-ээс эхэлье нэгийн логарифмын шинж чанарууд. Түүний томъёолол нь дараах байдалтай байна: нэгдлийн логарифм нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, log a 1=0ямар ч a>0, a≠1. Баталгаажуулах нь тийм ч хэцүү биш: дээрх a>0 ба a≠1 нөхцлийг хангасан аль ч тохиолдолд a 0 =1 байх тул нотлох ёстой a 1=0 тэгшитгэл нь логарифмын тодорхойлолтоос шууд гарч ирнэ.
Харгалзан авч буй үл хөдлөх хөрөнгийн хэрэглээний жишээг өгье: log 3 1=0, log1=0 ба .
Дараагийн үл хөдлөх хөрөнгө рүү шилжье: суурьтай тэнцүү тооны логарифм нэгтэй тэнцүү , өөрөөр хэлбэл, log a a=1 a>0, a≠1 хувьд. Үнэн хэрэгтээ аливаа а-д a 1 =a тул логарифмын тодорхойлолтоор a a=1 болно.
Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах жишээ нь log 5 5=1, log 5.6 5.6 ба lne=1 тэнцүү байна.
Жишээлбэл, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ба 
.
Хоёр эерэг тооны үржвэрийн логарифм x ба y бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнаЭдгээр тоонуудын логарифмууд: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1 . Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг баталъя. Зэрэглэлийн шинж чанараас шалтгаалан a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, мөн үндсэн логарифмын адилтгалаар лог a x =x ба log a y =y байх тул a log a x ·a log a y =x·y болно. Ийнхүү лог a x+log a y =x·y байх бөгөөд үүнээс логарифмын тодорхойлолтоор нотлогдож буй тэгш байдал гарч ирнэ.
Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг ашиглах жишээг үзүүлье: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ба 
.
Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг тухайн бүтээгдэхүүнд нэгтгэн дүгнэж болно хязгаарлагдмал тоо n эерэг тоо x 1 , x 2 , …, x n as log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Энэ тэгш байдлыг асуудалгүйгээр баталж болно.
Жишээлбэл, бүтээгдэхүүний натурал логарифмыг 4, e, ба тоонуудын гурван натурал логарифмын нийлбэрээр сольж болно.
Хоёр эерэг тооны хэсгийн логарифм x ба y зөрүүтэй тэнцүү байнаЭдгээр тоонуудын логарифмууд. Хэсгийн логарифмын шинж чанар нь a>0, a≠1, x ба y нь эерэг тоонууд байх хэлбэрийн томьёотой тохирч байна. Бүтээгдэхүүний логарифмын томъёоноос гадна энэ томьёоны хүчинтэй байдал нотлогдсон: оноос хойш 
, дараа нь логарифмын тодорхойлолтоор.
Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах жишээ энд байна. 
.
Дараа нь үргэлжлүүлье чадлын логарифмын шинж чанар. Зэрэглэлийн логарифм нь энэ зэргийн суурийн индекс ба модулийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна. Хүчний логарифмын энэ шинж чанарыг томъёогоор бичье. log a b p =p·log a |b|, энд a>0, a≠1, b ба p нь b p зэрэг нь утга учиртай, b p >0 байх тоо юм.
Эхлээд бид энэ шинж чанарыг эерэгээр баталж байна b. Үндсэн логарифмын ижилсэл нь b тоог a log a b , дараа нь b p =(a log a b) p хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог ба үр дүнгийн илэрхийлэл нь чадлын шинж чанараас шалтгаалан p·log a b -тэй тэнцүү байна. Ингээд бид b p =a p·log a b тэгшитгэлд хүрч, логарифмын тодорхойлолтоор log a b p =p·log a b гэж дүгнэж байна.
Энэ өмчийг сөрөг талаас нь нотлох хэвээр байна b. Сөрөг b-ийн хувьд log a b p илэрхийлэл нь зөвхөн p тэгш илтгэгчийн хувьд утга учиртай болохыг энд тэмдэглэв (учир нь b p зэргийн утга нь байх ёстой. тэгээс их, эс бөгөөс логарифм утгагүй болно), энэ тохиолдолд b p =|b| х. Дараа нь b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, хаанаас log a b p =p·log a |b| .
Жишээлбэл, 
ба ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Энэ нь өмнөх өмчөөс үүдэлтэй язгуураас авсан логарифмын шинж чанар: n-р язгуурын логарифм нь 1/n бутархайг радикал илэрхийллийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, 
, энд a>0, a≠1, n – натурал тоо, нэгээс их, b>0.
Нотолгоо нь аливаа эерэг b-ийн хувьд хүчинтэй тэгш байдал (харна уу) ба чадлын логарифмын шинж чанар дээр суурилдаг. 
.
Энэ өмчийг ашиглах жишээ энд байна: 
.
Одоо баталъя шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёотөрлийн 
. Үүнийг хийхийн тулд тэгш байдлын log c b=log a b·log c a-ийн үнэн зөвийг батлахад хангалттай. Үндсэн логарифмын таних тэмдэг нь b тоог a log a b, дараа нь log c b=log c a log a b гэж илэрхийлэх боломжийг олгодог. Зэрэглэлийн логарифмын шинж чанарыг ашиглахад хэвээр байна: log c a log a b =log a b log c a. Энэ нь тэгш байдлын log c b=log a b·log c a гэдгийг баталж байгаа нь шинэ логарифмын суурь руу шилжих томьёо мөн батлагдсан гэсэн үг.
Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах хэд хэдэн жишээг үзүүлье: ба 
.
Шинэ суурь руу шилжих томъёо нь "тохиромжтой" суурьтай логарифмуудтай ажиллахад шилжих боломжийг олгодог. Жишээлбэл, логарифмын хүснэгтээс логарифмын утгыг тооцоолохын тулд натурал буюу аравтын логарифм руу шилжихэд ашиглаж болно. Шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёо нь зарим тохиолдолд бусад суурьтай зарим логарифмын утгууд мэдэгдэж байгаа тохиолдолд өгөгдсөн логарифмын утгыг олох боломжийг олгодог.
Ихэнхдээ ашигладаг онцгой тохиолдол c=b хэлбэрийн логарифмын шинэ суурь руу шилжих томьёо 
. Энэ нь log a b ба log b a – болохыг харуулж байна. Жишээлбэл, 
.
Томъёог бас ихэвчлэн ашигладаг 
, энэ нь логарифмын утгыг олоход тохиромжтой. Бидний үгсийг батлахын тулд бид үүнийг маягтын логарифмын утгыг тооцоолоход хэрхэн ашиглаж болохыг харуулах болно. Бидэнд байна 
. Томьёог батлахын тулд 
a логарифмын шинэ суурь руу шилжих томъёог ашиглахад хангалттай. 
.
Логарифмын харьцуулалтын шинж чанарыг батлахад л үлддэг.
Аливаа эерэг тоонуудын хувьд b 1 ба b 2, b 1 гэдгийг баталцгаая log a b 2, a>1-ийн хувьд – тэгш бус байдлын log a b 1 Эцэст нь логарифмын хамгийн сүүлийн жагсаасан шинж чанарыг батлахад л үлдлээ. Түүний эхний хэсгийн нотолгоогоор хязгаарлъя, өөрөөр хэлбэл, хэрэв 1 >1, a 2 >1, a 1 гэдгийг батлах болно. 1 нь үнэн log a 1 b>log a 2 b . Логарифмын энэ өмчийн үлдсэн мэдэгдлүүдийг ижил төстэй зарчмын дагуу нотолж байна. Эсрэг аргыг хэрэглэцгээе. 1 >1, 2 >1 ба 1 гэж бодъё 1 нь үнэн log a 1 b≤log a 2 b . Логарифмын шинж чанарууд дээр үндэслэн эдгээр тэгш бус байдлыг дахин бичиж болно 
Тэгээд 
тус тус ба тэдгээрээс log b a 1 ≤log b a 2 ба log b a 1 ≥log b a 2 байна. Дараа нь ижил суурьтай градусын шинж чанарын дагуу b log b a 1 ≥b log b a 2 ба b log b a 1 ≥b log b a 2 тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл a 1 ≥a 2 байна. Тиймээс бид 1 гэсэн нөхцөлтэй зөрчилдсөн
Лавлагаа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. болон бусад алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Ерөнхий боловсролын байгууллагын 10-11-р ангийн сурах бичиг.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага).
a (a>0, a нь 1-тэй тэнцүү биш) эерэг тооны b-ийн логарифм нь c тоо бөгөөд a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)
Эерэг бус тооны логарифм нь тодорхойгүй гэдгийг анхаарна уу. Үүнээс гадна логарифмын суурь нь 1-тэй тэнцүү биш эерэг тоо байх ёстой. Жишээлбэл, хэрэв бид -2-ийн квадрат бол бид 4-ийн тоог авна, гэхдээ энэ нь 4-ийн суурь -2 логарифм нь тэнцүү гэсэн үг биш юм. 2 хүртэл.
Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Энэ томъёоны баруун ба зүүн талыг тодорхойлох хүрээ өөр байх нь чухал юм. Зүүн тал нь зөвхөн b>0, a>0 ба a ≠ 1-д тодорхойлогддог. Баруун тал нь дурын b-д тодорхойлогддог бөгөөд a-аас огт хамаарахгүй. Тиймээс тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ үндсэн логарифмын "идентификатор" -ыг ашиглах нь OD-ийг өөрчлөхөд хүргэдэг.
Логарифмын тодорхойлолтын хоёр тодорхой үр дагавар
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Үнэн хэрэгтээ, а тоог эхний зэрэглэлд хүргэхэд бид ижил тоо, тэг рүү өсгөхөд нэг тоог авна.
Үржвэрийн логарифм ба хуваалтын логарифм
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Лог a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Сургуулийн сурагчдад логарифмын тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ эдгээр томьёог бодлогогүй ашиглахаас сэрэмжлүүлмээр байна. Тэдгээрийг "зүүнээс баруун тийш" ашиглах үед ODZ нарийсч, логарифмын нийлбэр эсвэл зөрүүгээс бүтээгдэхүүн эсвэл категоритын логарифм руу шилжих үед ODZ өргөжиж байна.
Үнэн хэрэгтээ log a (f (x) g (x)) илэрхийлэл нь хоёр тохиолдолд тодорхойлогддог: функц нь хоёулаа эерэг байх эсвэл f(x) ба g(x) хоёулаа тэгээс бага байх үед.
Энэ илэрхийлэлийг log a f (x) + log a g (x) нийлбэр болгон хувиргаснаар бид зөвхөн f(x)>0 ба g(x)>0 тохиолдолд л хязгаарлагдахаас өөр аргагүй болно. Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нарийсч байгаа бөгөөд энэ нь шийдлийг алдахад хүргэж болзошгүй тул үүнийг хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй юм. Томъёо (6)-д ижил төстэй асуудал бий.
Зэрэгийг логарифмын тэмдгээс хасаж болно
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Дахин хэлэхэд би үнэн зөв байхыг уриалмаар байна. Дараах жишээг авч үзье.
Лог a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Тэгээс бусад f(x)-ийн бүх утгуудын хувьд тэгш байдлын зүүн тал тодорхой тодорхойлогддог. Баруун тал нь зөвхөн f(x)>0! Логарифмаас градусыг авснаар бид ODZ-ийг дахин нарийсгана. Урвуу процедур нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээг өргөжүүлэхэд хүргэдэг. Эдгээр бүх тайлбарууд нь зөвхөн 2-р хүчинд төдийгүй аливаа тэгш эрх мэдэлд хамаарна.
Шинэ суурь руу шилжих томъёо
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Өөрчлөлтийн явцад ODZ өөрчлөгддөггүй ховор тохиолдол. Хэрэв та c суурийг ухаалгаар сонгосон бол (эерэг ба 1-тэй тэнцүү биш) шинэ суурь руу шилжих томъёо нь бүрэн аюулгүй юм.
Хэрэв бид b тоог c шинэ суурь болгон сонговол (8) томъёоны чухал онцгой тохиолдлыг олж авна.
Лог a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Логарифмын зарим энгийн жишээ
Жишээ 1. Тооцоол: log2 + log50.
Шийдэл. log2 + log50 = log100 = 2. Бид логарифмын нийлбэр томъёо (5) болон аравтын бутархай логарифмын тодорхойлолтыг ашигласан.
Жишээ 2. Тооцоол: lg125/lg5.
Шийдэл. log125/log5 = log 5 125 = 3. Бид шинэ суурь руу шилжих томъёог ашигласан (8).
Логарифмтай холбоотой томъёоны хүснэгт
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Та бүхний мэдэж байгаагаар илэрхийлэлийг зэрэглэлээр үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгч нь үргэлж нэмэгддэг (a b *a c = a b+c). Энэхүү математикийн хуулийг Архимед гаргаж авсан бөгөөд хожим 8-р зуунд математикч Вирасен бүхэл тоон үзүүлэлтийн хүснэгтийг бүтээжээ. Тэд л логарифмын цаашдын нээлтэд үйлчилсэн хүмүүс юм. Энэ функцийг ашиглах жишээг энгийн нэмэх замаар төвөгтэй үржүүлэлтийг хялбарчлах шаардлагатай бараг бүх газраас олж болно. Хэрэв та энэ өгүүллийг уншихад 10 минут зарцуулбал бид логарифм гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн ажиллах талаар тайлбарлах болно. Энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэлээр.
Математик дахь тодорхойлолт
Логарифм нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэл юм: log a b=c, өөрөөр хэлбэл аливаа сөрөг бус тооны (өөрөөр хэлбэл аливаа эерэг) "b"-ийн логарифмыг түүний "a" суурьтай харьцуулсан логарифмыг "c" гэж үзнэ. ” эцэст нь "b" утгыг авахын тулд "а" суурийг өсгөх шаардлагатай. Логарифмд жишээн дээр дүн шинжилгээ хийцгээе, илэрхийлэл байна гэж бодъё лог 2 8. Хариултыг хэрхэн олох вэ? Энэ нь маш энгийн, та 2-оос шаардагдах хүч хүртэл 8-ыг авах хүчийг олох хэрэгтэй. Толгойдоо хэд хэдэн тооцоо хийсний дараа бид 3-ын тоог авна! Энэ нь үнэн, учир нь 2-ыг 3-ын зэрэглэлд 8 гэж хариулах болно.
Логарифмын төрлүүд
Олон сурагч, оюутнуудын хувьд энэ сэдэв нь төвөгтэй, ойлгомжгүй мэт санагддаг, гэхдээ үнэндээ логарифм нь тийм ч аймшигтай биш бөгөөд гол зүйл бол тэдгээрийн ерөнхий утгыг ойлгож, шинж чанар, зарим дүрмийг санах явдал юм. Гурван төрлийн логарифмын илэрхийлэл байдаг:
- Натурал логарифм ln a, суурь нь Эйлерийн тоо (e = 2.7).
- Аравтын тоо a, суурь нь 10.
- a>1 суурьтай дурын b тооны логарифм.
Тэдгээр нь тус бүрийг логарифмын теоремуудыг ашиглан хялбаршуулах, багасгах, дараа нь нэг логарифм болгон бууруулах зэрэг стандарт аргаар шийдэгддэг. Логарифмын зөв утгыг олж авахын тулд тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийн шинж чанар, үйлдлийн дарааллыг санах хэрэгтэй.
Дүрэм ба зарим хязгаарлалт
Математикийн хувьд аксиом гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэд хэдэн дүрэм-хязгаарлалтууд байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг хэлэлцэх боломжгүй бөгөөд үнэн юм. Жишээлбэл, тоонуудыг тэг болгон хуваах боломжгүй, сөрөг тооны тэгш язгуурыг гаргаж авах боломжгүй юм. Логарифмууд нь өөрийн гэсэн дүрмүүдтэй байдаг бөгөөд үүнийг дагаснаар та урт, багтаамжтай логарифмын илэрхийлэлтэй ч хялбархан ажиллаж сурах боломжтой.
- "a" суурь нь үргэлж тэгээс их байх ёстой бөгөөд 1-тэй тэнцүү биш байх ёстой, эс тэгвээс илэрхийлэл утгаа алдах болно, учир нь "1" ба "0" нь ямар ч хэмжээгээр тэдгээрийн утгатай тэнцүү байна;
- хэрэв a > 0 бол a b >0 бол "c" нь тэгээс их байх ёстой.
Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ?
Жишээлбэл, 10 x = 100 тэгшитгэлийн хариултыг олох даалгавар өгөгдсөн. Энэ нь маш амархан, та бидний 100 авах аравын тоог өсгөх замаар хүчийг сонгох хэрэгтэй. Энэ нь мэдээжийн хэрэг 10 2 = юм. 100.
Одоо энэ илэрхийлэлийг логарифм хэлбэрээр илэрхийлье. Бид лог 10 100 = 2-ыг авдаг. Логарифмыг шийдвэрлэхдээ өгөгдсөн тоог гаргахын тулд логарифмын суурийг оруулахад шаардлагатай хүчийг олохын тулд бүх үйлдлүүд практикт нийлдэг.
Үл мэдэгдэх зэргийн утгыг үнэн зөв тодорхойлохын тулд та градусын хүснэгттэй хэрхэн ажиллах талаар сурах хэрэгтэй. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.
Таны харж байгаагаар, хэрэв та үржүүлэх хүснэгтийн талаар техникийн мэдлэгтэй, мэдлэгтэй бол зарим илтгэгчийг зөн совингоор таах боломжтой. Гэсэн хэдий ч илүү том утгуудын хувьд танд цахилгаан ширээ хэрэгтэй болно. Үүнийг математикийн нарийн төвөгтэй сэдвүүдийн талаар огт мэддэггүй хүмүүс ч ашиглаж болно. Зүүн баганад тоонууд (суурь a), тоонуудын дээд эгнээ нь а тоог өсгөсөн c чадлын утга юм. Уулзвар дээрх нүднүүдэд хариулт болох тоон утгуудыг агуулна (a c =b). Жишээлбэл, 10 тоотой хамгийн эхний нүдийг аваад квадрат болгоод бид хоёр нүдний уулзварт заасан 100 утгыг авна. Бүх зүйл маш энгийн бөгөөд хялбар байдаг тул хамгийн жинхэнэ хүмүүнлэгч хүртэл ойлгох болно!
Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал
Тодорхой нөхцөлд экспонент нь логарифм болдог. Тиймээс аливаа математикийн тоон илэрхийллийг логарифмын тэгшитгэл гэж бичиж болно. Жишээлбэл, 3 4 =81-ийг 81-ийн суурь 3 логарифм гэж дөрөвтэй тэнцүү (лог 3 81 = 4) бичиж болно. Сөрөг хүчнүүдийн хувьд дүрэм нь адилхан: 2 -5 = 1/32 бид үүнийг логарифм хэлбэрээр бичвэл лог 2 (1/32) = -5 болно. Математикийн хамгийн сонирхолтой хэсгүүдийн нэг бол "логарифм" сэдэв юм. Бид тэдгээрийн шинж чанарыг судалсны дараа доорх тэгшитгэлийн жишээ, шийдлүүдийг авч үзэх болно. Одоо тэгш бус байдал ямар харагддаг, тэдгээрийг тэгшитгэлээс хэрхэн ялгах талаар авч үзье.
Дараах илэрхийлэл өгөгдсөн: log 2 (x-1) > 3 - үл мэдэгдэх "x" утга нь логарифмын тэмдгийн доор байгаа тул энэ нь логарифмын тэгш бус байдал юм. Мөн илэрхийлэлд хоёр хэмжигдэхүүнийг харьцуулсан болно: хоёрыг суурь болгохыг хүссэн тооны логарифм нь гурван тооноос их байна.
Логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын хоорондох хамгийн чухал ялгаа нь логарифм бүхий тэгшитгэлүүд (жишээлбэл, 2 x = √9 логарифм) хариултанд нэг буюу хэд хэдэн тодорхой тоон утгыг илэрхийлдэг бол тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ хүлээн зөвшөөрөгдөх мужууд хоёулаа байдаг. Энэ функцийг зөрчихөд утгууд ба цэгүүдийг тодорхойлно. Үүний үр дүнд хариулт нь тэгшитгэлийн хариулт шиг бие даасан тоонуудын энгийн багц биш, харин тасралтгүй цуваа эсвэл тооны багц юм.
Логарифмын тухай үндсэн теоремууд
Логарифмын утгыг олох энгийн даалгавруудыг шийдвэрлэхдээ түүний шинж чанарыг мэдэхгүй байж болно. Гэхдээ логарифмын тэгшитгэл буюу тэгш бус байдлын тухай ярихад юуны өмнө логарифмын бүх үндсэн шинж чанарыг тодорхой ойлгож, практикт хэрэглэх шаардлагатай. Бид дараа нь тэгшитгэлийн жишээг авч үзэх болно, эхлээд шинж чанар бүрийг нарийвчлан авч үзье.
- Үндсэн таних тэмдэг нь дараах байдалтай байна: a logaB =B. Энэ нь зөвхөн a нь 0-ээс их, нэгтэй тэнцүү биш, В нь тэгээс их байх үед л хамаарна.
- Бүтээгдэхүүний логарифмыг дараах томъёогоор илэрхийлж болно: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Энэ тохиолдолд заавал байх нөхцөл нь: d, s 1 ба s 2 > 0; a≠1. Та энэ логарифм томъёоны нотолгоог жишээ болон шийдлээр өгч болно. log a s 1 = f 1 ба log a s 2 = f 2, дараа нь a f1 = s 1, a f2 = s 2 гэж бичье. Бид s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 гэдгийг олж авна. градус ), дараа нь тодорхойлолтоор: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, үүнийг батлах шаардлагатай.
- Хэсгийн логарифм дараах байдалтай байна: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Томъёо хэлбэртэй теорем нь дараах хэлбэртэй байна: log a q b n = n/q log a b.
Энэ томьёог "логарифмын зэрэглэлийн шинж чанар" гэж нэрлэдэг. Энэ нь ердийн зэрэглэлийн шинж чанаруудтай төстэй бөгөөд бүх математик нь байгалийн постулат дээр суурилдаг тул энэ нь гайхмаар зүйл биш юм. Нотлох баримтыг харцгаая.
Лог a b = t гэж үзье, энэ нь a t =b болно. Хэрэв бид хоёр хэсгийг хоёуланг нь m хүртэл өсгөвөл: a tn = b n ;
гэхдээ a tn = (a q) nt/q = b n тул log a q b n = (n*t)/t, дараа нь log a q b n = n/q log a b. Теорем нь батлагдсан.
Асуудал ба тэгш бус байдлын жишээ
Логарифмын хамгийн түгээмэл төрлийн бодлого бол тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын жишээ юм. Эдгээр нь бараг бүх асуудлын номонд байдаг бөгөөд математикийн шалгалтын заавал байх ёстой хэсэг юм. Их сургуульд элсэх эсвэл математикийн элсэлтийн шалгалт өгөхийн тулд та ийм даалгаврыг хэрхэн зөв шийдвэрлэхээ мэдэх хэрэгтэй.
Харамсалтай нь логарифмын үл мэдэгдэх утгыг шийдвэрлэх, тодорхойлох нэг төлөвлөгөө, схем байхгүй ч математик тэгш бус байдал эсвэл логарифмын тэгшитгэл бүрт тодорхой дүрмийг хэрэглэж болно. Юуны өмнө та илэрхийллийг хялбаршуулж эсвэл ерөнхий хэлбэр болгон бууруулж болох эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй. Хэрэв та тэдгээрийн шинж чанарыг зөв ашиглавал урт логарифмын илэрхийлэлийг хялбарчилж болно. Тэдэнтэй хурдан танилцацгаая.
Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид ямар төрлийн логарифм байгааг тодорхойлох ёстой: жишээ илэрхийлэл нь натурал логарифм эсвэл аравтын нэгийг агуулж болно.
Энд ln100, ln1026 жишээнүүд байна. Тэдний шийдэл нь суурь 10 нь 100 ба 1026-тай тэнцүү байх хүчийг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Байгалийн логарифмыг шийдэхийн тулд та логарифмын ижилсэл эсвэл тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй. Янз бүрийн төрлийн логарифмын асуудлыг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.
Логарифмын томьёог хэрхэн ашиглах вэ: жишээ ба шийдэлтэй
Тиймээс, логарифмын талаархи үндсэн теоремуудыг ашиглах жишээг авч үзье.
- Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг b тооны том утгыг энгийн хүчин зүйл болгон задлах шаардлагатай ажлуудад ашиглаж болно. Жишээлбэл, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Хариулт нь 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - Таны харж байгаачлан логарифмын чадлын дөрөв дэх шинж чанарыг ашиглан бид ээдрээтэй бөгөөд шийдвэрлэх боломжгүй мэт санагдах илэрхийлэлийг шийдэж чадсан. Та зөвхөн суурийг хүчин зүйлээр тооцож, дараа нь логарифмын тэмдгээс экспонентын утгыг авах хэрэгтэй.
Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар
Логарифмыг элсэлтийн шалгалтанд ихэвчлэн олдог, ялангуяа Улсын нэгдсэн шалгалтын олон логарифмын асуудлууд (бүх сургуулийн төгсөгчдийн улсын шалгалт). Ерөнхийдөө эдгээр даалгаврууд нь зөвхөн А хэсэгт (шалгалтын хамгийн хялбар туршилтын хэсэг) төдийгүй С хэсэгт (хамгийн төвөгтэй, том даалгавар) байдаг. Шалгалт нь "Байгалийн логарифм" сэдвийн талаар үнэн зөв, төгс мэдлэг шаарддаг.
Асуудлын жишээ, шийдлийг Улсын нэгдсэн шалгалтын албан ёсны хувилбаруудаас авсан болно. Ийм ажлууд хэрхэн шийдэгдэж байгааг харцгаая.
Өгөгдсөн лог 2 (2x-1) = 4. Шийдэл:
лог 2 (2x-1) = 2 2-ыг бага зэрэг хялбарчилж, илэрхийллийг дахин бичье, логарифмын тодорхойлолтоор бид 2x-1 = 2 4, тиймээс 2x = 17 болно; x = 8.5.
- Шийдэл нь төвөгтэй, төөрөгдөл биш байхын тулд бүх логарифмуудыг нэг суурь болгон багасгах нь хамгийн сайн арга юм.
- Логарифмын тэмдгийн дор байгаа бүх илэрхийлэл нь эерэг гэж тэмдэглэгдсэн тул логарифмын тэмдгийн доор байрлах илэрхийллийн илтгэгчийг үржүүлэгч болгон авах үед логарифмын доор үлдсэн илэрхийлэл эерэг байх ёстой.
a суурьтай логарифмнь у функц юм (x) = log a x, a: x суурьтай экспоненциал функцтэй урвуу (y) = a y.
Аравтын логарифмнь тооны суурийн логарифм юм 10 : log x ≡ log 10 x.
Байгалийн логарифм e-ийн суурийн логарифм нь: ln x ≡ log e x.
2,718281828459045...
;
.
Экспоненциал функцийн графикаас логарифмын графикийг олж авна толин тусгал дүрс y = x шулуун шугамтай харьцуулахад. Зүүн талд y функцийн графикууд байна(x) = log a x дөрвөн утгын хувьдлогарифмын суурь 2 : a = 8 : a = 1/2 , a = 1/8 ба a = 1 . 0 < a < 1 Графикаас харахад a > үед
логарифм нь монотоноор нэмэгддэг. x нэмэгдэх тусам өсөлт мэдэгдэхүйц удааширна. At
логарифм нь монотоноор буурдаг.
Логарифмын шинж чанарууд Домэйн, утгын багц, нэмэгдэж, буурч байнаЛогарифм нь
| монотон функц | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| , тиймээс түүнд хэт туйлшрал байхгүй. Логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг хүснэгтэд үзүүлэв. | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Тодорхойлолтын домэйн | Утгын хүрээ | Монотон |
| монотоноор нэмэгддэг 0 | монотоноор буурдаг 1 | монотоноор буурдаг 1 |
| Тэг, у = 0 | x = | x = |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x =
Үгүй Хувийн үнэт зүйлс
10-ын суурь логарифм гэж нэрлэгддэг
аравтын логарифм ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.Суурь руу логарифм д
:
дуудсан
байгалийн логарифм
Логарифмын үндсэн томъёо
Урвуу функцийн тодорхойлолтоос үүссэн логарифмын шинж чанарууд:
Логарифмын үндсэн шинж чанар ба түүний үр дагаварСуурь солих томъёо Логарифм- Энэ
математик үйлдэлнь логарифмын урвуу математик үйлдэл юм. Потенциацийн үед өгөгдсөн суурь нь потенциацийг гүйцэтгэсэн илэрхийлэлийн зэрэг хүртэл нэмэгддэг. Энэ тохиолдолд нэр томъёоны нийлбэр нь хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн болж хувирдаг.
Логарифмын үндсэн томъёоны баталгаа
Логарифмтай холбоотой томьёо нь экспоненциал функцийн томъёо болон урвуу функцийн тодорхойлолтоос гардаг.
Экспоненциал функцийн шинж чанарыг авч үзье
.
Дараа нь
.
Экспоненциал функцийн шинж чанарыг хэрэглэцгээе
:
.
Суурь орлуулах томъёог баталцгаая.
;
.
c = b гэж үзвэл бидэнд:
Урвуу функц
a-г суурь болгох логарифмын урвуу нь экспоненциал функцилтгэгч a.
Хэрэв бол
Хэрэв бол
Логарифмын дериватив
X модулийн логарифмын дериватив:
.
n-р эрэмбийн дериватив:
.
Томьёог гарган авах > > >
Логарифмын деривативыг олохын тулд түүнийг суурь болгон багасгах шаардлагатай ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ..
;
.
Интеграл
Логарифмын интегралыг дараах хэсгүүдээр интегралчилж тооцно.
Тэгэхээр,
Комплекс тоо ашигласан илэрхийлэл
Комплекс тооны функцийг авч үзье z:
.
илэрхийлье нийлмэл тоо zмодулиар дамжуулан rболон маргаан φ
:
.
Дараа нь логарифмын шинж чанарыг ашиглан бид:
.
Эсвэл
Гэсэн хэдий ч аргумент φ
өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй. Хэрэв та тавьсан бол
, энд n нь бүхэл тоо,
дараа нь энэ нь өөр өөр тоо байх болно n.
Тиймээс логарифм нь нийлмэл хувьсагчийн функцийн хувьд нэг утгатай функц биш юм.
Эрчим хүчний цувралын өргөтгөл
Өргөтгөх үед:
Ашигласан уран зохиол:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.
Харьцаагаар
нөгөө хоёр өгөгдсөн тооноос гурван тооны аль нэгийг нь олох даалгаврыг тавьж болно. Хэрэв a ба дараа нь N өгөгдсөн бол тэдгээрийг илтгэгчээр олно. Хэрэв N ба дараа нь a-г х зэрэглэлийн үндсийг авч (эсвэл түүнийг зэрэгт өсгөж) өгвөл. Одоо a ба N өгөгдсөн тохиолдолд бид x-ийг олох хэрэгтэй болсон тохиолдлыг авч үзье.
N тоо эерэг байг: а тоо эерэг ба нэгтэй тэнцүү биш: .
Тодорхойлолт. N тооны а суурийн логарифм нь N тоог авахын тулд а-г өсгөх ёстой илтгэгч юм; логарифмыг тэмдэглэнэ
Тиймээс (26.1) тэгш байдлын хувьд илтгэгчийг N-ийн логарифм гэж олно. Бичлэгүүд
байна ижил утгатай. Тэгш байдлыг (26.1) заримдаа логарифмын онолын үндсэн шинж чанар гэж нэрлэдэг; бодит байдал дээр энэ нь логарифмын ойлголтын тодорхойлолтыг илэрхийлдэг. By энэ тодорхойлолтЛогарифмын суурь нь үргэлж эерэг бөгөөд нэгдлээс ялгаатай; логарифмын тоо N эерэг байна. Сөрөг тоо ба тэг нь логарифмгүй. Өгөгдсөн суурьтай ямар ч тоо тодорхой логарифмтай болохыг баталж болно. Тиймээс тэгш байдал нь . Энд байгаа нөхцөл нь чухал гэдгийг анхаарна уу, эс тэгвээс дүгнэлт нь үндэслэлгүй болно, учир нь тэгш байдал нь x ба y-ийн аль ч утгын хувьд үнэн юм.
Жишээ 1. Хай
Шийдэл. Тоо авахын тулд та 2-р суурийг өсгөх ёстой.
Ийм жишээг шийдвэрлэхдээ та дараах хэлбэрээр тэмдэглэл хийж болно.
Жишээ 2. Ол.
Шийдэл. Бидэнд байна
1 ба 2-р жишээн дээр бид логарифмын тоог суурийн зэрэглэлээр илэрхийлж хүссэн логарифмийг хялбархан оллоо. оновчтой үзүүлэлт. IN ерөнхий тохиолдол, жишээ нь, for, гэх мэт, логарифм нь иррациональ утгатай тул үүнийг хийх боломжгүй. Энэ мэдэгдэлтэй холбоотой нэг асуудалд анхаарлаа хандуулъя. 12-р зүйлд бид өгөгдсөн зүйлийн бодит түвшинг тодорхойлох боломжийн тухай ойлголтыг өгсөн эерэг тоо. Энэ нь ерөнхийдөө иррационал тоо байж болох логарифмуудыг нэвтрүүлэхэд шаардлагатай байсан.
Логарифмын зарим шинж чанарыг харцгаая.
Өмч чанар 1. Хэрэв тоо ба суурь нь тэнцүү бол логарифм нь нэгтэй тэнцүү, харин эсрэгээр логарифм нь нэгтэй тэнцүү бол тоо ба суурь нь тэнцүү байна.
Баталгаа. Логарифмын тодорхойлолтоор бидэнд байгаа ба хаанаас
Үүний эсрэгээр, дараа нь тодорхойлолтоор үзье
Өмч 2. Аль ч суурийн нэгээс логарифм нь тэгтэй тэнцүү.
Баталгаа. Логарифмын тодорхойлолтоор (ямар ч эерэг суурийн тэг хүч нь нэгтэй тэнцүү, (10.1)-ийг үзнэ үү). Эндээс
Q.E.D.
Эсрэг заалт нь бас үнэн: хэрэв , тэгвэл N = 1. Үнэхээр бид .
Томъёолохоосоо өмнө дараагийн өмчлогарифмын хувьд, хэрэв хоёулаа c-ээс их эсвэл c-ээс бага бол a ба b хоёр тоо гурав дахь c тооны нэг талд оршдог гэдгийг бид зөвшөөрч байна. Хэрэв эдгээр тоонуудын аль нэг нь c-ээс их, нөгөө нь c-ээс бага бол бид тэдгээрийг хамт байна гэж хэлэх болно. өөр өөр талуудтосгоноос
Өмч 3. Хэрэв тоо ба суурь нь нэг талын нэг талд байвал логарифм эерэг байна; Хэрэв тоо ба суурь нь нэг талын эсрэг талд байвал логарифм нь сөрөг байна.
3-р өмчийн нотолгоо нь суурь нь нэгээс их, илтгэгч нь эерэг эсвэл суурь нь нэгээс бага, илтгэгч нь сөрөг байвал a-ийн чадал нэгээс их байх дээр үндэслэсэн болно. Суурь нь нэгээс их, илтгэгч нь сөрөг эсвэл суурь нь нэгээс бага, илтгэгч нь эерэг байвал хүч нь нэгээс бага байна.
Дөрвөн тохиолдлыг анхаарч үзэх хэрэгтэй:
Бид тэдгээрийн эхнийх нь дүн шинжилгээ хийхээр хязгаарлагдах болно, үлдсэнийг нь уншигч өөрөө авч үзэх болно.
Тэгэхэд экспонент сөрөг ч байж болохгүй тэгтэй тэнцүү, тиймээс энэ нь эерэг, өөрөөр хэлбэл нотлох шаардлагатай.
Жишээ 3. Доорх логарифмуудын аль нь эерэг, аль нь сөрөг болохыг ол.
Шийдэл, a) 15 тоо ба 12 суурь нь нэг талын нэг талд байрладаг тул;
б) 1000 ба 2 нь нэгжийн нэг талд байрладаг тул; энэ тохиолдолд суурь нь логарифмын тооноос их байх нь чухал биш;
в) 3.1 ба 0.8 нь нэгдмэл байдлын эсрэг талд байрладаг тул;
G); Яагаад?
г); Яагаад?
Дараах 4-6 шинж чанаруудыг ихэвчлэн логарифмын дүрэм гэж нэрлэдэг: тэдгээр нь зарим тоонуудын логарифмуудыг мэдэхийн тулд тэдгээрийн үржвэрийн логарифм, коэффициент, тэдгээрийн зэрэглэлийг олох боломжийг олгодог.
Property 4 (бүтээгдэхүүний логарифмын дүрэм). Өгөгдсөн суурьтай хэд хэдэн эерэг тооны үржвэрийн логарифм нийлбэртэй тэнцүү байнаЭдгээр тоонуудын логарифмуудыг ижил суурьтай.
Баталгаа. Өгөгдсөн тоонууд эерэг байг.
Тэдний үржвэрийн логарифмын хувьд бид логарифмийг тодорхойлсон тэгшитгэлийг (26.1) бичнэ.
Эндээс бид олох болно
Эхний болон сүүлчийн илэрхийлэлүүдийн илтгэгчийг харьцуулж үзвэл бид шаардлагатай тэгш байдлыг олж авна.
Нөхцөл байдал зайлшгүй шаардлагатай гэдгийг анхаарна уу; хоёр сөрөг тооны үржвэрийн логарифм нь утга учиртай боловч энэ тохиолдолд бид олж авна
Ерөнхийдөө хэрэв хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэр эерэг байвал түүний логарифм нь эдгээр хүчин зүйлсийн үнэмлэхүй утгуудын логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.
5-р шинж чанар (хэсгийн логарифм авах дүрэм). Эерэг тоонуудын логарифм нь ногдол ашиг ба хуваагчийн логарифмуудын ялгааг ижил суурьтай тэнцүү байна. Баталгаа. Бид байнга олдог
Q.E.D.
Property 6 (чадлын логарифмын дүрэм). Зарим эерэг тооны чадлын логарифм логарифмтай тэнцүүэнэ тоог илтгэгчээр үржүүлсэн.
Баталгаа. Тооны үндсэн таних тэмдэгийг (26.1) дахин бичье.
Q.E.D.
Үр дагавар. Эерэг тооны язгуурын логарифм нь логарифмтай тэнцүү байна радикал тоо, язгуур илтгэгчээр хуваасан:
Энэ үр дүнгийн үнэн зөвийг өмч 6 хэрхэн, хэрхэн ашиглахыг төсөөлж батлах боломжтой.
Жишээ 4. Логарифмыг a суурь болгон авна уу:
a) (b, c, d, e бүх утгууд эерэг байна гэж үздэг);
б) (энэ гэж таамаглаж байна).
Шийдэл, a) Очиход тохиромжтой энэ илэрхийлэлбутархай эрх мэдэлд:
(26.5)-(26.7) тэгшитгэл дээр үндэслэн бид одоо бичиж болно:
Тоонуудын логарифмууд дээр тоонуудаас илүү энгийн үйлдлүүд хийгдэж байгааг бид анзаарч байна: тоог үржүүлэхдээ тэдгээрийн логарифмуудыг нэмж, хуваахдаа хасах гэх мэт.
Тийм ч учраас логарифмыг тооцоолох практикт ашигладаг (29-р зүйлийг үз).
Логарифмын урвуу үйлдлийг потенциац гэж нэрлэдэг, тухайлбал: потенциал гэдэг нь тухайн тооны өгөгдсөн логарифмээс тухайн тоог олох үйлдэл юм. Үндсэндээ хүчирхэгжүүлэх нь ямар нэгэн онцгой арга хэмжээ биш юм: энэ нь баазыг хүчирхэг болгоход хүргэдэг ( логарифмтай тэнцүүтоо). "Потенциаци" гэсэн нэр томъёог "exponentiation" гэсэн нэр томъёотой ижил утгатай гэж үзэж болно.
Потенциацилахдаа логарифмын дүрэмтэй урвуу дүрмийг ашиглах ёстой: логарифмын нийлбэрийг бүтээгдэхүүний логарифм, логарифмын зөрүүг хуваалтын логарифмээр солих гэх мэт. Ялангуяа, хэрэв урд талын хүчин зүйл байвал. логарифмын тэмдгийн дагуу, дараа нь потенциацийн үед логарифмын тэмдгийн дор экспонентын зэрэгт шилжих ёстой.
Жишээ 5. Мэдэгдэж байгаа бол N-г ол
Шийдэл. Дөнгөж хэлсэн потенциацийн дүрэмтэй холбогдуулан бид энэ тэгшитгэлийн баруун талд байгаа логарифмын тэмдгийн өмнө байрлах 2/3 ба 1/3 хүчин зүйлийг эдгээр логарифмын тэмдгийн дор илтгэгч болгон шилжүүлнэ; бид авдаг
Одоо бид логарифмын зөрүүг хэсгийн логарифмээр орлуулж байна:
Энэ тэгшитгэлийн гинжин хэлхээний сүүлчийн бутархайг авахын тулд бид өмнөх бутархайг хуваагч дахь иррационал байдлаас чөлөөлсөн (25-р зүйл).
Property 7. Хэрэв суурь нь нэгээс их байвал илүү их тоотом логарифмтай (мөн бага тоо нь багатай), хэрэв суурь нь нэгээс бага бол том тоо нь жижиг логарифмтай (мөн бага тоо нь том хэмжээтэй).
Энэ шинж чанарыг тэгш бус байдлын логарифм авах дүрэм болгон томъёолсон бөгөөд хоёр тал нь эерэг байна.
Тэгш бус байдлыг нэгээс их суурьтай болгоход тэгш бус байдлын тэмдэг хадгалагдах ба нэгээс бага суурьтай тэнцүү бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө (80-р зүйлийг мөн үзнэ үү).
Баталгаажуулалт нь 5 ба 3-р шинж чанарууд дээр суурилдаг. Хэрэв , тэгвэл, логарифмуудыг авч үзвэл бид гарах тохиолдлыг авч үзье.
(a ба N/M нь нэгдмэл байдлын нэг талд оршдог). Эндээс
Дараах тохиолдолд уншигч үүнийг өөрөө олох болно.
