Çfarë veti kanë faqet e kundërta të një paralelepipedi? Mësimi: Kuboid

Një paralelipiped është një figurë gjeometrike, të 6 faqet e së cilës janë paralelograme.

Në varësi të llojit të këtyre paralelogrameve, dallohen llojet e mëposhtme të paralelopipedëve:

• drejt;
• i prirur;
• drejtkëndëshe.

Një paralelipiped i drejtë është një prizëm katërkëndor, skajet e të cilit bëjnë një kënd prej 90° me rrafshin e bazës.

Një paralelipiped drejtkëndor është një prizëm katërkëndësh, të gjitha fytyrat e të cilit janë drejtkëndësha. Kubi është një shumëllojshmëri prizëm katërkëndor, në të cilën të gjitha fytyrat dhe skajet janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Veçoritë e një figure paracaktojnë vetitë e saj. Këto përfshijnë 4 deklaratat e mëposhtme:

Është e thjeshtë të kujtohen të gjitha vetitë e dhëna, ato janë të lehta për t'u kuptuar dhe rrjedhin logjikisht në bazë të llojit dhe veçorive trup gjeometrik. Megjithatë, deklaratat e thjeshta mund të jenë tepër të dobishme për të vendosur detyra tipike Provimi i Unifikuar i Shtetit dhe do të kursejë kohën e nevojshme për të kaluar testin.

Formulat paralelepipedi

Për të gjetur përgjigje për problemin, nuk mjafton të njihni vetëm vetitë e figurës. Ju gjithashtu mund të keni nevojë për disa formula për të gjetur sipërfaqen dhe vëllimin e një trupi gjeometrik.

Zona e bazave gjendet në të njëjtën mënyrë si treguesi përkatës i një paralelogrami ose drejtkëndëshi. Ju mund ta zgjidhni vetë bazën e paralelogramit. Si rregull, gjatë zgjidhjes së problemeve është më e lehtë të punohet me një prizëm, baza e të cilit është një drejtkëndësh.

Formula për gjetjen e sipërfaqes anësore të një paralelipipedi mund të jetë gjithashtu e nevojshme në detyrat e provës.

Shembuj të zgjidhjes së detyrave tipike të Provimit të Unifikuar të Shtetit

Ushtrimi 1.

E dhënë: një paralelipiped drejtkëndor me përmasa 3, 4 dhe 12 cm.
E nevojshme gjeni gjatësinë e njërës prej diagonaleve kryesore të figurës.
Zgjidhje: Çdo zgjidhje problem gjeometrik duhet të fillojë me ndërtimin e një vizatimi të saktë dhe të qartë, në të cilin do të tregohet "i dhënë" dhe vlera e dëshiruar. Fotografia më poshtë tregon një shembull dizajn i saktë kushtet e detyrës.

Pasi kemi ekzaminuar vizatimin e bërë dhe duke kujtuar të gjitha vetitë e trupit gjeometrik, arrijmë tek e vetmja rruga e duhur Zgjidhjet. Duke zbatuar vetinë e 4-të të një paralelipipedi, marrim shprehjen e mëposhtme:

Pas llogaritjeve të thjeshta marrim shprehjen b2=169, pra b=13. Përgjigja e detyrës është gjetur, ju duhet të shpenzoni jo më shumë se 5 minuta për ta kërkuar dhe vizatuar atë.

Në gjeometri konceptet kryesore janë plani, pika, drejtëza dhe këndi. Duke përdorur këto terma, ju mund të përshkruani çdo figurë gjeometrike. Polyedrat zakonisht përshkruhen në terma të më shumë figura të thjeshta, të cilat shtrihen në të njëjtin rrafsh, si rreth, trekëndësh, katror, ​​drejtkëndësh etj. Në këtë artikull do të shikojmë se çfarë është një paralelipiped, do të përshkruajmë llojet e paralelopipedëve, vetitë e tij, nga cilat elementë përbëhet dhe gjithashtu japim formulat bazë për të llogaritur sipërfaqen dhe vëllimin për çdo lloj paralelipipedi.

Përkufizimi

Paralelepiped në hapësirë ​​tredimensionaleështë një prizëm, të gjitha anët e të cilit janë paralelograme. Prandaj, mund të ketë vetëm tre palë paralelograme paralele ose gjashtë faqe.

Për të vizualizuar një paralelipiped, imagjinoni një tullë të zakonshme standarde. tulla - shembull i mirë një paralelipiped drejtkëndor që edhe një fëmijë mund ta imagjinojë. Shembuj të tjerë përfshijnë shtëpi me panele shumëkatëshe, kabinete, kontejnerë magazinimi produkte ushqimore formën e duhur, etj.

Varietetet e figurave

Ekzistojnë vetëm dy lloje paralelepipedësh:

1. Drejtkëndëshe, të gjitha fytyrat anësore të cilat janë në kënd 90° me bazën dhe janë drejtkëndësha.
2. E pjerrët, skajet anësore të së cilës ndodhen nën kënd të caktuar në bazë.

Në cilat elemente mund të ndahet kjo figurë?

• Ashtu si në çdo figurë tjetër gjeometrike, në një paralelipiped çdo 2 faqe me një skaj të përbashkët quhen të ngjitura, dhe ato që nuk e kanë atë janë paralele (bazuar në vetinë e një paralelogrami që ka paralele në çift anët e kundërta).
• Kulmet e një paralelepipedi që nuk shtrihen në të njëjtën faqe quhen të kundërta.
• Segmenti që lidh kulme të tilla është një diagonale.
• Gjatësitë e tre skajeve të një kuboidi që takohen në një kulm janë dimensionet e tij (domethënë gjatësia, gjerësia dhe lartësia).

Vetitë e formës

1. Ndërtohet gjithmonë në mënyrë simetrike në lidhje me mesin e diagonales.
2. Pika e kryqëzimit të të gjitha diagonaleve e ndan secilën diagonale në dy segmente të barabarta.
3. Fytyra të kundërta të barabartë në gjatësi dhe shtrihen në drejtëza paralele.
4. Nëse shtoni katrorët e të gjitha dimensioneve të një paralelipipedi, vlera që rezulton do të jetë e barabartë me katrorin e gjatësisë së diagonales.

Formulat e llogaritjes

Formulat për çdo rast të veçantë të një paralelepipedi do të jenë të ndryshme.

Për një paralelipiped arbitrar është e vërtetë që vëllimi i tij është i barabartë me vlere absolute trefishtë produkt me pika vektorët e tre anëve që dalin nga një kulm. Megjithatë, nuk ka asnjë formulë për llogaritjen e vëllimit të një paralelepipedi arbitrar.

Për një paralelipiped drejtkëndor zbatohen formulat e mëposhtme:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V është vëllimi i figurës;
• Sb - sipërfaqja anësore;
• Sp - zona sipërfaqe të plotë;
• a - gjatësia;
• b - gjerësia;
• c - lartësia.

Një rast tjetër i veçantë i një paralelepipedi në të cilin të gjitha anët janë katrore është një kub. Nëse ndonjë nga anët e katrorit është caktuar me shkronjën a, atëherë formulat e mëposhtme mund të përdoren për sipërfaqen dhe vëllimin e kësaj figure:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S- zona e figurës,
• V është vëllimi i figurës,
• a është gjatësia e fytyrës së figurës.

Lloji i fundit i paralelepipedit që po shqyrtojmë është një paralelipiped i drejtë. Cili është ndryshimi midis një paralelepipedi të drejtë dhe një kuboidi, ju pyesni. Fakti është se baza e një paralelopipedi drejtkëndor mund të jetë çdo paralelogram, por baza e një paralelepipedi të drejtë mund të jetë vetëm një drejtkëndësh. Nëse perimetrin e bazës, të barabartë me shumën e gjatësive të të gjitha anëve, e shënojmë si Po dhe lartësinë e shënojmë me shkronjën h, kemi të drejtë të përdorim formulat e mëposhtme për të llogaritur vëllimin dhe sipërfaqet e sipërfaqeve të plota dhe anësore.

Në këtë mësim, të gjithë do të jenë në gjendje të studiojnë temën " Paralelepiped drejtkëndëshe" Në fillim të mësimit, ne do të përsërisim se çfarë janë paralelopipedët arbitrar dhe të drejtë, mbani mend vetitë e fytyrave të tyre të kundërta dhe diagonaleve të paralelepipedit. Pastaj do të shohim se çfarë është një kuboid dhe do të diskutojmë vetitë e tij themelore.

Tema: Perpendikulariteti i drejtëzave dhe planeve

Mësimi: Kuboid

Një sipërfaqe e përbërë nga dy paralelogramë të barabartë ABCD dhe A 1 B 1 C 1 D 1 dhe katër paralelograme ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 quhet paralelipiped(Fig. 1).

Oriz. 1 Paralelepiped

Kjo është: ne kemi dy paralelogramë të barabartë ABCD dhe A 1 B 1 C 1 D 1 (baza), ato shtrihen në plane paralele Kështu që brinjë anësore AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 janë paralele. Kështu, një sipërfaqe e përbërë nga paralelogramë quhet paralelipiped.

Kështu, sipërfaqja e një paralelipipedi është shuma e të gjithë paralelogrameve që përbëjnë paralelopipedin.

1. Faqet e kundërta të një paralelipipedi janë paralele dhe të barabarta.

(format janë të barabarta, domethënë mund të kombinohen duke u mbivendosur)

Për shembull:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 ( paralelogramë të barabartë a-parësore),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (pasi AA 1 B 1 B dhe DD 1 C 1 C - fytyra të kundërta paralelipiped),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (pasi AA 1 D 1 D dhe BB 1 C 1 C janë faqe të kundërta të paralelepipedit).

2. Diagonalet e një paralelipipedi priten në një pikë dhe përgjysmohen nga kjo pikë.

Diagonalet e paralelepipedit AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B kryqëzohen në një pikë O, dhe secila diagonale ndahet përgjysmë me këtë pikë (Fig. 2).

Oriz. 2 Diagonalet e një paralelipipedi priten dhe ndahen përgjysmë me pikën e kryqëzimit.

3. Ekzistojnë tre katërfisha të skajeve të barabarta dhe paralele të një paralelipipedi: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Përkufizimi. Një paralelipiped quhet i drejtë nëse skajet anësore të tij janë pingul me bazat.

Lëreni skajin anësor AA 1 të jetë pingul me bazën (Fig. 3). Kjo do të thotë se drejtëza AA 1 është pingul me drejtëzat AD dhe AB, të cilat shtrihen në rrafshin e bazës. Kjo do të thotë që faqet anësore përmbajnë drejtkëndësha. Dhe bazat përmbajnë paralelograme arbitrare. Le të shënojmë ∠ BAD = φ, këndi φ mund të jetë cilido.

Oriz. 3 Paralelepiped djathtas

Pra, një paralelipiped i drejtë është një paralelipiped në të cilin skajet anësore janë pingul me bazat e paralelopipedit.

Përkufizimi. Parallelepipedi quhet drejtkëndor, nëse skajet anësore të tij janë pingul me bazën. Bazat janë drejtkëndëshe.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 paralelipiped është drejtkëndëshe (Fig. 4), nëse:

1. AA 1 ⊥ ABCD (buza anësore pingul me rrafshin e bazës, pra një paralelipiped i drejtë).

2. ∠ BAD = 90°, pra baza është një drejtkëndësh.

Oriz. 4 Paralelepiped drejtkëndëshe

Një paralelipiped drejtkëndor ka të gjitha vetitë e një paralelepipedi arbitrar. Por ka veti shtesë që rrjedhin nga përkufizimi i një kuboidi.

Kështu që, kuboidështë një paralelipiped, skajet anësore të të cilit janë pingul me bazën. Baza e një paralelepipedi drejtkëndor është një drejtkëndësh.

1. Në një paralelipiped drejtkëndor, të gjashtë faqet janë drejtkëndësha.

ABCD dhe A 1 B 1 C 1 D 1 janë drejtkëndësha sipas përkufizimit.

2. Brinjët anësore janë pingul me bazën. Kjo do të thotë se të gjitha faqet anësore të një paralelipipedi drejtkëndor janë drejtkëndësha.

3. Të gjitha këndet dihedrale të një paralelipipedi drejtkëndor janë të drejta.

Le të shqyrtojmë, për shembull, këndin dihedral të një paralelipipedi drejtkëndor me buzë AB, d.m.th., këndin dihedral midis planeve ABC 1 dhe ABC.

AB është një skaj, pika A 1 shtrihet në një rrafsh - në rrafshin ABB 1, dhe pika D në tjetrën - në rrafshin A 1 B 1 C 1 D 1. Atëherë këndi dihedral në shqyrtim mund të shënohet edhe si më poshtë: ∠A 1 ABD.

Le të marrim pikën A në skajin AB. AA 1 - pingul me skajin AB në rrafshin АВВ-1, AD pingul me skajin AB në aeroplan ABC. Pra, ∠A 1 pas Krishtit - kënd linear jepet këndi dykëndor. ∠A 1 AD = 90°, që do të thotë se këndi dihedral në skajin AB është 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Në mënyrë të ngjashme, është vërtetuar se çdo kënd dihedral i një paralelepipedi drejtkëndor është i drejtë.

Diagonalja katrore e një kuboidi e barabartë me shumën katrorët e tre dimensioneve të tij.

Shënim. Gjatësitë e tre skajeve që dalin nga një kulm i një kuboidi janë matjet e kuboidit. Ndonjëherë ato quhen gjatësi, gjerësi, lartësi.

Jepet: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelipiped drejtkëndor (Fig. 5).

Provoj: .

Oriz. 5 Paralelepiped drejtkëndëshe

Dëshmi:

Drejtëza CC 1 është pingul me rrafshin ABC, dhe rrjedhimisht me drejtëzën AC. Kjo do të thotë se trekëndëshi CC 1 A është kënddrejtë. Sipas teoremës së Pitagorës:

Le të shqyrtojmë trekëndësh kënddrejtë ABC. Sipas teoremës së Pitagorës:

Por BC dhe AD janë anët e kundërta të drejtkëndëshit. Pra para Krishtit = pas Krishtit. Pastaj:

Sepse , A , Kjo. Meqenëse CC 1 = AA 1, kjo është ajo që duhej vërtetuar.

Diagonalet e një paralelepipedi drejtkëndor janë të barabarta.

Le të shënojmë dimensionet e ABC paralelipiped si a, b, c (shih Fig. 6), pastaj AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Ose (në mënyrë ekuivalente) një shumëfaqësh, i cili ka gjashtë fytyra dhe secila prej tyre - paralelogrami.

Llojet e paralelepipedit

Ekzistojnë disa lloje të paralelepipedëve:

• Një kuboid është një paralelipiped, faqet e të cilit janë të gjitha drejtkëndësha.
• Një paralelipiped i drejtë është një paralelipiped me 4 faqe anësore që janë drejtkëndësha.
• Një paralelipiped i prirur është një paralelipiped, faqet anësore të të cilit nuk janë pingul me bazat.

Elementet thelbësore

Dy faqet e një paralelipipedi që nuk kanë një skaj të përbashkët quhen përballë, dhe ato që kanë një skaj të përbashkët quhen fqinjë. Dy kulme të një paralelepipedi që nuk i përkasin të njëjtës faqe quhen të kundërta. Një segment që lidhet kulme të kundërta, quhet diagonalja e paralelopipedit. Gjatësia prej tre skajet e një paralelepipedi drejtkëndor që ka maja e zakonshme, quaj matje.

Vetitë

• Paralelepipedi është simetrik rreth mesit të diagonales së tij.
• Çdo segment me skaje që i përkasin sipërfaqes së paralelopipedit dhe që kalon nga mesi i diagonales së tij ndahet në gjysmë prej tij; në veçanti, të gjitha diagonalet e një paralelipipedi priten në një pikë dhe përgjysmohen prej saj.
• Faqet e kundërta të një paralelipipedi janë paralele dhe të barabarta.
• Katrori i gjatësisë diagonale të një paralelipipedi drejtkëndor është i barabartë me shumën e katrorëve të tre dimensioneve të tij.

Formulat bazë

Paralelepiped djathtas

Sipërfaqja anësore S b =P o *h, ku P o është perimetri i bazës, h është lartësia

Sipërfaqja totale S p =S b +2S o, ku S o është zona bazë

Vëllimi V=S o *h

Paralelepiped drejtkëndëshe

Sipërfaqja anësore S b =2c(a+b), ku a, b janë anët e bazës, c është buza anësore e paralelopipedit drejtkëndor

Sipërfaqja totale S p =2(ab+bc+ac)

Vëllimi V=abc, ku a, b, c janë përmasat e një paralelipipedi drejtkëndor.

Kub

Sipërfaqja: $S=6a^2$
Vëllimi: $V=a^3$, Ku $a$- buza e një kubi.

Çdo paralelipiped

Vëllimi dhe raportet në paralelipiped i prirur shpesh përcaktohet duke përdorur algjebër vektoriale. Vëllimi i paralelopipedit është i barabartë me vlerën absolute të produktit të përzier tre vektorë, i përcaktuar nga tre anët e paralelopipedit që burojnë nga një kulm. Marrëdhënia midis gjatësive të brinjëve të një paralelepipedi dhe këndeve ndërmjet tyre jep pohimin se përcaktorja Gram e tre vektorëve të treguar e barabartë me katrorin e tyre produkt i përzier :215 .

Në analizën matematikore

NË analiza matematikore nën një kuboid n-dimensionale $B$ kuptojnë shumë pika $x\; =\; (x\_1,\backslash ldpika,x\_n)$ lloj $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Shkruani një koment për artikullin "Parallelepiped"

Shënime

Lidhjet

Një fragment që karakterizon Parallelepipedin

Përkufizimi

Polyedron do të quajmë një sipërfaqe të mbyllur të përbërë nga shumëkëndësha dhe që kufizon një pjesë të caktuar të hapësirës.

Quhen segmentet që janë brinjët e këtyre shumëkëndëshave brinjët shumëkëndësh, dhe vetë shumëkëndëshat janë skajet. Kulmet e shumëkëndëshave quhen kulme shumëkëndëshe.

Ne do të konsiderojmë vetëm poliedra konveks (ky është një poliedron që ndodhet në njërën anë të çdo rrafshi që përmban fytyrën e tij).

Shumëkëndëshat që përbëjnë një shumëkëndësh formojnë sipërfaqen e tij. Pjesa e hapësirës që kufizohet nga një shumëfaqësh i caktuar quhet brendësi e saj.

Përkufizimi: prizëm

Le të shqyrtojmë dy shumëkëndësh i barabartë\(A_1A_2A_3...A_n\) dhe \(B_1B_2B_3...B_n\) të vendosura në plane paralele në mënyrë që segmentet \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralele. Një shumëfaqësh i formuar nga poligonet \(A_1A_2A_3...A_n\) dhe \(B_1B_2B_3...B_n\), si dhe nga paralelogramet \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), quhet (\(n\)-gonal) prizëm.

Shumëkëndëshat \(A_1A_2A_3...A_n\) dhe \(B_1B_2B_3...B_n\) quhen bazat e prizmit, paralelogramet \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– faqet anësore, segmentet \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- brinjë anësore.
Kështu, skajet anësore të prizmit janë paralele dhe të barabarta me njëra-tjetrën.

Le të shohim një shembull - një prizëm \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), në bazën e të cilit shtrihet një pesëkëndësh konveks.

Lartësia prizmat janë një pingul i rënë nga çdo pikë e një baze në rrafshin e një baze tjetër.

Nëse skajet anësore nuk janë pingul me bazën, atëherë një prizëm i tillë quhet të prirur(Fig. 1), përndryshe - drejt. Në një prizëm të drejtë, skajet anësore janë lartësi, dhe faqet anësore janë drejtkëndësha të barabartë.

Nëse baza e një prizmi të drejtë qëndron shumëkëndëshi i rregullt, atëherë quhet prizmi korrekte.

Përkufizimi: koncepti i vëllimit

Njësia e matjes së vëllimit është një kub njësi (një kub që mat \(1\times1\times1\) njësi\(^3\), ku njësia është një njësi e caktuar matëse).

Mund të themi se vëllimi i një poliedri është sasia e hapësirës që kufizon ky shumëfaqësh. Përndryshe: kjo është sasia vlerë numerike e cila tregon se sa herë një kub njësi dhe pjesët e tij përshtaten në një shumëfaqësh të caktuar.

Vëllimi ka të njëjtat veti si zona:

1. Vëllimet e figurave të barabarta janë të barabarta.

2. Nëse një shumëfaqësh përbëhet nga disa poliedra që nuk kryqëzohen, atëherë vëllimi i tij është i barabartë me shumën e vëllimeve të këtyre poliedrave.

3. Vëllimi është një sasi jo negative.

4. Vëllimi matet në cm\(^3\) ( centimetra kub), m\(^3\) ( Metra kub) etj.

Teorema

1. Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të prizmit është e barabartë me produktin e perimetrit të bazës dhe lartësisë së prizmit.
Sipërfaqja anësore është shuma e sipërfaqeve të faqeve anësore të prizmit.

2. Vëllimi i prizmit e barabartë me produktin zona e bazës për lartësinë e prizmit: \

Përkufizimi: paralelipiped

Paralelepipedështë një prizëm me një paralelogram në bazën e tij.

Të gjitha faqet e paralelopipedit (ka \(6\) : \(4\) faqe anësore dhe \(2\) baza) janë paralelograme, dhe faqet e kundërta (paralele me njëra-tjetrën) janë paralelograme të barabarta (Fig. 2) .

Diagonalja e një paralelepipediështë një segment që lidh dy kulme të një paralelipipedi që nuk shtrihen në të njëjtën faqe (ka \(8\) prej tyre: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) etj.).

Paralelepiped drejtkëndësheështë një paralelipiped i drejtë me një drejtkëndësh në bazën e tij.
Sepse Meqenëse ky është një paralelipiped i drejtë, faqet anësore janë drejtkëndëshe. Kjo do të thotë që në përgjithësi të gjitha faqet e një paralelipipedi drejtkëndor janë drejtkëndësha.

Të gjitha diagonalet e një paralelipipedi drejtkëndor janë të barabarta (kjo rrjedh nga barazia e trekëndëshave \(\trekëndësh ACC_1=\trekëndësh AA_1C=\trekëndësh BDD_1=\trekëndësh BB_1D\) etj.).

Koment

Kështu, një paralelipiped ka të gjitha vetitë e një prizmi.

Teorema

Sipërfaqja anësore e një paralelepipedi drejtkëndor është \

Sipërfaqja e përgjithshme e një paralelepipedi drejtkëndor është \

Teorema

Vëllimi i një kuboidi është i barabartë me produktin e tre skajeve të tij që dalin nga një kulm (tre dimensionet e kuboidit): \

Dëshmi

Sepse Në një paralelipiped drejtkëndor, skajet anësore janë pingul me bazën, pastaj janë edhe lartësitë e saj, pra \(h=AA_1=c\) sepse atëherë baza është një drejtkëndësh \(S_(\tekst(kryesore))=AB\cdot AD=ab\). Nga këtu vjen kjo formulë.

Teorema

Diagonalja \(d\) e një paralelipipedi drejtkëndor gjendet duke përdorur formulën (ku \(a,b,c\) janë dimensionet e paralelopipedit) \

Dëshmi

Le të shohim Fig. 3. Sepse baza është një drejtkëndësh, atëherë \(\trekëndëshi ABD\) është drejtkëndësh, prandaj, nga teorema e Pitagorës \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Sepse të gjitha skajet anësore janë pingul me bazat, atëherë \(BB_1\perp (ABC) \Djathtas BB_1\) pingul me çdo drejtëz në këtë rrafsh, d.m.th. \(BB_1\perp BD\) . Kjo do të thotë se \(\trekëndëshi BB_1D\) është drejtkëndor. Pastaj, nga teorema e Pitagorës \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Përkufizimi: kub

Kubështë një paralelipiped drejtkëndor, të gjitha faqet e të cilit janë katrorë të barabartë.

Kështu, tre dimensionet janë të barabarta me njëra-tjetrën: \(a=b=c\) . Pra, sa vijon janë të vërteta

Teorema

1. Vëllimi i një kubi me buzë \(a\) është i barabartë me \(V_(\tekst(kub))=a^3\) .

2. Diagonalja e kubit gjendet duke përdorur formulën \(d=a\sqrt3\) .

3. Sipërfaqja totale e një kubi \(S_(\tekst(kubik i plotë))=6a^2\).