Жишээ №1. Компьютер үйлдвэрлэгч компани гурван ханган нийлүүлэгчээс ижил бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг хүлээн авдаг. Эхнийх нь бүх бүрэлдэхүүн хэсгийн 50%, хоёр дахь нь - 20%, гурав дахь нь - эд ангиудын 30% -ийг хангадаг.
Нийлүүлсэн эд ангиудын чанар өөр өөр байдаг нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд эхний нийлүүлэгчийн бүтээгдэхүүнд согогийн хувь 4%, хоёрдугаарт - 5%, гуравдугаарт - 2% байна. Хүлээн авсан бүх хэсгээс санамсаргүй байдлаар сонгосон хэсэг нь гэмтэлтэй байх магадлалыг тодорхойл.

Шийдэл. Үйл явдлыг тэмдэглэе: A - "сонгосон хэсэг нь гэмтэлтэй", H i - "сонгосон хэсгийг i-р ханган нийлүүлэгчээс хүлээн авсан", i = 1, 2, 3 Таамаглал H 1, H 2, H 3 хэлбэр. бүтэн бүлэгҮгүй хамтарсан арга хэмжээ. Нөхцөлөөр
P(H 1) = 0.5; P(H2) = 0.2; P(H 3) = 0.3
P(A|H 1) = 0.04; P(A|H 2) = 0.05; P(A|H 3) = 0.02

Томъёоны дагуу бүрэн магадлал(1.11) А үйл явдлын магадлал тэнцүү байна
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0.5 0.04 + 0.2 · 0.05 + 0.3 · 0.02=0.036
Санамсаргүй байдлаар сонгосон хэсэг гэмтэлтэй байх магадлал 0.036 байна.

Өмнөх жишээний нөхцөлд А үйл явдал аль хэдийн болсон гэж бодъё: сонгосон хэсэг нь гэмтэлтэй болсон. Анхны нийлүүлэгчээс ирсэн байх магадлал хэд вэ? Энэ асуултын хариултыг Бэйсийн томъёогоор өгсөн.
Бид магадлалын дүн шинжилгээг зөвхөн үйл явдлын магадлалын урьдчилсан, априори утгуудаас эхлүүлсэн. Дараа нь туршилт явуулсан (хэсэг сонгосон), бид хүлээн авсан нэмэлт мэдээлэлБидний сонирхож буй үйл явдлын талаар. Энэхүү шинэ мэдээллээр бид өмнөх магадлалаа сайжруулж чадна. Ижил үйл явдлын магадлалын шинэ утгууд нь аль хэдийн таамаглалын posteriori (туршилтын дараах) магадлал байх болно (Зураг 1.5).

Таамаглалыг дахин үнэлэх схем
А үйл явдлыг зөвхөн H 1 , H 2 , …, H n таамаглалуудын аль нэгтэй нь (үл нийцэхгүй үйл явдлуудын бүрэн бүлэг) хэрэгжүүлье. Бид таамаглалын өмнөх магадлалыг P(H i) болон нөхцөлт магадлалыг A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n гэж тэмдэглэсэн. Хэрэв туршилт аль хэдийн хийгдсэн бөгөөд үүний үр дүнд А үйл явдал тохиолдсон бол таамаглалын арын магадлал нь P(H i |A), i = 1, 2,…, n нөхцөлт магадлал болно. Өмнөх жишээний тэмдэглэгээнд P(H 1 |A) нь гэмтэлтэй болсон сонгосон хэсгийг эхний нийлүүлэгчээс хүлээн авсан байх магадлал юм.
Бид H k |A үйл явдлын магадлалыг сонирхож байна H k ба A үйл явдлууд, өөрөөр хэлбэл AH k үйл явдал хамтдаа тохиолдохыг авч үзье. Үүний магадлалыг (1.5) ба (1.6) үржүүлэх томъёог ашиглан хоёр аргаар олж болно.
P(AH k) = P(H k)P(A|H k);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

Эдгээр томъёоны баруун талыг тэгшитгэж үзье
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

иймээс H k таамаглалын арын магадлал нь тэнцүү байна

Хуваагч нь А үйл явдлын нийт магадлалыг агуулна. Нийт магадлалын томьёо (1.11)-ын дагуу түүний утгыг P(A)-ын оронд орлуулснаар бид дараахийг олж авна:
(1.12)
Формула (1.12) гэж нэрлэдэг Бэйсийн томъёо таамаглалын магадлалыг дахин тооцоолоход ашигладаг.
Өмнөх жишээний нөхцөлд бид гэмтэлтэй хэсгийг эхний ханган нийлүүлэгчээс хүлээн авсан байх магадлалыг олох болно. Бидэнд мэдэгдэж буй нөхцөлүүдийг нэг хүснэгтэд оруулъя өмнөх магадлалтаамаглалууд P(H i) болзолт магадлалууд P(A|H i) шийдлийн явцад тооцоолсон. хамтарсан магадлал P(AH i) = P(H i) P(A|H i) ба арын магадлал P(H k |A) (1.12), i,k = 1, 2,..., n (Хүснэгт 1.3) томъёогоор тооцоолсон. .

Хүснэгт 1.3 - Таамаглалыг дахин үнэлэх

Таамаглал H i	Магадлал
Таамаглал H i	Априори P(H i)	Нөхцөлт P(A\|H i)	Хамтарсан P(AH i)	A posteriori P(H i \|A)
1	2	3	4	5
H 1 - эхний нийлүүлэгчээс хүлээн авсан хэсэг	0.5	0.04	0.02
H 2 - хоёр дахь нийлүүлэгчээс хүлээн авсан хэсэг	0.2	0.05	0.01
H 3 - гуравдагч нийлүүлэгчээс хүлээн авсан хэсэг	0.3	0.02	0.006
нийлбэр	1.0	-	0.036	1

Энэ хүснэгтийн сүүлчийн мөрийг харцгаая. Хоёрдахь баганад бүрэн бүлгийг бүрдүүлэх H1, H2, H3 үл нийцэх үйл явдлын магадлалын нийлбэрийг агуулна.
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P (H 1) + P (H 2) + P (H 3) = 0.5 + 0.2 + 0.3 = 1
Дөрөв дэх баганад мөр тус бүрийн утгыг (хамтарсан магадлал) хоёр ба гурав дахь баганад харгалзах утгуудыг үржүүлэх замаар магадлалыг үржүүлэх дүрмийг ашиглан олж авна. сүүлчийн мөр 0.036 - А үйл явдлын нийт магадлал (нийт магадлалын томъёоны дагуу).
5-р баганад Бэйсийн томъёог (1.12) ашиглан таамаглалын арын магадлалыг тооцоолно.

P(H 2 |A) ба P(H 3 |A) арын магадлалыг үүнтэй адил тооцоолж, бутархайн хуваагч нь 4-р баганын харгалзах мөрөнд бичсэн хамтарсан магадлал, хуваагч нь үйл явдлын нийт магадлал байна. 4-р баганын сүүлчийн мөрөнд бичсэн.
Туршилтын дараах таамаглалуудын магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү бөгөөд тавдугаар баганын сүүлчийн мөрөнд бичнэ.
Тэгэхээр анхны ханган нийлүүлэгчээс гэмтэлтэй хэсгийг хүлээн авсан байх магадлал 0.555 байна. Туршилтын дараах магадлал нь априориас их (нийлүүлэлтийн их хэмжээний улмаас). Согогтой хэсгийг хоёр дахь нийлүүлэгчээс хүлээн авсан туршилтын дараах магадлал нь 0.278 бөгөөд туршилтын өмнөх магадлалаас (олон тооны согогтой холбоотой) бас их байна. Туршилтын дараах гэмтэлтэй хэсгийг гуравдагч нийлүүлэгчээс хүлээн авсан байх магадлал 0.167 байна.

Жишээ №3. Гурван ижил сав байна; эхний сав нь хоёр цагаан, нэг хар бөмбөг агуулсан; хоёр дахь нь - гурван цагаан, нэг хар; гурав дахь нь хоёр цагаан, хоёр хар бөмбөг байна. Туршилтын хувьд санамсаргүй байдлаар нэг савыг сонгож, түүнээс бөмбөг гаргаж авдаг. Энэ бөмбөг цагаан байх магадлалыг ол.
Шийдэл.Гурван таамаглалыг авч үзье: H 1 - эхний савыг сонгосон, H 2 - хоёр дахь савыг сонгосон, H 3 - гурав дахь савыг сонгож, А үйл явдлыг гаргаж авсан. цагаан бөмбөг.
Асуудлын нөхцлийн дагуу таамаглал нь адилхан боломжтой тул

Эдгээр таамаглалын дагуу А үйл явдлын нөхцөлт магадлал нь тэнцүү байна:
Нийт магадлалын томъёоны дагуу

Жишээ № 4. Пирамид 19 винтов, тэдгээрийн 3 нь оптик хараатай байдаг. Оптик хараатай винтовоос буудаж буй буудагч 0.81, оптик хараагүй винтовоос буудах магадлал 0.46 магадлалтай байна. Буудагч санамсаргүй буу ашиглан байг онох магадлалыг ол.
Шийдэл.Энд эхний шалгалт бол винтовыг санамсаргүй сонгох, хоёр дахь нь бай руу буудах явдал юм. Дараах үйл явдлуудыг авч үзье: A - мэргэн буудагч зорилтот онох; H 1 - мэргэн бууч оптик хараатай винтов авах болно; H 2 - мэргэн буудагч оптик хараагүй винтов авах болно. Бид нийт магадлалын томъёог ашигладаг. Бидэнд байна

Винтовыг нэг нэгээр нь сонгож, томьёог ашиглана гэдгийг харгалзан үзвэл сонгодог магадлал, бид дараахийг авна: P (H 1) = 3/19, P (H 2) = 16/19.
Нөхцөлт магадлалыг асуудлын тайлбарт зааж өгсөн: P(A|H 1) = 0.81 ба P(A|H 2) = 0.46. Тиймээс,

Жишээ №5. 2 цагаан, 3 хар бөмбөлөг агуулсан савнаас санамсаргүй байдлаар хоёр бөмбөг сугалж, саванд 1 цагаан бөмбөг нэмнэ. Санамсаргүй байдлаар сонгосон бөмбөг цагаан өнгөтэй байх магадлалыг ол.
Шийдэл.Бид "цагаан бөмбөг зурсан" үйл явдлыг A. Үйл явдал H 1 - санамсаргүй байдлаар хоёр цагаан бөмбөг зурсан; H 2 - санамсаргүй байдлаар хоёр хар бөмбөг зурсан; H 3 - нэг цагаан бөмбөг, нэг хар бөмбөг зурсан. Дараа нь дэвшүүлсэн таамаглалуудын магадлал

Эдгээр таамаглалын нөхцөлт магадлалууд нь тус тус тэнцүү байна: P(A|H 1) = 1/4 - хэрэв саванд байгаа бол цагаан бөмбөг зурах магадлал. одоогоорнэг цагаан, гурван хар бөмбөлөг, P(A|H 2) = 3/4 - хэрэв саванд одоогоор гурван цагаан, нэг хар бөмбөг байгаа бол цагаан бөмбөг зурах магадлал, P(A|H 3) = 2/ 4 = 1/2 - хэрэв саванд хоёр цагаан, хоёр хар бөмбөг байгаа бол цагаан бөмбөг зурах магадлал. Нийт магадлалын томъёоны дагуу

Жишээ № 6. Зорилтот руу хоёр удаа буудаж байна. Эхний цохилтонд цохилт өгөх магадлал 0.2, хоёр дахь нь 0.6 байна. Нэг цохилтоор бай устгах магадлал 0.3, хоёр цохилтоор 0.9 байна. Байгаа устгах магадлалыг ол.
Шийдэл. А үйл явдал байг - бай устгагдсан. Ингэхийн тулд 2-оос нэг сумаар онох юм уу 2 удаа дараалан оноход л хангалттай. Таамаглал дэвшүүлье: H 1 - хоёр цохилт нь бай оносон. Дараа нь P(H 1) = 0.2 · 0.6 = 0;12. H 2 - эхний удаа эсвэл хоёр дахь удаагаа алдсан. Дараа нь P(H 2) = 0.2 · 0.4 + 0.8 · 0.6 = 0.56. Таамаглал H 3 - аль аль нь буудсан - зорилтот устгах магадлал тэг тул тооцдоггүй. Дараа нь нөхцөлт магадлалууд тус тус тэнцүү байна: амжилттай буудлага хийсэн тохиолдолд бай устгах магадлал P(A|H 1) = 0.9, зөвхөн нэг амжилттай буудсан тохиолдолд бай устгах магадлал P(A|H) байна. 2) = 0.3. Дараа нь нийт магадлалын томъёоны дагуу байг устгах магадлал тэнцүү байна.

Практикт аливаа үйл явдлуудын аль нэг нь бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг сонирхолтой үйл явдлын магадлалыг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Магадлалын нэмэх ба үржүүлэх теоремуудын үр дагавар болох дараах теорем нь дүгнэлтэд хүргэдэг. чухал томъёоийм үйл явдлын магадлалыг тооцоолох. Энэ томьёог нийт магадлалын томъёо гэж нэрлэдэг.

Болъё Х 1 , Х 2 , … , Х n нь nхосоороо таарахгүйБүрэн бүлгийг бүрдүүлэх үйл явдлууд:

1) бүх үйл явдлууд хосоороо нийцэхгүй байна: H i ∩ Hj= ; би, j= 1,2, … , n; биj;

2) тэдгээрийн хослол нь орон зайг бүрдүүлдэг үндсэн үр дүн W:

Ийм үйл явдлуудыг заримдаа нэрлэдэг таамаглал.Үйл явдал болох болтугай А, энэ нь зөвхөн үйл явдлын аль нэг нь тохиолдсон тохиолдолд л тохиолдож болно Хби( би = 1, 2, … , n). Тэгвэл теорем үнэн болно.

Баталгаа. Үнэхээр нөхцөл байдлын дагуу үйл явдал Аүл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол тохиолдож болно Х 1 , Х 2 … Х n, i.e. үйл явдал тохиолдох Аүйл явдлын аль нэг нь тохиолдсон гэсэн үг Х 1 ∙ А, Х 2 ∙ А, … , Х n∙ А. Хамгийн сүүлийн үеийн үйл явдлуудбас таарахгүй, учир нь -аас Хби∙ Х j = ( би ж) үүний дараа ( А ∙ Хби) ∙ ( А ∙ Х j) = ( би ж). Одоо бид үүнийг тэмдэглэж байна

Энэ тэгш байдлыг Зураг дээр сайн дүрсэлсэн болно. 1.19. Нэмэх теоремоос энэ нь дараах байдалтай байна . Гэхдээ үржүүлэх теоремын дагуу тэгш байдал нь аливаад үнэн байдаг би, 1 ≤ би ≤ n. Иймд нийт магадлалын томъёо (1.14) хүчинтэй байна. Теорем нь батлагдсан.

Сэтгэгдэл.Үйл явдлын магадлал (таамаглал) Х 1 , Х 2 , … , Хшийдвэрлэх үед (1.14) томьёонд орсон n тодорхой ажлуудөгөгдсөн эсвэл тэдгээрийг шийдвэрлэх явцад тооцоолох ёстой. IN сүүлчийн тохиолдолтооцооллын зөв байдал r(Хби) ( би = 1, 2, … , n) харьцаа = 1 ба тооцоогоор шалгана r(Х i) асуудлыг шийдвэрлэх эхний шатанд хийгддэг. Хоёр дахь шатанд үүнийг тооцоолно r(А).

Нийт магадлалын томъёог ашиглан асуудлыг шийдвэрлэхдээ дараах техникийг баримтлах нь тохиромжтой.

Нийт магадлалын томьёог хэрэглэх арга зүй

A). Анхаарах үйл явдлыг танилцуулах (бид үүнийг тэмдэглэнэ А), магадлалыг асуудлын нөхцөлөөр тодорхойлох ёстой.

б). Үйл явдал (таамаглал)-ыг харгалзан үзэх Х 1 , Х 2 , … , Х n , тэдгээр нь бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг.

V). Таамаглалуудын магадлалыг бичиж эсвэл тооцоол r(Х 1), r(Х 2), … , r(Х n). Тооцооллын зөв эсэхийг шалгаж байна r(Х i) нөхцөлөөр шалгана IN илүүмагадлалын асуудлууд r(Х i) асуудлын мэдэгдэлд шууд зааж өгсөн болно. Заримдаа эдгээр магадлал, түүнчлэн магадлал х(А/Х 1), х(А/Х 2), …, х(А/Х n) 100-аар үржүүлсэн (тоог хувиар илэрхийлсэн). Энэ тохиолдолд өгсөн тоо 100-д хуваагдах ёстой.

G). Шаардлагатай магадлалыг тооцоол r(А) томъёоны дагуу (1.14).

Жишээ. Эдийн засагч компанийнхаа хувьцааны үнэ өсөх магадлалыг тооцоолсон дараа жилулсын эдийн засаг өсөж байгаа бол 0.75, санхүүгийн хямралтай бол 0.30 байна. Шинжээчдийн үзэж байгаагаар эдийн засаг сэргэх магадлал 0.6 байна. Ирэх онд компанийн хувьцааны ханш өсөх магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. Эхэндээ асуудлын нөхцөлийг магадлалын хувьд албан ёсны болгодог. Болъё А– “Хувьцааны үнэ өснө” үйл явдал (асуудалтай холбоотой). Асуудлын нөхцлөөс хамааран таамаглалыг дараахь байдлаар ялгадаг. Х 1 - "эдийн засаг өсөх болно", Х 2 – “Эдийн засаг хямралын үе рүү орно.” Х 1 , Х 2 - бүрэн бүлэг үүсгэх, өөрөөр хэлбэл. Х 1 ∙ Х 2 = , Х 1 + Х 2 =. Магадлал х(Х 1) = 0.6, тиймээс, х(Х 2) = 1 – 0,6 = 0,4. Нөхцөлт магадлал х(А/Х 1) = 0,75, х(А/Х 2) = 0.3. (1.14) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

х(А) = х(Х 1) ∙ х(А/Х 1) + х(Х 2) ∙ х(А/Х 2) = 0,75 ∙ 0,6 + 0,3 ∙ 0,4 = 0,57.

Ажлын зорилго:магадлалын онолын нийт магадлалын томъёо, Бэйсийн томъёог ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх.

Нийт магадлалын томъёо

Үйл явдлын магадлал А, энэ нь зөвхөн үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдсон тохиолдолд л тохиолдож болно B x, B 2,..., B p,Бүрэн бүлэг үүсгэх нь эдгээр үйл явдал тус бүрийн магадлалын үржвэрийн нийлбэр А үйл явдлын харгалзах нөхцөлт магадлалтай тэнцүү байна.

Энэ томъёог гэж нэрлэдэг нийт магадлалын томъёо.

Таамаглалын магадлал. Бэйсийн томъёо

Үйл явдал болъё Аүл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдсон тохиолдолд тохиолдож болно V b 2 ,..., V n,бүрэн бүлгийг бүрдүүлэх. Эдгээр үйл явдлуудын аль нь болох нь урьдаас тодорхойгүй тул тэдгээрийг таамаглал гэж нэрлэдэг. Үйл явдал тохиолдох магадлал Анийт магадлалын томъёогоор тодорхойлогдоно:

Туршилт явуулсан бөгөөд үүний үр дүнд үйл явдал болсон гэж үзье А. Энэ нь хэрхэн өөрчлөгдсөнийг тодорхойлох шаардлагатай (үйл явдлын улмаас Ааль хэдийн ирсэн) таамаглалуудын магадлал. Таамаглалын нөхцөлт магадлалыг томъёог ашиглан олно

Энэ томъёонд индекс / = 1.2

Энэ томьёог Бэйсийн томьёо гэж нэрлэдэг (Үүнийг үүсгэсэн Английн математикчийн нэрээр нэрлэгдсэн; 1764 онд хэвлэгдсэн). Бэйсийн томъёо нь таамаглал болсны дараа түүний магадлалыг дахин тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог мэдэгдэж байгаа үр дүнүйл явдалд хүргэсэн туршилт А.

Даалгавар 1.Үйлдвэр нь тодорхой төрлийн эд анги үйлдвэрлэдэг бөгөөд эд анги тус бүр нь 0.05 магадлалтай гэмтэлтэй байдаг. Тухайн хэсгийг нэг байцаагч шалгадаг; 0.97 магадлал бүхий согогийг илрүүлдэг, хэрэв согог илрээгүй бол тухайн хэсгийг дамжуулдаг. бэлэн бүтээгдэхүүн. Үүнээс гадна, байцаагч алдаа дутагдалгүй хэсгийг андуурч татгалзаж болно; магадлал нь 0.01 байна. Дараах үйл явдлын магадлалыг ол: A - хэсэг нь татгалзах болно; B - хэсэг нь татгалзах болно, гэхдээ буруу; C - хэсэг нь согогтой бэлэн бүтээгдэхүүнд шилжинэ.

Шийдэл

Таамаглалуудыг тэмдэглэе:

Н= (стандарт хэсгийг үзлэгт илгээнэ);

Н=(стандарт бус хэсгийг шалгуулахаар явуулна).

Үйл явдал A =(хэсэг нь татгалзах болно).

Асуудлын нөхцлөөс бид магадлалыг олдог

R N (A) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

Нийт магадлалын томъёог ашиглан бид олж авна

Хэсэг нь буруу татгалзсан байх магадлал

Бэлэн бүтээгдэхүүнд гэмтэлтэй хэсэг орох магадлалыг олцгооё.

Хариулт:

Даалгавар 2.Бүтээгдэхүүний стандартыг түүхий эдийн гурван шинжээчийн аль нэгээр нь шалгадаг. Бүтээгдэхүүн эхний худалдаачинд хүрэх магадлал 0.25, хоёр дахь нь 0.26, гурав дахь нь 0.49 байна. Эхний худалдаачин бүтээгдэхүүнийг стандарт гэж хүлээн зөвшөөрөх магадлал 0.95, хоёр дахь нь - 0.98, гурав дахь нь - 0.97 байна. Стандарт бүтээгдэхүүнийг хоёрдугаар байцаагч шалгах магадлалыг ол.

Шийдэл

Үйл явдлыг тэмдэглэе:

Л. =(бүтээгдэхүүнийг шалгахаар худалдаачин руу очно); / = 1, 2, 3;

B =(бүтээгдэхүүнийг стандарт гэж үзнэ).

Асуудлын нөхцлийн дагуу магадлал нь мэдэгдэж байна:

Нөхцөлт магадлалыг бас мэддэг

Бэйсийн томъёог ашиглан бид стандарт бүтээгдэхүүнийг хоёр дахь байцаагчаар шалгах магадлалыг олно.

Хариулт:“0.263.

Даалгавар 3. Хоёр машин нь нийтлэг конвейер дээр явдаг эд ангиудыг үйлдвэрлэдэг. Эхний машин дээр стандарт бус хэсгийг хүлээн авах магадлал 0.06, хоёр дахь нь 0.09 байна. Хоёр дахь машины бүтээмж эхнийхээс хоёр дахин их байна. Стандарт бус хэсгийг угсрах шугамаас авсан. Энэ хэсгийг хоёр дахь машин үйлдвэрлэсэн байх магадлалыг ол.

Шийдэл

Үйл явдлыг тэмдэглэе:

A. =(конвейерээс авсан хэсгийг /-р машин үйлдвэрлэсэн); / = 1.2;

IN= (авсан хэсэг нь стандарт бус байх болно).

Нөхцөлт магадлалыг бас мэддэг

Нийт магадлалын томъёог ашиглан бид олдог

Bayes томъёог ашиглан сонгосон стандарт бус хэсгийг хоёр дахь машин үйлдвэрлэсэн байх магадлалыг олно.

Хариулт: 0,75.

Даалгавар 4.Бид найдвартай байдал нь 0.8 ба 0.9 гэсэн хоёр нэгжээс бүрдсэн төхөөрөмжийг туршиж байна. Зангилаанууд бие биенээсээ үл хамааран бүтэлгүйтдэг. Төхөөрөмж амжилтгүй болсон. Үүнийг харгалзан таамаглалын магадлалыг ол.

a) зөвхөн эхний зангилаа гэмтэлтэй;
б) зөвхөн хоёр дахь зангилаа гэмтэлтэй;
в) хоёр зангилаа гэмтэлтэй.

Шийдэл

Үйл явдлыг тэмдэглэе:

D = (7-р зангилаа бүтэлгүйтэхгүй); би = 1,2;

D - харгалзах эсрэг үйл явдлууд;

А= (туршилтын явцад төхөөрөмжийн эвдрэл гарах болно).

Асуудлын нөхцлөөс бид олж авна: P(D) = 0.8; R(Л 2) = 0,9.

Эсрэг үйл явдлын магадлалын шинж чанараар

Үйл явдал Абүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна хамааралтай үйл явдлууд

Үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем ба магадлалыг үржүүлэх теоремыг ашиглах бие даасан үйл явдлууд, бид авдаг

Одоо бид таамаглалын магадлалыг оллоо:

Хариулт:

Даалгавар 5.Үйлдвэрт боолтыг гурван машин дээр үйлдвэрлэдэг бөгөөд нийт боолтны 25%, 30%, 45% -ийг тус тус үйлдвэрлэдэг. Машин хэрэгслийн бүтээгдэхүүнд согог нь 4%, 3%, 2% байна. Ирж буй бүтээгдэхүүнээс санамсаргүй байдлаар авсан боолт гэмтэлтэй байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл

Үйл явдлыг тэмдэглэе:

4 = (санамсаргүй байдлаар авсан боолтыг i-р машин дээр хийсэн); би = 1, 2, 3;

IN= (санамсаргүй байдлаар авсан боолт гэмтэлтэй болно).

Асуудлын нөхцлөөс сонгодог магадлалын томъёог ашиглан бид таамаглалын магадлалыг олно.

Түүнчлэн, магадлалын сонгодог томъёог ашиглан бид нөхцөлт магадлалыг олдог.

Нийт магадлалын томъёог ашиглан бид олдог

Хариулт: 0,028.

Даалгавар 6.Цахим хэлхээ нь 0.25 магадлал бүхий гурван талын аль нэгэнд хамаарна; 0.5 ба 0.25. Хэлхээ нь багц тус бүрийн баталгаат хугацаанаас хэтэрсэн ажиллах магадлал 0.1; 0.2 ба 0.4. Санамсаргүй байдлаар сонгосон хэлхээ нь баталгаат хугацаанаасаа илүү ажиллах магадлалыг ол.

Шийдэл

Үйл явдлыг тэмдэглэе:

4 = (санамсаргүй байдлаар авсан диаграм р үдэшлэг); би = 1, 2, 3;

IN= (санамсаргүй байдлаар сонгосон хэлхээ нь баталгаат хугацаанаас илүү ажиллах болно).

Асуудлын нөхцлийн дагуу таамаглалын магадлалыг мэддэг.

Нөхцөлт магадлалыг бас мэддэг:

Нийт магадлалын томъёог ашиглан бид олдог

Хариулт: 0,225.

Даалгавар 7.Төхөөрөмж нь хоёр блок агуулдаг бөгөөд тус бүр нь төхөөрөмжийг ажиллуулахад шаардлагатай байдаг. Эдгээр блокуудын гэмтэлгүй ажиллах магадлал нь 0.99 ба 0.97 байна. Төхөөрөмж амжилтгүй болсон. Аль аль нэгж амжилтгүй болох магадлалыг тодорхойл.

Шийдэл

Үйл явдлыг тэмдэглэе:

D = ( z-блокамжилтгүй болно); би = 1,2;

А= (төхөөрөмж амжилтгүй болно).

Асуудлын нөхцлөөс эсрэг үйл явдлын магадлалын шинж чанарын дагуу бид дараахийг олж авна: DD) = 1-0.99 = 0.01; DD) = 1-0.97 = 0.03.

Үйл явдал А D эсвэл үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдсон тохиолдолд л тохиолддог А 2.Тиймээс энэ үйл явдал нь үйл явдлын нийлбэртэй тэнцүү байна А= D + А 2 .

Хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх теоремоор бид олж авдаг

Bayes томъёог ашиглан бид хоёр нэгжийн эвдрэлээс болж төхөөрөмж бүтэлгүйтсэн байх магадлалыг олдог.

Хариулт:

Бие даан шийдвэрлэх асуудал Даалгавар 1.Телевизийн студийн агуулахад 1-р үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн зургийн хоолойн 70%; Үлдсэн зургийн гуурсыг 2-р үйлдвэр үйлдвэрлэсэн. Зургийн хоолой нь баталгаат хугацаанд эвдэрч гэмтэхгүй байх магадлал 1-р үйлдвэрийн зургийн хоолойд 0.8, 2-р үйлдвэрийн зургийн хоолойд 0.7 байна. баталгаат хугацааны туршид амьд үлдсэн. 2-р үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн байх магадлалыг ол.

Даалгавар 2.Гурван машинаас эд ангиудыг угсрахаар хүлээн авдаг. 1-р машин нь согогийн 0.3%, 2-р - 0.2%, 3-р - 0.4% -ийг өгдөг нь мэдэгдэж байна. 1-р машинаас 1000 ширхэг, 2-р машинаас 2000 ширхэг, 3-р машинаас 2500 ширхэг хүлээн авсан бол угсрахаар гэмтэлтэй эд анги хүлээж авах магадлалыг ол.

Даалгавар 3.Хоёр машин ижил хэсгүүдийг үйлдвэрлэдэг. Эхний машин дээр үйлдвэрлэсэн хэсэг нь стандарт байх магадлал 0.8, хоёр дахь нь 0.9 байна. Хоёр дахь машины бүтээмж эхнийхээс гурав дахин их байна. Хоёр машинаас эд анги хүлээн авдаг конвейерээс санамсаргүй байдлаар авсан хэсэг нь стандарт байх магадлалыг ол.

Даалгавар 4.Компанийн дарга тээврийн гурван компанийн хоёрынх нь үйлчилгээг ашиглахаар шийджээ. Нэг, хоёр, гурав дахь пүүсийн ачааг цаг тухайд нь хүргэхгүй байх магадлал 0.05-тай тэнцүү байна; 0.1 ба 0.07. Эдгээр өгөгдлийг ачаа тээврийн аюулгүй байдлын талаархи мэдээлэлтэй харьцуулж үзээд менежер сонголт нь тэнцүү гэсэн дүгнэлтэд хүрч, сугалаагаар хийхээр шийджээ. Ачаалагдсан ачааг хугацаанд нь хүргэх магадлалыг ол.

Даалгавар 5.Төхөөрөмж нь хоёр блок агуулдаг бөгөөд тэдгээр нь тус бүрийн засвар үйлчилгээ нь төхөөрөмжийг ажиллуулахад шаардлагатай байдаг. Эдгээр блокуудын гэмтэлгүй ажиллах магадлал нь 0.99 ба 0.97 байна. Төхөөрөмж амжилтгүй болсон. Хоёрдахь нэгж бүтэлгүйтсэн магадлалыг тодорхойл.

Даалгавар 6. Угсрах цех нь гурван машинаас эд анги хүлээн авдаг. Эхний машин нь согогийн 3%, хоёр дахь нь 1%, гурав дахь нь 2% -ийг өгдөг. Машин бүрээс тус бүр 500, 200, 300 ширхэгийг хүлээн авсан бол угсралтад гэмтэлгүй хэсэг орох магадлалыг тодорхойл.

Даалгавар 7.Агуулахад гурван компанийн бүтээгдэхүүн ирдэг. Түүгээр ч барахгүй эхний компанийн үйлдвэрлэл 20%, хоёр дахь нь 46%, гурав дахь нь 34% байна. Эхний компанид стандарт бус бүтээгдэхүүний дундаж хувь 5%, хоёрдугаарт - 2%, гуравдугаарт - 1% байна. Санамсаргүй байдлаар сонгосон бүтээгдэхүүн нь стандарт болсон тохиолдолд хоёр дахь компани үйлдвэрлэсэн байх магадлалыг ол.

Даалгавар 8.Гэмтлийн улмаас үйлдвэрийн бүтээгдэхүүний доголдол А 5% байна, мөн үндсэндээ татгалзсан хүмүүсийн дунд АБүтээгдэхүүн нь 10% -д гэмтэлтэй байдаг r.Мөн согоггүй бүтээгдэхүүнд А, согог rтохиолдлын 1% -д тохиолддог. Согогтой тулгарах магадлалыг ол Рбүх бүтээгдэхүүнд.

Даалгавар 9.Тус компанид өмнө нь засвар хийж байсан 10 шинэ машин, 5 хуучин машин бий. Шинэ машинд зөв ажиллах магадлал 0.94, хуучин машинд 0.91 байна. Санамсаргүй байдлаар сонгосон машин зөв ажиллах магадлалыг ол.

Асуудал 10.Хоёр мэдрэгч нь нийтлэг холбооны суваг руу дохио илгээдэг бөгөөд эхнийх нь хоёр дахь мэдрэгчээс хоёр дахин их дохио илгээдэг. Эхний мэдрэгчээс гажсан дохио хүлээн авах магадлал 0.01, хоёр дахь мэдрэгчээс 0.03 байна. Гажуудсан дохиог хүлээн авах магадлал хэд вэ ерөнхий сувагхолболтууд?

Асуудал 11.Таван багц бүтээгдэхүүн байна: 8 ширхэг гурван багц, үүнээс стандартын 6, стандартын бус 2, 10 ширхэг хоёр багц, үүнээс стандартын 7, стандартын бус 3. Нэг багцыг санамсаргүй байдлаар сонгож, нэг хэсгийг нь энэ багцаас авна. Авсан хэсэг нь стандарт байх магадлалыг тодорхойл.

Асуудал 12.Угсрагч нь дунджаар эхний үйлдвэрээс эд ангиудын 50%, хоёрдугаар үйлдвэрээс 30%, гуравдугаар үйлдвэрээс 20% авдаг. Эхний үйлдвэрээс гарсан хэсэг нь маш сайн чанартай байх магадлал 0.7; хоёр ба гуравдугаар үйлдвэрийн эд ангиудын хувьд 0.8 ба 0.9 тус тус . Санамсаргүй байдлаар авсан хэсэг нь маш сайн чанартай болсон. Тухайн хэсгийг эхний үйлдвэр үйлдвэрлэсэн байх магадлалыг ол.

Асуудал 13.Тээврийн хэрэгслийн гаалийн үзлэгийг хоёр байцаагч хийдэг. Дунджаар 100 машинаас 45 нь нэгдүгээр байцаагчаар дамждаг. Шалгалтын явцад машин тохирох магадлал гаалийн журам, саатуулахгүй, нэгдүгээр байцаагч 0,95, хоёрдугаар байцаагч 0,85 байна. Гаалийн дүрэмд нийцсэн машиныг саатуулахгүй байх магадлалыг ол.

Асуудал 14.Төхөөрөмжийг угсрахад шаардлагатай эд ангиуд нь гүйцэтгэл нь ижил хоёр машинаас гардаг. Машинуудын аль нэг нь стандартыг дунджаар 3%, хоёр дахь нь 2% зөрчсөн тохиолдолд угсрах стандарт хэсгийг хүлээн авах магадлалыг тооцоол.

Асуудал 15.Тухайн жинд багийн оноо авахын тулд тамирчин 200 кг-ын штанг түлхэх ёстой гэж хүндийн өргөлтийн дасгалжуулагч тооцоолжээ. Иванов, Петров, Сидоров нар багт орохын төлөө өрсөлдөж байна. Бэлтгэлийн үеэр Иванов ийм жинг 7 удаа өргөх гэж оролдсон бол 3-т нь өргөсөн байна. Петров 13 тохиолдлын 6-д нь өргөсөн бөгөөд Сидоров штанг амжилттай барих 35% магадлалтай байна. Дасгалжуулагч санамсаргүй байдлаар нэг тамирчныг багтаа сонгоно.

a) Сонгогдсон тамирчин багтаа оноо авчрах магадлалыг ол.
б) Баг ямар ч оноо аваагүй. Сидоров гүйцэтгэсэн магадлалыг ол.

Асуудал 16.Цагаан хайрцагт 12 улаан, 6 цэнхэр бөмбөг байна. Хар өнгөтэй 15 улаан, 10 цэнхэр бөмбөг байна. Шоо шидэж байна. Хэрэв онооны тоо 3-ын үржвэр бол цагаан хайрцагнаас бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар авна. Хэрэв өөр хэдэн оноо өнхрүүлбэл хар хайрцгаас санамсаргүй байдлаар бөмбөг авна. Улаан бөмбөг гарч ирэх магадлал хэд вэ?

Асуудал 17.Хоёр хайрцагт радио хоолой байдаг. Эхний хайрцагт 12 чийдэн байгаа бөгөөд тэдгээрийн 1 нь стандарт бус; хоёр дахь нь 10 чийдэнгийн 1 нь стандарт бус юм. Эхний хайрцагнаас дэнлүүг санамсаргүй байдлаар авч, хоёр дахь хайрцагт хийнэ. Хоёр дахь хайрцагнаас санамсаргүй байдлаар авсан чийдэн нь стандарт бус байх магадлалыг ол.

Асуудал 18.Цагаан бөмбөгийг хоёр бөмбөг агуулсан саванд хийж, дараа нь нэг бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар зурдаг. Бөмбөлгүүдийн анхны найрлагын талаархи бүх таамаглал (өнгө дээр үндэслэн) ижил боломжтой бол гаргаж авсан бөмбөг цагаан өнгөтэй байх магадлалыг ол.

Асуудал 19.Стандарт хэсгийг 3 ижил хэсгийг агуулсан хайрцагт шидээд дараа нь нэг хэсгийг нь санамсаргүй байдлаар арилгадаг. Анхны хайрцагт байгаа стандарт хэсгүүдийн тооны талаархи бүх боломжит таамаглал ижил магадлалтай бол стандарт хэсгийг хасах магадлалыг ол.

Асуудал 20.Радио холбооны чанарыг сайжруулахын тулд хоёр радио хүлээн авагч ашигладаг. Хүлээн авагч бүрийн дохио хүлээн авах магадлал нь 0.8 бөгөөд эдгээр үйл явдлууд (хүлээн авагчийн дохио хүлээн авах) бие даасан байдаг. Хүлээн авагч бүрийн хувьд радио холбооны сессийн үед доголдолгүй ажиллах магадлал 0.9 байвал дохио хүлээн авах магадлалыг тодорхойл.

Дэлгэрэнгүй үзэх: 2154

Нийт магадлалын томъёо ба Бэйсийн томъёо

Асаалттай энэ хичээлбид авч үзэх болно чухал үр дагавар магадлалын нэмэх ба үржүүлэх теоремуудмөн шийдэж сур ердийн даалгаварсэдвээр. тухай нийтлэлийг уншсан уншигчид хамааралтай үйл явдлууд, энэ нь илүү хялбар байх болно, учир нь бид үүнд нийт магадлалын томъёог аль хэдийн ашиглаж эхэлсэн. Хэрэв та хайлтын системээс ирсэн ба/эсвэл ойлгохгүй байгаа бол магадлалын онол (хичээлийн 1-р хичээлийн холбоос), дараа нь би эхлээд эдгээр хуудсуудаар зочлохыг зөвлөж байна.

Үнэндээ, үргэлжлүүлье. Ингээд авч үзье хамааралтай үйл явдал, энэ нь зөвхөн үл нийцэх нэгийг хэрэгжүүлсний үр дүнд тохиолдож болно таамаглал , аль хэлбэр бүтэн бүлэг. Тэдний магадлал болон түүнд харгалзах нөхцөлт магадлалыг мэдэгдье. Дараа нь үйл явдал болох магадлал:

Энэ томъёог гэж нэрлэдэг нийт магадлалын томъёо. Сурах бичигт үүнийг теорем болгон томъёолсон бөгөөд үүний нотолгоо нь энгийн зүйл юм: дагуу үйл явдлын алгебр, (үйл явдал болсон Тэгээд эсвэлүйл явдал болсон Тэгээднэгэн үйл явдал болсны дараа эсвэлүйл явдал болсон Тэгээднэгэн үйл явдал болсны дараа эсвэл …. эсвэлүйл явдал болсон Тэгээдүйл явдал болсны дараа). Таамаглалаас хойш нийцэхгүй, үйл явдал нь хамааралтай, дараа нь дагуу үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем (эхний алхам)Тэгээд хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем (хоёр дахь алхам):

Эхний жишээний агуулгыг олон хүн таамаглаж байгаа байх =)

Хаана ч шүлсээ хаядаг сав байдаг:

Асуудал 1

Гурван ижил сав байна. Эхний саванд 4 цагаан, 7 хар бөмбөлөг, хоёр дахь нь зөвхөн цагаан, гурав дахь нь зөвхөн хар бөмбөлөгтэй. Нэг савыг санамсаргүй байдлаар сонгож, түүнээс бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар гаргаж авдаг. Энэ бөмбөг хар өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл: үйл явдлыг авч үзье - санамсаргүй байдлаар сонгосон савнаас хар бөмбөг сугалах болно. Энэ үйл явдалдараах таамаглалуудын аль нэгний үр дүнд үүсч болно.
- 1-р савыг сонгох болно;
- 2-р савыг сонгох болно;
- 3-р урна сонгогдоно.

Савыг санамсаргүй байдлаар сонгосон тул гурван савны аль нэгийг нь сонгоно адил боломжтой, иймээс:

Дээрх таамаглалууд үүсдэг болохыг анхаарна уу үйл явдлын бүрэн бүлэг, өөрөөр хэлбэл, нөхцөлийн дагуу хар бөмбөг зөвхөн эдгээр савнаас гарч болох бөгөөд жишээлбэл, бильярдны ширээнээс гарч болохгүй. Энгийн завсрын шалгалтыг хийцгээе:
, За, цаашаа явцгаая:

Эхний саванд тус бүр 4 цагаан + 7 хар = 11 бөмбөг байна сонгодог тодорхойлолт:
- хар бөмбөг зурах магадлал үүнийг өгсөн, 1-р урна сонгогдоно.

Хоёр дахь урна нь зөвхөн цагаан бөмбөлөг агуулдаг тул сонгосон болхар бөмбөлөг харагдах болно боломжгүй: .

Эцэст нь, гурав дахь урна нь зөвхөн хар бөмбөлөг агуулдаг бөгөөд энэ нь харгалзах гэсэн үг юм нөхцөлт магадлалхар бөмбөгийг гаргаж авах болно (үйл явдал найдвартай).

- санамсаргүй байдлаар сонгосон савнаас хар бөмбөг сугалах магадлал.

Хариулах:

Шинжилсэн жишээ нь НӨХЦӨЛ-ийг судлах нь хичнээн чухал болохыг дахин харуулж байна. Урсга, бөмбөлөгтэй ижил асуудлуудыг авч үзье - гаднах ижил төстэй байдлаас үл хамааран шийдвэрлэх аргууд нь огт өөр байж болно: хаа нэг газар та зөвхөн хэрэглэх хэрэгтэй. магадлалын сонгодог тодорхойлолт, хаа нэгтээ үйл явдал бие даасан, хаа нэгтээ хамааралтай, мөн хаа нэгтээ бид таамаглалын тухай ярьж байна. Үүний зэрэгцээ шийдлийг сонгох тодорхой албан ёсны шалгуур байдаггүй - та энэ талаар бараг үргэлж бодох хэрэгтэй. Ур чадвараа хэрхэн сайжруулах вэ? Бид шийднэ, бид шийднэ, бид дахин шийднэ!

Асуудал 2

Буудлагын талбай нь янз бүрийн нарийвчлалтай 5 буутай. Тухайн шидэгчийн байг онох магадлал тус тус тэнцүү байна ба 0.4. Хэрэв буудагч санамсаргүй байдлаар сонгосон винтовоос нэг сум хийвэл бай онох магадлал хэд вэ?

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Ихэнх тохиолдолд сэдэвчилсэн даалгавартаамаглалууд нь мэдээжийн хэрэг адил магадлал багатай:

Асуудал 3

Пирамид 5 винтов байдаг бөгөөд тэдгээрийн гурав нь оптик хараагаар тоноглогдсон байдаг. Дурангийн хараатай винтов буугаар буудах үед буудагч бай онох магадлал 0.95; оптик хараагүй винтовын хувьд энэ магадлал 0.7 байна. Буудагч санамсаргүй байдлаар авсан винтовоос нэг удаа буудсан тохиолдолд бай оногдох магадлалыг ол.

Шийдэл: энэ асуудалд винтовын тоо өмнөхтэй яг ижил байна, гэхдээ зөвхөн хоёр таамаглал байна:
- буудагч оптик хараатай винтовыг сонгоно;
- буудагч оптик хараагүй винтовыг сонгоно.
By магадлалын сонгодог тодорхойлолт: .
Хяналт:

Үйл явдлыг авч үзье: - буудагч санамсаргүй байдлаар авсан винтовоор байг ононо.
Нөхцөл байдлын дагуу: .

Нийт магадлалын томъёоны дагуу:

Хариулах: 0,85

Практикт даалгаврыг форматлах богиносгосон арга нь таны мэддэг бөгөөд үүнийг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой.

Шийдэл: By сонгодог тодорхойлолт: - оптик хараатай, оптик хараагүй винтовыг сонгох магадлал.

Нөхцөл байдлын дагуу, - харгалзах төрлийн винтовоос зорилтот онох магадлал.

Нийт магадлалын томъёоны дагуу:
- буудагч санамсаргүй байдлаар сонгосон винтовоор байг онох магадлал.

Хариулах: 0,85

Дараахь ажлыг бие даан шийдвэрлэх шаардлагатай.

Асуудал 4

Хөдөлгүүр нь ердийн, албадан, сул зогсолт гэсэн гурван горимд ажилладаг. Сул зогсолтын үед түүний бүтэлгүйтлийн магадлал 0.05, хэвийн горимд - 0.1, албадан горимд - 0.7 байна. Хөдөлгүүрийн 70% нь хэвийн горимд, 20% нь албадан горимд ажилладаг. Ашиглалтын явцад хөдөлгүүр эвдрэх магадлал хэд вэ?

Магадлалын утгыг авахын тулд хувь хэмжээг 100-д хуваах ёстой гэдгийг сануулъя. Маш болгоомжтой байгаарай! Миний ажигласнаар хүмүүс нийт магадлалын томьёотой холбоотой асуудлын нөхцөлийг төөрөгдүүлэхийг ихэвчлэн оролддог; мөн би энэ жишээг тусгайлан сонгосон. Би чамд нэг нууц хэлье - би бараг л андуурчихлаа =)

Хичээлийн төгсгөлд шийдэл (богино хэлбэрээр форматлагдсан)

Бэйсийн томъёог ашиглах асуудал

Материал нь өмнөх догол мөрийн агуулгатай нягт холбоотой. Таамаглалуудын аль нэгийг хэрэгжүүлсний үр дүнд үйл явдал тохиолдох болтугай . Тодорхой таамаглал гарсан магадлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Үүнийг харгалзан үзвэлтэр үйл явдал аль хэдийн болсон, таамаглалын магадлал хэтрүүлсэнАнглийн тахилч Томас Бэйсийн нэрийг хүлээн авсан томъёоны дагуу:

- таамаглал гарсан байх магадлал;
- таамаглал гарсан байх магадлал;
…
- таамаглал гарсан байх магадлал.

Эхлээд харахад энэ нь утгагүй юм шиг санагдаж байна - хэрэв таамаглал нь аль хэдийн мэдэгдэж байгаа бол яагаад магадлалыг дахин тооцоолох ёстой гэж? Гэхдээ үнэндээ ялгаа бий:

Энэ априори(тооцоолсон руутестүүд) магадлал.

Энэ a posteriori(тооцоолсон дараатуршилт) ижил таамаглалын магадлалыг "шинээр нээсэн нөхцөл байдал" -тай холбогдуулан дахин тооцоолсон - үйл явдлыг харгалзан үзнэ. гарцаагүй болсон.

Энэ ялгааг тодорхой жишээгээр харцгаая.

Асуудал 5

Агуулахад 2 багц бүтээгдэхүүн ирсэн: эхнийх нь - 4000 ширхэг, хоёр дахь нь - 6000 ширхэг. Эхний багцад стандарт бус бүтээгдэхүүний дундаж хувь 20%, хоёр дахь нь 10% байна. Агуулахаас санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн нь стандарт бүтээгдэхүүн болж хувирав. Энэ нь: а) эхний багцаас, б) хоёр дахь багцаас байх магадлалыг ол.

Эхний хэсэг шийдлүүднийт магадлалын томъёог ашиглахаас бүрдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, туршилтыг хийсэн гэсэн таамаглалаар тооцооллыг хийдэг хараахан үйлдвэрлээгүй байнаболон үйл явдал "Бүтээгдэхүүн нь стандарт болсон"хараахан биш.

Хоёр таамаглалыг авч үзье:
- санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн нь 1-р багцаас байх болно;
- санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүнийг 2-р багцаас авна.

Нийт: 4000 + 6000 = 10000 ширхэг нөөцтэй. Сонгодог тодорхойлолтын дагуу:
.

Хяналт:

Хамааралтай үйл явдлыг авч үзье: - агуулахаас санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн стандарт байх болно.

Эхний багцад 100% - 20% = 80% стандарт бүтээгдэхүүн, тиймээс: үүнийг өгсөнэнэ нь 1-р этгээдэд харьяалагддаг.

Үүний нэгэн адил хоёр дахь багцад 100% - 10% = 90% стандарт бүтээгдэхүүн ба - агуулахаас санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн стандарт байх магадлал үүнийг өгсөнэнэ нь 2-р этгээдэд харьяалагддаг.

Нийт магадлалын томъёоны дагуу:
- агуулахаас санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн стандарт байх магадлал.

Хоёрдугаар хэсэг. Агуулахаас санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн нь стандарт болж хувирдаг. Энэ хэллэг нь нөхцөл байдалд шууд илэрхийлэгддэг бөгөөд энэ нь үйл явдал болохыг илтгэнэ болсон.

Бэйсийн томъёоны дагуу:

a) - сонгосон стандарт бүтээгдэхүүн нь 1-р багцад хамаарах магадлал;

b) - сонгосон стандарт бүтээгдэхүүн нь 2-р багцад хамаарах магадлал.

Дараа нь дахин үнэлгээтаамаглалууд нь мэдээжийн хэрэг хэвээр байна бүтэн бүлэг:
(шалгалт;-))

Хариулах:

Мэргэжлээ дахин сольж, үйлдвэрийн захирал болсон Иван Васильевич таамаглалыг дахин үнэлэхийн утгыг ойлгоход бидэнд тусална. Өнөөдөр 1-р цех 4000, 2-р цех 6000 бүтээгдэхүүн агуулахад ачуулсан гэдгийг мэдэж, үүнийг шалгахаар ирдэг. Бүх бүтээгдэхүүн ижил төрлийн, нэг саванд байна гэж бодъё. Мэдээжийн хэрэг, Иван Васильевич түүний одоо хяналтад авах гэж байгаа бүтээгдэхүүнийг 1-р цех, магадгүй хоёрдугаарт үйлдвэрлэсэн байх магадлалтай гэж урьдчилан тооцоолсон. Гэхдээ сонгосон бүтээгдэхүүн нь стандарт болсны дараа тэрээр "Ямар сайхан боолт вэ! "Энэ нь 2-р семинараас илүү гарсан." Тиймээс хоёр дахь таамаглалын магадлалыг хэтрүүлсэн байна илүү сайн тал, мөн эхний таамаглалын магадлалыг дутуу үнэлдэг: . Мөн энэ дахин үнэлгээ нь үндэслэлгүй биш юм - эцэст нь 2-р цех нь илүү их бүтээгдэхүүн үйлдвэрлээд зогсохгүй 2 дахин сайн ажилладаг!

Цэвэр субъективизм гэж та хэлж байна уу? Зарим талаараа - тийм ээ, үүнээс гадна Бэйс өөрөө тайлбарласан a posterioriмагадлал зэрэг итгэлийн түвшин. Гэсэн хэдий ч бүх зүйл тийм ч энгийн биш - Байесийн хандлагад объектив үр тариа бас байдаг. Эцсийн эцэст, бүтээгдэхүүн нь стандарт байх магадлал (1, 2-р семинарт 0,8 ба 0,9 тус тус)Энэ урьдчилсан(а априори) ба дундажүнэлгээ. Гэхдээ философийн үүднээс хэлэхэд бүх зүйл урсаж, бүх зүйл өөрчлөгддөг, тэр дундаа магадлал. Энэ нь бүрэн боломжтой юм судалгаа хийх үедилүү амжилттай болсон 2-р цех нь стандарт бүтээгдэхүүний үйлдвэрлэсэн хувийг нэмэгдүүлсэн (ба/эсвэл 1-р семинар багассан), хэрэв та шалгавал илүүэсвэл бүх 10 мянган бүтээгдэхүүн нөөцөд байгаа бол хэт үнэлэгдсэн үнэ цэнэ нь үнэнд илүү ойр байх болно.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв Иван Васильевич стандарт бус хэсгийг гаргаж авбал эсрэгээрээ тэр 1-р цехээс илүү "сэжигтэй" байх болно, хоёрдугаарт бага байх болно. Би танд үүнийг өөрөө шалгахыг санал болгож байна:

Асуудал 6

Агуулахад 2 багц бүтээгдэхүүн ирсэн: эхнийх нь - 4000 ширхэг, хоёр дахь нь - 6000 ширхэг. Эхний багцад стандарт бус бүтээгдэхүүний дундаж хувь 20%, хоёр дахь нь 10% байна. Агуулахаас санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн нь болж хувирав Үгүйстандарт. Энэ нь: а) эхний багцаас, б) хоёр дахь багцаас байх магадлалыг ол.

Нөхцөл байдал нь хоёр үсгээр ялгагдах бөгөөд үүнийг би тодоор тэмдэглэсэн. Асуудлыг шийдэж болно" цэвэр шифер", эсвэл өмнөх тооцооллын үр дүнг ашиглана уу. Миний хийсэн дээж дээр бүрэн шийдэл, гэхдээ 5-р даалгавартай албан ёсоор давхцахгүйн тулд үйл явдал "Агуулахаас санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн стандарт бус байх болно"-аар заасан.

Магадлалыг дахин тооцоолох Bayesian схем нь хаа сайгүй байдаг бөгөөд үүнийг янз бүрийн төрлийн луйварчид идэвхтэй ашигладаг. Иргэдээс хадгаламж татдаг, хаа нэгтээ хөрөнгө оруулалт хийдэг, тогтмол ногдол ашиг өгдөг гэх мэт нэр хүндтэй гурван үсэгтэй хувьцаат компанийг авч үзье. Юу болоод байна аа? Өдөр, сар, сар өнгөрөх тусам зар сурталчилгаа, амнаас ам дамжсан шинэ баримтууд улам бүр нэмэгдсээр байна. санхүүгийн пирамид (өнгөрсөн үйл явдлуудын улмаас Байесын дахин тооцоолол!). Өөрөөр хэлбэл, хөрөнгө оруулагчдын нүдээр ийм магадлал байнга нэмэгдэж байна "Энэ бол ноцтой компани"; харин эсрэг таамаглалын магадлал ("эдгээр бол илүү луйварчид"), мэдээжийн хэрэг, буурч, буурдаг. Дараах нь миний бодлоор тодорхой байна. Олж авсан нэр хүнд нь зөвхөн боолтгүй төдийгүй өмдгүй үлдсэн Иван Васильевичээс амжилттай нуугдах цагийг зохион байгуулагчдад олгож байгаа нь анхаарал татаж байна.

Бид ижил сонирхолтой жишээнүүд рүү хэсэг хугацааны дараа эргэн орох болно, гэхдээ одоогоор дараагийн алхам нь гурван таамаглал бүхий хамгийн нийтлэг тохиолдол байж магадгүй юм.

Асуудал 7

Цахилгаан чийдэнг гурван үйлдвэрт үйлдвэрлэдэг. 1-р үйлдвэр 30% үйлдвэрлэдэг нийт тоочийдэн, 2-р - 55%, 3-р - үлдсэн хэсэг. 1-р үйлдвэрийн бүтээгдэхүүн нь гэмтэлтэй чийдэнгийн 1%, 2-р - 1.5%, 3-р - 2% -ийг агуулдаг. Дэлгүүр нь бүх гурван үйлдвэрээс бүтээгдэхүүн авдаг. Худалдан авсан чийдэн нь гэмтэлтэй болсон. 2-р үйлдвэр үйлдвэрлэсэн байх магадлал хэд вэ?

Байесийн томьёо дээрх асуудлуудад нөхцөл байдалд байгааг анхаарна уу Заавалтодорхой байдаг юу боловүйл явдал, онд энэ тохиолдолд- чийдэн худалдаж авах.

Үйл явдал нэмэгдсэн, мөн шийдэлҮүнийг "хурдан" хэв маягаар зохион байгуулах нь илүү тохиромжтой.

Алгоритм нь яг адилхан: эхний алхамд бид худалдаж авсан чийдэн нь гэмтэлтэй болох магадлалыг олдог.

Анхны өгөгдлийг ашиглан бид хувь хэмжээг магадлал болгон хувиргадаг.
- чийдэнг 1, 2, 3-р үйлдвэрүүд тус тус үйлдвэрлэсэн байх магадлал.
Хяналт:

Үүний нэгэн адил: - холбогдох үйлдвэрүүдэд гэмтэлтэй чийдэн үйлдвэрлэх магадлал.

Нийт магадлалын томъёоны дагуу:

- худалдан авсан чийдэн гэмтэлтэй байх магадлал.

Хоёрдугаар алхам. Худалдан авсан чийдэнг гэмтэлтэй болгоё (үйл явдал болсон)

Бэйсийн томъёоны дагуу:
- худалдан авсан гэмтэлтэй чийдэнг хоёр дахь үйлдвэр үйлдвэрлэсэн байх магадлал

Хариулах:

Дахин үнэлгээ хийсний дараа 2-р таамаглалын эхний магадлал яагаад нэмэгдсэн бэ? Эцсийн эцэст, хоёр дахь үйлдвэр нь дундаж чанарын чийдэнг үйлдвэрлэдэг (эхнийх нь илүү сайн, гурав дахь нь муу). Тэгвэл яагаад нэмэгдэв a posterioriГэмтэлтэй чийдэн 2-р үйлдвэрийнх байж болох уу? Үүнийг "нэр хүнд"-ээр тайлбарлахаа больсон, харин хэмжээ. 2-р үйлдвэр хамгийн их бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэснээс хойш их тоочийдэн (тэн хагасаас илүү), дараа нь хамгийн багадаа хэт үнэлэх субъектив шинж чанар нь логик юм ("Энэ гэмтэлтэй чийдэн тэндээс байх магадлалтай").

1 ба 3-р таамаглалын магадлалыг хүлээгдэж буй чиглэлд хэтрүүлэн үнэлж, тэнцүү болсон нь сонирхолтой юм.

Хяналт: , үүнийг шалгах шаардлагатай байсан.

Дашрамд хэлэхэд дутуу үнэлэгдсэн, хэтрүүлсэн тооцооллын талаар:

Асуудал 8

IN оюутны бүлэг 3 хүн байна өндөр түвшинсургалт, 19 хүн - дундаж, 3 - бага. Магадлал амжилттай дуусгахЭдгээр оюутнуудын шалгалт нь дараахтай тэнцүү байна: 0.95; 0.7 ба 0.4. Зарим оюутан шалгалтанд тэнцсэн нь мэдэгдэж байна. Үүний магадлал хэд вэ:

а) тэр маш сайн бэлтгэгдсэн;
б) дунд зэргийн бэлтгэлтэй байсан;
в) бэлтгэл муутай байсан.

Тооцооллыг хийж, таамаглалыг дахин үнэлэх үр дүнд дүн шинжилгээ хийх.

Даалгавар нь бодит байдалд ойрхон бөгөөд багш нь тухайн оюутны чадварын талаар бараг ямар ч мэдлэггүй байдаг хагас цагийн оюутнуудын хувьд үнэмшилтэй байдаг. Энэ тохиолдолд үр дүн нь гэнэтийн үр дагаварт хүргэж болзошгүй юм. (ялангуяа 1-р улирлын шалгалтын хувьд). Бэлтгэл муутай оюутан тасалбар авах азтай бол багш нь түүнийг сайн оюутан гэж үзэх магадлалтай. хүчтэй оюутан, энэ нь ирээдүйд сайн ногдол ашиг авчрах болно (мэдээжийн хэрэг, та "хэмжээг өргөж", өөрийн дүр төрхийг хадгалах хэрэгтэй). Оюутан 7 хоног, 7 шөнө суралцаж, чихэж, давтсан ч зүгээр л азгүй байсан бол цаашдын үйл явдлуудхамгийн муу хэлбэрээр хөгжиж болно - олон тооны муллиганууд, устах ирмэг дээр тэнцвэрждэг.

Нэр хүнд бол хамгийн чухал хөрөнгө гэдгийг хэлэх нь илүүц биз ээ, олон корпорациуд 100-200 жилийн өмнө бизнесийг удирдаж, өө сэвгүй нэр хүндээрээ алдаршсан үүсгэн байгуулагч эцгийнхээ нэрийг авч явдаг нь санамсаргүй хэрэг биш юм.

Тийм ээ, Bayesian ойртож байна тодорхой хэмжээгээрсубьектив, гэхдээ ... амьдрал ийм л байдаг!

Материалыг үйлдвэрлэлийн эцсийн жишээгээр нэгтгэж үзье, үүнд би шийдлийн өнөөг хүртэл үл мэдэгдэх техникийн нарийн ширийн зүйлийн талаар ярих болно.

Асуудал 9

Үйлдвэрийн гурван цех нь ижил төрлийн эд анги үйлдвэрлэдэг бөгөөд угсрах зорилгоор нийтлэг саванд илгээдэг. Эхний цех нь 2 удаа үйлдвэрлэдэг нь мэдэгдэж байна илүү дэлгэрэнгүйхоёрдугаар цехээс, гуравдугаар цехээс 4 дахин их. Эхний цехэд гажиг 12%, хоёрдугаарт - 8%, гуравдугаарт - 4% байна. Хяналтын хувьд нэг хэсгийг савнаас авдаг. Энэ нь гэмтэлтэй байх магадлал хэд вэ? Олборлосон гэмтэлтэй хэсгийг 3-р цех үйлдвэрлэсэн байх магадлал хэд вэ?

Иван Васильевич дахиад л морь уналаа =) Кино аз жаргалтай төгсгөлтэй байх ёстой =)

Шийдэл: Бодлого №5-8-аас ялгаатай нь энд асуултыг тодорхой тавьсан бөгөөд үүнийг нийт магадлалын томъёогоор шийддэг. Гэхдээ нөгөө талаас нөхцөл байдал нь бага зэрэг "шифрлэгдсэн" бөгөөд энгийн тэгшитгэл зохиох сургуулийн ур чадвар нь энэ тааврыг шийдвэрлэхэд тусална. Хамгийн бага утгыг "x" гэж авах нь тохиромжтой.

Гуравдугаар цехийн үйлдвэрлэсэн эд ангиудын хувь хэмжээ гэж үзье.

Нөхцөл байдлын дагуу нэгдүгээр цех гуравдугаар цехээс 4 дахин их бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг тул 1-р цехийн эзлэх хувь .

Түүнчлэн нэгдүгээр цех хоёрдугаар цехээс 2 дахин их бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг бөгөөд энэ нь сүүлийнх нь: .

Тэгшитгэл үүсгэж, шийдье:

Ийнхүү: - савнаас гаргаж авсан хэсгийг 1, 2, 3-р цех тус тус үйлдвэрлэсэн байх магадлал.

Хяналт:. Үүнээс гадна, энэ хэллэгийг дахин харах нь буруу биш байх болно “Анхны цех 2 удаа бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг нь мэдэгдэж байна секундээс илүүцех, гуравдугаар цехээс 4 дахин том"олж авсан магадлалын утгууд нь энэ нөхцөлтэй яг тохирч байгаа эсэхийг шалгаарай.

Эхний ээлжинд 1-р эсвэл 2-р цехийн хувийг "X" гэж авч болно - магадлал нь ижил байх болно. Гэхдээ нэг талаараа хамгийн хэцүү хэсгийг даван туулж, шийдэл нь зам дээр байна:

Нөхцөл байдлаас бид олж мэдсэн:
- холбогдох цехүүдэд гэмтэлтэй эд анги үйлдвэрлэх магадлал.

Нийт магадлалын томъёоны дагуу:
- савнаас санамсаргүй байдлаар гаргаж авсан хэсэг нь стандарт бус болох магадлал.

Хоёрдугаар асуулт: олборлосон гэмтэлтэй хэсгийг 3-р цех үйлдвэрлэсэн байх магадлал хэд вэ? Энэ асуултхэсэг нь аль хэдийн хасагдсан бөгөөд гэмтэлтэй болсон гэж үздэг. Бид Байесийн томъёог ашиглан таамаглалыг дахин үнэлнэ.
- хүссэн магадлал. Бүрэн хүлээгдэж буй - эцэст нь гурав дахь цех нь зөвхөн хамгийн бага хэмжээний эд анги үйлдвэрлэдэг төдийгүй чанарын хувьд тэргүүлдэг!

Тэнхимийн багш эмхэтгэсэн дээд математикИшчанов Т.Р. Хичээл №4. Нийт магадлалын томъёо. Таамаглалын магадлал. Бэйсийн томъёо.

Онолын материал
Нийт магадлалын томъёо
Теорем. Бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг үл нийцэх үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдсон тохиолдолд л тохиолдох А үйл явдлын магадлал нь А үйл явдлын харгалзах нөхцөлт магадлалаар эдгээр үйл явдал тус бүрийн магадлалын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

.
Энэ томъёог "нийт магадлалын томъёо" гэж нэрлэдэг.

Баталгаа.Нөхцөл байдлын дагуу үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол А үйл явдал тохиолдож болно. Өөрөөр хэлбэл, А үйл явдал тохиолдох нь үл нийцэх үйл явдлын аль нь ч тохиолдохыг хэлнэ. А үйл явдлын магадлалыг тооцоолохын тулд нэмэх теоремыг ашиглан бид олж авна
. (*)
Нөхцөл бүрийг тооцоолоход л үлддэг. Бид хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремоор
.
Эдгээр тэгшитгэлийн баруун талыг (*) харьцаанд орлуулснаар бид нийт магадлалын томъёог олж авна.

Жишээ 1.Хоёр багц хэсэг байдаг. Эхний багцын хэсэг нь стандарт байх магадлал 0.8, хоёр дахь нь 0.9 байна. Санамсаргүй байдлаар (санамсаргүй байдлаар авсан олонлогоос) авсан хэсэг нь стандарт байх магадлалыг ол.
Шийдэл. “Хадгалж авсан хэсэг нь стандарт” гэсэн үйл явдлыг А-аар тэмдэглэе.
Хэсгийг эхний багцаас (үйл явдал) эсвэл хоёр дахь (үйл явдал) -аас авч болно.
Эхний багцаас хэсгийг авах магадлал нь .
Хоёрдахь олонлогоос хэсгийг авах магадлал нь .
Нөхцөлт магадлалстандарт хэсгийг эхний багцаас гаргаж авах болно, .
Хоёр дахь багцаас стандарт хэсгийг авах нөхцөлт магадлал .
Нийт магадлалын томъёоны дагуу санамсаргүй байдлаар гаргаж авсан хэсэг нь стандарт байх магадлал нь тэнцүү байна.

Жишээ 2.Эхний хайрцагт 20 радио хоолой байгаа бөгөөд үүнээс 18 нь стандарт; Хоёр дахь хайрцагт 10 чийдэн байгаа бөгөөд үүнээс 9 нь стандарт юм. Хоёр дахь хайрцгаас санамсаргүй байдлаар дэнлүү авч, эхний хайрцагт байрлуулна. Эхний хайрцгаас санамсаргүй байдлаар татсан чийдэн стандарт байх магадлалыг ол.
Шийдэл.“Эхний хайрцагнаас стандарт чийдэнг салгасан” үйл явдлыг А-аар тэмдэглэе.
Хоёрдахь хайрцагнаас стандарт чийдэн (үйл явдал) эсвэл стандарт бус чийдэнг (үйл явдал) салгаж болно.
Хоёрдахь хайрцгаас стандарт чийдэнг зайлуулах магадлал .
Хоёр дахь хайрцгаас стандарт бус чийдэнг салгах магадлал
Стандарт чийдэнг хоёр дахь хайрцгаас эхний хайрцаг руу шилжүүлсэн тохиолдолд стандарт чийдэнг эхний хайрцгаас салгах нөхцөлт магадлал нь -тэй тэнцүү байна.
Стандарт бус чийдэнг хоёр дахь хайрцгаас эхний хайрцагт шилжүүлсэн тохиолдолд стандарт чийдэнг эхний хайрцгаас салгах нөхцөлт магадлал нь -тэй тэнцүү байна.
Нийт магадлалын томъёоны дагуу эхний хайрцгаас стандарт чийдэнг зайлуулах шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна.

Таамаглалын магадлал. Бэйсийн томъёо

Бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг үл нийцэх үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдсон тохиолдолд А үйл явдал тохиолдож болно гэж бодъё. Эдгээр үйл явдлуудын аль нь болох нь урьдаас тодорхойгүй тул тэдгээрийг таамаглал гэж нэрлэдэг. А үйл явдал тохиолдох магадлалыг нийт магадлалын томъёогоор тодорхойлно.

Туршилт явагдсан гэж үзье, үүний үр дүнд А үйл явдал үүссэн гэж үзье, таамаглалуудын магадлал хэрхэн өөрчлөгдсөнийг тодорхойлох даалгавар өгье (А үйл явдал аль хэдийн болсон тул). Өөрөөр хэлбэл, нөхцөлт магадлалыг хайх болно

Эхлээд нөхцөлт магадлалыг олъё. Үржүүлэх теоремоор бид байна

Энд P(A) томъёог (*) ашиглан орлуулснаар бид олж авна

Үүний нэгэн адил, үлдсэн таамаглалуудын нөхцөлт магадлалыг тодорхойлдог томьёог гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл аливаа таамаглалын нөхцөлт магадлалыг томъёогоор тооцоолж болно.

Үүссэн томъёог дуудна Бэйсийн томъёо(тэдгээрийг гаргаж авсан Английн математикчийн нэрээр нэрлэгдсэн; 1764 онд хэвлэгдсэн). Бэйсийн томьёо нь А үйл явдал тодорхой болсон туршилтын үр дүнгийн дараа таамаглалын магадлалыг дахин тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог.

Жишээ.Үйлдвэрийн цехийн үйлдвэрлэсэн эд ангиудыг хоёр байцаагчийн аль нэгэнд нь явуулж, стандартыг нь шалгадаг. Хэсэг нь эхний байцаагчид хүрэх магадлал 0.6, хоёр дахь нь 0.4 байна. Тохиромжтой хэсгийг эхний байцаагч стандарт гэж хүлээн зөвшөөрөх магадлал 0.94, хоёрдугаарт 0.98 байна. Шалгалтаар хүчинтэй хэсэг нь стандарт болох нь тогтоогдсон. Эхний байцаагч энэ хэсгийг шалгасан байх магадлалыг ол.
Шийдэл.Тохиромжтой хэсгийг стандарт гэж хүлээн зөвшөөрсөн үйл явдлыг А-аар тэмдэглэе. Хоёр таамаглал дэвшүүлж болно:
1) хэсгийг эхний байцаагч шалгасан (таамаглал);
2) хэсгийг хоёр дахь байцаагч шалгасан (таамаглал). Байесийн томъёог ашиглан эхний байцаагч уг хэсгийг шалгасан байх магадлалыг бид оллоо.

Асуудлын нөхцлийн дагуу бид дараах байдалтай байна.
(хэсэг нь эхний байцаагчид хүрэх магадлал);
(хэсэг нь хоёр дахь байцаагчид хүрэх магадлал);
(тохиромжтой хэсгийг эхний байцаагч стандарт гэж хүлээн зөвшөөрөх магадлал);
(тохиромжтой хэсгийг хоёр дахь байцаагч стандарт гэж хүлээн зөвшөөрөх магадлал).
Шаардлагатай магадлал

Таны харж байгаагаар туршилтын өмнө таамаглалын магадлал 0.6 байсан бөгөөд туршилтын үр дүн тодорхой болсны дараа энэ таамаглалын магадлал (илүү нарийвчлалтай бол нөхцөлт магадлал) өөрчлөгдөж, 0.59-тэй тэнцүү болсон. Тиймээс Бэйсийн томъёог ашигласнаар авч үзэж буй таамаглалын магадлалыг хэт өндөр үнэлэх боломжтой болсон.

Практик материал.
1. (4) Угсрагч нь 1-р үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн 3 хайрцаг эд анги, 2-р үйлдвэрээс 2 хайрцаг эд анги хүлээн авсан. 1-р үйлдвэрийн эд анги стандарт байх магадлал 0.8, 2-р үйлдвэрээс гарсан байх магадлал. нь 0.9, Ассемблер санамсаргүй байдлаар сонгосон хайрцгаас хэсгийг гаргаж авсан. Стандарт хэсгийг салгах магадлалыг ол.
Төлөөлөгч 0.84.
2. (5) Эхний хайрцагт 20 хэсэг байх ба үүнээс 15 нь стандарт; хоёрдугаарт 30 хэсэг, үүнээс 24 нь стандарт; гурав дахь нь 10 хэсэгтэй, үүнээс 6 нь стандарт. Санамсаргүй байдлаар авсан хайрцагнаас санамсаргүй байдлаар авсан хэсэг нь стандарт байх магадлалыг ол.
Төлөөлөгч 43/60.
3. (6) Телевизийн студид 4 кинескоп байдаг. Кинескоп нь баталгаат үйлчилгээний хугацааг тэсвэрлэх магадлал 0.8-тай тэнцүү байна; 0.85; 0.9; 0.95. Санамсаргүй байдлаар авсан кинескоп баталгаат хугацааг тэсвэрлэх магадлалыг ол.
Төлөөлөгч 0.875.
4. (3) Тамирчдын бүлэг нь 20 цаначин, 6 дугуйчин, 4 гүйгчээс бүрдэнэ. Мэргэшлийн стандартыг хангах магадлал дараах байдалтай байна: цаначин - 0.9, дугуйчин - 0.8. ба гүйлтийн хувьд - 0.75. Санамсаргүй байдлаар сонгосон тамирчин норм биелүүлэх магадлалыг ол.
Төлөөлөгч 0.86.
5. (C) Цагаан хайрцагт 12 улаан, 6 цэнхэр бөмбөг байна. Хар өнгөтэй 15 улаан, 10 цэнхэр бөмбөг байна. Шоо шидэж байна. Хэрэв онооны тоо 3-ын үржвэр бол цагаан хайрцагнаас бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар авна. Хэрэв өөр хэдэн оноо өнхрүүлбэл хар хайрцгаас санамсаргүй байдлаар бөмбөг авна. Улаан бөмбөг гарч ирэх магадлал хэд вэ?
Шийдэл:
Хоёр таамаглал байж болно:
– шоо шидэх үед 3-ын үржвэр болох онооны тоо гарч ирнэ, өөрөөр хэлбэл. эсвэл 3 эсвэл 6;
– шоо шидэх үед өөр тооны оноо гарч ирнэ, жишээлбэл. эсвэл 1 эсвэл 2 эсвэл 4 эсвэл 5.
Сонгодог тодорхойлолтын дагуу таамаглалын магадлал дараах байдалтай тэнцүү байна.

Таамаглал нь үйл явдлын бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг тул тэгш байдлыг хангах ёстой

А үйл явдлыг улаан бөмбөлөг харагдахаас бүрдүүлээрэй. Энэ үйл явдлын нөхцөлт магадлал нь ямар таамаглал биелсэнээс хамаардаг бөгөөд үүний дагуу:

Дараа нь нийт магадлалын томъёоны дагуу А үйл явдлын магадлал дараах байдалтай тэнцүү байна.

6. (7) Хоёр хайрцагт радио хоолой байдаг. Эхний хайрцагт 12 чийдэн байгаа бөгөөд тэдгээрийн 1 нь стандарт бус; хоёр дахь нь 10 чийдэнгийн 1 нь стандарт бус юм. Эхний хайрцагнаас дэнлүүг санамсаргүй байдлаар авч, хоёр дахь хайрцагт хийнэ. Хоёр дахь хайрцагнаас санамсаргүй байдлаар авсан чийдэн нь стандарт бус байх магадлалыг ол.
Төлөөлөгч 13/132.

7. (89 D) Цагаан бөмбөгийг хоёр бөмбөг агуулсан саванд хийж, дараа нь нэг бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар зурав. Бөмбөлгүүдийн анхны найрлагын талаархи бүх таамаглал (өнгөт дээр суурилсан) адил боломжтой бол гаргаж авсан бөмбөг цагаан өнгөтэй байх магадлалыг ол.
Шийдэл.Цагаан бөмбөг зурсан үйл явдлыг А-аар тэмдэглэе. Бөмбөлгүүдийн анхны найрлагатай холбоотой дараахь таамаглал (таамаглал) боломжтой: - цагаан бөмбөг байхгүй, - нэг цагаан бөмбөг, - хоёр цагаан бөмбөг.
Нийт гурван таамаглал байгаа бөгөөд нөхцөл байдлын дагуу тэдгээр нь ижил магадлалтай, таамаглалын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү (тэдгээр нь үйл явдлын бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг тул) таамаглал тус бүрийн магадлал. 1/3-тай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. .
Анхны саванд цагаан бөмбөг байхгүй байсан тул цагаан бөмбөг зурах нөхцөлт магадлал, .
Анхны саванд нэг цагаан бөмбөг байсан тул цагаан бөмбөг зурах нөхцөлт магадлал, .
Анхны саванд хоёр цагаан бөмбөлөг байсан тул цагаан бөмбөг зурах нөхцөлт магадлал.
Бид нийт магадлалын томъёог ашиглан цагаан бөмбөг зурахыг хүссэн магадлалыг олно.

8. (10) Стандарт хэсгийг 3 ижил хэсэг агуулсан хайрцагт шидээд дараа нь нэг хэсгийг нь санамсаргүй байдлаар зурна. Хайрцагт байгаа стандарт хэсгүүдийн тооны талаархи бүх боломжит таамаглалууд ижил магадлалтай бол стандарт хэсгийг арилгах магадлалыг ол.
Төлөөлөгч 0.625.

9. (6.5.2л) Радио холбооны чанарыг сайжруулахын тулд хоёр радио хүлээн авагч ашигладаг. Хүлээн авагч бүрийн дохио хүлээн авах магадлал нь 0.8 бөгөөд эдгээр үйл явдлууд (хүлээн авагчийн дохио хүлээн авах) бие даасан байдаг. Хүлээн авагч бүрийн хувьд радио холбооны сессийн үед доголдолгүй ажиллах магадлал 0.9 байвал дохио хүлээн авах магадлалыг тодорхойл.
Шийдэл.
А = үйл явдлыг (дохио хүлээн авах болно) байг. Дөрвөн таамаглалыг авч үзье:

=(эхний хүлээн авагч ажиллаж байна, хоёр дахь нь ажиллахгүй байна);

=(хоёр дахь нь ажилладаг, эхнийх нь ажиллахгүй);

=(хүлээн авагч хоёулаа ажиллаж байна);

=(хоёул хүлээн авагч ажиллахгүй).

А үйл явдал зөвхөн эдгээр таамаглалуудын аль нэгний дор л тохиолдож болно. Дараах үйл явдлуудыг харгалзан эдгээр таамаглалын магадлалыг олцгооё.

=(эхний хүлээн авагч ажиллаж байна),

=(хоёр дахь хүлээн авагч ажиллаж байна).

Хяналт:

Нөхцөлт магадлал нь дараахтай тэнцүү байна.

;

Одоо нийт магадлалын томъёог ашиглан бид хүссэн магадлалыг олно

10. (11) Хэрэв машин хэвийн ажиллагааны горимоос хазайвал С-1 дохиолол 0.8, С-11 дохиолол 1 магадлалаар идэвхждэг. Машин нь С-ээр тоноглогдсон байх магадлал. -1 эсвэл C-11 дохиолол нь 0, 6 ба 0.4-тэй тэнцүү байна. Пулемётыг таслах дохио ирсэн байна. Аль нь илүү магадлалтай вэ: машин нь S-1 эсвэл S-11 дохионы төхөөрөмжөөр тоноглогдсон уу?
Төлөөлөгч Машин нь дохиоллын төхөөрөмжөөр тоноглогдсон байх магадлал S-1 6/11, S-11 5/11 байна.

11. (12) Оюутны эрх олгох спортын тэмцээнд оролцохоор хичээлийн 1-р бүлгээс 4, 2-р бүлгээс 6, 3-р бүлгээс 5 оюутан тус тус хуваарилагдсан. Нэг, хоёр, гуравдугаар бүлгийн оюутан институтын багт орох магадлал 0.9-тэй тэнцүү байна; 0.7 ба 0.8. Тэмцээний үр дүнд санамсаргүй түүврээр сонгогдсон оюутан шигшээ багт шалгарчээ. Энэ оюутан аль бүлэгт багтах магадлалтай вэ?
Төлөөлөгч Нэг, хоёрдугаар, гуравдугаар бүлгийн оюутныг сонгох магадлал нь: 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1.34К) В худалдааны компаниГурван ханган нийлүүлэгчээс 1:4:5 харьцаатай зурагт ирсэн. Дадлагаас харахад 98, 88, 92% -д нь 1, 2, 3-р ханган нийлүүлэгчээс ирж буй телевизорууд баталгаат хугацаанд засвар хийх шаардлагагүй байдаг.
1) Худалдааны компанид хүлээн авсан зурагт баталгаат хугацаанд засвар хийх шаардлагагүй байх магадлалыг ол.
2) Худалдсан зурагт баталгаат хугацаанд засвар хийх шаардлагатай болсон. Энэ зурагт аль нийлүүлэгчээс ирсэн байх магадлалтай вэ?
Шийдэл.
Үйл явдлыг тэмдэглэе: - зурагт i-р ханган нийлүүлэгчээс худалдааны компанид ирсэн (i=1,2,3);
A – ТВ нь баталгаат хугацаанд засвар хийх шаардлагагүй.
Нөхцөлөөр

Нийт магадлалын томъёоны дагуу

Event TV нь баталгаат хугацаанд засвар хийх шаардлагатай болно; .
Нөхцөлөөр

Бэйсийн томъёоны дагуу

;

Тиймээс, үйл явдал тохиолдсоны дараа таамаглалын магадлал нэмэгджээ максимум хүртэл, таамаглал нь максимумаас буурсан; Хэрэв өмнө нь (А үйл явдал болохоос өмнө) хамгийн их магадлалтай таамаглал байсан бол одоо шинэ мэдээлэл(А үйл явдал тохиолдсон), хамгийн магадлалтай таамаглал бол энэ зурагт 2 дахь нийлүүлэгчээс ирэх болно.

13. (1.35К) Үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний дунджаар 95% нь стандартад нийцдэг нь мэдэгдэж байна. Хялбаршуулсан хяналтын схем нь бүтээгдэхүүнийг стандарт бол 0.98, стандарт бус бол 0.06 магадлалаар тохиромжтой гэж хүлээн зөвшөөрдөг. Магадлалыг тодорхойл:
1) санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүнийг хялбаршуулсан хяналтанд оруулна;
2) стандарт бүтээгдэхүүн, хэрэв энэ нь: а) хялбаршуулсан хяналтыг давсан; б) хялбаршуулсан хяналтыг хоёр удаа давсан.
Шийдэл.
1). Үйл явдлыг тэмдэглэе:
- санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн, стандарт эсвэл стандарт бус;
- бүтээгдэхүүн нь хялбаршуулсан хяналтыг давсан.

Нөхцөлөөр

Санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн нь нийт магадлалын томъёоны дагуу хялбаршуулсан хяналтыг давах магадлал:

2, а).Бэйсийн томъёоны дагуу хялбаршуулсан хяналтыг давсан бүтээгдэхүүн стандарт байх магадлал:

2, б).Үйл явдлыг зөвшөөрөх - бүтээгдэхүүн нь хялбаршуулсан хяналтыг хоёр удаа явуулна. Дараа нь магадлалын үржүүлэх теоремоор:

Бэйсийн томъёоны дагуу

маш бага бол хялбаршуулсан хяналтаас хоёр удаа давсан бүтээгдэхүүн нь стандарт бус гэсэн таамаглалыг бараг боломжгүй зүйл гэж үзэхээс татгалзах хэрэгтэй.

14. (1.36К) Хоёр буудагч бие биенээсээ хамааралгүйгээр бай руу буудаж, тус бүр нэг удаа буудаж байна. Эхний шидэгчийн бай онох магадлал 0.8; хоёр дахь нь - 0.4. Буудсаны дараа зорилтот хэсэгт нэг нүх олдсон. Үүнд хамаарах магадлал хэд вэ:
a) 1-р мэргэн бууч;
б) 2 дахь мэргэн бууч?
Шийдэл.
Үйл явдлыг тэмдэглэе:

Буудагчид хоёулаа бай байг алдсан;

Буудагч хоёулаа бай оносон;

1-р буудагч бай оносон, 2-р нь оносонгүй;

1-р мэргэн буудагч байг алдсан бол 2-р буудагч;

Зорилтот нэг нүх байна (нэг цохилт).