Квадрат болж буурдаг тэгшитгэлүүд. Рационал тэгшитгэл

Үл хөдлөх хөрөнгө тэгшитгэл, схем шийдлүүд тэгшитгэл, нэгтгэх... руу дөрвөлжин тэгшитгэл, бутархай рационал, график арга шийдлүүд тэгшитгэл. ... . Шийдэл: Ингээд бодъё функц y=x2- 16 , y=(x-4)(x+4). Тэг функцууд x1=... квадрат функц? Хуваарь юу вэ? функцууд ...

Кошигийн асуудлыг авч үзье: (14) (15) параметрүүд хаана байна. Цаашид бид Коши (14), (15) бодлогын шийдлээр параметрээс хамаарах функцуудыг авч үзэх болно. Дараа нь градиент тэгшитгэлүүд (14), (15)...-ын шийдлийн деривативаас хамаарна...

Дифференциал тэгшитгэлээр загварчлагдсан амьд байгаль дахь хэлбэлзлийн процессын параметрүүдийг тодорхойлох

Лотка тэгшитгэлийн (5) 2-р зүйлд зориулж Кошигийн бодлогыг илүү стандарт ашиглан бичье математик тэмдэглэгээ: , (1) , (2) Кошийн бодлого (17), (18) 1-р зүйл дараах байдалтай байна: , , (3) , (4) Бидний харж байгаагаар Коши бодлого (1), (2), (3), (4) олон гишүүнт...

Гурван зангилаа сүлжээний суурин тархалтын инвариант байдал дараалал

Хөдөлгөөнгүй хуваарилалт байна гэж үзье. Тэнцвэрийн тэгшитгэл байгуулъя...

Интеграци дифференциал тэгшитгэлашиглан эрчим хүчний цуврал

Аргументын функцийн n-р эрэмбийн ердийн дифференциал тэгшитгэл нь (1.10) хэлбэрийн хамаарал бөгөөд энд - өгөгдсөн функцтэдний аргументууд. Энэ ангийн нэрээр математик тэгшитгэл"дифференциал" гэсэн нэр томъёо нь ...

Иррационал тэгшитгэл

Жишээ 1: Тэгшитгэлийг шийд. Шийдэл. Хоёр хэсгийг хоёуланг нь бүтээцгээе анхны тэгшитгэлквадрат.. Хариулт: (6). Жишээ 2: Тэгшитгэлийг шийд. Шийдэл. Анхны тэгшитгэлийн зүүн талд арифметик байна квадрат язгуур- Энэ нь тодорхойлолтоор сөрөг биш ...

Иррационал тэгшитгэл

Ихэнх тохиолдолд энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ оюутнууд бүтээгдэхүүний шинж чанарын дараах томъёог ашигладаг: "Хоёр хүчин зүйлийн үржвэр нь дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байна. тэгтэй тэнцүү" Жич...

Иррационал тэгшитгэл

Эдгээр тэгшитгэлийг үндсэн шийдлийн аргыг ашиглан шийдэж болно рационал тэгшитгэл(тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгох), гэхдээ заримдаа тэдгээрийг өөр аргаар шийдэж болно. (1) тэгшитгэлийг авч үзье. Тэгшитгэлийн язгуур (1) байг...

Квадрат тэгшитгэлийг Энэтхэгт мөн шийдсэн. Квадрат тэгшитгэлийн асуудлуудыг Энэтхэгийн математикч, одон орон судлаач Арьябхаттагийн 499 онд эмхэтгэсэн "Арьябхаттиам" хэмээх одон орны зохиолд аль хэдийн олдсон байдаг. Энэтхэгийн өөр нэг эрдэмтэн...

Квадрат ба дээд эрэмбийн тэгшитгэл

Харилцан тэгшитгэл нь a0xn + a1xn ​​- 1 + ... + an - 1x + an =0 алгебрийн тэгшитгэл бөгөөд үүнд ak = an - k, энд k = 0, 1, 2 ...n, ба, тийм үү? 0...

Шугаман ба квадрат хамаарал, х функц ба холбогдох тэгшитгэл, тэгш бус байдал

Элсэлтийн шалгалтын зарим асуудал нь зөвхөн үндэсийн байршлыг шалгахаас илүүг шаарддаг квадрат гурвалжин, гэхдээ тодорхой логик хэллэгийг ямар параметрийн утгаар гүйцэтгэж байгааг олж мэдэхийн тулд...

Логарифм функцдаалгаварт

Жишээ 1: Тэгшитгэлийг шийд. Шийдэл: Бүс нутаг хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэ- хүн бүр маш олон бодит тоо, хүн бүрийн өмнө тул. Логарифмын тодорхойлолтоор бид байна. Бид авдаг экспоненциал тэгшитгэл, үүнийг бид алгебрийн аргаар багасгах аргыг ашиглан шийддэг ...

Эргэлтийн төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга зүй

Жишээ 3.1. Шугаман бус тэгшитгэлХилберт цөмтэй: (3.12) (3.13) Байна цорын ганц шийдэлХилбертийн орон зайд. 1977 онд Г.М. Магомедов (3...) хэлбэрийн Коши цөмтэй шугаман бус сингуляр интеграл тэгшитгэлийг авч үзсэн.

Ойролцоогоор шийдлийн аргууд хил хязгаарын асуудал, хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд

Пуассоны тэгшитгэлийг эргэн санацгаая (4) (4) Практикт төгсгөлийн ялгааны схемийг бүтээхэд хэд хэдэн загвар ашигладаг. 1. Төгсгөлийн ялгавартай “загалмайн” схем...

Дифференциалын хэрэглээ ба интеграл тооцоофизик болон геометрийн асуудлууд MATLab дээр

Олон физикийн хуулиудДифференциал тэгшитгэлийн хэлбэртэй байна, өөрөөр хэлбэл функц ба тэдгээрийн дериватив хоорондын хамаарал. Эдгээр тэгшитгэлийг нэгтгэх асуудал нь хамгийн чухал ажилматематик...

Өргөдөл тригонометрийн орлуулалтшийдвэрлэх алгебрийн асуудлууд

Иррационал тэгшитгэлүүд ихэвчлэн олддог элсэлтийн шалгалтуудматематикийн хувьд, учир нь тэдний тусламжтайгаар ийм ойлголтуудын талаархи мэдлэгийг оношлоход хялбар байдаг эквивалент хувиргалт, тодорхойлолтын домэйн болон бусад...

Квадрат тэгшитгэл нь ax²+bx+c=0 тэгшитгэл бөгөөд a, b, c – өгсөн тоо, a0, x тодорхойгүй байна. Квадрат тэгшитгэлийн a, b, c коэффициентүүдийг ихэвчлэн дараах байдлаар нэрлэдэг: a – эхний буюу тэргүүлэх коэффициент, b – хоёр дахь коэффициент, c – чөлөөт гишүүн. Жишээ нь: 3x²-x+2=0 тэгшитгэлд ахлах (эхний) коэффициент a=3, хоёрдугаар коэффициент b=-1, чөлөөт гишүүн c=2 байна. Математик, физик, технологийн олон асуудлын шийдэл нь шийдвэрлэхэд ирдэг квадрат тэгшитгэл: 2x²+x-1=0, x²-25=0, 4x²=0, 5t²-10t+3=0. Олон асуудлыг шийдвэрлэхдээ үүнийг ашиглан тэгшитгэлийг олж авдаг алгебрийн хувиргалтквадрат болгон бууруулсан байна. Жишээлбэл, тэгшитгэлийн 2x²+3x=x²+2x+2 бүх гишүүнийг зүүн тал руу шилжүүлж, авчирсны дараа. ижил төстэй гишүүд x²+x-2=0 квадрат тэгшитгэлд бууруулна.

Тэгшитгэлийг авч үзье ерөнхий үзэл: ax²+bx+c=0, энд a0. Тэгшитгэлийн язгуурыг томъёогоор олно: Илэрхийлэлийг квадрат тэгшитгэлийн дискриминант гэнэ. Хэрэв D 0 бол тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай байна. D=0 тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг заримдаа хоёр ижил язгууртай гэж хэлдэг.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл. Хэрэв квадрат тэгшитгэлийн ax²+bx+c=0 хоёр дахь коэффициент b буюу чөлөөт гишүүн c нь тэгтэй тэнцүү бол квадрат тэгшитгэлийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь дараах хэлбэрүүдийн аль нэгтэй байж болно. Бүрэн бус тэгшитгэлТэдний язгуурыг олохын тулд квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томьёо ашиглах шаардлагагүй тул тэгшитгэлийг зүүн талыг нь хуваах замаар шийдвэрлэх нь илүү хялбар байдаг.

x 2 +px+q=0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг. Энэ тэгшитгэлд тэргүүлэх коэффициент нэгтэй тэнцүү: a=1. Дээрх квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг дараах томъёогоор олно: Энэ томъёог p – үед хэрэглэхэд тохиромжтой. тэгш тоо. Жишээ: x 2 -14x-15=0 тэгшитгэлийг шийд. Томъёог ашиглан бид олно: Хариулт: x 1 =15, x 2 =-1.

Франсуа Вьетнам уу? Вьетагийн теорем. Хэрвээ x 2 +px+q=0 багасгасан квадрат тэгшитгэл бодит язгууртай бол тэдгээрийн нийлбэр нь -p, үржвэр нь q, өөрөөр хэлбэл x 1 +x 2 = -p, x 1 x 2 байна. = q (багасгасан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь дараахаас авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна. эсрэг тэмдэг, мөн үндэсийн үржвэр нь чөлөөт нэр томъёотой тэнцүү). Квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хамаарлыг судлах.

1-р мэдэгдэл: x 2 +pх+q=0 тэгшитгэлийн үндэс нь x 1 ба x 2 байг. Тэгвэл x 1, x 2, p, q тоонууд тэгшитгэлээр холбогдоно: x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 =q Тайлбар 2: x 1, x 2, p, q тоонууд хамааралтай байг. x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 =q тэгшитгэлээр. Дараа нь x 1 ба x 2 нь x 2 +pх+q=0 тэгшитгэлийн язгуур юм. Үр дүн: x 2 +pх+q=(x-x 1)(x-x 2). Вьетагийн теоремыг ашиглаж болох нөхцөл байдал. Олдсон үндэсийн зөв эсэхийг шалгаж байна. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын тэмдгүүдийг тодорхойлох. Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн бүхэл язгуурыг амаар олох. Өгөгдсөн язгууртай квадрат тэгшитгэл зохиох. Квадрат гурвалжны коэффициент.

Биквадрат тэгшитгэл Биквадрат тэгшитгэл нь 0 гэсэн хэлбэрийн тэгшитгэл юм. Биквадрат тэгшитгэлшинэ хувьсагч оруулах замаар шийдэгдэнэ: тавиад квадрат тэгшитгэл гарна Жишээ: Тэгшитгэлийг шийд х 4 +4х 2 -21=0 x 2 =t гэж тавиад t 2 +4t -21=0 квадрат тэгшитгэл гарна. Энд бид t 1 = -7, t 2 =3 гэж олно. Одоо x 2 = -7, x 2 =3 тэгшитгэлийг шийдэх асуудал гарч ирнэ. Эхний тэгшитгэлд бодит үндэс байхгүй, хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн биквадрат тэгшитгэлийн үндэс юм.

Квадрат тэгшитгэл ашиглан бодлого бодох Бодлого 1: Автобус автобусны буудлаас 40 км зайтай нисэх онгоцны буудал руу хөдөллөө. 10 минутын дараа нэг зорчигч автобусны ард таксинд суугаад орхижээ. Таксины хурд автобусны хурдаас 20 км/ц илүү. Такси, автобус нисэх онгоцны буудал дээр нэгэн зэрэг ирсэн бол тэдний хурдыг ол. Хурд V (км/ц) Хугацаа t (ц) Зам S (км) Busx40 TaxiX+2040 10 минутын турш 10 мин = цаг Тэгшитгэлийг үүсгэж шийдье:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг 6x(x+20)-аар үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг олж авна: Энэ тэгшитгэлийн язгуурууд: x-ийн эдгээр утгуудын хувьд тэгшитгэлд орсон бутархайн хуваагч нь 0-тэй тэнцүү биш тул тэдгээр нь тэгшитгэлийн үндэс. Автобусны хурд эерэг байх тул асуудлын нөхцөлийг зөвхөн нэг язгуур хангана: x=60. Тиймээс таксины хурд 80 км/цаг байна. Хариулт: Автобусны хурд 60 км/цаг, таксины хурд 80 км/цаг.

Бодлого 2: Нэгдүгээр бичигч гар бичмэлээ дахин бичихэд хоёрдугаарт 3 цаг бага зарцуулдаг. Тэд нэгэн зэрэг ажилласнаар бүх гар бичмэлийг 6 цаг 40 минутын дотор дахин бичиж дуусгасан. Тэд гар бичмэлийг бүхэлд нь дахин бичихэд хэр хугацаа шаардагдах вэ? Нэг цагийн ажлын хэмжээ Хугацаа t (ц) Ажлын хэмжээ Нэгдүгээр бичигч х1 Хоёрдугаар бичигч х+31 Хамтдаа 6 цаг 40 минут 6 цаг 40 минут = 6 цаг Тэгшитгэлийг үүсгэж шийдье:

Энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно: Тэгшитгэлийн хоёр талыг 20x(x+3)-аар үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг олж авна: Энэ тэгшитгэлийн язгуурууд: x-ийн эдгээр утгуудын хувьд тэгшитгэлд орсон бутархайн хуваагч байхгүй болно. 0-тэй тэнцүү, тиймээс - тэгшитгэлийн үндэс. Хугацаа эерэг тул x=12h. Тиймээс эхний бичигч ажилдаа 12 цаг зарцуулдаг бол хоёр дахь нь - 12 цаг + 3 цаг = 15 цаг Хариулт: 12 цаг, 15 цаг 15

Франсуа Вьет Франсуа Виет 1540 онд Францад төржээ. Вьетийн аав прокурор байсан. Хүү нь эцгийнхээ мэргэжлийг сонгон хуульч болж, Пойтоу дахь их сургуулийг төгсчээ. 1563 онд тэрээр хууль зүйн шинжлэх ухааныг орхиж, язгууртан гэр бүлийн багш болжээ. Энэ нь залуу хуульчийн математикийн сонирхлыг төрүүлсэн юм. Вьетнам Парис руу нүүж, Европын тэргүүлэх математикчдын ололт амжилтын талаар суралцахад илүү хялбар байдаг. 1571 оноос хойш Вьетнам төрийн чухал албан тушаал хашиж байсан боловч 1584 онд түүнийг Парисаас хөөж, хөөжээ. Одоо түүнд математикийг нухацтай авч үзэх боломж олдсон. 1591 онд тэрээр "Аналитик урлагийн удиртгал" зохиолоо хэвлүүлж, тэмдэгтүүдтэй ажиллах замаар ямар ч харгалзах хэмжигдэхүүнд хамаарах үр дүнг олж авах боломжтой гэдгийг харуулсан. Тэр жилдээ алдартай теорем хэвлэгджээ. Тэрээр Франц-Испанийн дайны үеэр III Генригийн үед асар их алдар нэрийг олж авсан. Хоёр долоо хоногийн дотор өдөр шөнөгүй ажиллаж байгаад Испани шифрийнхээ түлхүүрийг олжээ. 1603 онд Парист нас барсан, түүнийг алагдсан гэж сэжиглэж байна.

Тэгшитгэлийн стандарт төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга

1. Маягтын тэгшитгэл
= б↔ f(x) = b 2, b ≥ 0-ийн хувьд; b-ийн шийдэл байхгүй

Алтан дүрэм.Шийдвэрлэхийн тулд үндсийг нь тусгаарлах шаардлагатай.

Жишээ.

1)

2)

3)
. Ямар ч шийдэл байхгүй, учир нь ...

2. Маягтын тэгшитгэл

Жишээ.

Хариулт: x = - 1

2) Доорх жишээнд энэ төрөлтэгшитгэлийн хувьд эквивалент шилжилтийг ашиглахдаа хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээг олох шаардлагатай.

Жишээ.

Хариулах

3. Маягтын тэгшитгэл


эсвэл

Илүү энгийн тэгш бус байдлыг сонго.

Жишээ.

1)

, sinх = t, |t| ≤ 1, t ≥ 0, 0 ≤ t ≤ 1

2т 2 + t – 1 = 0

t = -1 , t = ½ t = ½ хязгаарлалтад хамаарна

Хариулт:

4. Квадрат болгон бууруулсан тэгшитгэл

Ийм тэгшитгэлд зэрэг нь хоёр дахин ялгаатай ижил радикал илэрхийлэл бүхий язгууруудыг агуулдаг (
). Үндэсийг солих замаар шийддэг
, хязгаарлалттай.

Жишээ.

1)

= t, энд t ≥ 0

t 2 – 2 t – 3 = 0, t = - 1, t = 3, t ≥ 0, t = 3 гэдгийг харгалзан үзнэ.

= 3

Хариулт: x = ± 7

2)

= t, тэгвэл

= 2 эсвэл = ½

= 32 = 1/32

16z =32 16·32z – z = - 1

z = 2 z = - 1/511
5. Нэр томьёо хэлбэрээр нэгээс олон язгуур агуулсан тэгшитгэл

Энэ төрлийн тэгшитгэлд үндэснээс салах шаардлагатай. Ихэнхдээ энэ нь хоёр хэсгийг дөрвөлжин болгох замаар хийгддэг. Үл мэдэгдэх ODZ-ийг квадрат болгоход энэ нь өргөжиж, улмаар хүргэж болзошгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй гадаад үндэстэгшитгэл Квадрат нь тэнцүү шилжилтийг өгдөггүй тул үл мэдэгдэх утгыг шалгах шаардлагатай.

Шийдвэр гаргахдаа дараах дүрмийг баримтлах ёстой.

1. 
   Үндэсийг бүхэлд нь тараана өөр өөр талууд, энэ тохиолдолд өөрчлөлтүүд нь илүү хялбар байдаг тул;
2. 
   Үндэс нь байгаа утгуудын багцыг олох;
3. 
   Хоёр хэсгийг дөрвөлжин;
4. 
   Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулах;
5. 
   1 – 3 төрлүүдийн дагуу шийдвэрлэх;
6. 
   гадны үндэсийг арилгах;
7. 
   Үлдсэн үндсийг шалгана уу.

1)

5-р алхамыг (хэлбэрийн тэгшитгэл) гүйцэтгэх замаар шийднэ.

x = 3-ыг шалгаж байна

Тэгш байдал үнэн.

Хариулт: x = 3.
2)

3х - 4 - 2
= x - 2

2х – 2 = (1) x – 1 =

Эквивалент дээр үндэслэн бид анхны тэгшитгэлийг биш зөвхөн (1) тэгшитгэлийг шийддэг тул шалгах хэрэгтэй гэдгийг анхаарна уу.

Та ODZ-ийг харгалзахгүйгээр шийдэж, эквивалентыг ашиглахгүй байж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд х-ийн олж авсан бүх утгыг шалгах шаардлагатай. Зарим тэгшитгэлд энэ нь нэлээд төвөгтэй байдаг.

Шалгалт. x = 3

Тэгш байдал үнэн.

Хариулт: x = 3
6. Хувьсагчийг өөрчлөх замаар шийддэг тэгшитгэл.

6.1 Илэрхий орлуулалт.

Хэрэв жишээнд давтагдсан илэрхийлэл бүхий нэр томъёо байгаа бол хувьсагчдыг солих нь зүйтэй бөгөөд энэ нь үндсэндээ шууд шийдэл биш боловч илэрхийлэлийг хувиргах, тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулах ажлыг ихээхэн хялбаршуулдаг.

Алтан дүрэм . Солигдсон - шинэ хувьсагчийн өөрчлөлтийн талбарыг тодорхойлно. (шинэ хувьсагч дээр хязгаарлалт тавих)

Жишээ.

1)

Үндэс нь арифметик учраас = t, t ≥ 0 гэж үзье.

Бид дараахийг авна: t 2 – 2t – 3 = 0

t = - 1, t = 3

Учир нь t ≥ 0, t = 3

x руу шилжье

= 3 x 2 + 32 = 81, x = ± 7.

Хариулт: x = ± 7.


Учир нь
Тэгээд
харилцан урвуу илэрхийллүүд, дараа нь хэрэв
= т,

= , энд t > 0 байна.

Бид t + =, 2t 2 – 5t + 2 = 0,

t = ½, t = 2,

= эсвэл = 2

8x = 1+2x, 2x = 4 + 8x

x = 1/6. x = - 2/3

Хамгийн том үндэс нь x = 1/6.

3)

= t, t ≥ 0 Үндэсийг сольж баруун гар талыг t-ээр илэрхийлнэ.

= t 2,
t 2 – 20

t = - (t 2 – 20), t 2 + t – 20 = 0. t = - 5 эсвэл t = 4.

Учир нь t ≥ 0 бол t = 4 байна

= 4,

x 2 + 2x + 8 = 16,

x 2 + 2x - 8 = 0, x = - 4 эсвэл x = 2.

Хариулт: x = - 4, x = 2.

4)
. Бид үйлдвэрлэх болно давхар солих:

t =
, энд t ≥ 0, d =
, энд d ≥ 0.

Тус бүрээс x-ийг илэрхийлье: x = 5 - t 2 эсвэл x = d 2 + 3. Системийг нь авч үзье:

. t = 0 эсвэл d = 0

= 0 эсвэл = 0

x = 5 эсвэл x = 3

Хариулт: x = 5; x = 3.

6.2 Тодорхой бус орлуулалт

Хувьсагчийг солих нь нэн даруй биш, харин өөрчлөлт хийсний дараа хийгддэг.

Жишээ.

1)

ОДЗ: - 1 ≤ x ≤ 3

Хуваарийг нь өөрчилье
илүү зөв нарийн төвөгтэй илэрхийлэл
нэг юм үлдлээ.

Ижил илэрхийлэл авахыг хүлээж хоёр талыг нь квадрат болгоцгооё.

Хүлээлт нь үндэслэлтэй байсан.

= t, t ≥0
= t 2 + 4

4t = t 2 + 4, t 2 – 4t + 4 = 0, (t – 2) 2 = 0, t = 2

= 2,
= 4,

x = 1 язгуур тэгшитгэл, учир нь коэффициентүүдийн нийлбэр ба чөлөөт гишүүнтэгтэй тэнцүү.

хуваагаад үзье
x дээр - 1. Бид x 2 – 2x + 1 = 0. x = 1 ± болно
.

Гурван үндэс нь 1 ≤ x ≤ 3 нөхцөлийг хангасан тул шийдэл юм.

Хариулт: x = 1, x = 1 ±
7. Бүтээгдэхүүний хэлбэрийн тэгшитгэлүүд нь тэгтэй тэнцүү байна.

Наад зах нь нэг хүчин зүйл нь тэгтэй тэнцүү байхад бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байхад нөгөө нь утгаа алддаггүй.

f(x) g(x) = 0

Жишээ.

1)

= 0

x = - 1, x = 2 шийдэл байхгүй.

Хариулт: x = - 1, x = 2.

Системд орсон тэгш бус байдлыг нэн даруй шийдвэрлэх боломжгүй, харин үүссэн үндсийг тэгш бус байдалд орлуулж болно.

2) Хүчин зүйлд хуваах шаардлагатай.

= 4

x = 0, x = 5 шийдэл байхгүй.

Хариулт: x = 0, x = 5.

1. 
   Квадрат ба шоо язгуур агуулсан тэгшитгэл.

Жишээ.

1)

= т,
= d, энд d ≥ 0

x = 2 - t 3 , x = d 2 + 1. Системийг байгуулъя:

Учир нь олдсон бүх утгын хувьд t d ≥ 0 бол d системээс олдохгүй, харин x = 2 - t 3 нөхцлөөс x-г олж болно.

x = 2, x = 10, x = 1

Хариулт: x = 2, x = 10, x = 1

2)
.

1 арга зам. Өмнөх тэгшитгэлийн дагуу шийд.

Арга 2. Үүнийг анхаарна уу зүүн талТэгшитгэл нь тодорхойлолтын муж дээрх хоёр нэмэгдэж буй функцийн нийлбэрээс бүрдэх тул нэмэгдэж буй функцийг илэрхийлнэ: x ≥ - 1. Баруун тал- тогтмол. Эдгээр функцүүдийн графикууд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд тэдгээрийн абсцисса нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл байх болно, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй байна. Үүнийг авахыг хичээцгээе.

Мэдээжийн хэрэг, сонгон шалгаруулалтыг хийх ёстой ODZ тэгшитгэл. Энэ нь үндсийг зайлуулах ёстой гэж үзэх ёстой, учир нь ... нийлбэр нь 3.

Бид x = 3 нь тэгшитгэлийн үндэс мөн гэдэгт итгэлтэй байна.

Хариулт: x = 3.

3)
.

Учир нь
Үндсийг нь ижил хэмжээгээр бууруулъя.

, x = - 1

(x + 1)(x 2 – 4x + 4)

x 2 – 4x + 4 =0 x = 2.

Хоёр үндэс нь ODZ-ийг хангадаг.

Хариулт: x = - 1, x = 2

1. 
   Гурав дахь хоёр язгуурын нийлбэр (ялгаа) агуулсан тэгшитгэл.

(a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b),

(a - b) 3 = a 3 - b 3 - 3ab(a - b) .

Хаалт (a ± b) = гэдгийг анхаарна уу

Жишээ.

1)
. Хоёр хэсгийг шоо болгоё:

Гэхдээ
= 2 тул сүүлийн хаалтыг 2-оор солино.

Бид авдаг

x = 0

хариулт: x = 0.

2)

2 – x ба 7 + x илэрхийллүүд давтагдаж байгааг анхаарна уу. Орлуулах зүйл хийцгээе:

t =
, d =
. Хаана x = 2 - t 3 эсвэл x = d 3 – 7 байна

Та t ба d-ийг олох шаардлагагүй, гэхдээ td = 2 гэдгийг ашиглана уу

= 2

- x 2 – 5x + 14 = 8, x 2 + 5x - 6 = 0, x = - 6, x = 1.

Хариулт: x = - 6, x = 1.

1. 
   Нарийн төвөгтэй радикалуудыг агуулсан тэгшитгэлүүд.

1. 
   Радикал илэрхийлэл нь төгс дөрвөлжин эсэхийг тодорхойлох;
2. 
   Сонго төгс дөрвөлжин;
3. 
   1-р зүйл байхгүй тохиолдолд нарийн төвөгтэй радикалуудын томъёог хэрэглэнэ;
4. 
   1-3-р догол мөр байхгүй тохиолдолд стандарт хувиргалтыг (орлуулах, үржүүлэх, экспонентаци гэх мэт) хэрэглэнэ.

1)

Төгс квадратыг олохыг хичээцгээе. (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2. Энэ тохиолдолд дараахь үндэслэлийг гаргах ёстой.

Болъё
- давхар бүтээгдэхүүн, 2ab.

Болъё
- эхний тоо a.

Дараа нь хоёр дахь тоо b = 1. Тиймээс эхний болон хоёр дахь тооны квадратуудын нийлбэр нь x – 3 байна. Радикал илэрхийлэл нь бүрэн дөрвөлжин юм.

Болъё
- давхар бүтээгдэхүүн.

Эхний тоо нь a.

Дараа нь хоёр дахь тоо b = 2. Тиймээс эхний болон хоёр дахь тооны квадратуудын нийлбэр нь х-тэй тэнцүү байна. Радикал илэрхийлэл нь бүрэн дөрвөлжин юм.

+ = 1

Учир нь
│a│, тэгвэл бид тэгшитгэлийг авна.
│
│ + │
│ = 1

Одоо = t , = t – 1 гэсэн орлуулгыг хийцгээе

│t │ + │t – 1 │ = 1

Модулуудын тэгийг олъё: t = 0, t = 1

│t │

- │ + │ +

│t – 1 │- 0 - 1 + x

шийдэл байхгүй
шийдэл байхгүй

0 ≤ ≤ 1

1 ≤ ≤ 2 Учир нь Тэгш бус байдлын бүх хэсгийг квадрат болгоё.

1 ≤ x – 4 ≤ 4, 5 ≤ x ≤ 8.

Хариулт:

Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

1. 
   Функцийн монотон байдлын шинж чанарыг ашиглах.

Дараахь зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

1. 
   Хоёр нэмэгдэх (буурах) функцийн нийлбэр нь нэмэгдэж буй (буурагдах) функц юм.
2. 
   Функцийн өсөлт, бууралтыг түүний деривативаар тодорхойлж болно.

1)
.

f(x) = байг
. f(x) – D(f) = (-∞; 3] -аар буурна.

g(x) = 6 – тогтмол. Функцийн графикууд нэг цэг дээр огтлолцдог. Тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй.

Бид үндсийг нь гаргаж авах ёстойг харгалзан D(f) = (-∞; 3]-аас сонгоно.

x = - 1.

Шалгалт.

, 4 + 2 = 6, тэгш байдал нь үнэн юм.

Хариулт: x = - 1.

2)

f(x) = байг
. Функц нь буурч байна.

Үүнийг баталъя. D(f) =

f ′(x) =

f ′(x) = 0, = 0, x = 2 D(f)

f(1) =
, f(2) = 3, f(3) =

E(f) = [; 3]

g(x) =
, D(g) =

g ′(x) =

g ′(x) = 0 = 0, x = 1 D(g)

g(0) = 3, g(1) = 4, g(2) = 3

E(g) =

Үүнийг анхаарна уу ижил үнэ цэнэБид зөвхөн x = 2-ын хувьд олж авдаг функцууд

Та мөн дараахь үндэслэлийг гаргаж болно. хамгийн өндөр үнэ цэнэнэг функц нь тэнцүү байна хамгийн бага утга x-ийн ижил утгуудын өөр функц. Тиймээс f(x) = g(x) тэгшитгэлийн шийдэл нь x-ийн эдгээр утгууд юм.

x = 2 үед max f = 3, min g = 3, max f = min g = 3

Хариулт: x = 2

1 арга зам.

f(x) = байг
, D(е) = Р.

f ′(x) = 4x 3 + 12x 2 + 12x + 4

f ′(x) = 0 4х 3 + 12х 2 + 12х + 4 = 0,

x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = 0, (x + 1) 3 = 0

x = - 1
f ′(x) - │ +

f(x) - 1
f мин = f(-1) = - 1 E(f) = [ - 1; ∞)
g(x) =
D(g) = R.

g ′(x) =
, g ′(x) = 0 x = - 1

g ′(x) + -

g(x) │- 1

g max = g(-1) = - 1 E(g) =(- ∞; - 1]
min f = max g = - 1 үед x = -1.

Хариулт: x = - 1.

Арга 2.

Олон гишүүнтийн төгс квадратыг сонгоно уу:

(x 2 + 2x) 2 + 2x 2 + 4x. Бид авах:

(X 2 + 2x) 2 + 2(х 2 + 2x) +
.

Одоо та солих боломжтой:

x 2 + 2x = t

t 2 + 2 t +
= 2

Энэ нь боломжтой юм өгөгдсөн тэгшитгэл 2-р аргыг илүүд үздэг. Гэхдээ олон тэгшитгэл, систем, тэгш бус байдлыг яг ийм аргаар шийддэг тул тооцоолох аргыг сайн эзэмших шаардлагатай.

1. 
   DZ ашиглах