Gjatësia vija bregdetare

A është e matshme?
A kemi të drejtë të japim gjatësinë në tekste shkollore?
bregdeti dhe a nuk do të turpërohemi,
duke kërkuar këtë shifër nga studentët?

K.S. LAZAREVICH

Në mësimet e gjeografisë operojmë me shumë tregues statistikorë. Shumica e tyre duken shumë të thjeshta dhe të qarta: aq shumë milion njerëz, kaq miliona ton qymyr, kaq shumë kilometra. Por kjo është nëse nuk mendoni për të. Por thjesht duhet të gërmoni më thellë në çdo numër dhe ai pushon së qeni i qartë. Ndonjëherë shkërmoqet në pluhur. Këtu janë shembuj.
Po hapim Atlasin e Botës të botuar së fundmi, i cili sapo ka dalë në shitje (M.: Federata Unitary State Enterprise Cartography Production Association, 2003). Në tabelën “Shtetet dhe territoret e botës” gjejmë: “Kryeqyteti i Francës është Parisi (2,125.2 mijë banorë). Nëse një student jep një shifër të tillë në një provim, a do të jetë i kënaqur testuesi? Në fund të fundit, Parisi është një nga qendrat më të mëdha Evropë dhe jo më pak se Shën Petersburg. Por nuk ka asnjë gabim në figurën e dhënë: këtu është Parisi kufijtë administrativë qyteti i Parisit. Dhe brenda kufijve të një grupi urban të krijuar vërtet, ai është një qytet dhjetë milionë dollarësh. Shumë varet nga mënyra se si numëroni. Kjo nuk do të thotë që studenti mund të pranojë ndonjë numër në rangun nga 2.2 deri në 10 si përgjigje; Kur përmend këtë apo atë numër, studenti duhet të kuptojë se çfarë fshihet pas tij, çfarë matet dhe si.
Një milion ton qymyr me kalori të lartë dhe qymyr kafe janë miliona të ndryshme.
Por dukej si kilometra. Një kilometër është gjithashtu një kilometër në Afrikë. Dhe ajo që matet në kilometra mund të vihet në dyshim? Por rezulton se edhe kur jep gjatësitë në kilometra, autori i tekstit duhet së pari të mendojë. Një mësues, duke përdorur një tekst shkollor, duhet gjithashtu t'i nënshtrojë një figurë në analizë kritike përpara se t'ua transmetojë atë nxënësve dhe t'u kërkojë atyre ta mësojnë përmendësh. Lexojmë një libër shkollor për klasën e 10-të: “Kanadaja përballet me tre oqeane dhe gjatesia totale vija e saj bregdetare (rreth 250 mijë km) nuk ka asnjë të barabartë në botë”. Si është matur vija bregdetare, çfarë është matur, si është matur, me çfarë është matur? Si mund të matni edhe një vijë bregdetare?

Kthesa të parregullta në një hartë mund të maten duke përdorur një lakormetër - rrota e kësaj pajisjeje rrotullohet përgjatë kurbës, duke regjistruar me kujdes çdo kurbë. Megjithatë, dredha-dredha e vijës bregdetare është shpesh aq e madhe sa është e pamundur ta ndjekësh atë me lakormetër. Ju duhet të ecni përgjatë kurbës me një busull matës. Gjatësia më e rehatshme e hapit është 2 mm. Në shkallë të ndryshme, ky hap korrespondon, natyrisht, me distanca të ndryshme, një matje e tillë nuk do të japë kurrë një gjatësi të saktë, pasi çdo hap drejton kurbën mbi një segment të vogël, por gabim relativ pak a shumë të ruajtura.
Le të përpiqemi, për hir të një shembulli, të matim gjatësinë e vijës bregdetare të Okrug Autonome Chukotka. Le të marrim një hartë nga Atlasi i Shkollës për Gjeografinë e Rusisë (shkalla 1: 22,000,000) dhe të ecim të gjithë bregdetin Chukchi me një hap busull prej dy milimetrash (44 km). Rezultati do të jetë 4300 km (98 hapa busull). Le të bëjmë të njëjtën matje duke përdorur hartën e shkallës
1: 7,500,000 Këtu do të numërojmë tashmë 345 hapa dy milimetrash (15 km).
5200 km. Është logjike të supozohet se nëse harta përdoret në matje në një shkallë më të madhe, vija bregdetare e matur do të bëhet edhe më e gjatë.
Le të bëjmë edhe një eksperiment. Gjatësia e vijës bregdetare të rajonit të Leningradit. në hartë
1: 22,000,000 - 300 km, sipas hartës 1: 2,500,000 - 555 km, dhe sipas harta topografike
1: 500,000 - 670 km. Në të njëjtën kohë, gjatësia e vijës bregdetare vetëm të gjirit Vyborg (ku brigjet janë veçanërisht të prera me gjire dhe limane), e matur nga një hartë topografike, është 338 km, ndërsa sipas atlasi i shkollës- 65 km (diferenca është më shumë se
5 herë!).
Kështu, ka një rritje natyrore në gjatësinë e vijës bregdetare të matur me shkallë në rritje. Arsyeja nuk është vetëm se hapi prej dy milimetrash i busullës korrespondon me një vlerë gjithnjë e më të vogël në tokë, por kryesisht sepse vetë linja, edhe nëse matet dhe konvertohet shumë saktë në përputhje me shkallën në kilometra, në fakt bëhet më të gjatë (Fig. 1) . Në hartën e Rusisë afër bregut të rajonit të Leningradit. Vetëm Gjiri Vyborg, Gjiri i Neva dhe kthesat e vogla të bregdetit jugor të Gjirit të Finlandës janë të dukshme. Në një hartë të shkallës 1: 2,500,000, skicat e Gjirit Vyborg janë tashmë mjaft komplekse, dhe në jug gjiret Koporskaya dhe Luga janë qartë të dukshme. Në hartën gjysmë milioni vjeçare, ka shumë gjire të tjerë të vegjël brenda gjirit Vyborg, disa prej të cilëve kanë emrat e duhur(Baltiets Bay, Klyuchevskaya Bay), dhe vetëm Bregdeti jugor Gjiri i Finlandës duket pak i ndryshuar në krahasim me shkallën e mëparshme, vija bregdetare atje është shumë më pak e thyer.

Si të përcaktohet gjatësia e saktë e vijës bregdetare?
Meteorologu anglez Richardson i vuri vetes këtë qëllim, duke zgjedhur ishullin e tij të lindjes, Britaninë e Madhe, si një terren testimi. Ai arriti në përfundimin se gjatësia e vijës bregdetare rritet me rritjen e shkallës së hartës me të cilën matet kjo gjatësi (Fig. 2). A ka një kufi për këtë rritje? Vështirë. Gjatësia e vijës bregdetare rritet nga çdo pështymë e vogël rëre që del në det, çdo zgavër që krijon një gji të vogël, çdo guralec që rrjedh rreth ujit. Edhe në hartën më të madhe ato nuk janë të dukshme, por në realitet ekzistojnë të gjitha këto parregullsi në vijën bregdetare.

Ka shumë shembuj sesi përdorimi i metodave matematikore mund ta bëjë kërkimin gjeografik më bindës dhe më të besueshëm. Këtu ndodhi e kundërta: kërkimi gjeografik - studimi i gjatësisë së vijës bregdetare - kontribuoi në shfaqjen e një të re koncepti matematik. Emri në anglisht për këtë koncept është fraktal, por në rusisht ai ende nuk është vendosur plotësisht dhe gjendet në tre versione: fraktal(gjinore dhe rastet instrumentale do fraktal, fraktal), fraktal në gjininë mashkullore ( fraktal, fraktal) Dhe fraktal në gjininë femërore ( fraktale, fraktal); mbrapa Kohët e fundit duket se po anon drejt fraktal.
Një fraktal është një vijë, çdo fragment i së cilës bëhet pafundësisht më kompleks, gjatësia e secilit fragment dhe e gjithë rreshtit po rritet vazhdimisht. Një shembull është figura që zakonisht quhet Flokë dëbore Koch, megjithëse ky emër është i pasaktë: kjo flok dëbore u ndërtua në fillim të shekullit të njëzetë. Helga von Koch, dhe mbiemri i saj nuk duhet të refuzohet.
Le ta marrim trekëndësh barabrinjës. Le të ndajmë secilën anë në tre pjesë të barabarta dhe të ndërtojmë një trekëndësh barabrinjës në segmentin e mesit të secilës brinjë. Do të merrni një yll të rregullt me ​​gjashtë cepa, një figurë me gjashtë qoshet konveks dhe gjashtë në hyrje. Le të ndajmë secilën nga brinjët e saj (dhe janë 12 të tilla) në tre pjesë të barabarta dhe të ndërtojmë përsëri një trekëndësh barabrinjës në segmentin e mesit të secilës anë. Rezultati do të jetë një figurë me 48 anë, me 18 konveks dhe 30 kënde të përsëritura. Përsëritja e këtij operacioni numër i pafund herë (kjo mund të bëhet, natyrisht, vetëm mendërisht), marrim një figurë, sipërfaqja e së cilës po rritet vazhdimisht, por gjithnjë e më ngadalë, duke iu afruar gradualisht një kufiri të caktuar (Fig. 3). Perimetri i kësaj figure rritet pafundësisht, pasi sa herë që ndërtojmë një trekëndësh të ri barabrinjës në anën e figurës, sado i vogël të jetë ai, tre segmente të barabarta të kësaj brinjë zëvendësohen me katër të barabarta dhe rrjedhimisht gjatësia e secilës anë. (dhe për rrjedhojë i gjithë perimetri) rritet me 4/3 herë, dhe çdo numër më i madh se një në një fuqi të barabartë me pafundësinë (dhe ne e bëjmë ndërtimin një numër të pafundëm herë) priret në pafundësi.

Kufiri i flokeve të dëborës do të jetë diçka si një vijë e gjerë, e ashpër që mbush të gjithë zona kufitare kjo shifër. Konceptet e "vijës së gjerë", "sipërfaqes së trashë", në dukje absurde nga pikëpamja e matematikës klasike (vija nuk ka gjerësi dhe sipërfaqja nuk ka trashësi), të drejtat e qytetarisë fituan me zhvillimin e teorisë së fraktaleve. . Besohet se një vijë është njëdimensionale, ajo ka vetëm një gjatësi, pozicioni i një pike në të përcaktohet nga një koordinatë; sipërfaqja është dydimensionale, ka një sipërfaqe, pozicioni i një pike në të përcaktohet nga dy koordinata; trupi është tredimensional, ka vëllim, nevojiten tre koordinata. Dhe teoria e fraktaleve prezanton konceptin e dimensionit fraksional: vija nuk është bërë dydimensionale, por ka pushuar së qeni njëdimensionale. Kjo është mjaft e vështirë për t'u kuptuar nga një person i papërgatitur (nuk mund të teshtini një herë e gjysmë), por nëse kujtojmë se si sillet vija bregdetare - jo vetëm në hartë, por edhe në natyrë, si ndryshon nëse shikoni atë, duke u ulur, pastaj duke u ngritur në lartësinë e plotë, pastaj duke u ngjitur në një mal, pastaj duke u ngritur në një aeroplan ose anije kozmike, nuk do ta kuptojmë aq shumë sa do të ndjejmë se çfarë sistem kompleks përfaqëson këtë linjë; Për të, definitivisht nuk mjafton një karakteristikë - gjatësia.
Dhe vetë teoria e fraktaleve, e lindur nga kërkimet gjeografike, i vjen në ndihmë gjeografisë. Një metodë për studimin e relievit si fraktal nuk është zhvilluar ende, por definitivisht ka premtuar. Duke parë lehtësimin në pamje e përgjithshme, duke e vizatuar në një hartë të përmasave të vogla, shohim vargmalet, pllajat, luginat e thella. Në një shkallë mesatare, tashmë shfaqen kodra, lugina të vogla dhe lugina. Edhe më i madh - dhe ju mund të shihni gunga dhe valëzime të erës në rërë. Por ky nuk është kufiri: ka guralecë individuale dhe kokrra rërë. Në aspektin praktik, e gjithë kjo është e rëndësishme sepse ju duhet të mësoni se si të zgjidhni saktë objektet për përshkrim në harta të shkallëve të ndryshme; Një nga gabimet kryesore të përpiluesve të hartave është mospërputhja midis përmbajtjes së hartës dhe shkallës së saj.
Por çfarë të bëjmë me gjatësinë e vijës bregdetare? Refuzoni ta matni sepse është i pamatshëm?
Jo, ky nuk është një opsion. Thjesht, kur jepni gjatësinë e vijës bregdetare, gjithmonë duhet të tregoni se në çfarë hartash është matur dhe në çfarë mënyre. Dhe sigurohuni që të përcaktoni në të njëjtën kohë, nëse është marrë parasysh apo jo vija bregdetare e ishujve. Pa treguar shkallën e hartave dhe nëse përfshihen apo jo ishujt, çdo e dhënë për gjatësinë e vijës bregdetare bëhet e pakuptimtë. Fatkeqësisht, edhe në burime që pretendojnë se janë plotësisht të besueshme, mund të gjesh absurditete të tmerrshme. Për shembull, faqja e famshme e CIA-s " Bota Libri i fakteve". Këtu jepen të dhënat e vijës bregdetare për çdo vend dhe oqean, por metoda e matjes nuk është e specifikuar. Si rezultat, vija bregdetare e Kanadasë rezulton të jetë më shumë se 200 mijë km, Oqeani Arktik - 45,4 mijë km, Oqeani Atlantik - 111,9 mijë km (të dhënat janë dhënë - mos e mendoni gabim! - kilometri më i afërt). Kanadaja u konsiderua duke marrë parasysh ishujt, kjo është e sigurt; Nuk dihet se si konsideroheshin oqeanet, por vijat bregdetare të dy prej tre oqeaneve që rrethojnë Kanadanë janë më pak se vetëm vija bregdetare e Kanadasë. Për Norvegjinë shifra është 21.925 km dhe jepet shënimi: “Kontinental 3419 km, ishuj të mëdhenj 2413 km, fjorde të gjata, ishuj të shumtë të vegjël dhe kthesa të vogla [përkthyer fjalë për fjalë notat] vija bregdetare 16,093 km.” Shuma totale është saktësisht siç tregohet gjatesia totale vija bregdetare. Por pse brigjet e fjordeve nuk janë pjesë e vijës bregdetare të kontinentit, pse gjatësia e skajeve të dhëmbëzuara i shtohet gjatësisë së vijës bregdetare të kontinentit, të cilët ishuj konsiderohen të mëdhenj - mund të hamendësojmë vetëm për të gjithë këtë. Të dhëna absolutisht të padiskutueshme në këtë tabelë jepen vetëm për Andorrën, Austrinë, Botsvanën, Hungarinë, Svazilandën dhe vende të ngjashme që nuk kanë dalje në det - shkruhet: “0 km”.

Një shembull i një paradoksi: nëse vija bregdetare e Mbretërisë së Bashkuar matet në seksione 100 km, atëherë gjatësia e saj është afërsisht 2,800 km. Nëse përdoren seksione 50 km, gjatësia është afërsisht 3,400 km, që është 600 km më e gjatë.

Gjatësia e vijës bregdetare varet nga mënyra se si matet. Meqenëse një masë tokësore mund të karakterizohet nga kthesa të çdo madhësie, nga qindra kilometra në fraksione të një milimetri ose më pak, nuk ka asnjë mënyrë të qartë për të zgjedhur madhësinë e elementit më të vogël që duhet të merret për matje. Për rrjedhojë, është e pamundur të përcaktohet pa mëdyshje perimetri i kësaj zone. Ekzistojnë përafrime të ndryshme matematikore për zgjidhjen e këtij problemi.

Metoda kryesore për vlerësimin e gjatësisë së një kufiri ose vije bregdetare ishte mbivendosja N segmente të barabarta gjatësia l në një hartë ose fotografi ajrore duke përdorur një busull. Çdo fund i segmentit duhet t'i përkasë kufirit që matet. Duke ekzaminuar mospërputhjet në vlerësimin e kufijve, Richardson zbuloi atë që tani quhet Efekti Richardson: Shkalla e matjes është në përpjesëtim të zhdrejtë me gjatësinë totale të të gjithë segmenteve. Kjo do të thotë, sa më i shkurtër të jetë vizori i përdorur, aq më i gjatë është kufiri i matur. Kështu, gjeografët spanjollë dhe portugezë udhëhiqeshin thjesht nga matje në shkallë të ndryshme.

Ajo që ishte më e habitshme për Richardson ishte se kur vlera l priret në zero, gjatësia e bregdetit tenton në pafundësi. Richardson fillimisht besonte, bazuar në gjeometrinë Euklidiane, se kjo gjatësi do të arrinte një vlerë fikse, siç është rasti me të rregullt forma gjeometrike. Për shembull, perimetri shumëkëndëshi i rregullt, i gdhendur në një rreth, i afrohet gjatësisë së vetë rrethit ndërsa numri i anëve rritet (dhe gjatësia e secilës anë zvogëlohet). Në teorinë e matjeve gjeometrike, një kurbë e lëmuar si një rreth, e cila mund të përfaqësohet përafërsisht në formën e segmenteve të vogla me një kufi të caktuar, quhet kurbë e korrigjueshme.

Më shumë se dhjetë vjet pasi Richardson përfundoi punën e tij, Mandelbrot zhvilloi një degë të re të matematikës - gjeometrinë fraktale - për të përshkruar komplekse të tilla jo të korrigjueshme që ekzistojnë në natyrë, siç është vija e pafund bregdetare. E tij përkufizimin e vet fraktal si bazë e hulumtimit të tij është si më poshtë:

Unë sajova një fjalë fraktal, duke marrë për bazë mbiemrin latin fraktus. Folje përkatëse latine frangere do të thotë thyej: Krijo fragmente të parregullta. Prandaj është e arsyeshme që, përveç "fragmentare", fraktus duhet gjithashtu të nënkuptojë "i parregullt".

Vetia kryesore e fraktaleve është vetëngjashmëria, e cila konsiston në shfaqjen e së njëjtës figura e përgjithshme në çdo shkallë. Vija bregdetare perceptohet si një alternim i gjireve dhe pelerinave. Hipotetikisht, nëse një vijë bregdetare e caktuar ka vetinë e vetëngjashmërisë, atëherë pavarësisht se sa është e shkallëzuar një pjesë ose një pjesë tjetër, do të ketë përsëri një model të ngjashëm të gjireve dhe kokave më të vogla të mbivendosura në gjire dhe koka më të mëdha, deri në kokrrat e rërë. Në këto shkallë, vija bregdetare duket të jetë një fillesë që ndryshon menjëherë, potencialisht e pafundme me një rregullim stokastik të gjireve dhe tokave. Në kushte të tilla (në krahasim me kthesat e lëmuara), Mandelbrot thotë: "Gjatësia e vijës bregdetare është një koncept i pakapshëm, që rrëshqet mes gishtave të atyre që përpiqen ta kuptojnë".

ku gjatësia e vijës bregdetare L është funksion i njësisë ε dhe përafrohet me shprehjen në anën e djathtë. F është një konstante, D është parametri Richardson, në varësi të vetë vijës bregdetare (Richardson nuk dha shpjegim teorik këtë sasi, megjithatë Mandelbrot e përcaktoi D si një formë jo të plotë të dimensionit Hausdorff, më vonë dimensionin fraktal. Me fjalë të tjera, D është vlera praktikisht e matur e "vrazhdësisë"). Duke u rigrupuar anën e djathtë shprehjet, marrim:

ku Fε -D duhet të jetë numri i njësive ε që nevojiten për të marrë L. Dimensioni fraktal është numri i dimensioneve të një objekti që përdoret për të përafruar një fraktal: 0 për një pikë, 1 për një vijë, 2 për shifrat e zonës. Meqenëse vija e thyer që mat gjatësinë e bregdetit nuk shtrihet në një drejtim dhe në të njëjtën kohë nuk përfaqëson një zonë, vlera e D në shprehje merr pozicioni i ndërmjetëm ndërmjet 1 dhe 2 (për bregdetin zakonisht më pak se 1.5). Mund të interpretohet si një vijë e trashë ose shirit 2ε i gjerë. Më shumë brigje “të thyera” kanë vlerë më të lartë D dhe kështu L rezulton të jetë më e gjatë për të njëjtën ε. Mandelbrot tregoi se D nuk varet nga ε.

Në përgjithësi, vijat bregdetare janë të ndryshme nga fraktalet matematikore sepse ato formohen duke përdorur detaje të shumta të vogla që krijojnë modele vetëm statistikisht.

Në realitet, nuk ka detaje më të vogla se 1 cm në vijat bregdetare [ ] . Kjo është për shkak të erozionit dhe fenomeneve të tjera detare. Në shumicën e vendeve, madhësia minimale është shumë më e lartë. Prandaj, modeli fraktal i pafund nuk është i përshtatshëm për vijat bregdetare.

Për arsye praktike, zgjidhni madhësinë minimale të pjesëve të barabarta me rendin e njësive matëse. Pra, nëse vija bregdetare matet në kilometra, atëherë ndryshime të vogla linjat shumë më të vogla se një kilometër thjesht nuk merren parasysh. Për të matur një vijë bregdetare në centimetra, duhet të merren parasysh të gjitha ndryshimet e vogla rreth një centimetër. Megjithatë, në shkallët në rendin e centimetrave, duhet të bëhen supozime të ndryshme arbitrare jo-fraktale, për shembull kur grykëderdhja bashkohet me detin, ose në vendet ku matjet duhet të merren me vat të gjera. Përveç kësaj, përdorimi metoda të ndryshme matjet për njësi të ndryshme matëse nuk lejon konvertimin e këtyre njësive duke përdorur shumëzim të thjeshtë.

Për të përcaktuar gjendjen ujërat territoriale po ndërtojnë të ashtuquajturat kthesa të bregdetit të provincës kanadeze të Kolumbisë Britanike, ato përbëjnë më shumë se 10% të gjatësisë së vijës bregdetare kanadeze (duke marrë parasysh të gjithë ishujt e arkipelagut kanadez Arktik) - 25,725 km nga 243,042; km në një distancë lineare prej vetëm 965 km

Kur studioni gjeografinë, sigurisht, mbani mend se secili vend ka zonën dhe gjatësinë e tij të kufirit, veçanërisht nëse një vend lahet nga një det ose oqean, atëherë ai ka një kufi detar me një gjatësi të caktuar. A keni menduar ndonjëherë se si përcaktohet kjo gjatësi kufiri? Në vitin 1977, matematikani amerikan Benoit Mandelbrot vendosi veten pyetja e radhës: Sa është gjatësia e vijës bregdetare të MB? Doli se ishte e pamundur t'i përgjigjesh saktë kësaj "pyetje fëminore". Në vitin 1988, shkencëtari norvegjez Jens Feder vendosi të zbulojë gjatësinë e vijës bregdetare norvegjeze. Ju lutemi vini re se bregdeti i Norvegjisë është shumë i thyer nga fiords. Shkencëtarë të tjerë i kanë bërë vetes pyetje të ngjashme në lidhje me gjatësinë e vijave bregdetare të brigjeve të Australisë, Afrika e Jugut, Gjermania, Portugalia dhe vende të tjera.

Gjatësia e vijës bregdetare mund të matet vetëm përafërsisht. Ndërsa zvogëlojmë, duhet të matim gjithnjë e më shumë koka dhe gjire të vegjël - gjatësia e vijës bregdetare rritet, dhe thjesht nuk ka asnjë kufi objektiv për zvogëlimin e shkallës (dhe në këtë mënyrë rritjen e gjatësisë së vijës bregdetare); ne jemi të detyruar të pranojmë se kjo linjë ka gjatësi të pafundme. Ne e dimë se dimensioni i një vije të drejtë është një, dimensioni i një katrori është dy dhe dimensioni i një kubi është tre. Mandelbrot propozoi përdorimin e dimensioneve të pjesshme - dimensionet Hausdorff - Besicovitch - për të matur kthesat "monstruoze". Kurbat e thyera pafund si një vijë bregdetare nuk janë mjaft linja. Ata duket se "fshijnë" një pjesë të avionit, si një sipërfaqe. Por ato nuk janë as sipërfaqe. Kjo do të thotë se është e arsyeshme të supozohet se dimensioni i tyre është më shumë se një, por edhe më pak se dy, domethënë këto janë objekte thyesore-dimensionale.

Shkencëtari norvegjez E. Feder propozoi një mënyrë tjetër për të matur gjatësinë e vijës bregdetare. Harta ishte e mbuluar me një rrjet katror, ​​qelizat e së cilës kanë përmasa e? e. Mund të shihet se numri N(e) i qelizave të tilla që mbulojnë vijën bregdetare në hartë është afërsisht i barabartë me numrin e hapave në të cilët mund të ecësh rreth vijës bregdetare në hartë duke përdorur një busull me një zgjidhje e. Nëse e zvogëlohet, atëherë numri N(e) do të rritet. Nëse gjatësia e vijës bregdetare të MB kishte një gjatësi të caktuar L, atëherë numri i hapave të një busull me një zgjidhje (ose numri qeliza katrore N(e) që mbulon vijën bregdetare në hartë) do të ishte në përpjesëtim të zhdrejtë me e, dhe vlera Ln (e)=N(e) ? e do të priret në konstante L ndërsa k zvogëlohet Fatkeqësisht, llogaritjet e kryera nga shumë shkencëtarë kanë treguar se kjo nuk është plotësisht e vërtetë. Ndërsa hapi zvogëlohet, gjatësia e matur rritet. Doli se marrëdhënia midis gjatësisë së matur L(e) dhe hapit e mund të përshkruhet nga relacioni i përafërt

Koeficienti D quhet dimensioni fraktal. Fjala fraktal vjen nga fjalë latine fraktal - thyesor, jo i plotë. Një grup quhet fraktal nëse ka një dimension jo të plotë. Për Norvegjinë D=1.52, dhe për Britaninë e Madhe D=1.3. Kështu, vija bregdetare e Norvegjisë dhe Britanisë së Madhe është një fraktal me dimension fraktal D. Llogaritjet janë kryer edhe për një rreth dhe dimensioni fraktal i rrethit është D=1, siç pritej. Kështu, dimensioni fraktal është një përgjithësim i dimensionit të zakonshëm.

Si ta kuptoni këtë dhe çfarë mund të thotë? Matematikanët filluan të kujtojnë nëse diçka e tillë kishte ekzistuar më parë në matematikë apo jo? Dhe ata u kujtuan! Le të shqyrtojmë një pjesë të një drejtëze të caktuar AB në rrafsh (Fig. 3). Le të marrim një katror me skajin e dhe të pyesim veten: sa katrorë N(e) me gjatësi të skajit e nevojiten për të mbuluar drejtëzën AB me katrorë të tillë? Mund të shihet se N(e) është proporcionale

Në mënyrë të ngjashme, nëse një zonë e kufizuar e mbyllur në një plan (Fig. 4) mbulohet me një rrjet katror me anën e e, atëherë numri minimal i katrorëve me anën e e që mbulon zonën do të jetë i barabartë me

Nëse marrim parasysh një rajon të kufizuar të mbyllur në hapësirë ​​tredimensionale dhe merrni një kub me buzë e, atëherë numri i kubeve që mbushin këtë zonë është

Le të përcaktojmë dimensionin fraktal bazuar në atë që u tha më lart në rast i përgjithshëm në mënyrën e mëposhtme:

Le të marrim logaritmin e anës së majtë dhe të djathtë

Duke kaluar në kufirin pasi e tenton në zero (N tenton në pafundësi), marrim

Kjo barazi është përkufizimi i dimensionit, i cili shënohet me d.

Fakti i njohur:

Një shembull i një paradoksi: nëse vija bregdetare e Mbretërisë së Bashkuar matet në seksione 100 km, atëherë gjatësia e saj është afërsisht 2,800 km. Nëse përdoren seksione 50 km, gjatësia është afërsisht 3,400 km, që është 600 km më e gjatë.

Gjatësia e vijës bregdetare varet nga mënyra se si matet. Meqenëse një masë tokësore mund të karakterizohet nga kthesa të çdo madhësie, nga qindra kilometra në fraksione të një milimetri ose më pak, nuk ka asnjë mënyrë të qartë për të zgjedhur madhësinë e elementit më të vogël që duhet të merret për matje. Për rrjedhojë, është e pamundur të përcaktohet pa mëdyshje perimetri i kësaj zone. Ekzistojnë përafrime të ndryshme matematikore për zgjidhjen e këtij problemi.

Përpara se të njihemi me llojin e parë të fraktaleve - domethënë, me kthesa, dimensioni fraktal i të cilave tejkalon 1 - le të shqyrtojmë një seksion tipik të një bregu. Natyrisht, gjatësia e tij nuk mund të jetë më e vogël se distanca e vijës së drejtë midis pikave të fillimit dhe përfundimit. Megjithatë, si rregull, vijat bregdetare kanë formë të çrregullt- ato janë të përdredhura dhe të thyera, dhe gjatësitë e tyre, pa asnjë dyshim, i tejkalojnë dukshëm distancat midis pikave të tyre ekstreme, të matura në vijë të drejtë.

Ka shumë mënyra për të vlerësuar më saktë gjatësinë e vijës bregdetare dhe në këtë kapitull do të analizojmë disa prej tyre. Në fund, do të arrijmë në një përfundim shumë të jashtëzakonshëm: gjatësia e vijës bregdetare është një koncept shumë i rrëshqitshëm dhe nuk mund ta kapësh me duar. Cilado metodë matjeje që përdorim, rezultati është gjithmonë i njëjtë: gjatësia e një vije bregdetare tipike është shumë e gjatë dhe aq e keqpërcaktuar sa është më e përshtatshme ta konsiderojmë atë të pafundme. Për rrjedhojë, nëse dikush vendos të krahasojë brigje të ndryshme nga pikëpamja e gjatësisë së tyre, ai do të duhet të gjejë diçka për të zëvendësuar konceptin e gjatësisë, e cila këtë rast nuk aplikohet.

Në këtë kapitull do të fillojmë kërkimin për një zëvendësues të përshtatshëm dhe në procesin e kërkimit nuk mund të shmangim njohjen me forma të ndryshme konceptet fraktale të dimensionit, masës dhe kurbës.

METODAT ALTERNATIVE TË MATJES

Metoda A. Le të vendosim hapjen e busullës matëse në një gjatësi të caktuar të caktuar, të cilën e quajmë gjatësia e hapit dhe të ecim me këtë busull përgjatë vijës bregdetare që na intereson, duke filluar çdo hap të ri në pikën ku përfundonte i mëparshmi. Numri i hapave të shumëzuar me gjatësinë e do të na japë gjatësinë e përafërt të bankës. Ne e dimë nga shkolla se nëse e përsërisim këtë veprim, çdo herë duke reduktuar hapjen e busullës, atëherë mund të presim që vlera të nxitojë shpejt në një vlerë shumë specifike, të quajtur gjatësia e vërtetë. Megjithatë, ajo që ndodh në të vërtetë nuk korrespondon me pritjet tona. Në një rast tipik, gjatësia e vëzhguar tenton të rritet pa kufi.

Arsyeja për këtë sjellje është e qartë: nëse shikoni një gadishull ose gji në hartat e shkallës 1/100,000 dhe 1/10,000, atëherë harta e fundit dallojmë qartë gadishujt dhe gjiret më të vegjël që nuk shiheshin në të parën. Një hartë e së njëjtës zonë, e bërë në shkallën 1/1000, do të na tregojë gadishuj dhe limane edhe më të vogla, e kështu me radhë. Çdo detaj i ri rrit gjatësinë totale të bankës.

Procedura e mësipërme supozon se vija bregdetare është shumë e çrregullt në formë që gjatësia e saj të përfaqësohet drejtpërdrejt si shuma e gjatësive të kthesave të thjeshta gjeometrike, gjatësitë e të cilave mund të gjenden në librat e referencës. Kjo eshte, Metoda A zëvendëson vijën bregdetare me sekuencë vija të thyera, i përbërë nga seksione të drejta, gjatësia e të cilave mund të përcaktojmë.

Metoda B. E njëjta "zbutje" mund të arrihet në mënyra të tjera. Imagjinoni një burrë që ecën përgjatë bregut rruga më e shkurtër, trajektorja e së cilës nuk largohet kurrë nga uji më larg se distancë e caktuar. Duke arritur pika e fundit, ajo kthehet, duke ulur pak vlerën e . Pastaj përsëri dhe përsëri, derisa më në fund vlera të arrijë, të themi, 50 cm. Nuk është e mundur të zvogëlohet më tej, pasi personi është shumë i madh dhe i ngathët për të qenë në gjendje të gjurmojë një trajektore më të detajuar. Mund të kundërshtohet për mua se këto detaje të vogla të paarritshme, së pari, nuk janë me interes të menjëhershëm për njerëzit, dhe së dyti, ato janë subjekt i ndryshimeve të tilla të rëndësishme në varësi të kohës së vitit dhe lartësisë së valës që regjistrimi i tyre i detajuar në përgjithësi humbet. gjithë kuptimin. Ne do të shqyrtojmë të parën nga këto kundërshtime më vonë në këtë kapitull. Sa i përket kundërshtimit të dytë, ai mund të neutralizohet duke u kufizuar në konsiderimin e një bregu shkëmbor në baticë dhe ujë të qetë. Në parim, një person mund të gjurmojë kthesa të përafërta më të detajuara duke thirrur një mi për ta ndihmuar, pastaj një milingonë, e kështu me radhë. Dhe përsëri, ndërsa këmbësori ynë ndjek një shteg gjithnjë e më afër ujit, distanca që duhet të kalojë rritet pafundësisht.

Metoda C. Metoda B nënkupton një asimetri të caktuar midis ujit dhe bregut. Për të shmangur këtë asimetri, Kantor propozoi shikimin e vijës bregdetare sikur përmes një lente të defokusuar, si rezultat i së cilës çdo pikë kthehet në një pikë të rrumbullakët me rreze. Me fjalë të tjera, Cantor i konsideron të gjitha pikat - si në tokë ashtu edhe në ujë - distanca nga të cilat deri në vetë vijën bregdetare nuk i kalon . Këto pika formojnë një lloj sallami ose shiriti me gjerësi (një shembull i një "sallami" të tillë - megjithëse në një kontekst tjetër - tregohet në Fig. 56). Le të matim sipërfaqen e shiritit që rezulton dhe ta ndajmë atë me. Nëse vija bregdetare do të ishte e drejtë, atëherë shiriti do të ishte një drejtkëndësh dhe vlera e gjetur në mënyrën e përshkruar më sipër do të rezultonte të jetë gjatësia aktuale e bregdetit. Kur kemi të bëjmë me vija bregdetare reale, marrim një vlerësim të përafërt të gjatësisë, e cila rritet pa kufi si .

MetodaD. Imagjinoni një hartë të bërë në mënyrën e artistëve pointillistë, domethënë, një hartë ku kontinentet dhe oqeanet përshkruhen me pika të rrumbullakëta me ngjyra të rrezes. Në vend që të konsiderojmë qendrat e pikave si pika që i përkasin vijës bregdetare, si në metodën C, do të kërkojmë që numri i pikave që fshehin plotësisht vijën të jetë më i vogli. Si rezultat, pikat pranë pelerinave do të shtrihen kryesisht në tokë, dhe pranë gjireve ato do të shtrihen në det. Një vlerësim i gjatësisë së vijës bregdetare këtu do të jetë rezultat i ndarjes së zonës së mbuluar nga pikat me . Edhe “sjellja” e këtij vlerësimi lë shumë për të dëshiruar.

RASTËSIA E REZULTATEVE TË MATJES

Duke përmbledhur seksionin e mëparshëm, vërejmë se rezultati i përdorimit të cilësdo prej katër metodave është gjithmonë i njëjtë. Ndërsa e zvogëlohet, gjatësia e përafërt e kurbës tenton në pafundësi.

Për të kuptuar siç duhet rëndësinë e këtij fakti, le të bëjmë një matje të ngjashme të gjatësisë së çdo kurbë të zakonshme Euklidiane. Për shembull, në një segment të drejtë, të dhënat e përafërta të matjeve të vlerësuara në thelb përputhen dhe përcaktojnë gjatësinë e kërkuar. Në rastin e një rrethi vlerë e përafërt gjatësia rritet, por shpejt nxiton në një kufi specifik. Lakoret, gjatësia e të cilave mund të përcaktohet në këtë mënyrë quhen të korrigjueshme.

Është edhe më udhëzuese të përpiqesh të matësh gjatësinë e disa prej vijave bregdetare të zbutura nga njeriu - le të themi, bregdeti pranë Chelsea siç duket sot. Meqenëse njerëzit ende lënë palosje shumë të mëdha të terrenit të pandryshuara, ne do të instalojmë një zgjidhje shumë të madhe në busullën tonë dhe do ta zvogëlojmë gradualisht. Ashtu siç pritej, gjatësia e vijës bregdetare do të rritet.

Megjithatë, ekziston një tipar interesant: me reduktim të mëtejshëm, në mënyrë të pashmangshme gjendemi në një zonë të caktuar të ndërmjetme, ku gjatësia mbetet pothuajse e pandryshuar. Kjo zonë shtrihet nga afërsisht 20 m deri në 20 cm (shumë afërsisht). Kur bëhet më pak se 20 cm, gjatësia fillon të rritet përsëri - tani gurët individualë ndikojnë në rezultatin e matjes. Kështu, nëse vizatoni një grafik të ndryshimit të vlerës në funksion të , atëherë, pa dyshim, do të gjeni një zonë të sheshtë mbi të me vlerat e e në rangun nga 20 m në 20 cm - në grafikë të ngjashëm për brigjet natyrore “të egra” nuk vërehen zona të tilla të sheshta.

Është e qartë se matjet e bëra në këtë zonë të sheshtë kanë një vlerë praktike të madhe. Që nga kufijtë midis të ndryshme disiplinat shkencore janë kryesisht rezultat i një marrëveshjeje midis shkencëtarëve për ndarjen e punës, ne mund, për shembull, të transferojmë të gjitha fenomenet, shkalla e të cilave kalon 20 m, domethënë ato që njeriu nuk i ka arritur ende, në departamentin e gjeografisë. Një kufizim i tillë do të na japë një gjatësi gjeografike shumë specifike. Siguria bregdetare mund të përdorë me sukses të njëjtën vlerë për të punuar me brigjet "e egra", dhe enciklopeditë dhe almanakët do t'u tregojnë të gjithëve gjatësinë përkatëse.

Nga ana tjetër, është e vështirë për mua të imagjinoj që të gjitha agjencitë e interesuara qeveritare, qoftë edhe të një vendi të vetëm, do të bien dakord ndërmjet tyre për të përdorur një kuptim të vetëm, dhe miratimi i tij nga të gjitha vendet e botës është krejtësisht i pamundur të imagjinohet. Richardson jep këtë shembull: enciklopeditë spanjolle dhe portugeze japin gjatësi të ndryshme kufiri tokësor ndërmjet këtyre vendeve, me një diferencë prej 20% (i njëjti rast është edhe me kufirin mes Belgjikës dhe Holandës). Kjo mospërputhje duhet të shpjegohet pjesërisht nga zgjedhje të ndryshme. Dëshmitë empirike, të cilat do t'i diskutojmë së shpejti, tregojnë se për të ndodhur një ndryshim i tillë, mjafton që një vlerë të ndryshojë nga një tjetër vetëm me një faktor dy; Për më tepër, nuk është për t'u habitur që një vend i vogël (Portugali) mat gjatësinë e kufijve të tij më me kujdes se fqinji i tij i madh.

Argumenti i dytë dhe më domethënës kundër zgjedhjes arbitrare është i një natyre filozofike dhe të përgjithshme shkencore. Natyra ekziston në mënyrë të pavarur nga njeriu, dhe kushdo që i atribuon shumë rëndësi ndonjë kuptimi të veçantë ose , supozon se lidhja përcaktuese në procesin e të kuptuarit të Natyrës është njeriu me standardet e tij përgjithësisht të pranuara ose mjetet teknike shumë të ndryshueshme. Nëse vijat bregdetare do të bëhen ndonjëherë objekte kërkimin shkencor, nuk ka gjasa që ne të jemi në gjendje të nxjerrim ligje për të ndaluar pasigurinë e vërejtur në lidhje me gjatësinë e tyre. Sido që të jetë, koncepti i gjatësisë gjeografike nuk është aq i padëmshëm sa duket në shikim të parë. Nuk është plotësisht “objektiv”, pasi gjatë përcaktimit të gjatësisë në këtë mënyrë, ndikimi i vëzhguesit është i pashmangshëm.

NJOHJA DHE RËNDËSIA E REZULTATEVE ARBITRARE TË MATJEVE

Padyshim që shumë njerëz janë të mendimit se vijat bregdetare janë kthesa të pazvogëlueshme, dhe për këtë nuk mund të mbaj mend që dikush të besojë ndryshe. Megjithatë, kërkimi im për prova të shkruara në favor të këtij opinioni ishte pothuajse plotësisht i pasuksesshëm. Krahas citimeve nga Perrin të dhëna në kapitullin e dytë, në artikullin e Steinhaus është edhe ky vëzhgim: “Duke matur gjatësinë e bregut të majtë të Vistula me saktësi në rritje, mund të merren vlera dhjetëra, qindra dhe madje mijëra. herë më të mëdha se sa jep harta e shkollës.. Pohimi i mëposhtëm duket shumë afër realitetit: shumica e harqeve që gjenden në natyrë nuk janë të ndreqshme. Kjo deklaratë bie ndesh me besimin popullor, i cili përmblidhet në faktin se harqet e pandreqshme janë një trillim matematikor dhe në natyrë të gjitha harqet janë të korrigjueshme. Nga këto dy pohime kontradiktore, me sa duket i pari duhet të konsiderohet i vërtetë.” Sidoqoftë, as Perrin dhe as Steinhaus nuk u mërzitën t'i zhvillonin supozimet e tyre në më shumë detaje dhe t'i çonin në përfundimin e tyre logjik.

K. Fadiman tregon një histori interesante. Miku i tij Edward Kasner e kreu këtë eksperiment disa herë: ai “i pyeti fëmijët e vegjël se sa mendonin se ishte gjatësia totale e bregdetit të Shteteve të Bashkuara. Pasi njëri prej fëmijëve shprehu një supozim mjaft "të arsyeshëm",... Kasner... i ftoi ata të mendojnë se sa mund të rritet kjo shifër nëse do të matin me shumë kujdes perimetrin e të gjitha pelerinave dhe gjireve, pastaj gjurmohen me po aq kujdes. pelerinat dhe limanet më të vogla në secilin prej këtyre pelerive dhe në secilin prej këtyre gjireve, më pas matni çdo guralec dhe çdo kokërr rërë që përbën vijën bregdetare, çdo molekulë, çdo atom, etj. Doli që bregu mund të ishte aq i gjatë sa ti pelqen . Fëmijët e kuptuan këtë menjëherë, por Kasner kishte probleme me të rriturit. Historia është, natyrisht, shumë e bukur, por nuk ka gjasa të ketë të bëjë me kërkimin tim. Qartë, Kasner nuk synoi të nxjerrë në pah disa aspekte të realitetit të denjë për studim të mëtejshëm.

Kështu, mund të themi se artikulli dhe libri që mbani në duar përfaqësojnë në thelb veprat e para kushtuar kësaj teme.

Në librin e tij The Will to Believe1, William James shkruan: “Ajo që nuk përshtatet në kuadrin e klasifikimit... është gjithmonë një fushë e pasur për zbulime të mëdha. Në çdo shkencë, rreth fakteve përgjithësisht të pranuara dhe të renditura, gjithmonë qarkullon një re pluhuri e përjashtimeve nga rregullat - dukuri që janë delikate, jokonsistente, që hasen rrallë, fenomene që janë më të lehta për t'u injoruar sesa për t'u marrë në konsideratë. Çdo shkencë përpiqet për gjendje perfekte një sistem i mbyllur dhe i rreptë të vërtetash... Dukuritë që nuk mund të klasifikohen brenda sistemit konsiderohen absurditete paradoksale dhe padyshim nuk janë të vërteta. Ata neglizhohen dhe refuzohen bazuar në qëllimet më të mira të ndërgjegjes shkencore... Kushdo që studion seriozisht fenomenet e parregullta do të jetë në gjendje të krijojë shkencë e re mbi themelet e të vjetrës. Në fund të këtij procesi, rregullat e shkencës së përditësuar, në pjesën më të madhe, do të bëhen përjashtimet e së djeshmes.

Eseja e tanishme, qëllimi modest i së cilës është një përtëritje e plotë e gjeometrisë së Natyrës, përshkruan fenomene aq të paklasifikueshme sa është e mundur të flitet për to vetëm me lejen e censurës. Ju do të hasni të parën nga këto fenomene në pjesën tjetër.

EFEKTI RICHARDSON

Një studim empirik i ndryshimit në gjatësinë e përafërt të marrë duke përdorur metodën A përshkruhet në artikullin e Richardson, lidhja në të cilën rastësisht fatlume (ose fatale) më ra në sy. I kushtova vëmendje vetëm sepse kisha dëgjuar shumë për Lewis Fry Richardson si një shkencëtar i shquar, origjinaliteti i të menduarit të të cilit ishte i ngjashëm me ekscentricitetin (shih Kapitullin 40). Siç do të shohim në kapitullin 10, njerëzimi i detyrohet disa prej ideve të tij më të thella dhe më të qëndrueshme në lidhje me natyrën e turbulencës - vëmendje të veçantë Ndër to, ajo që meriton është ajo sipas së cilës turbulenca presupozon shfaqjen e një kaskade të ngjashme. Ai ka punuar edhe për të tjerët probleme komplekse- siç është, për shembull, natyra e konfliktit të armatosur ndërmjet shteteve. Eksperimentet e tij ishin shembuj të thjeshtësisë klasike, por ai nuk ngurroi të përdorte koncepte më të sofistikuara kur lind nevoja.

Treguar në Fig. 57 grafikë, të zbuluar pas vdekjes së Richardson mes letrave të tij, u botuan pothuajse në fshehtësi (dhe krejtësisht të papërshtatshme për botime të tilla) "Vetari mbi sistemet e përgjithshme" Pasi i kemi shqyrtuar këta grafikë, arrijmë në përfundimin se ekzistojnë dy konstante (le t'i quajmë dhe ) - të tilla që për të përcaktuar gjatësinë e vijës bregdetare duke ndërtuar një vijë të thyer duke e përafruar atë, është e nevojshme të merren përafërsisht intervalet e gjatësisë dhe të shkruhet formulën e mëposhtme:

Vlera e treguesit me sa duket varet nga natyra e vijës bregdetare që matet dhe seksione të ndryshme të kësaj linje, të konsideruara veçmas, mund të japin vlera të ndryshme. Për Richardson, madhësia ishte thjesht një tregues i përshtatshëm pa ndonjë kuptim të veçantë. Megjithatë, vlera e këtij treguesi nuk duket se varet nga metoda e zgjedhur për vlerësimin e gjatësisë së vijës bregdetare. Kjo do të thotë se ai meriton vëmendjen më të afërt.

DIMENSIONI FRAKTAL I VIJËS BREGDETARE

Pas studimit të punës së Richardson, unë sugjerova që megjithëse eksponenti nuk është një numër i plotë, ai mund dhe duhet të kuptohet si një dimension - më saktë, si një dimension fraktal. Sigurisht, isha plotësisht i vetëdijshëm se të gjitha metodat e mësipërme të matjes bazohen në përkufizime jo standarde të përgjithësuara të dimensionit të përdorura tashmë në matematikën e pastër. Përcaktimi i gjatësisë bazuar në mbulimin e vijës bregdetare numri më i vogël njolla me rreze, të përdorura për të përcaktuar dimensionin e veshjes. Përcaktimi i gjatësisë, bazuar në mbulimin e vijës bregdetare me një fjongo me gjerësi, mishëron idenë e Cantor dhe Minkowski (shih Fig. 56), dhe ne ia detyrojmë dimensionin përkatës Buligan-it. Megjithatë, këta dy shembuj vetëm lënë të kuptohet për ekzistencën e shumë dimensioneve (shumica e të cilave janë të njohura vetëm për disa specialistë) që shkëlqejnë në fusha të ndryshme shumë të specializuara të matematikës. Ne do të diskutojmë disa nga këto dimensione më në detaje në Kapitullin 39.

Pse u duhej matematikanëve të prezantonin këtë bollëk të dimensioneve të ndryshme? Pastaj çfarë në raste të caktuara ata pranojnë kuptime të ndryshme. Për fat të mirë, në këtë ese nuk do të hasni raste të tilla, kështu që një listë e dimensioneve të mundshme alternative mund të gjendet këtu. ndërgjegje e pastër redukto në dy, të cilat, megjithatë, nuk i kam përmendur ende. Dimensioni më i vjetër dhe më i studiuar tërësisht në listën tonë shkon në Hausdorff dhe shërben për të përcaktuar dimensionin fraktal - do të merremi me të shumë shpejt. Dimensioni i dytë, më i thjeshtë, quhet dimensioni i ngjashmërisë: nuk është i njëjtë karakter të përgjithshëm, si dimensioni i parë, megjithatë, rezulton të jetë më se adekuat në shumë raste - do ta shqyrtojmë në kapitullin vijues.

Sigurisht, nuk do të jap këtu prova matematikore se eksponenti Richardson është një dimension. Për të qenë i sinqertë, nuk mund ta imagjinoj se si një provë e tillë mund të kryhet brenda kornizës së ndonjë shkenca natyrore. Thjesht dua të tërheq vëmendjen e lexuesit për faktin se koncepti i gjatësisë paraqet një problem konceptual dhe treguesi ofron një zgjidhje të përshtatshme dhe elegante. Tani që dimensioni fraktal ka zënë vendin e tij në studimin e vijave bregdetare, nuk ka gjasa që ne të dëshirojmë, për ndonjë arsye të veçantë, të kthehemi në ato kohë kur kemi besuar pa menduar dhe me naivitet. Kushdo që ende beson, tani do të duhet të provojë nëse dëshiron të provojë se ka të drejtë.

Hapi tjetër—shpjegimi i formës së vijave bregdetare dhe nxjerrja e kuptimit nga konsiderata të tjera më themelore—propozoj të shtyhet deri në kapitullin 28. Në këtë fazë mjafton të thuhet se, si përafrim i parë, . Kjo vlerë është shumë e madhe për të përshkruar me saktësi faktet, por është më se e mjaftueshme që ne të themi se është e mundur, duhet dhe e natyrshme të besojmë se dimensioni i vijës bregdetare e kalon vlerën e zakonshme Euklidiane për kurbën.

DIMENSIONI FRAKTAL I HAUSDORFF

Nëse pranojmë që vija të ndryshme bregdetare natyrore janë me gjatësi të pafundme, dhe gjithashtu se vlera e gjatësisë bazuar në vlerën antropometrike jep vetëm një ide të pjesshme të situatës reale, atëherë si mund të krahasohen vijat e ndryshme bregdetare me njëra-tjetrën? Meqenëse pafundësia nuk është e ndryshme nga pafundësia e shumëzuar me katër, çfarë dobie do të kemi të themi se gjatësia e çdo banke është katër herë më e madhe se gjatësia e çdo tremujori të saj? E detyrueshme Menyra me e mire për të shprehur idenë mjaft të arsyeshme që një kurbë duhet të ketë një "masë", dhe kjo masë për të gjithë kurbën duhet të jetë katër herë më e madhe se e njëjta masë për çdo tremujor të saj.

Një metodë jashtëzakonisht e zgjuar për arritjen e këtij qëllimi u propozua nga Felix Hausdorff. Metoda e tij bazohet në faktin se masa lineare e një shumëkëndëshi llogaritet duke shtuar gjatësitë e brinjëve të tij pa asnjë transformim. Mund të supozohet se këto gjatësi anësore janë ngritur në një fuqi të barabartë me dimensionin Euklidian të vijës (arsyeja për këtë supozim së shpejti do të bëhet e qartë). Masa e sipërfaqes së zonës së brendshme të një poligoni të mbyllur llogaritet në mënyrë të ngjashme - duke e mbuluar atë me katrorë, duke gjetur shumën e gjatësive të brinjëve të këtyre katrorëve dhe duke e ngritur atë në një fuqi (dimensioni Euklidian i rrafshit ). Nëse përdorim shkallën "e gabuar" në llogaritjet, atëherë rezultati i këtyre llogaritjeve nuk do të na japë asnjë informacione të dobishme: sipërfaqja e çdo poligoni të mbyllur do të jetë e barabartë me zero, dhe gjatësia e rajonit të saj të brendshëm do të jetë e pafundme.

Le të shqyrtojmë nga pozicione të tilla një përafrim poligonal (linear pjesë-pjesë) të një vije bregdetare të përbërë nga intervale të vogla gjatësie. Duke e rritur gjatësinë e intervalit në një fuqi dhe duke e shumëzuar atë me numrin e intervaleve, marrim një vlerë të caktuar që mund të quhet paraprakisht "gjatësia e përafërt në dimension". Meqenëse, sipas Richardson, numri i anëve është i barabartë, shtrirja jonë e përafërt merr vlerën .. Domethënë, shtrirja e përafërt e vijës bregdetare shfaq sjellje të kujdesshme nëse dhe vetëm nëse .

DIMENSIONI FRAKTAL I NJË KURBE MUND TË JETË MË I MADH SE NJËSIA; LAKORAT FRAKTALE

Siç është menduar nga krijuesi i tij, dimensioni Hausdorff ruan detyrat e një dimensioni të zakonshëm dhe shërben si një eksponent në përcaktimin e masës.

Megjithatë, nga ana tjetër, dimensioni është shumë i pazakontë - është shprehur numër thyesor! Për më tepër, është më i madh se uniteti, i cili është dimensioni "natyror" për kthesat (mund të vërtetohet rreptësisht se dimensioni i tyre topologjik është gjithashtu i barabartë me unitetin).

Unë propozoj të quhen kthesa, dimensioni fraktal i të cilave tejkalon dimensionin e tyre topologjik 1 kurba fraktal. Si një përmbledhje të shkurtër për këtë kapitull, unë mund të ofroj deklaratën e mëposhtme: Në shkallë gjeografike, vijat bregdetare mund të modelohen duke përdorur kthesa fraktal. Vijat bregdetare kanë strukturë fraktale.

Oriz. 55. PEMA E MAJMUNIT

Në këtë fazë, ky vizatim i vogël duhet të konsiderohet thjesht si një element dekorativ, ai thjesht mbush një hapësirë ​​boshe.

Megjithatë, pas leximit të Kapitullit 14, lexuesi do të jetë në gjendje të gjejë këtu një të dhënë për të zbuluar enigmën "arkitekturore" në Fig. 210. Një e dhënë më serioze jepet nga gjeneratori më poshtë:

Nëse një matematikan duhet të "zbusë" një kurbë veçanërisht të parregullt, ai mund të përdorë procedurën standarde të mëposhtme: zgjidhet një vlerë e caktuar dhe rreth çdo pike të kurbës ndërtohet një rreth me rreze. Kjo procedurë, e cila daton të paktën nga Hermann Minkowski, madje edhe nga vetë Georg Cantor, është disi e papërpunuar, por shumë efektive. (Sa i përket termit sallam, origjina e tij, sipas thashethemeve të paverifikuara, lidhet disi me aplikimin e kësaj procedure nga Norbert Wiener në kthesat Brownian.)

Në ilustrimet e postuara këtu, zbutja e përshkruar më sipër zbatohet jo për brigjet reale, por për një kurbë teorike, të cilën do ta ndërtojmë pak më vonë (shih Fig. 79) duke shtuar vazhdimisht gjithnjë e më shumë detaje të imta. Duke krahasuar copën e sallamit të treguar në të djathtë me skajin e djathtë të sallamit të vendosur në krye, shohim se faza kritike në ndërtimin e kurbës ndodh kur kurba fillon të përfshijë pjesë më të vogla se . Për më shumë fazat e mëvonshme suxhuk nuk ndryshon ndjeshëm.

Oriz. 57. TË DHËNAT EMPIRIKE TË RICHARDSON MBI RRITJEN E RRITJES SË GJATESITËVE TË BREGDETIT

Kjo figurë tregon rezultatet eksperimentale të matjeve të gjatësisë së kurbës të bëra në kthesa të ndryshme duke përdorur shumëkëndësha barabrinjës me gjatësi anash në rënie. Siç pritej, në rastin e një rrethi, matjet me saktësi në rritje japin një vlerë që stabilizohet shumë shpejt rreth një vlere shumë specifike.

Në rastin e vijave bregdetare, vlerat e përafërta të gjatësisë, përkundrazi, nuk stabilizohen fare. Ndërsa gjatësia e hapit tenton në zero, përafrimet e gjatësisë, të paraqitura në një sistem koordinatash dylogaritmike, formojnë një vijë të drejtë me një pjerrësi negative. E njëjta gjë është e vërtetë me kufijtë tokësorë midis vendeve. Kërkimet e Richardson-it në enciklopedi të ndryshme zbuluan dallime domethënëse në përcaktimin e gjatësisë së kufirit të përbashkët nga hartografët e vendeve përkatëse: për shembull, gjatësia e kufirit midis Spanjës dhe Portugalisë është 987 km nga pikëpamja e spanjollëve dhe 1214. km nga këndvështrimi i portugezëve; kufiri midis Holandës dhe Belgjikës (380 dhe 449 km) u prek në mënyrë të ngjashme. Meqenëse pjerrësia e linjave përkatëse është -0,25, një diferencë prej njëzet për qind midis matjeve do të thotë një ndryshim i dyfishtë midis vlerave të pranuara për këto matje - jo një supozim kaq i pabesueshëm.

Richardson nuk dha asnjë interpretimi teorik shpatet e ndryshme të vijave të tyre të drejta. Ne synojmë të interpretojmë vijat bregdetare si përafrim me kthesat fraktale dhe të marrim parasysh shpatet drejtëzat përkatëse si vlera të përafërta të diferencës, ku është dimensioni fraktal.