f функц нь тэгш байдлыг хангаж чадах уу? Тэгш ба сондгой функцууд

Тэр ч байтугай функц.

Тэр ч байтугайтэмдэг өөрчлөгдөхөд тэмдэг нь өөрчлөгддөггүй функц юм x.

xтэгш байдал хадгалагдана е(–x) = е(x). Гарын үсэг зурах xтэмдэгт нөлөөлөхгүй y.

Тэгш функцийн график нь координатын тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна (Зураг 1).

Тэгш функцийн жишээ:

y=cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Тайлбар:
Функцийг авч үзье y = x 2 эсвэл y = –x 2 .
Аливаа үнэ цэнийн хувьд xфункц эерэг байна. Гарын үсэг зурах xтэмдэгт нөлөөлөхгүй y. График нь координатын тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна. Энэ бол тэгш функц юм.

Хачирхалтай функц.

Хачирхалтайтэмдэг өөрчлөгдөхөд тэмдэг нь өөрчлөгддөг функц юм x.

Өөрөөр хэлбэл аливаа үнэ цэнийн хувьд xтэгш байдал хадгалагдана е(–x) = –е(x).

Сондгой функцийн график нь эхийн хувьд тэгш хэмтэй байна (Зураг 2).

Хачирхалтай функцүүдийн жишээ:

y= нүгэл x

y = x 3

y = –x 3

Тайлбар:

y = – функцийг авч үзье. x 3 .
Бүх утга цагтЭнэ нь хасах тэмдэгтэй болно. Энэ бол шинж тэмдэг юм xтэмдэгт нөлөөлдөг y. Хэрэв бие даасан хувьсагч нь эерэг тоо бол функц эерэг, хэрэв бие даасан хувьсагч бол эерэг байна сөрөг тоо, тэгвэл функц сөрөг байна: е(–x) = –е(x).
Функцийн график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Энэ бол хачирхалтай функц юм.

Тэгш ба сондгой функцүүдийн шинж чанарууд:

ЖИЧ:

Бүх функцууд тэгш эсвэл сондгой байдаггүй. Ийм зэрэглэлд захирагддаггүй функцүүд байдаг. Жишээлбэл, root функц цагт = √Xтэгш эсвэл сондгой функцэд хамаарахгүй (Зураг 3). Ийм функцүүдийн шинж чанарыг жагсаахдаа тохирох тайлбарыг өгөх ёстой: тэгш эсвэл сондгой биш.

Тогтмол функцууд.

Та бүхний мэдэж байгаагаар үе үе гэдэг нь тодорхой процессуудын тодорхой интервалаар давтагдах явдал юм. Эдгээр үйл явцыг дүрсэлсэн функцуудыг нэрлэдэг үечилсэн функцууд. Өөрөөр хэлбэл эдгээр нь графикуудад тодорхой тоон интервалаар давтагдах элементүүд байдаг функцууд юм.

Функцийн тэгш ба сондгой байдал нь түүний үндсэн шинж чанаруудын нэг бөгөөд паритет нь гайхалтай хэсгийг эзэлдэг сургуулийн курсматематикт. Энэ нь функцийн үйл ажиллагааг ихээхэн тодорхойлж, харгалзах графикийг бүтээхэд ихээхэн хөнгөвчилдөг.

Функцийн паритетийг тодорхойлъё. Ерөнхийдөө, судалж буй функц нь түүний тодорхойлолтын мужид байрлах бие даасан хувьсагчийн (x) эсрэг утгуудын хувьд y (функц) -ийн харгалзах утгууд тэнцүү байсан ч гэж үздэг.

Илүү хатуу тодорхойлолт өгье. D домэйнд тодорхойлогдсон зарим f (x) функцийг авч үзье. Тодорхойлолтын мужид байрлах дурын x цэгийн хувьд энэ нь тэгш байх болно:

• -x (эсрэг цэг) мөн энэ хүрээнд оршдог,

• f(-x) = f(x).

Дээрх тодорхойлолтоос ийм функцийг тодорхойлох мужид шаардлагатай нөхцөл, тухайлбал координатын эх үүсвэр болох О цэгийн тэгш хэм, тэгш хэмийн тодорхойлолтын мужид зарим b цэг агуулагдаж байгаа тул дагалддаг. функц байгаа бол харгалзах цэг b нь мөн энэ домэйнд оршдог. Иймээс дээрхээс дүгнэлт гарч байна: тэгш функц нь ординатын тэнхлэгтэй (Ой) тэгш хэмтэй хэлбэртэй байна.

Практикт функцийн паритетийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Үүнийг h(x)=11^x+11^(-x) томъёогоор тодорхойл. Тодорхойлолтоос шууд гарах алгоритмын дагуу бид эхлээд түүний тодорхойлолтын хүрээг шалгана. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь аргументийн бүх утгын хувьд тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл эхний нөхцөл хангагдсан байна.

Дараагийн алхам бол аргументыг (x) түүгээр орлуулах явдал юм эсрэг утгатай(-x).
Бид авах:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Нэмэлт нь солих (коммутатив) хуулийг хангаж байгаа тул h(-x) = h(x) байх нь ойлгомжтой бөгөөд өгөгдсөн функциональ хамаарал тэгш байна.

h(x)=11^x-11^(-x) функцийн паритетийг шалгая. Ижил алгоритмын дагуу бид h(-x) = 11^(-x) -11^x-г авна. Хасах талыг нь авч үзвэл эцэст нь бидэнд байна
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Тиймээс h(x) сондгой байна.

Дашрамд хэлэхэд, эдгээр шалгуурын дагуу ангилах боломжгүй функцүүд байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй бөгөөд тэдгээрийг тэгш эсвэл сондгой гэж нэрлэдэггүй.

Функцууд ч гэсэн хэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг:

• ижил төстэй функцүүдийг нэмсний үр дүнд тэд нэг жигд функцийг авдаг;
• ийм функцийг хассаны үр дүнд тэгш нэгийг олж авна;
• тэгш, бас бүр;
• ийм хоёр функцийг үржүүлсний үр дүнд тэгш нэгийг олж авна;
• сондгой ба тэгш функцийг үржүүлсний үр дүнд сондгойг олж авна;
• сондгой ба тэгш функцийг хуваах үр дүнд сондгой нэгийг олж авна;
• ийм функцийн дериватив нь сондгой;
• Хэрэв та сондгой функцийг квадрат болговол тэгш нэгийг авна.

Функцийн паритетыг тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

g(x) = 0 гэх мэт тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд энд зүүн талтэгшитгэл нь тэгш функц тул хувьсагчийн сөрөг бус утгуудын шийдлийг олоход хангалттай байх болно. Тэгшитгэлийн үр дүнд үүссэн язгуурыг эсрэг тоонуудтай нэгтгэх ёстой. Тэдний нэг нь шалгалтад хамрагдах ёстой.

Үүнийг шийдвэрлэхэд амжилттай ашиглаж байна стандарт бус даалгаварпараметртэй.

Жишээлбэл, 2x^6-x^4-ax^2=1 тэгшитгэл нь гурван үндэстэй байх a параметрийн ямар нэг утга байна уу?

Хэрэв хувьсагч тэгшитгэлд тэгш зэрэглэлд ордогийг харгалзан үзвэл х-г - x-ээр солих нь тодорхой болно. өгөгдсөн тэгшитгэлөөрчлөгдөхгүй. Хэрэв тодорхой тоо нь түүний үндэс бол энэ нь мөн гэсэн үг юм эсрэг тоо. Дүгнэлт нь тодорхой байна: тэгээс ялгаатай тэгшитгэлийн үндэс нь түүний шийдлийн багцад "хосоор" орсон болно.

Энэ тоо нь өөрөө 0 биш, өөрөөр хэлбэл ийм тэгшитгэлийн язгуурын тоо зөвхөн тэгш байж болох бөгөөд мэдээжийн хэрэг параметрийн аль ч утгын хувьд гурван үндэстэй байж болохгүй.

Гэхдээ 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 тэгшитгэлийн язгуурын тоо сондгой, параметрийн дурын утгын хувьд байж болно. Үнэн хэрэгтээ, үндэс нь олонлог байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг өгөгдсөн тэгшитгэлхосолсон шийдлүүдийг агуулдаг. 0 нь үндэс мөн эсэхийг шалгацгаая. Үүнийг тэгшитгэлд орлуулахад бид 2=2 болно. Тиймээс "хосолсон" тооноос гадна 0 нь язгуур бөгөөд энэ нь тэдний сондгой тоог баталж байна.

Х-ийн утга бүр нь у-ийн нэг утгатай тохирч байх у хувьсагчийн х хувьсагчаас хамаарах хамаарлыг функц гэнэ. Тэмдэглэгээний хувьд y=f(x) тэмдэглэгээг ашиглана. Функц бүр нь монотон байдал, паритет, үе үе гэх мэт хэд хэдэн үндсэн шинж чанартай байдаг.

Санаж үз илүү дэлгэрэнгүй үл хөдлөх хөрөнгөпаритет.

y=f(x) функц нь дараах хоёр нөхцлийг хангасан ч гэсэн дуудагдана.

2. Функцийн тодорхойлолтын мужид хамаарах х цэг дээрх функцийн утга нь -х цэг дээрх функцийн утгатай тэнцүү байх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, дурын х цэгийн хувьд функцийн тодорхойлолтын мужаас дараах тэгшитгэл хангагдах ёстой: f(x) = f(-x).

Тэгш функцийн график

Хэрэв та тэгш функцийн графикийг зурвал Ой тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна.

Жишээлбэл, y=x^2 функц тэгш байна. Үүнийг шалгаж үзье. Тодорхойлолтын бүх хүрээ тооны тэнхлэг, энэ нь О цэгийн хувьд тэгш хэмтэй байна гэсэн үг.

Дурын x=3-ыг авъя. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Тиймээс f(x) = f(-x). Тиймээс хоёр нөхцөл хангагдсан бөгөөд энэ нь функц жигд байна гэсэн үг юм. y=x^2 функцийн графикийг доор үзүүлэв.

График нь Ой тэнхлэгт тэгш хэмтэй байгааг зураг харуулж байна.

Хачирхалтай функцийн график

y=f(x) функц нь дараах хоёр нөхцлийг хангаж байвал сондгой гэж нэрлэнэ.

1. Өгөгдсөн функцийн тодорхойлолтын муж нь О цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, зарим а цэг нь функцийн тодорхойлолтын мужид харьяалагддаг бол харгалзах -a цэг нь мөн тодорхойлох мужид хамаарах ёстой. өгөгдсөн функцээс.

2. Аливаа х цэгийн хувьд функцийн тодорхойлолтын мужаас дараах тэгшитгэл хангагдах ёстой: f(x) = -f(x).

Содгой функцийн график нь координатын эхлэл болох О цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Жишээлбэл, y=x^3 функц нь сондгой. Үүнийг шалгаж үзье. Тодорхойлолтын домэйн нь бүхэл тоон тэнхлэг бөгөөд энэ нь О цэгтэй тэгш хэмтэй байна гэсэн үг юм.

Дурын х=2-г авъя. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Тиймээс f(x) = -f(x). Тиймээс хоёр нөхцөл хангагдсан бөгөөд энэ нь функц нь сондгой гэсэн үг юм. y=x^3 функцийн графикийг доор үзүүлэв.

y=x^3 сондгой функц нь эхийн хувьд тэгш хэмтэй байгааг зураг тодорхой харуулж байна.

Буцах Урагшаа

Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та энэ ажлыг сонирхож байвал бүрэн эхээр нь татаж авна уу.

Зорилго:

• Функцийн паритет ба сондгой байдлын тухай ойлголтыг бүрдүүлэх, эдгээр шинж чанарыг хэзээ тодорхойлох, ашиглах чадварыг заах функциональ судалгаа, хуйвалдаан хийх;
• бүтээлч хөгжүүлэх оюутны үйл ажиллагаа, логик сэтгэлгээ, харьцуулах, нэгтгэх чадвар;
• шаргуу хөдөлмөр, математикийн соёлыг төлөвшүүлэх; харилцааны ур чадварыг хөгжүүлэх .

Тоног төхөөрөмж:мультимедиа суурилуулалт, интерактив самбар, тараах материал.

Ажлын хэлбэрүүд:эрэл хайгуул, судалгааны үйл ажиллагааны элементүүдтэй фронт болон бүлэг.

Мэдээллийн эх сурвалжууд:

1. Алгебр 9-р анги А.Г.Мордкович. Сурах бичиг.
2. Алгебр 9-р анги А.Г.Мордкович. Асуудлын ном.
3. Алгебр 9-р анги. Оюутны сурах, хөгжүүлэх даалгавар. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А.

ХИЧЭЭЛИЙН ЯВЦ

1. Зохион байгуулалтын мөч

Хичээлийн зорилго, зорилтыг тодорхойлох.

2. Гэрийн даалгавраа шалгаж байна

No 10.17 (9-р ангийн бодлогын ном. А.Г. Мордкович).

A) цагт = е(X), е(X) =

б) е (–2) = –3; е (0) = –1; е(5) = 69;

в) 1. D( е) = [– 2; + ∞)
2. E( е) = [– 3; + ∞)
3. е(X) = 0 үед X ~ 0,4
4. е(X) >0 цагт X > 0,4 ; е(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. функц нь нэмэгддэг X € [– 2; + ∞)
6. Функц нь доороос хязгаарлагддаг.
7. цагт naim = – 3, цагтнаиб байхгүй
8. Функц нь тасралтгүй.

(Та функцийг судлах алгоритм ашигласан уу?) Слайд.

2. Слайд дээрээс асуусан хүснэгтийг шалгацгаая.

Хүснэгтийг бөглөнө үү
	Тодорхойлолтын домэйн	Функцийн тэг	Тэмдгийн тогтмол байдлын интервалууд		Графикийн ойтой огтлолцох цэгүүдийн координатууд
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Мэдлэгийг шинэчлэх

- Функцуудыг өгсөн.
– Функц тус бүрийн тодорхойлолтын хамрах хүрээг зааж өгнө.
– 1 ба – 1 гэсэн хос аргументын утгуудын функц бүрийн утгыг харьцуулна уу; 2 ба - 2.
– Тодорхойлолтын талбар дахь эдгээр функцүүдийн алинд нь тэгш байдал нийцэж байна е(– X) = е(X), е(– X) = – е(X)? (Хүснэгтэд олж авсан өгөгдлийг оруулна уу) Слайд

4. Шинэ материал

- Хийж байна энэ ажил, залуус аа, бид танд танил бус, гэхдээ бусдаас дутуугүй чухал функцийн өөр нэг шинж чанарыг тодорхойлсон - энэ бол функцийн тэгш ба сондгой байдал юм. Хичээлийн сэдвийг бичнэ үү: "Тэгш ба сондгой функцууд", бидний даалгавар бол функцийн тэгш ба сондгой байдлыг тодорхойлж сурах, функцийг судлах, график зурахад энэ өмчийн ач холбогдлыг олж мэдэх явдал юм.
Ингээд сурах бичгээс тодорхойлолтуудыг олж уншъя (х. 110) . Слайд

Def. 1Чиг үүрэг цагт = е (X), X олонлог дээр тодорхойлогдсон гэж нэрлэдэг бүр, хэрэв ямар нэгэн үнэ цэнийн хувьд XЄ X гүйцэтгэгдэнэ тэгш байдал f(–x)= f(x). Жишээ хэлнэ үү.

Def. 2Чиг үүрэг у = f(x), X олонлог дээр тодорхойлсон гэж нэрлэдэг хачин, хэрэв ямар нэгэн үнэ цэнийн хувьд XЄ X f(–х)= –f(х) тэгш байдал биелнэ. Жишээ хэлнэ үү.

Бид "тэгш" ба "сондгой" гэсэн нэр томъёог хаана олж мэдсэн бэ?
Эдгээр функцүүдийн аль нь тэгш байх болно гэж та бодож байна уу? Яагаад? Аль нь хачирхалтай вэ? Яагаад?
Маягтын аль ч функцийн хувьд цагт= x n, Хаана n– бүхэл тоо, функц нь хэзээ сондгой байна гэж маргаж болно n– сондгой, функц нь тэгш байх үед n- бүр.
- Функцуудыг харах цагт= ба цагт = 2X– 3 нь тэгш, сондгой ч биш, учир нь тэгш байдал хангагдаагүй байна е(– X) = – е(X), е(– X) = е(X)

Функц тэгш, сондгой эсэхийг судлахыг функцийн паритетийн судалгаа гэнэ.Слайд

1 ба 2-р тодорхойлолтуудад бид x ба – x гэсэн функцийн утгуудын тухай ярьж байсан тул функц нь мөн утгаараа тодорхойлогддог гэж таамаглаж байна. X, мөн үед - X.

Тодорхойлолт 3.Хэрэв дугаар тогтоосонЭлемент бүрийн хамт x нь эсрэг талын элемент –x, дараа нь олонлогийг агуулна Xтэгш хэмтэй олонлог гэж нэрлэдэг.

Жишээ нь:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) нь тэгш хэмтэй олонлог, , [–5;4] нь тэгш хэмт бус олонлог юм.

– Функцууд ч гэсэн тэгш хэмтэй олонлог болох тодорхойлолтын мужтай юу? Хачирхалтай нь?
– Хэрэв D( е) нь тэгш бус олонлог юм, тэгвэл функц нь юу вэ?
– Тиймээс хэрэв функц цагт = е(X) – тэгш эсвэл сондгой бол түүний тодорхойлолтын домэйн D( е) нь тэгш хэмтэй олонлог юм. Эсрэг заалт үнэн үү: хэрэв функцийн тодорхойлолтын муж нь тэгш хэмтэй олонлог бол энэ нь тэгш эсвэл сондгой юу?
– Энэ нь тодорхойлолтын домэйны тэгш хэмтэй олонлог байх нь зайлшгүй нөхцөл боловч хангалттай биш гэсэн үг юм.
– Тэгэхээр паритетийн функцийг хэрхэн судлах вэ? Алгоритм бүтээхийг хичээцгээе.

Слайд

Паритетийн функцийг судлах алгоритм

1. Функцийн тодорхойлолтын муж тэгш хэмтэй эсэхийг тодорхойл. Хэрэв тийм биш бол функц тэгш, сондгой биш байна. Хэрэв тийм бол алгоритмын 2-р алхам руу очно уу.

2. төлөө илэрхийлэл бич е(–X).

3. Харьцуулах е(–X).Мөн е(X):

• Хэрэв е(–X).= е(X), тэгвэл функц тэгш байна;
• Хэрэв е(–X).= – е(X), функц нь сондгой;
• Хэрэв е(–X) ≠ е(X) Мөн е(–X) ≠ –е(X), тэгвэл функц нь тэгш, сондгой биш байна.

Жишээ нь:

a) функцийг паритетийн хувьд шалгана уу цагт= x 5 +; б) цагт= ; V) цагт= .

Шийдэл.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), тэгш хэмтэй олонлог.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => функц h(x)= x 5 + сондгой.

б) y =,

цагт = е(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), тэгш бус олонлог бөгөөд энэ нь функц нь тэгш, сондгой биш гэсэн үг юм.

V) е(X) =, y = f (x),

1) D( е) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?

Сонголт 2

1. Өгөгдсөн олонлог тэгш хэмтэй байна уу: a) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

Харилцан шалгах слайд.

6. Гэрийн даалгавар: №11.11, 11.21,11.22;

Паритет шинж чанарын геометрийн утгын баталгаа.

***(Улсын нэгдсэн шалгалтын хувилбарыг томилох).

1. y = f(x) сондгой функц нь бүхэл тооны шулуун дээр тодорхойлогддог. Х хувьсагчийн сөрөг бус утгын хувьд энэ функцийн утга нь g( функцийн утгатай давхцдаг. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( функцийн утгыг ол. X) = цагт X = 3.

7. Дүгнэж байна