1 ба 2-р төрлийн муруйн тэгшитгэлийн хэрэглээ. Муруй шугаман интегралын тооцоо: онол ба жишээ

Лекц 5 1 ба 2-р төрлийн муруйн интеграл, тэдгээрийн шинж чанарууд.

Муруй массын асуудал. 1-р төрлийн муруйн интеграл.

Муруй массын асуудал.Хэсэгчилсэн гөлгөр материалын муруйн цэг бүрт L: (AB) түүний нягтыг тодорхойл. Муруйн массыг тодорхойл.

Хавтгай бүсийн массыг тодорхойлохдоо хийсэнтэй ижил аргаар явцгаая ( давхар интеграл) ба орон зайн бие (гурвалсан интеграл).

1. Бид L нумын мужийг элементүүдэд хуваахыг зохион байгуулдаг - энгийн нумууд нь эдгээр элементүүд нийтлэг байдаггүй. дотоод цэгүүдТэгээд( нөхцөл А )

3. Интеграл нийлбэрийг байгуулъя , энд нумын урт (ихэвчлэн нуман ба түүний уртын хувьд ижил тэмдэглэгээг оруулдаг). Энэ - ойролцоо утгамассын муруй. Хялбаршуулсан зүйл бол бид нумын нягтыг элемент бүрт тогтмол гэж үзээд авсан эцсийн тооэлементүүд.

Өгөгдсөн хязгаарт шилжиж байна (нөхцөл B ), бид интеграл нийлбэрийн хязгаар болох эхний төрлийн муруйн интегралыг олж авна.

.

Оршихуйн теорем.

Хэсэгчилсэн гөлгөр L нуман дээр функц тасралтгүй байг. Дараа нь эхний төрлийн шугаман интеграл нь интеграл нийлбэрийн хязгаар болно.

Сэтгэгдэл.Энэ хязгаар нь үүнээс хамаарахгүй

Эхний төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд.

1. Шугаман чанар
a) суперпозиция шинж чанар

б) нэгэн төрлийн шинж чанар .

Баталгаа. Тэгш байдлын зүүн талд интегралуудын интеграл нийлбэрийг бичье. Интеграл нийлбэр нь хязгаарлагдмал тооны гишүүнтэй тул тэгш байдлын баруун талын интеграл нийлбэрүүд рүү шилждэг. Дараа нь бид хязгаар руу шилжиж, тэгш байдлын хязгаарт шилжих теоремыг ашиглан хүссэн үр дүндээ хүрнэ.

2. Нэмэлт чанар.
Хэрэв , Тэр = +

3. Энд нумын урт байна.

4. Хэрэв нуман дээр тэгш бус байдал хангагдсан бол

Баталгаа. Интеграл нийлбэрүүдийн тэгш бус байдлыг бичээд хязгаар руу шилжье.

Ялангуяа энэ нь боломжтой гэдгийг анхаарна уу

5. Үнэлгээний теорем.

Хэрэв энэ нь тогтмол байдаг бол

Баталгаа. Тэгш бус байдлыг нэгтгэх (4-р өмч), бид авна . 1-р шинж чанараар интегралаас тогтмолуудыг устгаж болно. 3-р өмчийг ашигласнаар бид хүссэн үр дүнд хүрнэ.

6. Дундаж утгын теорем(интегралын утга).

Нэг цэг байна , Юу

Баталгаа. Функц нь хаалттай дээр тасралтгүй байдаг тул хязгаарлагдмал багц, тэгвэл энэ нь байдаг доод ирмэг ба дээд ирмэг . Тэгш бус байдал хангагдана. Хоёр талыг L-ээр хуваавал бид гарна . Гэхдээ тоо функцийн доод ба дээд хязгаарын хооронд хаалттай байна. Функц нь хаалттай хязгаарлагдмал L олонлог дээр үргэлжилдэг тул хэзээ нэгэн цагт функц энэ утгыг авах ёстой. Тиймээс, .

Эхний төрлийн муруйн интегралын тооцоо.

L нумыг параметрчилье: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). t 0 нь А цэгт, t 1 нь В цэгт тохирно. Дараа нь нэгдүгээр төрлийн шулууны интеграл нь буурна. тодорхой интеграл (- нумын уртын дифференциалыг тооцоолох 1-р семестрээс мэдэгдэж буй томъёо):

Жишээ.Нэг төрлийн (няг k-тэй тэнцүү) мушгиа нэг эргэлтийн массыг тооцоол: .

2-р төрлийн муруйн интеграл.

Хүчний ажлын асуудал.

1. Бид бүс-нумын AB-ыг элементүүдэд хуваахыг зохион байгуулдаг - энгийн нумууд нь эдгээр элементүүдэд нийтлэг дотоод цэгүүд байхгүй ба( нөхцөл А )

2. Хуваалтын элементүүд дээр "тэмдэглэгдсэн цэгүүд" M i-г тэмдэглэж, тэдгээрийн функцийн утгыг тооцоолъё.

3. Интеграл нийлбэрийг байгуулъя , -нумын дагуу хөвчний дагуу чиглэсэн вектор хаана байна.

4. Өгөгдсөн хязгаарт шилжих (нөхцөл B ), бид интеграл нийлбэрийн (болон хүчний ажлын) хязгаар болох хоёр дахь төрлийн муруйн интегралыг олж авна.

. Ихэнхдээ тэмдэглэдэг

Оршихуйн теорем.

Хэсэгчилсэн гөлгөр L нуман дээр вектор функц тасралтгүй байя. Дараа нь хоёр дахь төрлийн муруйн интеграл нь интеграл нийлбэрийн хязгаар болж оршино.

.

Сэтгэгдэл.Энэ хязгаар нь үүнээс хамаарахгүй

А нөхцөл хангагдсан тохиолдолд хуваалтыг сонгох арга

Хуваалтын элементүүд дээр "тэмдэглэгдсэн цэгүүдийг" сонгох,

В нөхцөл хангагдсан тохиолдолд хуваалтыг сайжруулах арга

2-р төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд.

1. Шугаман чанар
a) суперпозиция шинж чанар

б) нэгэн төрлийн шинж чанар .

Баталгаа. Тэгш байдлын зүүн талд интегралуудын интеграл нийлбэрийг бичье. Интеграл нийлбэрт нэр томъёоны тоо хязгаарлагдмал тул өмчийг ашиглана цэгийн бүтээгдэхүүн, тэгш байдлын баруун талын интеграл нийлбэрүүд рүү шилжье. Дараа нь бид хязгаар руу шилжиж, тэгш байдлын хязгаарт шилжих теоремыг ашиглан хүссэн үр дүндээ хүрнэ.

2. Нэмэлт чанар.
Хэрэв , Тэр = + .

Баталгаа. Хуваалтын элементүүдийн аль нь ч (эхэндээ болон хуваалтыг боловсронгуй болгох үед) L 1 ба L 2 элементүүдийг нэгэн зэрэг агуулаагүй байхаар L бүсийн хуваалтыг сонгоцгооё. Үүнийг оршихуйн теоремыг ашиглан хийж болно (теоремын тайлбар). Дараа нь нотлох баримтыг 1-р зүйлд заасны дагуу интеграл нийлбэрээр гүйцэтгэнэ.

3. Баримтлах чадвар.

= -

Баталгаа. Нуман дээрх интеграл –L, i.e. В сөрөг чиглэлнумын хөндлөн огтлолцол нь () байгаа нөхцөл дэх интеграл нийлбэрийн хязгаар юм. Скаляр үржвэрээс "хасах" -ыг гаргаж, хязгаарлагдмал тооны гишүүний нийлбэрээс бид шаардлагатай үр дүнг авна.

Онолын доод хэмжээ

Муруй ба гадаргуугийн интегралуудфизикт ихэвчлэн олддог. Тэдгээр нь хоёр төрлөөр ирдэг бөгөөд эхнийх нь энд авч үзэх болно. Энэ
дагуу интегралын төрлийг байгуулна ерөнхий схем, аль нь тодорхой, давхар ба гурвалсан интеграл. Энэ схемийг товчхон санацгаая.
Интеграцийг гүйцэтгэдэг зарим объект байдаг (нэг хэмжээст, хоёр хэмжээст эсвэл гурван хэмжээст). Энэ объект нь жижиг хэсгүүдэд хуваагдана,
хэсэг бүрт цэг сонгосон. Эдгээр цэг бүрт интегралын утгыг тооцоолж, тухайн хэсгийн хэмжигдэхүүнээр үржүүлнэ.
харьяалагддаг өгсөн оноо(сегментийн урт, хэсэгчилсэн бүсийн талбай эсвэл эзэлхүүн). Дараа нь ийм бүх бүтээгдэхүүнийг нэгтгэж, хязгаарыг хангана
объектыг хязгааргүй жижиг хэсгүүдэд хуваах шилжилт. Үүссэн хязгаарыг интеграл гэж нэрлэдэг.

1. Эхний төрлийн муруйн интегралын тодорхойлолт

Муруй дээр тодорхойлогдсон функцийг авч үзье. Муруйг засах боломжтой гэж үздэг. Энэ нь ямар утгатай болохыг эргэн санацгаая, бүдүүвчээр хэлбэл,
дур зоргоороо жижиг холбоос бүхий тасархай шугамыг муруйд бичиж болох ба хязгаарт энэ нь хязгааргүй байдаг. их тоохолбоосууд, эвдэрсэн шугамын урт хэвээр байх ёстой
эцсийн. Муруйг хэсэгчилсэн урттай нумуудад хувааж, нуман тус бүр дээр цэгийг сонгоно. Бүтээлийг эмхэтгэж байна
нийлбэр нь бүх хэсэгчилсэн нуман дээр хийгддэг . Дараа нь хязгаарт шилжих ажлыг хамгийн их уртын хандлагаар гүйцэтгэнэ
хэсэгчилсэн нумуудаас тэг хүртэл. Хязгаар нь эхний төрлийн муруйн интеграл юм
.
Энэхүү интегралын нэг чухал шинж чанар нь түүний тодорхойлолтоос шууд хамаардаг нь интеграцийн чиглэлээс хараат бус байх явдал юм.
.

2. Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралын тодорхойлолт

Гөлгөр эсвэл хэсэгчилсэн гөлгөр гадаргуу дээр тодорхойлсон функцийг авч үзье. Гадаргуу нь хэсэгчилсэн хэсгүүдэд хуваагдана
талбайнуудтай бол ийм газар бүрт цэг сонгоно. Бүтээлийг эмхэтгэж байна , нэгтгэл хийж байна
бүх хэсэгчилсэн талбайд . Дараа нь хязгаарт шилжих нь бүх хэсэгчилсэн хамгийн том диаметрийн чиг хандлагын дагуу явагдана
талбайнуудыг тэг хүртэл. Хязгаар нь эхний төрлийн гадаргуугийн интеграл юм
.

3. Эхний төрлийн муруйн интегралын тооцоо

Эхний төрлийн муруйн интегралыг тооцоолох аргыг албан ёсны тэмдэглэгээнээс нь харж болно, гэхдээ үнэндээ
тодорхойлолтууд. Интеграл нь тодорхой болж буурсан; та зөвхөн интеграл хийж буй муруй нумын дифференциалыг бичих хэрэгтэй.
-ээс эхэлье энгийн тохиолдолтодорхой тэгшитгэлээр өгөгдсөн хавтгай муруй дагуух интеграл. Энэ тохиолдолд нумын дифференциал
.
Дараа нь интегралд хувьсагчийн өөрчлөлт хийгдэх ба интеграл хэлбэрийг авна
,
сегмент нь интеграл хийгдэж буй муруй хэсгийн дагуух хувьсагчийн өөрчлөлттэй тохирч байна.

Маш олон удаа муруйг параметрийн дагуу тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл. хэлбэрийн тэгшитгэл Дараа нь нумын дифференциал
.
Энэ томъёо нь маш энгийн үндэслэлтэй юм. Үндсэндээ энэ бол Пифагорын теорем юм. Нумын дифференциал нь үнэндээ муруйн хязгааргүй жижиг хэсгийн урт юм.
Хэрэв муруй нь гөлгөр бол түүний хязгааргүй жижиг хэсгийг шулуун шугам гэж үзэж болно. Шулуун шугамын хувьд бид харьцаатай байна
.
Үүнийг муруйн жижиг нумын хувьд гүйцэтгэхийн тулд хязгаарлагдмал өсөлтөөс дифференциал руу шилжих хэрэгтэй.
.
Хэрэв муруйг параметрийн дагуу тодорхойлсон бол дифференциалыг энгийнээр тооцно.
гэх мэт.
Үүний дагуу интеграл дахь хувьсагчдыг өөрчилсний дараа муруйн интегралыг дараах байдлаар тооцоолно.
,
интеграцийг хийж буй муруйн хэсэг нь параметрийн өөрчлөлтийн сегменттэй тохирч байна.

Муруйг заасан тохиолдолд нөхцөл байдал арай илүү төвөгтэй байдаг муруй шугаман координатууд. Энэ асуудлыг ихэвчлэн дифференциалын хүрээнд хэлэлцдэг
геометр. Өгөгдсөн муруйн дагуу интегралыг тооцоолох томьёог өгье туйлын координаттэгшитгэл:
.
Туйлын координат дахь нумын дифференциалын үндэслэлийг өгье. Сүлжээний барилгын талаархи дэлгэрэнгүй хэлэлцүүлэг туйлын системкоординатууд
см. Зурагт үзүүлсэн шиг координатын шугамтай холбоотой муруйн жижиг нумыг сонгоцгооё. 1. Онцолсон бүхний жижиг байдлаас болж
нуман дахин бид Пифагорын теоремыг хэрэглэж, дараах зүйлийг бичиж болно.
.
Эндээс нумын дифференциалыг хүссэн илэрхийлэл дагана.

Цэвэрхэнтэй онолын цэгХарааны үүднээс авч үзвэл эхний төрлийн муруйн интегралыг тухайн тохиолдол болгон бууруулах ёстой гэдгийг ойлгоход л хангалттай.
тодорхой интеграл руу. Үнэн хэрэгтээ, интегралыг тооцоолж буй муруйн параметрийн дагуу өөрчлөлтийг хийснээр бид үүнийг тогтооно.
Өгөгдсөн муруйн хэсэг ба параметрийн өөрчлөлтийн сегмент хоорондын нэгээс нэг зураглал. Мөн энэ нь интегралын бууралт юм
давхцаж буй шулуун шугамын дагуу координатын тэнхлэг- тодорхой интеграл.

4. Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралын тооцоо

Өмнөх цэгийн дараа эхний төрлийн гадаргуугийн интегралыг тооцоолох гол хэсгүүдийн нэг нь гадаргуугийн элементийг бичих явдал юм.
үүн дээр интеграцчилал хийгдэж байна. Дахин хэлэхэд, тодорхой тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон гадаргуугийн энгийн тохиолдлоос эхэлье. Дараа нь
.
Интегралд орлуулалт хийгдэж, гадаргуугийн интеграл хоёр дахин буурна.
,
интеграци хийгдэж буй гадаргуугийн хэсгийг тусгаж буй хавтгайн муж хаана байна.

Гэсэн хэдий ч гадаргууг тодорхой тэгшитгэлээр тодорхойлох нь ихэвчлэн боломжгүй байдаг бөгөөд дараа нь энэ нь параметрийн дагуу тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл. хэлбэрийн тэгшитгэл
.
Энэ тохиолдолд гадаргуугийн элементийг илүү төвөгтэй бичсэн болно.
.
Гадаргуугийн интегралыг дараах байдлаар бичиж болно.
,
интеграци хийгдсэн гадаргуугийн хэсэгт тохирох параметрийн өөрчлөлтийн талбай хаана байна.

5. Эхний төрлийн муруйн ба гадаргуугийн интегралуудын физик утга

Хэлэлцсэн интегралууд нь маш энгийн бөгөөд ойлгомжтой байдаг физик утга. Шугаман нягт нь биш зарим муруй байг
тогтмол бөгөөд цэгийн функц юм . Энэ муруйн массыг олъё. Муруйг олон жижиг элемент болгон хувацгаая,
түүний нягтыг ойролцоогоор тогтмол гэж үзэж болно. Хэрэв муруйн жижиг хэсгийн урт нь -тэй тэнцүү бол түүний масс
, муруйны сонгосон хэсгийн аль ч цэг хаана байна (нягтрал нь дотор байгаа тул дурын
Энэ хэсэг нь ойролцоогоор тогтмол гэж тооцогддог). Үүний дагуу бүх муруйн массыг түүний салангид хэсгүүдийн массыг нэгтгэн олж авна.
.
Тэгш тэгш байдлыг үнэн зөв болгохын тулд та муруйг хязгааргүй жижиг хэсгүүдэд хуваах хязгаарт хүрэх ёстой, гэхдээ энэ нь эхний төрлийн муруйн интеграл юм.

Шугаман цэнэгийн нягтыг мэддэг бол муруйн нийт цэнэгийн тухай асуудлыг мөн адил шийднэ .

Эдгээр аргументуудыг жигд бус цэнэглэгдсэн гадаргуутай тохиолдолд хялбархан шилжүүлж болно гадаргуугийн нягтцэнэглэх . Дараа нь
гадаргуугийн цэнэг нь эхний төрлийн гадаргуугийн интеграл юм
.

Анхаарна уу. Параметрээр тодорхойлсон гадаргуугийн элементийн төвөгтэй томъёог санах нь тохиромжгүй байдаг. Өөр нэг илэрхийллийг дифференциал геометрээр олж авсан.
гэж нэрлэгддэг зүйлийг ашигладаг эхлээд квадрат хэлбэргадаргуу.

Эхний төрлийн муруйн интегралыг тооцоолох жишээ

Жишээ 1. Шугамын дагуух интеграл.
Интегралыг тооцоолох

цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны сегментийн дагуу ба .

Эхлээд бид интеграл хийгдэж буй шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичнэ. . Дараах илэрхийлэлийг олцгооё.
.
Бид интегралыг тооцоолно:

Жишээ 2. Хавтгай дахь муруйн дагуух интеграл.
Интегралыг тооцоолох

цэгээс цэг хүртэл параболын нумын дагуу.

Тохиромжтой цэгүүдпараболын тэгшитгэлээс хувьсагчийг илэрхийлэх боломжийг танд олгоно: .

Бид интегралыг тооцоолно:
.

Гэхдээ муруй нь хувьсагчийн хувьд шийдэгдсэн тэгшитгэлээр өгөгдсөн байдгийг далимдуулан өөр аргаар тооцоо хийх боломжтой байсан.
Хэрэв бид хувьсагчийг параметр болгон авбал энэ нь үүнд хүргэнэ жижиг өөрчлөлтнумын дифференциал илэрхийллүүд:
.
Үүний дагуу интеграл бага зэрэг өөрчлөгдөнө.
.
Энэ интегралыг дифференциал дор хувьсагчийг орлуулах замаар хялбархан тооцдог. Үр дүн нь эхний тооцооллын аргын нэгэн адил интеграл юм.

Жишээ 3. Хавтгай дахь муруйн дагуух интеграл (параметржилтийг ашиглан).
Интегралыг тооцоолох

тойргийн дээд хагасын дагуу .

Мэдээжийн хэрэг та тойргийн тэгшитгэлээс хувьсагчийн аль нэгийг илэрхийлж, дараа нь бусад тооцооллыг стандарт аргаар хийж болно. Гэхдээ та бас ашиглаж болно
параметрийн муруй тодорхойлолт. Таны мэдэж байгаагаар тойрог нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. Дээд хагас тойрог
доторх параметрийн өөрчлөлттэй тохирч байна. Нумын дифференциалыг тооцоолъё:
.
Тиймээс,

Жишээ 4. Туйлын координатаар тодорхойлогдсон хавтгай дээрх муруйн дагуух интеграл.
Интегралыг тооцоолох

лемнискатын баруун дэлбээний дагуу .

Дээрх зураг нь лемнискатыг харуулж байна. Интеграци нь түүний баруун дэлбээний дагуу явагдах ёстой. Муруйн нумын дифференциалыг олъё :
.
Дараагийн алхам бол туйлын өнцгөөр интеграцийн хязгаарыг тодорхойлох явдал юм. Тэгш бус байдлыг хангах ёстой нь ойлгомжтой, тиймээс
.
Бид интегралыг тооцоолно:

Жишээ 5. Орон зай дахь муруйн дагуух интеграл.
Интегралыг тооцоолох

параметрийн өөрчлөлтийн хязгаарт тохирсон мушгиа эргэх дагуу

Параметрийн тэгшитгэлээр тодорхойлогддог AB муруйг хэрчм дээр функцүүд ба тасралтгүй деривативууд байвал гөлгөр гэж нэрлэдэг ба хэрчмүүдийн хязгаарлагдмал тооны цэгүүдэд эдгээр деривативууд байхгүй эсвэл нэгэн зэрэг алга болдог бол муруйг хэсэгчилсэн гөлгөр гэж нэрлэдэг. AB нь хавтгай муруй, гөлгөр эсвэл хэсэгчилсэн гөлгөр байх ёстой. AB муруй дээр эсвэл энэ муруйг агуулсан зарим D мужид тодорхойлогдсон функц f(M) байг. А В муруйг цэгээр хэсэг болгон хуваахыг авч үзье (Зураг 1). Нуман бүр дээр бид A^At+i-г сонгоно дурын цэг Mk ба Alt нь нумын урт байх нийлбэрийг гаргаж, муруйн нумын уртыг f(M) функцийн интеграл нийлбэр гэж нэрлэнэ. Хэсэгчилсэн нумын уртуудын хамгийн том нь D / байг, өөрөөр хэлбэл сансрын муруйн хувьд 1-р төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд 2-р төрлийн муруйн интегралууд Муруй шугаман интегралын тооцоолол Тодорхойлолт хоорондын шинж чанаруудын хамаарал. Хэрэв салшгүй нийлбэр (I) байвал эцсийн хязгаар , энэ нь AB муруйг хэсэг болгон хуваах арга, эсвэл хуваалтын нум тус бүрийн цэгийн сонголтоос хамаарахгүй бол энэ хязгаарыг f( функцийн \-р төрлийн муруйн интеграл гэнэ. М) AB муруйн дагуу (муруйн нумын уртын интеграл) ба тэмдэглэгдсэн байна. Энэ тохиолдолд /(M) функцийг ABU муруйн дагуу интегралдах боломжтой гэж A B муруйг контур гэнэ; интеграл, А нь эхний цэг, В нь интеграцийн төгсгөлийн цэг юм. Тиймээс тодорхойлолтоор жишээ 1. J(M) хувьсах шугаман нягттай массыг L гөлгөр муруйн дагуу тараацгаая. L муруйн m массыг ол. (2) L муруйг дурын n хэсэгт хуваая) хэсэг тус бүр дээр нягт нь тогтмол бөгөөд түүний аль нэг цэгийн нягттай тэнцүү гэж үзээд хэсэг тус бүрийн массыг ойролцоогоор тооцоол. , жишээлбэл, зүүн туйлын цэг дээр /(Af*). Дараа нь ksh нийлбэр нь D-р хэсгийн урт нь m массын ойролцоо утгатай болно бүх муруйн масс L, i.e. Харин баруун талын хязгаар нь 1-р төрлийн муруйн интеграл юм. Тиймээс 1.1. 1-р төрлийн муруйн интеграл байгаа эсэх AB муруй дээр A эхлэлийн цэгээс хэмжсэн I нумын уртыг параметр болгон авъя (Зураг 2). Дараа нь AB муруйг (3) тэгшитгэлээр тодорхойлж болно, L нь AB муруйны урт юм. (3) тэгшитгэлийг AB муруйн натурал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Байгалийн тэгшитгэл рүү шилжих үед AB муруй дээр тодорхойлсон f(x) y) функц нь I хувьсагчийн функц болж буурна: / (x(1)) y(1)). Mky цэгт тохирох I параметрийн утгыг тэмдэглэж, бид интеграл нийлбэрийг (I) хэлбэрээр дахин бичнэ. Энэ нь тодорхой интегралд харгалзах интеграл нийлбэр юм (1) ба (4) интеграл нийлбэрүүд тэнцүү байна өөр хоорондоо, тэгвэл тэдгээрт харгалзах интегралууд тэнцүү байна. Иймд (5) Теорем 1. Хэрэв /(M) функц нь AB гөлгөр муруй дагуу үргэлжилсэн бол муруй шугаман интеграл байна (эдгээр нөхцөлд (5) тэгш байдлын баруун талд тодорхой интеграл байгаа тул). 1.2. 1-р төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд 1. Интеграл нийлбэрийн хэлбэрээс (1) i.e. 1-р төрлийн муруйн интегралын утга нь интегралын чиглэлээс хамаарахгүй. 2. Шугаман байдал. Хэрэв /() функц тус бүрийн хувьд ABt муруй дагуу муруй шугаман интеграл байгаа бол a ба /3 нь дурын тогтмолууд болох a/ функцийн хувьд AB> ба 3 муруйн дагуу муруй шугаман интеграл мөн байна. . Хэрэв AB муруй нь хоёр хэсгээс бүрдэх ба /(M) функцийн хувьд ABU дээр муруй шугаман интеграл байвал 4-тэй интеграл байна. Хэрэв AB муруй дээр 0 байвал 5. Хэрэв функц AB муруй дээр интегралдах боломжтой бол функц || нь мөн А В дээр интегралдах боломжтой бөгөөд нэгэн зэрэг b. Дундаж томьёо. Хэрэв / функц нь AB муруйны дагуу үргэлжилсэн бол энэ муруйн дээр L нь AB муруйны урт болох Mc цэг байна. 1.3. 1-р төрлийн муруйн интегралын тооцоо AB муруйг параметрийн тэгшитгэлээр өгье, А цэг нь t = to утгад, В цэг нь утгад тохирно. Функцууд нь деривативуудын хамт тасралтгүй үргэлжлэх ба тэгш бус байдал хангагдсан гэж үзнэ. Дараа нь AB муруйг тодорхой тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол муруйн нумын дифференциалыг томъёогоор тооцоолно [a, b] дээр дифференциал болох ба А цэг нь x = a, B цэг - утга x = 6 утгатай тохирч байвал х-г параметр болгон авч үзвэл бид 1.4-ийг авна. Орон зайн муруйн 1-р төрлийн муруйн интеграл Хавтгай муруйн хувьд дээр томъёолсон 1-р төрлийн муруйн интегралын тодорхойлолтыг AB орон зайн муруй дагуу f(M) функц өгөгдсөн тохиолдолд шууд утгаараа шилжүүлнэ. AB муруйг параметрийн тэгшитгэлээр өгье Орон зайн муруйн 1-р төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд 2-р төрлийн муруйн интегралууд Муруй шугаман интегралын тооцоолол хоорондын шинж чанаруудын хамаарал Дараа нь энэ муруйн дагуу авсан муруйн интегралыг тодорхой интеграл болгон бууруулж болно. Дараах томьёо: Жишээ 2. Муруйн интегралыг тооцоол, L нь нэг цэг дээрх оройтой гурвалжны контур* (Зураг 3). Аддитивийн шинж чанараар бид интеграл бүрийг тусад нь тооцож үзье. OA сегмент дээр бид: , дараа нь AN сегмент дээр байна, хаана, дараа нь Зураг. Эцэст нь, Тиймээс, анхаарна уу. Интегралыг тооцоолохдоо бид 1-р өмчийг ашигласан бөгөөд үүний дагуу. 2-р төрлийн муруйн шугаман интегралууд A B нь xOy хавтгай дээрх гөлгөр эсвэл хэсэгчилсэн гөлгөр чиглэсэн муруй байх ба AB муруйг агуулсан зарим D мужид тодорхойлогдсон вектор функц байг. AB муруйг координатыг нь тус тус тэмдэглэсэн цэгүүдэд хуваая (Зураг 4). Энгийн нум тус бүр дээр бид дурын цэгийг авч, хамгийн том нумануудын уртыг D/ гэж үзье. Хэрэв (1) нийлбэр нь AB муруйг хуваах арга, rjk) цэгийн сонголтоос үл хамаарах хязгаартай бол энэ хязгаарыг векторын 2 хотын муруйн интеграл гэнэ. AB муруйн дагуух функц ба тэмдгээр тэмдэглэгдсэн.Тэмдэглэлээр Теорем 2. Хэрэв AB муруйг агуулсан зарим D мужид функцууд тасралтгүй байвал 2-хотын муруйн интеграл байна. M(x, y) цэгийн радиус вектор байг. Дараа нь (2) томъёоны интегралыг F(M) ба dr векторуудын скаляр үржвэрээр илэрхийлж болно. Тэгэхээр AB муруй дагуух вектор функцийн 2-р төрлийн интегралыг дараах байдлаар товч бичиж болно: 2.1. 2-р төрлийн муруйн интегралын тооцоо AB муруйг параметрийн тэгшитгэлээр тодорхойлъё, үүнд функцууд нь сегмент дээрх деривативуудын хамт тасралтгүй байх ба t параметрийн t0-ээс t\ хүртэл өөрчлөгдөх нь а-ын хөдөлгөөнд тохирно. А цэгийн AB муруйны дагуу В цэг хүртэл цэг. Хэрэв AB муруйг агуулсан зарим D мужид функцууд тасралтгүй байвал 2-р төрлийн муруйн интеграл дараах тодорхой интеграл болж буурна. 2-р төрлийн муруйн интегралыг мөн тодорхой интегралын тооцоонд бууруулж болно. O) Жишээ 1. Цэгүүдийг холбосон шулуун шугамын сегментийн дагуух интегралыг тооцоол 2) Ижил цэгүүдийг холбосон параболын дагуу) Шугамын параметрийн тэгшитгэл, эндээс 2) AB шугамын тэгшитгэл: Эндээс авч үзсэн жишээ нь үүнийг тосолно. 2-р төрлийн муруй интегралын утга нь ерөнхийдөө интеграцийн замын хэлбэрээс хамаарна. 2.2. 2-р төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд 1. Шугаман байдал. Сансрын муруйн хувьд 1-р төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд байгаа бол 2-р төрлийн муруйн интегралууд Муруй шугаман интегралын тооцоо. Шинж чанарууд Дараа нь ямар ч бодит а ба /5-ын хоорондох холболт нь 2. Additenost. Хэрэв AB муруй нь АС ба SB хэсгүүдэд хуваагдаж, муруй шугаман интеграл байгаа бол 2-р төрлийн муруйн интегралын физик тайлбарын сүүлчийн шинж чанар нь интеграл байдаг хүчний талбар F тодорхой замын дагуу: муруйн дагуух хөдөлгөөний чиглэл өөрчлөгдөхөд энэ муруйн дагуух хүчний талбайн ажил эсрэгээр тэмдэг өөрчлөгдөнө. 2.3. 1 ба 2-р төрлийн муруйн интегралуудын хоорондын хамаарал AB (A -) чиглэгдсэн муруй байх 2-р төрлийн муруйн интегралыг авч үзье. эхлэх цэг, IN - төгсгөлийн цэг) вектор тэгшитгэлээр өгөгдсөн (энд I нь AB муруйг чиглүүлэх чиглэлд хэмжсэн муруйн урт) (Зураг 6). Дараа нь dr эсвэл r = m(1) - нэгж вектор M(1) цэг дээрх AB муруйтай шүргэгч. Дараа нь энэ томьёоны сүүлчийн интеграл нь 1-р төрлийн муруйн интеграл гэдгийг анхаарна уу. AB муруйн чиглэл өөрчлөгдөхөд шүргэгч r-ийн нэгж векторыг эсрэг талын вектор (-r) сольж, түүний тэмдэг өөрчлөгдөнө. интегралтиймээс интеграл өөрөө тэмдэг.

Муруй массын асуудал.Хэсэгчилсэн гөлгөр материалын муруйн цэг бүрт L: (AB) түүний нягтыг тодорхойл. Муруйн массыг тодорхойл.

Хавтгай муж (давхар интеграл) ба орон зайн биетийн (гурвалсан интеграл) массыг тодорхойлохдоо хийсэнтэй ижил аргаар явцгаая.

1. Бид талбай-нумын L хуваалтыг элементүүдэд хуваахыг зохион байгуулдаг - энгийн нумууд ингэснээр эдгээр элементүүдэд нийтлэг дотоод цэгүүд байдаггүй ба
(нөхцөл А )

2. Хуваалтын элементүүд дээр "тэмдэглэгдсэн цэгүүд" M i-г тэмдэглэж, тэдгээрийн функцийн утгыг тооцоолъё.

3. Интеграл нийлбэрийг байгуулъя
, Хаана - нумын урт (ихэвчлэн нуман болон түүний уртын хувьд ижил тэмдэглэгээг оруулдаг). Энэ нь муруйн массын ойролцоо утга юм. Хялбаршуулсан зүйл бол бид нумын нягтыг элемент бүрт тогтмол гэж үзэж, хязгаарлагдмал тооны элементийг авсан.

Өгөгдсөн хязгаарт шилжиж байна
(нөхцөл B ), бид интеграл нийлбэрийн хязгаар болох эхний төрлийн муруйн интегралыг олж авна.

.

Оршихуйн теорем 10 .

Функцийг зөвшөөр
хэсэгчилсэн гөлгөр нуман дээр тасралтгүй байна L 11. Дараа нь эхний төрлийн шугаман интеграл нь интеграл нийлбэрийн хязгаар болж байна.

Сэтгэгдэл.Энэ хязгаар нь үүнээс хамаарахгүй

А нөхцөл хангагдсан тохиолдолд хуваалтыг сонгох арга

хуваалтын элементүүд дээр "тэмдэглэгдсэн цэгүүдийг" сонгох,

В нөхцөл хангагдсан тохиолдолд хуваалтыг боловсронгуй болгох арга

Эхний төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд.

1. Шугаман чанар a) суперпозиция шинж чанар

б) нэгэн төрлийн шинж чанар
.

Баталгаа. Тэгш байдлын зүүн талд интегралуудын интеграл нийлбэрийг бичье. Интеграл нийлбэр нь хязгаарлагдмал тооны гишүүнтэй тул тэгш байдлын баруун талын интеграл нийлбэрүүд рүү шилждэг. Дараа нь бид хязгаар руу шилжиж, тэгш байдлын хязгаарт шилжих теоремыг ашиглан хүссэн үр дүндээ хүрнэ.

2. Нэмэлт чанар.Хэрэв
, Тэр
=
+

Баталгаа. Хуваалтын элементүүдийн аль нь ч (эхэндээ болон хуваалтыг боловсронгуй болгох үед) L 1 ба L 2 элементүүдийг нэгэн зэрэг агуулаагүй байхаар L бүсийн хуваалтыг сонгоцгооё. Үүнийг оршихуйн теоремыг ашиглан хийж болно (теоремыг тэмдэглэ). Дараа нь нотлох баримтыг 1-р зүйлд заасны дагуу интеграл нийлбэрээр гүйцэтгэнэ.

3.
.Энд - нумын урт .

4. Хэрэв нуман дээр байвал тэгвэл тэгш бус байдал хангагдана

Баталгаа. Интеграл нийлбэрүүдийн тэгш бус байдлыг бичээд хязгаар руу шилжье.

Ялангуяа энэ нь боломжтой гэдгийг анхаарна уу

5. Үнэлгээний теорем.

Хэрэв тогтмол үзүүлэлтүүд байгаа бол
, ямар нэг зүйл

Баталгаа. Тэгш бус байдлыг нэгтгэх
(4-р өмч), бид авна
. Тогтмолын 1-р шинж чанараар
интегралуудын доороос гаргаж авч болно. 3-р өмчийг ашигласнаар бид хүссэн үр дүнд хүрнэ.

6. Дундаж утгын теорем(интегралын утга).

Нэг цэг байна
, Юу

Баталгаа. Функцээс хойш
хаалттай хязгаарлагдмал олонлог дээр тасралтгүй , тэгвэл түүний инфимум оршин байна
ба дээд ирмэг
. Тэгш бус байдал хангагдана. Хоёр талыг L-д хуваавал бид гарна
. Гэхдээ тоо
функцын доод ба дээд хязгаарын хооронд хаалттай байна. Функцээс хойш
хаалттай хязгаарлагдмал L олонлог дээр үргэлжилдэг ба дараа нь ямар нэг цэгт
функц энэ утгыг хүлээн зөвшөөрөх ёстой. Тиймээс,
.