Koks yra atstumas kreivinio judėjimo metu? Kūno judėjimas lenktu keliu

Apibrėžimas. Linijinis vektorių derinys a 1 , ..., a n su koeficientais x 1 , ..., x n vadinamas vektoriumi

x 1 a 1 + ... + x n a n .

trivialus, jei visi koeficientai x 1 , ..., x n lygūs nuliui.

Apibrėžimas. Vadinamas tiesinis derinys x 1 a 1 + ... + x n a n ne trivialus, jei bent vienas iš koeficientų x 1, ..., x n nėra lygus nuliui.

tiesiškai nepriklausomas, jei nėra netrivialaus šių vektorių derinio, lygaus nulinis vektorius.

Tai reiškia, kad vektoriai a 1, ..., a n yra tiesiškai nepriklausomi, jei x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 tada ir tik tada, jei x 1 = 0, ..., x n = 0.

Apibrėžimas. Vadinami vektoriai a 1, ..., a n tiesiškai priklausomas, jei yra netrivialus šių vektorių derinys, lygus nulinis vektorius.

Tiesiškai priklausomų vektorių savybės:

2 ir 3 dimensijų vektoriams.

Du linijiniai priklausomi vektoriai- kolinearinis. ( Kolineariniai vektoriai– tiesiškai priklausomas.) .

3 dimensijų vektoriams.

Trys tiesiškai priklausomi vektoriai yra vienodi. (Trys koplanariniai vektoriai- tiesiškai priklausomas.)

• Dėl n matmenų vektorių.

  n + 1 vektoriai visada yra tiesiškai priklausomi.

Vektorių tiesinės priklausomybės ir tiesinės nepriklausomybės problemų pavyzdžiai:

1 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) yra tiesiškai nepriklausomi .

Sprendimas:

Vektoriai bus tiesiškai priklausomi, nes vektorių matmenys yra mažesni už vektorių skaičių.

2 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) yra tiesiškai nepriklausomi.

Sprendimas:

atimti antrą iš pirmos eilutės; pridėti antrą eilutę prie trečios eilutės:

Šis sprendimas rodo, kad sistemoje yra daug sprendinių, tai yra, yra skaičių x 1, x 2, x 3 reikšmių derinys, kuris nėra nulinis, kad linijinis vektorių a, b, c derinys būtų lygus nulinis vektorius, Pavyzdžiui:

A + b + c = 0

o tai reiškia, kad vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi.

Atsakymas: vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi.

3 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) yra tiesiškai nepriklausomi.

Sprendimas: Raskime koeficientų reikšmes, kurioms esant šių vektorių tiesinis derinys bus lygus nuliniam vektoriui.

Tai vektoriaus lygtis galima parašyti kaip sistemą tiesines lygtis

Išspręskime šią sistemą Gauso metodu

atimti pirmąją iš antrosios eilutės; atimkite pirmą iš trečios eilutės:

atimti antrą iš pirmos eilutės; pridėti antrą prie trečios eilutės.

Priklausomai nuo trajektorijos formos, judėjimas skirstomas į tiesinį ir kreivinį. IN realus pasaulis dažniausiai susiduriame su kreiviniu judėjimu, kai trajektorija yra lenkta linija. Tokio judėjimo pavyzdžiai yra kampu į horizontą mesto kūno trajektorija, Žemės judėjimas aplink Saulę, planetų judėjimas, laikrodžio rodyklės galas ciferblate ir kt.

1 pav. Trajektorija ir poslinkis lenkto judėjimo metu

Apibrėžimas

Kreivinis judėjimas yra judėjimas, kurio trajektorija yra lenkta linija (pavyzdžiui, apskritimas, elipsė, hiperbolė, parabolė). Važiuojant kartu kreivinė trajektorija poslinkio vektorius $\overrightarrow(s)$ nukreiptas išilgai stygos (1 pav.), o l – trajektorijos ilgis. Momentinis kūno greitis (tai yra kūno greitis tam tikrame trajektorijos taške) nukreiptas tangentiškai į trajektorijos tašką, kur šiuo metu yra judantis kūnas (2 pav.).

2 pav. Momentinis greitis lenkto judėjimo metu

Tačiau šis metodas yra patogesnis. Šį judėjimą galima pavaizduoti kaip kelių judesių išilgai apskritimo lankų kombinaciją (žr. 4 pav.). Tokių pertvarų bus mažiau nei ankstesniu atveju, be to, judėjimas išilgai apskritimo yra kreivinis.

4 pav. Kreivinio judėjimo suskirstymas į judėjimą apskritimo lankais

Išvada

Norėdami apibūdinti kreivinį judėjimą, turite išmokti apibūdinti judėjimą apskritime, o tada pavaizduoti savavališką judėjimą judesių rinkinių išilgai apskritimo lankų forma.

Kreivinio judėjimo tyrimo uždavinys materialus taškas yra sudaryti kinematinę lygtį, kuri apibūdina šį judėjimą ir leidžia pagal pateiktą pradines sąlygas nustatyti visas šio judėjimo savybes.

Ši tema apims daugiau sudėtingas vaizdas judesiai - KREIVINĖ. Kaip galite atspėti, kreivinis yra judėjimas, kurio trajektorija yra lenkta linija. Ir kadangi šis judėjimas yra sudėtingesnis nei tiesinis, tų fizinių dydžių, kurie buvo išvardyti ankstesniame skyriuje, jam apibūdinti nebepakanka.

Už matematinis aprašymas Kreivinis judėjimas yra 2 dydžių grupės: tiesinis ir kampinis.

LINIJAI KIEKIS.

1. Judėjimas. 1.1 skirsnyje nepaaiškinome sąvokos skirtumo

1.3 pav.takai (atstumai) ir judėjimo samprata,

kadangi tiesiaeigiu judesiu šie

skirtumai nevaidina esminio vaidmens ir

Šie kiekiai žymimi ta pačia raide -

kaukti S. Tačiau kalbant apie kreivinį judėjimą,

šį klausimą reikia išsiaiškinti. Taigi koks yra kelias

(arba atstumas)? – Tai yra trajektorijos ilgis

judesiai. Tai yra, jei stebite trajektoriją

kūno judėjimą ir išmatuokite jį (metrais, kilometrais ir pan.), gausite reikšmę, vadinamą keliu (arba atstumu) S(žr. 1.3 pav.). Taigi kelias yra skaliarinis dydis, kuriai būdingas tik skaičius.

1.4 pav. Ir judėjimas yra trumpiausias atstumas tarp

kelio pradžios ir pabaigos taškas. Ir nuo tada

judėjimas nuo pat pradžių turi griežtą kryptį

kelias iki jo pabaigos, tada jis yra vektorinis dydis

ir pasižymi ne tik skaitine reikšme, bet ir

kryptimi (1.3 pav.). Nesunku atspėti, kas būtų, jei

kūnas juda uždara trajektorija, tada į

jo sugrįžimo momentas pradinė padėtis poslinkis bus lygus nuliui (žr. 1.4 pav.).

2 . Linijinis greitis. 1.1 skyriuje pateikėme šio dydžio apibrėžimą ir jis lieka galioti, nors tada nenurodėme, kad šis greitis yra tiesinis. Kokia yra linijinio greičio vektoriaus kryptis? Pereikime prie 1.5 pav. Čia parodytas fragmentas

kreivinė kūno trajektorija. Bet kuri lenkta linija yra jungtis tarp skirtingų apskritimų lankų. 1.5 paveiksle pavaizduoti tik du iš jų: apskritimas (O 1, r 1) ir apskritimas (O 2, r 2). Tuo metu, kai kūnas eina išilgai tam tikro apskritimo lanko, jo centras tampa laikinu spindulio sukimosi centru lygus spinduliuišis ratas.

Vektorius, nubrėžtas nuo sukimosi centro iki taško, kuriame šiuo metu yra kūnas, vadinamas spindulio vektoriumi. 1.5 pav. spindulio vektoriai pavaizduoti vektoriais ir . Šiame paveiksle taip pat pavaizduoti linijiniai greičio vektoriai: tiesinio greičio vektorius visada nukreiptas liestine kryptimi judėjimo kryptimi. Todėl kampas tarp vektoriaus ir spindulio vektoriaus, nubrėžto ties šį tašką trajektorija visada yra 90°. Jei kūnas juda pastoviu tiesiniu greičiu, tai vektoriaus dydis nesikeis, o jo kryptis visą laiką keičiasi priklausomai nuo trajektorijos formos. 1.5 pav. parodytu atveju judėjimas atliekamas kintamu tiesiniu greičiu, todėl kinta vektoriaus modulis. Bet kadangi kreivinio judėjimo metu vektoriaus kryptis visada keičiasi, tai iš to išplaukia svarbi išvada:

esant kreiviniam judėjimui, visada yra pagreitis! (Net jei judėjimas atliekamas pastoviu linijiniu greičiu.) Be to, pagreitis, nurodytas šiuo atveju, toliau vadinsime tiesiniu pagreičiu.

3 . Tiesinis pagreitis. Leiskite jums priminti, kad įsibėgėjimas atsiranda keičiantis greičiui. Atitinkamai, linijinis pagreitis atsiranda pasikeitus linijiniam greičiui. O linijinis greitis kreivinio judėjimo metu gali keistis tiek dydžiu, tiek kryptimi. Taigi, visas tiesinis pagreitis yra suskaidomas į du komponentus, iš kurių vienas turi įtakos vektoriaus krypčiai, o antrasis - jo dydžiui. Panagrinėkime šiuos pagreičius (1.6 pav.). Šiame paveikslėlyje

ryžių. 1.6

APIE

pavaizduotas kūnas, judantis apskritimu, kurio sukimosi centras yra taške O.

Pagreitis, keičiantis vektoriaus kryptį, vadinamas normalus ir yra paskirtas. Jis vadinamas normaliu, nes yra nukreiptas statmenai (normaliai) liestinei, t.y. išilgai spindulio iki posūkio centro . Jis taip pat vadinamas įcentriniu pagreičiu.

Pagreitis, keičiantis vektoriaus dydį, vadinamas tangentinė ir yra paskirtas. Jis guli ant liestinės ir gali būti nukreiptas į vektoriaus kryptį arba priešais jį :

Jei linijinis greitis didėja, tada > 0 ir jų vektoriai yra vienakrypčiai;

Jei linijinis greitis tada sumažėja< 0 и их вектора противоположно

nukreiptas.

Taigi šie du pagreičiai visada sudaro stačią kampą (90º) vienas su kitu ir yra bendro tiesinio pagreičio komponentai, t.y. bendras tiesinis pagreitis yra normaliųjų ir vektorių suma tangentinis pagreitis:

Atkreipiu dėmesį, kad šiuo atveju mes kalbame apie konkrečiai apie vektorinę sumą, bet jokiu būdu ne apie skaliarinę sumą. Norėdami rasti skaitinė reikšmė, žinant ir , būtina pasinaudoti Pitagoro teorema (trikampio hipotenuzės kvadratas skaitine prasme lygus šio trikampio kojelių kvadratų sumai):

(1.8).

Iš to išplaukia:

(1.9).

Kiek vėliau apsvarstysime, kokias formules skaičiuoti naudojant.

KAMPINĖS VERTĖS.

1 . Sukimosi kampas φ . Kreivinio judėjimo metu kūnas ne tik nueina tam tikrą kelią ir daro tam tikrą judesį, bet ir pasisuka tam tikru kampu (žr. 1.7 pav. a)). Todėl tokiam judėjimui apibūdinti įvedamas dydis, vadinamas sukimosi kampu, žymimas graikiška raide φ (skaitykite „fi“) SI sistemoje sukimosi kampas matuojamas radianais (simbolis „rad“). Leiskite man jums tai priminti pilnas apsisukimas yra lygus 2π radianams, o skaičius π yra konstanta: π ≈ 3,14. pav. 1.7(a) rodo kūno trajektoriją išilgai spindulio apskritimo r kurių centras yra taške O. Pats sukimosi kampas yra kampas tarp kūno spindulio vektorių tam tikrais laiko momentais.

2 . Kampinis greitis ω – tai dydis, parodantis, kaip pasikeičia sukimosi kampas per laiko vienetą. (ω – graikiška raidė, skaitykite „omega“.) Pav. 1.7(b) rodo materialaus taško, judančio apskritimu, kurio centras yra taške O, padėtis tam tikrais laiko intervalais Δt . Jei kampai, kuriais kūnas sukasi šiais intervalais, yra vienodi, tai kampinis greitis yra pastovus, ir šis judėjimas gali būti laikomas vienodu. O jei sukimosi kampai skiriasi, vadinasi, judėjimas yra netolygus. Ir kadangi kampinis greitis parodo kiek radianų

kūnas apsisuko per vieną sekundę, tada jo matavimo vienetas yra radianai per sekundę

(žymimas " rad/s »).

ryžių. 1.7

A). b). Δt

Δt

Δt

APIE φ APIE Δt

3 . Kampinis pagreitis ε yra dydis, parodantis, kaip jis kinta per laiko vienetą. Ir nuo tada kampinis pagreitis ε pasirodo pasikeitus kampiniam greičiui ω , tada galime daryti išvadą, kad kampinis pagreitis atsiranda tik esant netolygiam kreiviniam judėjimui. Kampinio pagreičio matavimo vienetas yra " rad/s 2 » (radianai per sekundę kvadratu).

Taigi 1.1 lentelę galima papildyti dar trimis reikšmėmis:

1.2 lentelė

Dabar galime pereiti tiesiai prie visų kreivinio judėjimo tipų, ir jų yra tik trys.

Puikiai žinote, kad priklausomai nuo trajektorijos formos judėjimas skirstomas į tiesinis Ir kreivinis. SU tiesinis judėjimas Ankstesnėse pamokose išmokome dirbti, būtent išspręsti pagrindinę tokio tipo judesių mechanikos problemą.

Tačiau akivaizdu, kad realiame pasaulyje dažniausiai susiduriame su kreiviniu judėjimu, kai trajektorija yra lenkta linija. Tokio judėjimo pavyzdžiai yra kūno, mesto kampu į horizontą, trajektorija, Žemės judėjimas aplink Saulę ir net jūsų akių judėjimo trajektorija, kurios dabar seka šia pastaba.

Klausimas kaip išspręsti pagrindinė užduotis mechanika kreivinio judėjimo atveju, ir ši pamoka bus skirta.

Pirmiausia nuspręskime, ką esminių skirtumų ar kreivinis judėjimas (1 pav.) turi tiesinį judėjimą ir ką lemia šie skirtumai.

Ryžiai. 1. Kreivinio judėjimo trajektorija

Pakalbėkime apie tai, kaip patogu apibūdinti kūno judėjimą kreivinio judėjimo metu.

Judėjimą galima suskirstyti į atskiras dalis, kurių kiekvienoje judesį galima laikyti tiesiu (2 pav.).

Ryžiai. 2. Kreivinio judėjimo padalijimas į tiesinio judėjimo dalis

Tačiau šis metodas yra patogesnis. Šį judesį įsivaizduosime kaip kelių judesių išilgai apskritimo lankų kombinaciją (3 pav.). Atkreipkite dėmesį, kad tokių pertvarų yra mažiau nei ankstesniu atveju, be to, judėjimas apskritimu yra kreivinis. Be to, gamtoje labai paplitę judėjimo ratu pavyzdžiai. Iš to galime daryti išvadą:

Norėdami apibūdinti kreivinį judėjimą, turite išmokti apibūdinti judėjimą apskritime, o tada pavaizduoti savavališką judėjimą judesių rinkinių išilgai apskritimo lankų forma.

Ryžiai. 3. Kreivinio judesio padalijimas į judėjimą apskritimo lankais

Taigi, pradėkime studijuoti kreivinį judėjimą nuo studijų vienodas judesys aplink perimetrą. Išsiaiškinkime, kokie yra esminiai kreivinio ir tiesinio judėjimo skirtumai. Pirmiausia prisiminkime, kad devintoje klasėje tyrėme faktą, kad kūno greitis judant apskritimu yra nukreiptas trajektorijos liestine (4 pav.). Beje, šį faktą galite stebėti eksperimentiškai, jei stebėsite, kaip juda kibirkštys naudojant galandimo akmenį.

Panagrinėkime kūno judėjimą apskritimo lanku (5 pav.).

Ryžiai. 5. Kūno greitis judant ratu

Atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju kūno greičio modulis taške lygus moduliui kūno greitis taške:

Tačiau vektorius nėra lygus vektoriui. Taigi, turime greičio skirtumo vektorių (6 pav.):

Ryžiai. 6. Greičių skirtumo vektorius

Be to, greitis pasikeitė po kurio laiko. Taigi gauname pažįstamą derinį:

Tai ne kas kita, kaip greičio pokytis per tam tikrą laikotarpį arba kūno pagreitis. Galima padaryti labai svarbią išvadą:

Judėjimas lenktu keliu pagreitėja. Šio pagreičio pobūdis yra nuolatinis greičio vektoriaus krypties pokytis.

Dar kartą atkreipkime dėmesį, kad net jei sakoma, kad kūnas tolygiai juda apskritimu, tai reiškia, kad kūno greičio modulis nekinta. Tačiau toks judėjimas visada pagreitėja, nes keičiasi greičio kryptis.

Devintoje klasėje nagrinėjote, kam lygus šis pagreitis ir kaip jis nukreiptas (7 pav.). Centripetinis pagreitis visada nukreiptas į apskritimo centrą, kuriuo juda kūnas.

Ryžiai. 7. Centripetinis pagreitis

Išcentrinio pagreičio modulis gali būti apskaičiuojamas pagal formulę:

Pereikime prie vienodo kūno judėjimo apskritime aprašymo. Sutikime, kad greitis, kurį naudojote apibūdindami transliacinį judesį, dabar bus vadinamas linijiniu greičiu. Ir tiesiniu greičiu mes suprasime momentinis greitis besisukančio kūno trajektorijos taške.

Ryžiai. 8. Disko taškų judėjimas

Apsvarstykite diską, kuris sukasi pagal laikrodžio rodyklę. Ant jo spindulio pažymime du taškus ir (8 pav.). Panagrinėkime jų judėjimą. Per tam tikrą laiką šie taškai judės išilgai apskritimo lankų ir taps taškais ir. Akivaizdu, kad taškas pajudėjo labiau nei taškas. Iš to galime daryti išvadą, kad kuo toliau taškas yra nuo sukimosi ašies, tuo didesniu tiesiniu greičiu jis juda

Tačiau, jei atidžiai pažvelgsite į taškus ir , galime pasakyti, kad kampas, kuriuo jie pasisuko sukimosi ašies atžvilgiu, nepasikeitė. Būtent kampines charakteristikas naudosime apibūdindami judėjimą ratu. Atkreipkite dėmesį, kad apibūdinti sukamąjį judesį galime naudoti kampe charakteristikos.

Pradėkime svarstyti judėjimą ratu nuo pat pradžių paprastas atvejis– vienodas judėjimas ratu. Prisiminkite tą uniformą judėjimas į priekį yra judėjimas, kai kūnas atlieka vienodus judesius bet kokiais vienodais laiko intervalais. Pagal analogiją galime pateikti vienodo judėjimo apskritime apibrėžimą.

Vienodas sukamasis judėjimas – tai judėjimas, kai kūnas sukasi vienodais kampais per bet kokius vienodus laiko intervalus.

Panašiai kaip tiesinio greičio sąvoka, įvedama kampinio greičio sąvoka.

Tolygaus judėjimo kampinis greitis ( vadinamas fizikiniu dydžiu lygus santykiui kampo, kuriuo kūnas pasisuko, iki laiko, per kurį įvyko šis sukimasis.

Fizikoje dažniausiai naudojamas radianinis kampo matas. Pavyzdžiui, kampas ties lygus radianams. Kampinis greitis matuojamas radianais per sekundę:

Raskime ryšį tarp taško kampinio sukimosi greičio ir šio taško tiesinio greičio.

Ryžiai. 9. Kampinio ir tiesinio greičio ryšys

Sukdamasis taškas eina per lanką, kurio ilgis yra , ir pasisuka kampu. Iš kampo radianinio matavimo apibrėžimo galime parašyti:

Padalinkime kairę ir dešinę lygybės puses iš laikotarpio, per kurį buvo atliktas judėjimas, tada naudokite kampinio ir tiesinio greičio apibrėžimą:

Atkreipkite dėmesį, kad kuo toliau taškas yra nuo sukimosi ašies, tuo didesnis jo tiesinis greitis. O taškai, esantys pačioje sukimosi ašyje, yra nejudantys. To pavyzdys yra karuselė: kuo arčiau karuselės centro, tuo lengviau joje išlikti.

Ši linijinių ir kampinių greičių priklausomybė naudojama geostacionariuose palydovuose (palydovuose, kurie visada yra aukščiau to paties taško žemės paviršiaus). Tokių palydovų dėka galime priimti televizijos signalus.

Prisiminkime, kad anksčiau mes pristatėme periodo ir sukimosi dažnio sąvokas.

Sukimosi laikotarpis yra vieno pilno apsisukimo laikas. Sukimosi laikotarpis žymimas raide ir matuojamas SI sekundėmis:

Sukimosi dažnis yra fizinis dydis, lygus apsisukimų skaičiui, kurį kūnas daro per laiko vienetą.

Dažnis nurodomas raide ir matuojamas abipusėmis sekundėmis:

Juos sieja ryšys:

Yra ryšys tarp kampinio greičio ir kūno sukimosi dažnio. Jei prisiminsime, kad visas apsisukimas yra lygus , nesunku pastebėti, kad kampinis greitis yra:

Pakeitę šias išraiškas į santykį tarp kampinio ir tiesinio greičio, galime gauti linijinio greičio priklausomybę nuo periodo arba dažnio:

Taip pat užrašykite ryšį tarp įcentrinio pagreičio ir šių dydžių:

Taigi, mes žinome ryšį tarp visų vienodo apskrito judėjimo charakteristikų.

Apibendrinkime. Šioje pamokoje pradėjome apibūdinti kreivinį judėjimą. Supratome, kaip galime sujungti kreivinį judesį su sukamuoju judesiu. Žiedinis judėjimas visada pagreitinamas, o pagreičio buvimas lemia tai, kad greitis visada keičia kryptį. Šis pagreitis vadinamas įcentriniu. Galiausiai prisiminėme kai kurias sukamaisiais judesiais būdingas savybes ( linijinis greitis, kampinis greitis, periodą ir sukimosi dažnį) ir nustatė tarpusavio ryšius.

Nuorodos

1. G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovcevas, N.N. Sotskis. Fizika 10. - M.: Išsilavinimas, 2008 m.
2. A.P. Rymkevičius. Fizika. Probleminė knyga 10-11. - M.: Bustard, 2006 m.
3. O.Ya. Savčenko. Fizikos problemos. - M.: Nauka, 1988 m.
4. A.V. Peryshkin, V.V. Krauklis. Fizikos kursas. T. 1. - M.: Valst. mokytojas red. min. RSFSR išsilavinimas, 1957 m.

1. Аyp.ru ().
2. Vikipedija ().

Namų darbai

Išsprendę problemas už šią pamoką, galite pasiruošti BIA 1 klausimams ir vieningo valstybinio egzamino A1, A2 klausimams.

1. 92, 94, 98, 106, 110 uždaviniai – Šešt. problemų A.P. Rymkevičius, red. 10
2. Apskaičiuokite laikrodžio minučių, sekundžių ir valandų rodyklės kampinį greitį. Apskaičiuokite įcentrinį pagreitį, veikiantį šių rodyklių galiukus, jei kiekvieno spindulys yra vienas metras.