Modelimi dhe hulumtimi i karakteristikave të proceseve të rastësishme. mënyrës

6.1. TEKNIKA E MODELIMIT STOKASTIK

Koncepti "i rastësishëm" është një nga më themelorët si në matematikë ashtu edhe në jetën e përditshme. Modelimi procese të rastësishme- drejtimi më i fuqishëm në moderne modelimi matematik.

Një ngjarje quhet e rastësishme nëse është e paparashikueshme në mënyrë të besueshme. Rastësia rrethon botën tonë dhe më shpesh luan rol negativ në jetën tonë. Megjithatë, ka rrethana në të cilat rastësia mund të jetë e dobishme.

NË llogaritjet komplekse, kur rezultati i dëshiruar varet nga rezultatet e shumë faktorëve, modeleve dhe matjeve, sasia e llogaritjeve mund të reduktohet me vlerat e rastësishme shifra të rëndësishme. Nga teoria e evolucionit rezulton se rastësia shfaqet si konstruktive, faktor pozitiv. Në veçanti, përzgjedhja natyrore zbaton një lloj metode provash dhe gabimi, duke përzgjedhur në procesin e zhvillimit individë me vetitë më të përshtatshme të organizmit. Më tej, rastësia manifestohet në shumësinë e rezultateve të saj, duke siguruar fleksibilitet në reagimin e popullatës ndaj ndryshimeve në mjedisin e jashtëm.

Bazuar në sa më sipër, ka kuptim të vendoset rastësia në bazë të metodave për marrjen e një zgjidhjeje përmes provës dhe gabimit, përmes një kërkimi të rastësishëm.

Vini re se më lart, duke dhënë një shembull të modelimit të simulimit - lojën "Jeta", ne kishim tashmë, në fakt, modeli stokastik. Në këtë seksion do të diskutojmë më në detaje metodologjinë e një modelimi të tillë.

Pra, le të përcaktohen vlerat e disa parametrave hyrës në modelin funksional vetëm në një kuptim probabilistik. Në këtë rast, stili i punës me modelin ndryshon ndjeshëm.

Pas shqyrtimit serioz, fjalët "shpërndarja e probabilitetit", "besueshmëria", " mostër statistikore", "proces i rastësishëm", etj.

Në modelimin matematikor kompjuterik të proceseve të rastësishme, nuk mund të bëhet pa grupe të të ashtuquajturave numra të rastit, duke përmbushur ligjin e dhënë të shpërndarjes. Në fakt, këta numra gjenerohen nga një kompjuter algoritëm specifik, d.m.th., ato nuk janë plotësisht të rastësishme, vetëm sepse kur programi riniset me të njëjtat parametra, sekuenca do të përsëritet; numra të tillë quhen "pseudo të rastësishëm".

Le të shqyrtojmë fillimisht gjenerimin e numrave të shpërndarë në mënyrë të barabartë në një segment të caktuar. Shumica e programeve të gjenerimit të numrave të rastësishëm prodhojnë një sekuencë në të cilën numri i mëparshëm përdoret për të gjetur numrin tjetër. E para është vlera fillestare. Të gjithë gjeneruesit e numrave të rastësishëm prodhojnë sekuenca që përsëriten pas një numri të caktuar termash, të quajtur periodë, e cila lidhet me gjatësinë e fundme të fjalës së makinës. Metoda më e thjeshtë dhe më e zakonshme është metoda e mbetjes, ose metoda kongruente lineare, në të cilën numri tjetër i rastësishëm xn përcaktuar nga "harta"

Ku a, Me, m - numrat natyrorë, mod - i ashtuquajturi funksion i ndarjes së modulit (pjestimi i mbetur i një numri me një modul tjetër). Periudha më e madhe e mundshme e sensorit (7.69) është e barabartë me T; megjithatë, varet nga A Dhe Me.Është e qartë se çfarë periudhë më të gjatë, aq më mirë; megjithatë, me të vërtetë më i madhi m kufizuar nga rrjeti i biteve të kompjuterit. Në çdo rast, përdoret në detyrë specifike mostra e numrave të rastit duhet të jetë më e shkurtër se periudha, përndryshe problemi do të zgjidhet gabimisht. Vini re se gjeneratorët zakonisht prodhojnë relacionin DIV_ADBLOCK304">

Çështja e rastësisë sekuencë e fundme numrat janë shumë më të ndërlikuar se sa duken në shikim të parë Ka disa kritere statistikore për rastësi, por të gjitha nuk japin një përgjigje shteruese. Kështu, numrat pseudorandom të gjeneruar në mënyrë sekuenciale mund të mos shfaqen në mënyrë të përkryer në mënyrë të njëtrajtshme, por kanë tendencë të formojnë grupe (d.m.th., të ndërlidhen një nga testet për uniformitetin është pjesëtimi i segmentit me). M pjesë të barabarta - "shporta", dhe vendosja e çdo numri të ri të rastësishëm në "shportën" përkatëse. Rezultati është një histogram në të cilin lartësia e secilës kolonë është proporcionale me numrin e numrave të rastit në "shportë" (Fig. 7.54).

Oriz. 7.54. Pamje e një histogrami për numrat e shpërndarë në mënyrë uniforme në një segment me një mostër mjaft të madhe

Është e qartë se me një numër të madh testesh, lartësitë e kolonave duhet të jenë pothuajse të njëjta. Megjithatë, ky kriter është i nevojshëm, por jo i mjaftueshëm; për shembull, "nuk vëren" edhe periodicitete shumë të shkurtra Për një përdorues jo shumë kërkues, aftësitë e sensorit të numrave të rastësishëm (gjeneratorit) të integruar në shumicën e gjuhëve programuese janë zakonisht të mjaftueshme. Pra, në PASCAL ekziston një funksion i rastësishëm, vlerat e të cilit janë numra të rastësishëm nga diapazoni, është e lehtë të merren numra nga një interval arbitrar [ a, b].

X = a + (b - a)∙r.

Më shumë shpërndarje komplekse shpesh ndërtohet duke përdorur një shpërndarje uniforme. Këtu do të përmendim vetëm një metodë mjaft universale të Neumann-it (shpesh e quajtur edhe metoda e përzgjedhjes-refuzimit), e cila bazohet në një konsideratë të thjeshtë gjeometrike. Le të supozojmë se është e nevojshme të gjenerohen numra të rastësishëm me disa funksione të shpërndarjes së normalizuar f(x) në intervalin [ a, b]. Le të prezantojmë pozitive funksion specifik krahasimet w(x) të tilla që w(x)= konst dhe w(x) >f(x) në [ a, b] (zakonisht w(x) barazohet vlera maksimale f(x) në [ a, b]). Që nga zona nën kurbë f(x) e barabartë për intervalin [ x, x + dx] probabiliteti i goditjes X Gjatë këtij intervali, mund të ndiqet një procedurë prove dhe gabimi. Ne gjenerojmë dy numra të rastësishëm që përcaktojnë koordinata po aq të mundshme në drejtkëndësh ABCD duke përdorur një sensor numrash të rastësishëm të shpërndarë në mënyrë uniforme:

x = a + (b - a)∙r, y = w∙r

dhe nëse pika M(x, y) nuk bie nën kurbë f(x), e hedhim dhe nëse godet, e lëmë (Fig. 7.55). Në këtë rast, grupi i koordinatave X nga pikat e mbetura rezulton të jetë e shpërndarë në përputhje me densitetin e probabilitetit f(x).

Oriz. 7.55. Metoda e përzgjedhjes-refuzimit. Funksioni w(x) = f maksimumi

Kjo metodë nuk është më efektive për një numër shpërndarjesh, por është universale, e thjeshtë dhe e kuptueshme. Është efektiv kur funksionon krahasimi w(x) afër f(x). Vini re se askush nuk na detyron të marrim w(x)= konsistojnë gjatë gjithë intervalit [ a, b]. Nëse f(x) ka "krahë" që bien me shpejtësi, atëherë është më e mençur ta marrësh w(x) si funksion hap.

6.2. MODELIMI I PROCESEVE TË RASTËSISHME NË SISTEMET E RADIT

Kush nuk ka qëndruar në radhë dhe nuk e ka pyetur veten me padurim nëse do të ishte në gjendje të bënte një blerje (ose të paguante qiranë, të hipte në karusel, etj.) në kohën që ka në dispozicion? Ose, duke u përpjekur të telefononi linjën e ndihmës dhe të hasni disa herë bipe të shkurtra, nervozoheni dhe vlerësoni nëse mund të kaloj apo jo? Nga probleme të tilla “të thjeshta”, në fillim të shekullit të 20-të, një shumë shkencë e vështirë- teori në radhë, duke përdorur aparatin e teorisë së probabilitetit dhe statistikave matematikore, ekuacionet diferenciale dhe metodat numerike. Themeluesi i saj ishte një shkencëtar danez, i cili studioi problemet e funksionimit të centraleve telefonike.

Më pas doli se shkencë e re ka dalje të shumta në ekonomi dhe në çështjet ushtarake. organizimi i prodhimit, biologjia dhe ekologjia; Mbi të janë shkruar dhjetëra libra dhe mijëra artikuj në revista.

Modelimi kompjuterik në zgjidhjen e problemeve të radhës. zbatohet në formën e një metode të testeve statistikore (metoda Monte Carlo), megjithëse nuk është kryesore në teorinë e radhës, por luan një rol në të. rol të rëndësishëm. Linja kryesore në të është marrja e rezultateve analitike, d.m.th., të paraqitura me formula. Megjithatë, mundësitë metodat analitike janë shumë të kufizuara, ndërsa metoda e testimit statistikor është universale dhe shumë e thjeshtë për t'u kuptuar (të paktën kështu duket).

Detyrë tipike: një radhë për një "shitës". Le të shqyrtojmë një nga problemet më të thjeshta të kësaj klase. Ekziston një dyqan me një shitës, në të cilin klientët hyjnë në mënyrë të rastësishme. Nëse shitësi është i lirë, ai fillon t'i shërbejë blerësit menjëherë nëse ka disa blerës, formohet një radhë.

Këtu janë detyra të ngjashme:

Zona e riparimit në flotën e mjeteve motorike dhe autobusët që janë larguar nga linja për shkak të një avarie;

Dhoma e urgjencës dhe pacientët që erdhën për një takim për shkak të lëndimit (d.m.th. pa një sistem takimi);

Një central telefonik me një hyrje (ose një operator telefonik) dhe abonentë që vihen në radhë kur hyrja është e zënë (një sistem i tillë praktikohet ndonjëherë);

Serveri rrjet lokal dhe kompjuterët personalë në vendin e punës që dërgojnë një mesazh te një server i aftë për të marrë dhe përpunuar jo më shumë se një mesazh në të njëjtën kohë.

Për qartësi, ne do të flasim për dyqanin, klientët dhe shitësin. Le të shqyrtojmë problemet që lindin këtu që meritojnë kërkime matematikore dhe, siç rezulton, shumë serioze.

Pra, hyrja e këtij problemi është procesi i rastësishëm i ardhjes së klientëve në dyqan. Është "Markovian", d.m.th., intervalet midis ardhjeve të çdo çifti të njëpasnjëshëm blerësish janë ngjarje të pavarura të rastësishme të shpërndara sipas disa ligjeve. Natyra reale e këtij ligji mund të vërtetohet vetëm nëpërmjet vëzhgimeve të shumta; Si funksioni më i thjeshtë i densitetit të probabilitetit të modelit, ne mund të marrim një shpërndarje të barabartë në intervalin kohor nga 0 në disa T - intervali maksimal i mundshëm ndërmjet ardhjeve të dy klientëve të njëpasnjëshëm. Me këtë shpërndarje, probabiliteti që të kalojë 1 minutë, 3 minuta ose 8 minuta ndërmjet ardhjeve të dy klientëve është i njëjtë (nëse T > 8).

Le të shqyrtojmë algoritmet për modelimin e proceseve normale stacionare dhe të rastësishme Markov. Këto procese përdoren gjerësisht si modele matematikore lloje të ndryshme të proceseve reale që ndodhin në kompleks sistemet teknike. Më poshtë po paraqesim disa përkufizime dhe koncepte thelbësore të adoptuara në kuadër të korrelacionit dhe teoritë spektrale funksione të rastësishme.

Funksioni i rastësishëm quhet funksion i një argumenti jo të rastësishëm t, i cili për çdo vlerë fikse të argumentit është një ndryshore e rastësishme. Funksioni i rastësishëm koha thirrur proces i rastësishëm. Funksioni i rastësishëm koordinatat quhen pikat në hapësirë fushë e rastësishme. Pamje specifike, e pranuar nga një proces i rastësishëm si rezultat i përvojës, quhet realizimi (trajektorja) e procesit të rastësishëm. Të gjitha realizimet e fituara të një procesi të rastësishëm përbëjnë një ansambël realizimesh. Vlerat e realizimeve në kohë specifike (seksione kohore) quhen vlera të menjëhershme të procesit të rastësishëm.

Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm: X(t) - proces i rastësishëm; x i (t) - zbatimi i i-të i procesit X(t); x i (t j) - vlera e menjëhershme e procesit X(t), që korrespondon me zbatimin e i-të në momentin j të kohës. Grupi i vlerave të menjëhershme që korrespondojnë me vlerat e zbatimeve të ndryshme në të njëjtin moment të kohës t j do të quhet sekuenca j-të e procesit X(t) dhe do të shënohet me x(t j). Nga sa më sipër rezulton se argumentet e një procesi të rastësishëm mund të jenë koha dhe numri i zbatimit. Në këtë drejtim, dy qasje për studimin e vetive të një procesi të rastësishëm janë legjitime: e para bazohet në analizën e një grupi zbatimesh, e dyta funksionon me një sërë sekuencash - seksione kohore. Prania ose mungesa e varësisë së vlerave të karakteristikave probabilistike të një procesi të rastësishëm në kohë ose numri i zbatimit përcakton këtë vetitë themelore proces, si stacionariteti dhe ergodiciteti. Stacionare procesi quhet karakteristikat probabilistike e cila nuk varet nga koha. Ergodikështë një proces, karakteristikat probabilistike të të cilit nuk varen nga numri i zbatimit.

Procesi i rastësishëm quhet normale proces (ose Gaussian), nëse është njëdimensional dhe ligjet dydimensionale shpërndarjet e çdo seksioni të tij janë normale. Karakteristikat gjithëpërfshirëse të një procesi normal të rastësishëm janë të tij pritje matematikore dhe funksioni i korrelacionit. Për një proces të rastësishëm normal të palëvizshëm, MOF është konstante dhe funksioni i korrelacionit varet vetëm nga diferenca midis momenteve kohore për të cilat merren ordinatat e procesit të rastësishëm ( =t 2 -t 1). Për një proces të rastësishëm të palëvizshëm, nëse devijimi i ordinatës së procesit të rastësishëm X(t 2) nga pritshmëria e tij matematikore m x në kohën t 2 është mjaftueshëm i madh, ai bëhet praktikisht i pavarur nga vlera e këtij devijimi në kohën t 1. Në këtë rast, funksioni i korrelacionit K(t), i cili jep vlerën e momentit të lidhjes ndërmjet X(t 2) dhe X(t 1), do të priret në zero. Prandaj, K() ose mund të ulet në mënyrë monotonike, siç tregohet në Fig. 2.2, ose të ketë formën e treguar në Fig. 2.3. Një funksion i formës (Fig. 2.2.), si rregull, përafrohet nga shprehjet:

(2.38)

dhe një funksion të formës (Fig. 2.3.) - me shprehje:

Fig.2.2. Fig.2.3.

Stabiliteti i një procesi të rastësishëm të palëvizshëm në kohë na lejon të zëvendësojmë argumentin - koha - me ndonjë variabël ndihmës, i cili në shumë aplikacione ka dimensionin e frekuencës. Ky zëvendësim ju lejon të thjeshtoni ndjeshëm llogaritjet dhe të arrini qartësi më të madhe të rezultateve. Funksioni që rezulton (S()) thirret dendësia spektrale proces i palëvizshëm i rastësishëm dhe lidhet me funksionin e korrelacionit reciprokisht transformimet e anasjellta Furier:

(2.42)

(2.43)

Ka normalizime të tjera të densitetit spektral, për shembull:

(2.44)

Bazuar në transformimet e Furierit, është e lehtë të merret, për shembull, për një proces të rastësishëm me K(t) të formës (2.38):

(2.45)

Një proces i palëvizshëm i rastësishëm, dendësia spektrale e të cilit është konstante (S(w)=S=const), quhet stacionar. zhurmë e bardhë. Funksioni i korrelacionit të zhurmës së bardhë stacionare është i barabartë me zero për të gjithë, që do të thotë se çdo dy nga seksionet e tij janë të pakorreluara.

Problemi i modelimit të një procesi të rastësishëm normal të palëvizshëm (SNSP) mund të formulohet si problemi i gjetjes së një algoritmi që bën të mundur marrjen e zbatimeve diskrete të këtij procesi në një kompjuter. Procesi X(t) zëvendësohet me një saktësi të dhënë nga procesi përkatës X(nDt) me kohë diskrete t n = nDt (Dt është hapi i marrjes së mostrave të procesit, n është një argument i plotë). Si rezultat, procesi i rastësishëm x(t) do të shoqërohet me sekuenca të rastësishme:

x k [n]=x k (nDt), (2,46)

ku k është numri i zbatimit.

Natyrisht, një anëtar arbitrar i një sekuence të rastësishme x(nDt) mund të konsiderohet si një funksion i rastësishëm i numrit të tij, d.m.th. argumenti numër i plotë n dhe, kështu, përjashton Dt nga shqyrtimi, i cili merret parasysh kur shkruhet (2.46). Përveç kësaj, për të dalluar një argument me numër të plotë nga një argument që ndryshon vazhdimisht, ai është i mbyllur në kllapa katrore.

Sekuencat e rastësishme shpesh quhen procese të rastësishme diskrete ose seri kohore.

Dihet se duke shtuar në funksion i rastësishëm ndryshorja jo e rastësishme nuk e ndryshon vlerën e funksionit të korrelacionit. Prandaj, në praktikë, proceset e rastësishme të përqendruara shumë shpesh modelohen (MOR është e barabartë me zero), nga e cila gjithmonë mund të shkohet tek ajo reale duke shtuar MOR tek anëtarët e sekuencës së rastësishme që simulon procesin e rastësishëm.

Për sekuencat e rastësishme, funksioni i korrelacionit dhe dendësia spektrale llogariten nga varësitë:

(2.47)

(2.48)

Reduktimi i një procesi të rastësishëm në një sekuencë të rastësishme në thelb nënkupton zëvendësimin e tij me një vektor shumëdimensional. Prandaj, metoda e konsideruar e modelimit të vektorëve të rastit, në përgjithësi, është e përshtatshme për modelimin e proceseve të rastësishme të specifikuara në një interval kohor të fundëm. Megjithatë, për proceset e rastësishme normale stacionare ka më shumë metoda efektive ndërtimi i algoritmeve të modelimit. Le të shqyrtojmë dy metoda që përdoren më gjerësisht në praktikë.

Modelimi i proceseve të rastësishme është drejtimi më i fuqishëm në modelimin matematikor modern.

Një ngjarje quhet e rastësishme nëse është e paparashikueshme në mënyrë të besueshme. Rastësia rrethon botën tonë dhe më shpesh luan një rol negativ në jetën tonë. Megjithatë, ka rrethana në të cilat rastësia mund të jetë e dobishme. Në llogaritjet komplekse, ku rezultati i dëshiruar varet nga rezultatet e shumë faktorëve, modeleve dhe matjeve, është e mundur të zvogëlohet sasia e llogaritjes duke përdorur vlera të rastësishme të shifrave domethënëse.

Në modelimin probabilistik, përdoren metoda të ndryshme që lejojnë zgjidhjen e problemeve nga fusha të ndryshme. Fushat e aplikimit të metodave probabilistike janë renditur më poshtë.

Metoda e modelimit statistikor: zgjidhja e problemeve të vlerës kufitare të fizikës matematikore, zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare, përmbysja e matricës dhe metodat e rrjetit për zgjidhjen e sistemeve që reduktohen në to. ekuacionet diferenciale, llogaritja e integraleve të shumëfishta, zgjidhja e ekuacioneve integrale, problema fizika bërthamore, dinamika e gazit, filtrimi, inxhinieria e nxehtësisë.

Metoda e modelimit të simulimit: modelimi i sistemeve të radhës, detyrat e sistemeve të kontrollit të automatizuar, sistemet e kontrollit automatik dhe sistemet e kontrollit të procesit, problemet e sigurisë së informacionit, modelimi i situatave komplekse të lojës dhe sistemet dinamike.

Metoda e përafrimit stokastik: algoritme të përsëritura për zgjidhjen e problemeve të vlerësimit statistikor.

Metoda e kërkimit të rastësishëm: zgjidhja e problemeve të optimizimit të sistemeve në varësi të numër i madh parametrat, duke gjetur ekstremet e një funksioni të një numri të madh variablash.

Metoda të tjera: metoda probabilistike të njohjes së modeleve, modele të përshtatjes, trajnimit dhe vetë-mësimit.

Në modelimin matematikor kompjuterik të proceseve të rastësishme, nuk mund të bëhet pa grupe të të ashtuquajturve numra të rastit që plotësojnë një ligj të caktuar të shpërndarjes. Në fakt, këta numra gjenerohen nga një kompjuter duke përdorur një algoritëm të caktuar, d.m.th. ato nuk janë krejtësisht të rastësishme, vetëm sepse kur programi riniset me të njëjtat parametra, sekuenca do të përsëritet; numra të tillë quhen "pseudorandom".

Për një përdorues jo shumë kërkues, zakonisht janë të mjaftueshme aftësitë e sensorit të numrave të rastësishëm (gjeneratorit) të integruar në shumicën e gjuhëve të programimit. Pra, në gjuhën Pascal ekziston një funksion i rastësishëm, vlerat e të cilit janë numra të rastësishëm nga diapazoni. Përdorimi i tij zakonisht paraprihet nga përdorimi i procedurës randomize, e cila shërben për të "konfiguruar" fillimisht sensorin, d.m.th. duke marrë sekuenca të ndryshme numrash të rastësishëm për çdo thirrje në sensor. Për problemet, zgjidhja e të cilave kërkon sekuenca shumë të gjata të pakorreluara, çështja bëhet më e ndërlikuar dhe kërkon jo standarde

1. Karakteristikat e modelimit simulues të sistemeve të prodhimit

Për të analizuar sistemet e prodhimit që janë shumë komplekse, të larmishme, nuk kanë një përshkrim matematikor shterues dhe gjithashtu kalojnë nëpër një sërë fazash të projektimit, zbatimit dhe zhvillimit, nuk është e mundur të ndërtohen modele matematikore adekuate, qofshin ato logjike apo numerike. Është e natyrshme këtu të përdoren metoda të modelimit të simulimit.

Sistemi mund të përshkruhet pa mëdyshje nga një grup vlerash të parametrave të prodhimit karakteristik për çdo gjendje specifike. Nëse këto vlera futen në kompjuter, atëherë ndryshimet e tyre gjatë procesit llogaritës mund të interpretohen si simulim i kalimit të sistemit nga një gjendje në tjetrën. Sipas supozimeve të tilla simulimi mund të konsiderohet si një paraqitje dinamike e një sistemi duke e zhvendosur atë nga një gjendje në tjetrën sipas rregullave të tij karakteristike të funksionimit.

Gjatë simulimit të sistemeve të prodhimit, ndryshimet në gjendjen e tyre ndodhin në momente të veçanta në kohë. Koncepti kryesor i simulimit të sistemit në këtë rast është shfaqja e ndryshimeve në gjendjen e tij me kalimin e kohës. Kështu, faktori përcaktues këtu është identifikimi dhe përshkrimi i paqartë i gjendjeve të sistemit të modeluar.

Modelet e simulimit bëjnë të mundur, pa përdorur ndonjë varësi analitike ose ndonjë varësi tjetër funksionale, të shfaqin objekte komplekse të përbëra nga elementë heterogjenë ndërmjet të cilëve ka lidhje të ndryshme. Në këto modele mund të përfshihen edhe njerëzit.

Pa komplikime themelore, modele të tilla mund të përfshijnë si rrjedhat përcaktuese ashtu edhe ato stokastike (material dhe informacion). Duke përdorur simulimin, mund të shfaqni marrëdhëniet midis stacioneve të punës, flukseve të materialeve dhe produkteve, automjeteve dhe personelit.

Përkundër avantazheve të tilla të dukshme, kryesisht që konsistojnë në gjerësinë dhe shkathtësinë e aplikimit, kjo metodë humbet nga vëmendja ekzistencën e lidhjeve logjike, gjë që përjashton mundësinë e optimizimit të plotë të zgjidhjeve të marra duke përdorur këtë model. Vetëm mundësia e zgjedhjes së opsioneve më të mira të shikuara është e garantuar.

Në praktikë, modelimi i simulimit në shumë raste reale është metoda e vetme e mundshme e kërkimit. Pas zhvillimit të një modeli simulimi, mbi të kryhen eksperimente kompjuterike, të cilat lejojnë nxjerrjen e përfundimeve në lidhje me sjelljen e sistemit të prodhimit.

Shfaqja dhe zhvillimi i metodave të simulimit kompjuterik u bë i mundur edhe si rezultat i zhvillimit të metodës së testimit statistikor, e cila bëri të mundur simulimin e ngjarjeve dhe proceseve të rastësishme që zënë një vend të madh në prodhimin real.

Kur përpiloni një model simulimi dhe përdorni atë për të modeluar objektin në studim, është e nevojshme të zgjidhen disa probleme të ndërlidhura. Këto përfshijnë:

analiza e sistemit të simuluar dhe përgatitja e përshkrimit të tij të zyrtarizuar, duke përfshirë identifikimin e informacionit dhe strukturës logjike të sistemit, identifikimin e përbërësve të tij, përzgjedhjen e parametrave që karakterizojnë gjendjen e këtyre komponentëve, zhvillimin model kompjuterik një sistem i aftë për të riprodhuar sjelljen e tij, duke planifikuar një eksperiment për të shpalosur ngjarjet në një model kompjuterik që pasqyron ngjarjet në sistemin e simuluar;

zhvillimi i një metodologjie për eksperimentet statistikore kompjuterike, duke përfshirë gjenerimin e numrave të rastësishëm ose pseudo të rastësishëm, simulimin e ngjarjeve të ndryshme të rastësishme, përpunimin statistikor të të dhënave;

kryerja e eksperimentit aktual kompjuterik në një model simulimi, duke përfshirë menaxhimin e parametrave dhe variablave të modelit gjatë studimit të tij në një kompjuter.

U përshkruan më lart metoda të ndryshme modelimi i proceseve të rastësishme, ku u konsiderua kryesisht ana themelore e çështjes. Ky seksion paraqet rezultatet e përdorimit të këtyre metodave për të modeluar proceset normale stacionare me tipe të zakonshme të funksioneve të korrelacionit. Në të njëjtën kohë, është bërë gjithçka e nevojshme punë përgatitore dhe janë marrë algoritme të thjeshta modelimi të përshtatshme për përdorim të drejtpërdrejtë. Përveç kësaj, jepen shembuj zbatim praktik algoritme të modelimit.

Në tabelë 2.2 jepen llojet e funksioneve të korrelacionit dhe spektrat e energjisë të proceseve të simuluara dhe algoritmet përkatëse. Më poshtë jepen shpjegimet e nevojshme.

Tabela 2.2.

Vazhdimi i tabelës 2.2.

Vazhdimi i tabelës 2.2.

Vazhdimi i tabelës 2.2.

Jepet një proces i palëvizshëm normal i vazhdueshëm i rastësishëm me funksioni i korrelacionitështë përshkruar në një kompjuter dixhital si një sekuencë diskrete e vlerave të tij të lidhura me kohën, ku është hapi i kampionimit dhe është një argument i plotë. Të gjitha algoritmet e diskutuara këtu janë krijuar për të marrë zbatime diskrete, të pakufizuara në kohë të një procesi të rastësishëm të simuluar në një kompjuter dixhital. Të gjitha këto algoritme bazohen në parimin e transformimit të një sekuence të numrave të rastësishëm të pavarur të shpërndarë normalisht me parametra (0, 1) (diskrete zhurmë e bardhë) në një sekuencë të ndërlidhur sipas ligjit

Proceset e rastësishme me funksione korrelacioni, të vendosura në tabelën nr. 1-5, i përkasin klasës së proceseve të rastësishme me densitet spektrale racionale. Për të modeluar procese të tilla, më i përshtatshmi është përdorimi i ekuacioneve të diferencës (§ 2.3), i cili çon në algoritme që nuk kanë gabime metodologjike dhe reduktohen në marrëdhënie të thjeshta përsëritjeje. Algoritmet nr. 1-5 janë marrë duke përdorur këtë metodë.

Algoritmet nr. 1 dhe 2 për proceset e modelimit me funksione korrelacioni eksponencial dhe eksponencial-kosinus janë diskutuar tashmë në § 2.3 dhe nuk kërkojnë shpjegim.

Algoritmet nr. 2-5 janë të njëjta dhe ndryshojnë vetëm në vlerat e parametrave, përcaktimi i të cilave në secilin rast specifik zbret në llogaritjet duke përdorur formulat e dhëna në tabelë. 2.2. Gjatë nxjerrjes së shprehjeve për llogaritjen e parametrave të formulave të përsëritura në algoritmet nr. 3-5, u përdorën transformimet e diskutuara në § 2.3 duke përdorur shembullin e një funksioni korrelacioni eksponencial-kosinus: dendësia spektrale e sekuencës për çdo lloj funksioni korrelacioni ishte shkruar sipas (2.51), përmbledhja e serisë përkatëse të pafundme në të dy drejtimet u krye sipas tabelave të njëanshme transformime diskrete Laplace, dhe faktorizimi i numëruesve të racionalit thyesor që rezulton funksionet spektrale u krye duke faktorizuar polinomet (polinomet kishin një rend jo më të lartë se i dyti) dhe më pas duke përdorur rrënjët e polinomeve sipas shprehjeve (2.61) dhe (2.62). Emëruesit e funksioneve spektrale u faktorizuan automatikisht.

Për të modeluar proceset e rastësishme nr. 6-8, të cilat nuk i përkasin klasës së proceseve me dendësi racionale spektrale, është përdorur metoda e mbledhjes rrëshqitëse si më efektive në në këtë rast.

Sipas algoritmeve nr.6-8, sekuenca fitohet me metodën e përmbledhjes rrëshqitëse të sekuencës me peshën. Shprehjet për koeficientët e peshimit janë marrë duke integruar spektrat e energjisë të proceseve duke përdorur formulën (2.12). Supozohej se frekuenca e marrjes së mostrave për procesin e rastësishëm nr. 6 [një proces me uniformë spektri në brez] është më i madh ose i barabartë me dhe . Lidhur me proceset nr. 7, 8, u supozua se frekuenca e kampionimit është mjaft e lartë, në mënyrë që kufiri i sipërm në integralin (2.12) mund të merret e barabartë me pafundësinë. Prandaj, shprehjet për koeficientët në algoritmet nr. 7, 8 duhet të përdoren kur . Zëvendësimi i kufirit të fundëm me një të pafundëm bëri të mundur në këtë rast reduktimin e integraleve të tipit (2.12) në ato tabelare.

Algoritmet nr. 6-8 janë të përafërt, megjithatë, duke rritur parametrin, gabimi metodologjik mund të bëhet i papërfillshëm. Me vlerat e zgjedhura dhe gabimi i metodës vlerësohet lehtësisht duke ndërthurur koeficientët e peshës. Një shembull i llogaritjes së koeficientëve dhe llogaritjes së gabimit të metodës për një proces të rastësishëm me funksion korrelacioni nr. 8 është dhënë më herët në § 2.2. I njëjti paragraf jep një përshkrim të algoritmit për modelimin e procesit të rastësishëm nr. 9 [shih. algoritmi (2.48)].

Algoritmet e dhëna në tabelë. 2.2 iu nënshtruan testimit praktik. Verifikimi u krye duke zhvilluar në një kompjuter dixhital implementime të proceseve të rastësishme të simuluara me një gjatësi prej 1000 mostrash në dhe në vlerat e dhëna parametrat dhe . Nga këto realizime janë llogaritur dhe krahasuar funksionet e korrelacionit të mostrës me funksionet e dhëna të korrelacionit. Numrat fillestarë të rastësishëm të pavarur u krijuan sipas programit standard të sensorit normal të numrave të rastësishëm për kompjuterin dixhital M-20.

Gjatë prodhimit vlerat fillestare implementimet e proceseve të rastësishme Nr. 1-5 si Janë marrë vlerat e mostrës së numrave të rastësishëm normalë të pavarur me parametra (0, 1).

Në Fig. 2.5 treguar seksionet fillestare implementime me gjatësi 400 mostra të disa proceseve të rastësishme nga tabela. 2.2; Për lehtësinë e zbatimit, ato tregohen si një vijë e vazhdueshme. Pranë zbatimeve tregohen funksionet e dhëna të korrelacionit (vijë e ngurtë) së bashku me funksionet e korrelacionit të llogaritura në kompjuterin dixhital duke përdorur këto implementime (vijë e ndërprerë). Grafikët janë shënuar me numra të njëjtë si funksionet e korrelacionit në tabelë. 2.2. Vlerat e parametrave dhe. zgjedhur në mënyrë që intervalet e korrelacionit për të gjitha proceset e simuluara të jenë afërsisht të njëjta. Figura tregon një marrëveshje të mirë midis funksioneve të specifikuara dhe të korrelacionit të mostrës.

Procesi i rastësishëm me funksionin e korrelacionit nr. 2 është i padiferencueshëm, prandaj zbatimet e tij nuk janë aq të qetë sa katër implementimet e tjera të proceseve të rastësishme të diferencueshme.

Ndërmjet zbatimeve nr.2 dhe 3, si dhe ndërmjet zbatimeve nr.6, 7, mund të vërehet një ngjashmëri e caktuar, e cila shpjegohet me faktin se zbatimet janë formuar në një kompjuter dixhital duke transformuar të njëjtin zbatim diskret të zhurmës së bardhë. .

Në fillim të zbatimeve nr. 2, 3, janë të dukshme emetimet negative mjaft të mëdha. Këto pika të jashtme janë rezultat i shtrembërimit të seksioneve fillestare të proceseve të simuluara për shkak të procesit kalimtar. Vërtet, kushtet fillestare janë zgjedhur në mënyrë që vetëm proceset e rastësishme Nr. 1 dhe Nr. 5-9 të jenë të palëvizshme që në fillim.

Për të hequr qafe procesin kalimtar gjatë modelimit të proceseve të rastësishme nr. 2-4, kur llogaritni vlerat e tyre fillestare, në vend të numrave të rastësishëm të pavarur, siç u pranua më lart, është e nevojshme të merret një vektor i rastësishëm katërdimensional me një korrelacion. matricë

Si përfundim, vëmë në dukje disa teknika që na lejojnë të zgjerojmë klasën e proceseve të simuluara të palëvizshme normale të rastësishme përmes transformimeve të thjeshta të algoritmeve të diskutuara më sipër.

Dihet, për shembull, që kur përmbledhen disa procese të pavarura të rastësishme normale të palëvizshme, formohet një proces i rastësishëm normal i palëvizshëm, funksioni i korrelacionit i të cilit është i barabartë me shumën e funksioneve të korrelacionit të termave. Prandaj, nëse funksioni i korrelacionit të një procesi është shuma e dy ose më shumë funksioneve të korrelacionit nga tabela. 2.2, atëherë zbatimet diskrete të këtij procesi mund të formohen duke përmbledhur dy ose më shumë zbatime të pavarura të marra duke përdorur algoritmet e mësipërme. Nëse, për shembull, funksioni korrelativ i procesit të simuluar ka formën

atëherë algoritmi për gjenerimin e implementimeve diskrete të tij do të shkruhet në formë

Është një proces i rastësishëm

ku , transformojnë implementimet dhe në zbatimin e një procesi të rastësishëm me funksion korrelacioni (2.83).

Për të llogaritur diskrete funksionet trigonometrike dhe këshillohet të përdoret algoritmi i përsëritur (1.3), atëherë algoritmi (2.84) do të shkruhet në formën

Informacion i shkurtër

Proceset e rastësishme të studiuara nga modelimi simulues (metoda Monte Carlo) përfshijnë, në veçanti, proceset që lidhen me formimin dhe shërbimin e radhëve (të ashtuquajturat procese në radhë). Detyra më e thjeshtë e kësaj klase është kjo. Ekziston një sistem rradhësh me një qendër shërbimi (dyqan me një shitës, zonë riparimi në flotën e mjeteve motorike, urgjencë me një mjek, central telefonik me një hyrje, server me një kanal hyrje etj.). Klientët i drejtohen shërbimeve të sistemit në mënyrë të rastësishme (me funksioni i dhënë shpërndarja e periudhave kohore ndërmjet mbërritjeve). Nëse sistemi është i lirë, ai fillon t'i shërbejë klientit menjëherë, përndryshe e vendos atë në një radhë. Kohëzgjatja e shërbimit për çdo klient - ndryshore e rastësishme me një ligj të njohur shpërndarjeje.

Në zgjidhjen e këtij problemi, është e nevojshme t'i përgjigjemi pyetjeve si "cili është funksioni i shpërndarjes së probabilitetit të kohës së pritjes së klientit në radhë?" "Cila është koha e ndërprerjes së sistemit duke pritur për klientët?", "Nëse vetë këto funksione janë të vështira për t'u përcaktuar, atëherë cilat janë ato më të karakteristika të rëndësishme(d.m.th. pritshmëria matematikore, varianca, etj.)?

Baza e kësaj detyre është procesi i rastësishëm i hyrjes së klientëve në sistemin e shërbimit. Intervalet ndërmjet ardhjeve të çdo çifti klientësh të njëpasnjëshëm janë ngjarje të rastësishme të pavarura të shpërndara sipas disa ligjeve. Karakteri real i këtij ligji mund të vërtetohet vetëm nëpërmjet vëzhgimeve të shumta; Si funksioni më i thjeshtë i densitetit të probabilitetit të modelit, ne mund të marrim një shpërndarje të barabartë në intervalin kohor nga 0 në disa T - intervali maksimal i mundshëm ndërmjet ardhjeve të dy klientëve të njëpasnjëshëm. Me këtë shpërndarje, probabiliteti që të kalojë 1 minutë, 3 minuta ose 8 minuta ndërmjet ardhjeve të dy klientëve është i njëjtë (nëse T> 8 min).

Një shpërndarje e tillë, natyrisht, është joreale; Në realitet, për shumicën e proceseve në radhë funksioni i shpërndarjes rritet nga t= 0, ka një maksimum në një vlerë të caktuar t = τ dhe zvogëlohet shpejt në përgjithësi t, ato. ka formën e treguar në Fig. 7.6.

Sigurisht, ju mund të zgjidhni shumë funksionet elementare, duke pasur cilësisht këtë pamje. Në teorinë e radhës, familja e funksioneve Poisson përdoret gjerësisht

Ku λ - disa konstante p - numër i plotë arbitrar.

Funksionet (35) kanë një maksimum në x = p/λ dhe normalizohet.

Procesi i dytë i rastësishëm në këtë problem, i cili në asnjë mënyrë nuk është i lidhur me të parin, përcaktohet nga sekuenca e ngjarjeve të rastësishme - kohëzgjatja e shërbimit për çdo klient. Shpërndarja e probabilitetit të kohëzgjatjes së shërbimit është e njëjtë pamje cilësore, si në rastin e mëparshëm.

Për shembull, në tabelën në kolonë A Numrat e rastësishëm regjistrohen - intervalet ndërmjet mbërritjeve të klientëve (në minuta), në kolonë NE - numra të rastit - kohëzgjatja e shërbimit (në minuta). Marrë për saktësi një maksimum= 10 dhe bmax= 5.

Oriz. .6. Paraqitja skematike e densitetit të probabilitetit të shpërndarjes së kohës ndërmjet paraqitjeve të klientëve në një sistem të radhës

Nga kjo tabelë e shkurtër, natyrisht, është e pamundur të përcaktohet se cilat ligje të shpërndarjes pranohen për sasitë A Dhe NË. Kolonat e mbetura janë dhënë për lehtësinë e analizës; numrat e përfshirë në to gjenden me llogaritje elementare. Kolona C tregon koha e kushtëzuar ardhja e klientit; D- momenti i fillimit të shërbimit; E - fundi i shërbimit; F- kohëzgjatja e kohës që klienti ka kaluar në sistem në tërësi; G- koha e kaluar në radhë në pritje të shërbimit; N - koha e shpenzuar nga sistemi në pritje të klientëve (nëse nuk ka). Është i përshtatshëm për të mbushur tabelën horizontalisht, duke lëvizur nga rreshti në rresht. Meqenëse fillimi i shërbimit të klientit të ardhshëm përcaktohet ose nga koha e mbërritjes së tij, nëse sistemi nuk është i zënë, ose nga koha e largimit të klientit të mëparshëm, ne ju paraqesim për lehtësi formulat përkatëse(në to i= 1, 2, 3, ...):

c 1 = 0, c i+1 = c i + a i+1; d 1 = 0, d i+1 = max(c i+l, e i);(36a)

e 1 = b 1 e i = d i + b i ; f i = e i + c i; g 1 = 0; g i+1 = f i+1 + b i+1 h 1 = 0; h i+1 = d i+1 - e i(36b)

Kështu, duke pasur parasysh grupet e rastësishme të numrave në kolonat A dhe B, klientët duhej të qëndronin në rresht (kolona G), dhe sistemi ishte i papunë duke pritur për klientin (kolona N).

Kur modeloni sisteme të këtij lloji, pyetja e parë që lind është, sa është koha mesatare që duhet të prisni në radhë? Duket e lehtë të përgjigjesh - thjesht duhet të gjesh

(37)

në disa seri testesh. Në mënyrë të ngjashme, ju mund të gjeni vlerën mesatare të h . Është më e vështirë t'i përgjigjemi pyetjes në lidhje me besueshmërinë e rezultateve të marra; Për ta bërë këtë, ju duhet të kryeni disa seri testesh dhe përdorimesh metoda standarde statistikat matematikore (përpunimi duke përdorur shpërndarjen Studenti është shpesh i përshtatshëm).

Më shumë pyetje e vështirë- cila është shpërndarja e ndryshoreve të rastit G Dhe N për shpërndarjet e dhëna të ndryshoreve të rastit A Dhe NË? Mund të përpiqeni të merrni një përgjigje cilësore për këtë duke ndërtuar histogramet përkatëse bazuar në rezultatet e simulimit. Pastaj bëhet një hipotezë për llojin e shpërndarjes dhe përdoren një ose më shumë kritere statistikore për të testuar besueshmërinë e kësaj hipoteze.

Duke pasur një funksion shpërndarjeje (madje edhe empirik, por mjaft të besueshëm), është e mundur t'i përgjigjemi çdo pyetjeje në lidhje me natyrën e procesit të pritjes në radhë. Për shembull: sa është probabiliteti për të pritur më gjatë T minuta? Përgjigja do të merret nëse gjejmë raportin e sipërfaqes trapezoid i lakuar, i kufizuar nga orari dendësia e shpërndarjes, e drejtë x = t Dhe y=0 zona e të gjithë figurës.

Pyetje sigurie

1. Çfarë është një “proces i rastësishëm”?

2. Cilat janë parimet e gjenerimit kompjuterik të numrave të rastit të shpërndarë në mënyrë uniforme?

3. Si mund të merrni një sekuencë numrash të rastësishëm me ligjin e shpërndarjes Poisson?

4. Çfarë është “sistemi i radhës”? Jepni shembuj.

5. Cila është metoda Monte Carlo për llogaritjen e sipërfaqeve figura të sheshta? vëllimet e trupave?

6. Çfarë shembujsh të proceseve të rastësishme mund të jepni?

Tema për ese

1. Parimet e gjenerimit kompjuterik të sekuencave të numrave të rastit dhe kriteret statistikore përcaktimi i vetive të sekuencave.

2. Metodat e përpunimit statistikor të rezultateve të marra nga modelimi kompjuterik i proceseve të rastit.

Subjekti seminare

Marrja e sekuencave të numrave të rastit me dhënë me ligj shpërndarjet.

Puna laboratorike

1. Gjatë kryerjes së kësaj pune, është e nevojshme të gjenerohen sekuenca të gjata numrash pseudorandom me një ligj të caktuar të shpërndarjes së probabilitetit. Mund të bazohet në një sensor standard të numrave të rastit të shpërndarë në mënyrë uniforme, të integruar në sistemin e programimit të aplikuar, duke përdorur një nga procedurat për konvertimin e kësaj sekuence në një sekuencë me ligjin e dëshiruar të shpërndarjes (për shembull, procedura "përzgjedhja-refuzimi") .

2. Një nga detyrat qendrore në modelimin e proceseve të rastësishme është gjetja e karakteristikave të ndryshoreve të rastësishme që janë objekt i modelimit. Karakteristika kryesore e tillë është funksioni i shpërndarjes. Pamja e tij mund të vlerësohet në mënyrë cilësore nga histogrami i ndërtuar gjatë simulimit dhe hipoteza për formë funksionale kontrolloni duke përdorur një nga kriteret standarde të përdorura në statistika matematikore(për shembull, kriteri % 2). Megjithatë, kjo nuk është gjithmonë e këshillueshme, veçanërisht nëse problemi kërkon përcaktimin e vetëm disa karakteristikave të një ndryshoreje të rastësishme - më shpesh vlerën mesatare dhe variancën. Ato mund të gjenden pa modeluar vetë funksionin e shpërndarjes. Në të njëjtën kohë vlerësim statistikor besueshmëria e rezultateve është e detyrueshme.

3. Është e përshtatshme të shfaqen rezultatet e simulimit në ekranin e kompjuterit në formën e mëposhtme: në formën e tabelave të vlerave të vlerës së llogaritur (zakonisht në disa mostra), në formën e histogrameve të shpërndarjes së variablave të rastësishëm të ndërtuara gjatë simulimit.

4. Këshillohet, ku është e mundur, të shoqërohet modelimi simulues me një paraqitje vizuale të procesit përkatës në ekranin e kompjuterit (procesi i formimit të radhëve, lindja dhe zhdukja e objekteve në problemet e modelimit të popullsisë etj.).

Koha e përafërt e përfundimit 16 orë.

Detyrë për punë laboratorike

Kryeni një simulim të procesit të rastësishëm të specifikuar dhe vlerësoni besueshmërinë e rezultateve të marra duke përdorur kritere statistikore.

Opsionet e detyrave

Opsioni 1

Simuloni një radhë në një dyqan me një shitës sipas ligjeve të shpërndarjes së barabartë të variablave të rastësishëm të përshkruara më sipër: ardhja e klientëve dhe kohëzgjatja e shërbimit (për një grup të caktuar parametrash fiks). Merrni karakteristika të qëndrueshme: vlerat mesatare të pritjes në radhë nga blerësi dhe koha e papunë e shitësit gjatë pritjes së mbërritjes së blerësve. Vlerësoni besueshmërinë e tyre. Vlerësoni natyrën e funksionit të shpërndarjes së sasive g Dhe h.

Opsioni 2

Kryeni të njëjtin modelim me ligjet Poisson të shpërndarjes së probabilitetit të ngjarjeve hyrëse: ardhja e klientëve dhe kohëzgjatja e shërbimit (për një grup të caktuar parametrash fiks).

Opsioni 3

Kryeni të njëjtin modelim sipas ligjit normal të shpërndarjes së probabilitetit të ngjarjeve hyrëse: ardhja e klientëve dhe kohëzgjatja e shërbimit (për një grup të caktuar parametrash fiks).

Opsioni 4

Në sistemin e diskutuar më sipër, një situatë kritike mund të lindë kur radha rritet pa kufi me kalimin e kohës. Në fakt, nëse klientët hyjnë në dyqan shumë shpesh (ose shitësi është shumë i ngadalshëm), radha fillon të rritet, dhe në këtë sistem me koha e fundit do të vijë kriza e shërbimit.

Ndërtoni një marrëdhënie midis sasive (max, bmax), duke pasqyruar kufirin e specifikuar situatë kritike, me një shpërndarje po aq të mundshme të ngjarjeve hyrëse.

Opsioni 5

Në ndërqytet central telefonik dy operatorë telefonikë shërbejnë një radhë të përbashkët porosish. Porosia tjetër shërbehet nga operatori telefonik i cili ishte i pari që u bë i disponueshëm. Nëse të dy janë të zënë në momentin e marrjes së porosisë, telefonata anulohet dhe ju duhet të telefononi përsëri. Modeloni procesin, duke konsideruar se flukset hyrëse janë Poisson.

Opsioni 6

Simuloni situatën e përshkruar në versionin e mëparshëm, por supozoni se nëse në kohën e përpjekjes për të bërë një porosi të dy operatorët telefonikë janë të zënë, krijohet një radhë.

Opsioni 7

Le të përdoret centrali telefonik me një hyrje sistemi konvencional: nëse pajtimtari është i zënë, atëherë radha nuk është formuar dhe duhet të telefononi përsëri. Simuloni situatën: tre abonentë përpiqen të telefonojnë pronarin e të njëjtit numër dhe, nëse ka sukses, bisedojnë me të për disa kohë (në kohëzgjatje të rastësishme). Sa është probabiliteti që dikush që përpiqet të telefonojë nuk do të jetë në gjendje ta bëjë këtë kohë të caktuar T?

Opsioni 8

Simuloni situatën e përshkruar në versionin e mëparshëm, por supozoni se nëse në kohën e përpjekjes për të kontaktuar telefoni i pajtimtarit është i zënë, krijohet një radhë.

Opsioni 9

Në urgjencë punon vetëm një mjek. Kohëzgjatja e trajtimit për një pacient dhe intervalet kohore ndërmjet pranimeve të pacientëve janë variabla të rastësishëm të shpërndara sipas ligjit Poisson. Sipas ashpërsisë së lëndimeve, pacientët ndahen në tre kategori pranimi i një pacienti të çdo kategorie - ngjarje e rastësishme me shpërndarje të barabartë probabiliteti. Mjeku fillimisht trajton pacientët me lëndime më të rënda (sipas rradhës së pranimit të tyre), pastaj, nëse nuk ka, pacientët me lëndime mesatare (sipas renditjes së tyre të pranimit), dhe vetëm atëherë - pacientët me lëndime të lehta. Modeloni procesin dhe vlerësoni kohët mesatare të pritjes në radhë për pacientët e secilës kategori.

Opsioni 10

Simuloni situatën e përshkruar në versionin e mëparshëm, me kusht që dy mjekë të punojnë në dhomën e urgjencës dhe pacientët të ndahen në dy kategori dhe jo në tre.

Opsioni 11

Një endës i shërben një grupi tezgjahësh, duke kryer ndërhyrje afatshkurtra sipas nevojës, kohëzgjatja e të cilave është një ndryshore e rastësishme. Sa është probabiliteti i ndërprerjes së dy makinave në të njëjtën kohë? Sa është koha mesatare e joproduktive e një makine?

Opsioni 12

Simuloni situatën e përshkruar në versionin e mëparshëm, nëse një grup tezgjahësh shërbehen bashkërisht nga dy endës.

Opsioni 13

NË Flota e automjeteve të qytetit ka dy zona riparimi. Një - shërben riparime të shkurtra dhe kohëzgjatja mesatare, tjetra - afatmesme dhe afatgjatë (d.m.th., riparimet afatmesme mund të kryhen nga secila prej zonave). Ndërsa ndodhin avari, automjetet i dorëzohen flotës; intervali kohor midis dërgesave - i rastësishëm Vlera Poisson. Kohëzgjatja e riparimit është një ndryshore e rastësishme me ligj normal shpërndarjet. Modeloni sistemin e përshkruar. Cila është koha mesatare e pritjes për automjetet që kërkojnë riparime afatshkurtra, afatmesme dhe afatgjata, përkatësisht?

Opsioni 14

Zbatoni modelin e simulimit modelimi statistikor për të zgjidhur problemin e Bufonit (shek. XVIII). Autori në mënyrë analitike zbuloi se nëse në një fushë grafohet nga vija paralele, distanca midis tyre L, hedh një gjilpërë rastësisht l, atëherë probabiliteti që gjilpëra të kalojë të paktën një vijë të drejtë përcaktohet nga formula .

Ky problem siguroi një mënyrë për të simuluar përcaktimin e numrit fq. Në të vërtetë, nëse L = 2l, Se . Gjatë simulimit, kryeni këtë llogaritje.

Opsioni 15

Zhvilloni një model ecjeje të rastësishme njëdimensionale (modeli "i dehur"). Ecja përcaktohet sipas rregullit: nëse numri i rastësishëm nga segmenti është më i vogël se 0.5, atëherë një hap bëhet në të djathtë me një distancë h, përndryshe - u largua. Shpërndarja e numrave të rastit supozohet të jetë po aq e mundshme.

Zgjidheni problemin: sa është probabiliteti që një shëtitje e tillë të largohet nga pika e fillimit n hapat?

Opsioni 16

NË kushtet e problemit nga versioni i mëparshëm, merrni një përgjigje për pyetjen: cila është probabiliteti që një "pijanec" të kthehet pas n hapa brenda pikënisje?

Opsioni 17

Një pikë endet rastësisht në një plan përgjatë nyjeve të një rrjeti katror me aftësinë për të bërë probabilitet të barabartë hapa majtas-djathtas-lart-poshtë në një hap fiks (me një lëvizje). Lëvizja ndodh në një të mbyllur vëllim drejtkëndor, dhe pas kontaktit me murin ndodh imazh pasqyre prej saj.

Gjatë simulimit, përgjigjuni pyetjes: si lidhet frekuenca e vizitave në secilën nyje me distancën prej saj deri te nyja nga e cila fillon lëvizja.

Opsioni 18

Modeloni të njëjtën situatë si në detyrën për opsionin 17, me kusht që zona e bredhjes të jetë e pakufizuar dhe përgjigjuni pyetjes së bërë.

Opsioni 19

Simuloni fluturimin e një blete. Në një plan (pastrimi) bimët e mjaltit rriten rastësisht me një përqendrim të caktuar (për 1 m2). Në qendër është një zgjua nga e cila fluturon një bletë. Një bletë mund të fluturojë nga një bimë në çdo bimë tjetër, por probabiliteti i zgjedhjes zvogëlohet në mënyrë monotonike me rritjen e distancës midis bimëve (sipas disa ligjeve). Sa është probabiliteti që një bletë të vizitojë një bimë të caktuar gjatë një numri të caktuar fluturimesh elementare?

Opsioni 20

Zbatoni një model të sheshtë Lëvizja Browniane n grimcat në një drejtkëndësh. Konsideroni grimcat të jenë topa me madhësi të fundme. Ndikimet e grimcave në njëra-tjetrën dhe në mure duhet të modelohen si absolutisht elastike. Përcaktoni në këtë model varësinë e presionit të gazit në mure nga numri i grimcave.

Opsioni 21

Zhvilloni në detaje dhe zbatoni një model të përzierjes (difuzionit) të gazeve në një enë të mbyllur. NË momenti i fillimit kohë, çdo gaz zë gjysmën e enës. Duke përdorur këtë model, studioni varësinë e shpejtësisë së difuzionit nga parametra të ndryshëm të hyrjes.

Opsioni 22

Zbatoni një model simulimi të sistemit "grabitqar-pre" sipas skemës së mëposhtme.

"Ishulli" 20x20 është i banuar nga lepuj të egër, ujqër dhe ujqër. Ka disa përfaqësues të secilës specie. Lepujt në çdo moment të kohës me të njëjtën probabilitet prej 1/9 lëvizin në një nga tetë sheshet fqinje (me përjashtim të zonave të kufizuara vija bregdetare) ose thjesht uluni pa lëvizur. Çdo lepur ka një probabilitet 0.2 për t'u kthyer në dy lepuj. Çdo ujk lëviz rastësisht derisa lepuri që po gjuan është në një nga tetë sheshet ngjitur. Nëse ujku dhe lepuri janë në të njëjtin shesh, ujku ha lepurin dhe merr një pikë. Ndryshe ajo humbet 0.1 pikë.

Ujqërit dhe ujqërit me zero pikë vdesin. Në momentin fillestar të kohës, të gjithë ujqërit dhe ujqërit kanë 1 pikë. Ujku sillet si ujk derisa të zhduken të gjithë lepujt në sheshet fqinje; atëherë, nëse ujku është në një nga tetë sheshet aty pranë, ujku e ndjek atë.

Nëse një ujk dhe një ujk janë në të njëjtin shesh dhe nuk ka lepur për të ngrënë, ata do të prodhojnë pasardhës të një gjinie të rastësishme.

Vëzhgoni ndryshimet e popullsisë gjatë një periudhe kohore. Monitoroni se si ndryshimet në parametrat e modelit ndikojnë në evolucionin e popullatave.

Opsioni 23

Për të modeluar procesin e përhapjes së infeksionit të krimbave në një zonë të madhësisë së lëkurës n x p(p- tek) qeliza.

Supozohet se qeliza origjinale e lëkurës e infektuar është ajo qendrore. Në çdo interval kohor, një qelizë e infektuar mund të infektojë çdo qelizë të shëndetshme fqinje me një probabilitet prej 0.5. Pas gjashtë njësive të kohës, qeliza e infektuar bëhet imune ndaj infeksionit, imuniteti që rezulton zgjat për katër njësitë e ardhshme kohore dhe më pas qeliza rezulton e shëndetshme. Gjatë simulimit të procesit të përshkruar, dalja gjendjen aktuale zonë e simuluar e lëkurës në çdo interval kohor, duke vënë në dukje qelizat e infektuara, rezistente ndaj infeksionit dhe të shëndetshme.

Vëzhgoni sesi ndryshimet në madhësinë e fushës dhe probabiliteti i infeksionit ndikojnë në rezultatet e simulimit.

Opsioni 24

Hartimi i detajuar dhe zbatimi i një modeli për shpërndarjen e ndotësve mjedisi grimcat e një substance të emetuara në atmosferë nga një oxhak i fabrikës (për shembull, hiri që rezulton nga djegia e qymyrit në një termocentral). Konsideroni lëvizjen e një grimce të përbëhet nga dy përbërës: in plan horizontal- nën ndikimin e goditjeve të rastësishme të erës, në vertikale - nën ndikimin e gravitetit.

Lexim të mëtejshëm

1. Bailey N. Metodat statistikore në biologji: Përkth. nga anglishtja - M.: IL, 1962.

2. Gnedenko B.V., Kovalenko I.N. Hyrje në teorinë e radhës. - M.: Nauka, 1966.

3. Saati T. Elementet e teorisë së radhës dhe zbatimet e saj: Përkth. nga anglishtja - M.: Sov. radio, 1991.

4. Shannon R. Modelimi simulues i sistemeve - arti dhe shkenca: Përkth. nga anglishtja - M.: Mir, 1978.

Testet për kapitullin 7