Savo gerą darbą pateikti žinių bazei lengva. Naudokite žemiau esančią formą

Studentai, magistrantai, jaunieji mokslininkai, kurie naudojasi žinių baze savo studijose ir darbe, bus jums labai dėkingi.

Paskelbta http://www.allbest.ru/

Švietimo ir mokslo ministerija

Kazachstano Respublika

EKSTU pavadintas. D. Serikbajeva

Kursiniai darbai

disciplina: fizika

tema: „Harmoninės vibracijosmetodassukimosi amplitudės vektorius, arbametodasvektoriusdiagramas»

Baigė: 14-GRK-1 grupės mokinys

Seri??anov?.E

Patikrintas: Nurkenova B.D.

Ust-Kamenogorskas – 2014 m

• Virpesių grandinė
• Harmoninės vibracijos
• Priverstinės vibracijos
• Rezonansas
• Savaiminiai svyravimai
• Vibracijų apibrėžimas.
• Grafinis virpesių pridėjimo būdas. Vektorinė diagrama
• Sukimosi amplitudės vektoriaus metodas.
• Papildymas yra abipusis statmenos vibracijos
• Tos pačios krypties ir to paties dažnio virpesių pridėjimas.
• Įvairios virpesių sumos trajektorijos formos. Lissajous figūros
• Nuorodos

Virpesių grandinė

Virpesiai vadinami judesiai ar procesai, kuriems būdingas tam tikras pakartojamumas laikui bėgant. Gamtoje ir technikoje plačiai paplitę virpesių procesai, pavyzdžiui, laikrodžio švytuoklės siūbavimas, kintamasis elektros srovė ir tt Svyruojant švytuoklei, jos masės centro koordinatė kinta, tuo atveju ACįtampa ir srovė grandinėje svyruoja. Fizinė vibracijų prigimtis gali būti skirtinga, todėl išskiriami mechaniniai, elektromagnetiniai ir kiti virpesiai. Tačiau skirtingi svyravimo procesai apibūdinami tomis pačiomis charakteristikomis ir tomis pačiomis lygtimis. Tai reiškia vieningo požiūrio į įvairios fizinės prigimties virpesių tyrimą tikslingumą. Pavyzdžiui, vieningas požiūris į mechaninių ir elektromagnetinės vibracijos naudojo anglų fizikas D.W. Rayleighas (1842-1919), o A.G. Stoletovas, Rusijos eksperimentinis inžinierius P.N. Lebedevas (1866-1912). Didelį indėlį plėtojant virpesių teoriją įnešė: L.I. Mandelštamas (1879-1944) ir jo mokiniai.

Virpesiai yra vadinami nemokamai(arba savo), jei jie pagaminti originalo sąskaita tobula energija su vėlesniu išorinio poveikio svyruojančiai sistemai (sistemai, kuri svyruoja) nebuvimas. Paprasčiausias virpesių tipas yra harmonines vibracijas- svyravimai, kurių metu svyruojantis dydis kinta pagal sinuso (kosinuso) dėsnį. Atsižvelgti į harmonines vibracijas svarbu dėl dviejų priežasčių:

Gamtoje ir technikoje aptinkami virpesiai dažnai būna artimi harmonikai;

Įvairūs periodiniai procesai(procesai, kartojami reguliariais intervalais) gali būti pavaizduoti kaip harmoninių virpesių superpozicija.

Harmoninės vibracijos

virpesių rezonanso vektoriaus amplitudė

Vertės s harmoniniai svyravimai apibūdinami lygtimi kaip

s = A cos (0 t +), (1)

Kur

a) A - maksimali vertė svyruojanti vertė, vadinama vibracijos amplitudė,

b) 0 - apskrito (ciklinio) dažnio,

-pradinė virpesių fazė laiku t=0,

c) (0 t +) – svyravimo fazė laiku t.

Virpesių fazė nustato svyruojančio dydžio reikšmes šiuo metu laiko. Kadangi kosinusas svyruoja nuo 1 iki -1, s gali turėti reikšmes nuo +A iki -A.

Tam tikros sistemos būsenos, atliekančios harmoninius virpesius, kartojasi po laiko T, vadinamo svyravimų periodas, kuriai svyravimo fazė gauna prieaugį, lygų 2, t.y.

0(t+T)+ =(0t+)+2,

kur

T = 2/0 (2)

Didumas, atvirkštinis laikotarpis dvejonės,

=1/T (3)

y., vadinamas pilnų svyravimų, atliktų per laiko vienetą, skaičius vibracijos dažnis. Palyginus (2) ir (3), gauname

0=2 .

Dažnio vienetas - hercų(Hz): 1 Hz – periodinio proceso dažnis, kai 1 proceso ciklas baigiamas per 1 sekundę.

Parašykime harmoningai svyruojančio dydžio s pirmojo ir antrojo karto išvestines:

(4)

(5)

y., turime harmoninius virpesius su tuo pačiu cikliniu dažniu. Dydžių (5) ir (4) amplitudės yra atitinkamai lygios Ir . Kiekio fazė (4) skiriasi nuo kiekio (1) fazės /2, o kiekio fazė (5) skiriasi nuo kiekio (1) fazės . Todėl kartais, kai s =0, įgyja aukščiausios vertės; kada s pasiekia didžiausią neigiamą reikšmę, tada įgauna didžiausią teigiamą vertę .

Iš (5) išraiškos išplaukia harmoninių virpesių diferencialinė lygtis

(6)

kur s =A cos (0 t +). Šios lygties sprendimas yra (1) išraiška.

Harmoniniai svyravimai pavaizduoti grafiškai sukimosi amplitudės vektoriaus metodas, arba vektorinės diagramos metodas.

Tam iš savavališko taško O, pasirinkto x ašyje kampu, lygiu pradinei virpesių fazei, nubraižytas vektorius A, kurio modulis lygus atitinkamo virpesio amplitudei A.

Jei šis vektorius pasuktas su kampinis greitis 0, lygus cikliniam virpesių dažniui, tada vektoriaus galo projekcija judės išilgai x ašies ir įgis reikšmes nuo -A iki +A, o virpesių vertė laikui bėgant keisis pagal įstatymą s = A cos (0 t +). Taigi, harmoninis svyravimas gali būti pavaizduotas projekcija į kokią nors savavališkai pasirinktą amplitudės vektoriaus A ašį, nubrėžtą iš savavališkas taškas ašies kampu, lygiu pradinei fazei, ir sukantis 0 kampiniu greičiu aplink šį tašką.

Priverstinės vibracijos

Svyravimai, atsirandantys veikiant išorinei periodinei jėgai, vadinami priverstiniais.

Išorinė jėga atlieka teigiamą darbą ir suteikia energijos srautą virpesių sistemai. Jis neleidžia išnykti vibracijoms, nepaisant trinties jėgų veikimo.

Periodinė išorinė jėga laikui bėgant gali skirtis priklausomai nuo įvairių įstatymų. Ypač įdomus atvejis, kai išorinė jėga kinta kartu harmonijos dėsnis su dažniu u, veikia virpesių sistemą, galinčią atlikti savo virpesius tam tikru dažniu u0.

Jei laisvieji virpesiai vyksta dažniu u0, kurį lemia sistemos parametrai, tai pastovūs priverstiniai svyravimai visada vyksta dažniu u išorinė jėga.

Po to, kai išorinė jėga pradeda daryti įtaką svyravimo sistemai, priverstiniams virpesiams sukurti reikia šiek tiek laiko Dt. Sukūrimo laikas pagal dydį yra lygus laisvųjų virpesių svyravimo sistemoje slopinimo trukmei f.

Pradiniu momentu svyravimo sistemoje sužadinami abu procesai – priverstiniai virpesiai dažniu u ir laisvieji svyravimai natūraliu dažniu u0. Tačiau laisvosios vibracijos slopinamos dėl neišvengiamo trinties jėgų buvimo. Todėl po kurio laiko svyravimo sistemoje lieka tik išorinės varomosios jėgos dažnio stacionarūs svyravimai.

Panagrinėkime, kaip pavyzdį, priverstinius kūno virpesius ant spyruoklės (1 pav.). Išorinė jėga veikiama laisvą spyruoklės galą. Jis priverčia laisvąjį (1 pav. kairįjį) spyruoklės galą judėti pagal įstatymą

y = ym cos yt.

kur ym – virpesių amplitudė, u – apskritimo dažnis.

Šį judėjimo dėsnį galima pasiekti naudojant švaistiklio mechanizmą, nepavaizduotą 1 pav.

1 pav. Priverstiniai spyruoklės apkrovos virpesiai. Laisvasis spyruoklės galas juda pagal dėsnį y = ym cos yt. l – nedeformuotos spyruoklės ilgis, k – spyruoklės standumas.

Jei kairysis spyruoklės galas pasislenka atstumu y, o dešinysis – atstumu x nuo pradinės padėties, kai spyruoklė buvo nedeformuota, tada spyruoklės pailgėjimas Dl yra lygus:

Dl = x - y = x - ym cos yt.

Antrasis Niutono dėsnis kūno masės m:

ma = -k(x - y) = -kx + kym cos yt.

Šioje lygtyje jėga, veikianti kūną, pavaizduota dviem dėmenimis. Pirmasis terminas dešinėje yra elastinė jėga, linkęs grąžinti kūną į pusiausvyros padėtį (x = 0). Antrasis terminas yra išorinis periodinis poveikis organizmui. Šis terminas vadinamas varomąja jėga.

Priverstinių svyravimų amplitudė xm ir pradinė fazė ir priklauso nuo dažnių u0 ir u santykio bei nuo išorinės jėgos amplitudės ym.

Labai žemais dažniais, kai<< щ0, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x(t) = y(t), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при щ << щ0 стремится к нулю.

Rezonansas

Jei išorinės jėgos dažnis u artėja prie savojo dažnio u0, a staigus padidėjimas priverstinių virpesių amplitudės. Šis reiškinys vadinamas rezonansu. Priverstinių virpesių amplitudės xm priklausomybė nuo varomosios jėgos dažnio u vadinama rezonansine charakteristika arba rezonanso kreive (2 pav.).

Esant rezonansui, apkrovos vibracijos amplitudė xm gali būti daug kartų didesnė už spyruoklės laisvojo (kairiojo) galo vibracijos amplitudę ym, kurią sukelia išorinis poveikis. Nesant trinties, priverstinių virpesių amplitudė rezonanso metu turėtų didėti be apribojimų. Realiomis sąlygomis pastovių priverstinių svyravimų amplitudę lemia sąlyga: išorinės jėgos darbas svyravimų laikotarpiu turi būti lygus mechaninės energijos praradimui per tą patį laiką dėl trinties. Kuo mažesnė trintis (t.y. kuo didesnis virpesių sistemos kokybės koeficientas Q), tuo didesnė priverstinių virpesių amplitudė rezonanso metu.

Virpesių sistemose, kurių kokybės koeficientas nėra labai aukštas (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис 2.

Rezonanso reiškinys gali sukelti tiltų, pastatų ir kitų konstrukcijų sunaikinimą, jei jų virpesių natūralūs dažniai periodiškai sutampa su dažniu. veikianti jėga, kuris atsirado, pavyzdžiui, dėl nesubalansuoto variklio sukimosi.

2 pav.

Rezonanso kreivės esant skirtingiems slopinimo lygiams: 1 - svyravimo sistema be trinties; esant rezonansui, priverstinių virpesių amplitudė xm didėja neribotai; 2, 3, 4 - realaus rezonanso kreivės virpesių sistemoms su skirtingais kokybės faktoriais: Q2 > Q3 > Q4. Žemais dažniais (u<< щ0) xm ? ym. На высоких частотах (щ >> u0) xm > 0.

Priverstiniai svyravimai yra neslopinti svyravimai. Dėl trinties neišvengiami energijos nuostoliai kompensuojami tiekiant energiją iš išorinis šaltinis periodiškai veikianti jėga. Yra sistemų, kuriose neslopinami svyravimai atsiranda ne dėl periodinių išorinių poveikių, o dėl tokių sistemų gebėjimo reguliuoti energijos tiekimą iš pastovaus šaltinio. Tokios sistemos vadinamos savaime svyruojančiomis, o procesas Ne slopinami svyravimai tokiose sistemose – savaiminiai virpesiai. Savaime svyruojančioje sistemoje galima išskirti tris būdingus elementus – virpesių sistemą, energijos šaltinį ir grįžtamąjį ryšį tarp virpesių sistemos ir šaltinio. Bet kuri mechaninė sistema, galinti atlikti savo slopintus virpesius (pavyzdžiui, sieninio laikrodžio švytuoklė), gali būti naudojama kaip svyravimo sistema.

Energijos šaltinis gali būti spyruoklės deformacijos energija arba potenciali apkrovos gravitaciniame lauke energija. Grįžtamojo ryšio įtaisas yra mechanizmas, kuriuo savaime svyruojanti sistema reguliuoja energijos srautą iš šaltinio. 3 paveiksle parodyta sąveikos diagrama įvairių elementų savaime svyruojanti sistema.

3 pav. Funkcinė diagrama savaime svyruojanti sistema

Savaiminiai svyravimai

Mechaninės savaime svyruojančios sistemos pavyzdys yra laikrodžio mechanizmas su inkaro eiga (4 pav.). Važiuojantis ratas su įstrižais dantimis yra standžiai pritvirtintas prie dantyto būgno, per kurį metama grandinė su svarmeniu. Viršutiniame švytuoklės gale yra inkaras (inkaras) su dviem plokštėmis kieta medžiaga, išlenktas išilgai apskritimo lanko, kurio centras yra švytuoklės ašyje. Rankiniuose laikrodžiuose svorį keičia spyruoklė, o švytuoklę – balansuotojas – prie spiralinės spyruoklės pritvirtintas rankinis ratas. Balansuotojas aplink savo ašį atlieka sukimo virpesius. Vibracinė sistema Laikrodyje yra švytuoklė arba balansyras. Energijos šaltinis yra pakeltas svoris arba suvyniota spyruoklė. Prietaisas, naudojamas grįžtamajam ryšiui teikti, yra inkaras, leidžiantis bėgimo ratui pasukti vieną dantį per vieną pusę ciklo. Atsiliepimai atliekama sąveikaujant inkarui su bėgimo ratu. Su kiekvienu švytuoklės svyravimu važiuojančio rato dantis stumia inkaro šakę švytuoklės judėjimo kryptimi, perkeldamas jai tam tikrą energijos dalį, kuri kompensuoja energijos nuostolius dėl trinties. Taigi svorio (arba susuktos spyruoklės) potenciali energija palaipsniui, atskiromis porcijomis, perkeliama į švytuoklę.

Mechaninės savaime svyruojančios sistemos yra plačiai paplitusios aplinkiniame gyvenime ir technologijose. Savaiminiai svyravimai atsiranda garo mašinose ir vidaus degimas, elektriniai varpai, lankų stygos muzikos instrumentai, oro kolonėlės pučiamųjų instrumentų vamzdeliuose, balso stygos kalbant ar dainuojant ir pan.

4 pav. Laikrodžio mechanizmas su švytuokle.

Virpesių aptikimas

Virpesiai yra judesiai arba procesai, kurie visiškai arba beveik visiškai pasikartoja reguliariais intervalais. Lygtimi aprašyti svyravimai

,

čia x yra svyruojančios vertės poslinkis iš pusiausvyros padėties; w - ciklinis dažnis, kuris lemia svyravimų, atliekamų per 2 p sekundes, skaičių t - laikas vadinamas harmoniniu.

Grafinis virpesių pridėjimo būdas. Vektorinė diagrama

Sukimosi amplitudės vektoriaus metodas susideda iš harmoninio virpesio atvaizdavimo naudojant vektorių, kurio ilgis yra lygus virpesių amplitudei, o kryptis sudaro kampą su x ašimi, lygią pradinei virpesių fazei, vadinamą sukimosi amplitudės vektoriaus metodu. .

Patogu pridėti tos pačios krypties ir dažnio harmoninius virpesius, vaizduojant svyravimus vektorių pavidalu plokštumoje – grafiškai.

1). Pasirinkime kokią nors nukreiptą tiesę – ašį, išilgai kurios braižysime svyruojančią reikšmę x.

2). Iš tam tikro taško O, paimto ant ašies, nubrėžiame nukreiptą atkarpą - A ilgio vektorių, sudarantį tam tikrą kampą su ašimi.

3). Sukant vektorių A aplink tašką O kampiniu greičiu u 0, gauname, kad vektoriaus galo projekcija į ašį atliks harmoninius virpesius, kurių amplitudė lygi vektoriaus ilgiui, o apskritimo dažnis lygus kampiniam vektoriaus sukimosi greitis ir su pradine faze, lygus kampui, sudarytas iš vektoriaus su ašimi pradiniu laiko momentu: vektoriaus galo projekcija judės išilgai x ašies, paimdama reikšmes nuo - A iki + A, o šios projekcijos koordinatė pasikeis. laiko pagal įstatymą

Diagrama, gauta šiuo virpesių vaizdavimo būdu, vadinama vektorine diagrama.

Viena kitai statmenų virpesių pridėjimas.

Apsvarstykite dvi viena kitai statmenas vektoriniai dydžiai x ir y, laikui bėgant kintantys tuo pačiu dažniu u pagal harmonikų dėsnį:

(1)

Kur e x ir e y yra vienetiniai vektoriai koordinačių ašys x ir y, A ir B – virpesių amplitudės. Vertės x ir y gali būti, pavyzdžiui, poslinkiai materialus taškas(dalelės) iš pusiausvyros padėties.

Svyruojančios dalelės atveju dydžiai x ir y gali būti pavaizduoti taip:

, (2)

Jie nustato dalelės koordinates xy plokštumoje.

Išraiškos (2) reiškia pateiktą in parametrinė forma trajektorijos, kuria dalelė judės, lygtis. Trajektorijos tipas priklauso nuo fazių skirtumo tarp abiejų svyravimų.

Iš (2) lygčių neįtraukus parametro t, gauname trajektorijos lygtį įprasta forma. Iš pirmosios lygties: (3). Atitinkamai

(4)

Pagal sumos kosinuso formulę:

, Tada

Transformuokime šią lygtį

(5)

Gavome elipsės, kurios ašys pasuktos x ir y koordinačių ašių atžvilgiu, lygtį. Elipsės ir jos pusiau ašies orientacija labai priklauso kompleksiniu būdu ant amplitudių A ir B ir fazių skirtumo b.

Sudėjimas – tai tos pačios krypties ir to paties dažnio svyravimai.

Apsvarstykite dviejų harmoninių virpesių x 1 ir x 2 pridėjimą ta pačia kryptimi ir tuo pačiu dažniu:

, (1)

Abu svyravimus galime pavaizduoti naudodami vektorius A 1 ir A 2. Naudodami vektorių sudėjimo taisykles galime rasti gautą vektorių A, kuris yra dviejų vektorių A 1 ir A 2 suma.

Vektorius A reiškia susidariusią vibraciją, nes paveikslėlyje parodyta, kad šio vektoriaus projekcija į x ašį yra lygi pridėtų vektorių projekcijų sumai:

Vektorius A sukasi tokiu pat kampiniu greičiu u 0 kaip vektoriai A 1 ir A 2, todėl x 1 ir x 2 suma yra harmoninis virpesys su dažniu (u 0, amplitudė A ir pradinė fazė b. Naudodami kosinuso teoremą, mes rasti tai

(2)

(3)

Funkcijų pridėjimo pakeitimas vektorių pridėjimu, kuris įmanomas naudojant harmoninių virpesių vaizdavimą naudojant vektorius, labai supaprastina skaičiavimus.

Įvairios virpesių sumos trajektorijos formos. Lissajous figūros.

Fazių skirtumas b lygus nuliui.

Esant fazių skirtumui, lygus nuliui, (5) lygtis supaprastinama taip:

Iš čia:

- tiesios linijos lygtis.

Gautas judėjimas yra harmoninis svyravimas išilgai šios tiesės, kurio dažnis u ir amplitudė lygi (1 pav. a).

Fazių skirtumas b lygus ±р.

Kai fazių skirtumas b lygus ±р, (5) lygtis turi tokią formą

- gautas judesys yra harmoninis svyravimas tiesia linija

(1 b pav.)

1 pav

Fazių skirtumas yra

Atvejai skiriasi judėjimo kryptimi elipsėje ar apskritime.

Kai fazių skirtumas lygus, lygtis (5) virsta elipsės lygtimi, sumažinta iki koordinačių ašių:

Elipsės pusiau ašys yra lygios atitinkamoms virpesių amplitudėms. Jei A ir B amplitudės lygios, elipsė virsta apskritimu.

Tolygų judėjimą spindulio R apskritimu, kurio kampinis greitis u, galima pavaizduoti kaip dviejų viena kitai statmenų svyravimų sumą:

,

(pliuso ženklas y išraiškoje atitinka judėjimą prieš laikrodžio rodyklę, minuso ženklas – judėjimą pagal laikrodžio rodyklę).

Esant skirtingiems tarpusavyje statmenų virpesių dažniams, susidarančio judėjimo trajektorijos bus sudėtingų kreivių, vadinamų Lissajous figūromis, pavidalu.

Lissajous dažnio santykio 1:2 ir fazių skirtumo p/2 skaičius

Lissajous dažnio santykio 3:4 ir fazių skirtumo p/2 skaičius

Nuorodos

Gevorkyan R.G. Fizikos kursas. -M, 1979, -656 p.

I. V. Saveljevas. Na bendroji fizika. -M. 1990 m

J.Oriras. Fizika 1 tomas, - M. 1981 m

Trofimova T.I. Fizikos kursas, -M. 2006, -560 p.

Paskelbta Allbest.ru

Panašūs dokumentai

Grafinis vaizdas svyravimai vektorių pavidalu ir in sudėtinga forma. Gauto vektoriaus konstravimas pagal vektorių sudėjimo taisykles. Beats ir periodinė teisė vibracijos amplitudės pokyčiai. Paprasčiausių Lissajous figūrų lygtis ir konstravimas.

pristatymas, pridėtas 2013-04-18


Vektorinės diagramos metodas. Harmoninių virpesių vaizdavimas sudėtingoje formoje; harmoninių virpesių papildymas; plaka. Viena kitai statmenų svyravimų sudėjimas: atsirandančio svyravimo trajektorijos lygtis; elipsės lygtis; Lissajous figūros.

pristatymas, pridėtas 2013-09-24


Viena kitai statmenų mechaninių harmoninių virpesių pridėjimas. Diferencialinė lygtis laisvieji slopinami svyravimai ir jų sprendimas; savaiminiai svyravimai. Priverstinių svyravimų diferencialinė lygtis. Virpesių amplitudė ir fazė; rezonansas.

pristatymas, pridėtas 2013-06-28


Virpesių procesų sampratos tyrimas. Vibracijų klasifikavimas pagal jų fizinę prigimtį ir sąveikos su aplinką. Gauto svyravimo amplitudės ir pradinės fazės nustatymas. Identiškos krypties svyravimų pridėjimas.

testas, pridėtas 2013-03-24


Koncepcija ir fizinė savybė vibracijos vertes, jas nustatant periodinė vertė. Laisvųjų ir priverstinių virpesių dažnio, fazės ir amplitudės parametrai. Harmoninis osciliatorius ir harmoninių virpesių diferencialinės lygties sudėtis.

pristatymas, pridėtas 2013-09-29


Vibracijų apibrėžimai ir klasifikacija. Harmoninių virpesių aprašymo metodai. Kinematinės ir dinaminės charakteristikos. Harmoninių virpesių parametrų nustatymas pagal pradines varžos sąlygas. Energija ir harmoninių virpesių papildymas.

pristatymas, pridėtas 2017-02-09


Vieno dažnio svyravimų, vykstančių vienoje tiesėje, vektorinė diagrama. Grafiškai rasti virpesių amplitudę, atsirandančią, kai pridedami du tos pačios krypties svyravimai. Dviejų harmoninių tos pačios krypties virpesių pridėjimas.

kursinis darbas, pridėtas 2012-11-15


Rezonansas kaip staigaus priverstinių virpesių amplitudės padidėjimo reiškinys, jo fizinis pagrindas. Priverstinės vibracijos. Destruktyvus rezonanso vaidmuo ir jo teigiamas vertes. Dažnio matuoklis: koncepcija, bendras vaizdas,funkcijomis. Rezonansas ir žmogaus būklė.

pristatymas, pridėtas 2013-10-27


Vieningas požiūrisįvairių fizinių prigimties virpesių tyrimui. Harmoninių virpesių charakteristikos. Svyravimo periodo, per kurį svyravimo fazė gauna prieaugį, sąvoka. Mechaninės harmoninės vibracijos. Fizinės ir matematinės švytuoklės.

pristatymas, pridėtas 2013-06-28


Virpesiai yra vienas iš labiausiai paplitusių procesų gamtoje ir technologijoje. Slopintų virpesių grafikas. Matematinės ir spyruoklinės švytuoklės. Rezonansas kaip staigus virpesių amplitudės padidėjimas. Spyruoklės švytuoklės periodo skaičiavimo formulės išvedimas.

Vektorinė diagrama yra būdas grafiškai nurodyti svyruojantis judesys kaip vektorius.

Virpesių vertė ξ (bet kokios fizinės prigimties) brėžiama išilgai horizontalios ašies. Vektorius, nubraižytas iš taško 0, yra lygus virpesio A amplitudei ir yra nukreiptas kampu α, lygiu pradinei virpesių fazei į ξ ašį. Jei šį vektorių įvesime į sukimąsi kampiniu greičiu ω, lygiu cikliniam virpesių dažniui, tai šio vektoriaus projekcija į ξ ašį suteikia svyruojančio dydžio vertę savavališku laiko momentu.

To paties dažnio ir tos pačios krypties svyravimų pridėjimas

Tegul du svyravimai sumuojasi: Kuriame vektorines diagramas ir pridedame vektorius:

Pagal kosinuso teoremą

Nes Tai

Akivaizdu (žr. diagramą), kad pradinę svyravimų fazę lemia santykis:

Artimų dažnių svyravimų pridėjimas

P Kitaip tariant, sumuojami du beveik vienodo dažnio svyravimai, t.y.

Iš trigonometrijos:

Taikydami mūsų atvejį, gauname:

Susidariusios vibracijos grafikas yra dūžių grafikas, t.y. beveik harmoningi dažnio ω virpesiai, kurių amplitudė lėtai kinta nuo dažnio Δω.

Amplitudė dėl modulio ženklo buvimo (amplitudė visada > 0) dažnis, kuriuo amplitudė kinta, nėra lygus Δω / 2, o dvigubai didesnis - Δω.

Viena kitai statmenų virpesių pridėjimas

Tegul mažas kūnas svyruoja ant viena kitai statmenų vienodo standumo spyruoklių. Kokia trajektorija judės šis kūnas?

Tai yra trajektorijos lygtys parametrinė forma. Norint gauti aiškų ryšį tarp x ir y koordinačių, būtina iš lygčių neįtraukti parametro t.

Iš pirmosios lygties: ,

Nuo antrojo

Po pakeitimo

Atsikratykime šaknies:

- tai yra elipsės lygtis

H
ypatingi atvejai:

27. Slopinti svyravimai. Priverstinės vibracijos. Rezonansas.

Laisvųjų vibracijų slopinimas

Dėl pasipriešinimo laisvieji virpesiai visada anksčiau ar vėliau užgęsta. Panagrinėkime vibracijos slopinimo procesą. Tarkime, kad pasipriešinimo jėga yra proporcinga kūno greičiui. (proporcingumo koeficientas patogumo sumetimais nurodomas 2mg, tai paaiškės vėliau). Turėsime omenyje atvejį, kai svyravimo laikotarpiu jo slopinimas yra mažas. Tada galime manyti, kad slopinimas nežymiai paveiks dažnį, bet turės įtakos svyravimų amplitudei. Tada slopintų virpesių lygtis gali būti pavaizduota kaip čia A(t) reiškia tam tikrą mažėjančią funkciją, kurią reikia nustatyti. Mes vadovausimės energijos tvermės ir transformacijos dėsniu. Virpesių energijos pokytis lygus vidutinei pasipriešinimo jėgai per darbo laikotarpį, t.y. Abi lygties puses padalinkime iš dt. Dešinėje turėsime dx/dt, t.y. greitis yra v, o kairėje gausite energijos išvestinę laiko atžvilgiu. Todėl, atsižvelgiant į Tačiau vidutinė kinetinė energija lygi pusei visos energijos. Todėl galime tai parašyti Abi puses padalinkime iš E ir padauginkime iš dt. Mes tai gauname Integruokime abi gautos lygties puses: Po stiprinimo gauname Integravimo konstanta C randama iš pradinių sąlygų. Tegu, kai t = 0 E = E0, tada E0 = C. Vadinasi, Bet E ~ A^2. Todėl slopintų svyravimų amplitudė mažėja pagal eksponentinį dėsnį:

IR Taigi dėl pasipriešinimo svyravimų amplitudė mažėja ir jie paprastai atrodo taip, kaip parodyta Fig. 4.2. Koeficientas vadinamas silpninimo koeficientu. Tačiau jis nevisiškai apibūdina slopinimą. Paprastai svyravimų slopinimui būdingas slopinimo sumažėjimas. Pastarasis parodo, kiek kartų sumažėja svyravimų amplitudė per laiką, lygų svyravimų periodui. Tai yra, slopinimo sumažinimas nustatomas taip: Slopinimo mažėjimo logaritmas vadinamas logaritminiu mažėjimu, kuris akivaizdžiai lygus

Priverstinės vibracijos

Jei virpesių sistemą veikia išorinė periodinė jėga, atsiranda vadinamieji priverstiniai svyravimai, kurie yra neslopinami. Priverstinius svyravimus reikia skirti nuo savaiminio svyravimų. Sistemos savaiminių virpesių atveju numanomas specialus mechanizmas, kuris laikui bėgant savais svyravimais „tiekia“ sistemai mažas energijos porcijas iš tam tikro energijos rezervuaro. Taigi natūralūs svyravimai išlieka ir neišnyksta. Savaiminių virpesių atveju sistema tarsi stumia save. Savaime svyruojančios sistemos pavyzdys yra laikrodis. Laikrodis turi reketavimo mechanizmą, kurio pagalba švytuoklė laiku gauna nedidelius smūgius (nuo suspaustos spyruoklės) savo vibracijomis. Priverstinių svyravimų atveju sistemą stumia išorinė jėga. Žemiau aptarsime šį atvejį, darydami prielaidą, kad pasipriešinimas sistemoje yra mažas ir gali būti ignoruojamas. Kaip priverstinių virpesių modelį turėsime omenyje tą patį kūną, pakabintą ant spyruoklės, kurią veikia išorinė periodinė jėga (pavyzdžiui, elektromagnetinio pobūdžio jėga). Neatsižvelgiant į pasipriešinimą, tokio kūno judėjimo projekcijoje į x ašį lygtis yra tokia: kur w* – ciklinis dažnis, B – išorinės jėgos amplitudė. Yra žinoma, kad svyravimai egzistuoja. Todėl ieškosime konkretaus lygties sprendimo sinusinės funkcijos pavidalu Pakeiskime funkciją į lygtį, kurią laiko atžvilgiu diferencijuojame du kartus . Pakeitimas veda į santykį

Lygtis tampa tapatybe, jei tenkinamos trys sąlygos: . Tada o priverstinių svyravimų lygtis gali būti pavaizduota forma Jie atsiranda tokiu dažniu, kuris sutampa su išorinės jėgos dažniu, o jų amplitudė nėra nustatyta savavališkai, kaip laisvųjų virpesių atveju, o nustatoma savaime. Ši nustatyta vertė priklauso nuo sistemos natūraliojo virpesių dažnio ir išorinės jėgos dažnio santykio pagal formulę

N ir pav. 4.3 paveiksle parodytas priverstinių svyravimų amplitudės priklausomybės nuo išorinės jėgos dažnio grafikas. Matyti, kad svyravimų amplitudė žymiai padidėja, kai išorinės jėgos dažnis artėja prie natūralių svyravimų dažnio. Staigaus priverstinių virpesių amplitudės padidėjimo reiškinys, kai sutampa natūralusis dažnis ir išorinės jėgos dažnis, vadinamas rezonansas.

Esant rezonansui, virpesių amplitudė turėtų būti be galo didelė. Realiai rezonanso metu priverstinių svyravimų amplitudė visada yra baigtinė. Tai paaiškinama tuo, kad esant ir beveik rezonansui, mūsų prielaida apie nereikšmingą pasipriešinimą tampa neteisinga. Net jei pasipriešinimas sistemoje yra mažas, tada rezonanse jis yra reikšmingas. Dėl jo rezonanso virpesių amplitudė yra baigtinė. Taigi tikrasis virpesių amplitudės priklausomybės nuo dažnio grafikas turi formą, parodytą Fig. 4.4. Kuo didesnis pasipriešinimas sistemoje, tuo mažesnė maksimali amplitudė rezonanso taške.

Kaip taisyklė, rezonansas in mechaninės sistemos- nepageidaujamas reiškinys, ir jo stengiamasi vengti: mechanines konstrukcijas, kurios yra veikiamos svyravimų ir virpesių, suprojektuoti taip, kad natūralus svyravimų dažnis būtų toli nuo galimų išorinių poveikių dažnių verčių. Tačiau daugelyje prietaisų rezonansas naudojamas kaip teigiamas reiškinys. Pavyzdžiui, elektromagnetinių virpesių rezonansas plačiai naudojamas radijo ryšiuose, o g-spindulių rezonansas – tiksliuosiuose prietaisuose.

Termodinaminės sistemos būsena. Procesai

Termodinaminės būsenos ir termodinaminiai procesai

Kai, be mechanikos dėsnių, reikia taikyti termodinamikos dėsnius, sistema vadinama termodinamine sistema. Poreikis naudoti šią sąvoką atsiranda, jei sistemos elementų skaičius (pavyzdžiui, dujų molekulių skaičius) yra labai didelis, o atskirų jos elementų judėjimas yra mikroskopinis, palyginti su pačios sistemos judėjimu ar jos makroskopiniu judėjimu. komponentai. Šiuo atveju termodinamika aprašo makroskopinius judesius (makroskopinių būsenų pokyčius) termodinamine sistema.

Tokį termodinaminės sistemos judėjimą (pokyčius) apibūdinantys parametrai dažniausiai skirstomi į išorinius ir vidinius. Šis skirstymas yra labai sąlyginis ir priklauso nuo konkrečios užduoties. Taigi, pavyzdžiui, dujų balione su elastingu apvalkalu aplinkos oro slėgis yra išorinis parametras, o dujų, esančių inde su standžiu apvalkalu, išorinis parametras yra šio apvalkalo ribojamas tūris. Termodinaminėje sistemoje tūris ir slėgis gali keistis nepriklausomai vienas nuo kito. Norint teoriškai apibūdinti jų pokyčius, reikia įvesti dar bent vieną parametrą – temperatūrą.

Daugumoje termodinaminių trys užduotys parametrų pakanka termodinaminės sistemos būklei apibūdinti. Šiuo atveju sistemos pokyčiai aprašomi naudojant tris termodinamines koordinates, susietas su atitinkamais termodinaminiais parametrais.

Pusiausvyros būsena- termodinaminės pusiausvyros būsena - tai termodinaminės sistemos būsena, kurioje nėra srautų (energijos, medžiagos, impulso ir kt.), o sistemos makroskopiniai parametrai yra pastovūs ir laikui bėgant nekinta.

Klasikinė termodinamika teigia, kad izoliuota termodinaminė sistema (paliekama savo įrenginiams) linkusi į termodinaminės pusiausvyros būseną ir, pasiekusi, negali spontaniškai iš jos išeiti. Aš dažnai vadinu šį teiginį nulinis termodinamikos dėsnis.

Sistemos, esančios termodinaminės pusiausvyros būsenoje, turi šias savybes savybių mi:

Jei dvi termodinaminės sistemos, turinčios terminį kontaktą, yra termodinaminės pusiausvyros būsenoje, tai visa termodinaminė sistema yra termodinaminės pusiausvyros būsenoje.

Jei kuri nors termodinaminė sistema yra termodinaminėje pusiausvyroje su kitomis dviem sistemomis, tai šios dvi sistemos yra termodinaminėje pusiausvyroje viena su kita.

Panagrinėkime termodinamines sistemas, kurios yra termodinaminės pusiausvyros būsenoje. Sistemų, kurios yra nepusiausvyros būsenos, tai yra, kai vyksta makroskopiniai srautai, aprašymas yra sprendžiamas nepusiausvyros termodinamikos. Perėjimas iš vienos termodinaminės būsenos į kitą vadinamas termodinaminis procesas. Toliau bus nagrinėjami tik kvazistatiniai procesai arba, kas yra tas pats, kvazistatiniai procesai. Kvazipusiausvyros proceso ribinis atvejis yra pusiausvyros procesas, vykstantis be galo lėtai, susidedantis iš nuolat nuoseklių termodinaminės pusiausvyros būsenų. Realiai toks procesas negali vykti, tačiau jei makroskopiniai pokyčiai sistemoje vyksta pakankamai lėtai (laikotarpiais, žymiai viršijančiais termodinaminės pusiausvyros susidarymo laiką), realų procesą tampa įmanoma aproksimuoti kaip kvazistatinį (kvazistatinį). pusiausvyra). Šis aproksimavimas leidžia pakankamai tiksliai atlikti skaičiavimus daugeliui praktinių problemų. Pusiausvyros procesas yra grįžtamasis, ty toks, kai grįžimas į ankstesniu momentu įvykusias būsenos parametrų vertes turėtų nuvesti termodinaminę sistemą į ankstesnę būseną, nepakeitus sistemą supančių kūnų.

Praktinis pusiausvyros procesų taikymas bet kuriuose techniniuose įrenginiuose yra neefektyvus. Taigi, pavyzdžiui, beveik pastovioje temperatūroje (žr. Carnot ciklo aprašymą trečiame skyriuje) šiluminiame variklyje panaudojus beveik pusiausvyros procesą, neišvengiamai tokia mašina veiks labai gerai. lėtai (riboje – be galo lėtai) ir turi labai mažą galią. Todėl praktikoje techniniuose įrenginiuose beveik pusiausvyros procesai nenaudojami. Nepaisant to, kadangi realių sistemų pusiausvyros termodinamikos prognozės pakankamai tiksliai sutampa su eksperimentiškai gautais tokių sistemų duomenimis, ji plačiai naudojama termodinaminiams procesams įvairiuose techniniuose įrenginiuose skaičiuoti.

Jeigu termodinaminio proceso metu sistema grįžta į pradinę būseną, tai toks procesas vadinamas žiediniu arba cikliniu. Žiediniai procesai, kaip ir bet kurie kiti termodinaminiai procesai, gali būti pusiausvyriniai (taigi grįžtami) arba nepusiausvyriniai (negrįžtami). Grįžtamajame žiediniame procese, termodinaminei sistemai sugrįžus į pradinę būseną, aplinkiniuose kūnuose nekyla termodinaminių trikdžių, o jų būsenos išlieka pusiausvyroje. Tokiu atveju išoriniai sistemos parametrai po ciklinio proceso grįžta į pradines reikšmes. Negrįžtamame žiediniame procese, jam pasibaigus, aplinkiniai kūnai pereina į nepusiausvyros būsenas ir pasikeičia išoriniai termodinaminės sistemos parametrai.

Priverstinės vibracijos. Rezonansas.

Iki šiol laikėme natūralius svyravimus, svyravimus, kurie atsiranda nesant išorinių poveikių. Išorinis poveikis buvo reikalingas tik norint išvesti sistemą iš pusiausvyros, o po to ji buvo palikta savieigai. Natūralių virpesių diferencialinėje lygtyje nėra išorinio poveikio sistemai pėdsakų: ši įtaka atsispindi tik pradinėse sąlygose.

Virpesių nustatymas.

Tačiau labai dažnai tenka susidurti su svyravimais, atsirandančiais dėl nuolatinės išorinės įtakos. Ypač svarbus ir tuo pačiu gana paprastas tirti atvejis, kai išorinė jėga yra periodinė. Bendras bruožas priverstiniai svyravimai, atsirandantys veikiant periodinei išorinei jėgai, yra tai, kad praėjus tam tikram laikui nuo išorinės jėgos atsiradimo sistema visiškai „pamiršta“ savo pradinę būseną, svyravimai tampa nejudančio pobūdžio ir nepriklauso nuo pradinių sąlygų. Pradinės sąlygos atsiranda tik svyravimų atsiradimo laikotarpiu, kuris paprastai vadinamas pereinamuoju procesu.

Sinusoidinis poveikis.

Pirmiausia panagrinėkime paprasčiausią osciliatoriaus priverstinių virpesių atvejį, kai veikia išorinė jėga, kintama pagal sinusoidinį dėsnį.

Tai išorinis poveikis galima atlikti sistemoje įvairiais būdais. Pavyzdžiui, galite paimti rutulio pavidalo švytuoklę ant ilgo strypo ir ilgą spyruoklę su mažo standumo ir pritvirtinti ją prie švytuoklės strypo šalia pakabos taško, kaip parodyta Fig. 178. Kitas horizontalios spyruoklės galas turi būti priverstas judėti pagal B dėsnį, naudojant švaistiklio mechanizmą, varomą elektros variklio. Varomoji jėga, veikianti švytuoklę iš spyruoklės, bus praktiškai sinusinė, jei kairiojo spyruoklės B galo judesių diapazonas yra daug didesnis nei švytuoklės strypo virpesių amplitudė spyruoklės pritvirtinimo taške.

Judėjimo lygtis.

U Šios ir kitų panašių sistemų judesio lygtis, kurioje kartu su atkuriančia jėga ir pasipriešinimo jėga, varomoji išorinė jėga, veikianti generatorių, kintanti sinusoidiškai su laiku, gali būti parašyta formaČia kairėje pusėje pagal antrąjį Niutono dėsnį yra masės ir pagreičio sandauga. Pirmasis dešinėje pusėje esantis narys reiškia atkūrimo jėgą, proporcingą poslinkiui iš pusiausvyros padėties. Apkrovai, pakabintai ant spyruoklės, tai yra tamprumo jėga, o visais kitais atvejais, kai ji fizinė prigimtis Priešingu atveju ši jėga vadinama kvazielastinga. Antrasis terminas yra trinties jėga, proporcingas greičiui, pavyzdžiui, oro pasipriešinimo jėga arba trinties jėga ašyje. Sistemą siūbuojančios jėgos amplitudę ir dažnį laikysime pastoviais. Padalinkime abi lygties puses iš masės ir įveskime žymėjimą Nesant varomosios jėgos dešinėje pusėje lygtis išnyksta ir, kaip ir galima tikėtis, redukuojasi iki savo slopintų svyravimų lygties. Patirtis rodo, kad visose sistemose, veikiant sinusoidinei išorinei jėgai, galiausiai susidaro svyravimai, kurie taip pat vyksta pagal sinusoidinį dėsnį. varomosios jėgos co ir c dažnio pastovi amplitudė a, bet su tam tikru fazės poslinkiu varomosios jėgos atžvilgiu. Tokie svyravimai vadinami pastoviosios būsenos priverstiniais svyravimais. Pirmiausia panagrinėkime pastoviosios būsenos priverstinius svyravimus, o dėl paprastumo nepaisysime trinties. Šiuo atveju lygtis neturės greitį turinčio termino. Pabandykime surasti pastovius priverstinius svyravimus atitinkančio sprendinio formą Apskaičiuokime antrąją išvestinę ir pakeiskime ją į lygtį galioja bet kuriuo metu, koeficientai kairėje ir dešinėje turi būti vienodi. Iš šios sąlygos randame svyravimų amplitudę. Ištirkime amplitudės a priklausomybę nuo varomosios jėgos dažnio c. Šios priklausomybės grafikas parodytas fig. 179. Pakeisdami čia esančias reikšmes, matome, kad laike pastovi jėga tiesiog perkelia osciliatorių į naują pusiausvyros padėtį, perkeltą iš senosios. Iš to išplaukia, kad įvykus poslinkiui fazių santykiai. Dažniui didėjant pastovios būsenos rato varomajai jėgai. 179. Priklausomybių grafikas atsiranda fazėje su varomąja jėga, o jų amplitudė nuolat didėja, iš pradžių lėtai, o artėjant vis greičiau, svyravimų amplitudė didėja neribotai , formulė suteikia a neigiama reikšmė(179 pav.). Iš formulės aišku, kad kai svyravimai vyksta priešfazėje su varomąja jėga: kai jėga veikia viena kryptimi, osciliatorius pasislenka priešinga kryptimi. Neribotai didėjant varomosios jėgos dažniui, svyravimų amplitudė linkusi į nulį.

Patogu visais atvejais svyravimų amplitudę laikyti teigiama, ką nesunku pasiekti įvedus fazės poslinkį tarp varančiojo Čia a vis tiek duodama pagal formulę, o fazės poslinkis lygus nuliui at. Varomosios jėgos ir dažnio diagramos parodytos Fig. 180.

Rezonansas.

Priverstinių svyravimų amplitudės priklausomybė nuo varomosios jėgos dažnio yra nemonotoniška. Staigus priverstinių virpesių amplitudės padidėjimas, kai dažnis nuo varomosios jėgos artėja prie osciliatoriaus natūralaus dažnio co0, vadinamas rezonansu. Formulė pateikia priverstinių virpesių amplitudės išraišką, nepaisant trinties. Būtent dėl ​​šio nepaisymo svyravimų amplitudė virsta begalybe, tiksliai sutapus dažniams. Iš tikrųjų svyravimų amplitudė, žinoma, negali siekti begalybės. Tai reiškia, kad aprašant priverstinius virpesius, esančius netoli rezonanso, iš esmės būtina atsižvelgti į trintį. Atsižvelgus į trintį, priverstinių rezonanso virpesių amplitudė pasirodo esanti baigtinė. Kuo didesnė trintis sistemoje, tuo ji bus mažesnė. Toli nuo rezonanso formulė gali būti naudojama norint rasti virpesių amplitudę net esant trinčiai, jei ji nėra per stipri. Be to, ši formulė, gauta neatsižvelgiant į trintį, turi fizinę reikšmę tik tada, kai vis dar yra trintis. Faktas yra tas, kad pati pastovių priverstinių virpesių samprata taikoma tik sistemoms, kuriose yra trintis.

Jei trinties visai nebūtų, tada svyravimų nustatymo procesas tęstųsi neribotą laiką. Iš tikrųjų tai reiškia, kad priverstinių virpesių amplitudės išraiška, gauta neatsižvelgiant į trintį, teisingai apibūdins svyravimus sistemoje tik po to, kai bus pakankamai didelis tarpas laikas nuo varomosios jėgos pradžios. Žodžiai „pakankamai ilgas laiko tarpas“ čia reiškia, kad jau baigėsi pereinamasis procesas, kurio trukmė sutampa su būdingu natūralių svyravimų sistemoje slopinimo laiku. Esant mažai trinčiai, pastovūs priverstiniai svyravimai vyksta fazėje su varomąja jėga esant ω ir priešfazėje ties, kaip ir nesant trinties. Tačiau, esant artimam rezonansui, fazė kinta ne staigiai, o nuolat, o esant tiksliam dažnių sutapimui, poslinkis faze atsilieka nuo varomosios jėgos (ketvirčiu periodo). Greitis keičiasi faze su varomąja jėga, kuri užtikrina labiausiai palankiomis sąlygomis perduoti energiją iš išorinės varomosios jėgos šaltinio į osciliatorių.

Kokią fizinę reikšmę turi kiekvienas terminas lygtyje, apibūdinančioje priverstinius osciliatoriaus virpesius?

Kas yra pastovūs priverstiniai svyravimai?

Kokiomis sąlygomis galime naudoti pastovių priverstinių virpesių amplitudės formulę, gautą neatsižvelgiant į trintį?

Kas yra rezonansas? Pateikite jums žinomų rezonanso reiškinio pasireiškimo ir panaudojimo pavyzdžių.

Apibūdinkite fazės poslinkį tarp varančiosios jėgos ir maišymo skirtingi santykiai tarp dažnio varomojoje jėgoje ir osciliatoriaus natūralaus dažnio.

Kas lemia priverstinių svyravimų nustatymo proceso trukmę? Pateikite savo atsakymo priežastis.

Vektorinės diagramos.

Galite patikrinti aukščiau pateiktų teiginių pagrįstumą, jei gausite lygties, apibūdinančios pastovius priverstinius svyravimus esant trinčiai, sprendimą. Kadangi pastovūs svyravimai atsiranda esant varomosios jėgos c dažniui ir tam tikram fazės poslinkiui, tokius svyravimus atitinkančios lygties sprendimo reikia ieškoti formoje Laikas pagal harmoninį dėsnį yra patogiai nustatomas naudojant vektorines diagramas. Pasinaudokime tuo, kad bet kokio dydžio momentinė vertė, besikeičianti pagal harmonikos dėsnį, gali būti pavaizduota kaip vektoriaus projekcija tam tikra iš anksto pasirinkta kryptimi, o pats vektorius tolygiai sukasi plokštumoje su dažniu co, o jo pastovus ilgis lygus šio svyruojančio dydžio amplitudės reikšmei. Pagal tai su kiekvienu lygties nariu susiejame kampiniu greičiu besisukantį vektorių, kurio ilgis yra lygus šio nario amplitudės reikšmei. Kadangi kelių vektorių sumos projekcija yra lygi sumai Šių vektorių projekcijos, lygtis reiškia, kad vektorių, susijusių su terminais kairėje pusėje, suma yra lygi vektoriui, susietam su dydžiu dešinėje. Norėdami sukurti šiuos vektorius, kairėje lygties pusėje užrašome momentines visų terminų reikšmes, atsižvelgiant į ryšius iš formulių, aišku, kad ilgio vektorius, susietas su dydžiu, yra į priekį kampu vektorius, susietas su kiekiu. Ilgio vektorius, susietas su nariu, yra prieš ilgio vektorių. šie vektoriai nukreipti priešingomis kryptimis.

Santykinė šių vektorių padėtis tam tikru laiko momentu parodyta Fig. 181. Visa vektorių sistema kaip visuma sukasi kampiniu greičiu c prieš laikrodžio rodyklę aplink tašką. Visų dydžių momentinės vertės gaunamos projektuojant atitinkamus vektorius į iš anksto pasirinktą kryptį. Vektorius, susietas su dešine lygties puse, yra lygi sumai vektorius, parodytus fig. 181. Šis papildymas parodytas pav. 182. Taikydami Pitagoro teoremą, gauname iš kur randame pastovių priverstinių svyravimų amplitudę, kaip matyti iš vektorinės diagramos pav. 182 yra neigiamas, nes ilgio vektorius atsilieka nuo vektoriaus. Todėl pastovūs priverstiniai svyravimai atsiranda pagal harmonikų dėsnį, kur jie nustatomi formulėmis.

Rezonanso kreivės.

Nustatytų priverstinių svyravimų amplitudė yra proporcinga varomosios jėgos amplitudei. Ištirkime virpesių amplitudės priklausomybę nuo varomosios jėgos dažnio. Esant mažam slopinimui, ši priklausomybė yra labai ryški. Jei, tai kaip co linksta į laisvųjų virpesių dažnį, priverstinių svyravimų a amplitudė linksta į begalybę, kuri sutampa su anksčiau gautu rezultatu. Esant slopinimui, rezonanso virpesių amplitudė nebeeina iki begalybės, nors ji žymiai viršija svyravimų amplitudę veikiant tokio paties dydžio išorinei jėgai, tačiau jos dažnis yra toli nuo rezonansinio. Rezonanso kreivės ties skirtingos reikšmės Slopinimo konstanta y parodyta fig. 183.

Norėdami rasti ribinį rezonanso dažnį, turite nustatyti, kuriam esant radikalioji išraiška formulėje turi minimumą. Šios išraiškos išvestinės prilyginimas nuliui arba jo papildymas pilna aikštė, esame įsitikinę, kad didžiausia priverstinių virpesių amplitudė atsiranda tada, kai rezonansinis dažnis yra mažesnis už sistemos laisvųjų virpesių dažnį. Esant mažam y, rezonansinis dažnis yra beveik identiškas. Kadangi varomosios jėgos dažnis linkęs į begalybę ties, amplitudė a, kaip matyti, yra linkusi į nulį, veikiant pastoviai išorinei jėgai. Tai statinis osciliatoriaus poslinkis iš pusiausvyros padėties veikiant nuolatinė jėga.Didžiausia amplitudė. Priverstinių svyravimų amplitudę rezonanso metu randame pakeitę dažnį iš į išraišką. Kuo mažesnė slopinimo konstanta, tuo didesnė rezonanso virpesių amplitudė. Tiriant priverstinius virpesius šalia rezonanso, negalima nepaisyti trinties, kad ir kokia ji būtų maža: tik atsižvelgus į slopinimą, rezonanso amplitudė yra baigtinė. Įdomu palyginti vertę su statiniu poslinkiu jėgos įtaka. Sudarant santykį gauname esant žemam slopinimui ir atsižvelgiant į tai, kad toje pačioje sistemoje yra natūralių slopintų virpesių gyvavimo laikas, kai nėra išorinių jėgų, randame Bet yra atliktų svyravimų skaičius. slopinamas osciliatorius per visą svyravimų gyvavimo laiką. Taigi sistemos rezonansinės savybės apibūdinamos tuo pačiu parametru, kaip ir jos pačios slopinamieji svyravimai. Formulė leidžia analizuoti fazių poslinkio pokytį tarp išorinė jėga ir poslinkis, ties priverstinės vibracijos. Kai d reikšmė artima nuliui. Tai reiškia, kad esant žemiems dažniams osciliatoriaus poslinkis vyksta kartu su išorine jėga. Kai švaistiklis lėtai sukasi pav. 178 švytuoklė juda laiku su dešiniuoju švaistiklio galu. Rezonanse, kaip matyti iš to, poslinkis faze atsilieka nuo išorinės jėgos. Antroji iš formulių rodo, kad šiuo atveju išorinė jėga keičiasi faze su greičiu ir visada veikia judėjimo kryptimi. Kad būtent taip ir turi būti, aišku iš intuityvių svarstymų apie greičio rezonansą. Iš formulės matyti, kad greičio svyravimų amplitudė esant pastoviems priverstiniams virpesiams yra lygi. Padedant gauname, greičio amplitudės priklausomybė nuo išorinės jėgos dažnio parodyta fig. 184. Greičio rezonanso kreivė, nors ir panaši į poslinkio rezonanso kreivę, kai kuriais atžvilgiais nuo jos skiriasi. Taigi, veikiant pastoviai jėgai, osciliatorius patiria statinį poslinkį iš pusiausvyros padėties ir jo greitis pasibaigus perėjimo procesui yra lygus nuliui. Iš formulės aišku, kad greičio amplitudė ties išnyksta. Greičio rezonansas atsiranda, kai išorinės jėgos dažnis tiksliai sutampa su laisvųjų virpesių dažniu.

Vektorinė diagrama. Vibracijų papildymas.

Daugelio virpesių teorijos problemų sprendimas tampa daug lengvesnis ir vizualesnis, jei virpesiai pavaizduoti grafiškai naudojant metodą vektorines diagramas. Pasirinkime kokią nors ašį X. Iš taško 0 ašyje pavaizduojame ilgio vektorių , kuris iš pradžių sudaro kampą su ašimi (2.14.1 pav.). Jei šį vektorių pasuksime kampiniu greičiu, tada vektoriaus galo projekcija į ašį X laikui bėgant keisis pagal įstatymą

.

Vadinasi, vektoriaus galo projekcija į ašį atliks harmoninį svyravimą, kurio amplitudė lygi vektoriaus ilgiui, kurio apskritimo dažnis lygus vektoriaus sukimosi kampiniam greičiui, o pradinė fazė lygi kampu, kurį vektorius sudaro su ašimi pradiniu laiko momentu. Kampas, sudarytas vektoriaus su ašimi tam tikru laiko momentu lemia svyravimo fazę šiuo momentu - .

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, darytina išvada, kad harmoninį svyravimą galima pavaizduoti naudojant vektorių, kurio ilgis yra lygus virpesių amplitudei, o jo kryptis sudaro kampą su tam tikra ašimi, lygus fazei svyravimai. Tai yra vektorinės diagramos metodo esmė.

Tos pačios krypties svyravimų pridėjimas.

Apsvarstykite dviejų harmoninių virpesių, kurių kryptys yra lygiagrečios, pridėjimą:

. (2.14.1)

Gautas kompensavimas X bus suma ir . Tai bus svyravimai su amplitude.

Pasinaudokime vektorinės diagramos metodu (2.14.2 pav.). Paveiksle ir - atitinkamai gautų ir pridėtinių virpesių fazės. Sudėjus vektorius ir , nesunku pamatyti, ką galima rasti. Tačiau jei pridėtinių virpesių dažniai yra skirtingi, tai gautos amplitudės dydis laikui bėgant kinta ir vektorius sukasi kintamu greičiu, t.y. vibracija nebus harmoninga, o reprezentuos kažkokį kompleksą svyruojantis procesas. Kad gautas virpesys būtų harmoningas, pridėtinių virpesių dažniai turi būti tokie patys

ir atsirandantis svyravimas vyksta tokiu pat dažniu

.

Iš konstrukcijos aišku, kad

Išanalizuokime gauto svyravimo amplitudės išraišką (2.14.2). Jeigu pridėtinių virpesių fazių skirtumas lygus nuliui(svyravimai yra fazėje), amplitudė lygi pridėtinių virpesių amplitudių sumai, t.y. turi didžiausią galima vertė . Jeigu fazių skirtumas yra(svyravimai yra priešfazėje), tada gauta amplitudė lygi amplitudės skirtumui, t.y. turi mažiausią galimą vertę .

Viena kitai statmenų virpesių pridėjimas.

Tegul dalelė atlieka du harmoninius virpesius tuo pačiu dažniu: vieną išilgai krypties, kurią žymime X, kitas - in statmena kryptis y. Tokiu atveju dalelė judės išilgai tam tikro bendras atvejis, kreivinė trajektorija, kurios forma priklauso nuo virpesių fazių skirtumo.

Laiko skaičiavimo pradžią parinksime taip, kad vieno svyravimo pradinė fazė būtų lygi nuliui:

. (2.14.3)

Norint gauti dalelių trajektorijos lygtį, reikia išskirti iš (2.14.3) t. Iš pirmosios lygties a. Reiškia, . Perrašykime antrąją lygtį

arba

.

Perkeldami pirmąjį narį iš dešinės lygties pusės į kairę, iškeldami gautą lygtį kvadratu ir atlikdami transformacijas, gauname

. (2.14.4)

Ši lygtis yra elipsės, kurios ašys yra pasuktos ašių atžvilgiu, lygtis X Ir y tam tikru kampu. Tačiau kai kuriais ypatingais atvejais gaunami paprastesni rezultatai.

1. Fazių skirtumas lygus nuliui. Tada iš (2.14.4) gauname

arba . (2.14.5)

Tai tiesės lygtis (2.14.3 pav.). Taigi dalelė svyruoja išilgai šios tiesios linijos, kurios dažnis ir amplitudė yra lygi .

Gali atsitikti taip, kad osciliatorius dalyvauja dviejuose vienodai nukreiptuose virpesiuose su skirtingomis amplitudėmis, dažniais ir pradinėmis fazėmis. Panagrinėkime tokių svyravimų pridėjimą.

Virpesių su tais pačiais dažniais pridėjimas

Paprastumo dėlei pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai pridėtinių virpesių dažniai yra vienodi. Bendrieji pridėtinių harmoninių virpesių sprendimai turi tokią formą:

Kur x 1, x 2- kintamieji, apibūdinantys svyravimus, A 1, A 2- jų amplitudės ir , - pradinės fazės. Rezultatas sūpynės

lengva rasti naudojant vektorinė diagrama. Šis metodas naudoja analogiją tarp sukimosi ir virpesių proceso.

Paimkime bendrą harmoninės vibracijos sprendimą (1.23). Pasirinkime ašį 0x. Iš taško 0 nubraižykime ilgio vektorių A formuojant su ašimi 0x kampelis. Jei šį vektorių pasuksime kampiniu greičiu, tada šio vektoriaus galo projekcija judės išilgai ašies 0x iš +Aį – A, o projekcijos dydis keisis pagal įstatymą

Taigi vektoriaus galo projekcija į ašį 0x atliks harmoninius virpesius, kurių amplitudė lygi vektoriaus ilgiui, kurio apskritimo dažnis lygus kampiniam vektoriaus sukimosi greičiui, o pradinė fazė lygi kampui, kurį pradiniu momentu sudaro vektoriaus su ašimi laiko (1.12 pav.).

Ryžiai. 1.12. Vektorinė diagrama, skirta bendras sprendimas (1.23)

Dabar pritaikykime šią techniką virpesių pridėjimui (1.34). Abu svyravimus pavaizduokime naudodami vektorius A 1 Ir A 2 Paimkime jų vektorinę sumą (1.13 pav.)

Ryžiai. 1.13. Vektorinė diagrama, skirta pridėti vienodai nukreiptus to paties dažnio virpesius

Vektorinė projekcija A 1 vienai ašiai 0x lygi atitinkamų vektorių projekcijų sumai

Taigi vektorius A reiškia susidariusį svyravimą. Šis vektorius sukasi tuo pačiu kampiniu greičiu, todėl judesys bus harmoninis virpesių dažniu , amplitudė A ir pradinė fazė a. Pagal kosinuso teoremą:

Visų pirma, jei pridėtinių virpesių fazės yra lygios arba skiriasi dydžiu, kuris yra daugkartinis (ty ), tada gauto virpesio amplitudė yra lygi amplitudių sumai

Jei pridėti svyravimai yra priešfazėje (ty ), tai

Beats

Šiame skyriuje aptarsime identiškų skirtingų dažnių harmoninių virpesių pridėjimo atvejį. Praktikoje ypatingas susidomėjimas reiškia atvejį, kai pridėtinių virpesių dažnis mažai skiriasi. Kaip matysime, dėl šių svyravimų pridėjimo gaunami periodiškai besikeičiančios amplitudės virpesiai, vadinami plaka.

Paprastumo dėlei nagrinėjame atvejį, kai pridėtinių virpesių amplitudės yra lygios A, o abiejų svyravimų pradinės fazės yra lygios nuliui. Pridėtinių virpesių dažniai yra atitinkamai lygūs ir . Taigi,

Pridedame šiuos posakius ir atsižvelgiame gerai žinoma formulė trigonometrija:

Jei antrojo kosinuso argumente galime nepaisyti dažnio poslinkio:

Be to, skliausteliuose esantis daugiklis keičiasi lėtai, palyginti su . Todėl atsirandantis svyravimas x galima matyti kaip moduliuojamas harmoninis svyravimas su dažniu w, kurios efektyvioji amplitudė kinta laikui bėgant pagal dėsnį (1.40) (1.14 pav.):

Pabrėžkime, kad griežtąja prasme toks svyravimas nėra harmoningas, ir dar kartą primename, kad pagal apibrėžimą svyravimas yra harmoningas, jei jis vyksta pagal dėsnį. , o visi trys jo parametrai yra griežtai pastovūs laike.

Ryžiai. 1.14. Muša, kai pridedami svyravimai su artimais dažniais

Amplitudės pulsacijos dažnis (jis vadinamas ritmo dažnis) yra lygus pridėtinių virpesių dažnių skirtumui. Beat periodas yra