f x функцийн экстремумыг ол. Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремум

$z=f(x,y)$ функцийг $(x_0,y_0)$ цэгийн зарим хэсэгт тодорхойлъё. Тэд $(x_0,y_0)$ цэгийн зарим хөршийн бүх $(x,y)$ цэгүүдэд $f(x,y) тэгш бус байдал байвал $(x_0,y_0)$ нь (орон нутгийн) хамгийн их цэг гэж хэлдэг. сэтгэл хангалуун байна< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, тэгвэл $(x_0,y_0)$ цэгийг (орон нутгийн) хамгийн бага цэг гэнэ.

Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг ихэвчлэн дууддаг ерөнхий нэр томъёо- экстремум цэгүүд.

Хэрэв $(x_0,y_0)$ нь хамгийн их цэг бол энэ цэг дэх $f(x_0,y_0)$ функцийн утгыг $z=f(x,y)$ функцийн хамгийн их утга гэнэ. Үүний дагуу функцийн хамгийн бага цэг дэх утгыг $z=f(x,y)$ функцийн хамгийн бага утга гэнэ. Функцийн минимум ба максимумыг функцийн экстремум гэсэн нийтлэг нэр томъёогоор нэгтгэдэг.

Экстремумын хувьд $z=f(x,y)$ функцийг судлах алгоритм

1. $\frac(\partial z)(\partial x)$ болон $\frac(\partial z)(\partial y)$ хэсэгчилсэн деривативуудыг ол. $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 тэгшитгэлийн системийг зохиож шийд. \ end(aligned) \right.$ Координатууд нь заасан системийг хангасан цэгүүдийг хөдөлгөөнгүй гэж нэрлэдэг.
2. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial)-ыг олоорой. y^2)$ ба $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(-ийн утгыг тооцоол. \frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ хөдөлгөөнгүй цэг бүрт. Үүний дараа дараахь схемийг ашиглана уу.
   1. Хэрэв $\Delta > 0$ ба $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (эсвэл $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), тэгвэл судалж буй цэг нь хамгийн бага цэг болно.
   2. Хэрэв $\Delta > 0$ ба $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) байвал< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. Хэрэв $\Дельта< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. Хэрэв $\Дельта = 0$ бол экстремум байгаа эсэх талаар тодорхой юу ч хэлж чадахгүй; шаардлагатай нэмэлт судалгаа.

Тэмдэглэл (текстийг илүү бүрэн ойлгоход тохиромжтой): show\hide

Хэрэв $\Delta > 0$ бол $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\) хэсэгчилсэн^2z)(\partial x\partial y) \right)^2 > 0$. Дараа нь $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ( \partial x\partial y)\right)^2 ≥ 0$. Тэдгээр. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Хэрэв тодорхой хэмжээний бүтээгдэхүүн тэгээс их, тэгвэл эдгээр хэмжигдэхүүнүүд ижил тэмдэгтэй байна. Жишээлбэл, хэрэв $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ бол $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Товчхондоо, хэрэв $\Delta > 0$ бол $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ болон $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$-ийн тэмдгүүд байна. адилхан.

Жишээ №1

$z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ функцийн экстремумыг шалгана уу.

$$ \frac(\хэсэг z)(\хэсэг x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. $$

Энэ системийн тэгшитгэл бүрийг $2$-оор багасгаж, тоонуудыг тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлье.

$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. $$

Бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг олж авсан. Ийм нөхцөлд үүссэн системийг шийдэхийн тулд Крамер аргыг ашиглах нь надад хамгийн тохиромжтой юм шиг санагдаж байна.

$$ \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \Delta=\left| \begin(массив) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(массив)\баруун|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\left| \эхлэх(массив) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \төгсгөл(массив)\баруун|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\left| \эхлэх(массив) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \төгсгөл(массив)\баруун|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

$x=2$, $y=-3$ утгууд нь $(2;-3)$ хөдөлгөөнгүй цэгийн координатууд юм.

$$ \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг х^2)=8; \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

$\Delta$-ийн утгыг тооцоод үзье:

$$ \Дельта=\фрак(\хэсэг^2z)(\хэсэг x^2)\cdot \frac(\хэсэг^2z)(\хэсэг y^2)-\left(\frac(\хэсэг^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

$\Delta > 0$ ба $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$ байх тул $(2;-3)$ цэгийн дагуу $ функцийн хамгийн бага цэг болно. z$. Өгөгдсөн функцэд $(2;-3)$ цэгийн координатыг орлуулах замаар $z$ функцийн хамгийн бага утгыг олно.

$$ z_(мин)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot (-3)+7=-90. $$

Хариулт: $(2;-3)$ - хамгийн бага оноо; $z_(мин)=-90$.

Жишээ №2

$z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ функцийн экстремумыг шалгана уу.

Бид дээр дурдсан зүйлийг дагаж мөрдөх болно. Эхлээд нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олъё:

$$ \frac(\хэсэг z)(\хэсэг x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 тэгшитгэлийн системийг байгуулъя. \төгсгөл( зэрэгцүүлсэн) \баруун.$:

$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. $$

Эхний тэгшитгэлийг 3-аар, хоёр дахь тэгшитгэлийг 6-аар бууруулъя.

$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. $$

Хэрэв $x=0$ бол хоёр дахь тэгшитгэл нь биднийг зөрчилд хүргэх болно: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Эндээс дүгнэлт гарч байна: $x\neq 0$. Дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Эхний тэгшитгэлд $y=\frac(2)(x)$-г орлуулбал бид:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \баруун)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Хүлээн авсан биквадрат тэгшитгэл. Бид $t=x^2$ орлуулна ($t > 0$ гэсэн үг):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(-) 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(зохицуулсан) $$

Хэрэв $t=1$ бол $x^2=1$. Тиймээс бидэнд $x$ гэсэн хоёр утгатай байна: $x_1=1$, $x_2=-1$. Хэрэв $t=4$ бол $x^2=4$, өөрөөр хэлбэл. $x_3=2$, $x_4=-2$. $y=\frac(2)(x)$ гэдгийг санахад бид дараах зүйлийг авна.

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Тэгэхээр бидэнд дөрөв байна суурин цэгүүд: $М_1(1;2)$, $М_2(-1;-2)$, $М_3(2;1)$, $М_4(-2;-1)$. Энэ нь алгоритмын эхний алхамыг дуусгана.

Одоо алгоритмаа эхлүүлцгээе. Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё.

$$ \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг х^2)=6х; \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

$\Delta$-г олцгооё:

$$ \Дельта=\фрак(\хэсэг^2z)(\хэсэг x^2)\cdot \frac(\хэсэг^2z)(\хэсэг y^2)-\left(\frac(\хэсэг^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Одоо бид өмнө нь олдсон суурин цэг бүр дээр $\Delta$-ийн утгыг тооцоолох болно. $M_1(1;2)$ цэгээс эхэлцгээе. Энэ үед бидэнд: $\Дельта(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$ байна. $\Дельта(M_1) оноос хойш< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

$M_2(-1;-2)$ цэгийг авч үзье. Энэ үед бид дараах байдалтай байна: $\Дельта(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. $\Дельта(M_2) оноос хойш< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

$M_3(2;1)$ цэгийг авч үзье. Энэ үед бид:

$$ \Дельта(М_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

$\Delta(M_3) > 0$ ба $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$ байх тул $M_3(2); 1)$ нь $z$ функцийн хамгийн бага цэг юм. Өгөгдсөн функцэд $M_3$ цэгийн координатыг орлуулах замаар $z$ функцийн хамгийн бага утгыг олно.

$$ z_(мин)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

$M_4(-2;-1)$ цэгийг судлах л үлдлээ. Энэ үед бид:

$$ \Дельта(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

$\Delta(M_4) > 0$ ба $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4) тул< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Экстремум судалгаа дууссан. Хариултаа бичих л үлдлээ.

Хариулт:

• $(2;1)$ - хамгийн бага цэг, $z_(мин)=-27$;
• $(-2;-1)$ - хамгийн их цэг, $z_(max)=29$.

Анхаарна уу

$\Delta$ утгыг тооцоолох ерөнхий тохиолдолшаардлагагүй, учир нь бид зөвхөн тэмдгийг сонирхдог, гэхдээ тийм биш тодорхой утгаэнэ параметр. Жишээ нь, жишээ нь №2 дээр авч үзсэн $M_3(2;1)$ цэг дээр бид $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$ байна. Эндээс харахад $\Delta > 0$ ($36$ ба $(2^2-1^2)$ хүчин зүйлүүд хоёулаа эерэг байдаг тул) $\Delta$-ийн тодорхой утгыг олохгүй байх боломжтой. Үнэн бол стандарт тооцооллын хувьд энэ тайлбар нь ашиггүй юм - тэд танаас тооцооллыг тоонд хүргэхийг шаарддаг :)

Жишээ №3

$z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ функцийн экстремумыг шалгана уу.

Бид дагах болно. Эхлээд нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олъё:

$$ \frac(\хэсэг z)(\хэсэг x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 тэгшитгэлийн системийг байгуулъя. \төгсгөл( зэрэгцүүлсэн) \баруун.$:

$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. $$

Хоёр тэгшитгэлийг 4 доллараар бууруулъя:

$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. $$

Эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь дээр нэмээд $y$-г $x$-р илэрхийлье:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Системийн эхний тэгшитгэлд $y=-x$-г орлуулбал бид дараах байдалтай болно.

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Гарсан тэгшитгэлээс бид: $x=0$ эсвэл $x^2-2=0$ байна. $x^2-2=0$ тэгшитгэлээс $x=-\sqrt(2)$ эсвэл $x=\sqrt(2)$ байна. Тиймээс $x$-ийн гурван утгыг оллоо: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. $y=-x$ тул $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

Шийдлийн эхний алхам дууссан. Бид гурван тогтмол оноо авсан: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Одоо алгоритмаа эхлүүлцгээе. Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё.

$$ \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг х^2)=12х^2-4; \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг y^2)=12у^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

$\Delta$-г олцгооё:

$$ \Дельта=\фрак(\хэсэг^2z)(\хэсэг x^2)\cdot \frac(\хэсэг^2z)(\хэсэг y^2)-\left(\frac(\хэсэг^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2) -1)-16=16(3х^2-1)(3у^2-1)-16=16\cdot((3х^2-1)(3х^2-1)-1). $$

Одоо бид өмнө нь олдсон суурин цэг бүр дээр $\Delta$-ийн утгыг тооцоолох болно. $M_1(0;0)$ цэгээс эхэлцгээе. Энэ үед бидэнд: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$ байна. $\Delta(M_1) = 0$ тул авч үзэж буй цэг дээр экстремум байгаа эсэхийг тодорхой хэлэх боломжгүй тул нэмэлт судалгаа шаардлагатай болно. Одоохондоо энэ асуудлыг ганцааранг нь орхиод бусад зүйл рүү шилжье.

$M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$ цэгийг авч үзье. Энэ үед бид:

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \Дельта(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

$\Delta(M_2) > 0$ ба $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$ байх тул $M_2(-\)-ын дагуу sqrt(2),\sqrt(2))$ нь $z$ функцийн хамгийн бага цэг юм. Өгөгдсөн функцэд $M_2$ цэгийн координатыг орлуулах замаар $z$ функцийн хамгийн бага утгыг олно.

$$ z_(мин)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Өмнөх цэгийн нэгэн адил бид $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ цэгийг шалгана. Энэ үед бид:

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \Дельта(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

$\Delta(M_3) > 0$ ба $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$ байх тул $M_3(\sqrt) дагуу (2),-\sqrt(2))$ нь $z$ функцийн хамгийн бага цэг юм. Өгөгдсөн функцэд $M_3$ цэгийн координатыг орлуулах замаар $z$ функцийн хамгийн бага утгыг олно.

$$ z_(мин)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

$M_1(0;0)$ цэг рүү буцах цаг боллоо, $\Дельта(M_1) = 0$. Үүний дагуу нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай. Энэ зайлсхийсэн хэллэг нь "хүссэнээ хий" гэсэн утгатай :). Ерөнхий аргаИйм нөхцөл байдалд ямар ч шийдэл байхгүй бөгөөд энэ нь ойлгомжтой юм. Ийм арга байсан бол аль эрт бүх сурах бичигт орсон байх байсан. Энэ хооронд бид харах ёстой онцгой хандлага$\Дельта = 0$ байх цэг бүрт. За, $M_1(0;0)$ цэгийн ойролцоох функцийн үйлдлийг шалгая. $z(M_1)=z(0;0)=3$ гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. $M_1(0;0)$ нь хамгийн бага цэг гэж үзье. Дараа нь $M_1(0;0)$ цэгийн зарим хөршөөс $M$-ийн дурын цэгийн хувьд бид $z(M) > z(M_1)$, өөрөөр хэлбэл. $z(M) > 3$. Хэрэв ямар нэгэн хөрш $z(M) байх цэгүүдийг агуулж байвал яах вэ< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

$y=0$ байх цэгүүдийг авч үзье, өөрөөр хэлбэл. $(x,0)$ хэлбэрийн цэгүүд. Эдгээр цэгүүдэд $z$ функц дараах утгыг авна.

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x) ^2-2)+3. $$

$M_1(0;0)$ хангалттай жижиг бүх хороололд $x^2-2 байна< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Гэхдээ магадгүй $M_1(0;0)$ цэг нь хамгийн дээд цэг юм болов уу? Хэрэв тийм бол $M_1(0;0)$ цэгийн ойр орчмын аль нэг $M$ цэгийн хувьд бид $z(M)-г авна.< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3 доллар уу? Дараа нь $M_1$ цэгт дээд тал нь байхгүй нь гарцаагүй.

$y=x$ байх цэгүүдийг авч үзье, өөрөөр хэлбэл. $(x,x)$ хэлбэрийн цэгүүд. Эдгээр цэгүүдэд $z$ функц дараах утгыг авна.

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

$M_1(0;0)$ цэгийн аль ч орчимд $2x^4 > 0$, дараа нь $2x^4+3 > 3$ байна. Дүгнэлт: $M_1(0;0)$ цэгийн аль ч хөрш $z > 3$ цэгүүдийг агуулж байгаа тул $M_1(0;0)$ цэг нь дээд цэг байж болохгүй.

$M_1(0;0)$ цэг нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага цэг биш юм. Дүгнэлт: $M_1$ нь туйлын цэг биш юм.

Хариулт: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ нь $z$ функцийн хамгийн бага цэгүүд юм. Хоёр цэг дээр $z_(мин)=-5$.

x 0 цэгийг дуудна хамгийн дээд цэг(хамгийн бага) функц f(x), хэрэв x 0 цэгийн зарим хөршид f(x) ≤f(x 0) (f(x) ≥f(x 0)) тэгш бус байдал хангагдсан бол.

Энэ цэг дэх функцын утгыг зохих ёсоор дуудна дээд тал ньэсвэл хамгийн багафункцууд. Хамгийн их ба хамгийн бага функцуудыг нийтлэг нэрээр нэгтгэдэг экстремумфункцууд.

Энэ утгаараа функцийн экстремумыг ихэвчлэн нэрлэдэг орон нутгийн экстремум, энэ ойлголт нь зөвхөн x 0 цэгийн хангалттай жижиг хөрштэй холбоотой гэдгийг онцлон тэмдэглэв. Ижил интервалд функц нь хэд хэдэн орон нутгийн максимум ба минимумтай байж болох бөгөөд тэдгээр нь заавал давхцах албагүй. дэлхийн дээд хэмжэээсвэл хамгийн бага(өөрөөр хэлбэл бүх интервал дахь функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утга).

Экстремумын зайлшгүй нөхцөл. Функц нь цэг дээр экстремумтай байхын тулд түүний дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байх шаардлагатай.

Дифференциалагдах функцүүдийн хувьд энэ нөхцөл Фермагийн теоремоос хамаарна. Нэмж дурдахад функц нь ялгах боломжгүй цэг дээр экстремумтай байх тохиолдлыг мөн тусгасан болно.

Хийсэн газрыг оноо шаардлагатай нөхцөлэкстремум гэж нэрлэдэг шүүмжлэлтэй(эсвэл сууриндифференциалагдах функцийн хувьд). Эдгээр цэгүүд нь функцийн домайн дотор байх ёстой.

Тиймээс хэрэв аль ч цэг дээр экстремум байгаа бол энэ цэг нь чухал (зайлшгүй шаардлагатай нөхцөл) юм. Эсрэг заалт нь үнэн биш гэдгийг анхаарна уу. Чухал цэг нь заавал экстремум цэг байх албагүй, i.e. заасан нөхцөл хангалтгүй байна.

Экстремумын эхний хангалттай нөхцөл. Хэрэв тодорхой цэгээр дамжин өнгөрөх үед дифференциалагдах функцийн дериватив тэмдэгээ нэмэхээс хасах руу өөрчилвөл энэ нь функцийн хамгийн их цэг, хэрэв хасахаас нэмэх бол энэ нь хамгийн бага цэг болно.

Энэ нөхцлийн нотолгоо нь монотон байдлын хангалттай нөхцлөөс (үүсмэлийн тэмдэг өөрчлөгдөхөд функцийн өсөлтөөс буурах эсвэл буурахаас өсөлт рүү шилжих шилжилт явагдана).

Экстремумын хоёр дахь хангалттай нөхцөл. Аль нэг цэгт хоёр дахин дифференциалагдах функцийн эхний дериватив нь тэг, энэ цэг дэх хоёр дахь дериватив эерэг байвал энэ нь функцийн хамгийн бага цэг болно; хэрэв хоёр дахь дериватив нь сөрөг байвал энэ нь хамгийн дээд цэг юм.

Энэ нөхцлийн нотолгоо нь монотон байдлын хангалттай нөхцөл дээр суурилдаг. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв хоёр дахь дериватив эерэг бол эхний дериватив нь нэмэгдэж буй функц юм. Хэлэлцэж буй цэг дээр энэ нь тэгтэй тэнцүү тул түүгээр дамжин өнгөрөхдөө тэмдгийг хасахаас нэмэх болгон өөрчилдөг бөгөөд энэ нь биднийг локал минимумын эхний хангалттай нөхцөл рүү буцаана. Үүний нэгэн адил, хэрэв хоёр дахь дериватив нь сөрөг байвал эхнийх нь буурч, тэмдгийг нэмэхээс хасах болгон өөрчилдөг бөгөөд энэ нь орон нутгийн дээд хэмжээнд хүрэх хангалттай нөхцөл юм.

Экстремумын функцийг судлахтомъёолсон теоремуудын дагуу дараахь үе шатуудыг агуулна.

1. f`(x) функцийн эхний уламжлалыг ол.

2. Шаардлагатай экстремум нөхцөлийн биелэлтийг шалгах, i.e. f`(x) = 0 дериватив эсвэл байхгүй f(x) функцийн эгзэгтэй цэгүүдийг ол.

3. Экстремумын хангалттай нөхцлийн биелэлтийг шалгах, i.e. эсвэл тус бүрийн зүүн ба баруун талд деривативын тэмдгийг шалгана уу чухал цэг, эсвэл f``(x) хоёр дахь деривативыг олж, эгзэгтэй цэг бүр дээр түүний тэмдгийг тодорхойлно. Функцийн экстремум байгаа эсэх талаар дүгнэлт гарга.

4. Функцийн экстремумыг (хэт утгыг) ол.

Функцийн дэлхийн хамгийн их ба минимумыг олохтодорхой интервал дээр бас их байна ашигласан утга. Сегмент дээрх энэ асуудлын шийдэл нь Вейерштрассын теорем дээр суурилдаг бөгөөд үүний дагуу тасралтгүй функцсегмент дэх хамгийн том, хамгийн бага утгыг авдаг. Тэдгээрийг туйлын цэгүүд болон сегментийн төгсгөлд хоёуланд нь хүрч болно. Тиймээс шийдэл нь дараах алхмуудыг агуулна.

1. f`(x) функцийн уламжлалыг ол.

2. f`(x) = 0 дериватив эсвэл байхгүй f(x) функцийн критик цэгүүдийг ол.

3. Чухал цэгүүд болон сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг олж, тэдгээрээс хамгийн том, хамгийн жижигийг сонгоно уу.

Функцийн экстремум цэг нь функцийн утга нь хамгийн бага буюу хамгийн бага утгыг авах функцийн тодорхойлолтын муж дахь цэг юм. хамгийн их утга. Эдгээр цэгүүд дэх функцийн утгыг функцийн экстремум (хамгийн бага ба хамгийн их) гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Цэг x1 функцийн домэйн е(x) гэж нэрлэдэг функцийн хамгийн дээд цэг , хэрэв энэ цэг дэх функцийн утга илүү үнэт зүйлТүүний баруун ба зүүн талд байрлах хангалттай ойрхон цэгүүдэд функц (өөрөөр хэлбэл тэгш бус байдал). е(x0 ) > е(x 0 + Δ x) x1 дээд тал нь.

Тодорхойлолт. Цэг x2 функцийн домэйн е(x) гэж нэрлэдэг функцийн хамгийн бага цэг, хэрэв энэ цэг дэх функцийн утга нь түүний баруун ба зүүн талд байрлах түүнд хангалттай ойрхон цэгүүдийн функцын утгуудаас бага байвал (өөрөөр хэлбэл тэгш бус байдал хадгалагдана) е(x0 ) < е(x 0 + Δ x) ). Энэ тохиолдолд функц нь цэг дээр байна гэж бид хэлж байна x2 хамгийн бага.

Оноо гэж хэлье x1 - функцийн хамгийн дээд цэг е(x) . Дараа нь хүртэлх зайд x1 функц нэмэгдэнэ, тиймээс функцийн дериватив тэгээс их байна ( е "(x) > 0 ) болон дараах интервалд x1 функц буурдаг тул функцийн дериватив тэгээс бага (е "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Гол нь мөн гэж бодъё x2 - функцийн хамгийн бага цэг е(x) . Дараа нь хүртэлх зайд x2 функц буурч, функцийн дериватив нь тэгээс бага ( е "(x) < 0 ), а в интервале после x2 функц нэмэгдэж, функцийн дериватив нь тэгээс их байна ( е "(x) > 0). Энэ тохиолдолд мөн цэг дээр x2 функцийн дериватив нь тэг буюу байхгүй.

Фермагийн теорем ( шаардлагатай тэмдэгфункцийн экстремум байгаа эсэх). Хэрэв цэг бол x0 - функцийн экстремум цэг е(x) , тэгвэл энэ үед функцийн дериватив тэгтэй тэнцүү байна ( е "(x) = 0 ) эсвэл байхгүй байна.

Тодорхойлолт. Функцийн дериватив нь тэг буюу байхгүй цэгүүдийг дуудна чухал цэгүүд .

Жишээ 1.Функцийг авч үзье.

Яг цэг дээр x= 0 бол функцийн дериватив тэг тул цэг болно x= 0 бол чухал цэг юм. Гэсэн хэдий ч, функцийн графикаас харахад энэ нь тодорхойлолтын бүхэл бүтэн домайн даяар нэмэгдэж байгаа тул цэг x= 0 нь энэ функцийн экстремум цэг биш юм.

Тиймээс, тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байх нөхцөлүүд нь экстремумын зайлшгүй нөхцөл боловч хангалттай биш, учир нь эдгээр нөхцөл хангагдсан функцүүдийн бусад жишээг өгч болно, гэхдээ функц харгалзах цэг дээр экстремум байхгүй. Тийм ч учраас хангалттай нотлох баримт байх ёстой, тодорхой эгзэгтэй цэг дээр экстремум байгаа эсэх, энэ нь ямар төрлийн экстремум болохыг - хамгийн их эсвэл хамгийн бага гэж дүгнэх боломжийг олгодог.

Теорем (функцийн экстремум байгаагийн эхний хангалттай тэмдэг).Чухал цэг x0 е(x) хэрэв энэ цэгээр дамжин өнгөрөхөд функцийн дериватив тэмдэг өөрчлөгдвөл тэмдэг нь "нэмэх" -ээс "хасах" болж өөрчлөгдвөл энэ нь хамгийн их цэг, хэрэв "хасах" -аас "нэмэх" бол энэ нь хамгийн бага цэг юм.

Хэрэв цэгийн ойролцоо бол x0 , түүний зүүн ба баруун талд дериватив тэмдэгээ хадгалдаг бөгөөд энэ нь тухайн цэгийн тодорхой хэсэгт функц нь зөвхөн буурч эсвэл зөвхөн нэмэгддэг гэсэн үг юм. x0 . Энэ тохиолдолд, цэг дээр x0 туйлшрал гэж байхгүй.

Тэгэхээр, Функцийн экстремум цэгүүдийг тодорхойлохын тулд та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй :

1. Функцийн деривативыг ол.
2. Деривативыг тэгтэй тэнцүүлж, эгзэгтэй цэгүүдийг тодорхойлно.
3. Оюун санааны хувьд эсвэл цаасан дээр чухал цэгүүдийг тэмдэглэ тооны тэнхлэгба үр дүнгийн интервал дахь функцийн деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлно. Хэрэв деривативын тэмдэг нь "нэмэх" -ээс "хасах" болж өөрчлөгдвөл эгзэгтэй цэг нь хамгийн их цэг, хэрэв "хасах" -аас "нэмэх" бол хамгийн бага цэг болно.
4. Функцийн утгыг экстремум цэгүүдэд тооцоол.

Жишээ 2.Функцийн экстремумыг ол .

Шийдэл. Функцийн деривативыг олъё:

Чухал цэгүүдийг олохын тулд деривативыг тэгтэй тэнцүүлье.

.

"x"-ийн аливаа утгын хувьд хуваагч нь тийм биш юм тэгтэй тэнцүү, дараа нь бид тоологчийг тэгтэй тэнцүүлнэ:

Нэг чухал цэгтэй болсон x= 3 . Энэ цэгээр тусгаарлагдсан интервал дахь деривативын тэмдгийг тодорхойлъё.

хасах хязгаараас 3 хүртэлх интервалд - хасах тэмдэг, өөрөөр хэлбэл функц буурч,

3-аас нэмэх хязгааргүй хооронд нэмэх тэмдэг байдаг, өөрөөр хэлбэл функц нэмэгддэг.

Энэ нь хугацаа x= 3 нь хамгийн бага цэг юм.

Функцийн утгыг хамгийн бага цэг дээр олъё:

Ийнхүү функцийн экстремум цэг нь олддог: (3; 0) бөгөөд энэ нь хамгийн бага цэг юм.

Теорем (функцийн экстремум байгаагийн хоёр дахь хангалттай тэмдэг).Чухал цэг x0 функцийн экстремум цэг юм е(x) хэрэв энэ цэг дэх функцийн хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү биш бол ( е ""(x) ≠ 0 ), хоёр дахь дериватив нь тэгээс их бол ( е ""(x) > 0 ), дараа нь хамгийн их цэг, хэрэв хоёр дахь дериватив нь тэгээс бага бол ( е ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Тайлбар 1. Хэрэв цэг дээр байгаа бол x0 Хэрэв эхний болон хоёр дахь дериватив хоёулаа алга болвол энэ үед хоёр дахь хангалттай шалгуур дээр үндэслэн экстремум байгаа эсэхийг дүгнэх боломжгүй юм. Энэ тохиолдолд та функцийн экстремумын эхний хангалттай шалгуурыг ашиглах хэрэгтэй.

Тайлбар 2. Функцийн экстремумын хоёр дахь хангалттай шалгуур нь хөдөлгөөнгүй цэг дээр эхний дериватив байхгүй үед ч хэрэгжихгүй (хоёр дахь дериватив нь ч байхгүй). Энэ тохиолдолд та функцийн экстремумын эхний хангалттай тэмдгийг ашиглах хэрэгтэй.

Функцийн экстремумын орон нутгийн шинж чанар

Дээрх тодорхойлолтуудаас харахад функцийн экстремум нь байна нутгийн шинж чанар- энэ нь хамгийн ойрын утгуудтай харьцуулахад функцийн хамгийн том, хамгийн бага утга юм.

Та нэг жилийн хугацаанд олсон орлогоо харж байна гэж бодъё. Хэрэв 5-р сард та 45,000 рубль, 4-р сард 42,000 рубль, 6-р сард 39,000 рубль олсон бол 5-р сарын орлого нь ойролцоох утгуудтай харьцуулахад орлогын функцийн дээд хэмжээ юм. Гэхдээ 10-р сард та 71,000 рубль, 9-р сард 75,000 рубль, 11-р сард 74,000 рубль олсон тул 10-р сарын орлого нь ойролцоох утгуудтай харьцуулахад орлогын функцын доод хэмжээ юм. 4-5-6-р сарын утгуудын хамгийн дээд хэмжээ нь 9-10-11-р сарын хамгийн бага хэмжээнээс бага байгааг та хялбархан харж болно.

Ерөнхийдөө интервал дээр функц нь хэд хэдэн экстремумтай байж болох бөгөөд функцийн зарим минимум нь аль ч максимумаас их байх болно. Тэгэхээр дээрх зурагт үзүүлсэн функцийн хувьд .

Өөрөөр хэлбэл, функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгууд нь авч үзэж буй сегмент дэх хамгийн том ба хамгийн бага утгатай гэж бодож болохгүй. Хамгийн их цэг дээр функц нь бүх цэгүүдэд хамгийн их цэгт хангалттай ойрхон байгаа утгуудтай харьцуулахад хамгийн их утгатай, хамгийн бага цэг дээр зөвхөн эдгээр утгуудтай харьцуулахад хамгийн бага утгатай байна. Энэ нь бүх цэгүүдэд хамгийн бага цэгт хангалттай ойрхон байна.

Тиймээс бид функцийн экстремум цэгүүдийн дээрх ойлголтыг тодруулж, хамгийн бага цэгүүдийг нэрлэж болно орон нутгийн доод хэмжээ, хамгийн их оноо нь орон нутгийн хамгийн дээд цэгүүд юм.

Бид хамтдаа функцийн экстремумыг хайдаг

Жишээ 3.

Шийдэл: Функц нь бүхэл тоон мөрөнд тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байна. Түүний дериватив мөн бүхэл тоон мөрөнд байдаг. Тиймээс in энэ тохиолдолдэгзэгтэй цэгүүд нь зөвхөн эдгээр цэгүүд юм, өөрөөр хэлбэл. , хаанаас болон . Чухал цэгүүд ба функцийг тодорхойлох бүх мужийг нэг хэвийн байдлын гурван интервалд хуваана: . Тэд тус бүрээс нэг хяналтын цэгийг сонгож, энэ цэг дэх деривативын тэмдгийг олъё.

Интервалын хувьд хяналтын цэг нь байж болно: олох. Интервалд оноо авбал бид авах ба завсарт оноо авбал бид байна. Тиймээс, интервалд ба , мөн интервалд . Эхнийх нь дагуу хангалттай тэмдэгэкстремум байхгүй, цэг дээр экстремум байхгүй (үүсмэл нь интервалд тэмдэгээ хадгалдаг тул), цэг дээр функц нь минимумтай байдаг (энэ цэгээр дамжин өнгөрөх үед дериватив нь хасахаас нэмэх тэмдэг рүү өөрчлөгддөг тул). Функцийн харгалзах утгуудыг олъё: , a . Интервалд функц буурч, учир нь энэ интервалд , мөн интервалд энэ нь нэмэгддэг, учир нь энэ интервалд .

Графикийн бүтцийг тодруулахын тулд бид координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олдог. Үндэс нь ба тэгшитгэлийг олж авбал функцийн графикийн хоёр цэг (0; 0) ба (4; 0) олдоно. Хүлээн авсан бүх мэдээллийг ашиглан бид график бүтээдэг (жишээний эхлэлийг үзнэ үү).

Жишээ 4.Функцийн экстремумыг олж, графикийг нь байгуул.

Функцийн тодорхойлолтын домэйн нь цэгээс бусад бүх тооны шугам юм, i.e. .

Судалгааг богиносгохын тулд та энэ функцийг тэгш гэж ашиглаж болно, учир нь . Тиймээс түүний график нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна Өөмөн судалгааг зөвхөн интервалаар хийж болно.

Деривативыг олох функцийн чухал цэгүүд:

1) ;

2) ,

гэхдээ энэ үед функц нь тасалдсан тул экстремум цэг байж болохгүй.

Тиймээс өгөгдсөн функц нь хоёр чухал цэгтэй байна: ба . Функцийн паритетийг харгалзан бид экстремумын хоёр дахь хангалттай шалгуурыг ашиглан зөвхөн цэгийг шалгана. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр дахь деривативыг олно ба түүний тэмдгийг тодорхойлох: бид авна. ба учраас, энэ нь функцийн хамгийн бага цэг бөгөөд ба .

Функцийн графикийн илүү бүрэн дүр зургийг авахын тулд тодорхойлолтын домэйны хил дээрх түүний зан төлөвийг олж мэдье.

(энд тэмдэг нь хүслийг илэрхийлдэг xбаруун талаас тэг рүү, ба xэерэг хэвээр байна; тэмүүлэл гэсэн утгатай xзүүн талаас тэг хүртэл, ба xсөрөг хэвээр байна). Тиймээс хэрэв , тэгвэл . Дараа нь бид олдог

,

тэдгээр. бол .

Функцийн график нь тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэггүй. Зураг нь жишээний эхэнд байна.

Бид хамтдаа функцийн экстремумуудыг хайсаар л байна

Жишээ 8.Функцийн экстремумыг ол.

Шийдэл. Функцийн тодорхойлолтын мужийг олъё. Тэгш бус байдлыг хангах ёстой тул бид -ээс авна.

Функцийн эхний деривативыг олъё:

Функцийн эгзэгтэй цэгүүдийг олцгооё.

Энэ үйлчилгээгээр та боломжтой функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол Word дээр форматлагдсан шийдэл бүхий нэг хувьсагч f(x). Хэрэв f(x,y) функц өгөгдсөн бол хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох шаардлагатай. Та мөн нэмэгдэх ба буурах функцүүдийн интервалыг олж болно.

Функцийг оруулах дүрэм:

Нэг хувьсагчийн функцийн экстремумын зайлшгүй нөхцөл

Нэг хувьсагчийн функцийн экстремумын хангалттай нөхцөл

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Дараа нь x * цэг нь функцийн орон нутгийн (дэлхий) хамгийн бага цэг юм.

Хэрэв x * цэг дээр нөхцөл хангагдсан бол:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Дараа нь x * цэг нь орон нутгийн (дэлхийн) дээд хэмжээ юм.

Жишээ №1. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол: сегмент дээр.
Шийдэл.

Чухал цэг нь нэг x 1 = 2 (f’(x)=0). Энэ цэг нь сегментэд хамаарна. (0∉ тул x=0 цэг нь чухал биш).
Бид сегментийн төгсгөл ба эгзэгтэй цэг дэх функцийн утгыг тооцоолно.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Хариулт: f min = 5 / 2 үед x=2; f max =9 үед x=1

Жишээ №2. Дээд эрэмбийн деривативуудыг ашиглан y=x-2sin(x) функцийн экстремумыг ол.
Шийдэл.
Функцийн деривативыг ол: y’=1-2cos(x) . Критик цэгүүдийг олъё: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Бид y’’=2sin(x), тооцоолно, энэ нь x= ​​π / 3 +2πk, k∈Z нь функцийн хамгийн бага цэгүүд гэсэн үг; , энэ нь x=- π / 3 +2πk, k∈Z нь функцийн хамгийн их цэгүүд юм.

Жишээ №3. x=0 цэгийн ойролцоох экстремум функцийг судал.
Шийдэл. Энд функцийн экстремумыг олох шаардлагатай. Хэрэв экстремум x=0 байвал түүний төрлийг (хамгийн бага ба хамгийн их) олоорой. Хэрэв олдсон цэгүүдийн дунд x = 0 байхгүй бол f(x=0) функцийн утгыг тооцоол.
Өгөгдсөн цэгийн тал бүр дээрх дериватив нь тэмдэгээ өөрчлөхгүй бол болзошгүй нөхцөл байдалдифференциалагдах функцүүдийн хувьд ч гэсэн: x 0 цэгийн нэг талд эсвэл хоёр талдаа дур мэдэн жижиг хөршийн хувьд дериватив тэмдэг өөрчлөгддөг. Эдгээр цэгүүдэд экстремумын функцийг судлах өөр аргыг ашиглах шаардлагатай байна.

Энэ нийтлэлээс уншигч функциональ утгын экстремум гэж юу болох, мөн түүнийг ашиглах онцлог шинж чанаруудын талаар мэдэх болно. практик үйл ажиллагаа. Ийм ойлголтыг сурах нь үндсийг ойлгоход зайлшгүй шаардлагатай дээд математик. Энэ сэдэв нь хичээлийг гүнзгийрүүлэн судлах үндэс суурь юм.

Экстремум гэж юу вэ?

IN сургуулийн курс"Экстремум" гэсэн ойлголтын олон тодорхойлолтыг өгсөн. Энэхүү нийтлэл нь асуудлыг мэдэхгүй хүмүүст энэ нэр томъёоны талаар хамгийн гүнзгий бөгөөд ойлгомжтой ойлголт өгөх зорилготой юм. Тиймээс энэ нэр томъёо нь тодорхой багц дээр функциональ интервал нь хамгийн бага эсвэл хамгийн их утгыг хэр хэмжээгээр олж авдаг болохыг ойлгодог.

Экстремум нь хамгийн бага утгафункцууд, нэгэн зэрэг дээд тал нь. Хамгийн бага цэг, дээд цэг гэж байдаг, өөрөөр хэлбэл, хэт үнэ цэнэграфик дээрх аргумент. Энэхүү ойлголтыг ашигладаг үндсэн шинжлэх ухаанууд нь:

• статистик;
• машиныг хянах;
• эконометрик.

Экстремум оноо тоглодог чухал үүрэгдарааллыг тодорхойлоход өгөгдсөн функц. График дээрх координатын систем хамгийн сайнаараафункциональ өөрчлөлтөөс хамааран туйлын байрлалын өөрчлөлтийг харуулдаг.

Дериватив функцийн экстремум

Мөн "үүсмэл" гэх мэт үзэгдэл байдаг. Энэ нь экстремум цэгийг тодорхойлох шаардлагатай. Хамгийн бага эсвэл хамгийн их оноог хамгийн их ба хамгийн бага утгатай андуурахгүй байх нь чухал. Энэ өөр өөр ойлголтууд, гэхдээ тэдгээр нь ижил төстэй мэт санагдаж болох ч.

Функцийн утга нь хамгийн их цэгийг хэрхэн олохыг тодорхойлох гол хүчин зүйл юм. Дериватив нь утгуудаас үүсдэггүй, гэхдээ зөвхөн нэг эсвэл өөр дарааллаар түүний туйлын байрлалаас үүсдэг.

Дериватив нь өөрөө эдгээр экстремум цэгүүд дээр тулгуурлан тодорхойлогддог бөгөөд хамгийн том эсвэл биш юм хамгийн бага утга. IN орос сургуулиудЭдгээр хоёр ойлголтын хоорондох шугамыг тодорхой заагаагүй нь энэ сэдвийг ерөнхийд нь ойлгоход нөлөөлдөг.

Одоо "цочмог экстремум" гэсэн ойлголтыг авч үзье. Өнөөдөр цочмог хамгийн бага утга, цочмог дээд утга байна. Тодорхойлолтыг функцийн чухал цэгүүдийн Оросын ангиллын дагуу өгсөн болно. Экстремум цэгийн тухай ойлголт нь график дээрх эгзэгтэй цэгүүдийг олох үндэс болдог.

Ийм ойлголтыг тодорхойлохын тулд тэд Фермагийн теоремыг ашигладаг. Энэ нь судалгааны явцад хамгийн чухал зүйл юм туйлын цэгүүдмөн тэдний оршин тогтнох талаар тодорхой ойлголт өгдөг. Хэт их байдлыг хангахын тулд график дээр буурах эсвэл нэмэгдэх тодорхой нөхцлийг бүрдүүлэх нь чухал юм.

"Хамгийн дээд цэгийг хэрхэн олох вэ" гэсэн асуултанд үнэн зөв хариулахын тулд та дараах удирдамжийг дагаж мөрдөх ёстой.

1. График дээрх тодорхойлолтын тодорхой мужийг олох.
2. Функцийн дериватив ба экстремум цэгийг хай.
3. Аргумент олдсон домэйны стандарт тэгш бус байдлыг шийд.
4. График дээрх цэг ямар функцээр тодорхойлогддог ба тасралтгүй байдгийг батлах чадвартай байх.

Анхаар!Функцийн эгзэгтэй цэгийг хайх нь хамгийн багадаа хоёр дахь эрэмбийн дериватив байгаа тохиолдолд л боломжтой бөгөөд энэ нь экстремум цэгийн өндөр хувь хэмжээгээр баталгааждаг.

Функцийн экстремумын зайлшгүй нөхцөл

Экстремум оршин тогтнохын тулд хамгийн бага ба хамгийн дээд цэгүүд байх нь чухал юм. Хэрэв энэ дүрмийг зөвхөн хэсэгчлэн дагаж мөрдвөл экстремум байх нөхцөлийг зөрчсөн болно.

Аливаа байрлал дахь функц бүр шинэ утгыг тодорхойлохын тулд ялгах ёстой. Цэг тэг рүү шилжих тохиолдол нь ялгах цэгийг олох гол зарчим биш гэдгийг ойлгох нь чухал.

Хурц экстремум, түүнчлэн функцын хамгийн бага хэмжээ нь шийдлийн маш чухал тал юм математикийн асуудалхэт үнэ цэнийг ашиглах. Энэ бүрэлдэхүүн хэсгийг илүү сайн ойлгохын тулд үүнийг анхаарч үзэх хэрэгтэй хүснэгтийн утгуудүйл ажиллагааны дагуу.