Studijuodami visų mokslų karalienę – matematiką, visi kažkuriuo metu susiduria su trupmenomis. Nors ši sąvoka (kaip ir pačios trupmenų rūšys ar matematiniai veiksmai su jais) nėra visai sudėtinga, ją reikia vertinti atsargiai, nes tikras gyvenimas Tai bus labai naudinga už mokyklos ribų. Taigi, atnaujinkime savo žinias apie trupmenas: kas jos yra, kam jos skirtos, kokios jos rūšys ir kaip su jomis daryti skirtingus dalykus aritmetines operacijas.
Jos Didenybės frakcija: kas tai
Matematikos trupmenos yra skaičiai, kurių kiekvienas susideda iš vienos ar daugiau vieneto dalių. Tokios trupmenos dar vadinamos paprastosiomis arba paprastomis. Paprastai jie rašomi kaip du skaičiai, kuriuos skiria horizontali arba pasviroji linija, tai vadinama „trupmenine“ linija. Pavyzdžiui: ½, ¾.
Viršutinis arba pirmasis iš šių skaičių yra skaitiklis (rodo, kiek dalių paimta iš skaičiaus), o apatinis, arba antrasis, yra vardiklis (parodo, į kiek dalių padalintas vienetas).
Trupmenų juosta iš tikrųjų veikia kaip padalijimo ženklas. Pavyzdžiui, 7:9 = 7/9
Tradiciškai paprastosios trupmenos yra mažesnės už vieną. Nors po kablelio skaičius gali būti didesnis už jį.
Kam skirtos trupmenos? Taip viskam, nes in realus pasaulis Ne visi skaičiai yra sveikieji skaičiai. Pavyzdžiui, dvi moksleivės kavinėje kartu nusipirko vieną skanų šokoladinį plytelę. Kai ketino pasidalinti desertu, jie susitiko su drauge ir nusprendė pavaišinti ir ją. Tačiau dabar reikia teisingai padalinti šokolado plytelę, atsižvelgiant į tai, kad ji susideda iš 12 kvadratų.
Iš pradžių merginos norėjo viską padalyti po lygiai, o vėliau kiekviena gaudavo po keturis gabalus. Tačiau gerai pagalvoję, jie nusprendė pavaišinti savo draugą ne 1/3, o 1/4 šokolado. O kadangi moksleivės prastai mokėsi trupmenas, tai jos neatsižvelgė, kad tokioje situacijoje liks 9 kūriniai, kuriuos labai sunku padalyti į dvi. Šis gana paprastas pavyzdys parodo, kaip svarbu mokėti teisingai rasti skaičiaus dalį. Bet gyvenime panašių atvejų daug daugiau.
Trupmenų tipai: paprastoji ir dešimtainė
Visi matematines trupmenas yra suskirstyti į dvi dideles kategorijas: paprastąjį ir dešimtainį. Pirmojo iš jų savybės buvo aprašytos ankstesnėje pastraipoje, todėl dabar verta atkreipti dėmesį į antrąją.
Dešimtainė yra skaičiaus trupmenos pozicinis žymėjimas, parašytas raštu, atskirtas kableliu, be brūkšnelio ar pasvirojo brūkšnio. Pavyzdžiui: 0,75, 0,5.
Tiesą sakant dešimtainis yra identiškas įprastam, tačiau jo vardiklis visada yra vienas, po kurio seka nuliai – iš čia kilęs jo pavadinimas.
Skaičius prieš dešimtainį tašką yra visa dalis, o viskas po jo yra trupmeninė dalis. man tai patinka paprastoji trupmena galima konvertuoti į dešimtainę. Taigi, ankstesniame pavyzdyje nurodytas dešimtaines trupmenas galima parašyti kaip įprasta: ¾ ir ½.
Verta paminėti, kad tiek dešimtainės, tiek paprastosios trupmenos gali būti teigiamos arba neigiamos. Jei prieš juos yra ženklas „-“, duota trupmena neigiamas, jei "+" - tada teigiamas.
Paprastųjų trupmenų porūšiai
Yra tokių paprastųjų trupmenų tipų.
Dešimtainės trupmenos potipiai
Skirtingai nuo paprastosios trupmenos, dešimtainė trupmena skirstoma tik į 2 tipus.
- Galutinis – šį pavadinimą gavo dėl to, kad po kablelio jame yra ribotas (baigtinis) skaitmenų skaičius: 19.25.
- Begalinė trupmena yra skaičius su begaliniu skaičiumi skaitmenų po kablelio. Pavyzdžiui, padalijus 10 iš 3, gaunamas rezultatas begalinė trupmena 3,333…
Trupmenų pridėjimas
Atlikti įvairias aritmetines manipuliacijas su trupmenomis yra šiek tiek sunkiau nei su trupmenomis įprasti skaičiai. Tačiau jei suprasite pagrindines taisykles, jomis išspręsti bet kokį pavyzdį nebus sunku.
Pavyzdžiui: 2/3+3/4. Mažiausias bendras jų kartotinis bus 12, todėl būtina, kad šis skaičius būtų kiekviename vardiklyje. Norėdami tai padaryti, padauginame pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 4, pasirodo 8/12, tą patį darome su antruoju nariu, bet padauginame tik iš 3 - 9/12. Dabar galite lengvai išspręsti pavyzdį: 8/12+9/12= 17/12. Gauta trupmena yra neteisinga reikšmė, nes skaitiklis yra didesnis už vardiklį. Jį galima ir reikia paversti teisingu mišriu, padalijus 17:12 = 1 ir 5/12.
Sudėjus mišrias trupmenas, operacijos pirmiausia atliekamos su sveikais skaičiais, o po to su trupmenomis.
Jei pavyzdyje yra dešimtainė trupmena ir reguliarioji trupmena, būtina padaryti abi paprastas, tada suvesti į tą patį vardiklį ir pridėti. Pavyzdžiui, 3.1+1/2. Skaičius 3.1 gali būti parašytas kaip mišri frakcija 3 ir 1/10 arba kaip neteisinga – 31/10. Bendras terminų vardiklis bus 10, todėl 1/2 skaitiklį ir vardiklį reikia padauginti iš 5 pakaitomis, gausite 5/10. Tada nesunkiai viską suskaičiuosi: 31/10+5/10=35/10. Gautas rezultatas yra netinkama redukuojama trupmena, ją sumažiname iki normali išvaizda, mažinant 5: 7/2 = 3 ir 1/2, arba dešimtainė - 3,5.
Sudedant 2 trupmenas po kablelio, svarbu, kad po kablelio būtų vienodas skaitmenų skaičius. Jei taip nėra, tereikia pridėti reikalingas kiekis nuliai, nes dešimtainėmis trupmenomis tai galima padaryti neskausmingai. Pavyzdžiui, 3,5+3,005. Norėdami išspręsti šią problemą, prie pirmojo skaičiaus turite pridėti 2 nulius, o tada pridėti po vieną: 3.500+3.005=3.505.
Trupmenų atėmimas
Atimant trupmenas reikia daryti taip pat, kaip ir pridedant: sumažinti iki bendras vardiklis, atimkite vieną skaitiklį iš kito ir, jei reikia, paverskite rezultatą į mišrią trupmeną.
Pavyzdžiui: 16/20-5/10. Bendras vardiklis bus 20. Antrąją trupmeną reikia privesti prie šio vardiklio, abi jos dalis padauginus iš 2, gausite 10/20. Dabar galite išspręsti pavyzdį: 16/20-10/20= 6/20. Tačiau šis rezultatas galioja redukuojamoms trupmenoms, todėl verta padalyti abi puses iš 2 ir gaunamas 3/10.
Trupmenų dauginimas
Trupmenų dalyba ir daugyba yra daug paprastesnės operacijos nei sudėjimas ir atėmimas. Faktas yra tas, kad atliekant šias užduotis nereikia ieškoti bendro vardiklio.
Norėdami padauginti trupmenas, tiesiog reikia padauginti abu skaitiklius po vieną, o tada abu vardiklius. Sumažinkite gautą rezultatą, jei frakcija yra sumažinamas kiekis.
Pavyzdžiui: 4/9x5/8. Po pakaitinio daugybos rezultatas yra 4x5/9x8=20/72. Šią trupmeną galima sumažinti 4, todėl galutinis atsakymas pavyzdyje yra 5/18.
Kaip padalinti trupmenas
Trupmenų padalijimas taip pat yra paprastas veiksmas, vis tiek reikia jas padauginti. Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, turite apversti antrąją ir padauginti iš pirmosios.
Pavyzdžiui, dalijant trupmenas 5/19 ir 5/7. Norėdami išspręsti pavyzdį, turite sukeisti antrosios trupmenos vardiklį ir skaitiklį ir padauginti: 5/19x7/5=35/95. Rezultatą galima sumažinti 5 – pasirodo 7/19.
Jei reikia padalyti trupmeną iš pirminio skaičiaus, technika šiek tiek skiriasi. Iš pradžių turėtumėte parašyti šį skaičių kaip netinkamą trupmeną, o tada padalinti pagal tą pačią schemą. Pavyzdžiui, 2/13:5 turėtų būti parašytas kaip 2/13: 5/1. Dabar reikia apversti 5/1 ir gautas trupmenas padauginti: 2/13x1/5= 2/65.
Kartais tenka padalyti mišrias trupmenas. Su jais reikia elgtis taip, kaip su sveikaisiais skaičiais: paverskite juos netinkamomis trupmenomis, apverskite daliklį ir viską padauginkite. Pavyzdžiui, 8 ½: 3. Viską paverskite netinkamos trupmenos: 17/2: 3/1. Po to seka 3/1 apvertimas ir daugyba: 17/2x1/3= 17/6. Dabar reikia konvertuoti netinkamą trupmeną į teisingą - 2 sveikos ir 5/6.
Taigi, išsiaiškinus, kas yra trupmenos ir kaip su jomis galima atlikti įvairias aritmetines operacijas, reikia pasistengti to nepamiršti. Juk žmonės visada yra labiau linkę ką nors skaidyti į dalis, nei pridėti, todėl reikia mokėti tai daryti teisingai.
Gyvenime su trupmenomis susiduriame daug anksčiau, nei pradedame jas mokytis mokykloje. Jei visą obuolį perpjauname per pusę, gauname ½ vaisių. Supjaustykime dar kartą – bus ¼. Tai trupmenos. Ir viskas atrodė paprasta. Suaugusiam žmogui. Vaikui (ir ši tema pradėti mokytis pabaigoje jaunesnioji mokykla) abstraktus matematines sąvokas vis dar yra bauginančiai nesuprantami, o mokytojas turi aiškiai paaiškinti, kas yra tinkama ir netinkama trupmena, paprastoji ir dešimtainė, kokias operacijas su jais galima atlikti ir, svarbiausia, kam viso to reikia.
Kas yra trupmenos?
Susipažinimas nauja tema mokykloje pradedama paprastosiomis trupmenomis. Juos nesunku atpažinti iš horizontalios linijos, skiriančios du skaičius – viršuje ir apačioje. Viršutinė vadinama skaitikliu, o apatinė – vardikliu. Taip pat yra mažųjų raidžių parinktis, skirta rašyti netinkamas ir tinkamas paprastas trupmenas - per pasvirąjį brūkšnį, pavyzdžiui: ½, 4/9, 384/183. Ši parinktis naudojama, kai linijos aukštis yra ribotas ir negalima naudoti „dviejų aukštų“ įvesties formos. Kodėl? Taip, nes taip patogiau. Tai pamatysime šiek tiek vėliau.
Be paprastųjų trupmenų, yra ir dešimtainių trupmenų. Juos atskirti labai paprasta: jei vienu atveju naudojamas horizontalus arba pasvirasis brūkšnys, tai kitu skaičių sekoms atskirti kablelis. Pažiūrėkime į pavyzdį: 2,9; 163,34; 1.953. Skaičiams atskirti tyčia naudojome kabliataškį kaip skyriklį. Pirmasis iš jų skambės taip: „du taškai devyni“.
Naujos koncepcijos
Grįžkime prie paprastųjų trupmenų. Jie būna dviejų tipų.
Tinkamos trupmenos apibrėžimas yra toks: tai trupmena, kurios skaitiklis mažiau nei vardiklis. Kodėl tai svarbu? Pamatysime dabar!
Turite kelis obuolius, perpjautus per pusę. Viso - 5 dalys. Kaip pasakytumėte: ar turite „du su puse“ ar „penki su puse“ obuolių? Žinoma, pirmasis variantas skamba natūraliau, ir mes jį naudosime kalbėdami su draugais. Bet jei reikia paskaičiuoti, kiek vaisių gaus kiekvienas žmogus, jei įmonėje yra penki žmonės, užrašysime skaičių 5/2 ir padalinsime iš 5 - matematiniu požiūriu tai bus aiškiau .
Taigi, norint pavadinti tinkamas ir netinkamas trupmenas, galioja tokia taisyklė: jei trupmenoje galima išskirti visą dalį (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), tai ji yra netaisyklinga. Jei to negalima padaryti, kaip ½, 13/16, 9/10 atveju, tai bus teisinga.
Pagrindinė trupmenos savybė
Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis vienu metu dauginami arba dalijami iš to paties skaičiaus, jo reikšmė nesikeičia. Įsivaizduokite: jie supjaustė pyragą į 4 lygias dalis ir davė jums vieną. Tą patį pyragą jie supjaustė į aštuonias dalis ir davė jums dvi. Ar tai tikrai svarbu? Juk ¼ ir 2/8 yra tas pats!
Sumažinimas
Matematikos vadovėliuose pateikiamų problemų ir pavyzdžių autoriai dažnai siekia suklaidinti mokinius, siūlydami trupmenas, kurias sunku rašyti, bet iš tikrųjų galima sutrumpinti. Štai tinkamos trupmenos pavyzdys: 167/334, kuris, atrodytų, atrodo labai „baisus“. Bet iš tikrųjų galime parašyti kaip ½. Skaičius 334 dalijasi iš 167 be liekanos – atlikę šią operaciją gauname 2.
Mišrūs skaičiai
Netinkama trupmena gali būti pavaizduota kaip mišrus skaičius. Tai yra tada, kai visa dalis pakeliama į priekį ir parašyta horizontalios linijos lygyje. Tiesą sakant, išraiška yra sumos forma: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 ir pan.
Norėdami išimti visą dalį, skaitiklį turite padalyti iš vardiklio. Likusią padalijimo dalį parašykite viršuje, virš linijos, o visą dalį - prieš išraišką. Taigi gauname dvi struktūrines dalis: sveiki vienetai + tinkama trupmena.
Galima atlikti atvirkštinis veikimas- Norėdami tai padaryti, visą dalį turite padauginti iš vardiklio ir gautą reikšmę pridėti prie skaitiklio. Nieko sudėtingo.
Daugyba ir dalyba
Kaip bebūtų keista, trupmenas dauginti yra lengviau nei sudėti. Viskas, ko reikia, yra išplėsti horizontalią liniją: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.
Dalijant viskas taip pat paprasta: reikia padauginti trupmenas skersai: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.
Trupmenų pridėjimas
Ką daryti, jei reikia atlikti sudėjimą arba jų vardiklis yra skirtingi skaičiai? Nepavyks daryti to paties, kaip dauginant - čia turėtumėte suprasti tinkamos trupmenos apibrėžimą ir jos esmę. Būtina suvesti terminus į bendrą vardiklį, tai yra, abiejų trupmenų apačioje turi būti vienodi skaičiai.
Norėdami tai padaryti, turėtumėte naudoti pagrindinę trupmenos savybę: padauginkite abi dalis iš to paties skaičiaus. Pavyzdžiui, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.
Kaip pasirinkti, į kurį vardiklį sumažinti terminus? Tai turi būti mažiausias skaičius, kuris yra abiejų skaičių kartotinis trupmenų vardikliuose: 1/3 ir 1/9 jis bus 9; už ½ ir 1/7 - 14, nes mažesnė vertė, dalijasi iš 2 ir 7 be liekanos, neegzistuoja.
Naudojimas
Kam naudojamos netinkamos trupmenos? Juk daug patogiau iš karto išsirinkti visą dalį, gauti mišrų skaičių – ir viskas! Pasirodo, jei reikia padauginti ar padalyti dvi trupmenas, naudingiau naudoti netaisyklingas.
Paimkime sekantis pavyzdys: (2 + 3/17) / (37 / 68).
Atrodytų, išvis nėra ką kirpti. Bet ką daryti, jei pridėjimo rezultatą įrašysime pirmuose skliausteliuose kaip netinkamą trupmeną? Žiūrėkite: (37/17) / (37/68)
Dabar viskas stoja į savo vietas! Parašykime pavyzdį taip, kad viskas taptų akivaizdu: (37*68) / (17*37).
Panaikinkime 37 skaitiklyje ir vardiklyje ir galiausiai padalinkime viršutinę ir apatinę dalį iš 17. Ar prisimenate pagrindinę taisyklę dėl tinkamų ir netinkamų trupmenų? Mes galime juos padauginti ir padalyti iš bet kurio skaičiaus, jei tai darome skaitikliui ir vardikliui tuo pačiu metu.
Taigi, gauname atsakymą: 4. Pavyzdys atrodė sudėtingas, tačiau atsakyme yra tik vienas skaičius. Tai dažnai nutinka matematikoje. Svarbiausia nebijoti ir laikytis paprastų taisyklių.
Dažnos klaidos
Įgyvendindamas mokinys gali lengvai padaryti vieną iš dažniausiai pasitaikančių klaidų. Dažniausiai jie atsiranda dėl neatidumo, o kartais ir dėl to, kad tiriama medžiaga dar nebuvo tinkamai sukaupta galvoje.
Dažnai skaičių suma skaitiklyje sukelia norą sumažinti atskirus jo komponentus. Tarkime, pavyzdyje: (13 + 2) / 13, parašyta be skliaustų (su horizontalia linija), daugelis studentų dėl nepatyrimo išbraukia 13 aukščiau ir žemiau. Tačiau tai neturėtų būti daroma jokiomis aplinkybėmis, nes tai yra didelė klaida! Jei vietoj sudėjimo būtų daugybos ženklas, atsakyme gautume skaičių 2 Bet atliekant sudėjimą, neleidžiami jokie veiksmai su vienu iš terminų, tik su visa suma.
Vaikinai taip pat dažnai klysta dalindami trupmenas. Paimkime du teisingus neredukuojamos trupmenos ir padalinkite vienas iš kito: (5/6) / (25/33). Mokinys gali sumaišyti ir parašyti gautą išraišką kaip (5*25) / (6*33). Bet taip atsitiktų dauginant, bet mūsų atveju viskas bus kiek kitaip: (5*33) / (6*25). Sumažiname tai, kas įmanoma, ir atsakymas bus 11/10. Gautą neteisingą trupmeną rašome dešimtainiu – 1,1.
Skliausteliuose
Atminkite, kad bet kuriame matematines išraiškas operacijų eiliškumą lemia operacijos ženklų prioritetas ir skliaustų buvimas. Jei visi kiti dalykai yra vienodi, veiksmų tvarka skaičiuojama iš kairės į dešinę. Tai pasakytina ir apie trupmenas – išraiška skaitiklyje arba vardiklyje apskaičiuojama griežtai pagal šią taisyklę.
Juk tai vieno skaičiaus padalijimo iš kito rezultatas. Jei jie nėra tolygiai padalinti, tai tampa trupmena – tiek.
Kaip kompiuteryje parašyti trupmeną
Kadangi standartiniai įrankiai ne visada leidžia sukurti trupmeną, susidedančią iš dviejų „pakopų“, studentai kartais griebiasi įvairių gudrybių. Pavyzdžiui, jie nukopijuoja skaitiklius ir vardiklius į „Paint“ grafinę redagavimo priemonę ir sujungia juos, piešdami tarp jų. horizontali linija. Žinoma, yra ir paprastesnis variantas, kuris, beje, suteikia daug papildomos funkcijos, kuris jums bus naudingas ateityje.
Atidarykite „Microsoft Word“. Viena iš ekrano viršuje esančių skydelių vadinama „Įterpti“ – spustelėkite ją. Dešinėje, toje pusėje, kur yra lango uždarymo ir sumažinimo piktogramos, yra mygtukas „Formulė“. Tai yra būtent tai, ko mums reikia!
Jei naudosite šią funkciją, ekrane atsiras stačiakampė sritis, kurioje galėsite naudoti bet kurią matematiniai ženklai, trūksta klaviatūroje, taip pat rašykite trupmenas klasikine forma. Tai yra, skaitiklio ir vardiklio padalijimas horizontalia linija. Galbūt net nustebsite, kad tokią tinkamą trupmeną taip lengva užrašyti.
Išmok matematikos
Jei esate 5–6 klasėse, netrukus matematikos žinių (įskaitant gebėjimą dirbti su trupmenomis!) prireiks daugelyje. mokykliniai dalykai. Beveik bet kurioje fizikos užduotyje, matuojant medžiagų masę chemijoje, geometrijoje ir trigonometrijoje, neapsieisite be trupmenų. Netrukus išmoksite viską skaičiuoti mintyse, net nerašydami posakių ant popieriaus, bet vis daugiau sudėtingų pavyzdžių. Todėl sužinokite, kas yra tinkama trupmena ir kaip su ja dirbti, neatsilikti mokymo programa, atlikite namų darbus laiku ir jums pavyks.
Bendrosios trupmenos skirstomos į \textit (tinkamąsias) ir \textit (netinkamas) trupmenas. Šis skirstymas pagrįstas skaitiklio ir vardiklio palyginimu.
Tinkamos trupmenos
Tinkama trupmena paskambino bendroji trupmena$\frac(m)(n)$, kurio skaitiklis mažesnis už vardiklį, t.y. mln. USD
1 pavyzdys
Pavyzdžiui, trupmenos $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ yra teisingos , taigi kaip kiekviename iš jų skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, kuris atitinka tinkamos trupmenos apibrėžimą.
Yra tinkamos trupmenos apibrėžimas, pagrįstas trupmenos palyginimu su viena.
teisinga, jei jis mažesnis nei vienas:
2 pavyzdys
Pavyzdžiui, bendroji trupmena $\frac(6)(13)$ yra tinkama, nes Sąlyga $\frac(6)(13) tenkinama
Netinkamos trupmenos
Netinkama trupmena yra paprastoji trupmena $\frac(m)(n)$, kurios skaitiklis yra didesnis nei arba lygus vardikliui, t.y. $m\ge n$.
3 pavyzdys
Pavyzdžiui, trupmenos $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ yra netaisyklingos , taigi kaip kiekviename iš jų skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui, kuris atitinka netinkamosios trupmenos apibrėžimą.
Pateiksime netinkamos trupmenos apibrėžimą, kuris paremtas jos palyginimu su viena.
Paprastoji trupmena $\frac(m)(n)$ yra negerai, jei jis yra lygus arba didesnis už vieną:
\[\frac(m)(n)\ge 1\]
4 pavyzdys
Pavyzdžiui, bendroji trupmena $\frac(21)(4)$ yra netinkama, nes tenkinama sąlyga $\frac(21)(4) >1$;
bendroji trupmena $\frac(8)(8)$ yra netinkama, nes įvykdyta sąlyga $\frac(8)(8)=1$.
Pažvelkime atidžiau į netinkamos trupmenos sąvoką.
Kaip pavyzdį paimkime netinkamą trupmeną $\frac(7)(7)$. Šios trupmenos reikšmė yra paimti septynias objekto dalis, kurios yra padalintos į septynias lygias dalis. Taigi iš septynių turimų akcijų galima sudaryti visą objektą. Tie. neteisinga trupmena $\frac(7)(7)$ aprašo visa tema ir $\frac(7)(7)=1$. Taigi netinkamosios trupmenos, kuriose skaitiklis lygus vardikliui, apibūdina vieną visą objektą ir tokią trupmeną galima pakeisti natūraliuoju skaičiumi $1$.
$\frac(5)(2)$ - visiškai akivaizdu, kad iš šių penkių antrųjų dalių galite sudaryti $2$ pilnus objektus (vienas visas objektas bus sudarytas iš $2$ dalių, o norint sudaryti du ištisus objektus reikia $2+2=4$ akcijų) ir lieka viena antra dalis. Tai yra, netinkama trupmena $\frac(5)(2)$ apibūdina $2$ objekto ir $\frac(1)(2)$ šio objekto dalį.
$\frac(21)(7)$ – iš dvidešimt vienos septintosios dalių galite padaryti $3$ pilnus objektus ($3$ objektus su $7$ dalimis kiekviename). Tie. trupmena $\frac(21)(7)$ apibūdina $3$ ištisus objektus.
Iš nagrinėtų pavyzdžių galima daryti išvadą sekantis išėjimas: Netinkama trupmena gali būti pakeista natūraliuoju skaičiumi, jei skaitiklis dalijasi iš vardiklio (pvz., $\frac(7)(7)=1$ ir $\frac(21)(7)=3$, arba suma natūralusis skaičius ir tinkama trupmena, jei skaitiklis nevisiškai dalijasi iš vardiklio (pavyzdžiui, $\ \frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$). Štai kodėl tokios trupmenos vadinamos negerai.
1 apibrėžimas
Netinkamos trupmenos vaizdavimo kaip natūraliojo skaičiaus ir tinkamos trupmenos (pavyzdžiui, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) procesas vadinamas atskiriant visą dalį nuo netinkamos trupmenos.
Dirbant su netinkamomis trupmenomis galima pastebėti glaudus ryšys tarp jų ir mišrūs skaičiai.
Netinkama trupmena dažnai rašoma kaip mišrus skaičius – skaičius, kurį sudaro sveikoji dalis ir trupmenos dalis.
Norėdami parašyti neteisingą trupmeną kaip mišrų skaičių, turite padalyti skaitiklį iš vardiklio su liekana. Dalinys bus sveikoji mišraus skaičiaus dalis, likusi dalis bus trupmeninės dalies skaitiklis, o daliklis bus trupmeninės dalies vardiklis.
5 pavyzdys
Netinkamą trupmeną $\frac(37)(12)$ parašykite kaip mišrų skaičių.
Sprendimas.
Padalinkite skaitiklį iš vardiklio su likučiu:
\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (likutis\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]
Atsakymas.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.
Norėdami parašyti mišrų skaičių kaip netinkamą trupmeną, vardiklį reikia padauginti iš visos skaičiaus dalies, prie gautos sandaugos pridėti trupmeninės dalies skaitiklį, o gautą sumą įrašyti į trupmenos skaitiklį. Netinkamos trupmenos vardiklis bus lygus mišraus skaičiaus trupmeninės dalies vardikliui.
6 pavyzdys
Mišrų skaičių $5\frac(3)(7)$ parašykite kaip netinkamą trupmeną.
Sprendimas.
Atsakymas.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.
Mišriųjų skaičių ir tinkamų trupmenų pridėjimas
Mišraus skaičiaus papildymas$a\frac(b)(c)$ ir tinkama trupmena$\frac(d)(e)$ atliekama prie duotosios trupmenos pridedant tam tikro mišraus skaičiaus trupmeninę dalį:
7 pavyzdys
Pridėkite tinkamą trupmeną $\frac(4)(15)$ ir mišrų skaičių $3\frac(2)(5)$.
Sprendimas.
Naudokime mišraus skaičiaus ir tinkamos trupmenos pridėjimo formulę:
\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ left(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]
Padalinę iš skaičiaus \textit(5) galime nustatyti, kad trupmena $\frac(10)(15)$ yra redukuojama. Atlikime sumažinimą ir suraskime pridėjimo rezultatą:
Taigi, tinkamos trupmenos $\frac(4)(15)$ ir mišraus skaičiaus $3\frac(2)(5)$ pridėjimo rezultatas yra $3\frac(2)(3)$.
Atsakymas:$3\frac(2)(3)$
Sumaišyti skaičiai ir netinkamos trupmenos
Netinkamų trupmenų ir mišrių skaičių pridėjimas sumažinama iki dviejų mišrių skaičių pridėjimo, kuriam pakanka atskirti visą dalį nuo netinkamos trupmenos.
8 pavyzdys
Apskaičiuokite mišraus skaičiaus $6\frac(2)(15)$ ir neteisingos trupmenos $\frac(13)(5)$ sumą.
Sprendimas.
Pirmiausia išskirkime sveikąją dalį iš netinkamos trupmenos $\frac(13)(5)$:
Atsakymas:$8\frac(11)(15)$.
Žodis „frakcijos“ daugeliui žmonių sukelia žąsų odą. Nes prisimenu mokyklą ir užduotis, kurios buvo sprendžiamos iš matematikos. Tai buvo pareiga, kurią reikėjo įvykdyti. O kas, jei problemas, susijusias su tinkamomis ir netinkamomis trupmenomis, spręstumėte kaip galvosūkį? Juk daugelis suaugusiųjų sprendžia skaitmeninius ir japoniškus kryžiažodžius. Mes išsiaiškinome taisykles, ir viskas. Čia tas pats. Tereikia įsigilinti į teoriją – ir viskas stos į savo vietas. Ir pavyzdžiai taps būdu lavinti savo smegenis.
Kokių tipų trupmenos yra?
Pradėkime nuo to, kas tai yra. Trupmena yra skaičius, turintis tam tikrą vieneto dalį. Jis gali būti parašytas dviem formomis. Pirmasis vadinamas įprastu. Tai yra tas, kuris turi horizontalią arba pasvirusią liniją. Jis prilygsta padalijimo ženklui.
Šiame žymėjime virš eilutės esantis skaičius vadinamas skaitikliu, o po juo esantis skaičius – vardikliu.
Tarp paprastųjų trupmenų išskiriamos tinkamos ir netinkamos trupmenos. Pirmųjų atveju absoliuti skaitiklio reikšmė visada yra mažesnė už vardiklį. Neteisieji taip vadinami, nes pas juos viskas atvirkščiai. Tinkamos trupmenos reikšmė visada yra mažesnė už vienetą. Nors neteisingas skaičius visada yra didesnis už šį skaičių.
Taip pat yra mišrių skaičių, ty tų, kurie turi sveikąjį skaičių ir trupmeninę dalį.
Antrasis žymėjimo tipas yra dešimtainė trupmena. Apie ją yra atskiras pokalbis.
Kuo neteisingosios trupmenos skiriasi nuo mišrių skaičių?
Iš esmės nieko. Tai tik skirtingi to paties numerio įrašai. Netinkamos trupmenos lengvai tampa mišriais skaičiais atlikus paprastus veiksmus. Ir atvirkščiai.
Viskas priklauso nuo konkrečią situaciją. Kartais užduotyse patogiau naudoti netinkamą trupmeną. O kartais reikia konvertuoti į mišrų skaičių ir tada pavyzdys bus išspręstas labai lengvai. Todėl ką naudoti: netinkamas trupmenas, mišrius skaičius, priklauso nuo problemą sprendžiančio žmogaus stebėjimo įgūdžių.
Mišrus skaičius taip pat lyginamas su visos dalies ir trupmeninės dalies suma. Be to, antrasis visada yra mažesnis už vieną.
Kaip mišrų skaičių pavaizduoti kaip netinkamą trupmeną?
Jei reikia atlikti bet kokį veiksmą su keliais įrašytais skaičiais skirtingų tipų, tuomet juos reikia padaryti vienodus. Vienas iš būdų yra vaizduoti skaičius kaip netinkamas trupmenas.
Šiuo tikslu turėsite atlikti šį algoritmą:
- padauginkite vardiklį iš visos dalies;
- prie rezultato pridėkite skaitiklio reikšmę;
- užrašykite atsakymą virš eilutės;
- vardiklį palikite tą patį.
Štai pavyzdžiai, kaip rašyti netinkamas trupmenas iš mišrių skaičių:
- 17 ¼ = (17 x 4 + 1): 4 = 69/4;
- 39 ½ = (39 x 2 + 1): 2 = 79/2.
Kaip parašyti neteisingą trupmeną kaip mišrų skaičių?
Kitas metodas yra priešingas aukščiau aptartam. Tai yra, kai visi mišrūs skaičiai pakeičiami netinkamomis trupmenomis. Veiksmų algoritmas bus toks:
- padalykite skaitiklį iš vardiklio, kad gautumėte likutį;
- vietoj visos sumaišytos dalies parašykite koeficientą;
- likusi dalis turi būti dedama virš linijos;
- daliklis bus vardiklis.
Tokios transformacijos pavyzdžiai:
76/14; 76:14 = 5 su likusia 6; atsakymas bus 5 sveiki ir 6/14; trupmeninė dalisšiame pavyzdyje reikia sumažinti 2, gausite 3/7; galutinis atsakymas – 5 balai 3/7.
108/54; padalijus, dalinys 2 gaunamas be liekanos; tai reiškia, kad ne visos netinkamos trupmenos gali būti pateikiamos kaip mišrus skaičius; atsakymas bus sveikasis skaičius – 2.
Kaip sveikąjį skaičių paversti netinkamąja trupmena?
Būna situacijų, kai toks veiksmas yra būtinas. Norėdami gauti netinkamas trupmenas su žinomu vardikliu, turėsite atlikti šį algoritmą:
- sveikąjį skaičių padauginkite iš norimo vardiklio;
- parašykite šią reikšmę virš eilutės;
- po juo padėkite vardiklį.
Paprasčiausias variantas, kai vardiklis lygus vienam. Tada nieko dauginti nereikia. Pakanka tiesiog parašyti sveikąjį skaičių, pateiktą pavyzdyje, ir įdėti vieną po eilute.
Pavyzdys: Padarykite 5 netinkamą trupmeną, kurios vardiklis yra 3. Padauginus 5 iš 3, gaunama 15. Šis skaičius bus vardiklis. Užduoties atsakymas yra trupmena: 15/3.
Du būdai spręsti problemas su skirtingais skaičiais
Pavyzdyje reikia apskaičiuoti sumą ir skirtumą, taip pat dviejų skaičių sandaugą ir koeficientą: 2 sveikieji skaičiai 3/5 ir 14/11.
Pirmuoju požiūriu mišrus skaičius bus pateiktas kaip netinkama trupmena.
Atlikę aukščiau aprašytus veiksmus gausite tokią reikšmę: 13/5.
Norėdami sužinoti sumą, turite sumažinti trupmenas iki tas pats vardiklis. 13/5 padauginus iš 11 tampa 143/55. O 14/11 padauginus iš 5 atrodys taip: 70/55. Norėdami apskaičiuoti sumą, tereikia sudėti skaitiklius: 143 ir 70, o tada užrašykite atsakymą vienu vardikliu. 213/55 – ši netinkama trupmena yra problemos sprendimas.
Surandant skirtumą atimami tie patys skaičiai: 143 - 70 = 73. Atsakymas bus trupmena: 73/55.
Dauginant iš 13/5 ir 14/11, nereikia jų mažinti iki bendro vardiklio. Pakanka skaitiklius ir vardiklius padauginti poromis. Atsakymas bus toks: 182/55.
Tas pats pasakytina ir apie padalijimą. Už teisingas sprendimas dalybą reikia pakeisti daugyba ir apversti daliklį: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.
Antruoju požiūriu neteisinga trupmena tampa mišriu skaičiumi.
Atlikus algoritmo veiksmus, 14/11 pavirs mišriu skaičiumi, kurio sveikoji dalis yra 1, o trupmeninė dalis – 3/11.
Skaičiuojant sumą, reikia atskirai sudėti visą ir trupmeninę dalis. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Galutinis atsakymas yra 3 taškai 48/55. Pirmuoju priėjimu trupmena buvo 213/55. Jo teisingumą galite patikrinti konvertuodami į mišrų skaičių. Padalijus 213 iš 55, koeficientas yra 3, o likusioji dalis yra 48. Nesunku pastebėti, kad atsakymas teisingas.
Atimant, „+“ ženklas pakeičiamas „-“. 2 – 1 = 1, 33/55 – 15/55 = 18/55. Norėdami patikrinti, ankstesnio metodo atsakymą reikia paversti mišriu skaičiumi: 73 padalintas iš 55, o koeficientas yra 1, o likusioji dalis yra 18.
Norint rasti sandaugą ir koeficientą, nepatogu naudoti mišrius skaičius. Čia visada rekomenduojama pereiti prie netinkamų trupmenų.
Paprasta matematines taisykles o technikos, jei jos nenaudojamos nuolat, pasimiršta greičiausiai. Terminai dar greičiau dingsta iš atminties.
Vienas iš šių paprasti veiksmai– netinkamosios trupmenos pavertimas tinkama arba, kitaip tariant, mišriąja trupmena.
Netinkama trupmena
Netinkama trupmena yra tokia, kurios skaitiklis (skaičius virš eilutės) yra didesnis arba lygus vardikliui (skaičius po linija). Ši trupmena gaunama sudėjus trupmenas arba padauginus trupmeną iš sveikojo skaičiaus. Pagal matematikos taisykles tokia trupmena turi būti paversta tinkama.
Tinkama trupmena
Logiška manyti, kad visos kitos trupmenos vadinamos tinkamomis. Griežtas apibrėžimas yra tas, kad trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už jos vardiklį, vadinama tinkama. Trupmena, turinti sveikąją dalį, kartais vadinama mišria trupmena.
Netinkamos trupmenos pavertimas tinkama trupmena
- Pirmasis atvejis: skaitiklis ir vardiklis yra lygūs vienas kitam. Bet kurios tokios trupmenos konvertavimo rezultatas yra vienas. Nesvarbu, ar tai trys trečdaliai, ar šimtas dvidešimt penki šimtas dvidešimt penktadaliai. Iš esmės tokia trupmena reiškia skaičiaus padalijimą iš savęs.
- Antrasis atvejis: skaitiklis didesnis už vardiklį. Čia reikia prisiminti skaičių padalijimo su liekana metodą.
Norėdami tai padaryti, turite rasti skaičių, artimiausią skaitiklio reikšmei, kuris dalijasi iš vardiklio be liekanos. Pavyzdžiui, jūs turite devyniolika trečdalių trupmeną. Dauguma uždaryti numerį kurį galima padalyti iš trijų yra aštuoniolika. Tai šeši. Dabar atimkite gautą skaičių iš skaitiklio. Mes gauname vieną. Tai yra likusi dalis. Užrašykite konvertavimo rezultatą: šešis sveikus ir vieną trečdalį.
Tačiau prieš mažinant trupmeną iki tinkamos rūšies, reikia patikrinti, ar galima jį sutrumpinti.
Sumažinti trupmeną galima, jei skaitiklis ir vardiklis turi bendras daliklis. Tai yra skaičius, iš kurio abu dalijasi be liekanos. Jei tokių daliklių yra keletas, reikia rasti didžiausią.
Pavyzdžiui, visi lyginiai skaičiai turi tokį bendrą daliklį – du. O trupmena šešiolika dvyliktosios turi dar vieną bendrą daliklį – keturis. Tai didžiausias daliklis. Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš keturių. Sumažinimo rezultatas: keturi trečdaliai. Dabar, kaip praktika, konvertuokite šią trupmeną į tinkamą trupmeną.
