Стоксын теоремын томъёолол. Вектор талбайн ангилал

Зарим G мужид тасралтгүй векторын талбар a) k ба битүү чиглэсэн контур L өгье. Тодорхойлолт 1. L битүү контурын дагуу а векторын эргэлтийг гэнэ. муруйн интеграл L контурын дагуу а вектороос 2-р төрөл. Энд dr нь урт нь L нумын дифференциалтай тэнцүү бөгөөд чиглэл нь L-д шүргэгчийн чиглэлтэй давхцаж байгаа вектор, op- Зураг. 31 контурын чиг баримжаагаар тодорхойлогддог (Зураг 31); f тэмдэг нь интегралыг ээлжлэн L контурын дагуу авна гэсэн үг. b Жишээ 1. эргэлтийг тооцоол. вектор талбарэллипсийн дагуу L: Эргэлтийн тодорхойлолтоор бид байна Параметрийн тэгшитгэлЭнэ эллипс нь дараах хэлбэртэй байна: , ба, тиймийн тул, . Эдгээр илэрхийллийг (2) томъёонд орлуулснаар бид векторын талбайн эргэлтийг олно. Векторын ротор Стокс теорем Вектор талбайн ротор (хуйлхай). Инвариант тодорхойлолтроторын талбай Физик утгаталбайн ротор Роторыг тооцоолох дүрэм 8.1. Векторын талбайн ротор (хуйлрал) P, Q, R нь үргэлжилсэн бөгөөд бүх аргументтай нь харгалзах эхний эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай векторын талбарыг авч үзье. Тодорхойлолт 2. "(M) векторын ротор нь rot a тэмдгээр тэмдэглэгдсэн вектор бөгөөд тэгшитгэлээр тодорхойлогддог, эсвэл бэлгэдлийн хэлбэрээр, санахад хялбар хэлбэрээр, Энэ тодорхойлогч нь эхний эгнээний элементүүдээр өргөжсөн байна. , харин хоёр дахь эгнээний элементүүдийг гурав дахь эгнээний элементүүдээр үржүүлэх үйлдлүүдийг ялгах үйлдлүүд гэж ойлгодог, жишээлбэл, Тодорхойлолт 3. Хэрэв зарим G домайн дээр rot a = 0 байвал векторын талбар a. домэйн дэх G-ийг эргэлтгүй гэж нэрлэдэг. Жишээ 2. 4-р векторын роторыг ол (3) томъёоны дагуу бид rot a нь вектор тул вектор талбарыг авч үзэж болно - векторын роторын талбар. А векторын координатууд нь хоёр дахь эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай гэж үзвэл rot a векторын дивергенцийг тооцоолно. Бид олж авдаг Тиймээс, векторын эргэлтийн талбар нь соленоид хэлбэртэй байна. Теорем 7 (Стокс). Баримтлагдсан L контурын дагуу а векторын эргэлт нь L контураар дамжсан ямар ч Е гадаргуугаар дамжин өнгөрөх энэ векторын роторын урсгалтай тэнцүү байна. a векторын координатууд нь зарим G мужид тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай байна гэж үздэг. E гадаргууг агуулсан орон зай ба хэвийн n°-ийн нэгж векторын EC G гадаргуу руу чиглэсэн чиглэл нь L контурын чиг баримжаатай зохицсон байх ба ингэснээр нормын төгсгөлөөс эхлэн контурын эргэн тойрон дахь хэлхээ нь өгөгдсөн хэсэгт байна. чиглэл цагийн зүүний эсрэг явж байгаа нь харагдаж байна. Үүнийг харгалзан роторын (3) тодорхойлолтыг ашиглан бид (4) томъёог дараах хэлбэрээр дахин бичнэ: Юуны өмнө гөлгөр гадаргуу E ба түүний L контурыг xOy-ийн D мужид онцгойлон тусгах тохиолдлыг авч үзье. хавтгай ба түүний хил - контур А тус тус (Зураг 32). L контурын чиг баримжаа нь А контурын тодорхой чиглэлийг бий болгодог. Тодорхой байхын тулд бид L контурыг E гадаргуу зүүн тийш чиглүүлж, Е гадаргуу руу чиглэсэн n хэвийн вектор n гэж үзэх болно. тэнхлэг Oz хурц булан 7 (cos 7 >0). E гадаргуугийн тэгшитгэл ба φ(x)y) функц тасралтгүй байх ба gf ба ^ in тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтэй байг. хаалттай талбай D. Е гадаргуу дээр байрлах L шугамыг авч үзье. Иймд энэ гадаргуугийн тэгшитгэлийг ашиглан интеграл тэмдгийн доорх r-г ^(x, y) -ээр сольж болно. А муруйн хувьсах цэгийн координатууд нь L муруйн харгалзах цэгийн координатуудтай тэнцүү тул L дээрх интегралыг А-ын интегралаар сольж болно. Баруун талын интеграл дээр Грийн томъёог хэрэглэцгээе. Одоо бид D муж дээрх интегралаас Е гадаргуу дээрх интеграл руу шилжинэ. dS = cos 7 da тул (8) томъёоноос Е гадаргууд хүрэх n° хэвийн векторыг k илэрхийллээр тодорхойлно гэдгийг олж авна. Эндээс харахад ойлгомжтой. Тиймээс тэгш байдлыг (9) дараах байдлаар дахин бичиж болно: E нь гурвууланд нь өвөрмөц байдлаар тусдаг гөлгөр гадаргуу гэж үзвэл. координатын хавтгайнууд, үүнтэй адил бид векторын талбайн эргэлтийн томъёоны үнэн зөв гэдэгт итгэлтэй байна. Векторын ротор Стоксын теорем Векторын талбайн ротор (хуйлхай) Талбайн роторын хувьсах бус тодорхойлолт Талбайн роторын физик утга Роторыг тооцох дүрэм Тэнцвэрүүдийн гишүүнчлэлийг нэмснээр бид Стоксын томъёог ( 5), эсвэл товчхондоо Тайлбар 1. Векторын эргэлтийн талбар нь соленоид хэлбэртэй байдаг тул векторын эргэлтийн урсгал нь L контураар дамжсан E гадаргуугийн төрлөөс хамаардаггүй гэдгийг бид харуулсан. Тайлбар 2 £ гадаргуу нь бүх гурван координатын хавтгайд өвөрмөц байдлаар проекцлагдсан гэсэн таамаглалаар (4) томъёог гаргаж авсан. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол бид £-ийг хэсэг болгон хуваадаг заасан нөхцөлханасан, дараа нь бид интегралуудын нэмэлтийг ашиглана. Жишээ 3. Тодорхойлолтыг ашиглан 1) шугамын дагуух векторын эргэлтийг тооцоол; 2) Стоксын теоремын дагуу. 4 1) L шулууныг параметрийн дагуу тодорхойлъё: Дараа нь 2) Ротыг ол: Хавтгайн хэсгийг L контур дээр сунгая. Талбайн роторын инвариант тодорхойлолт Стоксын теоремоос координатын системийн сонголттой холбоогүй талбайн роторын инвариант тодорхойлолтыг олж авч болно. Теорем 8. А роторын аль ч чиглэл рүү проекц нь координатын системийн сонголтоос хамаарахгүй ба тэнцүү байна. гадаргуугийн нягтПлатформын контурын дагуу а векторын эргэлт, энэ чиглэлд перпендикуляр, Энд (E) хавтгай тавцан, векторт перпендикулярл; 5 - энэ сайтын талбай; L - n векторын төгсгөлөөс цагийн зүүний эсрэг хэлхээний тойруу харагдахуйцаар чиглэсэн сайтын контур; (E) M гэдэг нь (E) талбай нь rot a векторыг авч үзэх M цэг хүртэл агшиж, энэ талбайн хэвийн вектор n нь үргэлж ижил хэвээр байна гэсэн үг юм (Зураг 33). 4 Эхлээд Стоксын теоремыг a векторын эргэлтэнд (a,dr), дараа нь үр дүнд нь хэрэглэе. давхар интеграл- дундаж утгын теорем: энд (скаляр үржвэрийг платформын (E) Mf дунд цэг дээр авна). (E) талбай нь М цэг рүү татагдах үед A/c дунд цэг нь мөн M цэг рүү чиглэдэг бөгөөд а векторын координатын хэсэгчилсэн деривативуудын таамагласан тасралтгүй байдлын улмаас (тиймээс rot a-ийн тасралтгүй байдал) бид олж авах rot a векторын дурын чиглэл рүү проекц нь координатын системийн сонголтоос хамаардаггүй тул энэ сонголтын хувьд рот вектор өөрөө өөрчлөгддөггүй. Эндээс бид хээрийн роторын инвариант тодорхойлолтыг олж авна: талбайн ротор нь өгөгдсөн цэг дэх хамгийн их гадаргуугийн эргэлтийн нягттай тэнцүү урттай вектор бөгөөд энэ талбарт перпендикуляр чиглэнэ. хамгийн өндөр нягтралэргэлтэнд хүрсэн; энэ тохиолдолд эргэлтийн векторын чиглэл нь баруун шурагны дүрмийн дагуу эргэлт эерэг байх контурын чиглэлтэй тохирч байна. 8.3. Хээрийн роторын физик утга Хатуу биеийг тойрон эргэлдэнэ тогтмол тэнхлэгБи өнцгийн хурдтай ба. Ерөнхий байдлыг алдалгүйгээр бид I тэнхлэг нь Оз тэнхлэгтэй давхцаж байна гэж үзэж болно (Зураг 34). М(r)-г Векторын судлаж буй биеийн цэг гэж үзье өнцгийн хурдманай тохиолдолд = wk-аас тэнцүү бол v векторыг тооцоол шугаман хурдцэг M, Эндээс вектор талбайн эргэлт. Векторын ротор Стокс теорем Векторын талбайн ротор (хуйралт) Талбайн роторын хувьсах бус тодорхойлолт Талбайн роторын физик утга Роторыг тооцоолох дүрэм Тиймээс эргэлтийн хурдны талбайн эргүүлэг. хатууталбайн бүх цэгүүдэд ижил, эргэлтийн тэнхлэгтэй параллель бөгөөд эргэлтийн өнцгийн хурдаас хоёр дахин ихтэй тэнцүү байна. 8.4. Роторыг тооцоолох дүрэм 1. Ротор тогтмол вектор c нь тэг вектортой тэнцүү, 2. Ротор нь тогтмол тоонуудын шугаман шинж чанартай. 3. Бүтээгдэхүүний ротор скаляр функц u(M)-аас a(M) векторыг томъёогоор тооцоолно

Бүх цэг дээр мэддэг С, та эргэлтийг олох боломжтой Гэргэн тойронд С. Үүнийг задлаад үзье Сдээр  С:

Тэгээд

- хэвийн гадаргуугийн элемент  С.

Бүгдийг нь зөвшөөр  С 0 , Дараа нь:

Стоксын теорем:

Эргэлтийн вектор дурын контурын дагуу Гвекторын урсгалтай тэнцүү байна
дурын гадаргуугаар дамжуулан С, энэ контураар хязгаарлагдсан.

3.7 Цахилгаан статик талбайн эргэлт ба ротор

Аливаа хаалттай хэлхээний дагуух цахилгаан статик хүчний ажил тэг байна.

тэдгээр. аливаа хэлхээний дагуух электростатик талбайн эргэлт тэг байна.

Ямар ч гадаргууг авцгаая С, контур дээр суурилсан Г.

Стоксын теоремын дагуу:

;

Учир нь энэ нь ямар ч гадаргууд зориулагдсан С, Тэр

Баримтлал байна:

тэдгээр. электростатик талбайн шугам нь орон зайд эргэлддэггүй.

3.8 Гауссын теорем

Бид олох болно
электростатик талбар. Цэгэн цэнэгийн хувьд шугамын нягт нь тоон хувьд тэнцүү байна

Урсгал ямар ч хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх нь гарах шугамын тоотой тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. "+" цэнэгээр эхэлж, "-" цэнэгээр төгссөн:

Урсгалын тэмдэг нь тэмдэгтэй тохирч байна q, хэмжээсүүд нь ижил байна.

Байг Нцэгийн төлбөр q би .

Битүү гадаргуугаар дамжин өнгөрөх цахилгаан статик талбайн хүч чадлын векторын урсгал нь энэ гадаргуугийн дотор агуулагдах цэнэгийн алгебрийн нийлбэрийг  0-д хуваасантай тэнцүү байна.

4 Гауссын теоремыг ашиглан талбаруудыг тооцоолох

4.1 Нэг жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй хавтангийн талбар.

4.2 Нэг жигд цэнэглэгдсэн бөмбөрцөг гадаргуугийн талбар.

4.3 Хязгааргүй зэрэгцээ цэнэгтэй хоёр хавтгайн талбар

4.4 Эзлэхүүнээр цэнэглэгдсэн бөмбөгний талбар

4.1 Нэг жигд цэнэглэгдсэн хязгааргүй хавтангийн талбар

IN гадаргуугийн нягтын тухай ойлголтыг танилцуулах

- нэгж гадаргуугийн төлбөр.

Тогтмол гадаргуугийн нягтаар цэнэглэгдсэн хязгааргүй хавтан +  . Хүчдэлийн шугамууд нь авч үзсэн хавтгайд перпендикуляр бөгөөд үүнээс хоёр чиглэлд чиглэнэ.

Хаалттай гадаргуугийн хувьд бид суурь нь хавтгайтай параллель, тэнхлэг нь түүнд перпендикуляр байрладаг цилиндрийг барих болно. цилиндрийн генераторууд зэрэгцээ байна Э, Тэр cos =0 ба хажуугийн гадаргуугаар дамжин өнгөрөх урсгал нь 0, ба бүрэн урсгалЦилиндрээр дамжин өнгөрөх нь түүний суурийн урсгалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

E'=E''=E,

Тэр Ф= 2E С;

q = С

Үүнийг дагадаг Эцилиндрийн уртаас хамаарахгүй, өөрөөр хэлбэл. Ямар ч зайд байгаа талбайн гадаргуу нь үнэмлэхүй утгаараа ижил байна, i.e. Нэг жигд цэнэглэгдсэн хавтангийн талбар жигд байна.

4.2 Нэг жигд цэнэглэгдсэн бөмбөрцөг гадаргуугийн талбар

ХАМТ бөмбөрцөг гадаргуугийн радиус Рнийтлэг төлбөртэй q.

Учир нь цэнэг жигд тархсан бол талбар нь бөмбөрцөг тэгш хэмтэй, өөрөөр хэлбэл. хавтгай шугамууд нь радиаль чиглэлтэй байна.

Радиустай бөмбөрцөгийг оюун ухаанаараа бүтээцгээе r Р. Учир нь r Р, тэгвэл Гауссын теоремын дагуу бүх цэнэг гадаргуу дотор унана.

At r Рталбай нь зайнаас багасдаг rцэгийн цэнэгийн нэгэн адил хуулийн дагуу.

Хэрэв r' Р, дараа нь битүү гадаргуу дотор цэнэг агуулаагүй, энэ нь жигд цэнэглэгдсэн бөмбөрцөг гадаргуу дотор ямар ч электростатик талбар байхгүй гэсэн үг юм. E=0.

4.3 Хязгааргүй зэрэгцээ цэнэгтэй хоёр хавтгайн талбар

Онгоцуудыг гадаргуугийн нягттай эсрэг цэнэгүүдтэй жигд цэнэглэгээрэй +  Тэгээд -  .

Бид талбарыг тус тусад нь онгоц тус бүрээр үүсгэсэн суперпозиция гэж олдог.

Тавагнаас гарлаа E = 0(шугамууд бие бие рүүгээ чиглэсэн тул захын зайг хасна).

Онгоцны хоорондох хэсэгт

E = E + + Э -

Дараа нь

Энэ теорем нь энэ векторын роторыг ашиглан хязгаарлагдмал урттай контурын дагуух векторын эргэлтийг тооцоолох боломжийг олгодог.

Цусны эргэлт битүү эерэг баримжаатай контурын дагуух вектор талбар Л тэнцүү роторын урсгал энэ талбарыг ямар ч гөлгөр гадаргуугаар С , энэ контур дээр үндэслэн:

. (2.12)

Теоремыг батлахын тулд түүний хамрах талбайтай контурыг авч үзье (Зураг 2.6). Бүхэл бүтэн контурыг ижил чиг баримжаатай энгийн контуруудад хуваана (Зураг 2.10).

Анхан шатны хэлхээний дагуух эргэлт нь тэнцүү байна
.

Бүх зэргэлдээ контурууд ( 1 Тэгээд 2 Зураг дээр. 2.10) дараахь шинж чанартай байна: ижил талбайн утгатай нийтлэг хил дээр зэргэлдээх контур бүрийн дагуу эргэлтэнд оруулах хувь нэмэр нь тэмдгийн өөрчлөлт (контурын хувьд) үүснэ. 1 -а  б , болон төлөө 2 - б  а ). Үүний үр дүнд хэлхээний бүх дотоод хэсгүүдийн эргэлтэд оруулсан хувь нэмэр нь харилцан нөхөгддөг бөгөөд зөвхөн хэлхээнд хамаарах хэсгүүд нь нөхөн төлбөргүй хэвээр үлдэх болно. Л , энэ нь эцэст нь (2.12) өгдөг. .

Хавтгай дээр байрлах контурын хувьд (2.12)-ын онцгой тохиолдол нь Д.Грийн (М.Остроградский-Д. Ногоон) томъёо юм.

. (2.13)

Томъёо (2.12) ба (2.13) нь хоёр дахь төрлийн муруйн интегралын тооцоог тухайн бүс нутаг дээрх давхар интегралын тооцоонд бууруулах боломжийг олгодог. С .

(2.12)-ын дагуу урвуу шилжилтийг (2.8)-тай адилаар гүйцэтгэнэ.

2.4. Ажиглагч оператор ба Лаплас оператор

Ашиглах үед вектор шинжилгээний томьёо бичих нь илүү хялбар байдаг радарын оператор (оператор В. Хамилтон), энэ нь вектор юм
. Энэ вектор өөрөө ямар ч утгагүй боловч (2.3), (2.5) ба (2.9) томъёог нягт бичих боломжийг олгодог.

;
;
. (2.14)

Нэмж дурдахад nabla оператор нь дээд эрэмбийн дифференциал операторуудын тооцоог хялбарчлах боломжийг олгодог.

-тэй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй  болгоомжтой хандах хэрэгтэй бөгөөд үүнийг ашиглахдаа энэ оператор нь зөвхөн биш гэдгийг санах хэрэгтэй вектор , Гэхдээ бас дифференциал .

Жишээлбэл, олъё
.  ашиглан бид олж авна
. Дүрэм журмын дагуу ялгах Бүтээгдэхүүний оператор хамгийн түрүүнд үйлчилнэ эхлээд үржүүлэгч, дараа нь хоёрдугаарт: . Үүний үр дүнд бид авдаг. Векторын координатаар тооцоолох процедур нь илүү их хэмжээний үйлдлийг шаарддаг.

(2.15)-д ороогүй өргөтгөлийн томъёог өөрөө олж авахыг хичээ.
. Зөв хариултыг төгсгөлд нь өгсөн болно програмууд 1 .

Зарим таних тэмдэг болон хоёр дахь дарааллын үйлдлүүд.

;
;

;
;

Лаплас оператор ( , Лаплациан ) нь хоёр дахь эрэмбийн оператор юм.

Дуртай  ,  скаляр болон векторын аль алинд нь хамаарна.

. (2.17)

Хэзээ Декарт системкоординат (2.18) хялбаршуулсан:

EMF онолд ихэвчлэн ашиглагддаг муруйн координатын системийн талаарх мэдээлэл ( цилиндр хэлбэртэй Тэгээд бөмбөрцөг хэлбэртэй ) ба тэдгээрт вектор үйлдлүүд өгөгдсөн Хавсралт 2 .

2.5. Вектор талбайн ангилал

Вектор талбар Хэрэв түүний ротор ба орон зайн координатын функцүүдийн ялгаа нь мэдэгдэж байгаа бол онцгой байдлаар өгөгдсөн болно.

Эдгээр функцүүдийн утгуудаас хамааран байдаг боломж , эргүүлэг (соленоид ) талбар ба ерөнхий талбар .

Вектор талбар болзошгүй , хэрэв ямар нэг скаляр функц байгаа бол У -тай холбоотой дараах байдлаар:
. Чиг үүрэг У дуудсан скаляр талбайн потенциал .

Шаардлагатай, хангалттай нөхцөл боломж байна ротор нь тэгтэй тэнцүү (
).

Соленоид (эргүүлэг ) вектор талбар гэж нэрлэдэг , цэг бүрт
(шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл),
.

Соленоид вектор талбар хэлбэрээр төлөөлж болно
. Энэ тохиолдолд вектор хэмжигдэхүүн дуудсан вектор талбайн потенциал (
).

Талбайн нэр энэ төрлийнонд илрүүлсэнтэй холбон тайлбарлаж болно соленоид , – ороомгийн ороомог (энэ нь голчтой эсвэл цөмгүй байж болно), урт нь диаметрээс ихээхэн давсан байна.

Хэрэв вектор талбар
Тэгээд
, тэр бол - ерөнхий талбар .

Ерөнхий төрлийн дурын вектор талбарыг боломжит болон эргүүлэг хэсгүүдийн нийлбэрээр илэрхийлж болно.
, - хаана байна орсон талбайн эх сурвалжууд (
), болон дотор –талбайн эргүүлэг (
).

Одоо интеграл ба дифференциал үйлдлүүд болон вектор шинжилгээний үндсэн теоремуудыг судалсны дараа бид EMF-ийн онолын үндсийг судалж эхэлж болно. Максвеллийн тэгшитгэлийн систем .

Зарим (заавал хавтгай биш) S гадаргуугийн цэг бүрт a векторын роторыг мэдэж байгаа тул бид энэ векторын контурын Г хязгаарын S-ийн дагуух эргэлтийг тооцоолж болно (контур нь тэгш бус байж болно). Үүнийг хийхийн тулд бид гадаргууг маш жижиг элементүүдэд хуваадаг. Жижиг хэмжээтэй тул эдгээр элементүүдийг хавтгай гэж үзэж болно.

Иймд (11.23)-ын дагуу хилийн контурын дагуу а векторын эргэлтийг хэлбэрээр дүрсэлж болно.

гадаргуугийн элементийн эерэг норм хаана байна

Томъёоны дагуу (11.21), илэрхийлэл (11.29)-ийг бүгдийг нь нэгтгэн бид Г контурын дагуу a векторын эргэлтийг олж, хязгаарлах

Бүх AS нь тэг болох хандлагатай (тэдгээрийн тоо хязгааргүй өсдөг) хязгаарт хүрсний дараа бид томъёонд хүрнэ.

(11.30)

(11.30) хамаарлыг Стоксын теорем гэнэ. Үүний утга нь дурын контурын Г дагуух а векторын эргэлт нь өгөгдсөн контураар хязгаарлагдсан дурын S гадаргуугаар эргэлдэх векторын урсгалтай тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Ажиглалтын төвийн оператор Хэрэв та тэмдгээр тэмдэглэсэн, Набла оператор эсвэл Гамильтон оператор гэж нэрлэгддэг вектор дифференциал операторыг нэвтрүүлбэл векторын шинжилгээний томьёо бичих нь ихээхэн хялбаршуулж, хөнгөвчлөх болно. Энэ оператор нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор гэсэн үг.

Энэ вектор өөрөө ямар ч утгагүй юм. Энэ нь скаляр эсвэл вектор функцтэй хосолсон үед утгыг авдаг бөгөөд үүнийг бэлгэдлээр үржүүлдэг. Тэгэхээр y векторыг скаляраар үржүүлбэл векторыг авна

Энэ нь функцийн градиент ((11.1)-ийг үзнэ үү).

Хэрэв y векторыг а вектороор скаляраар үржүүлбэл үр дүн нь скаляр болно

Энэ нь векторын ялгаанаас өөр зүйл биш юм ((11.14)-ийг үз).

Эцэст нь, хэрэв та y-г вектороор үржүүлбэл рота бүрэлдэхүүнтэй давхцах бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор гарч ирнэ: гэх мэт ((11.25) - (11.27)-г үзнэ үү).

Тиймээс тэмдэглэгээг ашиглана вектор бүтээгдэхүүнтодорхойлогчийг ашиглан бид бичиж болно

(11-34)

Тиймээс градиент, ялгарал, роторыг тэмдэглэх хоёр арга байдаг:

Y-г ашиглан тэмдэглэгээ хийх нь олон давуу талтай. Тиймээс, дараагийн зүйлд бид ийм тэмдэглэгээг ашиглах болно. Та "градиент" (жишээ нь "набла" биш, харин "градиент phi" гэж хэлэх), "дивергенц a" гэсэн тэмдэгт, эцэст нь "ротор а" гэсэн үгтэй тэмдэгтийг тодорхойлж хэвших хэрэгтэй. ”.

y векторыг ашиглахдаа энэ нь мөн гэдгийг санах хэрэгтэй дифференциал оператор, түүний баруун талд байгаа бүх функц дээр ажиллах. Тиймээс, y-г агуулсан илэрхийллийг хөрвүүлэхдээ та дүрмийг хоёуланг нь анхаарч үзэх хэрэгтэй вектор алгебр, дүрэм журам ч мөн адил дифференциал тооцоо. Жишээлбэл, функцүүдийн үржвэрийн дериватив нь тэнцүү байна

Үүний дагуу

Үүний нэгэн адил

Зарим функцийн градиент нь вектор функц юм. Тиймээс үүн дээр дивергенц ба роторын үйлдлийг ашиглаж болно.