"Тэгш бус байдлын систем. Шийдлийн жишээ" сэдэвт хичээл, танилцуулга.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.

9-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрийн сургалтын хэрэглэгдэхүүн, симуляторууд
9-р ангийн интерактив сурах бичиг "Геометрийн дүрэм, дасгалууд"
7-9-р ангийн "Ойлгомжтой геометр" цахим сурах бичиг

Тэгш бус байдлын систем

Тэгш бус байдлын системийн тодорхойлолтыг танилцуулъя.
Зарим x хувьсагчтай хэд хэдэн тэгш бус байдал нь тэгш бус байдал бүр нь үнэн болох x-ийн бүх утгыг олох шаардлагатай бол тэгш бус байдлын системийг бүрдүүлдэг. тоон илэрхийлэл.

Тэгш бус байдал бүр зөв тоон илэрхийлэл авдаг x-ийн аливаа утга нь тэгш бус байдлын шийдэл болно. Мөн хувийн шийдэл гэж нэрлэж болно.
Хувийн шийдэл гэж юу вэ? Жишээлбэл, хариултанд бид x>7 илэрхийлэлийг хүлээн авсан. Дараа нь x=8, эсвэл x=123, эсвэл долоогоос их бусад тоо нь тодорхой шийдэл бөгөөд x>7 илэрхийлэл юм. ерөнхий шийдэл. Ерөнхий шийдэл нь олон хувийн шийдлээр бүрддэг.

Бид тэгшитгэлийн системийг хэрхэн нэгтгэсэн бэ? Энэ нь зөв, буржгар хаалт, тиймээс тэд тэгш бус байдлын хувьд адилхан хийдэг. Тэгш бус байдлын системийн жишээг харцгаая: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Хэрэв тэгш бус байдлын систем нь ижил илэрхийллээс бүрдэх бол, жишээ нь $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Тэгэхээр тэгш бус байдлын системийн шийдлийг олох гэсэн нь юу гэсэн үг вэ?
Тэгш бус байдлын шийдэл нь системийн хоёр тэгш бус байдлыг нэгэн зэрэг хангах тэгш бус байдлын хэсэгчилсэн шийдлүүдийн багц юм.

Тэгш бус байдлын системийн ерөнхий хэлбэрийг $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$ гэж бичнэ.

f(x)>0 тэгш бус байдлын ерөнхий шийдэл гэж $Х_1$ гэж тэмдэглэе.
$X_2$ нь g(x)>0 тэгш бус байдлын ерөнхий шийдэл юм.
$X_1$ ба $X_2$ нь тодорхой шийдлүүдийн багц юм.
Тэгш бус байдлын системийн шийдэл нь $X_1$ ба $X_2$ хоёуланд нь хамаарах тоонууд байх болно.
Олонлог дээрх үйлдлүүдийг санацгаая. Хоёр олонлогт хамаарах олонлогийн элементүүдийг бид яаж олох вэ? Тийм ээ, үүнд зориулсан уулзварын ажиллагаа байдаг. Тэгэхээр бидний тэгш бус байдлын шийдэл нь $A= X_1∩ X_2$ олонлог байх болно.

Тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн жишээ

Тэгш бус байдлын системийг шийд.
a) $\эхлэх(тохиолдол)3x-1>2\\5x-10 b) $\эхлэх(тохиолдол)2x-4≤6\\-x-4
Шийдэл.
a) Тэгш бус байдал бүрийг тусад нь шийд.
$3x-1>2; \; 3х>3; \; x>1$.
5х-10 доллар
Нэг координатын шулуун дээр интервалуудаа тэмдэглэе.

Системийн шийдэл нь бидний интервалуудын огтлолцлын сегмент байх болно. Тэгш бус байдал нь хатуу, дараа нь сегмент нээлттэй байх болно.
Хариулт: (1;3).

B) Мөн тэгш бус байдал бүрийг тусад нь шийднэ.
$2х-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ $5.
$-x-4 -5$.


Системийн шийдэл нь бидний интервалуудын огтлолцлын сегмент байх болно. Хоёр дахь тэгш бус байдал нь хатуу, дараа нь сегмент зүүн талд нээлттэй байх болно.
Хариулт: (-5; 5].

Сурсан зүйлээ нэгтгэн дүгнэе.
Тэгш бус байдлын системийг шийдэх шаардлагатай гэж үзье: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Дараа нь интервал ($x_1; x_2$) нь эхний тэгш бус байдлын шийдэл болно.
Интервал ($y_1; y_2$) нь хоёр дахь тэгш бус байдлын шийдэл юм.
Тэгш бус байдлын системийн шийдэл нь тэгш бус байдал бүрийн шийдүүдийн огтлолцол юм.

Тэгш бус байдлын систем нь зөвхөн нэгдүгээр эрэмбийн тэгш бус байдлаас гадна бусад төрлийн тэгш бус байдлаас бүрдэж болно.

Тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх чухал дүрмүүд.
Хэрэв системийн тэгш бус байдлын аль нэг нь шийдэлгүй бол бүхэл бүтэн систем шийдэлгүй болно.
Хэрэв хувьсагчийн аль нэг утгын хувьд тэгш бус байдлын аль нэг нь хангагдсан бол системийн шийдэл нь нөгөө тэгш бус байдлын шийдэл болно.

Жишээ.
Тэгш бус байдлын системийг шийд:$\begin(тохиолдлууд)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(тохиолдлууд)$
Шийдэл.
Тэгш бус байдал бүрийг тусад нь шийдье.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийдье.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал юм.
Хоёр интервалыг нэг шулуун дээр зурж, огтлолцлыг олъё.
Интервалуудын огтлолцол нь сегмент (4; 6) юм.
Хариулт: (4;6).

Тэгш бус байдлын системийг шийд.
a) $\эхлэх(тохиолдол)3х+3>6\\2х^2+4х+4 б) $\эхлэх(тохиолдол)3х+3>6\\2х^2+4х+4>0\төгсгөл(тохиолдол). )$.

Шийдэл.
a) Эхний тэгш бус байдлын шийдэл x>1 байна.
Хоёр дахь тэгш бус байдлын ялгаварлагчийг олъё.
$D=16-4*2*4=-16$. $D Дүрмийг санацгаая: тэгш бус байдлын аль нэг нь шийдэлгүй бол бүхэл систем шийдэлгүй болно.
Хариулт: Ямар ч шийдэл байхгүй.

B) Эхний тэгш бус байдлын шийдэл x>1 байна.
Хоёр дахь тэгш бус байдал тэгээс ихбүх x хувьд. Дараа нь системийн шийдэл нь эхний тэгш бус байдлын шийдэлтэй давхцдаг.
Хариулт: x>1.

Бие даасан шийдвэрлэх тэгш бус байдлын системийн асуудлууд

Тэгш бус байдлын системҮл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн агуулсан хоёр ба түүнээс дээш тэгш бус байдлын аливаа багцыг нэрлэх нь заншилтай байдаг.

Энэ жорыг жишээ нь дараах байдлаар тодорхой харуулсан болно тэгш бус байдлын системүүд:

Тэгш бус байдлын системийг шийд - Энэ нь системийн тэгш бус байдал бүр биелэгдэх үл мэдэгдэх хувьсагчийн бүх утгыг олох, эсвэл байхгүй гэдгийг батлах гэсэн үг юм. .

Энэ нь хувь хүн бүрийн хувьд гэсэн үг юм системийн тэгш бус байдалБид үл мэдэгдэх хувьсагчийг тооцоолно. Дараа нь гарсан утгуудаас зөвхөн эхний болон хоёр дахь тэгш бус байдлын аль алинд нь үнэн болохыг сонгоно. Тиймээс сонгосон утгыг орлуулах үед системийн тэгш бус байдал хоёулаа зөв болно.

Хэд хэдэн тэгш бус байдлын шийдлийг харцгаая.

Хос тоон шулуунуудыг нэг дор байрлуулцгаая; утгыг дээд талд нь тавь x, үүний хувьд эхний тэгш бус байдал ( x> 1) үнэн болж, доод талд - утга X, хоёр дахь тэгш бус байдлын шийдэл ( X> 4).

дээрх өгөгдлийг харьцуулах замаар тооны шугам, аль алинд нь шийдэл гэдгийг анхаарна уу тэгш бус байдалболно X> 4. Хариулт, X> 4.

Жишээ 2.

Эхний тооцоо тэгш бус байдалБид -3 авна X< -6, или x> 2, секунд - X> -8, эсвэл X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, эхнийх нь хэрэгждэг тэгш бус байдлын систем, мөн доод тооны мөрөнд эдгээр бүх утгууд X, энэ үед системийн хоёр дахь тэгш бус байдал хэрэгждэг.

Өгөгдлийг харьцуулж үзвэл бид хоёуланг нь олж мэднэ тэгш бус байдалбүх үнэт зүйлсэд хэрэгжинэ X, 2-оос 8 хүртэл байрлуулсан. Утгын багц Xтэмдэглэнэ давхар тэгш бус байдал 2 < X< 8.

Жишээ 3.Бид олох болно

Шугаман, квадрат ба асуудлыг шийдэх програм бутархай тэгш бус байдалАсуудлын хариултыг өгөхөөс гадна тайлбар бүхий нарийвчилсан шийдлийг өгдөг, i.e. Математик ба/эсвэл алгебрийн мэдлэгийг шалгах шийдлийн процессыг харуулдаг.

Түүнээс гадна, хэрэв тэгш бус байдлын аль нэгийг шийдвэрлэх явцад үүнийг шийдэх шаардлагатай бол, жишээлбэл, квадрат тэгшитгэл, дараа нь түүний нарийвчилсан шийдлийг мөн харуулах болно (энэ нь спойлер агуулсан).

Энэ хөтөлбөр нь ахлах сургуулийн сурагчдад бэлтгэхэд хэрэг болно туршилтууд, эцэг эхчүүдэд хүүхдүүдийнхээ тэгш бус байдлын шийдлийг хянах.

Энэ хөтөлбөр нь ахлах сургуулийн сурагчдад хэрэг болох юм дунд сургуулиудшалгалт, шалгалтанд бэлтгэх, улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгийг шалгахдаа эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу?гэрийн даалгавар

Математик эсвэл алгебр дээр үү? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно. Ингэснээр та өөрийн сургалт болон/эсвэл сургалтаа явуулах боломжтой.дүү нар

эсвэл эгч нар, харин шийдэж байгаа асуудлын талбарт боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Тэгш бус байдлыг оруулах дүрэм
Ямар ч латин үсэг хувьсагч болж чадна.

Жишээ нь: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) гэх мэт.
Тоонуудыг бүхэл болон бутархай тоогоор оруулж болно. Түүнээс гадна,бутархай тоо

зөвхөн аравтын бутархай бус энгийн бутархай хэлбэрээр оруулж болно.
Аравтын бутархай оруулах дүрэм. Аравтын бутархайгаарбутархай хэсэг
бүхэлд нь цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно. Жишээлбэл, та орж болноаравтын бутархай

үүнтэй адил: 2.5x - 3.5x^2
Энгийн бутархай оруулах дүрэм.

Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн тоологч, хуваагч, бүхэл хэсэг болж чадна.

Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй. Орохдоотоон бутархай /
Тоолуурыг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана.Бүхэл бүтэн хэсэг &
бутархайгаас амперсандаар тусгаарлагдсан:
Оролт: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2

Үр дүн: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Та илэрхийлэл оруулахдаа хаалт хэрэглэж болно. Энэ тохиолдолд тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ эхлээд илэрхийлэлийг хялбаршуулдаг. Жишээ нь:

5(a+1)^2+2&3/5+a > 0.6(a-2)(a+3) Сонгозөв тэмдэг

Тэгш бус байдлын системийг шийд
Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.

Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.
Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ. Хүлээгээрэй

сек... Хэрэв ташийдэлд алдаа байгааг анзаарсан
, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно. Бүү мартямар ажлыг зааж өгнө та юуг шийднэ.

талбарт оруулна уу

Бага зэрэг онол.

Нэг үл мэдэгдэх тэгш бус байдлын системүүд. Тоон интервалууд

Та 7-р ангиасаа системийн тухай ойлголттой танилцаж, хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэж сурсан. Дараа нь бид нэг үл мэдэгдэх шугаман тэгш бус байдлын системийг авч үзэх болно. Тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн багцыг интервал (интервал, хагас интервал, сегмент, туяа) ашиглан бичиж болно. Та мөн тооны интервалын тэмдэглэгээтэй танилцах болно.

\(4x > 2000\) ба \(5x \leq 4000\) тэгш бус байдалд байвал үл мэдэгдэх дугаар x нь ижил байвал эдгээр тэгш бус байдлыг хамтад нь авч үзэж, тэгш бус байдлын системийг үүсгэнэ гэж хэлнэ: $$ \left\(\begin(array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array) \right .$$

BraceЭнэ нь системийн тэгш бус байдал хоёулаа зөв тоон тэгш бус байдал болж хувирах x-ийн утгыг олох шаардлагатайг харуулж байна. Энэ систем- нэг үл мэдэгдэх шугаман тэгш бус байдлын системийн жишээ.

Нэг үл мэдэгдэх тэгш бус байдлын системийн шийдэл нь системийн бүх тэгш бус байдал үнэн болох үл мэдэгдэхийн утга юм. тоон тэгш бус байдал. Тэгш бус байдлын системийг шийднэ гэдэг нь энэ системийн бүх шийдлийг олох эсвэл байхгүй гэдгийг тогтоох гэсэн үг юм.

\(x \geq -2 \) ба \(x \leq 3 \) тэгш бус байдлыг давхар тэгш бус байдлаар бичиж болно: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Нэг үл мэдэгдэх тэгш бус байдлын системийн шийдлүүд өөр байна тооны багц. Эдгээр багцууд нь нэртэй байдаг. Тийм, асаалттай тооны тэнхлэг\(-2 \leq x \leq 3 \) нь -2 ба 3 цэгт төгсгөлтэй сегментээр дүрслэгдсэн x тооны олонлог.

Хэрэв \(a нь сегмент бөгөөд [a; b] -ээр тэмдэглэгдсэн бол

Хэрэв \(a нь интервал бөгөөд (a; b) гэж тэмдэглэвэл

Тэгш бус байдлыг хангах \(x\) тоонуудын багц \(a \leq x нь хагас интервал бөгөөд [a; b) ба (a; b) гэж тус тус тэмдэглэнэ.

Сегмент, интервал, хагас интервал, туяа гэж нэрлэдэг тоон интервалууд.

Тиймээс, тоон интервалуудтэгш бус байдлын хэлбэрээр тодорхойлж болно.

Хоёр үл мэдэгдэх тэгш бус байдлын шийдэл нь эсрэгээр эргэх хос тоо (x; y) юм. энэ тэгш бус байдалзөв тоон тэгш бус байдал руу. Тэгш бус байдлыг шийдэх нь түүний бүх шийдлийн олонлогийг олохыг хэлнэ. Тиймээс x > y тэгш бус байдлын шийдлүүд нь жишээлбэл, (5; 3), (-1; -1) хос тоо байх болно, учир нь \(5 \geq 3 \) ба \(-1 \geq - 1\)

Тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх

Шийдэх шугаман тэгш бус байдалТа аль хэдийн сурсан нэг үл мэдэгдэх зүйлтэй. Тэгш бус байдлын систем, системийн шийдэл гэж юу болохыг та мэдэх үү? Тиймээс нэг үл мэдэгдэх тэгш бус байдлын системийг шийдэх үйл явц танд ямар ч хүндрэл учруулахгүй.

Гэсэн хэдий ч бид танд сануулъя: тэгш бус байдлын системийг шийдэхийн тулд тэгш бус байдал бүрийг тусад нь шийдэж, дараа нь эдгээр шийдлүүдийн огтлолцлыг олох хэрэгтэй.

Жишээлбэл, тэгш бус байдлын анхны системийг дараах хэлбэрт оруулав.
$$ \left\(\begin(массив)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(массив)\баруун. $$

Энэ тэгш бус байдлын системийг шийдэхийн тулд тэгш бус байдал бүрийн шийдийг тоон шулуун дээр тэмдэглээд тэдгээрийн огтлолцлыг ол.

Уулзвар нь [-2; 3] - энэ бол тэгш бус байдлын анхны системийн шийдэл юм.