Чиглэл цахилгаан шугам(хүчдэлийн шугам) цэг бүрт чиглэлтэй давхцдаг. Үүнийг дагадаг хүчдэл нь цахилгаан шугамын нэгж уртын боломжит ялгаа U-тай тэнцүү байна .

Талбайн шугамын дагуу потенциалын хамгийн их өөрчлөлт гардаг. Тиймээс хэмжих замаар хоёр цэгийн хоорондохыг тодорхойлох боломжтой байдаг Утэдгээрийн хооронд байх ба цэгүүд ойртох тусам илүү нарийвчлалтай болно. Нэг төрлийн цахилгаан талбарт хүчний шугамууд шулуун байна. Тиймээс энд тодорхойлоход хамгийн хялбар байдаг:

График зураг цахилгаан шугамба эквипотенциал гадаргууг Зураг 3.4-т үзүүлэв.

Энэ гадаргуугийн дагуу шилжих үед d лболомж өөрчлөгдөхгүй:

Үүнээс үзэхэд векторын проекц дээр d лтэгтэй тэнцүү , тэр нь Тиймээс цэг бүрт энэ нь эквипотенциал гадаргуу руу хэвийн дагуу чиглэнэ.

Та хүссэн хэмжээгээрээ эквипотенциал гадаргууг зурж болно. Эквипотенциал гадаргуугийн нягтралаар үнэ цэнийг шүүж болно , энэ нь хоёр зэргэлдээх эквипотенциал гадаргуугийн хоорондох потенциалын зөрүү нь тогтмол утгатай тэнцүү байх нөхцөлийг хангана.

Томъёо нь боломж ба хурцадмал байдлын хоорондын хамаарлыг илэрхийлж, зөвшөөрдөг мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэφ цэг бүрийн талбайн хүчийг ол. Та бас шийдэж чадна урвуу асуудал, өөрөөр хэлбэл Талбайн цэг бүрт мэдэгдэж буй утгуудыг ашиглан хоёрын хоорондох боломжит зөрүүг ол дурын цэгүүдталбайнууд. Үүнийг хийхийн тулд бид хээрийн хүчнийхэн цэнэг дээр ажилладаг ажлыг давуу тал болгон ашигладаг q 1-р цэгээс 2-р цэг рүү шилжүүлэхдээ дараах байдлаар тооцоолж болно.

Нөгөө талаас, ажлыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

, Дараа нь

Интегралыг 1-р цэг ба 2-р цэгийг холбосон дурын шугамын дагуу авч болно, учир нь талбайн хүчний ажил нь замаас хамаардаггүй. Хаалттай гогцоог туулахын тулд бид дараахь зүйлийг авна.

тэдгээр. Бид хурцадмал векторын эргэлтийн тухай алдартай теоремд хүрэв. хүчдэлийн векторын эргэлт электростатик талбарямар ч хаалттай контурын дагуу тэг байна.

Ийм шинж чанартай талбайг потенциал гэж нэрлэдэг.

Векторын эргэлт алга болсноос харахад цахилгаан статик талбайн шугамууд хаагдах боломжгүй: эерэг цэнэг (эх үүсвэр) дээр эхэлж, сөрөг цэнэг (живэлт) дээр дуусдаг эсвэл хязгааргүйд очдог.(Зураг 3.4).

Энэ хамаарал нь зөвхөн электростатик талбайн хувьд үнэн юм. Дараа нь бид хөдөлж буй цэнэгийн талбар нь боломжит биш бөгөөд түүний хувьд энэ хамаарал байхгүй болохыг олж мэдэх болно.

Хүчдэл ба боломжийн хоорондын хамаарал.

Учир нь боломжит талбар, боломжит (консерватив) хүчний хооронд болон боломжит энергихолбоо байна

Энд ("набла") нь Хамилтоны оператор юм.

Түүнээс хойш Тэр

Хасах тэмдэг нь E вектор нь потенциал буурах тал руу чиглэж байгааг харуулж байна.

Учир нь график дүрсболомжит хуваарилалтыг ашигладаг эквипотенциал гадаргуу- потенциал нь ижил утгатай бүх цэгийн гадаргуу.

Эквипотенциал гадаргууг ихэвчлэн хоёр зэргэлдээх эквипотенциал гадаргуугийн хоорондох боломжит ялгаа ижил байхаар зурдаг. Дараа нь эквипотенциал гадаргуугийн нягтрал нь талбайн хүчийг тодорхой тодорхойлдог өөр өөр цэгүүд. Эдгээр гадаргуу нь илүү нягтралтай газар талбайн хүч илүү их байдаг. Зураг дээр тасархай шугам нь хүчний шугамыг, цул шугам нь эквипотенциал гадаргуугийн хэсгүүдийг харуулж байна: эерэг. цэгийн цэнэг(a), диполь (б), ижил нэртэй хоёр цэнэг (в), нарийн төвөгтэй тохиргооны цэнэглэгдсэн металл дамжуулагч (d).

Нэг цэгийн хувьд потенциалыг цэнэглэ тиймээс эквипотенциал гадаргуу нь төвлөрсөн бөмбөрцөг юм. Нөгөө талаас, хурцадмал шугамууд нь радиаль шулуун шугамууд юм. Үүний үр дүнд суналтын шугамууд нь эквипотенциал гадаргуутай перпендикуляр байна.

Бүх тохиолдолд Е вектор нь эквипотенциал гадаргуутай перпендикуляр бөгөөд үргэлж потенциал буурах чиглэлд чиглэгддэг болохыг харуулж болно.

Вакуум дахь хамгийн чухал тэгш хэмтэй электростатик талбайн тооцооны жишээ.

1. Вакуум дахь цахилгаан диполийн цахилгаан статик орон.

Цахилгаан диполь(эсвэл давхар цахилгаан туйл) нь хоёр тэнцүү хэмжээтэй эсрэг цэгийн цэнэгийн (+q,-q) систем бөгөөд тэдгээрийн хоорондох l зай нь авч үзэж буй талбайн цэгүүдийн зайнаас (l) хамаагүй бага юм.<< r).

Диполь гар l нь диполь тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн вектор юм сөрөг цэнэгэерэг ба тэдгээрийн хоорондох зайтай тэнцүү байна.

Диполь re-ийн цахилгаан момент нь диполь гартай чиглэлтэй давхцаж байгаа вектор бөгөөд цэнэгийн модулийн үржвэртэй тэнцүү |q| мөрөн дээр би:

Диполь тэнхлэгийн дундаас А цэг хүртэлх зайг r гэж үзье. Дараа нь, үүнийг өгсөн

2) Төвөөс диполь тэнхлэгт сэргээгдсэн перпендикуляр дээрх B цэг дээрх талбайн хүч

В цэг нь диполийн +q ба -q цэнэгүүдээс ижил зайд байх тул В цэг дээрх талбайн потенциал тэг байна. Вектор Ёв нь l векторын эсрэг чиглэсэн байна.

3) Гадны цахилгаан орон дээр диполын төгсгөлд хос хүч үйлчилдэг бөгөөд энэ нь диполийн цахилгаан момент re нь E талбайн чиглэлийн дагуу эргэх байдлаар дипольыг эргүүлэх хандлагатай байдаг (Зураг. (Зураг). a)).

Гадны жигд талбарт хос хүчний момент M = qElsin a or-тай тэнцүү байна Гадны нэгэн төрлийн бус талбарт (зураг (c)) диполийн төгсгөлд үйлчлэх хүчнүүд ижил биш байна. ба тэдгээрийн үр дүн нь дипольыг илүү эрчимтэй талбайн бүс рүү шилжүүлэх хандлагатай байдаг - диполь илүү хүчтэй талбайн бүс рүү татагдана.

2. Нэг жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй хавтгайн талбар.

Хязгааргүй хавтгай тогтмол хэмжээгээр цэнэглэгддэг гадаргуугийн нягт Хүчдэлийн шугамууд нь авч үзэж буй хавтгайд перпендикуляр бөгөөд үүнээс хоёр чиглэлд чиглэнэ.

Гауссын гадаргуугийн хувьд генераторууд нь цэнэглэгдсэн хавтгайд перпендикуляр, суурь нь цэнэглэгдсэн хавтгайтай параллель, түүний эсрэг талд ижил зайд байрладаг цилиндрийн гадаргууг авдаг.

Цилиндрийн генераторууд нь суналтын шугамуудтай параллель байрладаг тул цилиндрийн хажуугийн гадаргуугаар дамжих суналтын векторын урсгал нь тэг бөгөөд цилиндрээр дамжин өнгөрөх нийт урсгал нь түүний суурийн 2ES-ийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Цилиндр дотор агуулагдах цэнэг нь тэнцүү байна. Гауссын теоремоор хаана:

E нь цилиндрийн уртаас хамаардаггүй, i.e. Ямар ч зайд талбайн хүч нь ижил хэмжээтэй байна. Ийм талбарыг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг.

Хавтгаас x1 ба x2 зайд орших цэгүүдийн потенциалын зөрүү нь тэнцүү байна

3. Гадаргуугийн цэнэгийн нягт σ>0 ба - σ тэнцүү үнэмлэхүй утгын эсрэг цэнэгтэй хоёр төгсгөлгүй зэрэгцээ цэнэгтэй онгоцны орон.

Өмнөх жишээнээс харахад эхний ба хоёр дахь хавтгайн E 1 ба E 2 хүчдэлийн векторууд нь ижил хэмжээтэй бөгөөд хавтгайд перпендикуляр байрладаг. Тиймээс, онгоцны гаднах орон зайд тэд бие биенээ нөхөж, хавтгай хоорондын зайд нийт хурцадмал байдал үүсдэг. . Тиймээс онгоцны хооронд

(диэлектрикээр).

Онгоцны хоорондох талбай нь жигд байна. Онгоц хоорондын боломжит ялгаа.
(диэлектрикт ).

4. Нэг жигд цэнэглэгдсэн бөмбөрцөг гадаргуугийн талбар.

Бөмбөрцөг гадаргуурадиус R гадаргын нягттай жигд цэнэглэгдсэн нийт цэнэг q

Цэнэгүүдийн систем, улмаар талбай нь өөрөө бөмбөрцгийн төвтэй харьцуулахад төвлөрсөн тэгш хэмтэй байдаг тул хурцадмал байдлын шугамууд нь радиаль чиглэлд чиглэгддэг.

Гауссын гадаргуугийн хувьд бид r радиустай бөмбөрцгийг сонгодог нийтлэг төвцэнэглэгдсэн бөмбөрцөгтэй. Хэрэв r>R бол q цэнэг бүхэлдээ гадаргуу дотор орно. Гауссын теоремоор, хаанаас

R-д<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Бөмбөрцгийн төвөөс r 1 ба r 2 зайд орших хоёр цэгийн потенциалын зөрүү

(r1 >R,r2 >R), тэнцүү байна

Цэнэглэгдсэн бөмбөрцгийн гадна талбар нь бөмбөрцгийн төвд байрлах q цэгийн цэнэгийн талбайтай ижил байна. Цэнэглэгдсэн бөмбөрцөг дотор талбар байхгүй тул потенциал хаа сайгүй ижил, гадаргуу дээрхтэй ижил байна

Цахилгаан статик талбайн хүч хоорондын хамаарлыг олцгооё эрчим хүчний шинж чанар,ба боломж - эрчим хүчний шинж чанарталбайнууд.Хөдлөх ажил ганц биецэг эерэг цэнэгтэнхлэгийн дагуу талбайн нэг цэгээс нөгөө цэг хүртэл Xцэгүүд бие биентэйгээ хязгааргүй ойрхон байрлаж, x 1 – x 2 байвал = dx , E x dx-тэй тэнцүү . Ижил ажил нь j 1 -j 2 = dj-тэй тэнцүү байна . Хоёр илэрхийлэлийг тэнцүүлж, бид бичиж болно

Энд хэсэгчилсэн дериватив тэмдэг нь ялгах нь зөвхөн хамаарахаар хийгддэг гэдгийг онцолдог X. y ба z тэнхлэгүүдийн ижил төстэй үндэслэлийг давтах , Бид E векторыг олж болно:

Энд i, j, k нь нэгж векторууд координатын тэнхлэгүүд x, y, z.

Градиент (12.4) ба (12.6)-ийн тодорхойлолтоос. үүнийг дагадаг

өөрөөр хэлбэл талбайн хүч Е нь хасах тэмдэг бүхий боломжит градиенттай тэнцүү байна. Хасах тэмдэг нь талбайн хүч чадлын вектор Е чиглэсэн байгаагаар тодорхойлогддог уруудах талболомж.

Таталцлын талбайн нэгэн адил электростатик талбайн потенциалын тархалтыг графикаар дүрслэхийн тулд эквипотенциал гадаргууг ашигладаг - бүх цэгүүдэд потенциал нь ижил утгатай байдаг.

Хэрэв талбар нь цэгийн цэнэгээр үүсгэгдсэн бол түүний потенциал (84.5)-ын дагуу.

Тиймээс эквипотенциал гадаргуу нь энэ тохиолдолд- төвлөрсөн бөмбөрцөг. Нөгөө талаас, цэгийн цэнэгийн үед хурцадмал шугамууд нь радиаль шулуун шугамууд юм. Үүний үр дүнд цэгийн цэнэгийн үед хурцадмал шугамууд перпендикулярэквипотенциал гадаргуу.

Хүчдэлийн шугамууд үргэлж хэвийнэквипотенциал гадаргуу руу. Үнэн хэрэгтээ, эквипотенциал гадаргуугийн бүх цэгүүд ижил потенциалтай тул энэ гадаргуугийн дагуу цэнэгийг хөдөлгөх ажил тэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл цэнэг дээр ажиллаж буй электростатик хүчнүүд нь тэг болно. Үргэлжнормуудын дагуу эквипотенциал гадаргуу руу чиглэнэ. Тиймээс вектор E эквипотенциал гадаргууд үргэлж хэвийн,тиймээс Е векторын шугамууд эдгээр гадаргуутай ортогональ байна.

Цэнэг болон цэнэгийн систем бүрийн эргэн тойронд хязгааргүй тооны эквипотенциал гадаргууг зурж болно. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийг ихэвчлэн хоёр зэргэлдээх эквипотенциал гадаргуугийн хоорондох боломжит ялгаа ижил байхаар гүйцэтгэдэг. Дараа нь эквипотенциал гадаргуугийн нягт нь өөр өөр цэгүүдийн талбайн хүчийг тодорхой тодорхойлдог. Эдгээр гадаргуу нь илүү нягтралтай газар талбайн хүч илүү их байдаг.

Тиймээс, электростатик талбайн хүч чадлын шугамын байршлыг мэдэж, эквипотенциал гадаргууг байгуулах боломжтой бөгөөд эсрэгээр эквипотенциал гадаргуугийн мэдэгдэж буй байршлаас талбайн цэг бүрт талбайн хүч чадлын хэмжээ, чиглэлийг тодорхойлж болно. Зураг дээр. Жишээ болгон 133-т эерэг цэгийн цэнэгийн (a) талбайн хурцадмал шугам (тасархай шугам) ба эквипотенциал гадаргуу (хатуу шугам) болон нэг төгсгөлд нь цухуйсан, хонхорхойтой цэнэглэгдсэн металл цилиндрийн харагдах байдлыг харуулав. бусад (б).

Эквипотенциал гадаргуу ба цахилгаан статик талбайн хүчний шугамууд.

Би цахилгаан статик талбайг дүрслэн харуулахыг хүсч байна. Скаляр потенциалын талбарыг олонлог хэлбэрээр геометрээр дүрсэлж болно эквипотенциал гадаргуу (хавтгай тохиолдолд - шугам), эсвэл тэгш гадаргуу, математикчид үүнийг нэрлэдэг:

Ийм гадаргуу бүрийн хувьд нөхцөл байдал (тодорхойлолтоор!):

(*)

Энэ нөхцлийг ижил төстэй тэмдэглэгээгээр үзүүлье:

Энд авч үзэж буй гадаргууд хамаарах вектор нь гадаргуугийн элементэд перпендикуляр ( цэгийн бүтээгдэхүүнтэг биш векторууд энэ нөхцөлд яг тэгтэй тэнцүү байна). тодорхойлох боломж бидэнд байна нэгж вектортухайн гадаргуугийн элементийн хэвийн:

Хэрэв бид физикт буцаж ирвэл бид үүнийг дүгнэж байна электростатик талбайн хүч чадлын вектор нь энэ талбайн эквипотенциал гадаргуутай перпендикуляр байна!

Математикийн агуулга"градиент" гэсэн ойлголт скаляр талбар" :

Векторын чиглэл нь функц хамгийн хурдан өсөх чиглэл юм;

Энэ нь хамгийн их өсөлтийн чиглэлийн дагуу нэгж урт дахь функцийн өсөлт юм.

Эквипотенциал гадаргууг хэрхэн яаж барих вэ?

(*) тэгшитгэлээр өгөгдсөн эквипотенциал гадаргууг орон зайн координаттай (() цэгээр дайруулъя. x,y,z). Жишээлбэл, хоёр координатын дурын жижиг шилжилтийг тогтооцгооё x=>x+dxТэгээд y=>y+dy.(*) тэгшитгэлээс бид шаардлагатай шилжилтийг тодорхойлно dz, ийм төгсгөлийн цэгавч үзэж байгаа эквипотенциал гадаргуу дээр үлдсэн. Ингэснээр та гадаргуугийн хүссэн цэг рүү "хүрж" чадна.

цахилгаан шугам вектор талбар .

Тодорхойлолт. Талбайн шугамын шүргэгч нь авч үзэж буй вектор талбарыг тодорхойлох вектортой чиглэлтэй давхцаж байна.

Вектор ба вектор нь чиглэлийн хувьд ижил (өөрөөр хэлбэл бие биетэйгээ параллель) байвал

IN координатын хэлбэрбидэнд оруулгууд байна:

Дараахь хамаарал хүчинтэй болохыг харахад хялбар байдаг.

Хэрэв бид хоёр векторын параллель байх нөхцөлийг тэдгээрийн тусламжтайгаар бичвэл ижил үр дүнд хүрч болно вектор бүтээгдэхүүн:

Тэгэхээр бидэнд вектор талбар байна. Энгийн векторыг авч үзье вектор талбайн хүчний шугамын элемент болгон.

Цахилгаан шугамын тодорхойлолтын дагуу дараахь харилцааг хангасан байх ёстой.

(**)

Тэд иймэрхүү харагдаж байна дифференциал тэгшитгэлцахилгаан шугам. Авах аналитик шийдэлЭнэ тэгшитгэлийн систем нь маш ховор тохиолдолд (цэг цэнэгийн талбар, тогтмол талбар гэх мэт) амжилтанд хүрдэг. Гэхдээ хүчний шугамын гэр бүлийг графикаар байгуулах нь тийм ч хэцүү биш юм.

Талбайн шугамыг координаттай цэгээр дамжуулна ( x,y,z). Энэ цэгийн координатын чиглэлд хурцадмал векторын проекцуудын утгыг бид мэднэ. Жишээ нь, дур мэдэн жижиг хольцыг сонгоцгооё. x=>x+dx. (**) тэгшитгэлийг ашиглан бид шаардлагатай шилжилтийг тодорхойлно dyТэгээд dz. Тиймээс бид хүчний шугамын зэргэлдээх цэг рүү шилжсэн. Барилгын ажлыг үргэлжлүүлж болно.

NB! (Nota Bene!). Эрчим хүчний шугам нь хүчдэлийн векторыг бүрэн тодорхойлж чадахгүй. Хэрэв цахилгаан шугам дээр эерэг чиглэлийг зааж өгсөн бол хүчдэлийн вектор эерэг эсвэл сөрөг аль алиныг нь чиглүүлж болно. сөрөг тал(гэхдээ шугамын дагуу!). Талбайн шугам нь авч үзэж буй вектор талбайн векторын модулийг (өөрөөр хэлбэл түүний хэмжээ) тодорхойлдоггүй.

Оруулсан геометрийн объектуудын шинж чанарууд:

Талбайн график дүрслэлийг зөвхөн хурцадмал шугамаар төдийгүй боломжит ялгааны тусламжтайгаар хийж болно. Хэрэв бид цахилгаан талбарт ижил потенциалтай цэгүүдийг нэгтгэвэл тэнцүү потенциалтай гадаргуу эсвэл тэдгээрийг эквипотенциал гадаргуу гэж нэрлэдэг. Зургийн хавтгайтай огтлолцох үед эквипотенциал гадаргуу өгдөг эквипотенциал шугамууд. Харгалзах эквипотенциал шугамыг зурах өөр өөр утгатайболомжийн хувьд бид тодорхой талбайн боломж хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг харуулсан харааны дүр зургийг олж авдаг. Цэнэгийн эквипотенциал гадаргуугийн дагуу шилжих нь ажил шаарддаггүй, учир нь ийм гадаргуугийн дагуух талбайн бүх цэгүүд тэнцүү потенциалтай бөгөөд цэнэг дээр үйлчлэх хүч нь хөдөлгөөнд үргэлж перпендикуляр байдаг.

Иймээс суналтын шугамууд нь ижил потенциалтай гадаргуутай үргэлж перпендикуляр байдаг.

Хэрэв бид ижил боломжит өөрчлөлттэй, жишээлбэл, 10 В, 20 В, 30 В гэх мэт тэнцүү потенциалын шугамуудыг дүрсэлсэн бол талбайн хамгийн тод дүр зургийг харуулах болно. Энэ тохиолдолд потенциалын өөрчлөлтийн хурд нь зэргэлдээх эквипотенциал шугамуудын хоорондох зайтай урвуу пропорциональ байна. Өөрөөр хэлбэл, эквипотенциал шугамын нягт нь талбайн хүч чадалтай пропорциональ байна (талбайн хүч өндөр байх тусам шугамууд ойртох болно). Эквипотенциал шугамыг мэдэхийн тулд авч үзэж буй талбайн эрчмийн шугамыг байгуулах боломжтой ба эсрэгээр.

Иймээс эквипотенциал шугам ба суналтын шугамыг ашигласан талбайн зураг нь ижил байна.

Зураг дээрх эквипотенциал шугамын дугаарлалт

Ихэнхдээ зураг дээрх эквипотенциал шугамыг дугаарласан байдаг. Зурган дээрх боломжит зөрүүг харуулахын тулд дурын шугамыг 0 тоогоор тэмдэглэж, бусад бүх шугамын хажууд 1,2,3 гэх мэт тоог байрлуулна. Эдгээр тоонууд нь сонгосон эквипотенциал шугам ба тэг гэж сонгосон шугамын хоорондох вольтын боломжит зөрүүг заана. Үүний зэрэгцээ, тэг шугамыг сонгох нь тийм ч чухал биш гэдгийг бид тэмдэглэж байна физик утгань зөвхөн хоёр гадаргуугийн боломжит зөрүүтэй бөгөөд энэ нь тэгийн сонголтоос хамаардаггүй.

Эерэг цэнэгтэй цэгийн цэнэгийн талбар

Эерэг цэнэгтэй цэгийн цэнэгийн талбарыг жишээ болгон авч үзье. Цэгэн цэнэгийн талбайн шугамууд нь радиаль шулуун шугамууд тул эквипотенциал гадаргуу нь төвлөрсөн бөмбөрцгийн систем юм. Талбайн шугамууд нь талбайн цэг бүрт бөмбөрцгийн гадаргуутай перпендикуляр байна. Төвлөрсөн тойрог нь эквипотенциал шугам болдог. Эерэг цэнэгийн хувьд 1-р зурагт эквипотенциал шугамыг дүрсэлсэн байна. Сөрөг цэнэгийн хувьд 2-р зурагт эквипотенциал шугамыг харуулав.

Потенциал нь хязгааргүй хүртэл хэвийн болсон үед цэгийн цэнэгийн талбайн потенциалыг тодорхойлдог томъёоноос энэ нь тодорхой харагдаж байна ($\varphi \left(\infty \right)=0$):

\[\varphi =\frac(1)(4\pi \varepsilon (\varepsilon )_0)\frac(q)(r)\left(1\баруун).\]

Систем зэрэгцээ хавтгайнууд, дээр байгаа тэнцүү зайтайбие биенээсээ жигд цахилгаан орны эквипотенциал гадаргуу юм.

Жишээ 1

Даалгавар: Талбайн боломж, систем үүсгэсэнтөлбөр нь дараах хэлбэртэй байна.

\[\varphi =a\зүүн(x^2+y^2\баруун)+bz^2,\]

$a,b$ тогтмолууд тэгээс их. Эквипотенциал гадаргуу ямар хэлбэртэй вэ?

Бидний мэдэж байгаагаар эквипотенциал гадаргуу нь аль ч цэг дээр потенциалууд нь тэнцүү байдаг гадаргуу юм. Дээрх зүйлийг мэдэж байгаа тул асуудлын нөхцөлд санал болгож буй тэгшитгэлийг судалж үзье. $=a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,$ тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талыг $\varphi $-д хуваавал бид дараахийг авна.

\[(\frac(a)(\varphi )x)^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2+\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \зүүн( 1.1\баруун).\]

(1.1) тэгшитгэлийг канон хэлбэрээр бичье.

\[\frac(x^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi )(a))\баруун))^2)+\frac(y^2)((\left(\sqrt() \frac(\varphi )(a))\баруун))^2)+\frac(z^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi)(b))\баруун))^2) =1\ (1.2)\]

$(1.2)\ $ тэгшитгэлээс өгөгдсөн дүрс нь эргэлтийн эллипсоид болох нь тодорхой байна. Түүний тэнхлэгийн голууд

\[\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(b)).\]

Хариулт: Эквипотенциал гадаргуу заасан талбар-- хагас тэнхлэгтэй эргэлтийн эллипсоид ($\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi ) (б) )$).

Жишээ 2

Даалгавар: Талбайн боломж нь дараах хэлбэртэй байна.

\[\varphi =a\зүүн(x^2+y^2\баруун)-bz^2,\]

$a,b$ -- $const$ нь тэгээс их байна. Эквипотенциал гадаргуу гэж юу вэ?

$\varphi >0$-ын тохиолдлыг авч үзье. Бодлогын нөхцөлд заасан тэгшитгэлийг бууруулъя каноник хэлбэр, үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг $\varphi , $-д хуваавал бид дараахийг авна:

\[\frac(a)(\varphi )x^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2-\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left(2.1\ баруун).\]

\[\frac(x^2)(\frac(\varphi )(a))+\frac(y^2)(\frac(\varphi)(a))-\frac(z^2)(\frac (\varphi )(b))=1\ \зүүн(2.2\баруун).\]

(2.2)-д бид авсан каноник тэгшитгэлнэг хуудас гиперболоид. Түүний хагас тэнхлэг нь ($\sqrt(\frac(\varphi )(a))\left(real\ хагас тэнхлэг\баруун),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a))\left-тэй тэнцүү байна. (бодит\ хагас тэнхлэг\баруун),\ \sqrt(\frac(\varphi )(b))(төсөөлөл\хагас тэнхлэг)$).

$\varphi үед тохиолдсон тохиолдлыг авч үзье

$\varphi =-\left|\varphi \right|$ гэж төсөөлье Бодлогын нөхцөлд заасан тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулъя, үүний тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг $\varphi ,$ хасах модулаар хуваана; бид авах:

(1.1) тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр дахин бичье.

Бид хоёр хуудас гиперболоидын каноник тэгшитгэл, түүний хагас тэнхлэгийг олж авлаа.

$\varphi =0.$ байх тохиолдлыг авч үзье. Тэгвэл талбайн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

(2.5) тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр дахин бичье.

\[\frac(x^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(a))\баруун))^2)+\frac(y^2)((\left(\frac(1) )(\sqrt(a))\баруун))^2)-\frac(z^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(b))\баруун))^2)=0\ зүүн (2.6\баруун).\]

Бид $(\frac(\sqrt(b))(\sqrt(a))$;$\ \frac(\sqrt(b) хагас тэнхлэгтэй эллипс дээр тулгуурласан зөв дугуй конусын каноник тэгшитгэлийг олж авлаа. ))(\sqrt(a ))$).

Хариулт: Эквипотенциал гадаргуугийн хувьд өгөгдсөн тэгшитгэлбидний олж авсан боломж: $\varphi >0$-д - нэг хуудасны гиперболоид, $\varphi-ийн хувьд

Талбайн шугам ба эквипотенциал гадаргуу нь харилцан перпендикуляр байна. Эквипотенциалуудын байршлыг тодорхойлох, цахилгаан орны шугам барих

Эквипотенциал гадаргуу ба цахилгаан статик талбайн хүчний шугамууд.

Зураг дээрх эквипотенциал шугамын дугаарлалт

Эерэг цэнэгтэй цэгийн цэнэгийн талбар