Тойрог дагуу 1-р төрлийн муруйн интегралыг тооцоол. Муруйг декартын тэгш өнцөгт координатаар өгөв

Онолын доод хэмжээ

Физикт муруй ба гадаргуугийн интегралууд ихэвчлэн олддог. Тэдгээр нь хоёр төрлөөр ирдэг бөгөөд эхнийх нь энд авч үзэх болно. Энэ
дагуу интегралын төрлийг байгуулна ерөнхий схем, үүгээр тодорхой, давхар, гурвалсан интегралуудыг танилцуулдаг. Энэ схемийг товчхон санацгаая.
Интеграцийг гүйцэтгэдэг зарим объект байдаг (нэг хэмжээст, хоёр хэмжээст эсвэл гурван хэмжээст). Энэ объект нь жижиг хэсгүүдэд хуваагдана,
хэсэг бүрт цэг сонгосон. Эдгээр цэг бүрт интегралын утгыг тооцоолж, тухайн хэсгийн хэмжигдэхүүнээр үржүүлнэ.
харьяалагддаг өгсөн оноо(сегментийн урт, хэсэгчилсэн бүсийн талбай эсвэл эзэлхүүн). Дараа нь ийм бүх бүтээгдэхүүнийг нэгтгэж, хязгаарыг хангана
объектыг хязгааргүй жижиг хэсгүүдэд хуваах шилжилт. Үүссэн хязгаарыг интеграл гэж нэрлэдэг.

1. Эхний төрлийн муруйн интегралын тодорхойлолт

Муруй дээр тодорхойлогдсон функцийг авч үзье. Муруйг засах боломжтой гэж үздэг. Энэ нь ямар утгатай болохыг эргэн санацгаая, бүдүүвчээр хэлбэл,
дур зоргоороо жижиг холбоос бүхий тасархай шугамыг муруйд бичиж болох ба хязгаарт энэ нь хязгааргүй байдаг. их тоохолбоосууд, эвдэрсэн шугамын урт хэвээр байх ёстой
эцсийн. Муруйг хэсэгчилсэн урттай нумуудад хувааж, нуман тус бүр дээр цэгийг сонгоно. Бүтээлийг эмхэтгэж байна
нийлбэр нь бүх хэсэгчилсэн нуман дээр хийгддэг . Дараа нь хязгаарт шилжих ажлыг хамгийн их уртын хандлагаар гүйцэтгэнэ
хэсэгчилсэн нумаас тэг хүртэл. Хязгаар нь эхний төрлийн муруйн интеграл юм
.
Энэхүү интегралын нэг чухал шинж чанар нь түүний тодорхойлолтоос шууд хамаарах нь интеграцийн чиглэлээс хараат бус байх явдал юм.
.

2. Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралын тодорхойлолт

Гөлгөр эсвэл хэсэгчилсэн гөлгөр гадаргуу дээр тодорхойлсон функцийг авч үзье. Гадаргуу нь хэсэгчилсэн хэсгүүдэд хуваагдана
талбайтай бол ийм газар бүрт цэгийг сонгоно. Бүтээлийг эмхэтгэж байна , нэгтгэл хийж байна
бүх хэсэгчилсэн талбайд . Дараа нь хязгаарт шилжих нь бүх хэсэгчилсэн хамгийн том диаметрийн чиг хандлагын дагуу явагдана
талбайнуудыг тэг хүртэл. Хязгаар нь эхний төрлийн гадаргуугийн интеграл юм
.

3. Эхний төрлийн муруйн интегралын тооцоо

Эхний төрлийн муруйн интегралыг тооцоолох аргыг албан ёсны тэмдэглэгээнээс нь харж болно, гэхдээ үнэндээ
тодорхойлолтууд. Интеграл нь тодорхой болж буурсан; та зөвхөн интеграл хийж буй муруй нумын дифференциалыг бичих хэрэгтэй.
-ээс эхэлье энгийн тохиолдолтодорхой тэгшитгэлээр өгөгдсөн хавтгай муруй дагуух интеграл. Энэ тохиолдолд нумын дифференциал
.
Дараа нь интегралд хувьсагчийн өөрчлөлт хийгдэх ба интеграл хэлбэрийг авна
,
сегмент нь интеграл хийгдэж буй муруй хэсгийн дагуух хувьсагчийн өөрчлөлттэй тохирч байна.

Маш олон удаа муруйг параметрийн дагуу тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл. хэлбэрийн тэгшитгэл Дараа нь нумын дифференциал
.
Энэ томъёо нь маш энгийн үндэслэлтэй юм. Үндсэндээ энэ бол Пифагорын теорем юм. Нумын дифференциал нь үнэндээ муруйн хязгааргүй жижиг хэсгийн урт юм.
Хэрэв муруй нь гөлгөр бол түүний хязгааргүй жижиг хэсгийг шулуун шугам гэж үзэж болно. Шулуун шугамын хувьд бид харьцаатай байна
.
Үүнийг муруйн жижиг нумын хувьд гүйцэтгэхийн тулд хязгаарлагдмал өсөлтөөс дифференциал руу шилжих хэрэгтэй.
.
Хэрэв муруйг параметрийн дагуу тодорхойлсон бол дифференциалыг энгийнээр тооцно.
гэх мэт.
Үүний дагуу интеграл дахь хувьсагчдыг өөрчилсний дараа шугамын интегралыг дараах байдлаар тооцоолно.
,
интеграцийг хийж буй муруйн хэсэг нь параметрийн өөрчлөлтийн сегменттэй тохирч байна.

Муруйг муруйн координатаар зааж өгсөн тохиолдолд нөхцөл байдал арай илүү төвөгтэй байдаг. Энэ асуудлыг ихэвчлэн дифференциалын хүрээнд хэлэлцдэг
геометр. Өгөгдсөн муруйн дагуу интегралыг тооцоолох томьёог өгье туйлын координаттэгшитгэл:
.
Туйлын координат дахь нумын дифференциалын үндэслэлийг өгье. Сүлжээний барилгын талаархи дэлгэрэнгүй хэлэлцүүлэг туйлын системкоординатууд
см. Зурагт үзүүлсэн шиг координатын шугамтай холбоотой муруйн жижиг нумыг сонгоцгооё. 1. Онцолсон бүхний жижиг байдлаас болж
нуман дахин бид Пифагорын теоремыг хэрэглэж, дараах зүйлийг бичиж болно.
.
Эндээс нумын дифференциалыг хүссэн илэрхийлэл дагана.

Цэвэрхэнтэй онолын цэгХарааны үүднээс авч үзвэл эхний төрлийн муруйн интегралыг тухайн тохиолдол болгон бууруулах ёстой гэдгийг ойлгоход л хангалттай.
тодорхой интеграл руу. Үнэн хэрэгтээ, интегралыг тооцоолох муруйны параметрийн дагуу өөрчлөлтийг хийснээр бид үүнийг тогтооно.
Өгөгдсөн муруйн хэсэг ба параметрийн өөрчлөлтийн сегмент хоорондын нэгээс нэг зураглал. Мөн энэ нь интегралын бууралт юм
-тэй давхцаж буй шулуун шугамын дагуу координатын тэнхлэг- тодорхой интеграл.

4. Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралын тооцоо

Өмнөх цэгийн дараа эхний төрлийн гадаргуугийн интегралыг тооцоолох гол хэсгүүдийн нэг нь гадаргуугийн элементийг бичих явдал юм.
үүн дээр интеграцчилал хийгдэж байна. Дахин хэлэхэд, тодорхой тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон гадаргуугийн энгийн тохиолдлоос эхэлье. Дараа нь
.
Интегралд орлуулалт хийгдэж, гадаргуугийн интеграл хоёр дахин багасна:
,
интеграци хийгдэж буй гадаргуугийн хэсэг рүү чиглэсэн хавтгайн муж хаана байна.

Гэсэн хэдий ч гадаргууг тодорхой тэгшитгэлээр тодорхойлох нь ихэвчлэн боломжгүй байдаг бөгөөд дараа нь параметрийн дагуу тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл. хэлбэрийн тэгшитгэл
.
Энэ тохиолдолд гадаргуугийн элемент нь илүү төвөгтэй бичигдсэн байдаг.
.
Гадаргуугийн интегралыг дараах байдлаар бичиж болно.
,
интеграци хийгдсэн гадаргуугийн хэсэгт тохирох параметрийн өөрчлөлтийн талбай хаана байна.

5. Эхний төрлийн муруйн ба гадаргуугийн интегралуудын физик утга

Хэлэлцсэн интегралууд нь маш энгийн бөгөөд ойлгомжтой байдаг физик утга. Шугаман нягт нь биш муруй байг
тогтмол бөгөөд цэгийн функц юм . Энэ муруйн массыг олъё. Муруйг олон жижиг элемент болгон хувацгаая,
түүний нягтыг ойролцоогоор тогтмол гэж үзэж болно. Хэрэв муруйн жижиг хэсгийн урт нь -тэй тэнцүү бол түүний масс
, муруйны сонгосон хэсгийн аль ч цэг хаана байна (нягтрал нь дотор байгаа тул дурын
Энэ хэсэг нь ойролцоогоор тогтмол гэж тооцогддог). Үүний дагуу бүх муруйн массыг түүний салангид хэсгүүдийн массыг нэгтгэн олж авна.
.
Тэгш тэгш байдлыг үнэн зөв болгохын тулд та муруйг хязгааргүй жижиг хэсгүүдэд хуваах хязгаарт хүрэх ёстой, гэхдээ энэ нь эхний төрлийн муруйн интеграл юм.

Шугаман цэнэгийн нягтыг мэддэг бол муруйн нийт цэнэгийн тухай асуудлыг мөн адил шийднэ .

Эдгээр аргументуудыг жигд бус цэнэглэгдсэн гадаргуутай тохиолдолд хялбархан шилжүүлж болно гадаргуугийн нягтцэнэглэх . Дараа нь
гадаргуугийн цэнэг нь эхний төрлийн гадаргуугийн интеграл юм
.

Анхаарна уу. Параметрээр тодорхойлсон гадаргуугийн элементийн төвөгтэй томъёог санах нь тохиромжгүй байдаг. Өөр нэг илэрхийллийг дифференциал геометрээр олж авсан.
гэж нэрлэгддэг зүйлийг ашигладаг эхлээд квадрат хэлбэргадаргуу.

Тооцооллын жишээ муруй шугаман интеграланхны төрөл

Жишээ 1. Шугамын дагуух интеграл.
Интегралыг тооцоолох

цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны сегментийн дагуу ба .

Эхлээд бид интеграл хийгдэж буй шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичнэ. . Дараах илэрхийлэлийг олцгооё.
.
Бид интегралыг тооцоолно:

Жишээ 2. Хавтгай дахь муруйн дагуух интеграл.
Интегралыг тооцоолох

цэгээс цэг хүртэл параболын нумын дагуу.

Тохиромжтой цэгүүдпараболын тэгшитгэлээс хувьсагчийг илэрхийлэх боломжийг танд олгоно: .

Бид интегралыг тооцоолно:
.

Гэхдээ муруй нь хувьсагчийн хувьд шийдэгдсэн тэгшитгэлээр өгөгдсөн байдгийг далимдуулан өөр аргаар тооцоо хийх боломжтой байсан.
Хэрэв бид хувьсагчийг параметр болгон авбал энэ нь үүнд хүргэнэ жижиг өөрчлөлтнумын дифференциал илэрхийллүүд:
.
Үүний дагуу интеграл бага зэрэг өөрчлөгдөнө.
.
Энэ интегралыг дифференциал дор хувьсагчийг орлуулах замаар хялбархан тооцдог. Үр дүн нь эхний тооцооллын аргын нэгэн адил интеграл юм.

Жишээ 3. Хавтгай дахь муруйн дагуух интеграл (параметржуулалтыг ашиглан).
Интегралыг тооцоолох

тойргийн дээд хагасын дагуу .

Мэдээжийн хэрэг та тойргийн тэгшитгэлээс хувьсагчийн аль нэгийг илэрхийлж, дараа нь бусад тооцооллыг стандарт аргаар хийж болно. Гэхдээ та бас ашиглаж болно
параметрийн муруй тодорхойлолт. Таны мэдэж байгаагаар тойргийг тэгшитгэлээр тодорхойлж болно. Дээд хагас тойрог
доторх параметрийн өөрчлөлттэй тохирч байна. Нумын дифференциалыг тооцоолъё:
.
Тиймээс,

Жишээ 4. Туйлын координатаар тодорхойлогдсон хавтгай дээрх муруйн дагуух интеграл.
Интегралыг тооцоолох

лемнискатын баруун дэлбээний дагуу .

Дээрх зураг нь лемнискатыг харуулж байна. Интеграци нь түүний баруун дэлбээний дагуу явагдах ёстой. Муруйн нумын дифференциалыг олъё :
.
Дараагийн алхам бол туйлын өнцгөөр интеграцийн хязгаарыг тодорхойлох явдал юм. Тэгш бус байдлыг хангах ёстой нь ойлгомжтой, тиймээс
.
Бид интегралыг тооцоолно:

Жишээ 5. Орон зай дахь муруйн дагуух интеграл.
Интегралыг тооцоолох

параметрийн өөрчлөлтийн хязгаарт тохирсон мушгиа эргэх дагуу

Интеграцийн хүрээ нь хавтгайд байрлах тодорхой муруйн сегмент байх тохиолдолд. Шугаман интегралын ерөнхий тэмдэглэгээ дараах байдалтай байна.

Хаана е(x, y) нь хоёр хувьсагчийн функц ба Л- муруй, сегментийн дагуу ABямар интеграци явагддаг. Хэрэв интеграл нэгтэй тэнцүү бол шугамын интеграл болно урттай тэнцүүнуман AB .

Үргэлж ордог шиг интеграл тооцоо, муруй шугаман интеграл гэдэг нь маш том зүйлийн зарим маш жижиг хэсгүүдийн интеграл нийлбэрийн хязгаар гэж ойлгогддог. Муруй шугаман интегралыг юу гэж дүгнэсэн бэ?

Онгоцонд сегмент байх болтугай ABзарим муруй Л, мөн хоёр хувьсагчийн функц е(x, y) муруйн цэгүүдэд тодорхойлогддог Л. Дараах алгоритмыг муруйны энэ сегментээр гүйцэтгье.

1. Хуваах муруй ABцэгүүдтэй хэсгүүдэд хуваана (доорх зураг).
2. Хэсэг бүрийн цэгийг чөлөөтэй сонгоно уу М.
3. Сонгосон цэг дээрх функцийн утгыг ол.
4. Функцийн утгыг үржүүлнэ
   • тохиолдолд эд ангиудын урт Эхний төрлийн муруйн интеграл ;
   • тохиолдолд координатын тэнхлэг дээрх хэсгүүдийн проекц хоёр дахь төрлийн муруйн интеграл .
5. Бүх бүтээгдэхүүний нийлбэрийг ол.
6. Муруйн хамгийн урт хэсгийн урт тэг болох хандлагатай байвал олдсон интеграл нийлбэрийн хязгаарыг ол.

Хэрэв дурдсан хязгаар байгаа бол энэ нь интеграл нийлбэрийн хязгаар бөгөөд функцийн муруйн интеграл гэнэ е(x, y) муруй дагуу AB .

анхны төрөл

Муруй шугаман интегралын тохиолдол
хоёр дахь төрөл

Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя.

Мби( ζ би; η би)- сайт бүр дээр сонгосон координат бүхий цэг.

еби( ζ би; η би)- функцийн утга е(x, y) сонгосон цэг дээр.

Δ сби- муруй сегментийн хэсгийн урт (эхний төрлийн муруйн интегралын хувьд).

Δ xби- муруйн сегментийн хэсгийг тэнхлэг рүү гаргах Үхэр(хоёр дахь төрлийн муруйн интегралын хувьд).

г= maxΔ сби- муруй сегментийн хамгийн урт хэсгийн урт.

Эхний төрлийн муруйн интегралууд

Интеграл нийлбэрийн хязгаарын тухай дээр үндэслэн эхний төрлийн шугаман интегралыг дараах байдлаар бичнэ.

.

Эхний төрлийн шугаман интеграл нь түүнд байгаа бүх шинж чанартай байдаг тодорхой интеграл. Гэсэн хэдий ч нэг чухал ялгаа бий. Тодорхой интегралын хувьд интегралын хязгаарыг солих үед тэмдэг нь эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

Нэгдүгээр төрлийн муруйн интегралын хувьд муруйн аль цэг байх нь хамаагүй. AB (Аэсвэл Б) нь сегментийн эхлэл гэж тооцогддог бөгөөд аль нь төгсгөл вэ, өөрөөр хэлбэл

.

Хоёр дахь төрлийн муруйн интегралууд

Интеграл нийлбэрийн хязгаарын талаар хэлсэн зүйл дээр үндэслэн хоёр дахь төрлийн муруйн интегралыг дараах байдлаар бичнэ.

.

Хоёр дахь төрлийн муруйн интегралын хувьд муруйн сегментийн эхлэл ба төгсгөлийг солих үед интегралын тэмдэг өөрчлөгдөнө.

.

Хоёр дахь төрлийн муруйн интегралын интеграл нийлбэрийг бүрдүүлэхдээ функцийн утгууд еби( ζ би; η би)Мөн муруйн сегментийн хэсгүүдийн тэнхлэг дээрх проекцоор үржүүлж болно Өө. Дараа нь бид интегралыг авна

.

Практикт хоёр дахь төрлийн муруйн интегралуудын нэгдлийг ихэвчлэн ашигладаг, өөрөөр хэлбэл хоёр функцийг ашигладаг. е = П(x, y) Тэгээд е = Q(x, y) ба интеграл

,

ба эдгээр интегралуудын нийлбэр

дуудсан Хоёр дахь төрлийн ерөнхий муруйн интеграл .

Эхний төрлийн муруйн интегралын тооцоо

Эхний төрлийн муруйн интегралын тооцоог тодорхой интегралын тооцоонд шилжүүлдэг. Хоёр тохиолдлыг авч үзье.

Хавтгай дээр муруй өгье y = y(x) ба муруй сегмент ABхувьсагчийн өөрчлөлттэй тохирч байна x-аас аруу б. Дараа нь муруйн цэгүүдэд интеграл функц байна е(x, y) = е(x, y(x)) ("Y" нь "X"-ээр илэрхийлэгдэх ёстой), нумын дифференциал ба шулууны интегралыг томъёогоор тооцоолж болно

.

Хэрэв интеграл дээр интеграл хийхэд хялбар бол y, дараа нь муруйн тэгшитгэлээс бид илэрхийлэх хэрэгтэй x = x(y) ("x" -ээс "y" хүртэл), бид интегралыг томъёогоор тооцоолно

.

Жишээ 1.

Хаана AB- цэгүүдийн хоорондох шулуун шугамын сегмент А(1; −1) ба Б(2; 1) .

Шийдэл. Шулуун шугамын тэгшитгэлийг хийцгээе AB, томъёог ашиглан (өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл А(x1 ; y 1 ) Тэгээд Б(x2 ; y 2 ) ):

Шулуун шугамын тэгшитгэлээс бид илэрхийлнэ yдамжуулан x :

Дараа нь, одоо бид интегралыг тооцоолж болно, учир нь бидэнд зөвхөн "X" үлдсэн:

Орон зайд муруй өгье

Дараа нь муруйн цэгүүдэд функцийг параметрээр илэрхийлэх ёстой т() ба нумын дифференциал , тиймээс муруйн интегралыг томъёогоор тооцоолж болно

Үүний нэгэн адил, хэрэв хавтгай дээр муруй өгөгдсөн бол

,

дараа нь муруйн интегралыг томъёогоор тооцоолно

.

Жишээ 2.Шугамын интегралыг тооцоолох

Хаана Л- тойрог шугамын хэсэг

эхний октантад байрладаг.

Шийдэл. Энэ муруй нь хавтгайд байрлах тойрог шугамын дөрөвний нэг юм z= 3 . Энэ нь параметрийн утгатай тохирч байна. Учир нь

дараа нь нумын дифференциал

Интеграл функцийг параметрээр илэрхийлье т :

Одоо бид бүх зүйлийг параметрээр илэрхийлсэн т, бид энэ муруйн интегралын тооцоог тодорхой интеграл болгон бууруулж болно:

Хоёр дахь төрлийн муруйн интегралын тооцоо

Эхний төрлийн муруйн интегралын хувьд хоёр дахь төрлийн интегралын тооцоог тодорхой интегралын тооцоонд шилжүүлдэг.

Муруйг декартын тэгш өнцөгт координатаар өгөв

Хавтгай дээрх муруйг "X"-ээр илэрхийлсэн "Y" функцийн тэгшитгэлээр өгье. y = y(x) ба муруйн нум ABөөрчлөлттэй тохирч байна x-аас аруу б. Дараа нь бид "y"-ээс "x"-ээр илэрхийлсэн илэрхийлэлийг интегралд орлуулж, "y"-ийн энэхүү илэрхийллийн дифференциалыг "x"-тэй харьцуулна: . Одоо бүх зүйлийг "x" -ээр илэрхийлсэн тул хоёр дахь төрлийн шугаман интегралыг тодорхой интеграл гэж тооцно.

Хоёр дахь төрлийн муруйн интегралыг "y"-ээр илэрхийлсэн "x" функцийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн тохиолдолд ижил төстэй байдлаар тооцно. x = x(y) , . Энэ тохиолдолд интегралыг тооцоолох томъёо дараах байдалтай байна.

Жишээ 3.Шугамын интегралыг тооцоолох

, Хэрэв

A) Л- шулуун сегмент О.А., Хаана ТУХАЙ(0; 0) , А(1; −1) ;

б) Л- параболын нум y = x²-аас ТУХАЙ(0; 0) хүртэл А(1; −1) .

a) Шулуун шугамын хэрчим дээрх муруй шугаман интегралыг тооцоолъё (зураг дээрх цэнхэр). Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичиж, "Y" -ийг "X" -ээр илэрхийлье.

.

Бид авдаг dy = dx. Бид энэ муруйн интегралыг шийддэг:

б) хэрэв Л- параболын нум y = x², бид авна dy = 2xdx. Бид интегралыг тооцоолно:

Сая шийдсэн жишээн дээр бид хоёр тохиолдолд ижил үр дүнд хүрсэн. Энэ интеграл нь дараах теоремын нөхцлийг хангаж байгаа тул энэ нь санамсаргүй тохиолдол биш, харин хэв маягийн үр дүн юм.

Теорем. Хэрэв функцууд П(x,y) , Q(x,y) ба тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативууд нь бүс нутагт тасралтгүй байдаг Дфункцууд ба энэ муж дахь цэгүүдэд хэсэгчилсэн деривативууд тэнцүү бол муруйн интеграл нь шугамын дагуух интегралын замаас хамаарахгүй. Лбүсэд байрладаг Д .

Муруйг параметрийн хэлбэрээр өгсөн болно

Орон зайд муруй өгье

.

мөн бидний орлуулах интегралд

параметрээр дамжуулан эдгээр функцийг илэрхийлэх т. Бид муруйн интегралыг тооцоолох томъёог авна.

Жишээ 4.Шугамын интегралыг тооцоолох

,

Хэрэв Л- эллипсийн хэсэг

нөхцөлийг хангах y ≥ 0 .

Шийдэл. Энэ муруй нь хавтгайд байрлах эллипсийн хэсэг юм z= 2 . Энэ нь параметрийн утгатай тохирч байна.

Бид муруй шугаман интегралыг тодорхой интеграл хэлбэрээр илэрхийлж, тооцоолж болно.

Хэрэв муруй интеграл өгөгдсөн бол ба Лнь битүү шугам бол ийм интегралыг хаалттай давталтын интеграл гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг ашиглан тооцоолоход хялбар байдаг. Ногоон томъёо .

Шугамын интегралыг тооцоолох бусад жишээ

Жишээ 5.Шугамын интегралыг тооцоолох

Хаана Л- координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийн хоорондох шулуун шугамын сегмент.

Шийдэл. Шулуун шугамын координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг тодорхойлъё. Тэгшитгэлд шулуун шугамыг орлуулах y= 0, бид , авна. Орлуулах x= 0, бид , авна. Тиймээс тэнхлэгтэй огтлолцох цэг Үхэр - А(2; 0) , тэнхлэгтэй Өө - Б(0; −3) .

Шулуун шугамын тэгшитгэлээс бид илэрхийлнэ y :

.

, .

Одоо бид шугамын интегралыг тодорхой интеграл болгон төлөөлж, тооцоолж эхэлнэ.

Интеграл дээр бид коэффициентийг сонгоод интеграл тэмдгийн гадна шилжүүлнэ. Үүссэн интегралд бид ашигладаг дифференциал тэмдгийг бүртгүүлэхтэгээд эцэст нь бид үүнийг олж авдаг.

Параметрийн тэгшитгэлээр тодорхойлогддог AB муруйг хэрчм дээр функцүүд ба тасралтгүй деривативууд байвал гөлгөр гэж нэрлэдэг ба хэрчмүүдийн хязгаарлагдмал тооны цэгүүдэд эдгээр деривативууд байхгүй эсвэл нэгэн зэрэг алга болдог бол муруйг хэсэгчилсэн гөлгөр гэж нэрлэдэг. AB нь хавтгай муруй, гөлгөр эсвэл хэсэгчилсэн гөлгөр байг. AB муруй дээр эсвэл энэ муруйг агуулсан зарим D мужид тодорхойлогдсон функц f(M) байг. А В муруйг цэгээр хэсэг болгон хуваахыг авч үзье (Зураг 1). Нуман бүр дээр бид A^At+i-г сонгоно дурын цэг Mk ба Alt нь нумын урт байх нийлбэрийг гаргаж, муруйн нумын уртыг f(M) функцийн интеграл нийлбэр гэж нэрлэнэ. Хэсэгчилсэн нумын уртуудын хамгийн том нь D / байг, өөрөөр хэлбэл сансрын муруйн хувьд 1-р төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд 2-р төрлийн муруйн интегралууд Муруй шугаман интегралын тооцоолол Тодорхойлолт хоорондын шинж чанаруудын хамаарал. Хэрэв салшгүй нийлбэр (I) байвал эцсийн хязгаар, энэ нь AB муруйг хэсэг болгон хуваах арга, эсвэл хуваалтын нум тус бүрийн цэгийн сонголтоос хамаарахгүй бол энэ хязгаарыг f( функцийн \-р төрлийн муруйн интеграл гэнэ. М) AB муруйн дагуу (муруйн нумын уртын интеграл) ба тэмдэглэгдсэн байна. Энэ тохиолдолд /(M) функцийг ABU муруйн дагуу интегралдах боломжтой гэж A B муруйг контур гэнэ; интеграл, А нь эхний цэг, В нь интеграцийн төгсгөлийн цэг юм. Тиймээс тодорхойлолтоор жишээ 1. J(M) хувьсах шугаман нягттай массыг L гөлгөр муруйн дагуу тараацгаая. L муруйн m массыг ол. (2) L муруйг дурын n хэсэгт хуваая) хэсэг тус бүр дээр нягт нь тогтмол бөгөөд түүний аль нэг цэгийн нягттай тэнцүү гэж үзээд хэсэг тус бүрийн массыг ойролцоогоор тооцоол. , жишээлбэл, зүүн туйлын цэг дээр /(Af*). Дараа нь ksh нийлбэр нь D-р хэсгийн урт нь m массын ойролцоо утгатай болно бүх муруйн масс L, i.e. Харин баруун талын хязгаар нь 1-р төрлийн муруйн интеграл юм. Тиймээс 1.1. 1-р төрлийн муруйн интеграл байгаа эсэх AB муруй дээр А эхлэлийн цэгээс хэмжсэн I нумын уртыг параметр болгон авъя (Зураг 2). Дараа нь AB муруйг (3) тэгшитгэлээр тодорхойлж болно, L нь AB муруйны урт юм. (3) тэгшитгэлийг AB муруйн натурал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Байгалийн тэгшитгэл рүү шилжих үед AB муруй дээр тодорхойлсон f(x) y) функц нь I хувьсагчийн функц болж буурна: / (x(1)) y(1)). Mku цэгт тохирох I параметрийн утгыг тэмдэглэж, бид интеграл нийлбэрийг (I) хэлбэрээр дахин бичнэ. Энэ нь харгалзах интеграл нийлбэр юм. (1) ба (4) интеграл нийлбэрүүд хоорондоо тэнцүү тул харгалзах интегралууд нь мөн тэнцүү байна. Иймд (5) Теорем 1. Хэрэв /(M) функц нь AB гөлгөр муруй дагуу үргэлжилсэн бол муруй шугаман интеграл байна (эдгээр нөхцөлд (5) тэгш байдлын баруун талд тодорхой интеграл байгаа тул). 1.2. 1-р төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд 1. Интеграл нийлбэрийн хэлбэрээс (1) i.e. 1-р төрлийн муруйн интегралын утга нь интегралын чиглэлээс хамаарахгүй. 2. Шугаман байдал. Хэрэв /() функц тус бүрийн хувьд ABt муруй дагуу муруй шугаман интеграл байгаа бол a ба /3 нь дурын тогтмолууд болох a/ функцийн хувьд AB> ба 3 муруйн дагуу муруй шугаман интеграл мөн байна. . Хэрэв AB муруй нь хоёр хэсгээс бүрдэх ба /(M) функцийн хувьд ABU дээр муруйн интеграл байвал 4-тэй интеграл байна. AB муруй дээр 0 байвал 5. Хэрэв функц AB муруй дээр интеграл болох боломжтой бол. , дараа нь функц || нь мөн А В дээр интегралдах боломжтой бөгөөд нэгэн зэрэг b. Дундаж томьёо. Хэрэв функц / нь AB муруйны дагуу үргэлжилсэн бол энэ муруйн дээр L нь AB муруйны урт болох Mc цэг байна. 1.3. 1-р төрлийн муруйн интегралын тооцоо AB муруйг параметрийн тэгшитгэлээр өгье, А цэг нь t = to утгад, В цэг нь утгад тохирно. Функцууд нь деривативуудын хамт тасралтгүй үргэлжлэх ба тэгш бус байдал хангагдсан гэж үзнэ. Дараа нь AB муруйг тодорхой тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол муруйн нумын дифференциалыг томъёогоор тооцоолно [a, b] дээр дифференциал болох ба А цэг нь x = a, B цэг - утга x = 6 утгатай тохирч байвал х-г параметр болгон авч үзвэл бид 1.4-ийг авна. Орон зайн муруйн 1-р төрлийн муруйн интеграл Хавтгай муруйн хувьд дээр томъёолсон 1-р төрлийн муруйн интегралын тодорхойлолтыг AB орон зайн муруй дагуу f(M) функц өгөгдсөн тохиолдолд шууд утгаараа шилжүүлнэ. AB муруйг параметрийн тэгшитгэлээр өгье Орон зайн муруйн 1-р төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд 2-р төрлийн муруйн интегралууд Муруй шугаман интегралын тооцоолол хоорондын шинж чанаруудын хамаарал Дараа нь энэ муруйн дагуу авсан муруйн интегралыг тодорхой интеграл болгон бууруулж болно. Дараах томьёо: Жишээ 2. Муруйн интегралыг тооцоол, L нь нэг цэг дээрх оройтой гурвалжны контур* (Зураг 3). Аддитивийн шинж чанараар бид интеграл бүрийг тусад нь тооцож үзье. OA сегмент дээр бид: , дараа нь AN сегмент дээр байна, хаана, дараа нь Зураг. Эцэст нь, Тиймээс, анхаарна уу. Интегралыг тооцоолохдоо бид 1-р өмчийг ашигласан бөгөөд үүний дагуу. 2-р төрлийн муруйн шугаман интегралууд A B нь xOy хавтгай дээрх гөлгөр эсвэл хэсэгчилсэн гөлгөр чиглэсэн муруй байх ба AB муруйг агуулсан зарим D мужид тодорхойлогдсон вектор функц байг. AB муруйг координатыг нь тус тус тэмдэглэсэн цэгүүдтэй хэсгүүдэд хуваая (Зураг 4). Энгийн нум тус бүр дээр бид дурын цэгийг авч, хамгийн том нумануудын уртыг D/ гэж үзье. Хэрэв (1) нийлбэр нь AB муруйг хуваах арга, rjk) цэгийн сонголтоос үл хамаарах хязгаартай бол энэ хязгаарыг векторын 2 хотын муруйн интеграл гэнэ. AB муруйн дагуух функц ба тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байна.Тэмдэглэлээр Теорем 2. Хэрэв AB муруйг агуулсан зарим D мужид функцууд тасралтгүй байвал 2-хотын муруйн интеграл байна. M(x, y) цэгийн радиус вектор байг. Дараа нь (2) томъёоны интегралыг хэлбэрээр илэрхийлж болно тодорхой интеграл F(M) ба dr векторууд. AB муруй дагуух 2-р төрлийн вектор функцийн интегралыг дараах байдлаар товч бичиж болно: 2.1. 2-р төрлийн муруйн интегралын тооцоо AB муруйг параметрийн тэгшитгэлээр тодорхойлъё, үүнд функцууд нь сегмент дээрх деривативуудын хамт тасралтгүй байх ба t параметрийн t0-ээс t\ хүртэл өөрчлөгдөх нь а-ын хөдөлгөөнд тохирно. А цэгийн AB муруйны дагуу В цэг хүртэл цэг. Хэрэв AB муруйг агуулсан зарим D мужид функцууд тасралтгүй байвал 2-р төрлийн муруйн интеграл дараах тодорхой интеграл болж буурна. 2-р төрлийн муруйн интегралыг мөн тодорхой интегралын тооцоонд бууруулж болно. O) Жишээ 1. Цэгүүдийг холбосон шулуун шугамын сегментийн дагуух интегралыг тооцоол 2) Ижил цэгүүдийг холбосон параболын дагуу) Шугамын параметрийн тэгшитгэл, эндээс 2) AB шугамын тэгшитгэл: Эндээс авч үзсэн жишээ нь үүнийг тосолно. 2-р төрлийн муруй интегралын утга нь ерөнхийдөө интеграцийн замын хэлбэрээс хамаарна. 2.2. 2-р төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд 1. Шугаман байдал. Сансрын муруйн хувьд 1-р төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд байгаа бол 2-р төрлийн муруйн интегралууд Муруй шугаман интегралын тооцоо. Шинж чанарууд Дараа нь ямар ч бодит а ба /5-ын хоорондох холболт нь 2. Additenost. Хэрэв AB муруй нь АС ба SB хэсгүүдэд хуваагдаж, муруй шугаман интеграл байгаа бол 2-р төрлийн муруйн интегралын физик тайлбарын сүүлчийн шинж чанар нь интеграл байдаг хүчний талбар F тодорхой замын дагуу: муруйн дагуух хөдөлгөөний чиглэл өөрчлөгдөхөд энэ муруйн дагуух хүчний талбайн ажил эсрэгээр тэмдэг өөрчлөгдөнө. 2.3. 1-р ба 2-р төрлийн муруйн интегралуудын хоорондын хамаарал AB (A -) чиглэсэн муруй байх 2-р төрлийн муруйн интегралыг авч үзье. эхлэх цэг, IN - төгсгөлийн цэг) вектор тэгшитгэлээр өгөгдсөн (энд I нь AB муруйг чиглүүлэх чиглэлд хэмжсэн муруйн урт) (Зураг 6). Дараа нь dr эсвэл r = m(1) - нэгж вектор M(1) цэг дээрх AB муруйтай шүргэгч. Дараа нь энэ томьёоны сүүлчийн интеграл нь 1-р төрлийн муруйн интеграл гэдгийг анхаарна уу. AB муруйн чиглэл өөрчлөгдөхөд шүргэгч r-ийн нэгж вектор нь эсрэг талын вектор (-r) -ээр солигддог бөгөөд энэ нь түүний тэмдгийг өөрчлөхөд хүргэдэг. интегралтиймээс интеграл өөрөө тэмдэг.

Муруй массын асуудал.Хэсэгчилсэн гөлгөр материалын муруйн цэг бүрт L: (AB) түүний нягтыг тодорхойл. Муруйн массыг тодорхойл.

Хавтгай бүсийн массыг тодорхойлохдоо хийсэнтэй ижил аргаар явцгаая ( давхар интеграл) ба орон зайн бие (гурвалсан интеграл).

1. Бид L талбай-нумын хуваалтыг элементүүдэд хуваахыг зохион байгуулдаг - энгийн нумууд Ингэснээр эдгээр элементүүд нийтлэг байдаггүй дотоод цэгүүдТэгээд
(нөхцөл А )

2. Хуваалтын элементүүд дээр "тэмдэглэгдсэн цэгүүд" M i-г тэмдэглэж, тэдгээрийн функцийн утгыг тооцоолъё.

3. Интеграл нийлбэрийг байгуулъя
, Хаана - нумын урт (ихэвчлэн нуман болон түүний уртын хувьд ижил тэмдэглэгээг оруулдаг). Энэ нь муруйн массын ойролцоо утга юм. Хялбаршуулсан зүйл бол бид нумын нягтыг элемент бүрт тогтмол гэж үзэж, хязгаарлагдмал тооны элементийг авсан.

Өгөгдсөн хязгаарт шилжиж байна
(нөхцөл B ), бид интеграл нийлбэрийн хязгаар болох эхний төрлийн муруйн интегралыг олж авна.

.

Оршихуйн теорем 10 .

Функцийг зөвшөөр
хэсэгчилсэн гөлгөр нуман дээр тасралтгүй байна L 11. Дараа нь эхний төрлийн шугаман интеграл нь интеграл нийлбэрийн хязгаар болж байна.

Сэтгэгдэл.Энэ хязгаар нь үүнээс хамаарахгүй

А нөхцөл хангагдсан тохиолдолд хуваалтыг сонгох арга

хуваалтын элементүүд дээр "тэмдэглэгдсэн цэгүүдийг" сонгох,

В нөхцөл хангагдсан тохиолдолд хуваалтыг боловсронгуй болгох арга

Эхний төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд.

1. Шугаман чанар a) суперпозиция шинж чанар

б) нэгэн төрлийн шинж чанар
.

Баталгаа. Тэгш байдлын зүүн талд интегралуудын интеграл нийлбэрийг бичье. Интеграл нийлбэр нь хязгаарлагдмал тооны гишүүнтэй тул тэгш байдлын баруун талын интеграл нийлбэрүүд рүү шилждэг. Дараа нь бид хязгаарыг давж, тэгш байдлын хязгаарт шилжих теоремыг ашиглан хүссэн үр дүндээ хүрнэ.

2. Нэмэлт чанар.Хэрэв
, Тэр
=
+

Баталгаа. Хуваалтын элементүүдийн аль нь ч (эхэндээ болон хуваалтыг боловсронгуй болгох үед) L 1 ба L 2 элементүүдийг нэгэн зэрэг агуулаагүй байхаар L бүсийн хуваалтыг сонгоцгооё. Үүнийг оршихуйн теоремыг ашиглан хийж болно (теоремыг тэмдэглэ). Дараа нь нотлох баримтыг 1-р зүйлд заасны дагуу интеграл нийлбэрээр гүйцэтгэнэ.

3.
.Энд - нумын урт .

4. Хэрэв нуман дээр байвал тэгвэл тэгш бус байдал хангагдана

Баталгаа. Интеграл нийлбэрүүдийн тэгш бус байдлыг бичээд хязгаар руу шилжье.

Ялангуяа энэ нь боломжтой гэдгийг анхаарна уу

5. Үнэлгээний теорем.

Хэрэв тогтмол үзүүлэлтүүд байгаа бол
, ямар нэг зүйл

Баталгаа. Тэгш бус байдлыг нэгтгэх
(4-р өмч), бид авна
. Тогтмолын 1-р шинж чанараар
интегралуудын доороос гаргаж авч болно. 3-р өмчийг ашигласнаар бид хүссэн үр дүнд хүрнэ.

6. Дундаж утгын теорем(интегралын утга).

Нэг цэг байна
, Юу

Баталгаа. Функцээс хойш
хаалттай дээр тасралтгүй хязгаарлагдмал багц, тэгвэл энэ нь байдаг доод ирмэг
ба дээд ирмэг
. Тэгш бус байдал хангагдана. Хоёр талыг L-ээр хуваавал бид гарна
. Гэхдээ тоо
функцийн доод ба дээд хязгаарын хооронд хаалттай байна. Функцээс хойш
битүү хязгаарлагдмал L олонлог дээр үргэлжилдэг ба дараа нь хэзээ нэгэн цагт
функц энэ утгыг хүлээн зөвшөөрөх ёстой. Тиймээс,
.

Лекц 5 1 ба 2-р төрлийн муруйн интегралууд, тэдгээрийн шинж чанарууд.

Муруй массын асуудал. 1-р төрлийн муруйн интеграл.

Муруй массын асуудал.Хэсэгчилсэн гөлгөр материалын муруйн цэг бүрт L: (AB) түүний нягтыг тодорхойл. Муруйн массыг тодорхойл.

Хавтгай муж (давхар интеграл) ба орон зайн биетийн массыг тодорхойлохдоо хийсэнтэй ижил аргаар явцгаая. гурвалсан интеграл).

1. Бид L нумын мужийг элементүүд - энгийн нумууд болгон хуваахыг зохион байгуулдаг бөгөөд ингэснээр эдгээр элементүүд нь нийтлэг дотоод цэгүүдгүй ба( нөхцөл А )

3. Интеграл нийлбэрийг байгуулна , энд нумын урт (ихэвчлэн нуман болон түүний уртын хувьд ижил тэмдэглэгээг оруулдаг). Энэ - ойролцоо утгамассын муруй. Хялбаршуулсан зүйл бол бид нумын нягтыг элемент бүрт тогтмол гэж үзэж, хязгаарлагдмал тооны элементийг авсан.

Өгөгдсөн хязгаарт шилжиж байна (нөхцөл B ), бид интеграл нийлбэрийн хязгаар болох эхний төрлийн муруйн интегралыг олж авна.

.

Оршихуйн теорем.

Хэсэгчилсэн гөлгөр L нуман дээр функц тасралтгүй байг. Дараа нь эхний төрлийн шугаман интеграл нь интеграл нийлбэрийн хязгаар болно.

Сэтгэгдэл.Энэ хязгаар нь үүнээс хамаарахгүй

Эхний төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд.

1. Шугаман чанар
a) суперпозиция шинж чанар

б) нэгэн төрлийн шинж чанар .

Баталгаа. Тэгш байдлын зүүн талд интегралуудын интеграл нийлбэрийг бичье. Интеграл нийлбэр нь хязгаарлагдмал тооны гишүүнтэй тул тэгш байдлын баруун талын интеграл нийлбэрүүд рүү шилждэг. Дараа нь бид хязгаарыг давж, тэгш байдлын хязгаарт шилжих теоремыг ашиглан хүссэн үр дүндээ хүрнэ.

2. Нэмэлт чанар.
Хэрэв , Тэр = +

3. Энд нумын урт байна.

4. Хэрэв нуман дээр тэгш бус байдал хангагдсан бол

Баталгаа. Интеграл нийлбэрүүдийн тэгш бус байдлыг бичээд хязгаар руу шилжье.

Ялангуяа энэ нь боломжтой гэдгийг анхаарна уу

5. Үнэлгээний теорем.

Хэрэв энэ нь тогтмол байдаг бол

Баталгаа. Тэгш бус байдлыг нэгтгэх (4-р өмч), бид авна . 1-р шинж чанараар интегралын доороос тогтмолуудыг гаргаж авч болно. 3-р өмчийг ашигласнаар бид хүссэн үр дүнд хүрнэ.

6. Дундаж утгын теорем(интегралын утга).

Нэг цэг байна , Юу

Баталгаа. Функц нь хаалттай хязгаарлагдмал олонлог дээр үргэлжилдэг тул түүний инфимум байдаг ба дээд ирмэг . Тэгш бус байдал хангагдана. Хоёр талыг L-д хуваавал бид гарна . Гэхдээ тоо функцийн доод ба дээд хязгаарын хооронд хаалттай байна. Функц нь хаалттай хязгаарлагдмал L олонлог дээр үргэлжилдэг тул хэзээ нэгэн цагт функц энэ утгыг авах ёстой. Тиймээс, .

Эхний төрлийн муруйн интегралын тооцоо.

L нумыг параметрчилье: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). t 0 нь А цэгт, t 1 нь В цэгт тохирно. Дараа нь нэгдүгээр төрлийн шулууны интеграл нь тодорхой интеграл ( - нумын уртын дифференциалыг тооцоолох 1-р семестрээс мэдэгдэж буй томъёо):

Жишээ.Нэг төрлийн (няг k-тэй тэнцүү) мушгиа нэг эргэлтийн массыг тооцоол: .

2-р төрлийн муруйн интеграл.

Хүчний ажлын асуудал.

1. Бид бүс-нумын AB-ыг элементүүдэд хуваахыг зохион байгуулдаг - энгийн нумууд нь эдгээр элементүүдэд нийтлэг дотоод цэгүүд байхгүй ба( нөхцөл А )

2. Хуваалтын элементүүд дээр "тэмдэглэгдсэн цэгүүд" M i-г тэмдэглэж, тэдгээрийн функцийн утгыг тооцоолъё.

3. Интеграл нийлбэрийг байгуулъя , -нумын дагуу хөвчний дагуу чиглэсэн вектор хаана байна.

4. Өгөгдсөн хязгаарт шилжих (нөхцөл B ), бид интеграл нийлбэрийн (болон хүчний ажлын) хязгаар болох хоёр дахь төрлийн муруйн интегралыг олж авна.

. Ихэнхдээ тэмдэглэдэг

Оршихуйн теорем.

Хэсэгчилсэн гөлгөр L нуман дээр вектор функц тасралтгүй байя. Дараа нь хоёр дахь төрлийн муруйн интеграл нь интеграл нийлбэрийн хязгаар болж оршино.

.

Сэтгэгдэл.Энэ хязгаар нь үүнээс хамаарахгүй

А нөхцөл хангагдсан тохиолдолд хуваалтыг сонгох арга

Хуваалтын элементүүд дээр "тэмдэглэгдсэн цэгүүдийг" сонгох,

В нөхцөл хангагдсан тохиолдолд хуваалтыг сайжруулах арга

2-р төрлийн муруйн интегралын шинж чанарууд.

1. Шугаман чанар
a) суперпозиция шинж чанар

б) нэгэн төрлийн шинж чанар .

Баталгаа. Тэгш байдлын зүүн талд интегралуудын интеграл нийлбэрийг бичье. Интеграл нийлбэр дэх гишүүний тоо хязгаартай тул скаляр үржвэрийн шинж чанарыг ашиглан тэгшитгэлийн баруун талын интеграл нийлбэрүүд рүү шилжинэ. Дараа нь бид хязгаарыг давж, тэгш байдлын хязгаарт шилжих теоремыг ашиглан хүссэн үр дүндээ хүрнэ.

2. Нэмэлт чанар.
Хэрэв , Тэр = + .

Баталгаа. Хуваалтын элементүүдийн аль нь ч (эхэндээ болон хуваалтыг боловсронгуй болгох үед) L 1 ба L 2 элементүүдийг нэгэн зэрэг агуулаагүй байхаар L бүсийн хуваалтыг сонгоцгооё. Үүнийг оршихуйн теоремыг ашиглан хийж болно (теоремыг тэмдэглэ). Дараа нь нотлох баримтыг 1-р зүйлд заасны дагуу интеграл нийлбэрээр гүйцэтгэнэ.

3. Баримтлах чадвар.

= -

Баталгаа. Нуман интеграл –L, i.e. В сөрөг чиглэлнумын хөндлөн огтлолцол нь () байгаа нөхцөл дэх интеграл нийлбэрийн хязгаар юм. Скаляр үржвэр болон нийлбэрээс "хасах"-ыг гаргах хязгаарлагдмал тооНөхцөл хязгаарыг давж, бид шаардлагатай үр дүнг авдаг.