Тодорхойлолт. X 1, X 2, ..., X n санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг аль ч x 1, x 2, ..., x n-ийн хувьд үйл явдлууд бие даасан байвал бие даасан гэж нэрлэдэг.
(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.
Тодорхойлолтоос харахад бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд шууд гарч ирнэ X 1, X 2, …, Xnтүгээлтийн функц n- хэмжээст санамсаргүй хувьсагч X = X 1, X 2, …, Xnсанамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцүүдийн үржвэртэй тэнцүү X 1, X 2, …, Xn
Ф(x 1 , x 2, …, x n) = Ф(x 1)Ф(x 2)…Ф(x n). (1)
Тэгш байдлыг ялгаж үзье (1) nудаа x 1 , x 2, …, x n, бид авдаг
х(x 1 , x 2, …, x n) = х(x 1)х(x 2)…х(x n). (2)
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бие даасан байдлын өөр нэг тодорхойлолтыг өгч болно.
Хэрэв нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь бусад санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн ямар боломжит утгуудаас хамаарахгүй бол ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хамтын бие даасан гэж нэрлэдэг.
Тухайлбал, өөр өөр дугаарын хоёр сугалааны тасалбар худалдаж авсан. Болъё X- эхний тасалбар дээрх хожлын хэмжээ, Ю– хоёр дахь тасалбар дээрх хожлын хэмжээ. Санамсаргүй хувьсагч XТэгээд Ю– бие даасан, учир нь нэг тасалбар хожих нь нөгөө тасалбарын хуваарилалтын хуульд нөлөөлөхгүй. Гэхдээ тасалбар нь ижил асуудалтай бол XТэгээд Ю- хамааралтай.
Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бие даасан гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь тархалтын хууль нь нөгөө хувьсагч ямар утгыг авахаас хамаарч өөрчлөгдөхгүй.
Теорем 1(хувиралт) эсвэл "2 санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн нягтын теорем".
Болъё X = (X 1;X 2) – бие даасан тасралтгүй хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн, Ю = X 1+ X 2. Дараа нь түгээлтийн нягтрал
Баталгаа. Хэрэв , тэгвэл гэдгийг харуулж болно
Хаана X = (X 1 , X 2 , …, Xn). Дараа нь бол X = (X 1 , X 2), дараа нь түгээлтийн функц Ю = X 1 + X 2-ыг дараах байдлаар тодорхойлж болно (Зураг 1) –
=
.
Тодорхойлолтын дагуу функц 
нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтрал юм Y = X 1 + X 2, i.e.
p y (т) = 
Q.E.D.
Хоёр бие даасан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн магадлалын тархалтыг олох томьёог гаргая.
Теорем 2.Болъё X 1 , X 2 – бие даасан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн,
, 
, Дараа нь
Баталгаа. Нэг үйл явдлыг төсөөлье А х = {X 1 +X 2 = x) нийлбэрээр үл нийцэх үйл явдлууд
А х = å( X 1 = xби; X 2 = x– x i).
Учир нь X 1 , X 2 - бие даасан П(X 1 = xби; X 2 = x– x i) = П(X 1 = xби) П(X 2 = x - xби), тэгвэл
П(А х) = П(å( X 1 = xби; X 2 = x – x i)) = å( П(X 1 = x i) П(X 2 = x - xби)),
Q.E.D.
Жишээ 1.Болъё X 1 , X 2 – бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй хэвийн тархалтпараметрүүдтэй Н(0;1); X 1 , X 2 ~ Н(0;1).
Тэдний нийлбэрийн тархалтын нягтыг олъё (бид үүнийг тэмдэглэнэ X 1 = x, Ю = X 1 +X 2)
Интеграл функц нь параметртэй хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт юм гэдгийг харахад хялбар байдаг. А= , , i.e. интеграл нь 1-тэй тэнцүү байна.
.
Чиг үүрэг p y(т) нь a = 0, s = параметртэй хэвийн тархалтын нягт юм. Ийнхүү (0,1) параметртэй бие даасан хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр нь (0,1) параметртэй хэвийн тархалттай байна, i.e. Ю = X 1 + X 2 ~ Н(0;).
Жишээ 2. Пуассон тархалттай хоёр салангид бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгье 
, Дараа нь
, (5)
Хаана k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.
Теорем 2-ын дагуу бид:
Жишээ 3.Болъё X 1, X 2 – экспоненциал тархалттай бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн 
. Нягтыг олъё Ю= X 1 +X 2 .
гэж тэмдэглэе x = x 1. Түүнээс хойш X 1, X 2 нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол "хувиралтын теорем"-ийг ашиглана.
Хэрэв нийлбэрийг өгвөл ( Ши l параметртэй экспоненциал тархалттай байна), тэгвэл Ю=тараалттай 
, үүнийг Эрлангийн тархалт гэж нэрлэдэг ( n– 1) захиалга. Ажлыг дуурайж байж энэ хуулийг гаргасан утасны станцуудонолын анхны бүтээлүүдэд дараалал.
Математикийн статистикт бие даасан хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний функц болох санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиудыг ихэвчлэн ашигладаг. Санамсаргүй үзэгдлийг загварчлахад хамгийн их тохиолддог гурван хуулийг авч үзье.
Теорем 3.Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал X 1, ..., Xn, тэгвэл эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний функцууд мөн бие даасан байна Ю 1 = е 1 (X 1), ...,Ү н = fn(Xn).
Пирсоны хуваарилалт(2-оос - хуваарилалт). Болъё X 1, ..., Xn– параметр бүхий бие даасан хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд А= 0, s = 1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн үүсгэцгээе
Хоёр санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүний системийг авч үзье. Хэрэв энэ системийн магадлалын нягтын функц нь хэлбэртэй байвал энэ системийн тархалтын хууль нь хэвийн тархалтын хууль юм
. (1.18.35)
Эндээс харж болно - математикийн хүлээлтсанамсаргүй хэмжигдэхүүн, – тэдгээрийн стандарт хазайлт, – хувьсагчийн корреляцийн коэффициент. (1.18.31) ба (1.18.35) томъёог ашиглан тооцооллыг өгнө
. (1.18.36)
Хэрэв ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд харилцан хамааралгүй бол тэдгээр нь мөн бие даасан байна гэдгийг харахад хялбар байдаг.
.
Тиймээс хэвийн тархалтын хуулийн хувьд хамааралгүй, бие даасан байдал нь ижил төстэй ойлголт юм.
Хэрэв бол санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай болно. Нөхцөлт тархалтын хуулиудыг (1.18.20) томъёогоор тооцоолно.
. (1.18.37)
Хоёр хууль (1.18.37) нь хэвийн тархалтыг илэрхийлдэг. Үнэн хэрэгтээ, жишээ нь, харилцааны хоёр дахь (1.18.37) хэлбэрийг хувиргацгаая
.
Энэ бол үнэхээр хэвийн хуваарилалтын хууль юм нөхцөлт математикийн хүлээлт тэнцүү байна
, (1.18.38)
А нөхцөлт стандарт хазайлт томъёогоор илэрхийлнэ
. (1.18.39)
Тогтмол утгаар хэмжигдэхүүнийг хуваарилах нөхцөлт хуульд зөвхөн нөхцөлт математикийн хүлээлт энэ утгаас хамаардаг боловч тийм биш гэдгийг анхаарна уу. нөхцөлт хэлбэлзэл – .
Асаалттай координатын хавтгайхамаарал (1.18.38) нь шулуун шугам юм
, (1.18.40)
гэж нэрлэдэг регрессийн шугам дээр.
Яг ийм байдлаар тогтоогдсон нөхцөлт хуваарилалттогтсон үнэ цэнээр хэмжигдэхүүн
, (1.18.41)
нөхцөлт математик хүлээлттэй хэвийн тархалт байна
, (1.18.42)
нөхцөлт стандарт хэлбэлзэл
. (1.18.43)
Энэ тохиолдолд регрессийн шугам иймэрхүү харагдаж байна
. (1.18.44)
Регрессийн шугам (1.18.40) ба (1.18.44) нь хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарал шугаман байх үед л давхцдаг. Хэрэв хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан байвал регрессийн шугамууд координатын тэнхлэгүүдтэй параллель байна.
Ажлын төгсгөл -
Энэ сэдэв нь дараах хэсэгт хамаарна.
Математикийн магадлалын онолын математик статистикийн лекцийн тэмдэглэл
хэлтэс дээд математикболон компьютерийн шинжлэх ухаан.. лекцийн тэмдэглэл.. математикийн..
Хэрэв чамд хэрэгтэй бол нэмэлт материалЭнэ сэдвээр, эсвэл та хайж байсан зүйлээ олсонгүй бол манай ажлын мэдээллийн сангаас хайлтыг ашиглахыг зөвлөж байна.
Хүлээн авсан материалыг бид юу хийх вэ:
Хэрэв энэ материал танд хэрэгтэй байсан бол та үүнийг нийгмийн сүлжээн дэх хуудсандаа хадгалах боломжтой.
| Жиргээ |
Энэ хэсгийн бүх сэдвүүд:
Магадлалын онол
Магадлалын онол нь санамсаргүй массын үзэгдлийн зүй тогтлыг судалдаг математикийн салбар юм.
Санамсаргүй үзэгдэл гэж нэрлэдэг
Магадлалын статистик тодорхойлолт
Үйл явдал бол туршлагын үр дүнд (тодорхой бус үзэгдэл) гарч болох эсвэл харагдахгүй байж болох санамсаргүй үзэгдэл юм. Үйл явдлыг латин үсгээр томоор бич
Энгийн үйл явдлын орон зай
Зарим туршлагатай холбоотой олон үйл явдал байг, мөн: 1) туршлагын үр дүнд ганцхан зүйл гарч ирдэг.
Үйл явдал дээрх үйлдлүүд
Хоёр үйл явдлын нийлбэр ба
Дахин зохион байгуулалт
Элементүүдийн өөр өөр сэлгэлтийн тоог дараах байдлаар тэмдэглэнэ
Байршлуулалт
дагуу элементүүдийг байрлуулах замаар
Хослолууд
Элементүүдийн хослол
Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх томъёо Теорем. Хоёрын нийлбэрийн магадлалүл нийцэх үйл явдлууд
нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
(1
Дурын үйл явдлын магадлалыг нэмэх томъёо
Теорем. Хоёр үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь тэдгээрийн үржвэрийн магадлалгүйгээр эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Магадлалын үржүүлэх томъёо
Тохиромжгүй үйл явдлуудын бүрэн бүлэг байг, тэдгээрийг таамаглал гэж нэрлэдэг. Зарим үйл явдлыг авч үзье
Таамаглалын магадлалын томьёо (Бэйс)
Дахин харцгаая - бүтэн бүлэгүл нийцэх таамаглал, үйл явдлууд
Асимптот Пуассоны томъёо
Туршилтын тоо их, үйл явдал тохиолдох магадлалтай тохиолдолд
Санамсаргүй дискрет хэмжигдэхүүнүүд
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь туршилтыг давтах үед тэгш бус утгыг авах боломжтой хэмжигдэхүүн юм. тоон утгууд. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дискрет гэж нэрлэдэг.
Санамсаргүй тасралтгүй хувьсагч
Хэрэв туршилтын үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тодорхой сегментээс эсвэл бүхэлд нь ямар ч утгыг авч болно бодит тэнхлэг, дараа нь тасралтгүй гэж нэрлэдэг. Хууль
Санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын функц
Байцгаая. Нэг цэгийг авч үзээд нэмэгдэл өгье
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар
Санамсаргүй дискрет буюу тасралтгүй хувьсагчдыг тархалтын хуулиуд нь мэддэг бол бүрэн тодорхойлогдсон гэж үзнэ. Үнэн хэрэгтээ, түгээлтийн хуулиудыг мэддэг тул та цохих магадлалыг үргэлж тооцоолж болно
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоо
Санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүний эрэмбийн квантил
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь түүний дундаж утгыг тодорхойлдог. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгыг энэ утгын эргэн тойронд бүлэглэв. Эхлээд санамсаргүй дискрет хэмжигдэхүүнийг авч үзье
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт ба тархалт
Эхлээд санамсаргүй дискрет хэмжигдэхүүнийг авч үзье. Тоон шинж чанарын горим, медиан, квантил ба математикийн хүлээлт
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн моментууд
Математикийн хүлээлт ба тархалтаас гадна магадлалын онолыг ашигладаг тоон шинж чанарсанамсаргүй хэмжигдэхүүний момент гэж нэрлэгддэг дээд эрэмбүүд.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарын тухай теоремууд
Теорем 1. Санамсаргүй бус утгын математикийн хүлээлт нь энэ утгатай тэнцүү байна.
Нотолгоо: Болъё
Бином тархалтын хууль
Пуассоны тархалтын хууль
Санамсаргүй дискрет хувьсагч утгыг авъя
Нэг төрлийн хуваарилалтын хууль
Санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүний тархалтын жигд хууль нь магадлалын нягтын функцийн хууль юм.
Ердийн тархалтын хууль
Санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалтын хууль нь нягтын функцийн хууль юм
Экспоненциал тархалтын хууль Экспоненциал эсвэлэкспоненциал тархалт
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системүүд
Практикт магадлалын онолын хэрэглээнд туршилтын үр дүнг нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр бус хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр нэгэн зэрэг тайлбарлах асуудал байнга тулгардаг.
Хоёр санамсаргүй дискрет хувьсагчийн систем
Хоёр санамсаргүй байг салангид хэмжигдэхүүнүүдтогтолцоог бүрдүүлнэ. Санамсаргүй утга
Хоёр санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүний систем
Одоо системийг хоёр санамсаргүй байдлаар үүсгэе тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүд. Энэ системийн тархалтын хуулийг магадгүй гэж нэрлэдэг
Тархалтын нөхцөлт хуулиуд
Хамааралтай санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдийг үзье
Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тоон шинж чанар
Эхлэх мөчсанамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн дараалал
Хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний систем
Санамсаргүй хоёр хэмжигдэхүүнтэй системийн хувьд олж авсан үр дүнгээс бүрдэх системийн тохиолдлуудад ерөнхийлөж болно ямар ч тоосанамсаргүй хэмжигдэхүүн.
Системийг олонлогоор бүрдүүлье
Магадлалын онолын хязгаарын теоремууд
Магадлалын онолын гол зорилго нь санамсаргүй массын үзэгдлийн зүй тогтлыг судлах явдал юм.
Дадлагаас харахад нэгэн төрлийн санамсаргүй үзэгдлийн массыг ажиглах нь илчлэгддэг
Чебышевын тэгш бус байдал
Математикийн хүлээлттэй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье
Чебышевын теорем
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь хосоороо хамааралгүй бөгөөд хязгаарлагдмал, хамтын хязгаарлагдмал дисперстэй байвал
Бернуллигийн теорем
Туршилтын тоо хязгааргүй нэмэгдэхийн хэрээр үйл явдлын давтамж нь тухайн үйл явдлын магадлалд нийлдэг.
Төвийн хязгаарын теорем
Аливаа тархалтын хуультай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг нэмэхдээ тархалтын хууль Математик статистикийн үндсэн асуудлуудДээр дурдсан магадлалын онолын хуулиуд нь
математик илэрхийлэл
янз бүрийн санамсаргүй массын үзэгдлүүдэд байдаг бодит хэв маяг.
Сурч байна
Энгийн статистик популяци. Статистикийн тархалтын функц Тархалтын хууль нь тодорхойгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье. Туршлагад үндэслэн шаардлагатайСтатистикийн цуврал. баганат график Atих тоо
ажиглалт (зуу зуун орчим)
Магадлалын онолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний янз бүрийн тоон шинж чанаруудыг авч үзсэн: математикийн хүлээлт, тархалт, янз бүрийн эрэмбийн анхны ба төв моментууд. Үүнтэй төстэй тоонууд
Моментийн аргыг ашиглан онолын тархалтыг сонгох
Аливаа статистик тархалт нь ажиглалтын хязгаарлагдмал тоотой холбоотой санамсаргүй байдлын элементүүдийг зайлшгүй агуулдаг. Олон тооны ажиглалтын тусламжтайгаар санамсаргүй байдлын эдгээр элементүүдийг жигдрүүлж,
Хуваарилалтын хуулийн хэлбэрийн талаархи таамаглал үндэслэлтэй эсэхийг шалгах
Өгөгдсөнийг зөвшөөрнө үү статистикийн тархалтзарим онолын муруйгаар ойролцоолсон буюу
Зөвшөөрлийн шалгуур
Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг сайн чанарын шалгууруудын нэг болох Пирсоны шалгуурыг авч үзье.
Таагаарай
Үл мэдэгдэх тархалтын параметрүүдийн цэгийн тооцоо pp. 2.1. – 2.7 Бид эхний болон хоёр дахь үндсэн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар нарийвчлан судалсанматематик статистик
. Эдгээр нь туршилтын өгөгдөл дээр үндэслэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлох асуудал юм
Хүлээлт ба зөрүүний тооцоо
Үл мэдэгдэх математик хүлээлттэй санамсаргүй хэмжигдэхүүн
Итгэлийн интервал. Итгэлийн магадлал
Практикт санамсаргүй хэмжигдэхүүн дээр цөөн тооны туршилт хийснээр үл мэдэгдэх параметрийг ойролцоогоор орлуулах боломжтой. Дээрхийг ашиглацгааяерөнхий арга
нэг асуудлыг шийдэх, тухайлбал хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтын хуулийг олох. Тархалтын нягт нь f(x,y) хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй (X,Y) систем байдаг. 
X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэрийг авч үзье: Z утгын тархалтын хуулийг олъё.Үүний тулд xOy хавтгай дээр тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй шугам байгуулъя. (Зураг 6.3.1). Энэ нь тэнхлэг дээрх z-тэй тэнцүү сегментүүдийг таслах шулуун шугам юм. Чигээрээ 
xOy онгоцыг хоёр хэсэгт хуваадаг; баруун ба түүнээс дээш
; зүүн ба доор D хэсэгтэнэ тохиолдолд
- Зураг дээр сүүдэрлэсэн xOy онгоцны зүүн доод хэсэг. 6.3.1. (6.3.2) томъёоны дагуу бид:
Энэ нь хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн нягтын тархалтын ерөнхий томъёо юм.
X ба Y-тэй холбоотой асуудлын тэгш хэмийн шалтгааны улмаас бид ижил томъёоны өөр хувилбарыг бичиж болно.
Эдгээр хуулиудын найрлагыг гаргах, өөрөөр хэлбэл хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг олох шаардлагатай: .
Тархалтын хуулиудын найрлагын ерөнхий томьёог хэрэгжүүлье.
Эдгээр илэрхийллийг бид өмнө нь тааралдсан томъёонд орлуул
бөгөөд энэ нь тархалтын төвтэй ердийн хуулиас өөр зүйл биш юм
(6.3.3) интегралд ямар ч хувиргалт хийхгүйгээр хаалт нээхгүйгээр бид тэр даруй илтгэгч гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ. квадрат гурвалжин x төрлийнхтэй харьцуулахад
z утгыг А коэффициентэд огт оруулаагүй бол B коэффициентэд нэгдүгээр зэрэглэлд, С коэффициентэд квадратаар тооцно. Үүнийг бодолцож, (6.3.4) томъёог хэрэглэснээр бид g(z) гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ. экспоненциал функц, илтгэгч нь z-тэй харьцуулахад квадрат гурвалжин бөгөөд тархалтын нягт; Энэ төрөл нь ердийн хуульд нийцдэг. Тиймээс бид; Бид цэвэр чанарын дүгнэлтэд хүрэв: z утгын тархалтын хууль хэвийн байх ёстой. Энэ хуулийн параметрүүдийг олохын тулд - ба 
- бид математикийн хүлээлтийг нэмэх теорем ба дисперсийн нэмэх теоремыг ашиглана.
Математикийн хүлээлтийг нэмэх теоремын дагуу 
. Дисперсийн нэмэх теоремоор 
эсвэл 
(6.3.7) томъёо дараах байдалтай байна.
Стандарт хазайлтаас тэдгээртэй пропорциональ магадлалтай хазайлт руу шилжихэд бид дараахь зүйлийг олж авна. 
.
Ингэж бид ирлээ дараагийн дүрэм: хэвийн хуулиудын найрлагаар дахин хэвийн хуулийг олж авч, математикийн хүлээлт ба дисперсийг (эсвэл магадлалын хазайлтын квадрат) нэгтгэн гаргадаг.
Хэвийн хуулиудын бүрдлийн дүрмийг дурын тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнд нэгтгэж болно.
Хэрэв n бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн байгаа бол: дисперсийн төвүүд ба стандарт хазайлттай хэвийн хуулиудад захирагддаг бол утга нь параметртэй хэвийн хуульд хамаарна.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн систем (X, Y) ердийн хуулийн дагуу тархсан боловч X, Y утгууд нь хамааралтай бол өмнөх шигээ үүнийг батлахад хэцүү биш юм. ерөнхий томъёо(6.3.1) хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь мөн хэвийн хууль. Тархалтын төвүүдийг алгебрийн аргаар нэмсэн хэвээр байгаа боловч стандарт хазайлтын хувьд дүрэм илүү төвөгтэй болдог. 
, энд r нь X ба Y утгуудын корреляцийн коэффициент юм.
Бүхэлд нь хэвийн хуульд хамаарах хэд хэдэн хамааралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг нэмэхэд нийлбэрийн тархалтын хууль мөн параметрийн хувьд хэвийн болж хувирдаг.
Энд X i, X j хэмжигдэхүүнүүдийн корреляцийн коэффициент бөгөөд нийлбэр нь бүх хэмжигдэхүүнүүдийн хос хосолсон хослолуудад хамаарна.
Үүнд бид итгэлтэй байна чухал өмчхэвийн хууль: ердийн хуулиудын найрлагаар дахин хэвийн хууль гарна. Энэ бол "тогтвортой байдлын өмч" гэж нэрлэгддэг зүйл юм. Хэрэв ийм төрлийн хоёр хуулийн бүрэлдэхүүн дахин нэг төрлийн хууль гарвал тархалтын хуулийг тогтвортой гэж нэрлэдэг. Ердийн хууль тогтвортой байдгийг бид дээр харуулсан. Маш цөөхөн хуваарилалтын хууль тогтвортой байдлын шинж чанартай байдаг. Нэг жигд нягтын хууль тогтворгүй: 0-ээс 1 хүртэлх хэсгүүдэд жигд нягтын хоёр хуулийг нэгтгэснээр бид Симпсоны хуулийг олж авсан.
Ердийн хуулийн тогтвортой байдал нь түүнийг практикт өргөнөөр ашиглах зайлшгүй нөхцөлүүдийн нэг юм. Гэсэн хэдий ч, ердийнхөөс гадна бусад зарим хуваарилалтын хуулиуд нь тогтвортой байдлын шинж чанартай байдаг. Ердийн хуулийн онцлог нь практикт хангалттай олон тооны найрлагатай байдаг дур зоргоороо хуульХуваарилалтын хувьд нийт хууль нь нэр томьёоны тархалтын хуулиас үл хамааран хэвийн хэмжээнд ойртсон байна. Үүнийг жишээ нь 0-ээс 1 хүртэлх талбайд жигд нягтралын гурван хуулийг зохиох замаар дүрсэлж болно. Үр дүнд нь тархалтын хуулийг g(z) Зураг дээр үзүүлэв. 6.3.1. Зургаас харахад g(z) функцийн график нь хэвийн хуулийн графиктай тун төстэй байна.
Гурав дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье Знь бие даасан хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр юм XТэгээд Ю, тэр бол
Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн нягтрал 
тус тус. Түгээлтийн нягтрал З
Энэ интеграл гэж нэрлэдэг эргэлтэсвэл найрлаганягтрал ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
.
Тиймээс, хэрэв бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг нэгтгэвэл тэдгээрийн тархалтын нягтралыг бууруулна.
Энэ дүрэм нь дурын тооны бие даасан нэр томъёоны нийлбэрт хамаарна. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв
.
Жишээ.Нягттай жигд тархсан X 1 ба X 2 хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтын нягтыг тодорхойлъё.
Эдгээр нягтыг (13.2.1)-д орлуулж, төсөөллийн дагуу интегралчилсны дараа 
бид үүнийг ойлгодог
Энэ нягтыг трапец гэж нэрлэдэг (13.2.1-р зургийг үз). Хэрэв 
, дараа нь трапецын тэгш өнцөгт гурвалжин болж доройтож, харгалзах нягтыг Сипсоны нягт гэж нэрлэдэг.
Зураг 13.2.1 Трапец хэлбэрийн тархалт - хоёр жигд тархалтын эргэлт.
13.3.Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэрийн тархалт
Хэрэв 
,
XТэгээд Юбие даасан, нягтралаар хэвийн тархсан
дараа нь хэмжээ 
Змөн нягтралтайгаар хэвийн тархах болно
,
Энэ баримт нь орлуулалтын дараа эмхэтгэлийн интеграл (13.2.1)-ийг шууд нэгтгэснээр нотлогддог. 
Тэгээд 
.
Илүү ерөнхий мэдэгдэл нь бас үнэн юм: хэрэв
, (13.3.1)
Хаана 
Тэгээд б- тогтмолууд, ба X би
– дундаж утгатай бие даасан хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд 
болон зөрүү 
, Тэр Юмөн дундаж утгаараа хэвийн хувиарлагдана
(13.3.2)
болон хэлбэлзэл
. (13.3.3)
Хэрэв бие даасан хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг нийлбэрлэвэл нийлбэр нь математикийн хүлээлттэй хэвийн тархалттай байх болно. хэмжээтэй тэнцүү байнанэр томъёоны математик хүлээлт ба нэр томъёоны дисперсийн нийлбэртэй тэнцэх дисперс. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв
,
. (13.3.4)
14. Хязгаарын теоремууд
14.1.Их тооны хуулийн тухай ойлголт
Олон нийтийн үзэгдлийн үр дүн нь хувь хүний илрэлээс бага зэрэг хамаардаг нь туршлагаас мэдэгдэж байна. Жишээлбэл, савны хананд хий үзүүлэх даралт нь хийн молекулуудын хананд цохиулсны үр дүн юм. Цохилт бүр нь хүч чадал, чиглэлийн хувьд бүрэн санамсаргүй байдаг хэдий ч үүссэн даралт нь бараг тодорхойлогддог. Биеийн атомуудын хөдөлгөөний дундаж кинетик энергийг тодорхойлдог биеийн температурын талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно. Одоогийн хүч нь энгийн цэнэгийн (электрон) хөдөлгөөний илрэл юм. Тус бүрийн онцлог шинж чанарууд санамсаргүй үзэгдэлийм үзэгдлийн масс нь дундаж үр дүнд бараг нөлөөлдөггүй. Дунджаас санамсаргүй хазайх, бие даасан үзэгдэл бүрт зайлшгүй тохиолдох, харилцан хүчингүй болгож, тэгшилж, бүхэлд нь тэгшилдэг. Үүний үндэс нь дундаж үзүүлэлтүүдийн тогтвортой байдал юм хууль их тоо: олон тооны санамсаргүй үзэгдлүүдийн дунд тэдний дундаж үр дүн бараг санамсаргүй байхаа больж, өндөр итгэлтэйгээр урьдчилан таамаглах боломжтой.
Магадлалын онолд их тооны хуулийг математик теоремуудын цуврал гэж ойлгодог бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь тодорхой нөхцөлд олон тооны туршилтын дундаж шинж чанарууд нь тогтмол утгууд эсвэл хязгаарын тархалтад ойртдог болохыг тогтоодог.
