Хэрэв та гарчгийн асуултыг сонирхож байгаа бол та шинэ сэдэвтэй тулгарсан оюутан эсвэл сургуулийн сурагч байж магадгүй юм. Магадлалын онолын асуудлуудыг одоо ахисан түвшний сургуулийн тавдугаар ангийн сурагчид, улсын нэгдсэн шалгалтын өмнөх ахлах ангийн сурагчид, газарзүйчээс математикч хүртэлх бүх мэргэжлийн оюутнууд шийдэж байна. Энэ ямар төрлийн объект вэ, түүнд хэрхэн хандах вэ?
Магадлал. Энэ юу вэ?
Магадлалын онол, нэрнээс нь харахад магадлалыг авч үздэг. Шинжлэх ухаан хэчнээн хөгжсөн байсан ч үнэн зөв таамаглах боломжгүй олон зүйл, үзэгдлүүд биднийг хүрээлдэг.
Бид тавцангаас санамсаргүй байдлаар ямар карт зурахаа эсвэл 5-р сард хэдэн өдөр бороо орохыг мэдэхгүй байна. Нэмэлт мэдээлэл, бид урьдчилан таамаглах боломжтой ба магадлалыг тооцоолохэдгээр санамсаргүй үйл явдлууд.
Ингээд үндсэн ойлголттой тулгараад байна санамсаргүй үйл явдал- зан төлөвийг урьдчилан таамаглах боломжгүй үзэгдэл, үр дүнг урьдчилан тооцоолох боломжгүй туршилт гэх мэт. Энэ нь ердийн бодлогод тооцоолсон үйл явдлын магадлал юм.
Магадлал- энэ бол 0-ээс 1 хүртэлх утгыг авч, өгөгдсөн санамсаргүй үйл явдлыг тодорхойлдог зарим функц юм. 0 - үйл явдал бараг боломжгүй, 1 - үйл явдал бараг тодорхой, 0.5 (эсвэл "50-аас 50") -тай тэнцүү магадлалүйл явдал болох ч юм уу, үгүй ч юм уу.
Магадлалын асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм
Та магадлалын онолын үндэс, тухайлбал, онлайн сурах бичгээс илүү ихийг мэдэж болно.
Одоо бутыг тойрон зодохгүй, томъёолъё диаграмстандартыг шийдвэрлэхэд ашиглах ёстой Сургалтын зорилгосанамсаргүй үйл явдлын магадлалыг тооцоолох, дараа нь доор Үүнийг жишээгээр тайлбарлаятүүний хэрэглээ.
- Даалгаврыг анхааралтай уншиж, яг юу болж байгааг (ямар хайрцгаас юу гаргаж авсан, хаана хэвтэж байгаа, хэдэн төхөөрөмж ажиллаж байгаа гэх мэт) ойлгоорой.
- "Тооцоо" гэх мэт асуудлын гол асуултыг олоорой магадлал, тэр..." гэж бичээд энэ зууван хэсгийг үйл явдлын хэлбэрээр бичих ба түүний магадлалыг олох ёстой.
- Үйл явдал бүртгэгдсэн байна. Одоо бид шийдлийн томъёог зөв сонгохын тулд асуудал магадлалын онолын аль "схем"-д хамаарахыг ойлгох хэрэгтэй. Хариулж тестийн асуултуудтөрөл:
- нэг тест (жишээлбэл, хоёр шоо хаях) эсвэл хэд хэдэн (жишээлбэл, 10 төхөөрөмжийг шалгах) байдаг;
- хэрэв хэд хэдэн туршилт байгаа бол аль нэгнийх нь үр дүн бусдаас хамааралтай эсэх (үйл явдлын хамаарал эсвэл бие даасан байдал);
- үйл явдал нэг нөхцөл байдалд тохиолддог эсвэл даалгавар нь хэд хэдэн зүйлийг хэлдэг боломжит таамаглалууд(жишээлбэл, бөмбөгийг гурван хайрцагны аль нэгээс нь эсвэл тодорхой нэгээс авдаг).
- Уусмалын хувьд томьёо (эсвэл хэд хэдэн) сонгосон. Бид бүх даалгаврын өгөгдлийг бичиж, энэ томъёонд орлуулна.
- Voila, магадлал олдлоо.
Асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ: Сонгодог магадлал
Жишээ 1. Шалгалтаар 30 сурагчтай бүлэгт 6 сурагч “5”, 10 сурагч “4”, 9 сурагч “3”, үлдсэн нь “2” үнэлгээ авсан. Самбар дээр дуудагдсан 3 сурагч тест дээр “2” авсан байх магадлалыг ол.
Бид дээр дурдсан цэгүүдийн дагуу шийдлийг эхлүүлнэ.
- Асуудалд бид ярьж байнатодорхой болзол хангасан бүлгээс 3 оюутныг сонгох тухай.
- Үндсэн үйл явдлыг оруулна уу $X$ = (Удирдах зөвлөлд дуудагдсан 3 оюутан бүгд тест дээр "2" авсан).
- Даалгаварт зөвхөн нэг тест тохиолдох бөгөөд энэ нь тодорхой нөхцөлд сонгох/сонголттой холбоотой тул магадлалын сонгодог тодорхойлолтын тухай ярьж байна. Томьёог бичье: $P=m/n$, энд $m$ нь $X$ үйл явдал тохиолдоход таатай үр дагаврын тоо, $n$ нь бүгд адилхан боломжтой үр дүнгийн тоо юм. үндсэн үр дүн.
- Одоо бид энэ асуудлын хувьд $ m $ ба $ n $ утгыг олох хэрэгтэй. Эхлээд бүх боломжит үр дүнгийн тоог олъё - 30 сурагчаас 3 сурагчийг сонгох аргын тоог олъё. Сонгох дараалал хамаагүй тул энэ нь 30-аас 3-ын хослолын тоо юм: $$n=C_(30) )^3=\frac(30{3!27!}=\frac{28\cdot 29 \cdot 30}{1\cdot 2 \cdot 3}=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших "2". Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_{5}^3=\frac{5!}{3!2!}=\frac{4 \cdot 5}{1\cdot 2}=10.$$!}
- Бид магадлалыг олж авна: $$P(X)=\frac(m)(n)=\frac(10)(4060)=0.002.$$ Асуудлыг шийдсэн.
Шийдвэр гаргах цаг алга уу? Шийдсэн асуудлыг ол
Асуудлыг шийдэх бэлэн шийдэлмагадлалын онолын аль ч хэсэгт 10,000 гаруй жишээ! Даалгавраа олоорой.
At Аливаа санамсаргүй тохиолдлын магадлалыг үнэлэхдээ бидний сонирхож буй үйл явдлын магадлал () бусад үйл явдлууд хэрхэн хөгжиж байгаагаас хамаарах эсэхийг сайн ойлгох нь маш чухал юм.
Сонгодог схемийн хувьд бүх үр дүн нь ижил магадлалтай үед бид бие даан сонирхож буй үйл явдлын магадлалын утгыг аль хэдийн тооцоолж болно. Үйл явдал нь хэд хэдэн үндсэн үр дүнгийн цогц цуглуулга байсан ч бид үүнийг хийж чадна. Хэд хэдэн санамсаргүй үйл явдал нэгэн зэрэг эсвэл дараалан тохиолдвол яах вэ? Энэ нь бидний сонирхож буй үйл явдлын магадлалд хэрхэн нөлөөлөх вэ?
Хэрвээ би хэд хэдэн удаа шидээд зургаа гараасай гэж хүсч, азгүйдсээр байвал магадлалын онолын дагуу би азтай болох гэж байгаа учраас бооцоогоо нэмэгдүүлэх ёстой гэсэн үг үү? Харамсалтай нь магадлалын онолд ийм зүйл байдаггүй. Ямар ч шоо, карт, зоос байхгүй санаж чадахгүй байна Тэд бидэнд юу үзүүлэв сүүлийн удаа. Өнөөдөр би анх удаагаа эсвэл арав дахь удаагаа азаа сорьж байгаа нь тэдэнд огт хамаагүй. Би өнхрөлтийг давтах болгондоо нэг л зүйлийг мэддэг: энэ удаад зургаа авах магадлал дахин зургаагийн нэг юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь надад хэрэгтэй дугаар хэзээ ч гарч ирэхгүй гэсэн үг биш юм. Энэ нь зөвхөн эхний шидэлтийн дараа болон бусад шидэлтийн дараа миний хожигдол бие даасан үйл явдал болно гэсэн үг юм.
А ба В үйл явдлуудыг дуудна бие даасан, хэрэв тэдгээрийн аль нэгийг хэрэгжүүлэх нь өөр үйл явдлын магадлалд ямар нэгэн байдлаар нөлөөлөхгүй бол. Тухайлбал, хоёр зэвсгийн эхнийх нь байг онох магадлал нь нөгөө зэвсгийн бай оносон эсэхээс хамаардаггүй тул “эхний зэвсэг бай оносон”, “хоёр дахь зэвсэг байг оносон” үйл явдлууд дараах байдалтай байна. бие даасан.
Хэрэв А ба В хоёр үйл явдал нь бие даасан бөгөөд тус бүрийн магадлал нь мэдэгдэж байвал А үзэгдэл ба В (AB гэж тэмдэглэсэн) хоёулаа нэгэн зэрэг тохиолдох магадлалыг дараах теоремоор тооцоолж болно.
Бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теорем
P(AB) = P(A)*P(B)- магадлал нэгэн зэрэгхоёрын эхлэл бие даасанүйл явдал тэнцүү байна ажилэдгээр үйл явдлын магадлал.Жишээ.Эхний болон хоёр дахь буугаар буудах үед бай онох магадлал нь тэнцүү байна: p 1 =0.7;
p 2 =0.8. Хоёр буу нэгэн зэрэг нэг цохилтоор цохих магадлалыг ол.Шийдэл:
Бидний аль хэдийн харсанчлан А (эхний буугаар цохисон) ба В (хоёр дахь буугаар цохисон) үйл явдлууд бие даасан, өөрөөр хэлбэл. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0.56.
Жишээ.Анхны үйл явдлууд бие даасан биш бол бидний тооцоолол юу болох вэ? Өмнөх жишээг бага зэрэг өөрчилье. Тэмцээний үеэр хоёр мэргэн буудагч бай руу бууддаг бөгөөд хэрэв тэдний нэг нь оновчтой харвавал өрсөлдөгч нь сандарч, үр дүн нь улам дорддог. Энэ өдөр тутмын нөхцөл байдлыг хэрхэн өөрчлөх вэматематикийн асуудал түүнийг шийдвэрлэх арга замыг тоймлосон уу? Бид ямар нэгэн байдлаар хоёр сонголтыг салгах шаардлагатай байгаа нь ойлгомжтойхөгжил , үндсэндээ хоёр хувилбарыг үүсгэнэ, хоёр. Эхний тохиолдолд, хэрэв өрсөлдөгч нь алдсан бол нөхцөл байдал нь мэдрэлийн тамирчдад таатай байх бөгөөд түүний нарийвчлал өндөр байх болно. Хоёр дахь тохиолдолд, хэрэв өрсөлдөгч нь боломжоо ашигласан бол хоёр дахь тамирчны бай онох магадлал буурдаг.
Тусгаарлахын тулд боломжит хувилбарууд(тэдгээрийг ихэвчлэн таамаглал гэж нэрлэдэг) үйл явдлыг хөгжүүлэхийн тулд бид "магадлалын мод" диаграммыг ихэвчлэн ашигладаг. Энэ диаграм нь таны аль хэдийн харьцаж байсан шийдвэрийн модтой төстэй юм. Салбар бүр нь үйл явдлын хөгжлийн тусдаа хувилбарыг төлөөлдөг бөгөөд одоо л ийм байнахувийн утга гэж нэрлэгддэгнөхцөлт
магадлал (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).
Энэ схем нь дараалсан санамсаргүй үйл явдлыг шинжлэхэд маш тохиромжтой. Магадлалын анхны утгууд хаана байдаг вэ гэсэн өөр нэг чухал асуултыг тодруулах шаардлагатай байна бодит нөхцөл байдал
Жишээ.? Эцсийн эцэст магадлалын онол зөвхөн зоос, шоо дээр ажилладаггүй гэж үү? Ихэвчлэн эдгээр тооцоог статистик мэдээллээс авдаг бөгөөд статистик мэдээлэл байхгүй үед бид өөрсдөө судалгаа хийдэг. Мөн бид үүнийг ихэвчлэн өгөгдөл цуглуулахаас биш, харин бидэнд ямар мэдээлэл хэрэгтэй вэ гэсэн асуултаас эхлэх хэрэгтэй болдог. Зуун мянган оршин суугчтай хотод зайлшгүй шаардлагатай бүтээгдэхүүн биш, жишээлбэл, будсан үс арчилгааны гавар гэх мэт шинэ бүтээгдэхүүний зах зээлийн хэмжээг тооцоолох хэрэгтэй гэж бодъё. "Магадлалын мод" диаграммыг авч үзье. Энэ тохиолдолд бид "салбар" бүрийн магадлалын утгыг ойролцоогоор тооцоолох хэрэгтэй.
Тиймээс, бидний зах зээлийн багтаамжийн тооцоо:
1) хотын нийт оршин суугчдын 50% нь эмэгтэйчүүд,
2) бүх эмэгтэйчүүдийн зөвхөн 30% нь үсээ байнга буддаг;
3) тэдний зөвхөн 10% нь будсан үсэнд зориулсан бальзам хэрэглэдэг.
4) тэдний зөвхөн 10% нь шинэ бүтээгдэхүүн туршиж үзэх зоригийг гаргаж чаддаг.
p 2 =0.8. Хоёр буу нэгэн зэрэг нэг цохилтоор цохих магадлалыг ол. 5) Тэдний 70% нь ихэвчлэн бүх зүйлийг биднээс биш, харин өрсөлдөгчдөөсөө худалдаж авдаг.
Магадлалыг үржүүлэх хуулийн дагуу бид сонирхож буй үйл явдлын магадлалыг A = (хотын оршин суугч биднээс энэ шинэ бальзамыг худалдаж авдаг) = 0.00045 гэж тодорхойлдог.
Энэ магадлалын утгыг хотын оршин суугчдын тоогоор үржүүлье. Үүний үр дүнд манайд 45 боломжит худалдан авагч байгаа бөгөөд энэ бүтээгдэхүүний нэг шил хэдэн сарын турш хадгалагддагийг бодоход худалдаа тийм ч идэвхтэй биш байна.
Гэсэн хэдий ч бидний үнэлгээний үр ашиг бий.
Нэгдүгээрт, бид янз бүрийн бизнесийн санаануудын таамаглалыг харьцуулж болно, тэдгээр нь диаграммд өөр өөр "салаа" байх бөгөөд мэдээжийн хэрэг, магадлалын утга нь өөр байх болно. Хоёрдугаарт, бид аль хэдийн хэлсэнчлэн,Юунаас ч хамааралгүй учраас санамсаргүй гэж нэрлэдэггүй. Зүгээр л тэр ягутгыг нь урьдчилж мэддэггүй. Худалдан авагчдын дундаж тоог нэмэгдүүлэх боломжтой гэдгийг бид мэднэ (жишээлбэл, шинэ бүтээгдэхүүнийг сурталчлах замаар). Тиймээс магадлалын хуваарилалт нь бидэнд тохирохгүй байгаа "салаа" дээр, бидний нөлөөлж чадах хүчин зүйлүүд дээр хүчин чармайлтаа төвлөрүүлэх нь утга учиртай юм.
Дахиад нэгийг харцгаая тоон жишээхудалдан авах зан үйлийн талаархи судалгаа.
Жишээ.Хүнсний захаар өдөрт дунджаар 10 мянган хүн үйлчлүүлдэг. Захын зочин павильон руу орох магадлал сүүн бүтээгдэхүүн, 1/2-тай тэнцүү байна.
Энэ асарт өдөрт дунджаар 500 кг төрөл бүрийн бүтээгдэхүүн худалдаалдаг нь мэдэгдэж байна.
Павильон дахь дундаж худалдан авалт ердөө 100 гр жинтэй гэж хэлж болох уу?Хэлэлцүүлэг.
Мэдээж үгүй. Павильонд орсон хүн бүр тэндээс юм худалдаж аваагүй нь ойлгомжтой.
Диаграммд үзүүлсэнчлэн, худалдан авалтын дундаж жингийн талаархи асуултанд хариулахын тулд павильонд орж буй хүн тэнд ямар нэгэн зүйл худалдаж авах магадлал хэд вэ гэсэн асуултын хариултыг олох ёстой. Хэрэв бидэнд ийм мэдээлэл байхгүй, гэхдээ бидэнд хэрэгтэй бол павильонд ирсэн зочдыг хэсэг хугацаанд ажиглаж байж өөрсдөө олж авах хэрэгтэй болно. Бидний ажиглалтаар павильоноор зочилсон хүмүүсийн тавны нэг нь л юм худалдаж авдаг гэж бодъё. Эдгээр тооцооллыг олж авсны дараа даалгавар хялбар болно. Зах зээлд 10 мянган хүн ирэхээс 5000 нь сүүн бүтээгдэхүүний павильон руу явна;Дундаж жин худалдан авалт нь 500 граммтай тэнцэнэ. барих нь сонирхолтой юмбүрэн зураг
тохиолдож байгаа бол нөхцөлт "салбарлах" логик нь бидний үндэслэлийн үе шат бүрт магадлалаар биш харин "тодорхой" нөхцөл байдалд ажиллаж байгаа мэт тодорхой тодорхойлогдох ёстой.
Өөрийгөө шалгах даалгавар 1. Байгцахилгаан хэлхээ
, тус бүр нь бусдаас хамааралгүй ажилладаг n цуврал холбогдсон элементээс бүрддэг.
Элемент бүрийн бүтэлгүйтлийн магадлал p нь мэдэгдэж байна. Хэлхээний бүх хэсгийн зөв ажиллах магадлалыг тодорхойл (А үйл явдал). 2. Оюутан 25-аас 20-ыг мэддэгшалгалтын асуултууд
3. Үйлдвэрлэл нь дараалсан дөрвөн үе шатаас бүрдэх ба эдгээр үе шат бүрт тоног төхөөрөмж ажилладаг бөгөөд дараагийн сард эвдрэх магадлал нь p 1, p 2, p 3 ба p 4-тэй тэнцүү байна. Сарын дотор тоног төхөөрөмжийн эвдрэлээс болж үйлдвэрлэл зогсохгүй байх магадлалыг ол.
"Ядаж нэг" гэсэн хэллэг гарч ирдэг асуудлын талаар ярилцъя. Та гэртээ ийм даалгавартай тулгарч байсан нь лавтай туршилтууд, одоо та тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно. Эхлээд би ярих болно ерөнхий дүрэм, дараа нь тусгай тохиолдлыг авч үзээд тус бүрд нь томьёо, жишээг бич.
Ерөнхий арга зүй, жишээ
Ерөнхий техник"Ядаж нэг" гэсэн хэллэг гарсан асуудлыг шийдэхийн тулд дараах байдалтай байна.
Одоо үүнийг жишээгээр харцгаая. Урагшаа!
Жишээ 1. Хайрцаг нь стандарт 25, ижил төрлийн 6 гэмтэлтэй эд ангитай. Санамсаргүй байдлаар сонгосон гурван хэсгээс ядаж нэг нь гэмтэлтэй байх магадлал хэд вэ?
Бид шууд цэгээр ажилладаг.
1.
Бид асуудлын мэдэгдлээс магадлалыг шууд олох ёстой үйл явдлыг бичнэ.
$A$ =(Сонгосон 3 хэсгээс ядаж нэггэмтэлтэй).
2. Дараа нь эсрэг үйл явдлыг дараах байдлаар томъёолно: $\bar(A)$ = (Сонгосон 3 мэдээлэлээс аль нь ч бишгэмтэлтэй) = (Бүх сонгосон 3 хэсэг нь стандарт байх болно).
3. Одоо бид $\bar(A)$ үйл явдлын магадлалыг хэрхэн олохыг ойлгох хэрэгтэй, үүний тулд бид асуудлыг дахин авч үзэх болно: бид хоёр төрлийн объектын тухай ярьж байна (гажигтай хэсэг ба бус), үүнээс тодорхой зүйл гарч ирнэ. гаргаж авсан объектын тоо (гажигтай эсвэл үгүй). Энэ асуудлыг магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг ашиглан шийддэг (илүү нарийвчлалтай, гипергеометрийн магадлалын томъёог ашиглан энэ тухай нийтлэлээс дэлгэрэнгүй уншина уу).
Эхний жишээний хувьд бид шийдлийг нарийвчлан бичиж, дараа нь товчилно (мөн та дээрх холбоосоос бүрэн заавар, тооцоолуурыг олох болно).
Нэгдүгээрт, нийт үр дүнгийн тоог олъё - энэ нь хайрцагт байгаа 25+6=31 хэсгээс бүрдсэн багцаас дурын 3 хэсгийг сонгох аргын тоо юм. Сонгох дараалал нь чухал биш тул бид 3-ын 31 объектын хослолын тоог тооцоолох томъёог ашиглана: $n=C_(31)^3$.
Одоо үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоо руу шилжье. Үүнийг хийхийн тулд сонгосон бүх 3 хэсэг нь стандарт байх ёстой, тэдгээрийг $m = C_(25)^3$ хэлбэрээр сонгож болно (хайрцагт яг 25 стандарт хэсэг байгаа тул).
магадлал нь:
$$ P(\bar(A))=\frac(m)(n)=\frac(C_(25)^3 )(C_(31)^3) = \frac(23 \cdot 24\cdot 25) (29\cdot 30\cdot 31) =\frac(2300)(4495)= 0.512. $$
4. Дараа нь хүссэн магадлал нь:
$$ P(A)=1-P(\bar(A))=1- 0,512 = 0,488. $$
Хариулт: 0.488.
Жишээ 2. 36 картын тавцангаас 6 картыг санамсаргүй байдлаар авдаг. Авсан хөзрийн дунд дор хаяж хоёр хүрз байх магадлалыг ол.
1. Бид үйл явдлыг бүртгэдэг $A$ =(Сонгосон 6 картаас байх болно дор хаяж хоёроргилууд).
2. Дараа нь эсрэг үйл явдлыг дараах байдлаар томъёолно: $\bar(A)$ = (Сонгосон 6 картаас 2 хүрзээс бага байх болно) = (Сонгосон 6 картаас яг 0 эсвэл 1 хүрз, үлдсэн нь өөр костюм).
Сэтгэгдэл. Би энд зогсоод хийх болно жижиг тэмдэглэл. Хэдийгээр тохиолдлын 90% -д "эсрэг үйл явдал руу явах" техник төгс ажилладаг ч анхны үйл явдлын магадлалыг олоход хялбар тохиолдол байдаг. IN энэ тохиолдолд, хэрэв та $A$ үйл явдлын магадлалыг шууд хайвал 5 магадлалыг, $\bar(A)$ үйл явдлын хувьд ердөө 2 магадлалыг нэмэх шаардлагатай. Гэхдээ хэрэв асуудал "6 картаас дор хаяж 5 нь оргил" байсан бол нөхцөл байдал эсрэгээрээ эргэж, анхны асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбар байх болно. Хэрэв би дахин зааварчилгаа өгөхийг оролдвол би үүнийг хэлэх болно. Та "дор хаяж нэг" гэж харж байгаа ажлуудад эсрэг үйл явдал руу шилжих боломжтой. Хэрэв бид "дор хаяж 2, дор хаяж 4 гэх мэт" тухай ярьж байгаа бол та тоолоход хялбар юу болохыг олж мэдэх хэрэгтэй.
3. Бид асуудал руугаа буцаж, магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг ашиглан $\bar(A)$ үйл явдлын магадлалыг олно.
Үр дүнгийн нийт тоо (36 картаас дурын 6 карт сонгох арга) нь $n=C_(36)^6$ (тооцоолуур) байна.
Үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоог олцгооё. $m_0 = C_(27)^6$ - оргил бус костюмны бүх 6 картыг сонгох аргын тоо (тэдгээрийн тавцан дээр 36-9=27 байна), $m_1 = C_(9)^1 \cdot C_(27)^5$ - хүрз костюмны 1 картыг (9-өөс) болон бусад 5 костюмыг (27-оос) сонгох аргыг дугаарлана.
$$ P(\bar(A))=\frac(m_0+m_1)(n)=\frac(C_(27)^6+C_(9)^1\cdot C_(27)^5 )(C_( 36)^6) =\frac(85215)(162316)= 0.525. $$
4. Дараа нь хүссэн магадлал нь:
$$ P(A)=1-P(\bar(A))=1- 0,525 = 0,475. $$
Хариулт: 0.475.
Жишээ 3. Уг саванд 2 цагаан, 3 хар, 5 улаан бөмбөг байна. Гурван бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар зурдаг. Сугалсан бөмбөгнүүдийн дунд дор хаяж хоёр бөмбөг байх магадлалыг ол өөр өнгө.
1. Бид үйл явдлыг бүртгэдэг $A$ =(3 сугалсан бөмбөг дунд дор хаяж хоёрөөр өнгө). Жишээлбэл, "2 улаан бөмбөг, 1 цагаан", эсвэл "1 цагаан, 1 хар, 1 улаан", "2 хар, 1 улаан" гэх мэт олон сонголт байдаг. Эсрэг үйл явдал руу шилжих дүрмийг туршиж үзье.
2. Дараа нь эсрэг үйл явдлыг дараах байдлаар томъёолно: $\bar(A)$ = (Гурван бөмбөг ижил өнгөтэй байна) = (3 хар бөмбөг эсвэл 3 улаан бөмбөг сонгогдоно) - ердөө 2 сонголт байгаа нь энэ аргыг хэлнэ. шийдэл нь тооцооллыг хялбаршуулдаг. Дашрамд хэлэхэд бүх бөмбөг цагаансонгох боломжгүй, учир нь тэдгээрийн ердөө 2 нь байдаг бөгөөд 3 бөмбөг татагдсан байдаг.
3. Үр дүнгийн нийт тоо (2+3+5=10 бөмбөгөөс дурын 3 бөмбөг сонгох арга) нь $n=C_(10)^3=120$ байна.
Үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоог олцгооё. $m = C_(3)^3+C_(5)^3=1+10=11$ - 3 хар бөмбөг (3-аас) эсвэл 3 улаан бөмбөг (5-аас) сонгох аргын тоо.
$$ P(\bar(A))=\frac(m)(n)=\frac(11)(120). $$
4. Шаардлагатай магадлал:
$$ P(A)=1-P(\bar(A))=1- \frac(11)(120)=\frac(109)(120) = 0.908. $$
Хариулт: 0.908.
Онцгой тохиолдол. Бие даасан үйл явдлууд
Цаашид хэд хэдэн асуудлын ангилалд орцгооё бие даасан үйл явдлууд(сум тусах, гэрлийн чийдэн шатах, машин асах, ажилчид янз бүрийн магадлалаар өвддөг гэх мэт) танд хэрэгтэй. "Ядаж нэг үйл явдал болох магадлалыг ол". Энэ нь янз бүрээр сонсогдож магадгүй: "гурваас дор хаяж нэг нь бай онох магадлалыг ол", "хоёр автобусны ядаж нэг нь буудалд цагтаа ирэх магадлалыг ол", " Дөрвөн элементээс бүрдсэн төхөөрөмжийн дор хаяж нэг элемент жилийн дотор бүтэлгүйтэх магадлал" гэх мэт.
Дээрх жишээн дээр бид магадлалын сонгодог томъёог ашиглах тухай ярьж байсан бол энд үйл явдлын алгебр руу орж, магадлалыг нэмэх, үржүүлэх томъёог ашигладаг (жижиг онол).
Тэгэхээр $A_1, A_2,...,A_n$ хэд хэдэн бие даасан үйл явдлуудыг авч үзсэн бөгөөд тохиолдол бүрийн магадлал нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд $P(A_i)=p_i$ ($q_i=1-p_i$)-тай тэнцүү байна. Дараа нь туршилтын үр дүнд дор хаяж нэг үйл явдал тохиолдох магадлалыг томъёогоор тооцоолно
$$ P=1-q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n. \quad(1) $$
Хатуухан хэлэхэд энэ томъёог үндсэн техникийг хэрэглэснээр олж авдаг "эсрэг арга хэмжээнд очих". Үнэн хэрэгтээ, $A$=($A_1, A_2,...,A_n$-аас дор хаяж нэг үйл явдал тохиолдох болно), дараа нь $\bar(A)$ = (Үйл явдлын аль нь ч тохиолдохгүй), энэ нь:
$$ P(\bar(A))=P(\bar(A_1) \cdot \bar(A_2) \cdot ... \bar(A_n))=P(\bar(A_1)) \cdot P(\ bar(A_2)) \cdot ... P(\bar(A_n))=\\ =(1-P(A_1)) \cdot (1-P(A_2)) \cdot ... (1-P( A_n))=\\ =(1-p_1) \cdot (1-p_2) \cdot ... (1-p_n)=q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n,\\ $$ бидний томьёог аваарай $$ P(A)=1-P(\bar(A))=1-q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n. $$
Жишээ 4. Уг нэгж нь бие даасан ажиллагаатай хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Эд анги эвдрэх магадлал 0.05 ба 0.08 байна. Хэрэв ядаж нэг хэсэг нь доголдоход хангалттай бол нэгжийн эвдрэл гарах магадлалыг ол.
Үйл явдал $A$ =(Зангилаа амжилтгүй болсон) = (Хоёр хэсгийн ядаж нэг нь амжилтгүй болсон). Бие даасан үйл явдлуудыг танилцуулъя: $A_1$ = (Эхний хэсэг амжилтгүй болсон) ба $A_2$ = (Хоёр дахь хэсэг амжилтгүй болсон). Нөхцөлөөр $p_1=P(A_1)=0.05$, $p_2=P(A_2)=0.08$, дараа нь $q_1=1-p_1=0.95$, $q_2=1-p_2=0, $92. Томъёо (1)-ийг ашиглаад дараахийг авцгаая.
$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2 = 1-0.95\cdot 0.92=0.126. $$
Хариулт: 0,126.
Жишээ 5. Оюутан өөрт хэрэгтэй томъёогоо гурван лавлах номноос хайдаг. Томъёоны эхний лавлахад агуулагдах магадлал 0.8, хоёрдугаарт - 0.7, гуравдугаарт - 0.6 байна. Томьёог дор хаяж нэг лавлах номонд агуулагдах магадлалыг ол.
Бид ижил аргаар явна. Гол үйл явдлыг авч үзье
$A$ =(Томьёог дор хаяж нэг лавлах номонд оруулсан болно). Бие даасан үйл явдлуудыг танилцуулъя:
$A_1$ = (Томьёо нь эхний лавлах номонд байгаа),
$A_2$ = (Томъёо нь хоёр дахь лавлах номонд байгаа),
$A_3$ = (Томъёо нь гурав дахь лавлах номонд байгаа).
Нөхцөлөөр $p_1=P(A_1)=0.8$, $p_2=P(A_2)=0.7$, $p_3=P(A_3)=0.6$, дараа нь $q_1=1-p_1=0 ,2$, $q_2 =1-p_2=0.3$, $q_3=1-p_3=0.4$. Томъёо (1)-ийг ашиглаад дараахийг авцгаая.
$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2\cdot q_3 = 1-0.2\cdot 0.3\cdot 0.4=0.976. $$
Хариулт: 0,976.
Жишээ 6. Нэг ажилчин бие биенээсээ хамааралгүй ажилладаг 4 машин ажиллуулдаг. Нэг ээлжийн машинд ажилчдын анхаарал хандуулах магадлал 0.3, хоёр дахь нь 0.6, гурав дахь нь 0.4, дөрөв дэх нь 0.25 байна. Ээлжийн үед дор хаяж нэг машин нь мастерын анхаарал шаарддаггүй байх магадлалыг ол.
Та шийдлийн зарчмыг аль хэдийн ойлгосон гэж бодож байна, цорын ганц асуулт бол үйл явдлын тоо, гэхдээ энэ нь шийдлийн нарийн төвөгтэй байдалд нөлөөлөхгүй (ялгаатай нь нийтлэг даалгавармагадлалыг нэмэх, үржүүлэх тухай). Болгоомжтой байгаарай, магадлалыг "анхаарал шаардах болно" гэж зааж өгсөн боловч асуудлын асуулт бол "дор хаяж нэг машин анхаарал тавих шаардлагагүй" юм. Ашиглахын тулд та үндсэн үйл явдлуудтай ижил (энэ тохиолдолд ҮГҮЙ) үйл явдлыг оруулах шаардлагатай ерөнхий томъёо (1).
Бид авах:
$A$ = (Ээлжийн үеэр дор хаяж нэг машин нь мастерын анхаарал шаарддаггүй),
$A_i$ = ($i$-дахь машин нь мастерын анхаарлыг ШААРДАХГҮЙ), $i=1,2,3,4$,
$ p_1 = 0.7 $, $ p_2 = 0.4 $, $ p_3 = 0.6 $, $ p_4 = 0.75 $.
Шаардлагатай магадлал:
$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2\cdot q_3 \cdot q_4= 1-(1-0.7)\cdot (1-0.4)\cdot (1-0.6)\cdot ( 1-0.75)=0.982 . $$
Хариулт: 0.982. Бараг л мастер бүхэл бүтэн ээлжийн турш амрах болно;)
Онцгой тохиолдол. Давтан туршилтууд
Тиймээс бидэнд $n$ бие даасан үйл явдлууд (эсвэл зарим туршлагыг давтах), эдгээр үйл явдал тохиолдох магадлал (эсвэл туршилт бүрт үйл явдал тохиолдох) байна. одоо адилхан$p$-тай тэнцүү байна. Дараа нь (1) томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.
$$ P=1-q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n = 1-q^n. $$
Уг нь бид “давтан давтагдсан” гэдэг асуудлын ангилал руу нарийсч байна бие даасан туршилтууд"эсвэл "Бернулли бүдүүвч", $n$ туршилтыг явуулахад тус бүрд нь тохиолдох үйл явдлын магадлал $p$-тэй тэнцүү байна. Бид $-аас ядаж нэг удаа үйл явдал тохиолдох магадлалыг олох хэрэгтэй. n $ давталт:
$$ P=1-q^n. \quad(2) $$
Та онлайн сурах бичгээс Бернуллигийн схемийн талаар илүү ихийг уншиж болно, мөн янз бүрийн дэд төрлүүдийг (буудсан, сугалааны тасалбар гэх мэт) шийдвэрлэх талаархи тооны машины нийтлэлийг үзэх боломжтой. Доор, зөвхөн "дор хаяж нэг"-тэй холбоотой асуудлуудыг хэлэлцэх болно.
Жишээ 7. Баталгаат хугацаанд зурагт засвар хийх шаардлагагүй байх магадлалыг 0.9-тэй тэнцүү болго. Баталгаат хугацаанд 3 ТВ-ийн дор хаяж нэг нь засвар хийх шаардлагагүй байх магадлалыг ол.
Товчхондоо та шийдлийг хараахан олж хараагүй байна.
Бид зүгээр л нөхцлөөс бичдэг: $n=3$, $p=0.9$, $q=1-p=0.1$.
Дараа нь (2) томъёоны дагуу баталгаат хугацаанд 3 ТВ-ийн дор хаяж нэг нь засвар хийх шаардлагагүй байх магадлал:
$$ P=1-0.1^3=1-0.001=0.999 $$
Хариулт: 0,999.
Жишээ 8. Тодорхой бай руу 5 бие даасан буудлага хийдэг. Нэг удаагийн цохилтоор цохих магадлал 0.8 байна. Дор хаяж нэг цохилт өгөх магадлалыг ол.
Дахин хэлэхэд бид асуудлыг албан ёсны болгож, мэдэгдэж буй хэмжигдэхүүнүүдийг бичиж эхэлдэг. $n=5$ шидэлт, $p=0.8$ - нэг цохилтоор онох магадлал, $q=1-p=0.2$.
Дараа нь таван цохилтоос дор хаяж нэг цохилт өгөх магадлал нь тэнцүү байна: $$ P=1-0.2^5=1-0.00032=0.99968 $$
Хариулт: 0,99968.
Томъёо (2) ашиглах нь бүх зүйл илүү ойлгомжтой гэж би бодож байна (Бернуллигийн схемийн хүрээнд шийдсэн бусад асуудлын талаар уншихаа бүү мартаарай, холбоосууд дээр байсан). Мөн доор нь би бага зэрэг өгөх болно хэцүү даалгавар. Ийм асуудал бага тохиолддог боловч тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замыг бас сурах хэрэгтэй. Яв!
Жишээ 9. N бие даасан туршилтууд хийгдэх бөгөөд тус бүрт 0.7 магадлалтай А үйл явдал гарч ирнэ. 0.95 магадлал бүхий А үйл явдлын дор хаяж нэг удаа тохиолдохын тулд хичнээн туршилт хийх шаардлагатай вэ?
Бидэнд Бернулли схем байгаа, $n$ нь туршилтын тоо, $p=0.7$ нь А үйл явдал тохиолдох магадлал юм.
Дараа нь $n$ туршилтанд хамгийн багадаа нэг А үйл явдал тохиолдох магадлал (2) томъёотой тэнцүү байна: $$ P=1-q^n=1-(1-0.7)^n=1-0, 3^ n $$ Нөхцөлийн дагуу энэ магадлал 0.95-аас багагүй байх ёстой тул:
$$ 1-0.3^n \ge 0.95,\\ 0.3^n \le 0.05,\\ n \ge \log_(0.3) 0.05 = 2.49. $$
Дүгнэж хэлэхэд та дор хаяж 3 туршилт хийх хэрэгтэй болно.
Хариулт:Та дор хаяж 3 туршилт хийх хэрэгтэй.
Магадлал дээр ажиллах хэрэгцээ нь зарим үйл явдлын магадлалыг мэдэх үед үүсдэг бөгөөд эдгээр үйл явдлуудтай холбоотой бусад үйл явдлын магадлалыг тооцоолох шаардлагатай байдаг.
Магадлалыг нэмэх нь санамсаргүй үйл явдлын хослол эсвэл логик нийлбэрийн магадлалыг тооцоолох шаардлагатай үед ашиглагддаг.
Үйл явдлын нийлбэр АТэгээд Бтэмдэглэнэ А + Бэсвэл А ∪ Б. Хоёр үйл явдлын нийлбэр нь аль нэг үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд л тохиолддог үйл явдал юм. Энэ нь тийм гэсэн үг А + Б– ажиглалтын явцад тохиолдсон тохиолдолд л тохиолдох үйл явдал Аэсвэл үйл явдал Б, эсвэл нэгэн зэрэг АТэгээд Б.
Хэрэв үйл явдлууд АТэгээд Бхарилцан үл нийцэх ба тэдгээрийн магадлалыг өгвөл нэг туршилтын үр дүнд эдгээр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг магадлалыг нэмэх замаар тооцоолно.
Магадлалын нэмэх теорем.Хоёр зүйлийн аль нэг нь тохиолдох магадлал нь хоорондоо нийцэхгүй байна. хамтарсан арга хэмжээ, эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна:
Жишээ нь, ан хийж байхдаа хоёр удаа бууддаг. Үйл явдал А– эхний сумаар нугас цохих, үйл явдал IN– хоёр дахь удаагийн цохилт, үйл явдал ( А+ IN) – эхний болон хоёр дахь цохилтоос эсвэл хоёр цохилтоос авсан цохилт. Тэгэхээр, хэрэв хоёр үйл явдал бол АТэгээд IN – үл нийцэх үйл явдлууд, Тэр А+ IN– эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг эсвэл хоёр үйл явдал тохиолдсон.
Жишээ 1.Нэг хайрцагт 30 бөмбөг байна ижил хэмжээтэй: 10 улаан, 5 цэнхэр, 15 цагаан. Өнгөт (цагаан биш) бөмбөгийг харахгүйгээр авах магадлалыг тооцоол.
Шийдэл. Үйл явдал болсон гэж үзье А- "улаан бөмбөгийг авлаа", мөн үйл явдал IN- "Цэнхэр бөмбөгийг авсан." Дараа нь үйл явдал нь "өнгөт (цагаан биш) бөмбөгийг авдаг." Үйл явдлын магадлалыг олцгооё А:
болон үйл явдлууд IN:
Үйл явдал АТэгээд IN- бие биедээ үл нийцэх, учир нь нэг бөмбөг авбал өөр өөр өнгийн бөмбөг авах боломжгүй. Тиймээс бид магадлалын нэмэгдлийг ашигладаг:
Хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем.Хэрэв үйл явдлууд үйл явдлын иж бүрдлийг бүрдүүлдэг бол тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.
Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь мөн 1-тэй тэнцүү байна.
Эсрэг үйл явдлууд нь үйл явдлын бүрэн багцыг бүрдүүлдэг бөгөөд үйл явдлын бүрэн багцын магадлал 1 байна.
Эсрэг үйл явдлын магадлалыг ихэвчлэн жижиг үсгээр тэмдэглэдэг хТэгээд q. Тухайлбал,
дараах зүйл дараах томъёонуудЭсрэг үйл явдлын магадлал:
Жишээ 2.Буудлагын талбайн бай нь 3 бүсэд хуваагдана. Тодорхой мэргэн бууч эхний бүсэд 0.15, хоёрдугаар бүсэд 0.23, гурав дахь бүсэд 0.17 байна. Буудагч бай онох магадлал, буудагч байг алдах магадлалыг ол.
Шийдэл: Буудагч байг онох магадлалыг ол:
Буудагч байг алдах магадлалыг олцгооё.
Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх аргыг хоёуланг нь ашиглах шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас үзнэ үү.
Нэгэн зэрэг тохиолдох үйл явдлын магадлалыг нэмэх
Хэрэв нэг үйл явдал тохиолдсон нь нэг ажиглалтад хоёр дахь үйл явдал тохиолдохыг үгүйсгэхгүй бол санамсаргүй хоёр үйл явдлыг хамтарсан гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, шидэх үед шооүйл явдал Атоо 4 гарч цувисан гэж үзэж байна, үйл явдал IN- сургуулиа орхих тэгш тоо. 4 нь тэгш тоо тул хоёр үйл явдал таарч байна. Практикт харилцан нэгэн зэрэг тохиолдох үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг тооцоолоход бэрхшээлтэй байдаг.
Хамтарсан үйл явдлын магадлалын нэмэх теорем.Хамтарсан үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд үүнээс магадлалыг хассан. ерөнхий довтолгооүйл явдал хоёулаа, өөрөөр хэлбэл магадлалын үржвэр. Хамтарсан үйл явдлын магадлалын томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
Үйл явдлуудаас хойш АТэгээд INнийцтэй, үйл явдал А+ INгурвын аль нэг нь тохиолдвол үүсдэг боломжит үйл явдлууд: эсвэл AB. Тохиромжгүй үйл явдлыг нэмэх теоремын дагуу бид дараах байдлаар тооцоолно.
Үйл явдал АХэрэв үл нийцэх хоёр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол гарна: эсвэл AB. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлуудаас нэг үйл явдал тохиолдох магадлал нь эдгээр бүх үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Үүний нэгэн адил:
(6) ба (7) илэрхийллийг (5) илэрхийлэлд орлуулснаар бид хамтарсан үйл явдлын магадлалын томъёог олж авна.
Томъёо (8) ашиглахдаа үйл явдлыг харгалзан үзэх шаардлагатай АТэгээд INбайж болно:
- харилцан бие даасан;
- харилцан хамааралтай.
Харилцан хамааралгүй үйл явдлын магадлалын томъёо:
Харилцан хамааралтай үйл явдлын магадлалын томъёо:
Хэрэв үйл явдлууд АТэгээд INнийцэхгүй байгаа бол тэдгээрийн давхцал нь боломжгүй тохиолдол бөгөөд иймээс, П(AB) = 0. Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалын дөрөв дэх томьёо нь:
Жишээ 3.Автомашины уралдаанд эхний машинаа жолоодоход түрүүлэх магадлал өндөр, хоёр дахь машинаа жолоодоход илүү их байдаг. Олно:
- хоёр машин хоёулаа ялах магадлал;
- дор хаяж нэг машин ялах магадлал;
1) Эхний машин ялах магадлал нь хоёр дахь машины үр дүнгээс хамаардаггүй тул үйл явдлууд А(эхний машин ялна) ба IN(хоёр дахь машин ялах болно) - бие даасан үйл явдал. Хоёр машин хожих магадлалыг олъё:
2) Хоёр машины аль нэг нь ялах магадлалыг ол.
Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх аргыг хоёуланг нь ашиглах шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас үзнэ үү.
Магадлалын нэмэх асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг хар
Жишээ 4.Хоёр зоос шидэж байна. Үйл явдал А- эхний зоос дээрх төрийн сүлд алдагдсан. Үйл явдал Б- хоёр дахь зоос дээрх төрийн сүлд алдагдсан. Үйл явдлын магадлалыг ол C = А + Б .
Үржүүлэх магадлал
Үйл явдлын логик үржвэрийн магадлалыг тооцоолох шаардлагатай үед магадлалын үржвэрийг ашигладаг.
Хаана санамсаргүй үйл явдалбие даасан байх ёстой. Нэг үйл явдал тохиолдсон нь хоёр дахь үйл явдлын магадлалд нөлөөлөхгүй бол хоёр үйл явдлыг бие биенээсээ хамааралгүй гэж нэрлэдэг.
Бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теорем.Хоёр бие даасан үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал АТэгээд INнь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү бөгөөд дараах томъёогоор тооцоолно.
Жишээ 5.Зоосыг гурван удаа дараалан шиддэг. Төрийн сүлд гурван удаа гарч ирэх магадлалыг ол.
Шийдэл. Зоосыг эхний шидэх, хоёр дахь, гурав дахь удаагаа шидэхэд сүлд харагдах магадлал. Төрийн сүлд гурван удаа гарч ирэх магадлалыг олъё.
Магадлалыг үржүүлэх бодлогыг бие даан шийдэж, дараа нь шийдлийг хар
Жишээ 6.Есөн шинэ теннисний бөмбөгний хайрцаг байна. Тоглохын тулд гурван бөмбөг авч, тоглолтын дараа буцааж тавьдаг. Бөмбөгийг сонгохдоо тоглосон бөмбөгийг тоглоогүй бөмбөгөөс ялгадаггүй. Үүний дараа гарах магадлал хэд вэ гурван тоглоомХайрцагт тоглоогүй бөмбөг үлдсэн үү?
Жишээ 7.Орос цагаан толгойн 32 үсэг нь хайчлагдсан цагаан толгойн карт дээр бичигдсэн байдаг. Таван картыг санамсаргүй байдлаар ар араасаа зурж, харагдах дарааллаар нь ширээн дээр тавьдаг. Үсгүүд нь "төгсгөл" гэдэг үгийг үүсгэх магадлалыг ол.
Жишээ 8.Бүрэн тавцангаас (52 хуудас) дөрвөн картыг нэг дор гаргаж авдаг. Эдгээр дөрвөн карт бүгд өөр өөр костюмтай байх магадлалыг ол.
Жишээ 9. 8-р жишээтэй ижил даалгавар, гэхдээ карт бүрийг устгасны дараа тавцан руу буцаана.
Магадлалыг нэмэх, үржүүлэх, мөн хэд хэдэн үйл явдлын үржвэрийг тооцоолох шаардлагатай илүү төвөгтэй бодлогуудыг "Магадлалыг нэмэх, үржүүлэхтэй холбоотой янз бүрийн бодлого" хуудаснаас олж болно.
Харилцан хамааралгүй үйл явдлуудын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлалыг 1-ээс эсрэг үйл явдлын магадлалын үржвэрийг хасч, өөрөөр хэлбэл томъёог ашиглан тооцоолж болно.
Жишээ 10.Ачаа гол, төмөр зам, авто зам гэсэн гурван төрлийн тээврийн хэрэгслээр хүргэдэг. Ачаа хүргэж өгөх магадлал голын тээвэр, 0.82, төмөр замаар 0.87, авто тээврээр 0.90. Ачааг дор хаяж нэгээр нь хүргэх магадлалыг ол гурван төрөлтээвэрлэлт.
Үйл явдал бүр нь тохиолдох (түүний хэрэгжилт) янз бүрийн зэрэгтэй байх нь тодорхой юм. Үйл явдлыг боломжийн хэмжээгээр нь бие биентэйгээ тоон байдлаар харьцуулахын тулд үйл явдал бүртэй холбох шаардлагатай нь ойлгомжтой. тодорхой тоо, аль нь их байх тусам үйл явдал болох боломжтой. Энэ тоог үйл явдлын магадлал гэж нэрлэдэг.
Үйл явдлын магадлал– зэрэглэлийн тоон хэмжүүр юм объектив боломжэнэ үйл явдлын илрэл.
Энэ туршилтанд ажиглагдсан стохастик туршилт болон санамсаргүй А үйл явдлыг авч үзье. Энэ туршилтыг n удаа давтаж, А үйл явдал болсон туршилтын тоог m(A) гэж үзье.
Харилцаа (1.1)
дуудсан харьцангуй давтамжГүйцэтгэсэн цуврал туршилтуудын А үйл явдал.
Шинж чанаруудын хүчинтэй эсэхийг шалгахад хялбар байдаг:
хэрвээ А ба В нь зөрүүтэй (AB= ) бол ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)
Харьцангуй давтамжцуврал туршилтын дараа л тодорхойлогддог бөгөөд ерөнхийдөө цуврал болгонд харилцан адилгүй байж болно. Гэсэн хэдий ч туршлагаас харахад олон тохиолдолд туршилтын тоо нэмэгдэх тусам харьцангуй давтамж нь тодорхой тоонд ойртдог. Харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдлын энэ баримтыг олон удаа баталгаажуулсан бөгөөд туршилтаар батлагдсан гэж үзэж болно.
Жишээ 1.19.. Хэрэв та нэг зоос шидвэл аль тал дээр нь буухыг хэн ч тааж чадахгүй. Гэхдээ хэрэв та хоёр тонн зоос шидвэл нэг тонн орчим сүлд унах болно гэж хүн бүр хэлэх болно, өөрөөр хэлбэл сүлд унах харьцангуй давтамж ойролцоогоор 0.5 байна.
Туршилтын тоо нэмэгдэхийн хэрээр ν(A) үзэгдлийн харьцангуй давтамж нь тодорхой тогтмол тоо руу чиглэдэг бол үүнийг хэлнэ. А үйл явдал статистикийн хувьд тогтвортой байна, мөн энэ тоог А үйл явдлын магадлал гэж нэрлэдэг.
Үйл явдлын магадлал АТуршилтын тоо нэмэгдэх тусам энэ үзэгдлийн харьцангуй давтамж ν(A) хандлагатай байдаг зарим тогтмол тоо P(A) гэж нэрлэдэг. 
Энэ тодорхойлолтыг нэрлэдэг статистик тодорхойлолтмагадлал .
Тодорхой стохастик туршилтыг авч үзээд түүний орон зайг үзье анхан шатны үйл явдлуудω 1, ω 2, …, ω i, … гэсэн үндсэн үйл явдлуудын төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй (гэхдээ тоолж болох) олонлогоос бүрдэнэ. ω i анхан шатны үйл явдал бүрт өгөгдсөн анхан шатны үйл явдал тохиолдох боломжийн түвшинг тодорхойлдог р i гэсэн тодорхой тоо өгөгдсөн гэж үзье. дараах шинж чанарууд:
Энэ тоог p i гэж нэрлэдэг анхан шатны үйл явдлын магадлалωi.
Одоо А-г энэ туршилтанд ажиглагдсан санамсаргүй үйл явдал гэж үзээд тодорхой олонлогт тохирно
Энэ тохиргоонд үйл явдлын магадлал А А-д таалагдах анхан шатны үйл явдлуудын магадлалын нийлбэрийг нэрлэнэ(харгалзах A багцад багтсан):
(1.4)
Ийм байдлаар танилцуулсан магадлал нь харьцангуй давтамжтай ижил шинж чанартай, тухайлбал:
Хэрэв AB = (A ба B нь таарахгүй бол)
дараа нь P(A+B) = P(A) + P(B)
Үнэхээр (1.4)-ийн дагуу
Сүүлчийн харилцаанд бид хоёр үл нийцэх үйл явдлыг зэрэгцүүлэн нэг ч энгийн үйл явдал давамгайлж чадахгүй гэдгийг ашигласан.
Магадлалын онол нь p i-ийг тодорхойлох аргуудыг заагаагүй бөгөөд тэдгээрийг практик шалтгаанаар хайх эсвэл холбогдох статистик туршилтаас олж авах шаардлагатай гэдгийг бид онцгойлон тэмдэглэж байна.
Жишээ болгон авч үзье сонгодог схеммагадлалын онол. Үүнийг хийхийн тулд анхан шатны үйл явдлын орон зай нь хязгаарлагдмал (n) тооны элементээс бүрдэх стохастик туршилтыг авч үзье. Эдгээр бүх анхан шатны үйл явдлууд ижил тэнцүү боломжтой, өөрөөр хэлбэл элементар үзэгдлийн магадлал p(ω i)=p i =p-тэй тэнцүү байна гэж нэмж үзье. Үүнийг дагадаг
Жишээ 1.20. Тэгш хэмтэй зоос шидэх үед толгой, сүүл авах нь адилхан боломжтой бөгөөд тэдгээрийн магадлал нь 0.5-тай тэнцүү байна.
Жишээ 1.21. Тэгш хэмтэй үхрийг шидэх үед бүх нүүр нь адилхан боломжтой, магадлал нь 1/6-тай тэнцүү байна.
Одоо А үйл явдлыг m анхан шатны үйл явдалд давуу тал болгоё, тэдгээрийг ихэвчлэн нэрлэдэг А үйл явдлын таатай үр дүн. Дараа нь
Оллоо магадлалын сонгодог тодорхойлолт: А үйл явдлын магадлал P(A) нь А үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоог нийт үр дүнгийн тоонд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.
Жишээ 1.22. Уг урин дотор m цагаан бөмбөлөг, n хар бөмбөг байна. Гарах магадлал хэд вэ? цагаан бөмбөг?
Шийдэл. Элементар үйл явдлын нийт тоо m+n байна. Тэд бүгд адилхан магадлалтай. Тааламжтай үйл явдал А үүнээс m. Тиймээс, 
.
Магадлалын тодорхойлолтоос дараахь шинж чанарууд гарч ирнэ.
Үл хөдлөх хөрөнгө 1. Магадлал найдвартай үйл явдалнэгтэй тэнцүү.
Үнэн хэрэгтээ хэрэв үйл явдал найдвартай бол туршилтын үндсэн үр дүн нь тухайн үйл явдлыг илүүд үздэг. Энэ тохиолдолд t=p,тиймээс,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Боломжгүй үйл явдлын магадлал 0 байна.
Үнэн хэрэгтээ, хэрэв ямар нэгэн үйл явдал боломжгүй бол туршилтын үндсэн үр дүнгийн аль нь ч үйл явдлыг дэмжихгүй. Энэ тохиолдолд Т= 0, тиймээс, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Эд хөрөнгө 3.Санамсаргүй тохиолдлын магадлал бий эерэг тоо, тэг ба нэгийн хооронд хаагдсан.
Үнэн хэрэгтээ санамсаргүй үйл явдлыг зөвхөн зарим нь илүүд үздэг нийт тооанхан шатны шалгалтын үр дүн. Өөрөөр хэлбэл 0≤m≤n, энэ нь 0≤m/n≤1 гэсэн утгатай тул аливаа үйл явдлын магадлал нь 0≤ давхар тэгш бус байдлыг хангана. P(A) ≤1. (1.8)
Магадлал (1.5) ба харьцангуй давтамжийн (1.1) тодорхойлолтыг харьцуулж үзвэл бид дараахь дүгнэлтэд хүрэв: магадлалын тодорхойлолт туршилт хийх шаардлагагүйүнэндээ; харьцангуй давтамжийн тодорхойлолт нь гэж үздэг туршилтууд үнэхээр хийгдсэн. Өөрөөр хэлбэл, магадлалыг туршилтаас өмнө, харьцангуй давтамжийг туршилтын дараа тооцдог.
Гэсэн хэдий ч магадлалыг тооцоолоход байх шаардлагатай урьдчилсан мэдээлэлтоо, магадлалын талаар таатай энэ үйл явдалүндсэн үр дүн. Ийм урьдчилсан мэдээлэл байхгүй тохиолдолд магадлалыг тодорхойлохын тулд эмпирик өгөгдлийг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл үйл явдлын харьцангуй давтамжийг стохастик туршилтын үр дүнд үндэслэн тодорхойлдог.
Жишээ 1.23. Техникийн хяналтын хэлтэс илрүүлсэн 3санамсаргүй байдлаар сонгосон 80 хэсгээс бүрдсэн стандарт бус эд ангиуд. Стандарт бус хэсгүүдийн үүсэх харьцангуй давтамж r(A)= 3/80.
Жишээ 1.24. зориулалтын дагуу.үйлдвэрлэсэн 24 буудсан, 19 цохилт бүртгэгдсэн. Харьцангуй зорилтот цохилтын түвшин. r(A)=19/24.
Урт хугацааны ажиглалтаас харахад хэрэв туршилтыг ижил нөхцөлд явуулсан бол туршилтын тоо хангалттай их байвал харьцангуй давтамж нь тогтвортой байдлын шинж чанарыг харуулдаг. Энэ өмч нь юунд янз бүрийн туршлагахарьцангуй давтамж нь бага зэрэг өөрчлөгддөг (бага байх тусам илүү их туршилт хийх), тодорхой тогтмол тоонд хэлбэлздэг.Энэ нь тодорхой болсон тогтмол тоомагадлалын ойролцоо утга гэж авч болно.
Харьцангуй давтамж ба магадлалын хоорондын хамаарлыг доор дэлгэрэнгүй, нарийвчлан тайлбарлах болно. Одоо тогтвортой байдлын шинж чанарыг жишээгээр тайлбарлая.
Жишээ 1.25. Шведийн статистик мэдээллээс үзэхэд 1935 оны охидын төрөлтийн харьцангуй давтамжийг сараар нь дараах тоогоор тодорхойлдог (тоонуудыг сараар нь дарааллаар нь жагсаав. 1-р сар): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Харьцангуй давтамж нь 0.481 тоо орчим хэлбэлздэг бөгөөд үүнийг авч болно ойролцоо утгаохидтой болох магадлал.
Өөр өөр орны статистик мэдээлэл нь ойролцоогоор ижил давтамжийн утгыг өгдөг болохыг анхаарна уу.
Жишээ 1.26.Зоос шидэх туршилтыг олон удаа хийж, "сүлд"-ийн хэдэн удаа гарч ирснийг тоолжээ. Хэд хэдэн туршилтын үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв.
