdys. Apskaičiuokite ketvirtosios eilės determinantą

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width="373" height="96 src=">.

2-as metodas(determinanto apskaičiavimas išplečiant jį išilgai linijos):

Apskaičiuokime šį determinantą pagal eilutės išplėtimą, prieš tai jį transformavę taip, kad kai kuriose jo eilutėse visi elementai, išskyrus vieną, taptų nuliais. Norėdami tai padaryti, pridėkite pirmąją determinanto eilutę prie trečiosios. Tada trečią stulpelį padauginkite iš (-5) ir pridėkite prie ketvirto stulpelio. Išplečiame transformuotą determinantą išilgai trečios eilutės. Trečios eilės minorą sumažiname iki trikampės formos pagrindinės įstrižainės atžvilgiu.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" width="202" height="121 src=">

Sprendimas.

Iš pirmos eilutės atimkime antrąją, iš antrosios – trečią ir pan., galiausiai – iš priešpaskutinės (paskutinė eilutė lieka nepakitusi).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width="445" height="126 src=">

Pirmasis determinantas sumoje yra trikampis pagrindinės įstrižainės atžvilgiu, todėl lygus įstrižainių elementų sandaugai, t.y. (n–1)n. Antrąjį determinantą paverčiame sumoje sudėdami paskutinė eilutėį visas ankstesnes determinanto eilutes. Iš šios transformacijos gautas determinantas pagrindinės įstrižainės atžvilgiu bus trikampis, taigi jis bus lygus įstrižainių elementų sandaugai, ty nn-1:

=(n–1)n+ (n–1)n + nn-1.

4. Determinanto apskaičiavimas naudojant Laplaso teoremą. Jei determinante pasirenkame k eilučių (ar stulpelių) (1 £ k £ n-1), tai determinantas yra lygus visų k-osios eilės nepilnamečių, esančių pasirinktose k eilučių (ar stulpelių), sandaugų sumai. ir jų algebrinius papildinius.

6 pavyzdys. Apskaičiuokite determinantą

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" width="538" height="209 src=">

INDIVIDUALI UŽDUOTIS Nr.2

„N-TOSIOS NUOSTATOS DETERMINANTŲ APSKAIČIAVIMAS“

1 variantas

Apskaičiuokite determinantus

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width="114" height="94 src=">

algebrinė formulė, atrado Niutonas, išreiškiantis bet kokį dvinario laipsnį, būtent:

(x + a) n = x n + n/1 (ax n-1) + (a 2 x n-2) + …(a n x n-m) + …

arba kompaktiška forma naudojant simbolį n! = 1.2.3…n:

(x + a) n = ∑ m (!x n-m a m

Pirmą kartą šią formulę be įrodymų pateikė Niutonas 1676 m. Jis iškaltas ant Niutono kapo, Vestminsterio abatijoje, Londone, nors jo negalima laikyti vienu iš. svarbiausi atradimai Niutonas.

Sveikojo skaičiaus rodiklio B formulės įrodymas yra lengvas, kaip ypatingas atvejis iš daugiau bendroji formulė, išreiškiantis kūrinį bet koks skaičius dvinariai. Tiesiogiai dauginant nesunku patikrinti, ar atveju n = 2 arba n = 3 galioja formulė:

(x + a 1) (x + a 2)… (x + a n) = x n + S n 1 x n-l + S n 2 x n-2 + … + S n n

kur S n 1 yra šių dydžių a 1 , a 2 suma. . . ir n, S n 2 yra jų sandaugų suma iš dviejų, - S n n yra visų šių dydžių sandauga. Ir tada jūs galite įrodyti, kad jei tai teisinga n, tai teisinga ir n + 1 veiksniams. Nes, pridėjus vieną koeficientą x + a n+1, gauname tiesioginio dauginimo būdu

(x + a 1) (x + a 2)… (x + a n-1) = x n-1 + (S n 1 + a n+1)x n + (S n 2 + S n 1 a n- 1)x n-1 + … + S n n a n

ir kartu akivaizdu, kad

S n 1 + a n+1 + 1 = S 1 n+1

S n 2 + S n 1 a n+1 = S 2 n+1

ir tt, taigi dešinėje pusėje paskutinė lygybė yra

x n+1 + S 1 n+1 x n + S 2 n+1 x n-1 + … + (S n+1) n+1

ir tt Dabar tegul viskas A lygūs vienas kitam ir lygūs, pvz. A, Tada:

S 2 = a 2 ...

ir mes gauname (x + a) n = x n + nax n-1 + (a 2 x n-2) + ...

Taigi Niutono formulės n galiojimas yra teigiamas sveikasis skaičius ir yra įrodytas. Tačiau pats Niutonas jau įrodė, kad tai tiesa ir trupmeninei, ir neigiamai. Pateiksime Eulerio įrodymą bet kuriam n. Apsvarstykite išraišką:

1+nx + + x 3 + …

n sveikasis skaičius lygus (1 + x) n. Tegul kiekvienas n paprastai yra f(n). Lygiai taip pat tegul panaši išraiška su n pakeista m yra f(m). Padauginus, randame, viena vertus, f(n)f(m), kita vertus, išraišką, kurios koeficientų sudėties dėsnis mums žinomas iš n, m sveikųjų skaičių, būtent:

f(n)f(m) = 1 + [(n + m)/1]x + [(n + m) (n + m - 1)/1,2] x 2 + [(n + m) (n + m – 1) (n + m – 2)/1.2.3]x 3 + …

ir tai akivaizdžiai yra f(n+m). Taigi gavome f(n)f(m) = f(n + m); lygiai taip pat su atsitiktiniu skaičiumi faktorių f(n 1)f(n 2)... f(n μ) = f(n 1 +n 2 +…+n μ); įdėjus n 1 = n 2 =…= n μ = λ/μ, turime

f(n)f(–n) = f(0) = 1, t.y. f(-n) = 1/f(n) arba

f(–n) = (1 + x) –l = nx + x 2 - x 3 + … ir t.t.

• - dvejetainis, dviejų algebrų suma arba skirtumas. pavyzdžiui, posakius, vadinamus B. nariais. tt Apie B galias, tai yra išraiškas, taip, žr. Niutono dvinarį...

  Matematinė enciklopedija

• - algebrinė išraiška, susidedanti iš dviejų dydžių sumos arba skirtumo, pavyzdžiui, axm +...
• - Niutono atrasta algebrinė formulė, išreiškianti bet kokį dvinario laipsnį, būtent: n = xn + n/1 + + … + … arba, kompaktiška forma, naudojant simbolį n! = 1,2...

  Enciklopedinis žodynas Brokhauzas ir Eufronas

• - ir lat. nomen - pavadinimas) dvejetainis, dviejų algebrinių išraiškų, vadinamų lygties nariais, suma arba skirtumas; pvz a + b ir pan. Apie B laipsnius, tai yra n formos išraiškas, žr. Niutono dvinarį...
• - formulės, išreiškiančios bet kurį sveikąjį skaičių, pavadinimas teigiamas laipsnis dviejų narių suma per šių terminų laipsnius, būtent: kur n yra sveikas skaičius teigiamas skaičius, a ir b – nesvarbu...

  Didžioji sovietinė enciklopedija

• - formulės, leidžiančios parašyti dviejų savavališko laipsnio narių algebrinės sumos išskaidymą, pavadinimas...

  Collier enciklopedija

• - tas pats kaip dvinario. Dėl n formos dvejetainio žr. str. Niutono binominis...
• - formulė, išreiškianti dviejų dėmenų sumos teigiamą sveikojo skaičiaus galią šių narių laipsniais (jų koeficientai vadinami dvejetainiais koeficientais...

  Didelis enciklopedinis žodynas

• – Skolinimasis. pirmoje pusėje XIX a. iš prancūzų kalbos lang., kur binôme yra lat priedas. bi ir graikų nomē „dalintis, dalintis“. trečia. šio žodžio išvestinė kalkė yra dvinarė...

  Etimologinis žodynas rusų kalba

• - Iš Michailo Afanasjevičiaus Bulgakovo romano „Meistras ir Margarita“. Korovievo-Fagoto žodžiai, komentuojant Wolando ir barmeno Andrejaus Fokicho Sokovo dialogą...

  Žodynas sparnuoti žodžiai ir posakius

• - ; pl. bino/mes, R...

  Rašybos žodynas rusų kalba

• - vyras. binominė patelė pažodžiui: skaitinė išraiška, susidedantis iš dviejų narių; binominis, binominis kiekis...

  Žodynas Dahl

• - BINOM, vyras. Matematikoje: dvinario...

  Ožegovo aiškinamasis žodynas

• - dvinario m. Algebrinė išraiška, parodantis dviejų vienatūrių sumą arba skirtumą; binominis...

  Efremovos aiškinamasis žodynas

• - Razg. Juokauja. Apie ką nors sudėtingas, painus. Elistratovas, 41...

  Didelis žodynas Rusų posakiai

• - BINOM, -a, m. Geležis. apie atrodo sudėtinga ir paini. Poss. pasklido M. Bulgakovo romano „Meistras ir Margarita“ įtakoje...

  Rusų argoto žodynas

„Niutono binolis“ knygose

Nuo Keplerio iki Niutono