10-р ангийн алгебрийн хичээлийн "Функцийн монотон байдлын судалгаа. Судалгааны алгоритм" сэдвээр хийсэн хичээл, илтгэл.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.

1С-ийн 10-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрийн гарын авлага, симуляторууд
Параметртэй алгебрийн бодлого, 9-11-р анги
Програм хангамжийн орчин "1С: Математик конструктор 6.1"

Бид юу судлах вэ:
1. Буурах, нэмэгдүүлэх функцууд.
2. Функцийн дериватив ба монотон байдлын хамаарал.
3. Нэг хэвийн байдлын тухай хоёр чухал теорем.
4. Жишээ.

Залуус аа, бид өмнө нь маш их зүйлийг үзсэн янз бүрийн функцуудмөн тэдний графикийг барьсан. Одоо бидний авч үзсэн, цаашид авч үзэх бүх функцэд тохирсон шинэ дүрмийг танилцуулъя.

Бууруулах, нэмэгдүүлэх функцууд

Функц нь y= f(x) харгалзах бөгөөд үүнд x утга бүр нэг у утгатай холбоотой байдаг.

Зарим функцийн графикийг харцгаая.

Бидний графикаас харахад: x том байх тусам у бага байна. Тиймээс буурах функцийг тодорхойлъё. Хэрэв функцийг бууруулж байна гэж хэлдэг илүү өндөр үнэ цэнэаргумент таарч байна бага утгафункцууд.

Хэрэв x2 > x1 бол f(x2) Одоо энэ функцийн графикийг харцгаая.
Энэ график нь x том байх тусмаа у том болохыг харуулж байна. Тиймээс нэмэгдэж буй функцийг тодорхойлъё. Хэрэв аргументийн том утга нь функцын том утгатай тохирч байвал функцийг нэмэгдүүлэх гэж нэрлэдэг.
Хэрэв x2 > x1 бол f(x2 > f(x1) эсвэл: x их байх тусам у их болно.

Функц нь тодорхой интервалд нэмэгдэж, буурч байвал үүнийг ингэж хэлнэ Энэ интервал дээр монотон байна.

Функцийн дериватив ба монотон байдлын хоорондын хамаарал

Хэрэв та манай шүргэгчийг харвал эсвэл өөр шүргэгчийг нүдээр зурвал x тэнхлэгийн шүргэгч ба эерэг чиглэлийн хоорондох өнцөг хурц байх болно. Энэ нь шүргэгч эерэг байна гэсэн үг налуу. Тангенс налуу утгатай тэнцүү байнашүргэлтийн цэгийн абсцисс дахь дериватив. Тиймээс деривативын утга нь манай графикийн бүх цэгүүдэд эерэг байна. Өсөн нэмэгдэж буй функцийг гүйцэтгэдэг дараах тэгш бус байдал: f"(x) ≥ 0, дурын x цэгийн хувьд.

Залуус аа, одоо зарим буурах функцын графикийг харан, функцийн графикт шүргэгчийг байгуулцгаая.

Шүргэгчийг хараад өөр ямар ч шүргэгчийг нүдээр зурцгаая. Х тэнхлэгийн шүргэгч ба эерэг чиглэлийн хоорондох өнцөг нь мохоо бөгөөд энэ нь шүргэгч нь сөрөг налуутай байгааг анзаарах болно. Тиймээс деривативын утга нь манай графикийн бүх цэгүүдэд сөрөг байна. Буурах функцийн хувьд дараах тэгш бус байдал явагдана: f"(x) ≤ 0, дурын x цэгийн хувьд.

Тиймээс функцийн монотон байдал нь деривативын тэмдгээс хамаарна.

Хэрэв функц нь интервал дээр нэмэгдэж, энэ интервал дээр дериватив байвал энэ дериватив сөрөг биш байх болно.

Хэрэв функц нь интервал дээр буурч, энэ интервал дээр дериватив байвал энэ дериватив эерэг биш болно.

Чухал, ингэснээр функцийг авч үзэх интервалууд нээлттэй байна!

Монотоник байдлын тухай хоёр чухал теорем

Теорем 1. Хэрэв X нээлттэй интервалын бүх цэгүүдэд f’(x) ≥ 0 тэгш бус байдал биелдэг (мөн деривативын тэг хүртэлх тэгш байдал нь биелэхгүй эсвэл биелнэ, гэхдээ зөвхөн хязгаарлагдмал олонлогоноо), тэгвэл y= f(x) функц X интервал дээр нэмэгдэнэ.

Теорем 2. Хэрэв X нээлттэй интервалын бүх цэгүүдэд f'(x) ≤ 0 тэгш бус байдал биелдэг бол (мөн деривативын тэгтэй тэнцүү байх нь зөвхөн хязгаарлагдмал олонлог цэгт л биелэх эсвэл биелэх) юм. y= f(x) функц X интервал дээр буурна.

Теорем 3. Хэрэв нээлттэй интервалын бүх цэгүүдэд X тэгш байдал
f’(x)= 0 бол энэ интервал дээр y= f(x) функц тогтмол байна.

Нэг хэвийн байдлын функцийг судлах жишээ

1) y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 функц бүхэл тооны шулуун дээр нэмэгдэж байгааг батал.

Шийдэл: Функцийнхээ деривативыг олъё: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. x-ийн зэрэг нь тэгш байх тул эрчим хүчний функцзөвхөн хүлээн зөвшөөрдөг эерэг утгууд. Дараа нь дурын х-ийн хувьд y" > 0 байна, энэ нь теорем 1-ээр бидний функц бүхэл тооны шулуун дээр нэмэгддэг гэсэн үг юм.

2) Функц буурч байгааг батал: y= sin(2x) - 3x.

y"= 2cos(2x) - 3 гэсэн функцийнхээ деривативыг олъё.
Тэгш бус байдлыг шийдье:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Учир нь -1 ≤ cos(x) ≤ 1, энэ нь дурын х-д бидний тэгш бус байдал хангагдана гэсэн үг, тэгвэл теорем 2-оор y= sin(2x) - 3x функц буурна.

3) Функцийн монотон байдлыг шалгана уу: y= x 2 + 3x - 1.

Шийдэл: y"= 2x + 3 функцийн деривативыг олъё.
Тэгш бус байдлыг шийдье:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Тэгвэл бидний функц x ≥ -3/2-д нэмэгдэж, x ≤ -3/2-д буурна.
Хариулт: x ≥ -3/2 бол функц нэмэгдэж, x ≤ -3/2 бол функц буурна.

4) Функцийн монотон байдлыг шалгана уу: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Шийдэл: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ функцийнхээ деривативыг олъё.
Тэгш бус байдлыг шийдье: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Бидний тэгш бус байдал тэгээс их буюу тэнцүү байна:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Тэгш бус байдлыг шийдье:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Гэхдээ энэ боломжгүй, учир нь Квадрат язгуурнь зөвхөн эерэг илэрхийлэлд зориулагдсан бөгөөд энэ нь бидний функц буурах интервалгүй гэсэн үг юм.
Хариулт: x ≥ 1/3 хувьд функц нэмэгдэнэ.

Бие даан шийдвэрлэх асуудал

Монотон функцфункц юм өсөлтЭнэ нь тэмдгийг өөрчилдөггүй, өөрөөр хэлбэл үргэлж сөрөг биш эсвэл үргэлж эерэг байдаггүй. Хэрэв нэмэгдэл нь тэг биш бол функцийг дуудна хатуу монотон. Монотон функц нь ижил чиглэлд өөрчлөгддөг функц юм.

Хэрэв том аргументын утга нь том функцийн утгатай тохирч байвал функц нэмэгдэнэ. Хэрэв аргументийн том утга нь функцын бага утгатай тохирч байвал функц буурна.

Дараа нь функцийг өгье

(хатуу) нэмэгдэх буюу буурах функцийг (хатуу) монотон гэж нэрлэдэг.

Экстремумын тодорхойлолт

Хэрэв x1-ийн хувьд y = f(x) функц нь тодорхой интервалд нэмэгдэж (буурагдаж) байна гэж хэлнэ.< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).

Хэрэв дифференциал болох y = f(x) функц нь интервал дээр ихсэх (багарах) байвал түүний энэ интервал дээрх уламжлал f "(x) > 0 болно.

(f" (x)< 0).

f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо) тэгш бус байдал үүсэх xо цэгийн хөрш байгаа бол xо цэгийг f(x) функцийн орон нутгийн максимум (минимум) цэг гэнэ. )) бүх цэгүүдэд үнэн байна.

Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг экстремум цэгүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд эдгээр цэгүүд дэх функцийн утгыг экстремум гэж нэрлэдэг.

Экстремум цэгүүд

Экстремум үүсэх зайлшгүй нөхцөл. Хэрэв xо цэг нь f(x) функцийн экстремум цэг бол f "(xо) = 0, эсвэл f (xо) байхгүй. Ийм цэгүүдийг критик гэж нэрлэдэг ба функц нь өөрөө дотор байна. чухал цэгтодорхойлсон. Функцийн экстремумыг түүний эгзэгтэй цэгүүдээс хайх хэрэгтэй.

Эхний хангалттай нөхцөл. Хо нь эгзэгтэй цэг байцгаая. Хэрвээ f "(x) xo цэгээр дамжин өнгөрөхдөө тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилжвэл xo цэгт функц максимумтай, үгүй ​​бол минимумтай байна. Хэрэв эгзэгтэй цэгийг дайран өнгөрөхөд дериватив тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол, функц нь хо цэгээр дамжин өнгөрөх үед хамгийн их утгатай байна. тэгвэл xo цэг дээр экстремум байхгүй.

Хоёр дахь хангалттай нөхцөл. f(x) функц нь xо цэгийн ойролцоо f " (x) дериватив ба өөрөө xо цэг дээр хоёр дахь деривативтэй байг. Хэрэв f " (xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

Сегмент дээр y = f(x) функц нь эгзэгтэй цэгүүд эсвэл сегментийн төгсгөлд хамгийн бага эсвэл хамгийн их утгад хүрч болно.

7. Гүдгэр, хотгор функцүүдийн интервалууд .Гулзайлтын цэгүүд.

Функцийн гулзайлтын цэг

Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, харна уу Гулзайлтын цэг.

Функцийн дотоод цэгийн гулзайлтын цэг тодорхойлолтын домэйн, ийм байдлаар энэ цэг дээр тасралтгүй, энэ цэг дээр хязгаарлагдмал буюу тодорхой тэмдэгт хязгааргүй дериватив байдаг, нэгэн зэрэг хатуу гүдгэрийн интервалын төгсгөл нь дээшээ, хатуу гүдгэрийн интервалын эхлэл нь доош, эсвэл эсрэгээр байна.

Албан бус

Энэ тохиолдолд гол зүйл бол гулзайлтын цэгфункцийн график, өөрөөр хэлбэл "нугалах" цэг дээрх функцийн график шүргэгчЭнэ үед түүн рүү: шүргэгч дээр графын доор, графын дээр байрладаг (эсвэл эсрэгээр)

Функцийн өсөлт, бууралт, экстремум

Функцийн өсөлт, бууралт, экстремумын интервалыг дараах байдлаар олно. бие даасан даалгавар, бусад ажлуудын хамгийн чухал хэсэг, ялангуяа бүрэн функциональ судалгаа. Анхны мэдээлэлфункцийн өсөлт, бууралт, экстремумын талаар өгөгдсөн деривативын тухай онолын бүлэг, үүнийг би урьдчилсан судалгаанд ашиглахыг зөвлөж байна (эсвэл давталт)– мөн учир нь дараах материал нь маш дээр суурилсан үндсэндээ дериватив,Энэ нийтлэлийн эв нэгдэлтэй үргэлжлэл юм. Хэдийгээр цаг хугацаа бага байгаа бол өнөөдрийн хичээлээс жишээ авах боломжтой.

Өнөөдөр агаарт ховор эв нэгдлийн сүнс байгаа бөгөөд тэнд байгаа бүх хүмүүс хүсэлд шатаж байгааг би шууд мэдэрч байна. функцийг түүний уламжлалыг ашиглан судалж сурах. Тиймээс боломжийн, сайн, мөнхийн нэр томъёо таны дэлгэцийн дэлгэц дээр шууд гарч ирнэ.

Юуны төлөө? Шалтгаануудын нэг нь хамгийн практик юм: Ингэснээр та ямар нэг ажилд ерөнхийдөө юу шаардагдах нь тодорхой болно!

Функцийн монотон байдал. Функцийн экстремум ба экстремум цэгүүд

Зарим функцийг авч үзье. Энгийнээр хэлэхэд бид түүнийг гэж таамаглаж байна Үргэлжилсэнбүх тооны мөрөнд:

Ямар ч тохиолдолд, ялангуяа саяхан танилцсан уншигчдын хувьд болзошгүй хуурмаг байдлаас нэн даруй салцгаая. функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд. Одоо бид СОНИРХОЛГҮЙ, функцийн график тэнхлэгтэй харьцуулахад хэрхэн байрлаж байгааг (дээр, доор, тэнхлэг огтлолцох газар). Итгэл үнэмшилтэй байхын тулд тэнхлэгүүдийг оюун ухаанаараа арчиж, нэг график үлдээгээрэй. Яагаад гэвэл сонирхол энд л байдаг.

Чиг үүрэг нэмэгддэгинтервал дээр, хэрэв энэ интервалын аль нэг хоёр цэгийн хувьд, харилцаа холбоотой, тэгш бус байдал нь үнэн юм. Өөрөөр хэлбэл, аргументийн том утга нь функцийн том утгатай тохирч, график нь "доороос дээш" явдаг. Үзүүлэн харуулах функц нь интервалаар нэмэгддэг.

Үүний нэгэн адил функц буурдагөгөгдсөн интервалын аль нэг хоёр цэгийн хувьд тэгш бус байдал нь үнэн бол интервал дээр. Өөрөөр хэлбэл, аргументийн том утга нь функцийн бага утгатай тохирч, график нь "дээрээс доош" явдаг. Бидний функц интервалаар буурдаг .

Хэрэв функц тодорхой хугацааны туршид нэмэгдэж эсвэл буурч байвал түүнийг дуудна хатуу монотонэнэ интервалд. Нэг хэвийн байдал гэж юу вэ? Үүнийг шууд утгаар нь ойлгоорой - нэг хэвийн байдал.

Та мөн тодорхойлж болно буурдаггүйфункц (эхний тодорхойлолтод тайвширсан нөхцөл) ба өсөхгүйфункц (2-р тодорхойлолтод зөөлрүүлсэн нөхцөл). Интервал дахь буурдаггүй эсвэл өсдөггүй функцийг өгөгдсөн интервал дахь монотон функц гэнэ. (хатуу монотон - онцгой тохиолдол"зүгээр л" нэг хэвийн байдал).

Онол нь функцын өсөлт/бууралтыг тодорхойлох бусад аргуудыг, түүний дотор хагас интервал, сегментийг авч үздэг боловч таны толгой дээр тос-тос-тос асгахгүйн тулд бид ангиллын тодорхойлолттой нээлттэй интервалтай ажиллахыг зөвшөөрнө. - энэ нь илүү ойлгомжтой бөгөөд олон асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан практик асуудлуудхангалттай.

Тиймээс, Миний нийтлэлүүдэд "функцийн монотон байдал" гэсэн үг бараг үргэлж нуугддаг интервалуудхатуу монотон байдал(хатуу нэмэгдүүлэх эсвэл хатуу бууруулах функц).

Нэг цэгийн хөрш. Оюутнууд хаашаа ч хамаагүй зугтаж, булан тохойд айж нуугддаг үгс. ...Хэдийгээр бичлэгийн дараа Коши хязгаарлалтТэд дахиж нуугдахгүй байгаа байх, гэхдээ зүгээр л бага зэрэг чичирч байна =) Санаа зоволтгүй, одоо теоремуудын баталгаа байхгүй болно математик шинжилгээ- Тодорхойлолтыг илүү нарийн гаргахын тулд надад хүрээлэн буй орчин хэрэгтэй байсан экстремум цэгүүд. Санаж үзье:

Нэг цэгийн хөршагуулсан интервал гэж нэрлэдэг энэ цэг, харин ая тухтай байх үүднээс интервалыг ихэвчлэн тэгш хэмтэй гэж үздэг. Жишээлбэл, цэг ба түүний стандарт хөрш:

Үнэндээ тодорхойлолтууд нь:

цэг гэж нэрлэдэг хатуу дээд цэг, Хэрэв байдагтүүний хөрш, бүгдэд ньцэгээс бусад утгууд нь тэгш бус байдал . Д манай тодорхой жишэээнэ бол гол зүйл.

цэг гэж нэрлэдэг хатуу доод цэг, Хэрэв байдагтүүний хөрш, бүгдэд ньцэгээс бусад утгууд нь тэгш бус байдал . Зураг дээр "а" цэг байна.

Анхаарна уу : хөршийн тэгш хэмийн шаардлага огт шаардлагагүй. Үүнээс гадна, энэ нь чухал юм оршихуйн үнэн бодит байдалхүрээлэн буй орчин (бүр жижигхэн, бүр микроскоп), сэтгэл ханамжтай заасан нөхцөл

Цэгүүдийг дууддаг хатуу туйлын цэгүүдэсвэл зүгээр л экстремум цэгүүдфункцууд. Энэ нь хамгийн их оноо, хамгийн бага оноо гэсэн ерөнхий нэр томъёо юм.

"Хэт туйл" гэдэг үгийг бид хэрхэн ойлгох вэ? Тийм ээ, яг л нэг хэвийн байдал шиг. Галзуу хулганы туйлын цэгүүд.

Монотоник байдлын нэгэн адил сул постулатууд байдаг бөгөөд онолын хувьд илүү түгээмэл байдаг (Мэдээжийн хэрэг гэж үзсэн хатуу хэргүүд үүнд хамаарна!):

цэг гэж нэрлэдэг хамгийн дээд цэг, Хэрэв байдагтүүний эргэн тойронд ийм байдаг бүгдэд нь
цэг гэж нэрлэдэг хамгийн бага цэг, Хэрэв байдагтүүний эргэн тойронд ийм байдаг бүгдэд ньЭнэ хөршийн үнэ цэнэ, тэгш бус байдал хэвээр байна.

Сүүлийн хоёр тодорхойлолтын дагуу тогтмол функцийн аль ч цэгийг (эсвэл функцийн "хавтгай хэсэг") хамгийн их ба хамгийн бага цэг гэж үздэг болохыг анхаарна уу! Дашрамд хэлэхэд функц нь өсдөггүй, буурдаггүй, өөрөөр хэлбэл монотон байдаг. Гэсэн хэдий ч практик дээр бид бараг үргэлж уламжлалт "толгод" болон "хонхор" (зураг харна уу) -ийг өвөрмөц "толгойн хаан" эсвэл "намгийн гүнж" гэж үздэг тул бид эдгээр асуудлыг онолчдод үлдээх болно. Төрөл бүрийн хувьд энэ нь тохиолддог зөвлөгөө, дээш эсвэл доош чиглэсэн, жишээлбэл, цэг дээрх функцын хамгийн бага.

Өө, мөн роялтигийн тухай ярихад:
– утгыг гэдэг дээд тал ньфункцууд;
– утгыг гэдэг хамгийн багафункцууд.

Нийтлэг нэр – туйлшралфункцууд.

Үгэндээ болгоомжтой байгаарай!

Экстремум цэгүүд- эдгээр нь "X" утгууд юм.
Хэт их- "тоглоом" гэсэн утгатай.

! Анхаарна уу : заримдаа жагсаасан нэр томьёо нь ӨӨРИЙГӨӨ функцийн ГРАФИК дээр шууд байрлах "X-Y" цэгүүдийг хэлдэг.

Функц хэдэн экстремумтай байж болох вэ?

Аль нь ч биш, 1, 2, 3, ... гэх мэт. хязгааргүйд руу. Жишээлбэл, синус хязгааргүй олон минимум, максимумтай.

ЧУХАЛ!"Функцийн дээд хэмжээ" гэсэн нэр томъёо ижил бишнөхцөл " хамгийн их утгафункцууд." Зөвхөн орон нутгийн хороололд л хамгийн их үнэ цэнэтэй гэдгийг анзаарахад хялбар байдаг бөгөөд зүүн дээд талд "илүү сэрүүн нөхдүүд" байдаг. Үүний нэгэн адил "хамгийн бага функц" нь ""-тэй адил биш юм. хамгийн бага утгафункцууд ”, зураг дээр бид зөвхөн тодорхой хэсэгт утга нь хамгийн бага байгааг харж байна. Үүнтэй холбогдуулан экстремум цэгүүдийг бас нэрлэдэг орон нутгийн экстремум цэгүүд, ба экстремум - орон нутгийн эрс тэс . Тэд ойролцоо алхаж, тэнүүчилж байна дэлхийнах нар аа. Тэгэхээр аливаа параболын орой нь байдаг дэлхийн хамгийн багаэсвэл дэлхийн дээд хэмжээ. Цаашилбал, би хэт туйлшралын төрлүүдийг ялгахгүй бөгөөд тайлбарыг ерөнхий боловсролын зорилгоор илүү их хэлдэг - "орон нутгийн" / "дэлхий" гэсэн нэмэлт үгс таныг гайхшруулж болохгүй.

Онол руу хийсэн богино аялалаа туршилтын зургаар дүгнэж үзье: "Функцийн нэг хэвийн байдлын интервал ба экстремум цэгүүдийг олох" даалгавар нь юу гэсэн үг вэ?

Үг хэллэг нь таныг дараахь зүйлийг олоход уриалж байна.

– Өсөх/буурах функцийн интервал (буурахгүй, нэмэгдэхгүй байх нь хамаагүй бага тохиолддог);

- хамгийн их ба/эсвэл хамгийн бага оноо (хэрэв байгаа бол). За, бүтэлгүйтлээс зайлсхийхийн тулд хамгийн бага/максимумыг өөрсдөө олох нь дээр ;-)

Энэ бүхнийг хэрхэн тодорхойлох вэ?Дериватив функцийг ашиглах!

Өсөх, буурах интервалыг хэрхэн олох,
функцийн экстремум цэг ба экстремум?

Үнэн хэрэгтээ олон дүрмийг аль хэдийн мэддэг, ойлгодог деривативын утгын тухай хичээл.

Тангенсийн дериватив үйл ажиллагаа нэмэгдэж байгаа тухай хөгжилтэй мэдээг хүргэж байна тодорхойлолтын домэйн.

Котангенс ба түүний деривативтай байдал яг эсрэгээрээ байна.

Арксин нь интервалаар нэмэгддэг - энд үүссэн дериватив эерэг байна: .
Функц нь тодорхойлогдсон боловч ялгах боломжгүй үед. Гэсэн хэдий ч эгзэгтэй цэг дээр баруун гарт дериватив ба баруун гарт шүргэгч байдаг бөгөөд нөгөө ирмэг дээр тэдний зүүн гарт байдаг.

Нуман косинус ба түүний деривативын талаархи ижил төстэй үндэслэлийг гаргах нь танд тийм ч хэцүү биш байх болно гэж би бодож байна.

Дээрх бүх тохиолдлууд, тэдгээрийн ихэнх нь хүснэгтийн деривативууд, Би танд сануулж байна, -аас шууд дагаж дериватив тодорхойлолтууд.

Яагаад функцийг дериватив ашиглан судлах вэ?

Энэ функцийн график ямар харагдахыг илүү сайн ойлгохын тулд: хаана "доошоо дээш", "дээш доош", хамгийн бага ба дээд цэгт хүрдэг газар (хэрэв энэ нь огт хүрсэн бол). Бүх функцууд тийм ч энгийн байдаггүй - ихэнх тохиолдолд бид тодорхой функцийн графикийн талаар огт ойлголтгүй байдаг.

Илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилжиж, эргэцүүлэн бодох цаг болжээ Функцийн монотон ба экстремумын интервалыг олох алгоритм:

Жишээ 1

Функцийн өсөлт/бууралтын интервал ба экстремумыг ол

Шийдэл:

1) Эхний алхам бол олох явдал юм функцийн домэйн, мөн таслах цэгүүдийг (хэрэв байгаа бол) тэмдэглэ. IN энэ тохиолдолдфункц нь бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй, ба энэ үйлдэлВ тодорхой хэмжээгээралбан ёсоор. Гэхдээ хэд хэдэн тохиолдолд ноцтой хүсэл тэмүүлэл энд гарч ирдэг тул догол мөрийг үл тоомсорлон авч үзье.

2) Алгоритмын хоёр дахь цэг нь холбоотой юм

Экстремумын зайлшгүй нөхцөл:

Хэрэв цэг дээр экстремум байвал утга нь байхгүй болно.

Төгсгөлд нь андуурч байна уу? “Модуль x” функцийн экстремум .

Нөхцөл байдал зайлшгүй шаардлагатай, гэхдээ хангалтгүй, мөн эсрэгээрээ үргэлж үнэн байдаггүй. Тэгэхээр функц нь цэг дээр хамгийн их эсвэл хамгийн багадаа хүрдэг гэсэн тэгш байдлаас хараахан гараагүй байна. Сонгодог жишээдээр аль хэдийн онцолсон - энэ бол куб парабол ба түүний чухал цэг юм.

Гэхдээ ямар ч байсан, шаардлагатай нөхцөл extremum нь сэжигтэй цэгүүдийг олох хэрэгцээг шаарддаг. Үүнийг хийхийн тулд деривативыг олж, тэгшитгэлийг шийднэ.

Эхний нийтлэлийн эхэнд функцын графикийн тухайБи жишээн дээр параболыг хэрхэн хурдан бүтээх талаар хэлсэн : “...бид эхний деривативыг аваад тэгтэй тэнцүүлнэ: ...Тэгэхээр бидний тэгшитгэлийн шийдэл: - яг энэ үед параболын орой байрлаж байна...”. Одоо би параболын орой яагаад яг энэ цэг дээр байрлаж байгааг хүн бүр ойлгосон байх гэж бодож байна =) Ерөнхийдөө энд ижил төстэй жишээнээс эхлэх хэрэгтэй, гэхдээ энэ нь хэтэрхий энгийн (даммигийн хувьд ч гэсэн). Нэмж дурдахад хичээлийн төгсгөлд аналог байдаг функцийн дериватив. Тиймээс зэрэглэлийг нэмэгдүүлье:

Жишээ 2

Функцийн монотон ба туйлын интервалыг ол

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд даалгаврын эцсийн түүвэр.

Бутархай-рационал функцуудтай уулзах удаан хүлээсэн мөч ирлээ.

Жишээ 3

Эхний деривативыг ашиглан функцийг судлаарай

Нэг ажлыг хэрхэн өөрчлөх боломжтойг анхаарч үзээрэй.

Шийдэл:

1) Функц нь цэгүүдэд хязгааргүй тасалдалтай байдаг.

2) Бид чухал цэгүүдийг илрүүлдэг. Эхний деривативыг олоод тэгтэй тэнцүүлье.

Тэгшитгэлээ шийдье. Бутархай тоологч нь тэгтэй тэнцүү байна тэгтэй тэнцүү:

Тиймээс бид гурван чухал оноо авдаг:

3) Бид илрүүлсэн БҮХ цэгүүдийг тооны шулуун дээр зурдаг интервалын аргаБид ДЕРИВАТИВ-ийн шинж тэмдгийг тодорхойлно:

Та интервал дахь тодорхой цэгийг авч, үүсмэл хэрэгслийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй гэдгийг би танд сануулж байна мөн түүний тэмдгийг тодорхойлно. Бүр тоолохгүй, амаар "тооцоолох" нь илүү ашигтай. Жишээлбэл, интервалд хамаарах цэгийг авч, орлуулалтыг хийцгээе. .

Хоёр "нэмэх", нэг "хасах" нь "хасах" гэсэн утгатай тул дериватив нь бүх интервалд сөрөг байна гэсэн үг юм.

Таны ойлгож байгаагаар үйлдлийг зургаан интервал тус бүрээр хийх шаардлагатай. Дашрамд хэлэхэд, тоологч хүчин зүйл болон хуваагч нь ямар ч интервалын аль ч цэгт хатуу эерэг байдаг бөгөөд энэ нь даалгаврыг ихээхэн хөнгөвчилдөг гэдгийг анхаарна уу.

Тэгэхээр, үүсмэл функц нь ӨӨРӨӨ -өөр нэмэгддэг гэж хэлсэн -аар буурдаг. Нэг төрлийн интервалуудыг нэгдэх дүрсээр холбоход тохиромжтой.

Тухайн үед функц хамгийн дээд хэмжээндээ хүрнэ:
Тухайн үед функц хамгийн багадаа хүрнэ:

Та яагаад хоёр дахь утгыг дахин тооцоолох шаардлагагүй гэж бодож үзээрэй ;-)

Цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив тэмдэг өөрчлөгддөггүй тул функц NO EXTREMUM байхгүй - энэ нь аль аль нь буурч, буурсан хэвээр байна.

! Дахин хэлье чухал цэг : оноо нь чухал гэж тооцогддоггүй - тэдгээр нь функцийг агуулдаг тодорхойгүй байна. Үүний дагуу энд Зарчмын хувьд хэт туйлшрал байж болохгүй(үүсмэл шинж тэмдэг өөрчлөгдсөн ч гэсэн).

Хариулах: функцээр нэмэгддэг Функцийн хамгийн дээд хэмжээнд хүрэх үед дараах байдлаар буурна: , мөн цэг дээр – хамгийн бага нь: .

Монотоник байдлын интервал ба экстремын талаархи мэдлэг, тогтсон асимптотуудаль хэдийн ихийг өгдөг сайхан шоуО Гадаад төрхфункциональ график. Дундаж түвшний сургалттай хүн функцийн график нь хоёр босоо асимптоттой болохыг амаар тодорхойлох чадвартай. ташуу асимптот. Энд манай баатар байна:

Судалгааны үр дүнг энэ функцийн графиктай харьцуулахыг дахин оролдоно уу.
Эгзэгтэй цэг дээр экстремум байхгүй, гэхдээ байдаг график гулзайлтын(энэ нь дүрмээр бол ижил төстэй тохиолдлуудад тохиолддог).

Жишээ 4

Функцийн экстремумыг ол

Жишээ 5

Функцийн монотон байдлын интервал, максимум, минимумыг ол

…өнөөдөр бараг л “X in a шоо”-гийн баяр шиг байна...
Soooo, галерейд хэн үүний төлөө уухыг санал болгосон бэ? =)

Даалгавар бүр өөрийн гэсэн үндсэн нюанс, техникийн нарийн шинж чанартай байдаг бөгөөд үүнийг хичээлийн төгсгөлд тайлбарласан болно.

Тоон багц Xтооцдог тэгш хэмтэйхэрэв байгаа бол тэгтэй харьцуулахад xЄ Xутга - Xмөн багцад хамаарна X.

Чиг үүрэг y = е(XX, тоолно бүр X xЄ X, е(X) = е(-X).

У жигд функцграфик нь Ой тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна.

Чиг үүрэг y = е(X), багц дээр тодорхойлогддог X, тоолно хачин, биелүүлсэн бол дараах нөхцөлүүд: a) олон Xтэг орчим тэгш хэмтэй; б) хэнд ч xЄ X, е(X) = -е(-X).

У сондгой функцГрафик нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

Чиг үүрэг цагт = е(x), xЄ X, дуудсан үе үедээр X, хэрэв дугаар байгаа бол Т (Т ≠ 0) (хугацаафункц) дараах нөхцөл хангагдсан байна.

• X - ТТэгээд X + Толон хүнээс Xхэний ч төлөө XЄ X;
• хэний ч төлөө XЄ X, е(X + Т) = е(X - Т) = е(X).

Хэрэв Тнь функцийн үе, дараа нь хэлбэрийн дурын тоо юм мТ, Хаана мЄ З, м≠ 0, энэ нь мөн энэ функцийн үе юм. Хамгийн жижиг нь эерэг үеүүдӨгөгдсөн функцийг (хэрэв байгаа бол) түүний үндсэн үе гэж нэрлэдэг.

Хэрэв ТЭнэ нь функцийн үндсэн үе юм, дараа нь түүний графикийг байгуулахын тулд та графикийн хэсгийг уртыг тодорхойлох домэйны аль нэг интервал дээр зурж болно. Ттэгээд хий зэрэгцээ шилжүүлэгО тэнхлэгийн дагуух графикийн энэ хэсэг X± Т, ±2 Т, ....

Чиг үүрэг y = е(X), доор хязгаарлагдсанбагц дээр X Ахэнд ч зориулсан XЄ X, А ≤ е(X). Олонлогийн доор хязгаарлагдсан функцийн график X, шулуун шугамаас бүрэн дээгүүр байрлана цагт = А(энэ бол хэвтээ шугам).

Чиг үүрэг цагт = е(x), дээрээс нь хязгаарласанбагц дээр X(энэ багц дээр тодорхойлогдсон байх ёстой), хэрэв тоо байгаа бол INхэнд ч зориулсан XЄ X, е(X) ≤ IN. X олонлог дээр дээрээс нь хязгаарлагдсан функцийн график нь шугамын доор бүрэн байрлана цагт = IN(энэ бол хэвтээ шугам).

Функцийг авч үзсэн хязгаарлагдмалбагц дээр X(энэ багц дээр тодорхойлогдсон байх ёстой) хэрэв энэ олонлог дээр дээрээс болон доороос хязгаарлагдсан бол, өөрөөр хэлбэл, ийм тоонууд байдаг. АТэгээд INхэнд ч зориулсан XЄ Xтэгш бус байдал хангагдсан байна А ≤ е(x) ≤ Б. Олонлогт хязгаарлагдсан функцийн график X, шулуун шугамын хооронд бүрэн байрладаг цагт = АТэгээд цагт = IN(эдгээр нь хэвтээ шугамууд).

Чиг үүрэг цагт = е (X), багц дээр хязгаарлагдсан гэж үзнэ X(энэ багц дээр тодорхойлогдсон байх ёстой), хэрэв тоо байгаа бол ХАМТ> 0, аль нь ч гэсэн xЄ X, │е(X)│≤ ХАМТ.

Чиг үүрэг цагт = е(X), XЄ X, дуудсан нэмэгдэх (буурахгүй)дэд олонлог дээр МХАМТ Xхэзээ хүн бүрт X 1 ба X 2-ын Мтиймэрхүү X 1 < X 2, шударга е(X 1) < е(X 2) (е(X 1) ≤ е(X 2)). Эсвэл y функцийг дууддаг нэмэгдэхбагц дээр TO, хэрэв энэ олонлогийн аргументын том утга нь функцын том утгатай тохирч байвал.

Чиг үүрэг цагт = е(X), XЄX, дуудсан буурах (өсөхгүй)дэд олонлог дээр МХАМТ Xхэзээ хүн бүрт X 1 ба X 2-ын Мтиймэрхүү X 1 < X 2, шударга е(X 1) > е(X 2) (е(X 1) ≥ е(X 2)). Эсвэл функц цагтбагц дээр буурах гэж нэрлэдэг TO, хэрэв энэ олонлогийн аргументын том утга нь функцийн бага утгатай тохирч байвал.

Чиг үүрэг цагт = е(x), XЄ X, дуудсан нэг хэвийндэд олонлог дээр МХАМТ X, хэрэв энэ нь буурч (өсөхгүй) эсвэл нэмэгдэж (буурагдахгүй) байвал М.

Хэрэв функц бол цагт = е(X), XЄ X, дэд олонлог дээр буурч эсвэл нэмэгдэж байна МХАМТ X, тэгвэл ийм функцийг дуудна хатуу монотонбагц дээр М.

Тоо Мдуудсан функцийн хамгийн том утга y зураг авалт дээр TO, хэрэв энэ тоо нь х-ийн тодорхой утга дахь функцийн утга юм 0 багцаас аргументTO, мөн K олонлогийн аргументын бусад утгуудын хувьд y функцийн утга нь тооноос ихгүй байна.М.

Тоо мдуудсан хамгийн бага утга олонлог дээрх y функцууд TO, хэрэв энэ тоо нь тодорхой утга дахь функцийн утга юм XОлонлогоос 0 аргумент TO, мөн олонлогоос аргумент x-ийн бусад утгуудын хувьд TOфункцийн утгууд бага тоо м.

Функцийн үндсэн шинж чанарууд , үүнээс судалгаа, судалгаагаа эхлэх нь дээр, энэ нь түүний тодорхойлолт, ач холбогдлын талбар юм. График хэрхэн дүрслэгдсэнийг та санаж байх хэрэгтэй үндсэн функцууд. Зөвхөн дараа нь та илүү нарийн төвөгтэй графикууд руу шилжиж болно. "Функц" сэдэв нь эдийн засаг болон бусад мэдлэгийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Функцуудыг математикийн хичээлийн туршид судалж, үргэлжлүүлэн судалж байнадээд боловсролын байгууллагууд . Тэнд функцийг эхний болон хоёрдугаар дериватив ашиглан судалдаг.