Хоёр гишүүний зэрэглэлийн тэлэлт. Тодорхой гишүүн хайж байна

Курякова Татьяна Сергеевна

Ангарск хотын "36-р дунд сургууль" хотын боловсролын байгууллагын математикийн багш

Ньютоны бином нь оюутнуудад зөвхөн хослолын ойлголтыг төдийгүй үржүүлэх товчилсон томъёоны талаар гүнзгий ойлголттой болоход хувь нэмэр оруулдаг сэдвүүдийн нэг юм. Энэ нийтлэл нь ахлах ангийн сурагчдад зориулсан "Ньютоны бином" сэдвээр лекц унших хувилбаруудын нэг юм.

Сэдэв: "Ньютоны бином"

Лекцийн тойм 1. Ньютоны биномийн тухай ойлголт

2. Бином ба бином коэффициентийн шинж чанарууд

3. Ердийн даалгаварууд"Ньютоны бином" сэдвээр

4. Ньютоны бином томъёог ашиглахтай холбоотой асуудлууд ("Ньютоны бином" сэдэвт стандарт бус бодлого)

Уран зохиол

1. Коллежид элсэгчдэд зориулсан математикийн өрсөлдөөнт бодлогын цуглуулга / Ed. М.И.Сканави: Сурах бичиг. тэтгэмж. Санкт-Петербург, 1995. – х.84.

2. Супрун В.П. Математикийн нарийн төвөгтэй байдлын сонгосон асуудлууд. Мн.: Полымя, 1998. – 108 х.

Ньютоны биномийн тухай ойлголт

Ньютоны бином нь дараах хэлбэрийн өргөтгөл юм.

Гэхдээ хатуухан хэлэхэд томьёог бүхэлд нь бином гэж нэрлэж болохгүй, учир нь "binomial" нь "binomial" гэж орчуулагддаг. Нэмж дурдахад, өргөтгөлийн томьёо нь Ньютон Исаак Ньютон энэ өргөтгөлийг n-ийн тохиолдол болгон өргөтгөхөөс өмнө мэдэгдэж байсан;

ЗорилтотНьютоны биномийг судлах - тооцоолох үйлдлийг хялбарчлах.

Бүрэлдэхүүн хэсгүүдНьютоны бином томъёо:

Паскалийн гурвалжны практик ач холбогдол нь түүний тусламжтайгаар та нийлбэр ба ялгааны квадратуудын сайн мэддэг томьёог төдийгүй нийлбэрийн (ялгаа) кубын томъёог санах ойноос хялбархан сэргээж чаддагт оршино. дөрөв ба түүнээс дээш зэрэгтэй.

Жишээлбэл, гурвалжны дөрөв дэх мөр нь тодорхой харагдаж байна бином коэффициентДөрөвдүгээр зэргийн биномийн хувьд:

Паскалийн гурвалжны өөр хувилбар:

дөрвөн хаалтыг гишүүнээр нь үржүүлэх:

Ньютоны дөрөв дэх зэрэглэлийн биномийн өргөтгөлийг эргэн санацгаая.

Энд T нь өргөтгөлийн нэр томъёо;
– серийн дугаарөргөтгөх хугацаа.

– 2 –

Бином ба бином коэффициентийн шинж чанарууд

Баталгаа

Өргөтгөх хугацааг авч үзье:

Экспонентуудын нийлбэр аТэгээд б:

Баталгаа

Болъё
, Дараа нь:

Дараа нь:

Баталгаа - өөрөө

– 3 –

"Ньютоны бином" сэдвийн ердийн асуудлууд

Энэ сэдвээр хийх ердийн (стандарт) даалгаврууд нь тооцооллын ажлуудыг багтаасан болно.

Дуран тэлэлтийн гишүүн (гишүүний дугаар)-ийг ол

Өргөтгөлийн мэдэгдэж буй нөхцлүүд дээр үндэслэн биномийг гарга (мэддэг нийлбэрийг ашиглан)

Дуран тэлэлтийн бином коэффициентүүдийн нийлбэрийг тооцоол

болон бусад.

Бид жишээгээр харуулах болно (тэдгээрийн шийдэл нь хэцүү биш тул ихэнхийг нь өөрөө шийдэхийг санал болгож байна).

Жишээ 1

бином томъёогоор өргөжүүлэх

Шийдэл нь таных

Тэмдгийн дараалалд АНХААРААРАЙ!

Жишээ 2

Өргөлтийн зургаа дахь гишүүнийг ол

Шийдэл нь таных

Тэмдэгтэнд АНХААРУУЛГА!

Дараахь зүйлээс эхлэх нь дээр.

Жишээ 3

Өргөлтийн дундах хоёр гишүүнийг ол

Шийдэл нь таных

Эдгээр нэр томъёо нь төгсгөлөөс ижил зайд байгаа тул тэдгээрийн бином коэффициентүүд тэнцүү байх болно гэдгийг анхаарна уу.

Шийдвэрлэх явцад ижил суурьтай эрх мэдлийн өөрчлөлтийг (өөрөөр хэлбэл хялбаршуулах) хийхээ бүү мартаарай.

Жишээ 4

Бином тэлэлтэд
агуулаагүй өргөтгөлийн нэр томъёог ол X

Өргөтгөлөөс хойш бид агуулаагүй нэр томъёо хайж байна X, Тэр

Хариулт:

– 4 –

Ньютоны бином томьёог ашиглахтай холбоотой асуудлууд

("Ньютоны бином" сэдэвт стандарт бус бодлого)

Энэ сэдвийн стандарт бус даалгавруудад биномийг ашиглах хэрэгцээ тодорхойгүй байгаа ажлууд орно. Гэсэн хэдий ч эцсийн эцэст шийдэл нь түүнд хүрч, маш сонирхолтой харагдаж байна.

Жишээ 5

Үүнийг аль ч хүнд нотол
болон аль ч хувьд
зөв Бернуллигийн тэгш бус байдал :

Баталгаа

Болъё

Түүнээс хойш

Шаардлагыг дахин томъёолъё: Үүнийг нотол
, Хаана

Учир нь
, энэ нь өргөтгөлд дор хаяж гурван өргөтгөлийн нөхцөл байна гэсэн үг, тэгвэл:

Энэ нь гэсэн үг

Жишээ 6

Үүнийг нотол

Баталгаа - өөрөө

(Зөвлөгөө: Бернуллигийн тэгш бус байдлыг ашиглана уу)

Жишээ 7

Үүнийг ямар ч байгалийн хувьд нотлох nтоо нь 9-д хуваагддаг

Баталгаа

Хоёр гишүүнийг харж эхэлцгээе ерөнхий үзэл:

Жишээ 8

Тэгшитгэлийг шийд

Орлуулах зүйл хийцгээе:

Дараа нь бид тэгшитгэлийг дахин бичнэ:

Тэгшитгэлийн зүүн талд хоёр гишүүний томъёог хэрэглэцгээе.

Хариулт:
Стандарт бус даалгавар... Хамгийн энгийн магадлал даалгавар+ + + 124-130 Хослол ба байршуулалт. Томъёо бином Ньютон. + ...

Дараах (a + b) n зэрэгтэй илэрхийллүүдийг авч үзье, a + b нь дурын хоёр гишүүн, n нь бүхэл тоо юм.

Илэрхийлэл бүр олон гишүүнт юм. Та бүх илэрхийлэл дэх онцлог шинж чанарыг анзаарч болно.

1. Илэрхийлэл бүрт n илтгэгчээс нэг гишүүн илүү байна.

2. Нэр томьёо бүрт эрх мэдлийн нийлбэр нь n-тэй тэнцүү, i.e. биномийг өсгөх хүч.

3. Давхаргууд n хоёртын зэрэглэлээс эхэлж 0 хүртэл буурна. Сүүлийн гишүүн нь a хүчин зүйлгүй. Эхний нэр томъёонд b хүчин зүйл байхгүй, i.e. градус b 0-ээс эхэлж n хүртэл нэмэгдэнэ.

4. Коэффициент нь 1-ээс эхэлж, "хагас" хүртэл тодорхой утгуудаар нэмэгдэж, дараа нь ижил утгуудаар 1 хүртэл буурна.

Коэффициентийг нарийвчлан авч үзье. Бид (a + b) 6-ийн утгыг олохыг хүсч байна гэж бодъё. Сая бидний анзаарсан онцлогоор энд 7 гишүүн байх ёстой
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 .
Гэхдээ коэффициент бүрийн утгыг хэрхэн тодорхойлох вэ, c i ? Бид үүнийг хоёр аргаар хийж чадна. Эхний арга нь коэффициентийг доор үзүүлсэн шиг гурвалжинд бичих явдал юм. Үүнийг гэж нэрлэдэг Паскалийн гурвалжин :


Гурвалжинд олон шинж чанарууд байдаг. Аль болох олон олоорой.
Та дээрх мөрөнд байгаа тоонуудыг ашиглан дараагийн тоонуудыг бичих аргыг олсон байх. Нэгжүүд нь үргэлж хажуу тал дээр байрладаг. Үлдсэн тоо бүр нь дээрх тооноос дээш байгаа хоёр тооны нийлбэр юм. Бидний олсон боломжуудыг ашиглан дараах мөрийг нэмж (a + b) 6 илэрхийллийн утгыг олохыг хичээцгээе.

Бид үүнийг сүүлчийн мөрөнд харж байна

эхлээд ба сүүлийн дугаар 1 ;
хоёр дахь тоо нь 1 + 5, эсвэл 6 ;
гурав дахь тоо нь 5 + 10, эсвэл 15 ;
дөрөв дэх тоо нь 10 + 10, эсвэл 20 ;
тав дахь тоо нь 10 + 5, эсвэл 15 ; Тэгээд
зургаа дахь тоо нь 5 + 1, эсвэл 6 .

Тэгэхээр (a + b) 6 илэрхийлэл нь тэнцүү байх болно
(a + b) 6 = 1 6+ 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 + 1 б 6.

(a + b) 8-ийн хүчийг нэмэгдүүлэхийн тулд бид Паскалийн гурвалжинд хоёр мөр нэмнэ.

Дараа нь
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

Бид үр дүнг дараах байдлаар нэгтгэн дүгнэж болно.

Паскалийн гурвалжинг ашиглан Ньютоны бином

Дурын дурын a+b болон натурал n тооны хувьд,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n,
Энд c 0 , c 1 , c 2 ,....., c n-1 , c n тоонуудыг Паскалийн гурвалжны (n + 1) цувралаас авна.

Жишээ 1Хүчтэй болгох: (u - v) 5 .

ШийдэлБидэнд (a + b)n байна, энд a = u, b = -v, n = 5 байна. Бид Паскалийн гурвалжны 6-р мөрийг ашигладаг:
1 5 10 10 5 1
Тэгвэл бидэнд байна
(u - v) 5 = 5 = 1 (u)5+ 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u)(-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5.
Нэр томъёоны тэмдгүүд нь + ба - хооронд хэлбэлздэг болохыг анхаарна уу. -v зэрэг нь сондгой тоо байвал тэмдэг нь - байна.

Жишээ 2Хүч чадал хүртэл өсгөх: (2т + 3/т) 4 .

ШийдэлБидэнд (a + b)n байна, энд a = 2t, b = 3/t, n = 4. Бид Паскалийн гурвалжны 5-р мөрийг ашигладаг:
1 4 6 4 1
Тэгвэл бидэнд байна

Факторын утгыг ашиглан биномын өргөтгөл

Бид (a + b) 11-ийн утгыг олохыг хүсч байна гэж бодъё. Паскалийн гурвалжинг ашиглахын сул тал нь гурвалжны өмнөх бүх мөрүүдийг тооцоолох хэрэгтэй болдог. шаардлагатай мөр. Дараагийн аргаүүнээс зайлсхийх боломжийг танд олгоно. Энэ нь мөн бусад бүх мөрийг үнэлэх шаардлагагүйгээр тодорхой эгнээ олох боломжийг олгодог - 8-р эгнээ гэж хэлээрэй. Энэ арга нь тооцоолол, статистикт хэрэгтэй бөгөөд үүнийг ашигладаг бином коэффициентийн тэмдэглэгээ .
Бид Ньютоны биномийг дараах байдлаар томъёолж болно.

Факторын тэмдэглэгээг ашиглан Ньютоны бином

Аливаа бином (a + b) ба дурын натурал n тооны хувьд,
.

Ньютоны биномийг аргаар баталж болно математикийн индукц. Энэ нь яагаад үүнийг дуудаж байгааг харуулж байна бином коэффициент .

Жишээ 3Хүчтэй болгох: (x 2 - 2y) 5 .

ШийдэлБидэнд (a + b) n , энд a = x 2 , b = -2y ба n = 5 байна. Дараа нь Ньютоны биномийг ашиглан бид байна.


Эцэст нь (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5.

Жишээ 4Хүчин чадал хүртэл өсгөх: (2/x + 3√x) 4.

ШийдэлБидэнд (a + b)n байна, энд a = 2/x, b = 3√x, n = 4. Дараа нь Ньютоны биномийг ашиглан бид олж авна.


Эцэст нь (2/x + 3√x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2.

Тодорхой гишүүн хайж байна

Бид илэрхийллээс нэг буюу өөр нэр томъёог тодорхойлохыг хүсч байна гэж бодъё. Бидний боловсруулсан арга нь Паскалийн гурвалжны бүх эгнээ эсвэл өмнөх бүх коэффициентийг тооцоолохгүйгээр энэ нэр томъёог олох боломжийг олгоно.

Ньютоны хоёр гишүүний хувьд 1-р гишүүн, 2-р гишүүн, 3-р гишүүн гэх мэтийг өгдөг болохыг анхаарна уу. Үүнийг дараах байдлаар дүгнэж болно.

(k + 1) гишүүнийг олох

(k + 1) илэрхийллийн гишүүн (a + b) n нь .

Жишээ 5Илэрхийллийн 5-р гишүүнийг ол (2x - 5y) 6 .

ШийдэлЭхлээд 5 = 4 + 1 гэдгийг анхаарна уу. Дараа нь k = 4, a = 2x, b = -5y, n = 6. Дараа нь илэрхийллийн 5-р гишүүн болно.

Жишээ 6(3x - 2) 10 илэрхийллийн 8-р гишүүнийг ол.

ШийдэлЭхлээд бид 8 = 7 + 1 гэдгийг анхаарна уу. Дараа нь k = 7, a = 3x, b = -2 ба n = 10. Дараа нь илэрхийллийн 8-р гишүүн болно.

Дэд багцын нийт тоо

Олонлог n объекттой гэж бодъё. k элемент агуулсан дэд олонлогуудын тоо нь . Нийт тооолонлогийн дэд олонлогууд нь 0 элементтэй дэд олонлогуудын тоо, мөн 1 элементтэй дэд олонлогуудын тоо, мөн 2 элементтэй дэд олонлогуудын тоо гэх мэт. n элементтэй олонлогийн дэд олонлогуудын нийт тоо нь
.
Одоо (1 + 1) n хүчийг нэмэгдүүлэхийг харцгаая:

.
Тэгэхээр. нийт тоо хэмжээдэд олонлогууд (1 + 1) n, эсвэл 2 n. Бид дараахь зүйлийг нотолсон.

Дэд багцын нийт тоо

n элементтэй олонлогийн нийт дэд олонлогын тоо 2n байна.

Жишээ 7Олонлог (A, B, C, D, E) хэдэн дэд олонлогтой вэ?

ШийдэлОлонлог нь 5 элементтэй, дараа нь дэд олонлогуудын тоо 2 5 буюу 32 байна.

Жишээ 8 Wendy's сүлжээ ресторан нь дараах гамбургерын амтлагчийг санал болгож байна.
{кетчуп, гич, майонез, улаан лооль, шанцайны ургамал, сонгино, мөөг, чидун, бяслаг}.
Хэдэн янз бүрийн төрөлВэнди бургерын хэмжээ эсвэл бургерын тоог эс тооцвол ямар бургер санал болгож чадах вэ?

ШийдэлГамбургер бүрийн өнгөлгөө нь бүх боломжит өнгөлгөөний багцын хэсэг бөгөөд хоосон багц нь зүгээр л гамбургер юм. Нийт боломжтой гамбургерын тоо тэнцүү байх болно

. Тиймээс Wendy's 512 төрлийн гамбургер санал болгож чадна.

Математикийн хичээлийн төлөвлөгөө:

« Бином теорем. бином коэффициентийн шинж чанарууд"

Зорилго :

- боловсролын : Ньютоны бином томьёог танилцуулах, Ньютоны бином томьёог хүч болгон өсгөхдөө Ньютоны бином томъёог хэрхэн ашиглахыг заах;
- хөгжиж байна : санах ой, алгоритмын болон хөгжлийг дэмжих логик сэтгэлгээ, анхаарал;
- боловсролын: Хариуцлага, бие даасан байдал, ухамсартай байх мэдрэмжийг үргэлжлүүлэн хөгжүүл.)

Тоног төхөөрөмж : компьютер, мультимедиа проектор, дэлгэц, танилцуулга, онолын материалтай карт.

Хичээлийн төрөл - k хосолсон;

Оюутны ажлын хэлбэрүүд - урд талын, хувь хүн.

Хичээлийн явц:

1 . Зохион байгуулалтын цэг:

Тухайн сэдэв, хичээлийн зорилго, хэлэлцэж буй сэдвийн практик ач холбогдлын талаархи мессеж.

2. Мэдлэгийг шинэчлэх

I . Урд талын судалгаа:

1) Комбинаторик юу судалдаг вэ?

2) Та ямар төрлийн холболт эсвэл дээжийг мэдэх вэ?

3) "Комбинаторик" кроссворд тааварыг шийдээрэй.

II . Аман тоо:

5!=….(120), А 5 2 =…(20)., C 4 2 =….(8)

5 хүнийг вандан сандал дээр хэдэн янзаар суулгаж болох вэ?

3. Шинэ материалын танилцуулга: Картуудтай ажиллах онолын материал. Оюутны мессежийг сонсож, дүн шинжилгээ хийх. Дүгнэлт бичих.

I ) Комбинаторикийн түүх ( Оюутны мессеж)

Сүүлийн хичээлээр бид комбинаторикийн үндсийг сурсан. Гэрийн даалгаварэхнийх нь хувьд бүтээлч бүлэгкомбинаторик шинжлэх ухаан болж үүссэн түүхийн талаар илтгэл бэлтгэх байв. (Оюутны мессеж)

Комбинаторикийг шинжлэх ухаан болгон хөгжүүлэхэд ямар эрдэмтэд хувь нэмэр оруулсан бэ?

Тэр үеийн шилдэг оюун ухааны нэг бол англи хэл байв эрдэмтэн ИсаакНьютон. Таны гэрийн даалгавар бол энэ агуу суут хүний ​​тухай сурвалжлага бэлтгэх явдал байв.

II ) Исаак Ньютон бол агуу математикч ( Оюутны мессеж)

Та агуу математикч Исаак Ньютонд хичнээн гайхалтай санаа, нээлтүүд багтдаг болохыг тайлангаас сонссон. Түүний нээлтүүдийн нэг бол томъёо юмБином теорем .

III ) Ньютоны бином.

Энэ нээлтэд бид өнөөдрийн хичээлээ зориулах болно. Хичээлийн сэдвийг бичье.Бидний хичээлийн зорилго : Ньютоны бином томьёотой танилцах, Ньютоны бином томъёог хүчин чадалд өсгөхдөө хэрэглэж сурах.

Хоёр тоо гэдэг үг нь "Хоёр тоо" гэсэн утгатай. Математикийн хувьд биномийг "хоёр хувьсагчийн нийлбэрийн сөрөг бус бүхэл тоог тус тусад нь задлах томъёо" гэж нэрлэдэг. Ньютоныг дагаж, дараа нь үүнийг хэрэгжүүлэхийн тулд үүнийг гаргаж авахыг хичээцгээе.

Хоёр гишүүний нийлбэрийн квадрат ба кубыг (энэ нийлбэрийг " гэж нэрлэдэг) үржүүлэх товчилсон томъёог та санаж байгаа байх (эсвэл ядаж санах хэрэгтэй).бином ", оросоор -бином .

Хэрэв та эдгээр томьёог мартсан бол хашилтыг илт тэгшитгэлээр нээж шууд авах боломжтой.

Магадгүй танд асуулт гарч ирж магадгүй юм: дөрөв, тав, аравдугаар зэрэглэлийн хоёр нэр томъёоны томъёог (компьютергүйгээр) авах боломжтой юу?

Ядаж тав дахь зэрэг рүү шууд орохыг хичээцгээе, магадгүй тэнд "бутанд төгөлдөр хуур" байх болно (дэг журамтай байхын тулд бид нэр томъёог баруун талд нь буурах дарааллаар байрлуулна.А , энэ нь дээд хэмжээнээс тэг хүртэл буурдаг):

Одоо тусад нь бичье тоон коэффициентХоёр гишүүнийг өгөгдсөн зэрэгт хүргэх үед томъёоны баруун талд:

Өмнөх хуудсан дээрх "Бутан дахь төгөлдөр хуур" нь Паскалийн гурвалжин гэдгийг та аль хэдийн таасан байх. Бичсэн тоон коэффициентууд нь гурав дахь хэсгээс эхлэн Паскалийн гурвалжны шугамууд гэдгийг шалгахад хялбар байдаг. Эхний хоёр мөр дутуу байгаа энэхүү "тасалсан гурвалжин"-ыг хялбархан хийж болно (мөрүүдийг дараах байдлаар авна уу).n=0 Тэгээдn=1 ):

Эцэст нь бид:

Энэ мэдэгдлийг Паскальаас нэлээд эрт мэддэг байсан - үүнийг 11-12-р зуунд амьдарч байсан хэн нэгэн мэддэг байсан. Төв Азийн математикч, яруу найрагч Омар Хайям (харамсалтай нь түүний энэ талаарх бүтээл бидэнд ирээгүй байна). Бидэнд ирсэн томьёоны анхны тайлбарыг 1265 онд хэвлэгдсэн Төв Азийн математикч аль-Тусигийн номонд багтаасан бөгөөд үүнд тоонуудын хүснэгтийг (биномиаль коэффициент) багтаасан ба багтаасан болно.

Европын эрдэмтэд энэ томьёотой Дорнын математикчдаар дамжуулан танилцсан бололтой. Үл хөдлөх хөрөнгийн нарийвчилсан судалгаа хийсэн Францын математикчболон философич Б.Паскаль 1654. Таны гэрийн даалгавар бол илтгэл бэлтгэх явдал байв. Францын эрдэмтэнПаскале.

IV ) Блэйз Паскаль ( Оюутны мессеж)

Одоо дурын хүчин чадалд биномийг хэрхэн өсгөх нь тодорхой боллоо n. Зүүн талд бид бичдэг (a+b) n. Мөн баруун талд бид дүнг бичнэ А n + a n-1 b + … + b n, улирал бүрт коэффициентийн зай үлдээнэ. Мөн бид эдгээр газруудыг тоогоор дүүргэдэг n-Паскалийн гурвалжны 1-р мөр, мэдээжийн хэрэг үүнийг урьдчилан бичих хэрэгтэй.

Биномийг бүтээхa+b зэрэг хүртэлn задрал гэж нэрлэгддэг томъёогоор гаргаж болноНьютоны бином :

(a+b) n =а n +C 1 n а n - 1 b+C 2 n а n - 2 б 2 +...+C к n а n - к б к +... +C n - 1 n ab n - 1 +C n n б n

ХаанаC к n - бүх боломжит хослолууд үүсгэж болохn элементийн тус бүр нь k .

Жишээ : (a+b) 5 =а 5 +C 1 5 а 4 b+C 2 5 а 3 б 2 +C 3 5 а 2 б 3 +C 4 5 ab 4 +C 5 5 б 5 =а 5 + 5а 4 b+10a 3 б 2 + 10а 2 б 3 + 5ab 4 + б 5

Ийм байдлаар дурын зэрэглэлд хоёр гишүүнийг өсгөх томъёог бичиж болно. Ньютоны бином томъёог ашиглан хоёр гишүүнийг тэлэх нэр томьёоны зарим шинж чанарыг анхаарч үзье.

В ) Ньютоны биномийн шинж чанарууд

Коэффициент нь тэгш хэмтэй байна.

Хэрэв хаалтанд хасах тэмдэг байгаа бол + ба – тэмдэг ээлжлэн солигдоно.

Гишүүн бүрийн градусын нийлбэр нь биномийн зэрэгтэй тэнцүү байна.

Өргөтгөх коэффициентүүдийн нийлбэр (a + b) nтэнцүү 2 n .

VI ) Шинэ материалыг нэгтгэх.

Товчилсон үржүүлэх томъёог судлахдаа Ньютоны биномийг ашиглах талаар бид танд танилцуулсан: Ньютоны биномийг өөр хаана ашигладаг вэ?

VII ) Ньютоны биномын хэрэглээ.

Дүгнэж хэлэхэд, Ньютоны биномийг ашигласнаар илэрхийлэл нь өгөгдсөн тоонд хуваагдахыг нотлох боломжийг олгодог жишээг авч үзье.

Жишээ.

Илэрхийллийн утга гэдгийг батал , энд n нь натурал тоо, 16-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг.

Шийдэл.

Илэрхийллийн эхний гишүүнийг дараах байдлаар илэрхийлье Ньютоны бином томъёог ашиглана уу:

Үүссэн бүтээгдэхүүн нь анхны илэрхийлэл нь 16-д хуваагддаг болохыг баталж байна.Ньютоны биномийг Фермагийн теоремыг батлах, хязгааргүй цувааны онол, Ньютон-Лейбницийн томъёоны гарган авахад ашигладаг.

VIII ) “Ньютоны бином” фразеологийн нэгж ямар утгатай вэ?

Өчүүхэн даалгаварт хэрэглэгдэх хошин хэллэг, зарим нь гүйцэтгэхэд хэтэрхий хэцүү эсвэл туйлын хэцүү гэж андуурсан энгийн даалгавар.
Өгүүлбэрийн гарал үүсэл : романаас (1891 - 1940) "Мастер ба Маргарита" (1940).
Воландын бармен Соковтой хийсэн ярианы талаар тайлбар хийхээр шийдсэн Коровьевын үгс. Бармен түүнд хуурамч мөнгөөр ​​төлсөн үзэгчдийн талаар гомдоллож, "буфетийг зуун есөн рублиэр дуусгав".
"Мэдээжийн хэрэг, энэ бол мөнгө биш" гэж Воланд зочиндоо өгөөмөр байдлаар хэлэв, "гэхдээ энэ дашрамд хэлэхэд чамд ч хэрэггүй." Чи хэзээ үхэх вэ?
Энэ үед бармен уурлав.
"Энэ нь хэнд ч мэдэгдэхгүй бөгөөд хэнд ч хамаагүй" гэж тэр хариулав.
"За, тийм ээ, энэ нь мэдэгдэхгүй байна" гэж ижил хоолой сонсогдов оффисоос дуу хоолой (Коровьев), -Бодоод үз дээ, Ньютоны бином ! Тэрээр есөн сарын дараа буюу ирэх оны хоёрдугаар сард Москвагийн Улсын нэгдүгээр их сургуулийн дөрөвдүгээр тасагт элэгний хорт хавдраар нас барах болно” гэж мэдэгджээ.

IX ) Хичээлийн хураангуй. Тусгал

Бодоод үз дээ, Ньютоны бином

"Зүгээр л боддоо, Ньютоны бином"
Муур хиппопотамыг миулав
(Тэр бол Воландын даруухан зарц),
Амьдралын явцыг урьдчилан таамаглах.
Энэ бүхэн зөвхөн баталж байна
Ньютон бол суут ухаантан, гэхдээ удаан хугацааны туршид
Бином Хятадад алдартай байсан.
Арабчууд түүний тухай мэддэг байсан.
Гэхдээ Ньютон уг шийдлийг ерөнхийд нь хэлжээ.
Тэрээр олон гишүүнтийг нэгэн зэрэг өсгөв...
Бидний бүх эргэлзээг арилга
Бидэнд өөр асуудал байхгүй.
Ямар ч маргаангүйгээр бидэнд хэлээрэй
Бидэнд яагаад энэ бином хэрэгтэй байна вэ?
Үзэгдлийн комбинаторик
Бид үүнийг биномгүйгээр олохгүй.
11-р сар 2015 оны 7

Хичээл дээр та ямар шинэ зүйл сурсан бэ? Энэ томъёо математикийн хувьд чухал уу? Чамд ойлгоход хэцүү байсан уу шинэ материал?

Гэрийн даалгавар. Туршилтанд бэлтгэх.

( оюутан бүрт цаасан дээрх даалгавар)

1. Багийн 12 гишүүнээс та ахмад, орлогчоо сонгох хэрэгтэй. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?

2. Тооцоол: 4P 3 +3A 2 10 -C 2 5

Төгсөгчид эдийн засгийн хүрээлэнТэд банкинд 17, компанид 23, татварын албанд 19 гэсэн гурван өөр байгууллагад ажилладаг. Санамсаргүй танилцсан төгсөгч банкинд ажиллах магадлалыг олоорой?

8 өөр ном байгаагийн 2 нь яруу найргийн түүвэр юм. Лавлах номнууд хоорондоо зэрэгцэн байхаар эдгээр номыг тавиур дээр хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?

КВН тоглохын тулд та 6 хүний ​​бүрэлдэхүүнтэй багийг сонгох хэрэгтэй бөгөөд энэ багт ижил тооны охид, хөвгүүд байх ёстой бөгөөд ангид 12 охин, 10 эрэгтэй хүүхэд байх ёстой вэ?

Хэдэн гурван оронтой тоо 0,1,3,6,7,9 тоонуудаас өөр тоо гаргаж болох уу?

Үржүүлэлт: ( а- б) 9 ба (3 x+ y) 10

Шинжлэх ухаан ба амьдрал // Зураг

Блэйз Паскаль (1623-1662).

Исаак Ньютон (1643-1727).

Паскалийн гурвалжин.

Өнөөдөр гуч, дөчин жилийн өмнөх шиг өргөдөл гаргагчид элсэлтийн шалгалтуудИх сургуулийн оюутнууд уламжлал ёсоор Ньютоны биномийн тухай асуулт бүхий тасалбарыг сугалж авахаас айдаг. (Томьёоны зохиогч нь Английн агуу физикч, математикч, одон орон судлаач, гүн ухаантан Сэр Исаак Ньютон юм.) Гол нь томьёо нь ээдрээтэй мэт санагдаад байгаа юм биш. Үүнийг судлах ажлыг хөтөлбөрт оруулсан ахлах сургууль, дараа нь тэдгээрийг үндсэн хичээлийн хамрах хүрээнээс гадуур авсан боловч ноцтой их сургуулиудад шалгуулагчид Ньютоны биномийн талаар асууж, үргэлжлүүлэн асуусаар байв.

Үнэндээ энд айх онцгой зүйл байхгүй. Ньютоны бином - дурын тэлэлтийн томъёо байгалийн зэрэг binomial \((a+b)^n \) олон гишүүнт. Бидний хүн нэг бүр "нийлбэрийн квадрат" \((a+b)^2 \) болон "нийлбэрийн шоо" \((a+b)^3 \) томъёог цээжээр мэддэг. олон гишүүнтийн нөхцлийн коэффициентийг тодорхойлоход экспонент нэмэгддэг, хүндрэлтэй байдаг. Алдаа гаргахгүйн тулд Ньютоны бином томъёог ашиглана:

\[ (a+b)^n = a^n + \frac(n)(1a^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2 + \ldots + b^n. \]!}

Илүү ерөнхий хэлбэрээр хоёр гишүүний коэффициентийн томъёог дараах байдлаар бичнэ.

\[ C_(n)^(k) = \frac(n{k!(n-k)!} \]!}

Хаана к-олон гишүүнт гишүүний дарааллын дугаар.

Факториал бол бүтээгдэхүүн гэдгийг санаарай натурал тоонууд 1-ээс n,өөрөөр хэлбэл, \(1*2*3*\ldots*n \) - гэж тэмдэглэнэ n!,жишээ нь, \(4! = 1*2*3*4 = 24\).

Томьёог санахад үнэхээр хэцүү. Гэхдээ үүнийг шинжлэхийг хичээцгээе. Эндээс харахад аль ч олон гишүүнт байдаг a nТэгээд б нкоэффициенттэй 1. Олон гишүүнтийн бусад гишүүн бүр нь хоёр гишүүний гишүүн бүрийн тодорхой зэрэглэлийн үржвэр мэт харагдах нь ойлгомжтой. (a+b),ба чадлын нийлбэр нь үргэлж n-тэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, \[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] илэрхийлэлд бүх нөхцөл дэх хүчин зүйлсийн чадварын нийлбэр нь гуравтай тэнцүү байна. (3, 2+1, 1+2, 3). Бусад зэрэглэлийн хувьд ч мөн адил. Цорын ганц асуулт бол нэр томьёоны хувьд ямар коэффициент ашиглах ёстой вэ?

Сургуулийн сурагчид, оюутнуудын ажлыг хөнгөвчлөхийн тулд Францын агуу математикч, физикч Блез Паскаль гурван зуун тавин жилийн өмнө ийм санаа гаргаж байсан бололтой. тусгай хэрэгсэлижил коэффициентүүдийг тодорхойлохын тулд "Паскалийн гурвалжин".

Дараах байдлаар бүтээгдсэн: Гурвалжны орой дээр бид 1 гэж бичнэ. Нэгж нь \((a+b)^0, \) илэрхийлэлтэй тохирч, тэг хүртэл өсгөсөн тоо нь нэгийг өгдөг. Гурвалжинг дуусгахдаа бид доор дахин нэгийг бичнэ. Эдгээр нь эхний зэрэглэлд хүрсэн ижил биномийн тэлэлтийн коэффициентүүд юм:\((a+b)^1 = a+b.\) Үргэлжлүүлье. Гурвалжны талууд нь нэгжийг үүсгэдэг бөгөөд тэдгээрийн хооронд дээд талд байрлах хоёр нэгжийн нийлбэр, өөрөөр хэлбэл 2 байна. Эдгээр нь гурвалжны "нийлбэрийн квадрат" -ын коэффициентүүд юм.

\[ a^2 + 2ab + b^2. \]

Дараагийн эгнээ нь өмнөхтэй адил нэгжээр эхэлж, дуусдаг бөгөөд тэдгээрийн хооронд дээр байгаа тоонуудын нийлбэрүүд байна: 1, 3, 3, 1. Бид "нийлбэр шоо" -ын задралын коэффициентийг олж авлаа. Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн биномийн коэффициентүүдийн тоо нь 1, 4, 6, 4, 1 гэх мэт байх болно.

Жишээлбэл, Паскалийн гурвалжинг ашиглан хоёр гишүүний нийлбэрийг зургаа дахь зэрэглэл болгон олон гишүүнт болгон өргөжүүлье.

\[ (a + b)^6 = a^6+6a^5b + 15a^4b^2+20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6. \]

Бүх зүйл маш энгийн бөгөөд насан туршдаа дурсагдах болно. Дашрамд хэлэхэд, Паскалийн гурвалжныг бүдүүлэг зурган дээр зурснаар Ньютоны бином томъёог санаж, гаргаж авахад илүү хялбар байдаг.

Шинжлэх ухааны зарим түүхчид Блэйз Паскалыг зөвхөн гурвалжингийн хоёр гишүүний коэффициентийг олох боломжийг олгодог төдийгүй хоёр гишүүний томьёоны өөрөө бичсэн гэж үздэг. Тэд Паскаль үүнийг зөвхөн янз бүрийн илтгэгчийн томъёог ерөнхийд нь гаргасан Ньютоноос арай эрт гаргаж авсан гэж үздэг.