9-ийн суурь 4 хүртэлх логарифм нь тэнцүү байна. Логарифм гэж юу вэ

\(a^(b)=c\) \(\Зүүн баруун сум\) \(\log_(a)(c)=b\)

Үүнийг илүү энгийнээр тайлбарлая. Жишээ нь, \(\log_(2)(8)\) чадалтай тэнцүү, \(8\) авахын тулд \(2\)-г өсгөх ёстой. Эндээс \(\log_(2)(8)=3\) болох нь тодорхой байна.

Логарифмын аргумент ба суурь

Аливаа логарифм нь дараахь "анатоми" -тай байдаг.

Логарифмын аргументыг ихэвчлэн өөрийн түвшинд бичдэг ба суурь нь логарифмын тэмдэгт ойртсон доод бичвэрт бичигддэг. Мөн энэ оруулга дараах байдлаар бичигдсэн байна: "Хорин таваас тав хүртэлх логарифм."

Логарифмыг хэрхэн тооцоолох вэ?

Логарифмыг тооцоолохын тулд та асуултанд хариулах хэрэгтэй: аргументыг авахын тулд суурийг ямар хүчээр өсгөх ёстой вэ?

Жишээ нь, логарифмыг тооцоол: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) авахын тулд \(4\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Хоёр дахь нь ойлгомжтой. Тийм учраас:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

в) \(1\) авахын тулд \(\sqrt(5)\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Ямар хүч нь аливаа дугаарыг нэг болгодог вэ? Мэдээж тэг!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\)-г авахын тулд \(\sqrt(7)\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Нэгдүгээрт, эхний түвшний аль ч тоо нь өөртэй нь тэнцүү байна.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\)-г авахын тулд \(3\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Энэ нь юу болохыг бид мэднэ бутархай хүч, гэсэн үг квадрат язгуурнь \(\frac(1)(2)\) -ийн хүч юм.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Жишээ : Логарифмыг тооцоолох \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Шийдэл :

Хариулах : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Логарифмыг яагаад зохион бүтээсэн бэ?

Үүнийг ойлгохын тулд тэгшитгэлийг шийдье: \(3^(x)=9\). Тэгшитгэл ажиллахын тулд \(x\)-г тааруулахад л хангалттай. Мэдээжийн хэрэг, \(x=2\).

Одоо тэгшитгэлийг шийд: \(3^(x)=8\).Яагаад x-тэй тэнцүү? Гол нь энэ.

Хамгийн ухаантай нь: "Х нь хоёроос арай бага" гэж хэлэх болно. Энэ тоог яг яаж бичих вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд логарифмыг зохион бүтээсэн. Түүний ачаар энд хариултыг \(x=\log_(3)(8)\) гэж бичиж болно.

\(\log_(3)(8)\), like гэдгийг онцлон хэлмээр байна аливаа логарифм бол зүгээр л тоо юм. Тийм ээ, энэ нь ер бусын харагдаж байна, гэхдээ энэ нь богино байна. Учир нь хэрэв бид үүнийг аравтын бутархайгаар бичихийг хүсвэл дараах байдалтай харагдана: \(1.892789260714.....\)

Жишээ : \(4^(5x-4)=10\) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл :

Хариулах : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Аравтын болон натурал логарифм

Логарифмын тодорхойлолтод дурдсанчлан түүний суурь нь нэг \((a>0, a\neq1)\)-аас бусад эерэг тоо байж болно. Боломжит бүх суурийн дотроос хоёр нь маш олон удаа тохиолддог тул логарифмын хувьд тусгай богино тэмдэглэгээг зохион бүтээжээ.

Натурал логарифм: суурь нь Эйлерийн тоо \(e\) (ойролцоогоор \(2.7182818…\)-тай тэнцүү), логарифмыг \(\ln(a)\) гэж бичсэн логарифм.

Энэ нь, \(\ln(a)\) нь \(\log_(e)(a)\)-тай ижил байна

Аравтын логарифм: Суурь нь 10 байх логарифмыг \(\lg(a)\) гэж бичнэ.

Энэ нь, \(\lg(a)\) нь \(\log_(10)(a)\)-тай ижил байна, энд \(a\) нь зарим тоо юм.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Логарифм нь олон шинж чанартай байдаг. Тэдгээрийн нэгийг "Үндсэн логарифмын таних тэмдэг" гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах байдалтай байна.

Энэ шинж чанар нь тодорхойлолтоос шууд гардаг. Энэ томъёо яг яаж үүссэнийг харцгаая.

Санаж үзье богино тэмдэглэлЛогарифмын тодорхойлолтууд:

хэрэв \(a^(b)=c\), дараа нь \(\log_(a)(c)=b\)

Өөрөөр хэлбэл, \(b\) нь \(\log_(a)(c)\)-тэй ижил байна. Дараа нь \(a^(b)=c\) томъёонд \(b\)-ын оронд \(\log_(a)(c)\) гэж бичиж болно. Энэ нь \(a^(\log_(a)(c))=c\) болсон - гол логарифмын таних тэмдэг.

Та логарифмын бусад шинж чанарыг олж болно. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та шууд тооцоолоход хэцүү логарифм бүхий илэрхийллийн утгыг хялбарчилж, тооцоолж болно.

Жишээ : \(36^(\log_(6)(5))\) илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл :

Хариулах : \(25\)

Тоог логарифм хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ?

Дээр дурдсанчлан аливаа логарифм бол зүгээр л тоо юм. Мөн эсрэгээр нь үнэн: дурын тоог логарифм хэлбэрээр бичиж болно. Жишээлбэл, \(\log_(2)(4)\) нь хоёртой тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Дараа нь хоёрын оронд \(\log_(2)(4)\) гэж бичиж болно.

Гэхдээ \(\log_(3)(9)\) нь \(2\)-тэй тэнцүү бөгөөд энэ нь бид \(2=\log_(3)(9)\) гэж бичиж болно гэсэн үг юм. Үүний нэгэн адил \(\log_(5)(25)\), \(\log_(9)(81)\) гэх мэт. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь болж байна

\(2=\лог_(2)(4)=\лог_(3)(9)=\лог_(4)(16)=\лог_(5)(25)=\лог_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Тиймээс, хэрэв шаардлагатай бол бид хоёрыг дурын суурьтай логарифм хэлбэрээр бичиж болно (тэгшитгэлд, бүр илэрхийлэлд, бүр тэгш бус байдалд ч) - бид квадрат суурийг аргумент болгон бичдэг.

Гурвалсантай адилхан – үүнийг \(\log_(2)(8)\), эсвэл \(\log_(3)(27)\), эсвэл \(\log_(4)( гэж бичиж болно. 64) \)... Энд бид куб дахь суурийг аргумент болгон бичнэ.

\(3=\лог_(2)(8)=\лог_(3)(27)=\лог_(4)(64)=\лог_(5)(125)=\лог_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Мөн дөрөвтэй:

\(4=\лог_(2)(16)=\лог_(3)(81)=\лог_(4)(256)=\лог_(5)(625)=\лог_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Мөн хасах нэгээр:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Мөн гуравны нэг нь:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Дурын тоог \(a\) нь \(b\) суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Жишээ : Илэрхийллийн утгыг олоорой \(\ frac(\log_(2)(14))(1+\лог_(2)(7))\)

Шийдэл :

Хариулах : \(1\)

Та бүхний мэдэж байгаагаар илэрхийлэлийг зэрэгтэй үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгч нь үргэлж нэмэгддэг (a b *a c = a b+c). Энэ математикийн хуульАрхимед гаралтай бөгөөд хожим 8-р зуунд математикч Вирасен бүхэл тоон илтгэгчийн хүснэгтийг бүтээжээ. Тэд л логарифмын цаашдын нээлтэд үйлчилсэн хүмүүс юм. Энэ функцийг ашиглах жишээг энгийн нэмэх замаар төвөгтэй үржүүлэлтийг хялбарчлах шаардлагатай бараг бүх газраас олж болно. Хэрэв та энэ өгүүллийг уншихад 10 минут зарцуулбал бид логарифм гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн ажиллах талаар тайлбарлах болно. Энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэлээр.

Математик дахь тодорхойлолт

Логарифм нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэл юм: log a b=c, өөрөөр хэлбэл дурын логарифм. сөрөг бус тоо(өөрөөр хэлбэл аливаа эерэг) "b" нь "a" суурьтай нь эцсийн эцэст "b" утгыг олж авахын тулд "a" суурийг өсгөх ёстой "c"-ийн хүч гэж үздэг. Логарифмд жишээн дээр дүн шинжилгээ хийцгээе, илэрхийлэл байна гэж бодъё лог 2 8. Хариултыг хэрхэн олох вэ? Энэ нь маш энгийн, та 2-оос шаардагдах хүч хүртэл 8-ыг авах хүчийг олох хэрэгтэй. Толгойдоо хэд хэдэн тооцоо хийсний дараа бид 3-ын тоог авна! Энэ нь үнэн, учир нь 2-ыг 3-ын зэрэглэлд 8 гэж хариулах болно.

Логарифмын төрлүүд

Олон сурагч, оюутнуудын хувьд энэ сэдэв нь төвөгтэй, ойлгомжгүй мэт санагддаг, гэхдээ үнэндээ логарифм нь тийм ч аймшигтай биш бөгөөд гол зүйл бол тэдгээрийн ерөнхий утгыг ойлгож, шинж чанар, зарим дүрмийг санах явдал юм. Гурав байна бие даасан төрөл зүйллогарифм илэрхийллүүд:

1. Натурал логарифм ln a, суурь нь Эйлерийн тоо (e = 2.7).
2. Аравтын тоо a, суурь нь 10.
3. a>1 суурьтай дурын b тооны логарифм.

Тэд тус бүрийг нь шийддэг стандарт аргаар, үүнд логарифмын теоремуудыг ашиглан хялбаршуулах, багасгах, дараа нь нэг логарифм болгон бууруулах зэрэг орно. Логарифмын зөв утгыг олж авахын тулд тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийн шинж чанар, үйлдлийн дарааллыг санах хэрэгтэй.

Дүрэм ба зарим хязгаарлалт

Математикийн хувьд аксиом гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэд хэдэн дүрэм-хязгаарлалтууд байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг хэлэлцэх боломжгүй бөгөөд үнэн юм. Жишээлбэл, тоонуудыг тэгээр хуваах боломжгүй, тэгш язгуурыг гаргаж авах боломжгүй сөрөг тоонууд. Логарифмууд нь өөрийн гэсэн дүрмүүдтэй байдаг бөгөөд үүнийг дагаснаар та урт, багтаамжтай логарифмын илэрхийлэлтэй ч хялбархан ажиллаж сурах боломжтой.

• "a" суурь нь үргэлж байх ёстой тэгээс их, мөн үүнтэй зэрэгцэн 1-тэй тэнцүү байж болохгүй, эс тэгвээс илэрхийлэл утгаа алдах болно, учир нь "1" ба "0" нь ямар ч хэмжээгээр тэдгээрийн утгатай тэнцүү байдаг;
• хэрэв a > 0 бол a b >0 бол "c" нь тэгээс их байх ёстой.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ?

Жишээлбэл, 10 x = 100 тэгшитгэлийн хариултыг олох даалгавар өгөгдсөн. Энэ нь маш амархан, та бидний 100 авах аравын тоог өсгөх замаар хүчийг сонгох хэрэгтэй. Энэ нь мэдээжийн хэрэг 10 2 = юм. 100.

Одоо төсөөлөөд үз дээ энэ илэрхийлэллогарифм хэлбэрээр. Бид лог 10 100 = 2-ыг авдаг. Логарифмыг шийдвэрлэхдээ өгөгдсөн тоог гаргахын тулд логарифмын суурийг оруулахад шаардлагатай хүчийг олохын тулд бүх үйлдлүүд практикт нийлдэг.

Үл мэдэгдэх зэргийн утгыг үнэн зөв тодорхойлохын тулд та градусын хүснэгттэй хэрхэн ажиллах талаар сурах хэрэгтэй. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

Таны харж байгаагаар, хэрэв та үржүүлэх хүснэгтийн талаар техникийн мэдлэгтэй, мэдлэгтэй бол зарим илтгэгчийг зөн совингоор таах боломжтой. Гэсэн хэдий ч төлөө том үнэ цэнэтанд градусын хүснэгт хэрэгтэй болно. Үүнийг цогцолборын талаар огт мэддэггүй хүмүүс ч ашиглаж болно математикийн сэдвүүд. Зүүн баганад тоонууд (суурь a), тоонуудын дээд эгнээ нь а тоог өсгөсөн c чадлын утга юм. Уулзвар дээрх нүднүүдэд хариулт болох тоон утгуудыг агуулна (a c =b). Жишээлбэл, 10 тоотой хамгийн эхний нүдийг аваад квадрат болгоод бид хоёр нүдний уулзварт заасан 100 утгыг авна. Бүх зүйл маш энгийн бөгөөд хялбар байдаг тул хамгийн жинхэнэ хүмүүнлэгч хүртэл ойлгох болно!

Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Тодорхой нөхцөлд экспонент нь логарифм болдог. Тиймээс аливаа математикийн тоон илэрхийллүүдлогарифм тэгшитгэл хэлбэрээр бичиж болно. Жишээлбэл, 3 4 =81-ийг 81-ийн суурь 3 логарифм гэж дөрөвтэй тэнцүү (лог 3 81 = 4) бичиж болно. Учир нь сөрөг хүчнүүддүрмүүд нь адилхан: 2 -5 = 1/32 бид үүнийг логарифм хэлбэрээр бичвэл лог 2 (1/32) = -5 болно. Математикийн хамгийн сонирхолтой хэсгүүдийн нэг бол "логарифм" сэдэв юм. Бид тэдгээрийн шинж чанарыг судалсны дараа доорх тэгшитгэлийн жишээ, шийдлүүдийг авч үзэх болно. Одоо тэгш бус байдал ямар харагддаг, тэдгээрийг тэгшитгэлээс хэрхэн ялгах талаар авч үзье.

Дараах хэлбэрийн илэрхийлэл өгөгдсөн: log 2 (x-1) > 3 - энэ нь логарифмын тэгш бус байдал, учир нь үл мэдэгдэх утга "x" нь логарифмын тэмдгийн доор байна. Мөн илэрхийлэлд хоёр хэмжигдэхүүнийг харьцуулсан болно: хоёрыг суурь болгохыг хүссэн тооны логарифм нь гурван тооноос их байна.

Логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын хоорондох хамгийн чухал ялгаа нь логарифм бүхий тэгшитгэлүүд (жишээ нь - логарифм 2 x = √9) нь нэг буюу хэд хэдэн тодорхой хариултыг илэрхийлдэг явдал юм. тоон утгууд, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед бүс нутаг гэж тодорхойлогддог хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэ, мөн энэ функцийн таслах цэгүүд. Үүний үр дүнд хариулт нь тэгшитгэлийн хариулт шиг бие даасан тоонуудын энгийн багц биш, харин тасралтгүй цуваа эсвэл тооны багц юм.

Логарифмын тухай үндсэн теоремууд

Логарифмын утгыг олох энгийн даалгавруудыг шийдвэрлэхдээ түүний шинж чанарыг мэдэхгүй байж болно. Гэхдээ логарифмын тэгшитгэл буюу тэгш бус байдлын тухай ярихад юуны өмнө логарифмын бүх үндсэн шинж чанарыг тодорхой ойлгож, практикт хэрэглэх шаардлагатай. Бид дараа нь тэгшитгэлийн жишээг авч үзэх болно, эхлээд шинж чанар бүрийг нарийвчлан авч үзье.

1. Үндсэн таних тэмдэг нь дараах байдалтай байна: a logaB =B. Энэ нь зөвхөн a нь 0-ээс их, нэгтэй тэнцүү биш, В нь тэгээс их байх үед л хамаарна.
2. Бүтээгдэхүүний логарифмыг дүрсэлж болно дараах томъёо: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Энэ тохиолдолд заавал байх нөхцөл нь: d, s 1 ба s 2 > 0; a≠1. Та энэ логарифм томъёоны нотолгоог жишээ болон шийдлээр өгч болно. log a s 1 = f 1 ба log a s 2 = f 2, дараа нь a f1 = s 1, a f2 = s 2 гэж бичье. Бид s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 гэдгийг олж авна. градус ), дараа нь тодорхойлолтоор: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, үүнийг батлах шаардлагатай.
3. Хэсгийн логарифм дараах байдалтай байна: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Томъёо хэлбэртэй теорем нь дараах хэлбэртэй байна: log a q b n = n/q log a b.

Энэ томьёог "логарифмын зэрэглэлийн шинж чанар" гэж нэрлэдэг. Энэ нь ердийн зэрэглэлийн шинж чанаруудтай төстэй бөгөөд бүх математик нь байгалийн постулат дээр суурилдаг тул энэ нь гайхмаар зүйл биш юм. Нотлох баримтыг харцгаая.

Лог a b = t гэж үзье, энэ нь a t =b болно. Хэрэв бид хоёр хэсгийг хоёуланг нь m хүртэл өсгөвөл: a tn = b n ;

гэхдээ a tn = (a q) nt/q = b n тул log a q b n = (n*t)/t, дараа нь log a q b n = n/q log a b. Теорем нь батлагдсан.

Асуудал ба тэгш бус байдлын жишээ

Логарифмын хамгийн түгээмэл төрлийн бодлого бол тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын жишээ юм. Тэдгээрийг бараг бүх асуудлын номноос олж болно, мөн үүнд багтсан болно заавал байх хэсэгматематикийн шалгалтууд. Их сургуульд элсэх эсвэл тэнцэхэд зориулагдсан элсэлтийн шалгалтуудМатематикийн хувьд та ийм асуудлыг хэрхэн зөв шийдвэрлэхийг мэдэх хэрэгтэй.

Харамсалтай нь логарифмын үл мэдэгдэх утгыг шийдвэрлэх, тодорхойлох ганц төлөвлөгөө, схем байхгүй, гэхдээ тус бүрдээ математикийн тэгш бус байдалэсвэл логарифм тэгшитгэлийг хэрэглэж болно тодорхой дүрэм. Юуны өмнө та илэрхийллийг хялбарчлах эсвэл хүргэж болох эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй ерөнхий дүр төрх. Уртыг хялбарчлах логарифм илэрхийллүүдХэрэв та тэдгээрийн шинж чанарыг зөв ашиглавал боломжтой. Тэдэнтэй хурдан танилцацгаая.

Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид ямар төрлийн логарифм байгааг тодорхойлох ёстой: жишээ илэрхийлэл нь натурал логарифм эсвэл аравтын нэгийг агуулж болно.

Энд ln100, ln1026 жишээнүүд байна. Тэдний шийдэл нь суурь 10 нь 100 ба 1026-тай тэнцүү байх хүчийг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Байгалийн логарифмын шийдлийн хувьд та өргөдөл гаргах хэрэгтэй логарифмын ижилсэлтүүдэсвэл тэдгээрийн шинж чанар. Шийдлийг жишээн дээр авч үзье логарифмын асуудлуудянз бүрийн төрөл.

Логарифмын томьёог хэрхэн ашиглах вэ: жишээ ба шийдэлтэй

Тиймээс, логарифмын талаархи үндсэн теоремуудыг ашиглах жишээг авч үзье.

1. Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг өргөжүүлэх шаардлагатай ажлуудад ашиглаж болно их үнэ цэнэ b тоонуудыг энгийн хүчин зүйл болгон хувиргана. Жишээлбэл, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Хариулт нь 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - Таны харж байгаачлан логарифмын чадлын дөрөв дэх шинж чанарыг ашиглан бид ээдрээтэй бөгөөд шийдвэрлэх боломжгүй мэт санагдах илэрхийлэлийг шийдэж чадсан. Та зөвхөн суурийг хүчин зүйлээр тооцож, дараа нь логарифмын тэмдгээс экспонентын утгыг авах хэрэгтэй.

Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар

Логарифмууд ихэвчлэн олддог элсэлтийн шалгалтууд, ялангуяа Улсын нэгдсэн шалгалтанд логарифмын олон асуудал гардаг ( улсын шалгалтбүх сургууль төгсөгчдийн хувьд). Ихэвчлэн эдгээр ажлууд нь зөвхөн А хэсэгт байдаггүй (хамгийн хялбар туршилтын хэсэгшалгалт), мөн С хэсэгт (хамгийн төвөгтэй, том даалгавар). Шалгалт нь үнэн зөв, шаарддаг төгс мэдлэг"Байгалийн логарифмууд" сэдвүүд.

Асуудлын жишээ, шийдлийг албаны хүмүүсээс авсан Улсын нэгдсэн шалгалтын сонголтууд. Ийм ажлууд хэрхэн шийдэгдэж байгааг харцгаая.

Өгөгдсөн лог 2 (2х-1) = 4. Шийдэл:
лог 2 (2x-1) = 2 2-ыг бага зэрэг хялбарчилж, илэрхийллийг дахин бичье, логарифмын тодорхойлолтоор бид 2x-1 = 2 4, тиймээс 2x = 17 болно; x = 8.5.

• Шийдэл нь төвөгтэй, төөрөгдөл биш байхын тулд бүх логарифмуудыг нэг суурь болгон багасгах нь хамгийн сайн арга юм.
• Логарифмын тэмдгийн дор байгаа бүх илэрхийлэл нь эерэг гэж тэмдэглэгдсэн тул логарифмын тэмдгийн доор байрлах илэрхийллийн илтгэгчийг үржүүлэгч болгон авах үед логарифмын доор үлдсэн илэрхийлэл эерэг байх ёстой.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Тэгэхээр бид хоёр эрх мэдэлтэй. Хэрэв та доод шугамаас тоог авбал энэ тоог авахын тулд хоёрыг өсгөх шаардлагатай хүчийг хялбархан олох боломжтой. Жишээлбэл, 16-г авахын тулд та хоёрыг дөрөв дэх хүчийг нэмэгдүүлэх хэрэгтэй. Мөн 64-ийг авахын тулд хоёрыг зургаа дахь зэрэглэлд хүргэх хэрэгтэй. Үүнийг хүснэгтээс харж болно.

Тэгээд одоо - үнэндээ логарифмын тодорхойлолт:

Х-ийн логарифмын суурь нь х-г авахын тулд а-г өсгөх ёстой хүч юм.

Тэмдэглэл: log a x = b, энд a нь суурь, x нь аргумент, b нь логарифм нь бодитой тэнцүү байна.

Жишээ нь, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8-ын суурь 2 логарифм нь 2 3 = 8 учраас гурван). Ижил амжилтын бүртгэлтэй 2 64 = 6, учир нь 2 6 = 64.

Өгөгдсөн суурь хүртэлх тооны логарифмийг олох үйлдлийг логарифмчлал гэнэ. Тиймээс, хүснэгтэндээ шинэ мөр нэмье:

Харамсалтай нь бүх логарифмыг тийм амархан тооцоолж чаддаггүй. Жишээлбэл, лог 2 5-ыг хайж үзээрэй. Хүснэгтэнд 5-ын тоо байхгүй, гэхдээ логик нь логарифм нь сегментийн хаа нэгтээ хэвтэхийг заадаг. Учир нь 22< 5 < 2 3 , а чем илүү зэрэгхоёр, тоо нь их байх болно.

Ийм тоонуудыг иррациональ гэж нэрлэдэг: аравтын бутархайн дараах тоог хязгааргүй бичиж болно, хэзээ ч давтагдахгүй. Хэрэв логарифм нь иррациональ болж хувирвал үүнийг орхих нь дээр: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Логарифм нь хоёр хувьсагчтай (суурь ба аргумент) илэрхийлэл гэдгийг ойлгох нь чухал. Эхэндээ олон хүмүүс үндэслэл нь хаана байна, маргаан нь хаана байгааг андуурдаг. зайлсхийхийн тулд ядаргаатай үл ойлголцол, зүгээр л зургийг харна уу:

Бидний өмнө логарифмын тодорхойлолтоос өөр зүйл байхгүй. Санаж байна уу: логарифм бол хүч юм, аргументыг олж авахын тулд суурь нь баригдсан байх ёстой. Энэ нь хүч чадалд өргөгдсөн суурь юм - энэ нь зурган дээр улаанаар тодорсон байна. Суурь нь үргэлж доод талд байдаг нь харагдаж байна! Энэ гайхалтай дүрэмБи эхний хичээл дээр оюутнууддаа хэлдэг - ямар ч төөрөгдөл байхгүй.

Бид тодорхойлолтыг олж мэдсэн - логарифмыг хэрхэн тоолохыг сурах л үлдлээ. "лог" тэмдгийг арилгах. Эхлээд бид тодорхойлолтоос хоёр чухал баримт гарч ирснийг тэмдэглэж байна.

1. Аргумент ба суурь нь үргэлж тэгээс их байх ёстой. Энэ нь зэрэглэлийн тодорхойлолтоос үүдэлтэй оновчтой үзүүлэлт, үүнд логарифмын тодорхойлолт ирдэг.
2. Суурь нь нэгээс өөр байх ёстой, учир нь аль ч зэрэг нь нэг хэвээр байна. Үүнээс болоод “хоёрыг авахын тулд ямар хүч гаргах ёстой вэ” гэдэг асуулт утгагүй болж байна. Ийм зэрэглэл байхгүй!

Ийм хязгаарлалт гэж нэрлэдэг хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээ(ОДЗ). Логарифмын ODZ нь дараах байдалтай байна: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

b тоонд (логарифмын утга) хязгаарлалт байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, логарифм нь сөрөг байж магадгүй: log 2 0.5 = −1, учир нь 0.5 = 2 −1.

Гэсэн хэдий ч одоо бид зөвхөн авч үзэх болно тоон илэрхийллүүд, логарифмын ЗСӨ-ийг мэдэх шаардлагагүй. Асуудлыг зохиогчид бүх хязгаарлалтыг аль хэдийн харгалзан үзсэн болно. Гэхдээ тэд явахдаа логарифм тэгшитгэлболон тэгш бус байдал, DHS-ийн шаардлага заавал байх болно. Эцсийн эцэст, үндэслэл, аргумент нь дээрх хязгаарлалттай заавал нийцэхгүй маш хүчтэй бүтэцтэй байж болно.

Одоо авч үзье ерөнхий схемлогарифмыг тооцоолох. Энэ нь гурван алхамаас бүрдэнэ:

1. a суурь ба аргумент x-ийг боломжит хамгийн бага суурь нь нэгээс их байхаар илэрхийл. Замдаа аравтын бутархайг арилгах нь дээр;
2. b хувьсагчийн тэгшитгэлийг шийд: x = a b ;
3. Үүний үр дүнд b тоо нь хариулт болно.

Ингээд л болоо! Хэрэв логарифм нь үндэслэлгүй болж хувирвал энэ нь эхний шатанд аль хэдийн харагдах болно. Суурь нь нэгээс их байх шаардлага нь маш чухал: энэ нь алдаа гарах магадлалыг бууруулж, тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Үүнтэй адил аравтын бутархай: Хэрэв та тэдгээрийг нэн даруй ердийнх рүү хөрвүүлбэл олон тооны алдаа гарах болно.

Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан энэ схем хэрхэн ажилладагийг харцгаая.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 5 25

1. Суурь ба аргументыг тавын хүчин гэж төсөөлье: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Тэгшитгэл үүсгэж, шийдье:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Бид хариулт авсан: 2.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоолох:

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 4 64

1. Суурь ба аргументыг хоёрын зэрэглэлээр төсөөлье: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Тэгшитгэл үүсгэж, шийдье:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Бид хариулт авсан: 3.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 16 1

1. Суурь ба аргументыг хоёрын зэрэглэлээр төсөөлье: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Тэгшитгэл үүсгэж, шийдье:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Бид хариулт авсан: 0.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 7 14

1. Суурь ба аргументыг долоон хүчин гэж төсөөлье: 7 = 7 1 ; 7 1 тул 14-ийг долоон зэрэглэлээр илэрхийлэх боломжгүй< 14 < 7 2 ;
2. Өмнөх догол мөрөөс харахад логарифмыг тооцохгүй;
3. Хариулт нь өөрчлөлтгүй: log 7 14.

Жижигхэн тэмдэглэл сүүлчийн жишээ. Тоо нь өөр тооны яг хүчин чадал биш гэдэгт яаж итгэлтэй байх вэ? Энэ нь маш энгийн - зүгээр л задалж үзээрэй үндсэн хүчин зүйлүүд. Хэрэв өргөтгөл нь дор хаяж хоёр өөр хүчин зүйлтэй бол тоо нь тодорхой хүч биш юм.

Даалгавар. Тоонууд яг хүчинтэй эсэхийг олж мэд: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - яг зэрэг, учир нь зөвхөн нэг үржүүлэгч байдаг;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - 3 ба 2 гэсэн хоёр хүчин зүйл байдаг тул энэ нь яг хүч биш юм;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - яг зэрэг;
35 = 7 · 5 - дахин тодорхой хүч биш;
14 = 7 · 2 - дахин нарийн зэрэг биш;

Анхдагч тоонууд нь үргэлж өөрсдийнхөө яг хүч байдаг гэдгийг анхаарна уу.

Аравтын логарифм

Зарим логарифмууд нь маш түгээмэл байдаг тусгай нэрболон тэмдэглэгээ.

x-ийн аравтын бутархай логарифм нь 10-ын суурьтай логарифм, өөрөөр хэлбэл. X тоог авахын тулд 10-ын тоог өсгөх ёстой хүч. Тэмдэглэл: lg x.

Жишээлбэл, log 10 = 1; бүртгэл 100 = 2; lg 1000 = 3 - гэх мэт.

Одооноос эхлэн сурах бичигт "Find lg 0.01" гэх мэт хэллэг гарч ирэхэд энэ нь үсгийн алдаа биш гэдгийг мэдэж аваарай. Энэ аравтын логарифм. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та энэ тэмдэглэгээг сайн мэдэхгүй бол та үүнийг үргэлж дахин бичиж болно:
log x = log 10 x

Энгийн логарифмын хувьд үнэн бүх зүйл аравтын бутархай логарифмын хувьд ч үнэн байдаг.

Байгалийн логарифм

Өөр өөрийн гэсэн тэмдэглэгээтэй өөр логарифм байдаг. Зарим талаараа энэ нь аравтын тооноос ч илүү чухал юм. тухай юмнатурал логарифмын тухай.

х-ийн натурал логарифм нь e суурьтай логарифм, өөрөөр хэлбэл. х тоог авахын тулд e тоог өсгөх ёстой хүч. Тэмдэглэл: ln x .

Олон хүн асуух болно: e тоо юу вэ? Энэ иррационал тоо, түүний яг үнэ цэнэолж, бүртгэх боломжгүй. Би зөвхөн эхний тоонуудыг өгөх болно:
e = 2.718281828459...

Энэ тоо юу вэ, яагаад хэрэгтэй байгаа талаар бид дэлгэрэнгүй ярихгүй. Зөвхөн e нь натурал логарифмын суурь гэдгийг санаарай.
ln x = log e x

Тиймээс ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - гэх мэт. Нөгөө талаас, ln 2 бол иррационал тоо юм. Ерөнхийдөө аливаа зүйлийн натурал логарифм оновчтой тооүндэслэлгүй. Мэдээжийн хэрэг, нэгээс бусад нь: ln 1 = 0.

Натурал логарифмын хувьд энгийн логарифмын хувьд үнэн байх бүх дүрэм хүчинтэй байна.

log a r b r = log a bэсвэл бүртгэл a b= log a r b r

Логарифмын суурь болон логарифмын тэмдгийн доорх тоог ижил зэрэглэлд аваачвал логарифмын утга өөрчлөгдөхгүй.

Логарифмын тэмдгийн дор зөвхөн эерэг тоо байж болох ба логарифмын суурь нь нэгтэй тэнцүү биш байна.

Жишээ.

1) Бүртгэл 3 9 ба 9 81 бүртгэлийг харьцуул.

log 3 9=2, учир нь 3 2 =9;

log 9 81=2, учир нь 9 2 =81.

Тэгэхээр log 3 9=log 9 81.

Хоёрдахь логарифмын суурь нь эхний логарифмын суурийн квадраттай тэнцүү болохыг анхаарна уу: 9=3 2, хоёр дахь логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь эхний логарифмын тэмдгийн доорхи тооны квадраттай тэнцүү байна. логарифм: 81=9 2. Эхний логарифмын лог 3 9-ийн тоо болон суурь хоёулаа хоёр дахь зэрэглэлд өргөгдсөн бөгөөд логарифмын утга үүнээс өөрчлөгдөөгүй байна.

Дараа нь, үндсийг нь гаргаж авснаас хойш nдундаас р зэрэгтэй Атоог нэмэгдүүлэх явдал юм Азэрэг ( 1/н), дараа нь 9 81 логоос та логгарифмын суурь ба тооны квадрат язгуурыг авч log 3 9-ийг авч болно.

2) Тэгш байдлыг шалгах: log 4 25=log 0.5 0.2.

Эхний логарифмыг харцгаая. Суурийн квадрат язгуурыг авна 4 мөн дундаас 25 ; Бид дараахийг авна: log 4 25=log 2 5.

Хоёр дахь логарифмыг харцгаая. Логарифмын суурь: 0.5= 1/2. Энэ логарифмын тэмдгийн доорх тоо: 0.2= 1/5. Эдгээр тоо тус бүрийг хасах эхний хүчийг нэмэгдүүлье.

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Тэгэхээр log 0.5 0.2=log 2 5. Дүгнэлт: энэ тэгш байдал нь үнэн юм.

Тэгшитгэлийг шийд:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2).Логарифмуудыг зүүнээс суурь хүртэл бууруулъя 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Тооны квадрат язгуур ба эхний логарифмын суурийг авна. Тооны дөрөв дэх үндэс, хоёр дахь логарифмын суурийг гарга.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Логарифмын нийлбэрийг үржвэрийн логарифм болгон хувирга.

3х 2 = 5х+2. Потенциацийн дараа хүлээн авсан.

3х 2 -5х-2=0. Шийдье квадрат тэгшитгэл By ерөнхий томъёоБүрэн квадрат тэгшитгэлийн хувьд:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 жинхэнэ үндэс.

Шалгалт.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

бүртгэл 2 2 2 +лог 2 3=лог 2 12;

log 2 (4∙3)=лог 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n b=(1/ n)∙ бүртгэл a b

Тооны логарифм бдээр суурилсан a n бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнабутархай 1/ nтооны логарифм руу бдээр суурилсан а.

Олно:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , хэрэв энэ нь мэдэгдэж байгаа бол бүртгэл 2 3=b,бүртгэл 5 2=c.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийг шийдэх:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5.25.

Шийдэл.

Эдгээр логарифмуудыг 2-р суурь болгон бууруулъя. Томъёог хэрэглэнэ. log a n b=(1/ n)∙ бүртгэл a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5.25;

log 2 x+0.5log 2 x+0.25log 2 x=5.25. Энд ижил төстэй нэр томъёо байна:

(1+0.5+0.25) log 2 x=5.25;

1.75 лог 2 x=5.25 |:1.75

log 2 x=3. Логарифмын тодорхойлолтоор:

2) 0.5лог 4 (х-2)+лог 16 (х-3)=0.25.

Шийдэл. 16 суурьтай логарифмыг 4 суурь руу хөрвүүлье.

0.5log 4 (x-2)+0.5log 4 (x-3)=0.25 |:0.5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0.5. Логарифмын нийлбэрийг үржвэрийн логарифм болгон хөрвүүлье.

log 4 ((x-2)(x-3))=0.5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0.5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0.5. Логарифмын тодорхойлолтоор:

x 2 -5x+4=0. Виетийн теоремын дагуу:

x 1 =1; x 2 =4. x = 1 үед энэ тэгшитгэлийн логарифм байхгүй тул x-ийн эхний утга ажиллахгүй. Логарифмын тэмдгийн дор зөвхөн эерэг тоо байж болно.

Шалгацгаая өгөгдсөн тэгшитгэл x=4 үед.

Шалгалт.

0.5лог 4 (4-2)+лог 16 (4-3)=0.25

0.5лог 4 2+лог 16 1=0.25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Тооны логарифм бдээр суурилсан А логарифмтай тэнцүүтоо бшинэ үндсэн дээр -тай, хуучин суурийн логарифмд хуваагдана Ашинэ үндсэн дээр -тай.

Жишээ нь:

1) log 2 3=lg3/lg2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Тооцоолох:

1) бүртгэл 5 7, хэрэв энэ нь мэдэгдэж байгаа бол lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

вб / бүртгэл ва.

log 5 7=log7/log5≈0.8451:0.6990≈1.2090.

Хариулт: бүртгэл 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) бүртгэл 5 7 , хэрэв энэ нь мэдэгдэж байгаа бол ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Шийдэл. Томъёог хэрэглэнэ: log a b =log вб / бүртгэл ва.

log 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.

Хариулт: бүртгэл 5 7≈1,209 1≈1,209 .

x олох:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Бид томъёог ашигладаг: log вб / бүртгэл в a = бүртгэл a b . Бид авах:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x=log 3 192;

x=192.

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Бид томъёог ашигладаг: log вб / бүртгэл в a = log a b. Бид авах:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=lg143-lg (11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

1 хуудасны 1 1