Зөв трикутник. Тэгш талт гурвалжин

Теорем 19. Хоёр талт гурвалжны суурийн өнцөг нь тэнцүү байна.
Баталгаа. Тэгш өнцөгт гурвалжны суурь хүртэл өндрийг бууруулъя. Тэр үүнийг хоёр тэнцүү (хөл ба гипотенузын дагуу) тэгш өнцөгт гурвалжинд хуваана харгалзах өнцөгтэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. ∠ A=∠ C
Адил өнцөгт гурвалжны шалгуурууд нь Теорем 1 ба түүний үр дагавар, теорем 2-оос гардаг.
Теорем 20. Хэрэв заасан дөрвөн шугамын хоёр нь (өндөр, медиан, биссектрис, тэгш хэмийн тэнхлэг) давхцаж байвал гурвалжин нь тэгш өнцөгт байх болно (энэ нь бүх дөрвөн шугам давхцах болно).
Теорем 21. Хэрэв гурвалжны аль ч хоёр өнцөг тэнцүү бол энэ нь ижил өнцөгт байна.

Нотолгоо:Шууд теоремын нотолгоотой төстэй боловч гурвалжингийн тэгш байдлын хоёр дахь шалгуурыг ашиглана. Таталцлын төв, тойрог ба тойргийн төвүүд, тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийн огтлолцлын цэг бүгд түүний тэгш хэмийн тэнхлэг дээр байрладаг, өөрөөр хэлбэл. дээр.
Адил талт гурвалжин нь түүний хос тал бүрийн хувьд тэгш өнцөгт юм. Бүх талуудын тэгш байдлаас шалтгаалан ийм гурвалжны гурван өнцөг нь тэнцүү байна. Аливаа гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь хоёр тэгш өнцөгтэй тэнцүү гэж үзвэл тэгш талт гурвалжны өнцөг бүр 60°-тай тэнцүү байна. Үүний эсрэгээр гурвалжны бүх талууд тэнцүү байхын тулд түүний гурван өнцгийн хоёр нь 60°-тай тэнцүү эсэхийг шалгахад хангалттай.
Теорем 22 . Тэгш талт гурвалжинд бүх гайхалтай цэгүүд давхцдаг: хүндийн төв, бичээстэй ба хүрээлэгдсэн тойргийн төвүүд, өндрийн огтлолцох цэг (гурвалжны ортоцентр гэж нэрлэдэг).
Теорем 23 . Хэрэв заасан дөрвөн цэгийн хоёр нь давхцаж байвал гурвалжин нь тэгш талт байх ба үүний үр дүнд дөрвөн нэрлэсэн цэг бүгд давхцах болно.
Үнэн хэрэгтээ ийм гурвалжин нь өмнөх гурвалжны дагуу аль ч хос талтай ижил тэгш өнцөгт хэлбэртэй болно, жишээлбэл. тэгш талт. Тэгш талт гурвалжныг ердийн гурвалжин гэж бас нэрлэдэг.
Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь хажуугийн квадрат ба талуудын хоорондох өнцгийн синусын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.

Тэгш талт гурвалжны хувьд энэ томъёог авч үзье, тэгвэл альфа өнцөг нь 60 градустай тэнцүү байх болно. Дараа нь томъёо дараах байдлаар өөрчлөгдөнө. Теорем d1

Нотолгоо:. Тэгш өнцөгт гурвалжинд талууд руу татсан медианууд тэнцүү байна.
ABC нь ижил өнцөгт гурвалжин (AC = BC), AK ба BL медианууд байг. Дараа нь гурвалжны тэгш байдлын хоёр дахь шалгуурын дагуу AKB ба ALB гурвалжин тэнцүү байна. Тэдгээр нь нийтлэг AB талтай, AL ба BK талууд нь ижил өнцөгт гурвалжны хажуу талуудын хагастай тэнцүү, LAB ба KBA өнцөг нь тэгш өнцөгт гурвалжны суурийн өнцөгтэй тэнцүү байна. Гурвалжингууд хоорондоо тохирч байгаа тул тэдгээрийн AK ба LB талууд тэнцүү байна. Харин AK ба LB нь хажуу тал руу нь татсан ижил өнцөгт гурвалжны медианууд юм. Теорем d2

Нотолгоо: ABC нь ижил өнцөгт гурвалжин (AC = BC), AK ба BL нь биссектриса байг. Гурвалжны тэгш байдлын хоёр дахь шалгуурын дагуу AKB ба ALB гурвалжин нь тэнцүү байна. Тэдгээр нь нийтлэг AB талтай, LAB ба KBA өнцөг нь ижил өнцөгт гурвалжны суурийн өнцөгтэй, LBA ба KAB өнцөг нь тэгш өнцөгт гурвалжны суурийн өнцгийн хагастай тэнцүү байна. Гурвалжингууд нь тэнцүү тул тэдгээрийн талууд нь AK ба LB нь биссектриса юм ABC гурвалжин- тэнцүү. Теорем нь батлагдсан.
Теорем d3 . Адил өнцөгт гурвалжинд хажуу тийшээ доошлуулсан өндөр нь тэнцүү байна.

Нотолгоо: ABC нь ижил өнцөгт гурвалжин (AC = BC), AK ба BL нь өндрөө авъя. Дараа нь ALB ба AKB өнцөг нь тэгш өнцөгт, LAB ба ABK өнцөг нь тэгш өнцөгт гурвалжны суурийн өнцөгтэй тэнцүү тул ABL ба KAB өнцөг нь тэнцүү байна. Үүний үр дүнд гурвалжны тэгш байдлын хоёр дахь шалгуурын дагуу ALB ба AKB гурвалжнууд тэнцүү байна: тэдгээр нь нийтлэг AB талтай, KAB ба LBA өнцөгүүд нь дээрх дагуу тэнцүү, LAB ба KBA өнцөгүүд нь гурвалжны суурийн өнцөгтэй тэнцүү байна. тэгш өнцөгт гурвалжин. Хэрэв гурвалжнууд хоорондоо тохирч байвал тэдгээрийн AK ба BL талууд мөн адил тэнцүү байна. Q.E.D.

IN сургуулийн курсгеометр асар их хэмжээгурвалжин судлахад цаг зарцуулдаг. Оюутнууд өнцгийг тооцоолж, биссектрис болон өндрийг барьж, дүрсүүд бие биенээсээ хэрхэн ялгаатай болохыг олж мэдэх, тэдгээрийн талбай, периметрийг олох хамгийн хялбар арга. Энэ нь амьдралд хэрэг болохгүй юм шиг санагддаг, гэхдээ заримдаа гурвалжин тэгш талт эсвэл мохоо гэдгийг хэрхэн тодорхойлох талаар сурах нь ашигтай хэвээр байна. Үүнийг яаж хийх вэ?

Гурвалжны төрлүүд

Нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэг ба тэдгээрийг холбосон сегментүүд. Энэ тоо хамгийн энгийн нь бололтой. Гурван талтай бол ямар гурвалжин байж болох вэ? Үнэндээ хэд хэдэн сонголт байдаг. их тоо, тэдгээрийн заримыг нь өгсөн онцгой анхааралсургуулийн геометрийн хичээлийн нэг хэсэг болгон. Тогтмол гурвалжин нь тэгш талт, өөрөөр хэлбэл түүний бүх өнцөг ба талууд тэнцүү байна. Энэ нь хэд хэдэн гайхалтай шинж чанартай бөгөөд цаашид хэлэлцэх болно.

Адил хажуу тал нь зөвхөн хоёр тэнцүү талтай бөгөөд бас сонирхолтой юм. Тэгш өнцөгтийн хувьд таны таамаглаж байгаагаар нэг өнцөг нь шулуун эсвэл мохоо байна. Түүнээс гадна тэд мөн адил тэгш өнцөгт байж болно.

Мөн Египет гэж нэрлэгддэг тусгай нэг байдаг. Түүний талууд нь 3, 4, 5 нэгжтэй. Түүнээс гадна энэ нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй. Үүнийг Египетийн судлаачид, архитекторууд зөв өнцгийг барихад идэвхтэй ашигладаг байсан гэж үздэг. Түүний тусламжтайгаар алдартай пирамидуудыг барьсан гэж үздэг.

Гэсэн хэдий ч гурвалжны бүх оройнууд нэг шулуун дээр хэвтэж болно. Энэ тохиолдолд энэ нь доройтсон гэж нэрлэгддэг бол бусад нь доройтдоггүй гэж нэрлэгддэг. Эдгээр нь геометрийн хичээлүүдийн нэг юм.

Тэгш талт гурвалжин

Мэдээжийн хэрэг, зөв ​​тоо нь үргэлж хамгийн их сонирхлыг төрүүлдэг. Тэд илүү төгс, илүү дэгжин харагддаг. Тэдний шинж чанарыг тооцоолох томъёо нь ихэвчлэн энгийн тоонуудаас илүү энгийн бөгөөд богино байдаг. Энэ нь гурвалжинд ч хамаатай. Геометрийг судлахдаа тэдэнд маш их анхаарал хандуулдаг нь гайхах зүйл биш юм: сургуулийн сурагчдад зөв дүрсийг бусдаас ялгахыг заадаг, мөн тэдний зарим сонирхолтой шинж чанаруудын талаар хэлдэг.

Шинж тэмдэг ба шинж чанарууд

Нэрнээс нь харахад адил талт гурвалжны тал бүр нь нөгөө хоёртой тэнцүү байна. Нэмж дурдахад энэ нь зураг зөв эсэхийг тодорхойлоход туслах хэд хэдэн онцлог шинж чанартай байдаг.

Дээрх тэмдгүүдийн дор хаяж нэг нь ажиглагдвал гурвалжин нь тэгш талт байна. Учир нь зөв зурагДээрх бүх мэдэгдэл үнэн юм.

Бүх гурвалжин нь хэд хэдэн гайхалтай шинж чанартай байдаг. Нэгдүгээрт, дунд шугам, өөрөөр хэлбэл хоёр талыг хагасаар хувааж, гуравдахьтай параллель байх сегмент нь суурийн хагастай тэнцүү байна. Хоёрдугаарт, энэ зургийн бүх өнцгийн нийлбэр нь үргэлж 180 градустай тэнцүү байна. Үүнээс гадна гурвалжинд өөр нэг сонирхолтой харилцаа бий. Тийм ээ, эсрэг том талхудлаа илүү том өнцөгмөн эсрэгээр. Гэхдээ энэ нь мэдээж тэгш талт гурвалжинтай ямар ч холбоогүй, учир нь түүний бүх өнцөг нь тэнцүү.

Бичсэн ба хүрээлэгдсэн тойрог

Ихэнхдээ геометрийн хичээлээр оюутнууд хэлбэр дүрсүүд хоорондоо хэрхэн харьцаж болохыг сурдаг. Ялангуяа олон өнцөгт хэлбэрээр бичигдсэн эсвэл тэдгээрийн эргэн тойронд дүрслэгдсэн дугуйланг судалдаг. Бид юу яриад байгаа юм бэ?

Олон өнцөгтийн бүх талууд шүргэгч байх тойрог нь бичээстэй тойрог юм. Тодорхойлсон - бүх булантай холбоо барих цэгүүдтэй. Гурвалжин бүрийн хувьд та үргэлж эхний болон хоёр дахь тойргийг хоёуланг нь барьж болно, гэхдээ төрөл бүрээс зөвхөн нэгийг нь барьж болно. Энэ хоёрын нотлох баримт

Сургуулийн геометрийн хичээл дээр теоремуудыг өгдөг.

Гурвалжны параметрүүдийг өөрсдөө тооцоолохоос гадна зарим асуудал нь эдгээр тойргийн радиусыг тооцоолохтой холбоотой байдаг. Мөн томъёо
тэгш талт гурвалжин дараах байдалтай байна.

Энд r нь бичээстэй тойргийн радиус, R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус, а нь гурвалжны хажуугийн урт юм.

Өндөр, периметр, талбайн тооцоо

Сургуулийн хүүхдүүдийн геометрийг судлах явцад тооцоолдог үндсэн үзүүлэлтүүд бараг ямар ч зураг дээр өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Эдгээр нь периметр, талбай, өндөр юм. Тооцооллыг хялбарчлахын тулд янз бүрийн томъёо байдаг.

Тиймээс периметрийг, өөрөөр хэлбэл бүх талын уртыг дараахь аргаар тооцоолно.

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, энд a нь тал тогтмол гурвалжин, R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус, r нь бичээстэй тойрог юм.

h = (√ ̅3/2)*a, энд a нь талын урт.

Эцэст нь томъёо нь стандарт нэгээс, өөрөөр хэлбэл суурь ба түүний өндрийн хагасын бүтээгдэхүүнээс гарна.

S = (√ ̅3/4)*a 2, энд a нь талын урт.

Энэ утгыг мөн хүрээлэгдсэн эсвэл бичээстэй тойргийн параметрүүдээр тооцоолж болно. Үүний тулд тусгай томъёо байдаг:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2, энд r ба R нь бичээстэй болон хүрээлэгдсэн тойргийн радиусууд юм.

Барилга

Өөр сонирхолтой залуугурвалжин зэрэг асуудлууд нь тодорхой дүрсийг ашиглан зурах хэрэгцээтэй холбоотой байдаг хамгийн бага багц

багаж хэрэгсэл: хуваалтгүй луужин ба захирагч.

Зөвхөн эдгээр төхөөрөмжүүдийг ашиглан ердийн гурвалжин бүтээхийн тулд та хэд хэдэн алхамыг хийх хэрэгтэй.

1. Та дурын A цэг дээр төвтэй, дурын радиустай тойрог зурах хэрэгтэй. Үүнийг тэмдэглэсэн байх ёстой.
2. Дараа нь та энэ цэгээр шулуун шугам зурах хэрэгтэй.
3. Тойрог ба шулуун шугамын огтлолцлыг B ба C гэж тэмдэглэсэн байх ёстой. Бүх бүтээн байгуулалтыг хамгийн өндөр нарийвчлалтайгаар гүйцэтгэх ёстой.
4. Дараа нь та C цэг дээр ижил радиус, төвтэй өөр тойрог эсвэл тохирох параметр бүхий нумыг барих хэрэгтэй. Уулзвар цэгүүдийг D ба F гэж тэмдэглэнэ.
5. B, F, D цэгүүдийг сегментээр холбох ёстой. Тэгш талт гурвалжин байгуулав.

Шийдэл ижил төстэй даалгаваруудСургуулийн хүүхдүүдэд ихэвчлэн асуудал үүсгэдэг, гэхдээ энэ чадвар нь өдөр тутмын амьдралд хэрэг болно.

"А-г авах" видео хичээл нь танд хэрэгтэй бүх сэдвүүдийг багтаасан болно амжилттай дуусгахМатематикийн улсын нэгдсэн шалгалт 60-65 оноо. 1-13 хүртэлх бүх асуудлыг бүрэн гүйцэд Профайл Улсын нэгдсэн шалгалтматематикт. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсгийг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Бүгд шаардлагатай онол. Түргэн арга замуудшийдэл, бэрхшээл ба Улсын нэгдсэн шалгалтын нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Сургалтанд 5 орно том сэдвүүд, тус бүр 2.5 цаг. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн асуудалба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. онол, лавлах материал, Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаварт дүн шинжилгээ хийх. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Визуал тайлбар нарийн төвөгтэй ойлголтууд. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Шийдлийн үндэс нарийн төвөгтэй даалгаварУлсын нэгдсэн шалгалтын 2 хэсэг.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.