Sistemi i pabarazive.
Shembulli 1. Gjeni domenin e një shprehjeje
Zgjidhje. Nën shenjën rrënjë katrore duhet të jetë numër jo negativ, që do të thotë se dy pabarazi duhet të plotësohen njëkohësisht: Në raste të tilla, ata thonë se problemi reduktohet në zgjidhjen e një sistemi pabarazish

Por ne ende nuk kemi hasur në një model të tillë matematikor (sistemi i pabarazive). Kjo do të thotë se ne nuk jemi ende në gjendje të plotësojmë zgjidhjen e shembullit.

Pabarazitë që formojnë një sistem kombinohen me një kllapë kaçurrelë (e njëjta gjë është e vërtetë në sistemet e ekuacioneve). Për shembull, regjistroni

do të thotë që pabarazitë 2x - 1 > 3 dhe 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Ndonjëherë një sistem pabarazish shkruhet në formën e një pabarazie të dyfishtë. Për shembull, një sistem pabarazish

mund të shkruhet si një pabarazi e dyfishtë 3<2х-1<11.

Në kursin e algjebrës së klasës së 9-të, do të shqyrtojmë vetëm sisteme me dy pabarazi.

Konsideroni sistemin e pabarazive

Ju mund të zgjidhni disa nga zgjidhjet e tij të veçanta, për shembull x = 3, x = 4, x = 3.5. Në fakt, për x = 3 pabarazia e parë merr formën 5 > 3, dhe e dyta merr formën 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Në të njëjtën kohë, vlera x = 5 nuk është një zgjidhje për sistemin e pabarazive. Kur x = 5, pabarazia e parë merr formën 9 > 3 - një pabarazi numerike e saktë, dhe e dyta merr formën 13< 11- неверное числовое неравенство .
Të zgjidhësh një sistem pabarazish do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet e tij të veçanta. Është e qartë se hamendja e treguar më sipër nuk është një metodë për zgjidhjen e një sistemi pabarazish. NË shembullin e mëposhtëm Ne do të tregojmë se si njerëzit zakonisht arsyetojnë kur zgjidhin një sistem pabarazish.

Shembulli 3. Zgjidheni sistemin e pabarazive:

Zgjidhje.

A) Duke zgjidhur pabarazinë e parë të sistemit, gjejmë 2x > 4, x > 2; duke zgjidhur pabarazinë e dytë të sistemit, gjejmë 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Duke zgjidhur pabarazinë e parë të sistemit, gjejmë x > 2; duke zgjidhur pabarazinë e dytë të sistemit, gjejmë Le t'i shënojmë këto intervale në një vijë koordinative, duke përdorur çeljen e sipërme për intervalin e parë dhe çelin e poshtëm për të dytën (Fig. 23). Zgjidhja e sistemit të pabarazive do të jetë kryqëzimi i zgjidhjeve të pabarazive të sistemit, d.m.th. intervali ku përputhen të dy çeljet. Në shembullin në shqyrtim marrim një rreze

V) Duke zgjidhur pabarazinë e parë të sistemit, gjejmë x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Le të përgjithësojmë arsyetimin e kryer në shembullin e marrë. Supozoni se duhet të zgjidhim sistemin e pabarazive

Le të jetë, për shembull, intervali (a, b) një zgjidhje për pabarazinë fx 2 > g(x), dhe intervali (c, d) të jetë një zgjidhje për pabarazinë f 2 (x) > s 2 (x ). Le t'i shënojmë këto intervale në një vijë koordinative, duke përdorur çeljen e sipërme për intervalin e parë dhe çelin e poshtëm për të dytën (Fig. 25). Zgjidhja e një sistemi pabarazish është kryqëzimi i zgjidhjeve të pabarazive të sistemit, d.m.th. intervali ku përputhen të dyja çeljet. Në Fig. 25 është intervali (c, b).

Tani mund të zgjidhim lehtësisht sistemin e pabarazive që kemi marrë më lart në Shembullin 1:

Duke zgjidhur pabarazinë e parë të sistemit, gjejmë x > 2; duke zgjidhur pabarazinë e dytë të sistemit, gjejmë x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Sigurisht, sistemi i pabarazive nuk duhet të përbëhet nga pabarazitë lineare, siç ishte deri tani; Mund të ndodhë çdo pabarazi racionale (dhe jo vetëm racionale). Teknikisht, puna me një sistem të pabarazive racionale jolineare është, natyrisht, më e ndërlikuar, por nuk ka asgjë thelbësisht të re (krahasuar me sistemet e pabarazive lineare) këtu.

Shembulli 4. Zgjidh sistemin e pabarazive

Zgjidhje.

1) Zgjidh pabarazinë që kemi
Le të shënojmë pikat -3 dhe 3 në vijën numerike (Fig. 27). Ata e ndajnë vijën në tre intervale, dhe në secilin interval shprehja p(x) = (x- 3) (x + 3) ruan një shenjë konstante - këto shenja tregohen në Fig. 27. Na interesojnë intervalet në të cilat vlen pabarazia p(x) > 0 (ato janë të hijezuara në figurën 27), dhe pikat në të cilat vlen barazia p(x) = 0, d.m.th. pikat x = -3, x = 3 (ato janë shënuar në Fig. 2 7 me rrathë të errët). Kështu, në Fig. 27 paraqitur modeli gjeometrik zgjidhje për pabarazinë e parë.

2) Zgjidh pabarazinë që kemi
Le të shënojmë pikat 0 dhe 5 në vijën numerike (Fig. 28). Ata e ndajnë vijën në tre intervale dhe në çdo interval shprehjen<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (e hijezuar në Fig. 28), dhe pikat në të cilat plotësohet barazia g (x) - O, d.m.th. pikat x = 0, x = 5 (ato janë shënuar në Fig. 28 me rrathë të errët). Kështu, në Fig. Figura 28 paraqet një model gjeometrik për zgjidhjen e pabarazisë së dytë të sistemit.

3) Le të shënojmë zgjidhjet e gjetura të pabarazive të para dhe të dyta të sistemit në të njëjtën vijë koordinative, duke përdorur çeljen e sipërme për zgjidhjet e pabarazisë së parë dhe çeljen e poshtme për zgjidhjet e së dytës (Fig. 29). Zgjidhja e sistemit të pabarazive do të jetë kryqëzimi i zgjidhjeve të pabarazive të sistemit, d.m.th. intervali ku përputhen të dyja çeljet. Një interval i tillë është një segment.

Shembulli 5. Zgjidheni sistemin e pabarazive:

Zgjidhja:

A) Nga pabarazia e parë gjejmë x >2. Le të shqyrtojmë pabarazinë e dytë. Trinomi katror x 2 + x + 2 nuk ka rrënjë reale, dhe koeficienti i tij kryesor (koeficienti x 2) është pozitiv. Kjo do të thotë se për të gjitha x vlen pabarazia x 2 + x + 2>0, dhe për këtë arsye pabarazia e dytë e sistemit nuk ka zgjidhje. Çfarë do të thotë kjo për sistemin e pabarazive? Kjo do të thotë se sistemi nuk ka zgjidhje.

b) Nga pabarazia e parë gjejmë x > 2, dhe pabarazia e dytë është e kënaqur për çdo vlerë të x. Çfarë do të thotë kjo për sistemin e pabarazive? Kjo do të thotë se zgjidhja e tij ka formën x>2, d.m.th. përkon me zgjidhjen e pabarazisë së parë.

Përgjigje:

a) nuk ka zgjidhje; b) x > 2.

Ky shembull është një ilustrim i dobisë së mëposhtme

1. Nëse në një sistem me disa pabarazi me një variabël një pabarazi nuk ka zgjidhje, atëherë sistemi nuk ka zgjidhje.

2. Nëse në një sistem me dy pabarazi me një ndryshore, një pabarazi plotësohet për çdo vlerë të ndryshores, atëherë zgjidhja e sistemit është zgjidhja e pabarazisë së dytë të sistemit.

Duke përfunduar këtë pjesë, le të kthehemi te problemi për numrin e synuar të dhënë në fillim dhe ta zgjidhim atë, siç thonë ata, sipas të gjitha rregullave.

Shembulli 2(shih f. 29). Të synuara numri natyror. Dihet se nëse shtoni 13 në katrorin e numrit të synuar, shuma do të jetë më shumë punë numrin e planifikuar dhe numrin 14. Nëse katrorit të numrit të planifikuar i shtoni 45, atëherë shuma do të jetë më e vogël se prodhimi i numrit të planifikuar dhe numrit 18. Cili numër planifikohet?

Zgjidhje.

Faza e parë. Hartimi i një modeli matematikor.
Numri i synuar x, siç e pamë më lart, duhet të plotësojë sistemin e pabarazive

Faza e dytë. Duke punuar me modelin matematikor të përpiluar Le të transformojmë pabarazinë e parë të sistemit në formë
x2- 14x+ 13 > 0.

Le të gjejmë rrënjët e trinomit x 2 - 14x + 13: x 2 = 1, x 2 = 13. Duke përdorur parabolën y = x 2 - 14x + 13 (Fig. 30) arrijmë në përfundimin se pabarazia që na intereson është i kënaqur në x< 1 или x > 13.

Le ta transformojmë pabarazinë e dytë të sistemit në formën x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Pabarazitë dhe sistemet e pabarazive janë një nga temat e trajtuara në shkolla e mesme në algjebër. Për sa i përket nivelit të vështirësisë, nuk është më i vështiri, pasi ka rregulla të thjeshta (më shumë për to pak më vonë). Si rregull, nxënësit e shkollës mësojnë të zgjidhin sistemet e pabarazive mjaft lehtë. Kjo edhe për faktin se mësuesit thjesht i “trajnojnë” nxënësit e tyre për këtë temë. Dhe ata nuk mund të mos e bëjnë këtë, sepse ajo studiohet në të ardhmen duke përdorur të tjera madhësive matematikore, dhe është testuar gjithashtu në OGE dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit. NË tekstet shkollore Tema e pabarazive dhe sistemeve të pabarazive është trajtuar me shumë detaje, kështu që nëse do ta studioni, është mirë t'u drejtoheni atyre. Ky artikull përmbledh vetëm materiale më të mëdha dhe mund të ketë disa lëshime.

Koncepti i një sistemi pabarazish

Nëse i drejtoheni gjuha shkencore, atëherë mund të përkufizojmë konceptin e "sistemit të pabarazive". Ky është një model matematik që përfaqëson disa pabarazi. Ky model, natyrisht, kërkon një zgjidhje dhe kjo do të jetë përgjigja e përgjithshme për të gjitha pabarazitë e sistemit të propozuar në detyrë (zakonisht kjo shkruhet në të, për shembull: "Zgjidhni sistemin e pabarazive 4 x + 1 > 2 dhe 30 - x > 6 ... "). Sidoqoftë, përpara se të kaloni te llojet dhe metodat e zgjidhjeve, duhet të kuptoni diçka tjetër.

Sistemet e pabarazive dhe sistemet e ekuacioneve

Në procesin e studimit temë e re shumë shpesh lindin keqkuptime. Nga njëra anë, gjithçka është e qartë dhe dëshironi të filloni të zgjidhni sa më shpejt detyrat, por nga ana tjetër, disa momente mbeten në “hije” dhe nuk kuptohen plotësisht. Gjithashtu, disa elementë të njohurive të fituara tashmë mund të ndërthuren me të reja. Si rezultat i kësaj "mbivendosjeje", shpesh ndodhin gabime.

Prandaj, përpara se të fillojmë të analizojmë temën tonë, duhet të kujtojmë ndryshimet midis ekuacioneve dhe pabarazive dhe sistemeve të tyre. Për ta bërë këtë, duhet të sqarojmë edhe një herë se çfarë përfaqësojnë të dhënat. konceptet matematikore. Një ekuacion është gjithmonë një barazi, dhe është gjithmonë i barabartë me diçka (në matematikë kjo fjalë shënohet me shenjën "="). Pabarazia është një model në të cilin një vlerë është ose më e madhe ose më e vogël se një tjetër, ose përmban një deklaratë se ato nuk janë të njëjta. Kështu, në rastin e parë, është me vend të flitet për barazi, dhe në të dytin, sado e qartë të tingëllojë nga vetë emri, për pabarazinë e të dhënave fillestare. Sistemet e ekuacioneve dhe pabarazive praktikisht nuk ndryshojnë nga njëri-tjetri dhe metodat për zgjidhjen e tyre janë të njëjta. I vetmi ndryshim është se në rastin e parë përdoren barazitë, dhe në rastin e dytë përdoren pabarazitë.

Llojet e pabarazive

Ekzistojnë dy lloje të pabarazive: numerike dhe me një ndryshore të panjohur. Lloji i parë përfaqëson vlerat e dhëna (numrat) që janë të pabarabartë me njëri-tjetrin, për shembull, 8 > 10. E dyta janë pabarazitë që përmbajnë një ndryshore të panjohur (të shënuar me ndonjë shkronjë Alfabeti latin, më shpesh X). Kjo variabël duhet gjetur. Në varësi të numrit të tyre, modeli matematik bën dallimin midis pabarazive me një (ata përbëjnë një sistem pabarazish me një ndryshore) ose disa ndryshore (përbëjnë një sistem pabarazish me disa ndryshore).

Dy llojet e fundit, sipas shkallës së ndërtimit të tyre dhe nivelit të kompleksitetit të zgjidhjes, ndahen në të thjeshta dhe komplekse. Ato të thjeshta quhen edhe pabarazi lineare. Ata, nga ana tjetër, ndahen në të rreptë dhe jo të rreptë. Ato të rrepta në mënyrë specifike "thonë" se një sasi duhet të jetë domosdoshmërisht ose më pak ose më shumë, kështu që kjo është pabarazi e pastër. Mund të jepen disa shembuj: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, etj. Ata jo të rreptë përfshijnë gjithashtu barazinë. Kjo do të thotë, një vlerë mund të jetë më e madhe ose e barabartë me një vlerë tjetër (shenja "≥") ose më e vogël ose e barabartë me një vlerë tjetër (shenja "≤"). Edhe në pabarazitë lineare, ndryshorja nuk është në rrënjë, katrore ose e pjesëtueshme me ndonjë gjë, kjo është arsyeja pse ato quhen "të thjeshta". Ato komplekse përfshijnë variabla të panjohura që kërkojnë ekzekutim për t'u gjetur. më shumë operacionet matematikore. Ato shpesh janë të vendosura në një katror, ​​kub ose nën një rrënjë, ato mund të jenë modulare, logaritmike, fraksionale, etj. Por meqenëse detyra jonë është nevoja për të kuptuar zgjidhjen e sistemeve të pabarazive, do të flasim për një sistem pabarazish lineare. . Megjithatë, para kësaj duhen thënë disa fjalë për pronat e tyre.

Vetitë e pabarazive

Karakteristikat e pabarazive përfshijnë si më poshtë:

1. Shenja e pabarazisë përmbyset nëse një veprim përdoret për të ndryshuar rendin e anëve (për shembull, nëse t 1 ≤ t 2, atëherë t 2 ≥ t 1).
2. Të dy anët e pabarazisë ju lejojnë të shtoni të njëjtin numër në vetvete (për shembull, nëse t 1 ≤ t 2, atëherë t 1 + numër ≤ t 2 + numër).
3. Dy ose më shumë pabarazi me një shenjë në të njëjtin drejtim lejojnë shtimin e anëve të tyre të majtë dhe të djathtë (për shembull, nëse t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, atëherë t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Të dyja anët e pabarazisë mund të shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtën gjë numër pozitiv(për shembull, nëse t 1 ≤ t 2 dhe numri ≤ 0, atëherë numri · t 1 ≥ numri · t 2).
5. Dy ose më shumë pabarazi që kanë terma pozitivë dhe një shenjë në të njëjtin drejtim lejojnë veten të shumëzohen me njëra-tjetrën (për shembull, nëse t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 pastaj t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Të dyja pjesët e pabarazisë lejojnë që të shumëzohen ose të pjesëtohen me të njëjtin numër negativ, por në këtë rast shenja e pabarazisë ndryshon (për shembull, nëse t 1 ≤ t 2 dhe një numër ≤ 0, atëherë numri · t 1 ≥ numri · t 2).
7. Të gjitha pabarazitë kanë vetinë e kalueshmërisë (për shembull, nëse t 1 ≤ t 2 dhe t 2 ≤ t 3, atëherë t 1 ≤ t 3).

Tani, pasi kemi studiuar parimet bazë të teorisë në lidhje me pabarazitë, mund të vazhdojmë drejtpërdrejt në shqyrtimin e rregullave për zgjidhjen e sistemeve të tyre.

Zgjidhja e sistemeve të pabarazive. Informacione të përgjithshme. Zgjidhjet

Siç u përmend më lart, zgjidhja janë vlerat e ndryshores që janë të përshtatshme për të gjitha pabarazitë e sistemit të caktuar. Zgjidhja e sistemeve të pabarazive është zbatimi i operacioneve matematikore që përfundimisht çojnë në një zgjidhje për të gjithë sistemin ose provojnë se ai nuk ka zgjidhje. Në këtë rast, ndryshorja thuhet se i përket një grupi numerik bosh (të shkruar si më poshtë: shkronja që tregon një ndryshore∈ (shenja “i takon”) ø (shenja “vend i zbrazët”), për shembull, x ∈ ø (lexo: “Ndryshorja “x” i përket grupit bosh”). Ka disa mënyra për të zgjidhur sistemet e pabarazive: grafike, algjebrike, metoda e zëvendësimit. Vlen të përmendet se ata janë në mesin e tyre modele matematikore, të cilat kanë disa ndryshore të panjohura. Në rastin kur ka vetëm një, metoda e intervalit është e përshtatshme.

Metoda grafike

Ju lejon të zgjidhni një sistem pabarazish me disa sasi të panjohura (nga dy e lart). Falë kësaj metode, një sistem pabarazish lineare mund të zgjidhet mjaft lehtë dhe shpejt, kështu që është metoda më e zakonshme. Kjo shpjegohet me faktin se vizatimi i një grafiku zvogëlon sasinë e shkrimit të veprimeve matematikore. Bëhet veçanërisht e këndshme të bëni një pushim të vogël nga stilolapsi, të merrni një laps me një vizore dhe të filloni të punoni. veprime të mëtejshme me ndihmën e tyre kur është bërë shumë punë dhe dëshironi pak larmi. Megjithatë këtë metodë disa njerëzve nuk u pëlqen sepse duhet të shkëputen nga detyra dhe të kalojnë aktivitetin e tyre mendor në vizatim. Megjithatë, kjo është një metodë shumë efektive.

Për të zgjidhur një sistem pabarazish duke përdorur metodë grafike, është e nevojshme të transferohen të gjitha termat e secilës pabarazi në to anën e majtë. Shenjat do të kthehen, zero duhet të shkruhet në të djathtë, pastaj çdo pabarazi duhet të shkruhet veçmas. Si rezultat, funksionet do të përftohen nga pabarazitë. Pas kësaj, mund të nxirrni një laps dhe një vizore: tani ju duhet të vizatoni një grafik të secilit funksion të marrë. I gjithë grupi i numrave që do të jetë në intervalin e kryqëzimit të tyre do të jetë një zgjidhje për sistemin e pabarazive.

Mënyra algjebrike

Ju lejon të zgjidhni një sistem pabarazish me dy ndryshore të panjohura. Gjithashtu, pabarazitë duhet të kenë me të njëjtën shenjë pabarazitë (d.m.th. ato duhet të përmbajnë ose vetëm shenjën "më e madhe se", ose vetëm shenjën "më pak se", etj.) Pavarësisht kufizimeve të saj, kjo metodë është gjithashtu më komplekse. Zbatohet në dy faza.

E para përfshin veprime për të hequr qafe një nga variablat e panjohur. Së pari ju duhet ta zgjidhni atë, më pas kontrolloni për praninë e numrave përpara kësaj ndryshore. Nëse ato nuk janë aty (atëherë ndryshorja do të duket si një shkronjë e vetme), atëherë nuk ndryshojmë asgjë, nëse ka (lloji i ndryshores do të jetë, për shembull, 5y ose 12y), atëherë është e nevojshme të bëhet i sigurt që në çdo mosbarazim numri përpara variablit të zgjedhur është i njëjtë. Për ta bërë këtë, ju duhet të shumëzoni çdo term të pabarazive me shumëzues i përbashkët, për shembull, nëse 3y është shkruar në mosbarazimin e parë, dhe 5y në të dytën, atëherë është e nevojshme të shumëzohen të gjithë termat e mosbarazimit të parë me 5, dhe i dyti me 3. Rezultati është përkatësisht 15y dhe 15y.

Faza e dytë e zgjidhjes. Është e nevojshme të transferoni anën e majtë të çdo pabarazie në anët e tyre të djathta, duke ndryshuar shenjën e secilit term në të kundërtën dhe të shkruani zero në të djathtë. Më pas vjen pjesa argëtuese: heqja qafe e ndryshores së zgjedhur (e njohur ndryshe si "reduktim") duke shtuar pabarazitë. Kjo rezulton në një pabarazi me një ndryshore që duhet zgjidhur. Pas kësaj, duhet të bëni të njëjtën gjë, vetëm me një variabël tjetër të panjohur. Rezultatet e marra do të jenë zgjidhja e sistemit.

Metoda e zëvendësimit

Ju lejon të zgjidhni një sistem pabarazish nëse është e mundur të futni një ndryshore të re. Në mënyrë tipike, kjo metodë përdoret kur ndryshorja e panjohur në një term të pabarazisë është ngritur në fuqinë e katërt, dhe në termin tjetër është në katror. Kështu, kjo metodë synon të zvogëlojë shkallën e pabarazive në sistem. Në këtë mënyrë zgjidhet pabarazia e mostrës x 4 - x 2 - 1 ≤ 0. Prezantohet një variabël i ri, për shembull t. Ata shkruajnë: "Le t = x 2", më pas modeli rishkruhet në një formë të re. Në rastin tonë, marrim t 2 - t - 1 ≤0. Kjo pabarazi duhet të zgjidhet duke përdorur metodën e intervalit (më shumë për këtë pak më vonë), pastaj të kthehet në ndryshoren X, pastaj të bëjë të njëjtën gjë me pabarazinë tjetër. Përgjigjet e marra do të jenë zgjidhja e sistemit.

Metoda e intervalit

Kjo është mënyra më e thjeshtë për të zgjidhur sistemet e pabarazive, dhe në të njëjtën kohë është universale dhe e përhapur. Përdoret në shkollat ​​e mesme dhe madje edhe në shkollat ​​e larta. Thelbi i tij qëndron në faktin se studenti kërkon intervale të pabarazisë në një vijë numerike, e cila vizatohet në një fletore (ky nuk është një grafik, por vetëm një vijë e zakonshme me numra). Aty ku ndërpriten intervalet e pabarazive, gjendet zgjidhja e sistemit. Për të përdorur metodën e intervalit, duhet të ndiqni këto hapa:

1. Të gjithë termat e çdo pabarazie transferohen në anën e majtë me shenjën që ndryshon në të kundërtën (zero është shkruar në të djathtë).
2. Pabarazitë shkruhen veçmas dhe përcaktohet zgjidhja e secilës prej tyre.
3. Gjenden kryqëzimet e pabarazive në vijën numerike. Të gjithë numrat e vendosur në këto kryqëzime do të jenë një zgjidhje.

Cila metodë duhet të përdor?

Natyrisht ai që duket më i lehtë dhe më i përshtatshëm, por ka raste kur detyrat kërkojnë një metodë të caktuar. Më shpesh ata thonë se ju duhet të zgjidhni ose duke përdorur një grafik ose metodën e intervalit. Mënyra algjebrike dhe zëvendësimi përdoren jashtëzakonisht rrallë ose aspak, pasi ato janë mjaft komplekse dhe konfuze, dhe përveç kësaj, ato përdoren më shumë për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve sesa për pabarazitë, kështu që duhet të drejtoheni në vizatimin e grafikëve dhe intervaleve. Ato sjellin qartësi, e cila nuk mund të mos kontribuojë në ekzekutimin efikas dhe të shpejtë të operacioneve matematikore.

Nëse diçka nuk funksionon

Gjatë studimit të një teme të caktuar në algjebër, natyrisht, mund të lindin probleme me kuptimin e saj. Dhe kjo është normale, sepse truri ynë është krijuar në atë mënyrë që nuk është në gjendje ta kuptojë material kompleks në një kohë. Shpesh ju duhet të rilexoni një paragraf, të merrni ndihmë nga një mësues ose të praktikoni zgjidhjen e një problemi. detyra tipike. Në rastin tonë, ata duken, për shembull, kështu: "Zgjidhni sistemin e pabarazive 3 x + 1 ≥ 0 dhe 2 x - 1 > 3." Kështu, dëshira personale, ndihma nga të huajt dhe praktika ndihmojnë në kuptimin e çdo teme komplekse.

Zgjidhës?

Një libër zgjidhje është gjithashtu shumë i përshtatshëm, por jo për të kopjuar detyrat e shtëpisë, por për vetë-ndihmë. Në to mund të gjeni sisteme pabarazish me një zgjidhje, t'i shikoni ato (si shabllone), të përpiqeni të kuptoni saktësisht se si autori i zgjidhjes e përballoi detyrën dhe më pas përpiquni të bëni të njëjtën gjë vetë.

konkluzione

Algjebra është një nga lëndët më të vështira në shkollë. Epo, çfarë mund të bësh? Matematika ka qenë gjithmonë kështu: për disa është e lehtë, por për të tjerët është e vështirë. Por në çdo rast, duhet të mbahet mend se programi i arsimit të përgjithshëmËshtë ndërtuar në mënyrë të tillë që çdo student të mund ta përballojë atë. Për më tepër, duhet mbajtur parasysh sasi e madhe asistentë Disa prej tyre janë përmendur më lart.

Programi për zgjidhjen lineare, kuadratike dhe pabarazitë thyesore jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por çon zgjidhje e detajuar me shpjegime, d.m.th. shfaq procesin e zgjidhjes për të testuar njohuritë në matematikë dhe/ose algjebër.

Për më tepër, nëse në procesin e zgjidhjes së një prej pabarazive është e nevojshme të zgjidhet, për shembull, ekuacioni kuadratik, pastaj shfaqet edhe zgjidhja e tij e detajuar (përmban një spoiler).

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në përgatitjen për të testet, prindërve për të monitoruar zgjidhjet e fëmijëve të tyre ndaj pabarazive.

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme shkollat ​​e mesme në përgatitjen e testeve dhe provimeve, gjatë testimit të njohurive përpara Provimit të Unifikuar të Shtetit, që prindërit të kontrollojnë zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi ta kryeni sa më shpejt që të jetë e mundur? detyrat e shtëpisë

në matematikë apo algjebër? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara. Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin tuaj. vëllezërit më të vegjël

ose motra, ndërkohë që rritet niveli arsimor në fushën e problemeve që zgjidhen.

Rregullat për futjen e pabarazive
Çdo shkronjë latine mund të veprojë si një ndryshore.

Për shembull: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etj.
Numrat mund të futen si numra të plotë ose të pjesshëm. Për më tepër, numrat thyesorë

mund të futet jo vetëm si një dhjetore, por edhe si një fraksion i zakonshëm.
Në dhjetore pjesë thyesore mund të ndahet nga e tëra ose me pikë ose me presje.
Për shembull, mund të hyni dhjetore si kjo: 2.5x - 3.5x^2

Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.

Emëruesi nuk mund të jetë negativ.

Kur hyni thyesë numerike Numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
E gjithë pjesa e ndarë nga thyesa me një ampersand: &
Hyrja: 3&1/3 - 5&6/5v +1/7y^2
Rezultati: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

Ju mund të përdorni kllapa kur futni shprehje. Në këtë rast, kur zgjidhen pabarazitë, fillimisht thjeshtohen shprehjet.
Për shembull: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0.6(a-2)(a+3)

Zgjidhni shenja e duhur pabarazitë dhe futni polinomet në kutitë e mëposhtme.

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Ju lutem prisni sekondë...

Nëse ju vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formulari i komenteve.
mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Sistemet e pabarazive me një të panjohur. Intervalet numerike

U njohët me konceptin e një sistemi në klasën e 7-të dhe mësuat të zgjidhni sisteme ekuacionesh lineare me dy të panjohura. Më pas do të shqyrtojmë sistemet e pabarazive lineare me një të panjohur. Grupet e zgjidhjeve të sistemeve të pabarazive mund të shkruhen duke përdorur intervale (intervale, gjysmë-intervale, segmente, rreze). Do të njiheni gjithashtu me shënimin e intervaleve të numrave.

Nëse në pabarazitë \(4x > 2000\) dhe \(5x \leq 4000\) numër i panjohur x janë të njëjta, atëherë këto pabarazi konsiderohen së bashku dhe thuhet se formojnë një sistem pabarazish: $$ \left\(\begin(array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array) \djathtas .$$

Brace tregon se është e nevojshme të gjenden vlera të tilla të x për të cilat të dyja pabarazitë e sistemit kthehen në pabarazi numerike të sakta. Ky sistem- një shembull i një sistemi të pabarazive lineare me një të panjohur.

Zgjidhja e një sistemi pabarazish me një të panjohur është vlera e të panjohurës në të cilën të gjitha pabarazitë e sistemit bëhen të vërteta pabarazitë numerike. Zgjidhja e një sistemi pabarazish do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet për këtë sistem ose të vërtetosh se nuk ka asnjë.

Pabarazitë \(x \geq -2 \) dhe \(x \leq 3 \) mund të shkruhen si një pabarazi e dyfishtë: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Zgjidhjet e sistemeve të pabarazive me një të panjohur janë të ndryshme grupe numrash. Këto grupe kanë emra. Po, në boshti numerik bashkësia e numrave x të tillë që \(-2 \leq x \leq 3 \) përfaqësohet nga një segment me skajet në pikat -2 dhe 3.

Nëse \(a është një segment dhe shënohet me [a; b]

Nëse \(a është një interval dhe shënohet me (a; b)

Bashkësitë e numrave \(x\) që plotësojnë pabarazitë \(a \leq x janë gjysmë-intervale dhe shënohen përkatësisht [a; b) dhe (a; b)

Segmentet, intervalet, gjysmëintervalet dhe rrezet quhen intervale numerike.

Kështu, intervale numerike mund të specifikohet në formën e pabarazive.

Zgjidhja e një pabarazie në dy të panjohura është një çift numrash (x; y) që ndryshon kjo pabarazi në pabarazinë e saktë numerike. Zgjidhja e një pabarazie do të thotë të gjesh grupin e të gjitha zgjidhjeve të saj. Kështu, zgjidhjet e pabarazisë x > y do të jenë, për shembull, çifte numrash (5; 3), (-1; -1), pasi \(5 \geq 3 \) dhe \(-1 \geq - 1\)

Zgjidhja e sistemeve të pabarazive

Ju keni mësuar tashmë se si të zgjidhni pabarazitë lineare me një të panjohur. A e dini se çfarë është sistemi i pabarazive dhe zgjidhja e sistemit? Prandaj, procesi i zgjidhjes së sistemeve të pabarazive me një të panjohur nuk do t'ju shkaktojë ndonjë vështirësi.

E megjithatë, le t'ju kujtojmë: për të zgjidhur një sistem pabarazish, duhet të zgjidhni secilën pabarazi veç e veç dhe më pas të gjeni kryqëzimin e këtyre zgjidhjeve.

Për shembull, sistemi origjinal i pabarazive u reduktua në formën:
$$ \left\(\fillimi(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\djathtas. $$

Për të zgjidhur këtë sistem pabarazish, shënoni zgjidhjen e secilës pabarazi në vijën numerike dhe gjeni kryqëzimin e tyre:

Kryqëzimi është segmenti [-2; 3] - kjo është zgjidhja e sistemit origjinal të pabarazive.