Тодорхойлолт 1. Цилиндр гадаргуу нь хоорондоо параллель шулуун шугамаар үүссэн гадаргуу бөгөөд түүний гэж нэрлэдэг бүрдүүлэх .
Хэрэв бүх үүсгэгч цилиндр гадаргууг огтолж буй аливаа хавтгай шугамын дагуу огтолно Р, дараа нь энэ мөрийг дуудна хөтөч Энэ цилиндр гадаргуу.
Теорем . Хэрэв декартын координатын систем ба хавтгай дээрх тэгшитгэлийг орон зайд оруулбал xOyнь зарим шугамын тэгшитгэл юм Р, тэгвэл орон зай дахь энэ тэгшитгэл нь цилиндр гадаргуугийн тэгшитгэл юм Лчиглүүлэх шугамтай Р, мөн генераторууд нь тэнхлэгтэй параллель байна Оз(Зураг 3.19, а).
Баталгаа. Цэг 
цилиндр гадаргуу дээр байрладаг Лхэрэв зөвхөн проекц байвал 
оноо Монгоц руу xOyтэнхлэгтэй параллель Озшугаман дээр хэвтэж байна Р, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл биелсэн тохиолдолд л 
.
Үүнтэй төстэй дүгнэлт нь хэлбэрийн тэгшитгэлд хамаарна 
(Зураг 3.19, b) ба 
(Зураг 3.19, в).
Тодорхойлолт 2 . Цилиндр гадаргуугийн чиглүүлэгч нь хоёр дахь эрэмбийн шугамууд гэж нэрлэгддэг хоёр дахь эрэмбийн цилиндр гадаргуу .
Хоёр дахь зэрэглэлийн гурван төрлийн цилиндр байдаг: зууван хэлбэртэй (Зураг 3.20)
, (5.42)
гипербол (Зураг 3.21)
, (5.43)
параболик (Зураг 3.22)
. (5.44)
Цагаан будаа. 3.20 Зураг. 3.21 Зураг. 3.22
Цилиндрийн хувьд, тэгшитгэлээр өгөгдсөн(5.42), (5.43) ба (5.44) чиглүүлэгч шугамууд нь эллипс юм.
,
гипербол
,
парабол
,
ба генераторууд нь тэнхлэгт параллель байна Оз.
Сэтгэгдэл. Бидний харж байгаагаар хоёр дахь эрэмбийн конус ба цилиндр гадаргуу нь шулуун шугаман генераторуудтай бөгөөд эдгээр гадаргуу бүр нь орон зайд шулуун шугамын хөдөлгөөнөөр үүсч болно.
Хоёрдахь эрэмбийн бүх гадаргуугийн дунд цилиндр ба конусаас гадна нэг хуудастай гиперболоид ба гиперболоид параболоид нь шулуун шугаман генераторуудтай байдаг бөгөөд цилиндр ба конусын хувьд эдгээр хоёулаа хоёулаа байдаг. гадаргуу нь орон зайд шулуун шугамын хөдөлгөөнөөр бий болно (үзнэ үү. Тусгай уран зохиол).
§4. Хоёрдахь эрэмбийн гадаргуугийн ерөнхий тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах
IN ерөнхий тэгшитгэлХоёрдахь эрэмбийн гадаргуу
a) квадрат хэлбэр
Хаана 
;
б) шугаман хэлбэр
Хаана 
;
в) чөлөөт гишүүн 
.
(5.45) тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулахын тулд юуны өмнө ийм координатын хувиргалтыг хийх шаардлагатай. 
, улмаар холбогдох ортонормаль суурь 
, энэ нь квадрат хэлбэрийг (5.46) болгон хувиргадаг каноник хэлбэр(2-р ном, 8-р бүлэг, §3, 3.1-ийг үзнэ үү).
Энэ квадрат хэлбэрийн матриц нь байна
,
хаана, өөрөөр хэлбэл. матриц А- тэгш хэмтэй. -ээр тэмдэглэе 
хувийн үнэ цэнэ, дамжуулан 
матрицын хувийн векторуудаас бүрдэх ортонормаль суурь А.Болъё
–
баазаас шилжилтийн матриц 
суурь руу 
, А 
– үүнтэй холбоотой координатын шинэ систем.
Дараа нь координатыг хувиргахдаа
(5.48)
квадрат хэлбэр (5.46) нь каноник хэлбэрийг авдаг
Хаана 
.
Одоо координатын хувиргалтыг (5.48) шугаман хэлбэрт (5.47) хэрэглэснээр бид олж авна.
Хаана 
,
– шинэ хэлбэрийн коэффициентүүд (5.47).
Тиймээс (5.45) тэгшитгэл хэлбэрийг авна
+.
Энэ тэгшитгэлийг багасгаж болно каноник хэлбэртомъёоны дагуу координатын системийн зэрэгцээ шилжүүлгийг ашиглан
эсвэл 
(5.49)
Координатын системийн хувиргалтыг хийсний дараа зэрэгцээ шилжүүлэг(5.49), декартын координатын системийн хувьд хоёрдугаар эрэмбийн гадаргуугийн ерөнхий тэгшитгэл (5.45) 
дараах арван долоон гадаргуугийн аль нэгийг илэрхийлнэ.
1) эллипсоид 
2) төсөөллийн эллипсоид 
3) нэг хуудас гиперболоид 
4) хоёр хуудас гиперболоид 
5) конус 
6) төсөөллийн конус 
7) эллипс параболоид
8) гиперболын параболоид
9) зууван цилиндр
10) төсөөллийн эллипс цилиндр
11) огтлолцсон хоёр төсөөлөлтэй хавтгай
12) гипербол цилиндр
13) огтлолцсон хоёр хавтгай
14) параболик цилиндр
15) хоёр зэрэгцээ хавтгай
16) хоёр төсөөлөлтэй зэрэгцээ хавтгай
17) хоёр давхцаж буй онгоц
Жишээ.Декартын тэгш өнцөгт координатын системтэй харьцуулахад тодорхойлогдсон гадаргуугийн төрөл ба байршлыг тодорхойлно 
болон холбогдох ортонормаль суурь 
тэгшитгэл
Квадрат хэлбэрийг өгье
(5.51)
канон хэлбэр рүү. Энэ хэлбэрийн матриц нь хэлбэртэй байна
.
Энэ матрицын хувийн утгыг шинж чанарын тэгшитгэлээс тодорхойлъё
Эндээс 1 = 2, 2 = 0, 3 = 3.
Одоо бид олдог хувийн векторуудматрицууд А: 1) зөвшөөрөх 
, дараа нь тэгшитгэлээс 
эсвэл координат хэлбэрээр
хаанаас олох 
- дурын тоо, тиймээс 
, А 
. Коллинеар векторуудын бүх багцаас 
вектор сонгох 
, хэний модуль 
, өөрөөр хэлбэл векторыг хэвийн болгох 
.
2) төлөө 
бидэнд байгаа
.
Эндээс 
, Хаана 
- дурын тоо. Дараа нь 
, А 
. Векторыг хэвийн болгох 
, нэгж векторыг ол 
:
,
Хаана 
.
3)
, дараа нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хувьд 
вектор 
бидэнд систем бий
Хаанаас, хаанаас 
- дурын тоо, тиймээс 
, А 
. Векторыг хэвийн болгох 
, нэгж векторыг ол 
векторын өгсөн чиглэлийн хувьд 
:
Хаана 
.
Одоо ортонормаль үндэслэлээс шилжье 
ортонормаль суурьтай 
, матрицын хувийн векторуудаас бүрдэнэ Ашинэ декартын тэгш өнцөгт координатын системийг сүүлчийн суурьтай холбоно 
. Ийм хувиргалт хийх шилжилтийн матриц нь хэлбэртэй байна
,
мөн координатуудыг томъёоны дагуу хөрвүүлнэ
(5.52)
Энэхүү координатын хувиргалтыг квадрат хэлбэрт (5.51) хэрэглэснээр бид үүнийг каноник хэлбэрт оруулав.
, Хаана 
.
Одоо шугаман томъёо ямар хэлбэртэй болохыг олж мэдье
, Хаана 
,
хэрэв координатыг (5.52) томъёоны дагуу хувиргавал. Бидэнд байгаа
Тиймээс хэрэв координатын систем 
(5.52) томъёог ашиглан хувиргаж, дараа нь шинэ координатын системтэй харьцуулна 
авч үзэж буй хоёрдугаар эрэмбийн гадаргууг тэгшитгэлээр тодорхойлно
Томъёоны дагуу (5.53) томъёог координатын системийн зэрэгцээ шилжүүлгийг ашиглан каноник хэлбэрт оруулав.
үүний дараа координатын системтэй харьцуулахад гадаргуугийн тэгшитгэл 
хэлбэрийг авдаг
эсвэл 
Энэ тэгшитгэл нь чиглүүлэгч эллипс нь байрлах эллипс цилиндрийг илэрхийлдэг координатын хавтгай
, ба үүсгэгч шугамууд нь тэнхлэгтэй параллель байна 
Сэтгэгдэл. Энэ хэсэгт дурдсан хоёр дахь эрэмбийн гадаргуугийн ерөнхий тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах схемийг хоёрдугаар эрэмбийн муруйн ерөнхий тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулахад ашиглаж болно.
Зууван тэгшитгэл:
Онцгой тохиолдол эллипс цилиндрбайна дугуй цилиндр , түүний тэгшитгэл нь x 2 + y 2 = R 2 байна. x 2 =2pz тэгшитгэл нь орон зайд тодорхойлогддог параболик цилиндр.
Тэгшитгэл: орон зайд тодорхойлно гипербол цилиндр .
Эдгээр бүх гадаргууг гэж нэрлэдэг хоёр дахь эрэмбийн цилиндр, учир нь тэдгээрийн тэгшитгэл нь одоогийн x, y, z координатуудтай харьцуулахад хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл юм.
18. Бодит тоо, комплекс тоо Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд. Нарийн төвөгтэй тоо. Мойврын томъёонууд.
Нарийн төвөгтэй тоонэр z=x+iy хэлбэрийн илэрхийлэл, энд x ба у байна бодит тоо, мөн би гэж нэрлэгддэг төсөөллийн нэгж, . Хэрэв x=0 бол 0+iy=iy тоог дуудна. төсөөллийн тоо; хэрэв y=0 бол x+i0=x тоо нь x бодит тоогоор тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь Rall олонлог бодит байна гэсэн үг юм. үзэгдлийн тоо бүх комплекс тоон С олонлогийн дэд олонлог, i.e. .Х тоо нэр бодит хэсэг z, .Хоёр нийлмэл тоо бөгөөд тэдгээрийн бодит хэсгүүд нь тэнцүү, төсөөлөл нь тэнцүү бол тэнцүү (z1=z2) гэж нэрлэнэ: x1=x2, y1=y2. Ялангуяа x=y=0 тохиолдолд Z=x+iy цогцолбор тоо тэгтэй тэнцүү байна. "Илүү" ба "бага" гэсэн ойлголтыг комплекс тоонд оруулаагүй болно. Зөвхөн төсөөллийн хэсгийн тэмдгээр ялгаатай z = x + iy и хоёр цогц тоог коньюгат гэнэ.
Геометрийн дүрснийлмэл тоо.
Аливаа комплекс тоо z=x+iy нь x=Rez, y=Imz байхаар Окси хавтгайн M(x,y) цэгээр дүрслэгдэж болно. Мөн эсрэгээр координатын хавтгайн M(x;y) цэг бүрийг дүрс гэж үзэж болно нийлмэл тоо z=x+iy. Комплекс тоонуудыг дүрсэлсэн хавтгайг дуудна нарийн төвөгтэй хавтгай, учир нь z=x+0i=x бодит тоонуудыг агуулна. Ординатын тэнхлэг дээр z=0+iy гэсэн цэвэр төсөөллийн нийлмэл тоонууд оршдог тул түүнийг төсөөллийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Z=x+iy комплекс тоог r=OM=(x,y) радиус вектор ашиглан тодорхойлж болно. z комплекс тоог илэрхийлэх r векторын уртыг энэ тооны модуль гэж нэрлэх ба |z|-ээр тэмдэглэнэ. эсвэл r. хоорондын өнцгийн хэмжээ Чиглэл бодит тэнхлэгба нийлмэл тоог илэрхийлэх r векторыг энэ комплекс тооны аргумент гэж нэрлэх ба Argz буюу Z=0 гэж тэмдэглэсэн комплекс тооны аргумент тодорхойлогдоогүй. Комплекс тооны аргумент нь олон утгатай хэмжигдэхүүн бөгөөд argz нь интервалд агуулагдах аргументын үндсэн утга байх (), i.e. - 
(заримдаа аргументийн гол утгыг утга гэж авдаг интервалд хамаарах (0; )).
z тоог z=x+iy хэлбэрээр бичихийг гэнэ алгебрийн хэлбэрнийлмэл тоо.
Оюутнууд эхний жилдээ 2-р зэрэглэлийн гадаргуутай ихэвчлэн тулгардаг. Эхлээд энэ сэдэвтэй холбоотой асуудлууд энгийн мэт санагдаж болох ч та дээд математикийг судалж, шинжлэх ухааны тал руугаа гүнзгийрснээр юу болж байгааг анзаарахаа болино. Үүнээс урьдчилан сэргийлэхийн тулд та зүгээр л цээжлээд зогсохгүй энэ эсвэл тэр гадаргууг хэрхэн олж авдаг, координатын анхны системтэй харьцуулахад коэффициентүүд нь түүнд хэрхэн нөлөөлж, түүний байршилд хэрхэн нөлөөлж байгааг ойлгох хэрэгтэй. шинэ систем(түүний төв нь координатын гарал үүсэлтэй давхцаж, аль нэгтэй параллель байна координатын тэнхлэгүүд). Эхнээс нь эхэлцгээе.
Тодорхойлолт
2-р эрэмбийн гадаргууг GMT гэж нэрлэдэг бөгөөд координат нь дараах хэлбэрийн ерөнхий тэгшитгэлийг хангана.
Гадаргуунд хамаарах цэг бүр тодорхой үндэслэлээр гурван координаттай байх ёстой нь тодорхой байна. Хэдийгээр зарим тохиолдолд байршилцэгүүд, жишээлбэл, хавтгай болж доройтож болно. Энэ нь зөвхөн координатуудын аль нэг нь тогтмол бөгөөд зөвшөөрөгдөх утгын бүх хүрээнд тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Дээрх тэгш байдлын бүрэн бичмэл хэлбэр нь дараах байдалтай байна.
A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.
A nm - зарим тогтмолууд, x, y, z - харгалзах хувьсагчууд аффины координатуудямар ч цэг. Энэ тохиолдолд байнгын хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь байх ёсгүй тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл ямар ч цэг тэгшитгэлд тохирохгүй.
Ихэнх жишээн дээр олон тооны хүчин зүйлүүд тэгтэй тэнцүү хэвээр байгаа бөгөөд тэгшитгэлийг ихээхэн хялбаршуулсан болно. Практикт цэг нь гадаргууд хамаарах эсэхийг тодорхойлох нь тийм ч хэцүү биш (тэгшитгэлд түүний координатыг орлуулж, ижил төстэй байдал ажиглагдаж байгаа эсэхийг шалгахад хангалттай). Гол цэгийм ажилд сүүлчийнх нь каноник хэлбэрт оруулах явдал юм.
Дээр бичсэн тэгшитгэл нь ямар ч (доор жагсаасан) 2-р эрэмбийн гадаргууг тодорхойлно. Доорх жишээнүүдийг харцгаая.
2-р эрэмбийн гадаргуугийн төрлүүд
2-р эрэмбийн гадаргуугийн тэгшитгэлүүд нь зөвхөн A nm коэффициентүүдийн утгуудад ялгаатай байдаг. -аас ерөнхий үзэлТогтмол утгын тодорхой утгын хувьд янз бүрийн гадаргууг дараахь байдлаар ангилж болно.
- Цилиндрүүд.
- Зууван төрөл.
- Гиперболын төрөл.
- Конус хэлбэрийн төрөл.
- Параболик төрөл.
- Онгоц.
Жагсаалтад орсон төрөл бүр нь байгалийн болон төсөөллийн хэлбэртэй байдаг: төсөөллийн хэлбэрээр бодит цэгүүдийн байрлал нь улам доройтдог. энгийн дүрс, эсвэл огт байхгүй.
Цилиндрүүд
Харьцангуй төвөгтэй муруй нь зөвхөн суурь дээр байрладаг тул чиглүүлэгчийн үүрэг гүйцэтгэдэг тул энэ нь хамгийн энгийн төрөл юм. Генераторууд нь шулуун шугамууд, перпендикуляр хавтгайнууд, суурь нь оршино.
График нь дугуй цилиндрийг харуулж байна - онцгой тохиолдолэллипс цилиндр. XY хавтгайд түүний проекц нь эллипс (бидний тохиолдолд тойрог) - хөтөч, XZ-д - тэгш өнцөгт байх болно - генераторууд нь Z тэнхлэгтэй параллель байдаг тул үүнийг ерөнхий тэгшитгэлээс авна Коэффицентүүдэд дараахь утгыг өгөх шаардлагатай.
Ердийн тэмдэгтүүдийн оронд x, y, z, x-тэй байна серийн дугаар- хамаагүй.
Үнэн хэрэгтээ 1/a 2 болон энд заасан бусад тогтмолууд нь ерөнхий тэгшитгэлд заасан коэффициентүүдтэй ижил боловч тэдгээрийг яг энэ хэлбэрээр бичих нь заншилтай байдаг - энэ нь каноник дүрслэл. Дараах зүйлд энэ оруулгыг зөвхөн ашиглах болно.
Энэ нь гипербол цилиндрийг тодорхойлдог. Схем нь адилхан - гипербол нь хөтөч болно.
Параболик цилиндрийг арай өөрөөр тодорхойлдог: түүний каноник хэлбэр нь параметр гэж нэрлэгддэг p коэффициентийг агуулдаг. Үнэн хэрэгтээ коэффициент нь q=2p-тэй тэнцүү боловч үүнийг танилцуулсан хоёр хүчин зүйлд хуваах нь заншилтай байдаг.
Өөр нэг төрлийн цилиндр байдаг: төсөөлөлтэй. Ийм цилиндрт ямар ч бодит цэг хамаарахгүй. Үүнийг эллипс цилиндрийн тэгшитгэлээр дүрсэлсэн боловч нэгний оронд -1 байна.
Эллипс төрөл
Эллипсоидыг аль нэг тэнхлэгийн дагуу сунгаж болно (үүнд дээр дурдсан a, b, c тогтмолуудын утгуудаас хамаарна; том тэнхлэг нь илүү том коэффициенттэй тохирч байх нь ойлгомжтой).
Мөн координатын нийлбэрийг коэффициентээр үржүүлсэн нь -1-тэй тэнцүү байвал зохиомол эллипсоид байдаг.
Гиперболоидууд
Тогтмолуудын аль нэгэнд хасах тэмдэг гарч ирвэл эллипсоидын тэгшитгэл нь нэг хуудас гиперболоидын тэгшитгэл болж хувирдаг. Энэ хасах нь x3 координатын урд байрлах шаардлагагүй гэдгийг та ойлгох ёстой! Энэ нь зөвхөн тэнхлэгүүдийн аль нь гиперболоидын эргэлтийн тэнхлэг болохыг тодорхойлдог (эсвэл үүнтэй зэрэгцээ, учир нь квадрат дээр нэмэлт нэр томъёо гарч ирэх үед (жишээлбэл, (x-2) 2) зургийн төв нь шилжинэ. Үүний үр дүнд гадаргуу нь координатын тэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ хөдөлдөг). Энэ нь 2-р зэрэглэлийн бүх гадаргууд хамаарна.
Нэмж дурдахад, тэгшитгэлийг каноник хэлбэрээр харуулсан бөгөөд тэдгээрийг тогтмол утгыг өөрчлөх замаар өөрчлөх боломжтой гэдгийг ойлгох хэрэгтэй (тэмдэгийг хадгалахын зэрэгцээ!); Үүний зэрэгцээ тэдгээрийн гадаад төрх (гиперболоид, конус гэх мэт) хэвээр байх болно.
Ийм тэгшитгэлийг хоёр хуудасны гиперболоидоор өгсөн болно.
Конус гадаргуу
Конус тэгшитгэлд нэгдмэл байдал байхгүй - энэ нь тэгтэй тэнцүү байна.
Конус бол зөвхөн хязгаарлагдмал зүйл юм конус гадаргуу. Доорх зургаас харахад график дээр конус гэж нэрлэгддэг хоёр зүйл байх болно.
Анхаарах зүйл: бүх гэж үзсэн каноник тэгшитгэлд тогтмолуудыг анхдагчаар эерэг гэж үздэг. Үгүй бол тэмдэг нь эцсийн графикт нөлөөлж болно.
Координатын хавтгай нь конусын тэгш хэмийн хавтгай болж, тэгш хэмийн төв нь гарал үүсэл дээр байрладаг.
Төсөөллийн конусын тэгшитгэлд зөвхөн давуу талууд байдаг; энэ нь нэг бодит цэгийг эзэмшдэг.
Параболоидууд
Сансар огторгуйд 2-р эрэмбийн гадаргууг авч болно янз бүрийн хэлбэрүүдижил төстэй тэгшитгэлтэй байсан ч гэсэн. Жишээлбэл, параболоид нь хоёр төрөлтэй.
x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z
Z тэнхлэг нь зурган дээр перпендикуляр байх үед эллипс параболоид нь эллипс хэлбэртэй болно.
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z
Гипербол параболоид: ZY-тэй параллель хавтгайтай хэсгүүдэд парабол, XY-тэй параллель хавтгайтай хэсгүүдэд гиперболуудыг авна.
огтлолцох онгоцууд
Хавтгайд 2-р зэрэглэлийн гадаргуу нь доройтох тохиолдол байдаг. Эдгээр онгоцыг янз бүрийн аргаар байрлуулж болно.
Эхлээд огтлолцох онгоцуудыг харцгаая.
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0
Каноник тэгшитгэлийн энэхүү өөрчлөлтөөр бид зүгээр л огтлолцсон хоёр онгоцыг (төсөөл!); бүх бодит цэгүүд нь тэгшитгэлд байхгүй координатын тэнхлэг дээр байрладаг (каноник дээр - Z тэнхлэг).
Зэрэгцээ онгоцууд
Хэрэв зөвхөн нэг координат байвал 2-р эрэмбийн гадаргуу нь хос болж доройтдог зэрэгцээ хавтгайнууд. Тоглогчийн оронд өөр ямар ч хувьсагч байж болохыг бүү мартаарай; дараа нь бусад тэнхлэгүүдтэй параллель онгоцуудыг олж авна.
Энэ тохиолдолд тэд төсөөлөл болж хувирдаг.
Давхцсан онгоцууд
Үүнтэй хамт энгийн тэгшитгэлхос онгоц нэг болж доройтдог - тэд давхцдаг.
Гурван хэмжээст суурьтай тохиолдолд дээрх тэгшитгэл нь y=0 шулуун шугамыг заагаагүй гэдгийг битгий мартаарай! Бусад хоёр хувьсагч дутуу байгаа боловч энэ нь тэдний утга тогтмол бөгөөд тэгтэй тэнцүү гэсэн үг юм.
Барилга
Оюутны хувьд хамгийн хэцүү ажлуудын нэг бол 2-р дарааллын гадаргууг барих явдал юм. Нэг координатын системээс нөгөөд шилжих нь тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад муруйны налуу өнцөг болон төвийн офсетийг харгалзан үзэх нь бүр ч хэцүү байдаг. Хэрхэн тууштай тодорхойлохыг авч үзье ирээдүйн үзэл бодоланалитик аргаар зурах.
2-р зэрэглэлийн гадаргууг барихын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.
- тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах;
- судалж буй гадаргуугийн төрлийг тодорхойлох;
- коэффициентүүдийн утгууд дээр үндэслэн байгуулна.
Дараахь бүх төрлийг харгалзан үзнэ.
Үүнийг бататгахын тулд бид энэ төрлийн даалгаврын нэг жишээг нарийвчлан тайлбарлах болно.
Жишээ
Бидэнд тэгшитгэл байна гэж бодъё:
3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0
Үүнийг каноник хэлбэрт оруулъя. Бүрэн квадратуудыг сонгоцгооё, өөрөөр хэлбэл бид байгаа нэр томъёог нийлбэр эсвэл зөрүүний квадратын задрал байхаар цэгцлэх болно. Жишээ нь: (a+1) 2 =a 2 +2a+1 бол a 2 +2a+1=(a+1) 2. Бид хоёр дахь мэс засал хийх болно. Хаалт дотор энэ тохиолдолдҮүнийг задруулах шаардлагагүй, учир нь энэ нь зөвхөн тооцооллыг хүндрүүлэх болно, гэхдээ гаргаж ирэх хэрэгтэй нийтлэг үржүүлэгч 6 (хаалтанд төгс дөрвөлжинтоглоом) танд хэрэгтэй:
3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6
Энэ тохиолдолд zet хувьсагч зөвхөн нэг удаа гарч ирнэ - та үүнийг одоохондоо ганцаараа үлдээж болно.
Энэ үе шатанд тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийцгээе: бүх үл мэдэгдэх зүйлсийн өмнө нэмэх тэмдэг байна; Зургаагаар хуваахад нэг үлдэнэ. Үүний үр дүнд эллипсоидыг тодорхойлсон тэгшитгэл бидний өмнө байна.
144-ийг 150-6-д үржүүлж, дараа нь -6-г баруун тийш шилжүүлсэн болохыг анхаарна уу. Яагаад заавал ингэж хийх болов? Хамгийн их нь ойлгомжтой том хуваагчВ энэ жишээнд-6, тэгэхээр 144-өөс яг 6-г нь хуваагаад баруун талд нь үлдэхийн тулд (баруун талд байх ёстойг байгаагаар илэрхийлнэ) чөлөөт гишүүн- үл мэдэгдэх тоогоор үржүүлээгүй тогтмол).
Бүгдийг зургаад хувааж эллипсоидын каноник тэгшитгэлийг гаргацгаая.
(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1
Өмнө нь хэрэглэж байсан 2-р эрэмбийн гадаргуугийн ангилалд зургийн төв нь координатын эхэнд байх тохиолдолд онцгой тохиолдлыг авч үздэг. Энэ жишээнд энэ нь офсет байна.
Үл мэдэгдэх хаалт бүрийг шинэ хувьсагч гэж бид таамаглаж байна. Энэ нь: a=x-1, b=y+5, c=z. Шинэ координатуудад эллипсоидын төв нь (0,0,0) цэгтэй давхцаж байгаа тул a=b=c=0, эндээс: x=1, y=-5, z=0. Анхны координатуудад зургийн төв нь (1,-5,0) цэг дээр байрладаг.
Эллипсоидыг хоёр эллипсээс авах болно: эхнийх нь XY хавтгайд, хоёр дахь нь XZ хавтгайд (эсвэл YZ - энэ нь хамаагүй). Хувьсагчдыг хуваах коэффициентууд нь байна каноник тэгшитгэлдөрвөлжин. Тиймээс дээрх жишээн дээр хоёр, нэг, гурвын язгуураар хуваах нь илүү зөв байх болно.
Y тэнхлэгтэй параллель эхний эллипсийн бага тэнхлэг нь хоёртой тэнцүү байна. Том тэнхлэг нь X тэнхлэгтэй параллель байна - хоёр үндэс. Хоёр дахь эллипсийн жижиг тэнхлэг нь Y тэнхлэгтэй параллель хэвээр байна - энэ нь хоёртой тэнцүү байна. А гол тэнхлэг, Z тэнхлэгтэй параллель нь гурвын хоёр үндэстэй тэнцүү.
Анхны тэгшитгэлээс олж авсан өгөгдлийг каноник хэлбэрт шилжүүлснээр бид эллипсоид зурж болно.
Дүгнэх
Энэ нийтлэлд дурдсан сэдэв нь нэлээд өргөн хүрээтэй боловч үнэн хэрэгтээ та одоо харж байгаагаар энэ нь тийм ч төвөгтэй биш юм. Түүний хөгжил нь гадаргуугийн нэрс, тэгшитгэлийг цээжлэх тэр мөчид дуусдаг (мөн мэдээжийн хэрэг тэд ямар харагддаг). Дээрх жишээнд бид алхам бүрийг нарийвчлан авч үзсэн боловч тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулахын тулд хамгийн бага мэдлэг шаардагдана. дээд математикмөн оюутанд хүндрэл учруулахгүй байх ёстой.
Одоо байгаа тэгш байдлын үндсэн дээр ирээдүйн хуваарийн дүн шинжилгээ нь аль хэдийн илүү байна хэцүү даалгавар. Гэхдээ үүнийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд хоёрдахь эрэмбийн муруйг хэрхэн яаж барьж байгааг ойлгоход хангалттай - эллипс, парабол болон бусад.
Эвдрэлийн тохиолдлууд нь бүр ч энгийн хэсэг юм. Зарим хувьсагч байхгүй тул урьд дурьдсанчлан тооцооллыг хялбаршуулаад зогсохгүй барилгын ажлыг өөрөө хийдэг.
Та бүх төрлийн гадаргууг итгэлтэйгээр нэрлэж, тогтмолуудыг өөрчилж, графикийг нэг юмуу өөр хэлбэрт оруулж чадвал тухайн сэдвийг бүрэн эзэмшинэ.
Та бүхний сурлагад амжилт хүсье!
