Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure

Le të kalojmë te aplikacionet llogaritja integrale. Në këtë mësim do të analizojmë detyrën tipike dhe më të zakonshme - si të përdorni një integral të caktuar për të llogaritur sipërfaqen e një figure të rrafshët. Më në fund duke kërkuar kuptimin në matematikë e lartë- le ta gjejnë. Ju kurrë nuk e dini. Në jetën reale, do t'ju duhet të përafroni një komplot dacha duke përdorur funksione elementare dhe të gjeni zonën e saj duke përdorur një integral të caktuar.

Për të zotëruar me sukses materialin, duhet:

1) Kuptoni integral i pacaktuar të paktën në një nivel mesatar. Kështu, dummies duhet së pari të lexojnë mësimin Jo.

2) Të jetë në gjendje të zbatojë formulën Njuton-Leibniz dhe të llogarisë integralin e caktuar. Mund të krijoni marrëdhënie të ngrohta miqësore me integrale të caktuara në faqe Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh.

Në fakt, për të gjetur sipërfaqen e një figure, nuk ju nevojitet aq shumë njohuri për integralin e pacaktuar dhe të caktuar. Detyra "llogaritja e zonës duke përdorur një integral të caktuar" përfshin gjithmonë ndërtimin e një vizatimi, shumë më tepër çështje aktuale do të jenë njohuritë dhe aftësitë tuaja në vizatim. Në këtë drejtim, është e dobishme të rifreskoni kujtesën tuaj të grafikëve kryesorë funksionet elementare, dhe, së paku, të jetë në gjendje të ndërtojë një vijë të drejtë, parabolë dhe hiperbolë. Kjo mund të bëhet (për shumë, është e nevojshme) duke përdorur material metodologjik dhe artikuj mbi transformimet gjeometrike të grafikëve.

Në fakt, të gjithë janë të njohur me detyrën e gjetjes së zonës duke përdorur një integral të caktuar që në shkollë, dhe ne nuk do të shkojmë shumë më larg nga kurrikula shkollore. Ky artikull mund të mos kishte ekzistuar fare, por fakti është se problemi shfaqet në 99 raste nga 100, kur një student vuan nga një shkollë e urryer dhe zotëron me entuziazëm një kurs për matematikën e lartë.

Materialet të kësaj punëtorie paraqitur thjesht, në detaje dhe me një minimum teorie.

Le të fillojmë me trapezoid i lakuar.

Trapezoid lakor thirrur figurë e sheshtë, i kufizuar nga boshti, drejtëzat dhe grafiku i një funksioni të vazhdueshëm në segment, i cili nuk ndryshon shenjë në këtë interval. Le të gjendet kjo shifër jo më e ulët boshti x:

Pastaj sipërfaqja e një trapezi lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar. Çdo integral i caktuar (që ekziston) ka një kuptim shumë të mirë gjeometrik. Në klasë Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh Thashë se një integral i caktuar është një numër. Dhe tani është koha për të thënë një tjetër fakt i dobishëm. Nga pikëpamja e gjeometrisë, integrali i caktuar është SIPËRMARRJA.

Kjo është, integrali i caktuar (nëse ekziston) korrespondon gjeometrikisht me sipërfaqen e një figure të caktuar. Për shembull, merrni parasysh integralin e caktuar. Integrandi përcakton një kurbë në rrafshin e vendosur mbi bosht (ata që dëshirojnë mund të bëjnë një vizatim), dhe vetë integrali i caktuar është numerikisht e barabartë me sipërfaqen trapezi i lakuar përkatës.

Shembulli 1

Kjo është një deklaratë tipike e detyrës. Së pari dhe momenti më i rëndësishëm zgjidhje - vizatim. Për më tepër, vizatimi duhet të ndërtohet E DREJTË.

Kur ndërtoni një vizatim, unë rekomandoj rendin e mëposhtëm: në fillimështë më mirë të ndërtohen të gjitha vijat e drejta (nëse ekzistojnë) dhe vetëm Pastaj– parabola, hiperbola, grafikë të funksioneve të tjera. Është më fitimprurëse të ndërtosh grafikët e funksioneve pikë për pikë, me teknologji ndërtimi pikë për pikë mund të gjendet në material referues Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Aty mund të gjeni gjithashtu material shumë të dobishëm për mësimin tonë - si të ndërtoni shpejt një parabolë.

Në këtë problem, zgjidhja mund të duket kështu.
Le të vizatojmë vizatimin (vini re se ekuacioni përcakton boshtin):

Unë nuk do të çelim një trapez të lakuar, këtu është e qartë se cila është zona ne po flasim për. Zgjidhja vazhdon kështu:

Në segment ndodhet grafiku i funksionit mbi bosht, Kjo është arsyeja pse:

Përgjigje:

Kush ka vështirësi në llogaritjen e integralit të caktuar dhe zbatimin e formulës Njuton-Leibniz , referojuni ligjëratës Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh.

Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigja është e vërtetë. NË në këtë rast"Me sy" ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim - mirë, do të jenë rreth 9, duket të jetë e vërtetë. Është absolutisht e qartë se nëse marrim, të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë është e qartë se diku është bërë një gabim - 20 qeliza padyshim nuk përshtaten në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja është negative, atëherë edhe detyra është zgjidhur gabimisht.

Shembulli 2

Llogaritni sipërfaqen e figurës, e kufizuar me linja, , dhe boshti

Ky është një shembull për vendim i pavarur. Zgjidhje e plotë dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.

Çfarë duhet të bëni nëse ndodhet trapezi i lakuar nën bosht?

Shembulli 3

Llogaritni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat dhe boshtet e koordinatave.

Zgjidhje: Le të bëjmë një vizatim:

Nëse gjendet një trapez i lakuar nën bosht(ose të paktën jo me lart boshti i dhënë), atëherë zona e saj mund të gjendet duke përdorur formulën:
Në këtë rast:

Kujdes! Të dy llojet e detyrave nuk duhet të ngatërrohen:

1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni thjesht një integral të caktuar pa asnjë kuptimi gjeometrik, atëherë mund të jetë negativ.

2) Nëse ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar, atëherë zona është gjithmonë pozitive! Kjo është arsyeja pse minus shfaqet në formulën e sapo diskutuar.

Në praktikë, më shpesh figura është e vendosur në gjysmë rrafshin e sipërm dhe të poshtëm, dhe për këtë arsye, nga më e thjeshta problemet e shkollës Le të kalojmë në shembuj më kuptimplotë.

Shembulli 4

Gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar nga vijat, .

Zgjidhje: Së pari ju duhet të plotësoni vizatimin. Në përgjithësi, kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe vijës së drejtë. Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Metoda e parë është analitike. Ne zgjidhim ekuacionin:

Kjo do të thotë se kufiri i poshtëm i integrimit është kufiri i sipërm integrimin
Nëse është e mundur, është më mirë të mos përdorni këtë metodë..

Është shumë më fitimprurëse dhe më e shpejtë të ndërtosh linja pikë për pikë, dhe kufijtë e integrimit bëhen të qarta “vetëvetiu”. Teknika e ndërtimit pikë për pikë për grafikë të ndryshëm është diskutuar në detaje në ndihmë Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Megjithatë, metodë analitike gjetja e kufijve ende ndonjëherë duhet të përdoret nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i detajuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm). Dhe ne gjithashtu do të shqyrtojmë një shembull të tillë.

Le t'i kthehemi detyrës sonë: është më racionale të ndërtojmë fillimisht një vijë të drejtë dhe vetëm më pas një parabolë. Le të bëjmë vizatimin:

E përsëris që kur ndërtohet në drejtim të pikës, kufijtë e integrimit më së shpeshti zbulohen "automatikisht".

Dhe tani formula e punës: Nëse ka ndonjë funksion të vazhdueshëm në segment më i madh ose i barabartë me disa funksion të vazhdueshëm, pastaj zona e figurës, kufizuar nga oraret funksionet e dhëna dhe vijat e drejta , , mund të gjenden duke përdorur formulën:

Këtu nuk keni më nevojë të mendoni se ku ndodhet figura - mbi bosht ose nën bosht, dhe, përafërsisht, ka rëndësi se cili grafik është MË I LARTË(në lidhje me një grafik tjetër), dhe cila është POSHTË.

Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye është e nevojshme të zbritet nga

Zgjidhja e përfunduar mund të duket si kjo:

Shifra e dëshiruar kufizohet nga një parabolë sipër dhe një vijë e drejtë poshtë.
Në segmentin, sipas formula përkatëse:

Përgjigje:

Në fakt formula e shkollës për zonën e një trapezi lakor në gjysmëplanin e poshtëm (shih shembullin e thjeshtë nr. 3) - rast i veçantë formulat . Meqenëse boshti specifikohet nga ekuacioni, dhe grafiku i funksionit është i vendosur jo me lart sëpata, atëherë

Dhe tani disa shembuj për zgjidhjen tuaj

Shembulli 5

Shembulli 6

Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat, .

Kur zgjidhni probleme që përfshijnë llogaritjen e sipërfaqes duke përdorur një integral të caktuar, ndonjëherë ndodh një incident qesharak. Vizatimi është bërë saktë, llogaritjet kanë qenë të sakta, por nga pakujdesia... u gjet zona e figurës së gabuar, kjo është pikërisht mënyra se si shërbëtori yt i përulur e ka prishur disa herë. Këtu rast real nga jeta:

Shembulli 7

Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat , , , .

Zgjidhje: Së pari, le të bëjmë një vizatim:

...Eh, vizatimi doli katrahurë, por gjithçka duket se është e lexueshme.

Figura, zona e së cilës duhet të gjejmë është me hije blu(Shikoni me kujdes gjendjen - si është e kufizuar shifra!). Por në praktikë, për shkak të pavëmendjes, shpesh ndodh një "gabim" që ju duhet të gjeni zonën e një figure që është e hijezuar jeshile!

Ky shembull është gjithashtu i dobishëm në atë që llogarit sipërfaqen e një figure duke përdorur dy integrale të përcaktuara. Vërtet:

1) Në segmentin mbi bosht ka një grafik të një vije të drejtë;

2) Në segmentin mbi bosht ka një grafik të një hiperbole.

Është mjaft e qartë se zonat mund (dhe duhet) të shtohen, prandaj:

Përgjigje:

Le të kalojmë në një detyrë tjetër kuptimplote.

Shembulli 8

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija,
Le t'i paraqesim ekuacionet në formën "shkollë" dhe të bëjmë një vizatim pikë për pikë:

Nga vizatimi duket qartë se kufiri ynë i sipërm është "i mirë": .
Por cili është kufiri i poshtëm?! Është e qartë se ky nuk është një numër i plotë, por çfarë është? Mund të jetë? Por ku është garancia që vizatimi të jetë bërë me saktësi të përsosur, mund të rezultojë se... Ose rrënjën. Po sikur ta ndërtojmë grafikun gabimisht?

Në raste të tilla duhet të shpenzoni kohë shtesë dhe të qartësojë në mënyrë analitike kufijtë e integrimit.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të një drejtëze dhe një parabole.
Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin:

,

Vërtet,.

Zgjidhja e mëtejshme është e parëndësishme, gjëja kryesore është të mos ngatërroheni në zëvendësime dhe shenja, llogaritjet këtu nuk janë më të thjeshtat.

Në segmentin , sipas formulës përkatëse:

Përgjigje:

Epo, për të përfunduar mësimin, le të shohim dy detyra më të vështira.

Shembulli 9

Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat, ,

Zgjidhje: Le të përshkruajmë kjo shifër në vizatim.

Dreqin, harrova të firmosa orarin dhe, më falni, nuk doja ta ribëja foton. Jo një ditë vizatimi, me pak fjalë, sot është dita =)

Për ndërtimin pikë për pikë duhet të dini pamjen sinusoidet (dhe përgjithësisht të dobishme për t'u njohur grafikët e të gjitha funksioneve elementare), si dhe disa vlera sinus, ato mund të gjenden në tabelë trigonometrike. Në disa raste (si në këtë rast), është e mundur të ndërtohet një vizatim skematik, mbi të cilin grafikët dhe kufijtë e integrimit duhet të shfaqen në themel të saktë.

Këtu nuk ka probleme me kufijtë e integrimit, ato rrjedhin drejtpërdrejt nga kushti: "x" ndryshon nga zero në "pi". Le të marrim një vendim të mëtejshëm:

Në segment, grafiku i funksionit ndodhet mbi bosht, prandaj:

Njohuria se si të matet Toka u shfaq në kohët e lashta dhe gradualisht mori formë në shkencën e gjeometrisë. ME gjuha greke Kjo fjalë përkthehet si "anketim i tokës".

Masa e shtrirjes së një pjese të sheshtë të Tokës në gjatësi dhe gjerësi është sipërfaqja. Në matematikë zakonisht shënohet shkronja latine S (nga anglishtja "katror" - "zona", "katror") ose Letra grekeσ (sigma). S tregon sipërfaqen e një figure në një plan ose sipërfaqen e një trupi, dhe σ është sipërfaqja prerje tërthore telat në fizikë. Këto janë simbolet kryesore, megjithëse mund të ketë të tjera, për shembull, në fushën e forcës së materialeve, A është zona e seksionit kryq të profilit.

Formulat e llogaritjes

Njohja e zonës figura të thjeshta, mund të gjeni parametra më komplekse. Matematikanët e lashtë zhvilluan formula që mund të përdoren për t'i llogaritur lehtësisht ato. Shifra të tilla janë trekëndëshi, katërkëndëshi, shumëkëndëshi, rrethi.

Për të gjetur sipërfaqen e një figure komplekse të rrafshët, ajo ndahet në shumë figura të thjeshta si trekëndëshat, trapezoidët ose drejtkëndëshat. Pastaj metodat matematikore nxirrni një formulë për sipërfaqen e kësaj figure. Një metodë e ngjashme përdoret jo vetëm në gjeometri, por edhe në analiza matematikore për të llogaritur sipërfaqet e figurave të kufizuara me kurba.

Trekëndëshi

Le të fillojmë me figurën më të thjeshtë - një trekëndësh. Ato janë drejtkëndëshe, dykëndëshe dhe barabrinjës. Le të marrim ndonjë trekëndëshi ABC me brinjë AB=a, BC=b dhe AC=c (∆ ABC). Për të gjetur zonën e saj, kujtoni të njohurit kursi shkollor teoremat e matematikës të sinuseve dhe kosinuseve. Duke hequr dorë nga të gjitha llogaritjet, arrijmë te formulat e mëposhtme:

S=√ - formula e Heronit, e njohur nga të gjithë, ku p=(a+b+c)/2 është gjysmëperimetri i trekëndëshit;
S=a h/2, ku h është lartësia e ulur në anën a;
S=a b (sin γ)/2, ku γ është këndi ndërmjet brinjëve a dhe b;
S=a b/2, nëse ∆ ABC është drejtkëndëshe (këtu a dhe b janë këmbët);
S=b² (sin (2 β))/2, nëse ∆ ABC është dykëndësh (këtu b është një nga "ijet", β është këndi midis "vijeve" të trekëndëshit);
S=a² √¾, nëse ∆ ABC është barabrinjës (këtu a është një brinjë e trekëndëshit).

Katërkëndësh

Le të jetë një katërkëndësh ABCD me AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Për të gjetur zonën S të një 4-këndëshi arbitrar, duhet ta ndani atë diagonalisht në dy trekëndësha, zonat e të cilave janë S1 dhe S2 në rast i përgjithshëm jo të barabartë.

Më pas përdorni formulat për t'i llogaritur dhe për t'i shtuar ato, d.m.th. S=S1+S2. Sidoqoftë, nëse një 4-gon i përket një klase të caktuar, atëherë zona e tij mund të gjendet duke përdorur formula të njohura më parë:

S=(a+c) h/2=e h, nëse tetragoni është trapez (këtu a dhe c janë bazat, e janë vija e mesme trapezoid, h - lartësia e ulur në njërën nga bazat e trapezit;
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, nëse ABCD është paralelogram (këtu φ është këndi ndërmjet brinjëve a dhe b, h është lartësia e rënë në brinjën a, d1 dhe d2 janë diagonale);
S=a b=d²/2, nëse ABCD është një drejtkëndësh (d është një diagonale);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, nëse ABCD është një romb (a është ana e rombit, φ është një nga këndet e tij, P është perimetri);
S=a²=P²/16=d²/2, nëse ABCD është katror.

Shumëkëndëshi

Për të gjetur sipërfaqen e një n-gon, matematikanët e ndajnë atë në më të thjeshtat shifra të barabarta-trekëndëshat, gjeni sipërfaqen e secilit prej tyre dhe më pas shtoni. Por nëse shumëkëndëshi i përket klasës së rregullt, atëherë përdorni formulën:

S=a n h/2=a² n/=P²/, ku n është numri i kulmeve (ose brinjëve) të shumëkëndëshit, a është brinja e n-këndëshit, P është perimetri i tij, h është apotema, d.m.th. segment i tërhequr nga qendra e shumëkëndëshit në njërën nga anët e tij në një kënd prej 90°.

Rretho

Një rreth është një shumëkëndësh i përsosur me numër i pafund partive. Ne duhet të llogarisim kufirin e shprehjes në të djathtë në formulën për sipërfaqen e një shumëkëndëshi me numrin e brinjëve n që priren në pafundësi. Në këtë rast, perimetri i shumëkëndëshit do të kthehet në gjatësinë e një rrethi me rreze R, e cila do të jetë kufiri i rrethit tonë, dhe do të bëhet i barabartë me P=2 π R. Zëvendësoni këtë shprehje me formulën e mësipërme. Ne do të marrim:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Le ta gjejmë kufirin e kësaj shprehjeje si n→∞. Për ta bërë këtë, marrim parasysh që lim (cos (180°/n)) për n→∞ është i barabartë me cos 0°=1 (lim është shenja e kufirit), dhe lim = lim për n→∞ është e barabartë me 1/π (ne përkthyem masë shkallë në një radian, duke përdorur relacionin π rad=180°, dhe aplikoi të parën shquar limit lim(sin x)/x=1 në x→∞). Duke zëvendësuar vlerat e marra në shprehjen e fundit për S, arrijmë në formula e njohur:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Njësitë matëse

Përdoren njësi matëse sistemike dhe josistematike. Njësitë e sistemit i përkasin SI (System International). Ky është një metër katror (metër katror, m²) dhe njësitë që rrjedhin prej tij: mm², cm², km².

Në milimetra katrorë (mm²), për shembull, matet sipërfaqja e seksionit kryq të telave në inxhinierinë elektrike, në centimetra katrorë (cm²) - seksioni kryq i një rreze në mekanika strukturore, në metra katror (m²) - apartamente ose shtëpi, në kilometra katrorë (km²) - territore në gjeografi.

Mirëpo, ndonjëherë përdoren njësi matëse josistematike, si: thurje, ar (a), hektar (ha) dhe akër (as). Le të paraqesim marrëdhëniet e mëposhtme:

1 thurje=1 a=100 m²=0,01 hektarë;
1 ha=100 a=100 hektarë=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
1 ac = 4046.856 m² = 40.47 a = 40.47 hektarë = 0.405 hektarë.

Mësimi me temën: "Formulat për përcaktimin e sipërfaqes së një trekëndëshi, drejtkëndëshi, katrori"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja. Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Ndihma edukative dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 5
Simulator për librin shkollor nga I.I Zubareva dhe A.G. Mordkovich
Simulator për librin shkollor nga G.V. Dorofeev dhe L.G

Përkufizimi dhe koncepti i sipërfaqes së një figure

Për të kuptuar më mirë se sa është sipërfaqja e një figure, merrni parasysh figurën.
Kjo shifër arbitrare është e ndarë në 12 katrorë të vegjël. Brinja e çdo katrori është 1 cm dhe sipërfaqja e çdo katrori është 1 centimetër katror, e cila shkruhet si më poshtë. 1 cm 2.

Atëherë sipërfaqja e figurës është 12 centimetra katrorë. Në matematikë, zona shënohet me shkronjën latine S.
Kjo do të thotë se zona e figurës sonë është: Forma S = 12 cm 2.

Sipërfaqja e figurës është e barabartë me sipërfaqen e të gjithë katrorëve të vegjël që e përbëjnë atë!

Djema, mbani mend!
Sipërfaqja matet në njësi katrore të gjatësisë. Njësitë e zonës:
1. Kilometer katror- km 2 (kur zonat janë shumë të mëdha, për shembull, një vend ose det).
2. Metër katror- m2 (mjaft i përshtatshëm për matjen e sipërfaqes së një trualli ose apartamenti).
3. centimetër katror- cm 2 (zakonisht përdoret në mësimet e matematikës kur vizatohen figura në fletore).
4. Milimetër katror - mm 2.

Sipërfaqja e një trekëndëshi

Le të shqyrtojmë dy lloje trekëndëshash: kënddrejtë dhe arbitrar.

Për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë, duhet të dini gjatësinë e bazës dhe lartësinë. Në një trekëndësh kënddrejtë, lartësia zëvendësohet nga njëra nga anët. Prandaj, në formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi, në vend të lartësisë, ne zëvendësojmë njërën nga anët.
Në shembullin tonë, anët janë 7 cm dhe 4 cm. Formula për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi është shkruar si më poshtë.
S drejtkëndëshe trekëndëshi ABC= BC * SA: 2

S i trekëndëshit kënddrejtë ABC = 7 cm * 4 cm: 2 = 14 cm 2

Tani merrni parasysh një trekëndësh arbitrar.

Për një trekëndësh të tillë, duhet të vizatoni lartësinë në bazë.
Në shembullin tonë, lartësia është 6 cm dhe baza është 8 cm, si në shembullin e mëparshëm, ne llogarisim sipërfaqen duke përdorur formulën:
S trekëndësh arbitrar ABC = BC * h: 2.

Le të zëvendësojmë të dhënat tona në formulë dhe të marrim:
S i një trekëndëshi arbitrar ABC = 8 cm * 6 cm: 2 = 24 cm 2.

Sipërfaqja e një drejtkëndëshi dhe katrori

Merrni një drejtkëndësh ABCD me brinjë 5 cm dhe 8 cm.

Formula për llogaritjen e sipërfaqes së një drejtkëndëshi shkruhet si më poshtë:
S drejtkëndësh ABCD = AB * BC.

S drejtkëndësh ABCD = 8 cm * 5 cm = 40 cm 2.

Tani le të llogarisim sipërfaqen e katrorit. Ndryshe nga një drejtkëndësh dhe një trekëndësh, për të gjetur sipërfaqen e një katrori duhet të dini vetëm njërën anë. Në shembullin tonë, brinja e katrorit ABCD është 9 cm. Katrori S ABCD = AB * BC = AB 2.

Le të zëvendësojmë të dhënat tona në formulë dhe të marrim:
S katror ABCD = 9 cm * 9 cm = 81 cm 2.

Sheshi figura gjeometrike - karakteristikë numerike një figurë gjeometrike që tregon madhësinë e kësaj figure (pjesë e sipërfaqes e kufizuar nga kontura e mbyllur e kësaj figure). Madhësia e sipërfaqes shprehet me numrin e njësive katrore të përfshira në të.

Formulat e sipërfaqes së trekëndëshit

Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi nga ana dhe lartësia
Sipërfaqja e një trekëndëshi e barabartë me gjysmën e produktit të gjatësisë së një brinjë të një trekëndëshi dhe gjatësisë së lartësisë së tërhequr në këtë anë
Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi të bazuar në tre anët dhe rrezen e rrethit
Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi bazuar në tre anët dhe rrezen e rrethit të brendashkruar
Sipërfaqja e një trekëndëshiështë e barabartë me prodhimin e gjysmëperimetrit të trekëndëshit dhe rrezes së rrethit të brendashkruar.

Formulat e sipërfaqes katrore

Formula për sipërfaqen e një katrori për nga gjatësia anësore
Zona katrore e barabartë me katrorin e gjatësisë së brinjës së saj.
Formula për sipërfaqen e një katrori përgjatë gjatësisë diagonale
Zona katrore e barabartë me gjysmën e katrorit të gjatësisë së diagonales së saj.
S= 1 2
2

Formula e sipërfaqes drejtkëndëshe

Sipërfaqja e një drejtkëndëshi

Formulat e sipërfaqes paralelograme

Formula për sipërfaqen e një paralelogrami bazuar në gjatësinë dhe lartësinë e anës
Zona e një paralelogrami
Formula për sipërfaqen e një paralelogrami bazuar në dy anët dhe këndin midis tyre
Zona e një paralelogramiështë i barabartë me produktin e gjatësive të brinjëve të tij shumëzuar me sinusin e këndit ndërmjet tyre.
a b mëkat α

Formulat për sipërfaqen e një rombi

Formula për sipërfaqen e një rombi bazuar në gjatësinë dhe lartësinë e anës
Zona e një rombiështë e barabartë me prodhimin e gjatësisë së anës së saj dhe gjatësisë së lartësisë së ulur në këtë anë.
Formula për sipërfaqen e një rombi bazuar në gjatësinë dhe këndin e anës
Zona e një rombiështë e barabartë me produktin e katrorit të gjatësisë së brinjës së tij dhe të sinusit të këndit ndërmjet brinjëve të rombit.
Formula për sipërfaqen e një rombi bazuar në gjatësitë e diagonaleve të tij
Zona e një rombi e barabartë me gjysmën e prodhimit të gjatësive të diagonaleve të tij.

Formulat e zonës së trapezit

Formula e Heronit për trapezoidin
Ku S është zona e trapezit,
- gjatësitë e bazave të trapezit,
- gjatësitë e anëve të trapezit,

Ne duhet të përballemi me një koncept të tillë si zonë në jetën tonë të përditshme. Kështu, për shembull, kur ndërtoni një shtëpi duhet ta dini për të llogaritur shumën materiali i kërkuar. Madhësia parcela e kopshtit do të karakterizohet edhe nga zona. Edhe rinovimet në një apartament nuk mund të bëhen pa këtë përcaktim. Prandaj, pyetja se si të gjesh sipërfaqen e një drejtkëndëshi lind shumë shpesh dhe është e rëndësishme jo vetëm për nxënësit e shkollës.

Për ata që nuk e dinë, një drejtkëndësh është një figurë e sheshtë që ka anët e kundërta janë të barabarta dhe këndet janë 90°. Për të treguar sipërfaqen në matematikë përdorim Letër angleze S. Është matur në njësi katrore: metra, centimetra dhe kështu me radhë.

Tani do të përpiqemi t'i japim një përgjigje të detajuar pyetjes se si të gjejmë zonën e një drejtkëndëshi. Ka disa mënyra për të përcaktuar këtë vlerë. Më shpesh hasim një metodë të përcaktimit të zonës duke përdorur gjerësinë dhe gjatësinë.

Le të marrim një drejtkëndësh me gjerësi b dhe gjatësi k. Për të llogaritur sipërfaqen e një drejtkëndëshi të caktuar, duhet të shumëzoni gjerësinë me gjatësinë. E gjithë kjo mund të përfaqësohet në formën e një formule që do të duket kështu: S = b * k.

Tani le të shohim këtë metodë shembull specifik. Është e nevojshme të përcaktohet sipërfaqja e një parcele kopshti me gjerësi 2 metra dhe gjatësi 7 metra.

S = 2 * 7 = 14 m2

Në matematikë, veçanërisht në matematikë, duhet të përcaktojmë sipërfaqen në mënyra të tjera, pasi në shumë raste nuk dimë as gjatësinë, as gjerësinë e drejtkëndëshit. Në të njëjtën kohë, ekzistojnë sasi të tjera të njohura. Si të gjeni sipërfaqen e një drejtkëndëshi në këtë rast?

Nëse e dimë gjatësinë e diagonales dhe një nga këndet që përbën diagonalen me cilëndo anë të drejtkëndëshit, atëherë në këtë rast do të na duhet të kujtojmë zonën në fund të fundit, nëse e shikoni atë, drejtkëndëshi përbëhet nga dy të barabarta trekëndëshat kënddrejtë. Pra, le të kthehemi në vlerën e përcaktuar. Së pari ju duhet të përcaktoni kosinusin e këndit. Shumëzoni vlerën që rezulton me gjatësinë e diagonales. Si rezultat, marrim gjatësinë e njërës prej anëve të drejtkëndëshit. Në mënyrë të ngjashme, por duke përdorur përkufizimin e sinusit, mund të përcaktoni gjatësinë e anës së dytë. Si të gjeni sipërfaqen e një drejtkëndëshi tani? Po, është shumë e thjeshtë, shumëzoni vlerat që rezultojnë.

Në formën e formulës do të duket kështu:

S = cos(a) * sin(a) * d2, ku d është gjatësia e diagonales

Një mënyrë tjetër për të përcaktuar sipërfaqen e një drejtkëndëshi është përmes rrethit të gdhendur në të. Përdoret nëse drejtkëndëshi është katror. Për të përdorur këtë metodë duhet të dini Si të llogarisni sipërfaqen e një drejtkëndëshi në këtë mënyrë? Sigurisht, sipas formulës. Nuk do ta vërtetojmë. Dhe duket kështu: S = 4 * r2, ku r është rrezja.

Ndodh që në vend të rrezes të dimë diametrin e rrethit të brendashkruar. Atëherë formula do të duket si kjo:

S=d2, ku d është diametri.

Nëse dihet njëra nga anët dhe perimetri, atëherë si të zbuloni zonën e drejtkëndëshit në këtë rast? Për ta bërë këtë, është e nevojshme të bëni një seri llogaritje të thjeshta. Siç e dimë, anët e kundërta të një drejtkëndëshi janë të barabarta, kështu që gjatësia e njohur e shumëzuar me dy duhet të zbritet nga vlera e perimetrit. Ndani rezultatin me dy dhe merrni gjatësinë e anës së dytë. Epo, atëherë teknika standarde është të shumëzoni të dy anët dhe të merrni sipërfaqen e drejtkëndëshit. Në formën e formulës do të duket kështu:

S=b* (P - 2*b), ku b është gjatësia e anës, P është perimetri.

Siç mund ta shihni, sipërfaqja e një drejtkëndëshi mund të përcaktohet në mënyra të ndryshme. E gjitha varet nga sasitë që dimë përpara se të shqyrtojmë këtë çështje. Sigurisht, metodat më të fundit të llogaritjes praktikisht nuk hasen kurrë në jetë, por ato mund të jenë të dobishme për zgjidhjen e shumë problemeve në shkollë. Ndoshta ky artikull do të jetë i dobishëm për zgjidhjen e problemeve tuaja.