Vektorinė diagrama. Vibracijų papildymas.

Daugelio virpesių teorijos problemų sprendimas tampa daug lengvesnis ir vizualesnis, jei virpesiai pavaizduoti grafiškai naudojant metodą vektorines diagramas. Pasirinkime kokią nors ašį X. Iš taško 0 ašyje pavaizduojame ilgio vektorių , kuris iš pradžių sudaro kampą su ašimi (2.14.1 pav.). Jei šį vektorių pasuksime kampiniu greičiu, tada vektoriaus galo projekcija į ašį X laikui bėgant keisis pagal įstatymą

.

Vadinasi, vektoriaus galo projekcija į ašį atliks harmoninį virpesį su amplitude lygus ilgiui vektorius, kurio apskritimo dažnis lygus kampiniam vektoriaus sukimosi greičiui, ir su pradine faze, lygus kampui, kuris sudaro vektorių su ašimi in pradžios momentas laiko. Kampas, sudarytas vektoriaus su ašimi šiuo metu laikas lemia svyravimo fazę šiuo momentu - .

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, darytina išvada, kad harmoninį svyravimą galima pavaizduoti naudojant vektorių, kurio ilgis lygus virpesių amplitudei, o jo kryptis sudaro kampą su tam tikra ašimi, lygią svyravimo fazei. Tai yra vektorinės diagramos metodo esmė.

Tos pačios krypties svyravimų pridėjimas.

Apsvarstykite dviejų harmoninių virpesių, kurių kryptys yra lygiagrečios, pridėjimą:

. (2.14.1)

Gautas kompensavimas X bus suma ir . Tai bus svyravimai su amplitude.

Pasinaudokime vektorinės diagramos metodu (2.14.2 pav.). Paveiksle ir - atitinkamai gautų ir pridėtinių virpesių fazės. Sudėjus vektorius ir , nesunku pamatyti, ką galima rasti. Tačiau jei pridėtinių virpesių dažniai yra skirtingi, tai gautos amplitudės dydis laikui bėgant kinta ir vektorius sukasi kintamu greičiu, t.y. vibracija nebus harmoninga, o reprezentuos kažkokį kompleksą svyruojantis procesas. Kad gautas virpesys būtų harmoningas, pridėtinių virpesių dažniai turi būti tokie patys

ir atsirandantis svyravimas vyksta tokiu pat dažniu

.

Iš konstrukcijos aišku, kad

Išanalizuokime gauto svyravimo amplitudės išraišką (2.14.2). Jeigu pridėtinių virpesių fazių skirtumas lygus nuliui(svyravimai yra fazėje), amplitudė lygi pridėtinių virpesių amplitudių sumai, t.y. turi didžiausią galima vertė . Jeigu fazių skirtumas yra(svyravimai yra priešfazėje), tada gauta amplitudė lygi amplitudės skirtumui, t.y. turi mažiausią galimą vertę .

Viena kitai statmenų virpesių pridėjimas.

Tegul dalelė atlieka du harmoninius virpesius tuo pačiu dažniu: vieną išilgai krypties, kurią žymime X, kitas - in statmena kryptis y. Šiuo atveju dalelė judės išilgai tam tikro bendras atvejis, kreivinė trajektorija, kurios forma priklauso nuo virpesių fazių skirtumo.

Laiko skaičiavimo pradžią parinksime taip, kad vieno svyravimo pradinė fazė būtų lygi nuliui:

. (2.14.3)

Norint gauti dalelių trajektorijos lygtį, reikia išskirti iš (2.14.3) t. Iš pirmosios lygties a. Reiškia, . Perrašykime antrąją lygtį

arba

.

Perkeldami pirmąjį narį iš dešinės lygties pusės į kairę, iškeldami gautą lygtį kvadratu ir atlikdami transformacijas, gauname

. (2.14.4)

Ši lygtis yra elipsės, kurios ašys yra pasuktos ašių atžvilgiu, lygtis X Ir y tam tikru kampu. Tačiau kai kuriais ypatingais atvejais gaunami paprastesni rezultatai.

1. Fazių skirtumas lygus nuliui. Tada iš (2.14.4) gauname

arba . (2.14.5)

Tai tiesės lygtis (2.14.3 pav.). Taigi dalelė svyruoja išilgai šios tiesios linijos, kurios dažnis ir amplitudė yra lygi .

Kompleksinis amplitudės metodas

Taško padėtis plokštumoje gali būti vienareikšmiškai nurodyta kompleksiniu skaičiumi:

Jei taškas ($A$) sukasi, tai šio taško koordinatės keičiasi pagal įstatymą:

Parašykime $z$ formoje:

kur $Re(z)=x$, tai yra, fizinis dydis x yra lygus realiajai daliai sudėtinga išraiška(4). Šiuo atveju kompleksinės išraiškos modulis yra lygus virpesių amplitudei - $a$, jo argumentas lygus fazei($(\omega )_0t+\delta $). Kartais, imant realiąją $z$ dalį, operacijos Re ženklas praleidžiamas ir gaunama simbolinė išraiška:

Išraiška (5) neturėtų būti suprantama pažodžiui. Dažnai formaliai supaprastinta (5):

kur $A=ae^(i \delta)$ yra kompleksinė virpesių amplitudė. Sudėtingas amplitudės $A$ pobūdis reiškia, kad virpesių pradinė fazė nėra lygi nuliui.

Norint atskleisti fizinę reikšmę tokias išraiškas kaip (6), tarkime, kad virpesių dažnis ($(\omega )_0$) turi realią ir įsivaizduojamą dalis, ir jis gali būti pavaizduotas kaip:

Tada išraišką (6) galima parašyti taip:

Jei $(\omega )2>0,$, tada reiškinys (8) apibūdina slopinamąjį harmonines vibracijas su apskritimo dažniu $\omega1$ ir slopinimo rodikliu $(\omega )_2$. Jei $(\omega )_2

komentuoti

Su sudėtingais kiekiais galima atlikti daugybę operacijų. matematines operacijas lyg kiekiai būtų tikri. Galimos operacijos, jei jos pačios yra tiesinės ir tikrosios (pavyzdžiui, sudėjimas, daugyba, diferencijavimas realaus kintamojo atžvilgiu ir kitos, bet ne visos). Turime atsiminti, kad patys sudėtingi kiekiai neatitinka jokių fiziniai dydžiai.

Vektorinės diagramos metodas

Tegul taškas $A$ tolygiai sukasi išilgai apskritimo, kurio spindulys $r$ (1 pav.), jo sukimosi greitis $(\omega )_0$.

1 pav.

Taško $A$ padėtį apskritime galima nurodyti naudojant kampą $\varphi $. Šis kampas yra lygus:

kur $\delta =\varphi (t=0)$ yra spindulio vektoriaus $\overrightarrow(r)$ sukimosi kampas pradiniu metu. Jei taškas $M$ sukasi, tai jo projekcija į $ašį X$ juda išilgai apskritimo skersmens, atlikdama harmoninius svyravimus tarp taškų $M$ $N$. Taško $A$ abscisė gali būti parašyta taip:

Panašiai galite pavaizduoti bet kokio dydžio svyravimus.

Reikia tik priimti dydžio vaizdą, kuris svyruoja su taško $A$ abscise, kuris tolygiai sukasi aplink apskritimą. Žinoma, galite naudoti ordinatas:

1 pastaba

Norėdami atstovauti slopinami svyravimai, turime paimti ne apskritimą, o logaritminę spiralę, kuri artėja prie židinio. Jei spirale judančio taško artėjimo greitis yra pastovus ir taškas juda židinio link, tai šio taško projekcija į X ašį duos slopintų virpesių formules.

2 pastaba

Vietoj taško galite naudoti spindulio vektorių, kuris tolygiai suksis aplink pradinę vietą. Tada dydis, kuris atlieka harmoninius virpesius, bus pavaizduotas kaip šio vektoriaus projekcija į X ašį. Šiuo atveju matematinės operacijos su dydžiu $x$ pakeičiamos operacijomis su vektoriumi.

Taigi dviejų dydžių sumavimo operacija:

patogiau pakeisti sumuojant du vektorius (naudojant lygiagretainio taisyklę). Vektorius reikia pasirinkti taip, kad jų projekcijos į pasirinktą $ašį X$ būtų išraiškos $x_1\ ir\ x_2$. Tada vektorių sumavimo operacijos projekcijoje į abscisių ašį rezultatas bus lygus $x_1+\ x_2$.

1 pavyzdys

Parodykime vektorinės diagramos metodo naudojimą.

Taigi įsivaizduokime kompleksiniai skaičiai vektoriai įjungti sudėtinga plokštuma. Kiekis, kuris skiriasi priklausomai nuo harmonijos dėsnis, pavaizduotas vektoriumi, kuris sukasi dažniu $(\omega )0$ aplink pradžią prieš laikrodžio rodyklę. Vektoriaus ilgis lygus svyravimų amplitudei.

Grafinis būdas išspręsti, pavyzdžiui, lygtį:

kur $Z=R+i(\omega L-\frac(1)(\omega C))$ yra varža, pavaizduota naudojant 2 pav. Šis paveikslėlis rodo vektorinė diagramaįtampos kintamosios srovės grandinėje.

2 pav.

Atsižvelkime į tai, kad kompleksinės reikšmės padauginimas iš kompleksinio vieneto reiškia, kad ją reikia pasukti $90^0$ kampu prieš laikrodžio rodyklę ir padauginti iš ($-i$) iš to paties kampo pagal laikrodžio rodyklę. Iš 2 pav. matyti, kad:

kur $-\frac(\pi )(2)\le \varphi \le \frac(\pi )(2).$ Kampo $\varphi $ pokytis priklauso nuo santykio tarp grandinės elementų varžų ir dažnius. Išorinė įtampa gali keistis fazėje, nuo sutapimo su įtampa per induktyvumą iki sutapimo su įtampa per kondensatorių. Paprastai tai išreiškiama kaip ryšys tarp grandinės elementų įtampos fazių ir išorinės įtampos fazės:

Įtampos fazė per induktyvumą $((U)L=i\omega LI)$ visada nukreipia išorinės įtampos fazę kampu nuo $0$ iki $\pi .$

Įtampos fazė talpoje $((U)C=-\frac(iI)(\omega C)$) visada atsilieka nuo išorinės įtampos fazės kampu tarp $0$ ir --$\ \pi .$

Šiuo atveju fazė ties varža gali nuvesti arba atsilikti nuo išorinės įtampos fazės kampu tarp $\frac(\pi )(2)$ ir $\frac(\pi )(2)$.

Vektorinė diagrama (2 pav.) leidžia suformuluoti:

Įtampos fazė per induktyvumą nukreipia srovės fazę $\frac(\pi )(2)$.

Įtampos fazė per talpą atsilieka $\frac(\eth )(2)\ $ nuo dabartinės fazės.

Įtampos fazė per varžą sutampa su srovės faze.

2 pavyzdys

Pratimas: Parodykite, kad kvadratas negali būti taikomas sudėtingiems dydžiams kaip tikriesiems skaičiams.

Sprendimas:

Tarkime, mums reikia kvadratuoti realus skaičius$x$. Teisingas atsakymas: $x^2$. Formaliai taikomas sudėtingas metodas. Pakeiskime:

$x\iki x+iy$. Padėkime gautą išraišką kvadratu ir gaukime:

\[(\left(x+iy\right))^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\right).\]

Realioji išraiškos dalis (2.1) lygi:

\[(Re\left(x+iy\right))^2=Re\left(x^2-y^2+2xyi\right)=x^2-y^2\ne x^2.\]

Klaidos priežastis yra ta, kad kvadrato operacija nėra tiesinė.

Harmoninės vibracijos

Tie. Tiesą sakant, sinuso grafikas gaunamas iš vektoriaus sukimosi, kuris apibūdinamas formule:

F(x) = A nuodėmė (ωt + φ),

Kur A yra vektoriaus ilgis (svyravimų amplitudė), φ yra pradinis vektoriaus kampas (fazė) nuliniu momentu, ω - kampinis greitis sukimasis, kuris yra lygus:

ω=2 πf, kur f – dažnis hercais.

Kaip matome, žinodami signalo dažnį, amplitudę ir kampą, galime sukurti harmoninį signalą.

Magija prasideda tada, kai paaiškėja, kad absoliučiai bet kurio signalo atvaizdavimas gali būti pavaizduotas kaip skirtingų sinusoidų suma (dažnai begalinė). Kitaip tariant, Furjė serijos forma.
Pateiksiu pavyzdį iš angliškos Vikipedijos. Kaip pavyzdį paimkime pjūklo signalą.

Rampos signalas

Jo suma bus pavaizduota pagal šią formulę:

Jei susumuotume po vieną, pirmiausia imsime n=1, paskui n=2 ir t.t., pamatysime, kaip mūsų harmoninis sinusinis signalas pamažu virsta pjūklu:

Tai bene gražiausiai iliustruoja viena programa, kurią radau internete. Aukščiau jau buvo pasakyta, kad sinuso grafikas yra besisukančio vektoriaus projekcija, bet kaip su sudėtingesniais signalais? Kaip bebūtų keista, tai yra daugelio besisukančių vektorių projekcija arba, tiksliau, jų suma, ir viskas atrodo taip:

Vektorinio piešimo pjūklas.

Apskritai rekomenduoju pačiam nueiti į nuorodą ir pačiam pabandyti pažaisti su parametrais ir pažiūrėti kaip keičiasi signalas. IMHO Niekada nemačiau vaizdingesnio žaislo supratimui.

Taip pat reikėtų pažymėti, kad yra atvirkštinė procedūra, leidžianti iš tam tikro signalo gauti dažnį, amplitudę ir pradinę fazę (kampą), kuri vadinama Furjė transformacija.

Furjė serijos išplėtimas kai kurių gerai žinomų periodines funkcijas(iš čia)

Smulkiai nesigilinsiu, bet parodysiu, kaip tai galima pritaikyti gyvenime. Bibliografijoje rekomenduosiu, kur galima daugiau pasiskaityti apie medžiagą.

Pereikime prie praktinių pratimų!

Man atrodo, kad kiekvienas studentas sėdėdamas paskaitoje užduoda klausimą, pavyzdžiui, apie matematiką: kam man reikia viso to nesąmonės? Ir, kaip taisyklė, artimiausioje ateityje neradęs atsakymo, deja, jis praranda susidomėjimą šia tema. Taigi aš tau tuoj parodysiu praktinis pritaikymasšias žinias, o šias žinias įvaldysi pats :).

Toliau viską įgyvendinsiu savo jėgomis. Viską dariau, žinoma, su Linux, bet teoriškai nenaudojau jokios specifikos, programa kompiliuos ir veiks kitose platformose.

Pirmiausia parašykime programą garso failui generuoti. Wav failas buvo paimtas kaip paprasčiausias. Galite perskaityti apie jo struktūrą.
Trumpai tariant, wav failo struktūra apibūdinama taip: antraštė, apibūdinanti failo formatą, o tada yra (mūsų atveju) 16 bitų duomenų masyvas (rodiklis), kurio ilgis yra: mėginių ėmimo_dažnis*t sekundžių. arba 44100*t vienetų.

Buvo paimtas pavyzdys, kaip generuoti garso failą. Aš jį šiek tiek pakeičiau, ištaisiau klaidas, o galutinė versija su mano pakeitimais dabar yra Github čia

Sugeneruokime dviejų sekundžių garso failą gryna sinusine banga, kurios dažnis 100 Hz. Norėdami tai padaryti, modifikuojame programą taip:

#define S_RATE (44100) //atrankos dažnis #define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 sekundžių buferis */ …. int main(int argc, char * argv) (... slankioji amplitudė = 32000; //paimkite didžiausią įmanomą amplitudę float freq_Hz = 100; //signalo dažnis /* užpildykite buferį sinusine banga */ for (i=0 i

Atkreipkite dėmesį, kad grynojo sinuso formulė atitinka tą, kurią aptarėme aukščiau. Amplitudė 32000 (galėjo būti paimta 32767) atitinka reikšmę, kurią gali užimti 16 bitų skaičius (nuo minus 32767 iki plius 32767).

Dėl to gauname šį failą (jo netgi galite klausytis naudodami bet kurią garsą atkuriančią programą). Atidarykime šį drąsos failą ir pamatysime, kad signalo grafikas iš tikrųjų atitinka gryną sinusinę bangą:

Grynas vamzdinis sinusas

Pažiūrėkime į šio sinuso spektrą (analizė-> diagramos spektras)

Spektro grafikas

Aiškus smailės matomas esant 100 Hz ( logaritminė skalė). Kas yra spektras? Tai yra amplitudės-dažnio charakteristika. Taip pat yra fazinio dažnio charakteristika. Jei prisimenate, sakiau aukščiau, kad norint sukurti signalą, reikia žinoti jo dažnį, amplitudę ir fazę? Taigi šiuos parametrus galite gauti iš signalo. IN šiuo atveju Turime amplitudę atitinkančių dažnių grafiką, o amplitudė pateikiama ne realiais vienetais, o decibelais.

Suprantu, kad norint paaiškinti, kaip veikia programa, reikia paaiškinti, kas yra greitoji Furjė transformacija, ir tai yra dar bent vienas straipsnis.

Pirmiausia paskirkime masyvus:

C = calloc(dydis_masyvas*2, dydis(float)); // sukimosi faktorių masyvas = calloc(dydis_masyvas*2, sizeof(float)); //input array out = calloc(dydis_masyvas*2, sizeof(float)); //išvesties masyvas

Leiskite pasakyti, kad programoje mes skaitome duomenis į ilgio masyvą size_array (kurį paimame iš wav failo antraštės).

While(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) (in[j]=(float)value; j+=2; if (j > 2*dydis_masyvas) break; )

Masyvas skirtas greitas konvertavimas Furjė turi būti seka (re, im, re, im,… re, im), kur fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком:
yra kompleksinių skaičių masyvas. Net bijau įsivaizduoti, kur naudojama kompleksinė Furjė transformacija, bet mūsų atveju mūsų įsivaizduojama dalis yra lygi nuliui, o realioji dalis yra lygi kiekvieno masyvo taško reikšmei.
Kita greitosios Furjė transformacijos ypatybė yra ta, kad ji apskaičiuoja matricas, kurios yra tik dviejų laipsnių kartotiniai. Dėl to turime apskaičiuoti mažiausią dviejų galią:

Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));

Duomenų baitų skaičiaus logaritmas, padalytas iš baitų skaičiaus viename taške.

Po to apskaičiuojame sukimosi koeficientus:

Fft_make(p2,c) // FFT sukimosi koeficientų skaičiavimo funkcija (pirmasis parametras yra dviejų laipsnis, antrasis – paskirstytas sukimosi koeficientų masyvas).

Ir mes tiekiame savo masyvą į Furjė transformatorių:

Fft_calc(p2, c, in, out, 1); //(vienas reiškia, kad gauname normalizuotą masyvą).

Išvestyje gauname formos kompleksinius skaičius (re, im, re, im,… re, im). Tiems, kurie nežino, kas yra kompleksinis skaičius, paaiškinsiu. Ne veltui šį straipsnį pradėjau nuo daugybės besisukančių vektorių ir krūvos GIF. Taigi vektorių kompleksinėje plokštumoje lemia tikroji koordinatė a1 ir įsivaizduojama koordinatė a2. Arba ilgis (mums tai yra Am amplitudė) ir kampas Psi (fazė).

Vektorius kompleksinėje plokštumoje

Atkreipkite dėmesį, kad size_array=2^p2. Pirmasis masyvo taškas atitinka 0 Hz dažnį (pastovią), paskutinis taškas atitinka diskretizavimo dažnį, būtent 44100 Hz. Dėl to turime apskaičiuoti dažnį, atitinkantį kiekvieną tašką, kuris skirsis delta dažniu:

Double delta=((float)header.frequency)/(float)size_array; //atrankos dažnis pagal masyvo dydį.

Amplitudės masyvo paskirstymas:

Dvigubas * ampl;

ampl = calloc(dydis_masyvas*2, dydis(double));

Ir pažiūrėkite į paveikslėlį: amplitudė yra vektoriaus ilgis. Ir mes turime jos projekcijas į realią ir įsivaizduojamą ašį. Dėl to mes turėsime stačiakampį trikampį ir čia atsiminsime Pitagoro teoremą, suskaičiuosime kiekvieno vektoriaus ilgį ir iškart įrašysime į tekstinį failą:<(size_array);i+=2) { fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out))); cur_freq+=delta; }
For(i=0;i

… 11.439514 10.943008 11.607742 56.649738 11.775970 15.652428 11.944199 21.872342 12.112427 30.635371 12.280655 30.329171 12.448883 11.932371 12.617111 20.777617 ...

Dėl to gauname tokį failą:

Pabandykime!

Dabar gaunamai programai tiekiame sinusinį garso failą

./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav formatas: 16 bitų, nesuspaustas PCM, 1 kanalas, dažnis 44100, 88200 baitų per sekundę, 2 baitai fiksuojant, 2 bitai pavyzdyje, 882 000 baitų duomenų dalyje = 441000 log2=18 dydžio masyvas=262144 wav formatas Max Freq = 99.928 , amp =7216.136

Ir mes gauname dažnio atsako tekstinį failą. Jo grafiką sudarome naudodami gnuplot

#! /usr/bin/gnuplot -persist rinkinys terminalas postscript eps patobulintas spalvų vientisas rinkinys išvestis "result.ps" #set terminal png dydis 800, 600 #set output "result.png" set grid xtics ytics set log xy set xlabel "Freq, Hz“ nustatyti ylabel „Amp, dB“ nustatyti xrange #set yrange plot „test.txt“ naudojant 1:2 pavadinimą „AFC" with lines linestyle 1 !}

Atkreipkite dėmesį į scenarijaus apribojimą taškų skaičiui išilgai X: set xrange . Mūsų diskretizavimo dažnis yra 44100, o jei prisiminsime Kotelnikovo teoremą, tai signalo dažnis negali būti didesnis nei pusė diskretizavimo dažnio, todėl mūsų nedomina didesnis nei 22050 Hz signalas. Kodėl taip yra, patariu paskaityti specializuotoje literatūroje.
Taigi (būgnas), paleiskite scenarijų ir žiūrėkite:

Mūsų signalo spektras

Atkreipkite dėmesį į aštrų smailę esant 100 Hz. Nepamirškite, kad ašys yra logaritminėje skalėje! Vilna dešinėje yra Furjė transformacijos klaidos (čia ateina į galvą langai).

Pasilepinam?

Nagi! Pažvelkime į kitų signalų spektrus!

Aplink girdisi triukšmas...

Double d_random(double min, double max) (grįžimo min + (maks. - min) / RAND_MAX * rand(); )

Jis sugeneruos atsitiktinį skaičių nurodytame diapazone. Dėl to pagrindinis atrodys taip:

Int main(int argc, char * argv) ( int i; float amplitudė = 32000; srand((unsigned int)time(0)); //inicijuoti atsitiktinių skaičių generatorių (i=0; i

Sugeneruokime failą (rekomenduoju pasiklausyti). Pažiūrėkime į tai įžūliai.

Signalas įžūlumu

Pažiūrėkime į „audacity“ programos spektrą.

Spektras

Ir pažvelkime į spektrą naudodami mūsų programą:

Mūsų spektras

Norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į labai įdomų triukšmo faktą ir savybę – jame yra visų harmonikų spektrai. Kaip matyti iš grafiko, spektras yra gana tolygus. Paprastai baltas triukšmas naudojamas dažnių juostos pločio analizei, pavyzdžiui, garso įrangai. Yra ir kitų tipų triukšmo: rožinė, mėlyna ir kt. Namų darbas yra išsiaiškinti, kuo jie skiriasi.

O kompotas?

Dabar pažiūrėkime į kitą įdomų signalą – vingiuotą. Aukščiau pateikiau įvairių Furjė serijų signalų išplėtimų lentelę, pažiūrėkite, kaip išsiplečia meandra, užsirašykite ant popieriaus lapo ir mes tęsime.

Norėdami generuoti kvadratinę bangą, kurios dažnis yra 25 Hz, dar kartą modifikuojame savo wav failų generatorių:

Int main(int argc, char * argv) ( int i; short int meandr_value=32767; /* užpildyti buferį sinusine banga */ for (i=0; i

Kaip rezultatas, mes gauname garso failą (vėlgi patariu klausytis), kurį turėtumėte nedelsdami žiūrėti įžūliai

Jo Didenybė – sveiko žmogaus meandras arba meandras

Nenustokime ir pažiūrėkime į jo spektrą:

Meander spektras

Dar nelabai aišku, kas tai... Pažvelkime į kelias pirmąsias harmonikas:

Pirmosios harmonikos

Tai visiškai kitas reikalas! Na, pažiūrėkime į ženklą. Žiūrėk, pas mus tik 1, 3, 5 ir t.t., t.y. nelyginės harmonikos. Matome, kad mūsų pirmoji harmonika yra 25 Hz, kita (trečia) yra 75 Hz, tada 125 Hz ir tt, o mūsų amplitudė palaipsniui mažėja. Teorija susitinka su praktika!
Dabar dėmesio! Realiame gyvenime kvadratinės bangos signalas turi begalinę aukštesnių ir aukštesnių dažnių harmonikų sumą, tačiau, kaip taisyklė, tikros elektros grandinės negali praleisti dažnių, viršijančių tam tikrą dažnį (dėl takelių induktyvumo ir talpos). Dėl to osciloskopo ekrane dažnai galite matyti šį signalą:

Rūkalių vingis

Ši nuotrauka yra kaip paveikslėlis iš Vikipedijos, kur, pavyzdžiui, meandrai, paimti ne visi dažniai, o tik keli pirmieji.

Pirmųjų harmonikų suma ir signalo pasikeitimas

Mengeris taip pat aktyviai naudojamas radijo inžinerijoje (reikia pasakyti, kad tai yra visos skaitmeninės technologijos pagrindas), ir verta suprasti, kad ilgomis grandinėmis jį galima filtruoti taip, kad mama neatpažintų. Jis taip pat naudojamas įvairių įrenginių dažnio atsakui patikrinti. Dar vienas įdomus faktas yra tai, kad TV trukdžiai veikė būtent aukštesnių harmonikų principu, kai pati mikroschema generuodavo dešimčių MHz meandrą, o aukštesnės jos harmonikos galėjo turėti šimtų MHz dažnius, būtent televizoriaus darbiniu dažniu, aukštesnės harmonikos sėkmingai trukdė TV transliacijos signalą.

Apskritai tokių eksperimentų tema yra begalinė, ir dabar galite ją tęsti patys.

Knyga

Tiems, kurie nesupranta, ką mes čia darome, arba atvirkščiai, tiems, kurie supranta, bet nori suprasti dar geriau, taip pat studentams, studijuojantiems DSP, labai rekomenduoju šią knygą. Tai DSP, skirtas manekenams, kuris yra šio įrašo autorius. Ten sudėtingos sąvokos paaiškinamos net vaikui prieinama kalba.

Išvada

Apibendrinant noriu pasakyti, kad matematika yra mokslų karalienė, tačiau be realaus pritaikymo daugelis praranda susidomėjimą ja. Tikiuosi, kad šis įrašas paskatins jus studijuoti tokį nuostabų dalyką kaip signalų apdorojimas ir apskritai analoginės grandinės (užkimškite ausis, kad smegenys neištekėtų!). :)
Sėkmės!

Žymos:

Harmoninis svyravimas x = a Cos(w t+ a) geometriškai gali būti pavaizduotas projekcija į savavališką kryptį x vektorius, besisukantis aplink fiksuotą ašį kampiniu greičiu w. Šio vektoriaus ilgis lygus virpesių amplitudei, o jo pradinė kryptis susidaro su ašimi x kampas lygus pradinei virpesių fazei – a. Naudodami šią geometrinę interpretaciją išspręsime dviejų harmoninių to paties dažnio ir krypties virpesių pridėjimo problemą.

x = x 1 + x 2 = a 1 Cos(w t+ a 1) + a 2 Cos(w t+ a 2).

Sukurkime vektorių (kampu a 1 su ašimi x), reiškianti pirmąją vibraciją. Pridėkime prie jo vektorių, sudarantį kampą a 2 su ašimi x(12.8 pav.). Šių vektorių projekcijų į ašį suma x yra lygus projekcijai į šią vektoriaus ašį, lygią sumai ir .

x = x 1 + x 2 .

Ryžiai. 12.8

Įveskime šią vektorinę diagramą į sukimąsi kampiniu greičiu w aplink ašį, einančią per koordinačių pradžią – tašką O. Šiuo atveju lygybė x = x 1 + x 2 laikui bėgant išliks nepakitęs, nors pačios prognozės x, x 1 ir x 2 dabar pulsuos pagal harmoninį dėsnį tuo pačiu dažniu w ir pradinėmis fazėmis a, a 1 ir a 2 - atitinkamai. Dėl dviejų vibracijų pridėjimo:

x 1 = a 1 Cos(w t+ a 1) ir x 2 = a 2 Cos(w t+ a 2) atsiranda naujas svyravimas x = x 1 + x 2 =

= a Cos(w t+ a), kurio dažnis - w – sutampa su pridėtinių virpesių dažniu. Jo amplitudė yra lygi absoliučiajai vektoriaus vertei, o pradinė fazė a, kaip matyti iš Fig. 12,8, yra lygus:

.

Norėdami apskaičiuoti amplitudę " A» bendras svyravimas, naudojame kosinuso teoremą:

Gauto svyravimų amplitudė priklauso ne tik nuo pridėtinių virpesių amplitudės A 1 ir A 2, bet ir apie jų pradinių fazių skirtumus. Virpesiai su didžiausia amplitude, A = a max = a 1 + a 2 atsiranda, kai pridedami fazės svyravimai, tai yra, kai jų pradinės fazės sutampa: a 1 = a 2.

Jei fazių skirtumas (a 2 – a 1) = p, tada viso virpesių amplitudė bus minimali a = a min = | a 1 – a 2 |. Jei tokių antifazėje vykstančių virpesių amplitudės yra lygios ( a 1 = a 2), tada viso svyravimo amplitudė bus lygi nuliui.

Šį vektorinių diagramų metodą dažnai naudosime ir ateityje, pridėdami ne tik virpesius, bet ir bangas.

13 paskaita „Mechaniniai virpesiai“

Paskaitos metmenys

1. Harmoninio osciliatoriaus energija.

2. Natūralūs slopinami svyravimai.

3. Priverstinės vibracijos. Rezonansas. Priverstinių svyravimų amplitudė ir fazė.

Tas pats kūnas vienu metu gali atlikti du ar daugiau judesių. Paprastas pavyzdys yra kamuoliuko, mesto kampu į horizontalę, judėjimas. Galima daryti prielaidą, kad rutulys dalyvauja dviejuose nepriklausomuose vienas kitam statmenuose judesiuose: vienodai horizontaliai ir tolygiai kintamuose vertikaliai. Vienas ir tas pats kūnas (medžiaginis taškas) gali dalyvauti dviejuose (ar daugiau) svyruojančių judesių.

Pagal svyravimų pridėjimas suprasti atsirandančios vibracijos dėsnio apibrėžimą, jei virpesių sistema vienu metu dalyvauja keliuose svyravimo procesuose. Yra du ribojantys atvejai: svyravimų pridėjimas viena kryptimi ir vienas kitam statmenų svyravimų pridėjimas.

2.1. Vienos krypties harmoninių virpesių pridėjimas

1. Dviejų tos pačios krypties svyravimų pridėjimas(bendrakrypčiai svyravimai)

galima atlikti naudojant vektorinės diagramos metodą (9 pav.), o ne pridedant dvi lygtis.

2.1 paveiksle pavaizduoti amplitudės vektoriai A 1(t) ir A 2 (t) pridėti svyravimai savavališku laiko momentu t, kai šių svyravimų fazės yra atitinkamai lygios Ir . Virpesių pridėjimas priklauso nuo apibrėžimo . Pasinaudokime tuo, kad vektorinėje diagramoje pridedamų vektorių projekcijų suma yra lygi šių vektorių vektorinės sumos projekcijai.

Atsiradęs svyravimas vektorinėje diagramoje atitinka amplitudės vektorių ir fazę.

2.1 pav. – Bendrakrypčių svyravimų pridėjimas.

Vektoriaus dydis A(t) galima rasti naudojant kosinuso teoremą:

Gauto svyravimo fazė apskaičiuojama pagal formulę:

.

Jei pridėtinių virpesių ω 1 ir ω 2 dažniai nėra lygūs, tai ir fazė φ(t), ir amplitudė A t) atsirandantys svyravimai laikui bėgant keisis. Vadinami pridėtiniai virpesiai nenuoseklusšiuo atveju.

2. Vadinamos dvi harmoninės vibracijos x 1 ir x 2 nuoseklus, jei jų fazių skirtumas nepriklauso nuo laiko:

Bet kadangi, norint įvykdyti šių dviejų virpesių darnos sąlygą, jų cikliniai dažniai turi būti lygūs.

Gautų virpesių amplitudė, gauta sudėjus vienodo dažnio bendros krypties virpesius (koherentinius virpesius), yra lygi:

Pradinę susidariusio svyravimo fazę lengva rasti, jei projektuojate vektorius A 1 ir A 2 koordinačių ašyse OX ir OU (žr. 9 pav.):

.

Taigi, gautas virpesys, gautas sudėjus du harmoninius vienakrypčius vienodo dažnio virpesius, taip pat yra harmoninis svyravimas.

3. Ištirkime gauto svyravimų amplitudės priklausomybę nuo pridėtinių virpesių pradinių fazių skirtumo.

Jei , kur n yra bet koks neneigiamas sveikasis skaičius

(n = 0, 1, 2…), tada minimumas. Įtraukti svyravimai pridėjimo momentu buvo įtraukti antifazė. Kai gauta amplitudė lygi nuliui.

Jeigu , Tai , t.y. gauta amplitudė bus maksimalus. Papildymo momentu pridėti svyravimai buvo vienoje fazėje, t.y. buvo fazėje. Jei pridėtinių virpesių amplitudės yra vienodos , Tai.

4. Bendrakrypčių svyravimų su nevienodais, bet panašiais dažniais pridėjimas.

Pridėtų svyravimų dažniai yra ne vienodi, o dažnių skirtumas daug mažiau nei ω 1 ir ω 2. Pridedamų dažnių artumo sąlyga rašoma ryšiais.

Bendrai nukreiptų svyravimų su artimais dažniais pridėjimo pavyzdys yra horizontalios spyruoklės švytuoklės, kurios spyruoklės standumas šiek tiek skiriasi k 1 ir k 2, judėjimas.

Tegul pridėtinių virpesių amplitudės yra vienodos , o pradinės fazės lygios nuliui. Tada pridėtinių virpesių lygtys yra tokios formos:

, .

Gautas svyravimas apibūdinamas lygtimi:

Gauta virpesių lygtis priklauso nuo dviejų harmoninių funkcijų sandaugos: vienos su dažniu , kitas su dažniu , kur ω yra artimas pridėtinių virpesių dažniams (ω 1 arba ω 2). Atsiradęs svyravimas gali būti laikomas harmoninis svyravimas, kurio amplitudė kinta pagal harmonikos dėsnį.Šis virpesių procesas vadinamas plaka. Griežtai kalbant, atsirandantis svyravimas bendruoju atveju nėra harmoninis svyravimas.

Absoliuti kosinuso reikšmė imama, nes amplitudė yra teigiamas dydis. Priklausomybės pobūdis x res. mušimo metu parodyta 2.2 pav.

2.2 pav. Poslinkio priklausomybė nuo laiko plakimo metu.

Dūmų amplitudė kinta lėtai, didėjant dažniui. Absoliuti kosinuso reikšmė kartojama, jei jo argumentas pasikeičia π, o tai reiškia, kad gautos amplitudės reikšmė kartosis po laiko intervalo τ b, vadinamo ritmo laikotarpis(Žr. 12 pav.). Sumušimo periodo vertę galima nustatyti pagal tokį ryšį:

Vertė yra plakimo laikotarpis.

Didumas yra atsirandančio svyravimo periodas (2.4 pav.).

2.2. Viena kitai statmenų virpesių pridėjimas

1. Modelis, kuriame gali būti parodytas vienas kitam statmenų virpesių sudėjimas, pateiktas 2.3 pav. Švytuoklė (medžiagos masės taškas m) gali svyruoti išilgai OX ir OU ašių, veikiant dviem tamprioms jėgoms, nukreiptoms viena kitai statmenai.

2.3 pav

Sulenkti svyravimai turi tokią formą:

Virpesių dažniai apibrėžiami kaip , , kur , yra spyruoklės standumo koeficientai.

2. Apsvarstykite galimybę pridėti du viena kitai statmeni svyravimai vienodais dažniais , kuri atitinka sąlygą (identiškos spyruoklės). Tada pridėtų virpesių lygtys bus tokios formos:

Kai taškas vienu metu dalyvauja dviejuose judesiuose, jo trajektorija gali būti skirtinga ir gana sudėtinga. Susidarančių OXY plokštumos svyravimų trajektorijos lygtis, pridedant du viena kitai statmenus vienodo dažnio, gali būti nustatyta iš pradinių x ir y lygčių neįtraukiant laiko t:

Trajektorijos tipas nustatomas pagal pridėtinių virpesių pradinių fazių skirtumą, kuris priklauso nuo pradinių sąlygų (žr. § 1.1.2). Apsvarstykime galimus variantus.

a) Jei , kur n = 0, 1, 2…, t.y. pridėti svyravimai yra fazėje, tada trajektorijos lygtis bus tokia:

(2.3 a pav.).

b) Jei (n = 0, 1, 2...), t.y. pridėti svyravimai yra priešfazėje, tada trajektorijos lygtis rašoma taip:

(2.3b pav.).

Abiem atvejais (a, b) gautas taško judėjimas bus svyravimas išilgai tiesės, einančios per tašką O. Gauto svyravimų dažnis lygus pridėtinių virpesių dažniui ω 0, nustatoma amplitudė. pagal santykį.