Oh-oh-oh-oh-oh... mirë, është e vështirë, sikur po lexonte një fjali për vete =) Megjithatë, relaksimi do të ndihmojë më vonë, veçanërisht pasi sot bleva aksesorët e duhur. Prandaj, le të vazhdojmë në pjesën e parë, shpresoj që deri në fund të artikullit të ruaj një humor të gëzuar.
Pozicioni relativ i dy rreshtave
Ky është rasti kur publiku këndon së bashku në kor. Dy vija të drejta mund:
1) ndeshje;
2) të jetë paralel: ;
3) ose kryqëzohen në një pikë të vetme: .
Ndihmë për bedelët : Ju lutem mbani mend shenjë matematikore kryqëzimet, do të ndodhë shumë shpesh. Shënimi do të thotë që vija kryqëzohet me vijën në pikën .
Si të përcaktohet pozicioni relativ i dy rreshtave?
Le të fillojmë me rastin e parë:
Dy rreshta përkojnë nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre përkatës janë proporcional, pra ka një numër “lambda” i tillë që barazitë plotësohen
Le të shqyrtojmë drejtëzat dhe të krijojmë tre ekuacione nga koeficientët përkatës: . Nga çdo ekuacion rezulton se, pra, këto rreshta përkojnë.
Në të vërtetë, nëse të gjithë koeficientët e ekuacionit 
shumëzo me –1 (shenjat e ndryshimit), dhe të gjithë koeficientët e ekuacionit 
prerë me 2, ju merrni të njëjtin ekuacion: .
Rasti i dytë, kur linjat janë paralele:
Dy drejtëza janë paralele nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre të variablave janë proporcionalë: 
, Por.
Si shembull, merrni parasysh dy vija të drejta. Ne kontrollojmë proporcionalitetin e koeficientëve përkatës për variablat: 
Megjithatë, është mjaft e qartë se.
Dhe rasti i tretë, kur linjat kryqëzohen:
Dy drejtëza kryqëzohen nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre të variablave NUK janë proporcionalë dmth NUK ka një vlerë të tillë të "lambda" që të plotësohen barazitë 
Pra, për linjat e drejta do të krijojmë një sistem: 
Nga ekuacioni i parë rrjedh se , dhe nga ekuacioni i dytë: , që do të thotë sistemi është i paqëndrueshëm(pa zgjidhje). Kështu, koeficientët e variablave nuk janë proporcionalë.
Përfundim: vijat kryqëzohen
NË probleme praktike mund të përdorni skemën e zgjidhjes së sapo diskutuar. Nga rruga, ajo të kujton shumë algoritmin për kontrollimin e vektorëve për kolinearitet, të cilin e shikuam në klasë Koncepti i (pa)varësisë lineare të vektorëve. Baza e vektorëve. Por ka një paketim më të civilizuar:
Shembulli 1
Të kuptoj marrëveshje reciproke direkt: 
Zgjidhje bazuar në studimin e vektorëve drejtues të drejtëzave:
a) Nga ekuacionet gjejmë vektorët e drejtimit të drejtëzave: 
.
, që do të thotë se vektorët nuk janë kolinear dhe vijat ndërpriten.
Për çdo rast, do të vendos një gur me shenja në udhëkryq:
Pjesa tjetër hidhen mbi gur dhe ndjekin më tej, drejt në Kashchei i Pavdekshëm =)
b) Gjeni vektorët e drejtimit të drejtëzave: 
Vijat kanë të njëjtin vektor drejtimi, që do të thotë se ato janë ose paralele ose të rastësishme. Këtu nuk ka nevojë të numërohet përcaktorja.
Është e qartë se koeficientët e të panjohurave janë proporcionale, dhe .
Le të zbulojmë nëse barazia është e vërtetë: 
Kështu,
c) Gjeni vektorët e drejtimit të drejtëzave: 
Le të llogarisim përcaktorin e përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve: 
, pra, vektorët e drejtimit janë kolinearë. Linjat janë ose paralele ose të rastësishme.
Koeficienti i proporcionalitetit "lambda" është i lehtë për t'u parë drejtpërdrejt nga raporti i vektorëve të drejtimit kolinear. Sidoqoftë, mund të gjendet edhe përmes koeficientëve të vetë ekuacioneve: 
.
Tani le të zbulojmë nëse barazia është e vërtetë. Të dy termat e lirë janë zero, kështu që:
Vlera që rezulton kënaq këtë ekuacion(çdo numër në përgjithësi e kënaq atë).
Kështu, linjat përkojnë.
Përgjigju:
Shumë shpejt do të mësoni (ose madje keni mësuar tashmë) ta zgjidhni problemin e diskutuar fjalë për fjalë fjalë për fjalë brenda disa sekondash. Në këtë drejtim, nuk shoh asnjë kuptim të ofroj asgjë vendim i pavarur, është më mirë të vendosni një tullë tjetër të rëndësishme në themelin gjeometrik:
Si të ndërtohet një drejtëz paralele me një të dhënë?
Për injorancë të kësaj detyra më e thjeshtë Bilbili grabitës ndëshkon rëndë.
Shembulli 2
Vija e drejtë jepet nga ekuacioni. Shkruani një ekuacion për një drejtëz paralele që kalon nëpër pikë.
Zgjidhje: Vijën e panjohur ta shënojmë me shkronjën . Çfarë thotë gjendja për të? Vija e drejtë kalon nëpër pikë. Dhe nëse vijat janë paralele, atëherë është e qartë se vektori i drejtimit të vijës së drejtë "tse" është gjithashtu i përshtatshëm për ndërtimin e vijës së drejtë "de".
Ne nxjerrim vektorin e drejtimit nga ekuacioni:
Përgjigju:
Gjeometria e shembullit duket e thjeshtë: 
Testimi analitik përbëhet nga hapat e mëposhtëm:
1) Kontrollojmë që vijat të kenë të njëjtin vektor drejtimi (nëse ekuacioni i vijës nuk është thjeshtuar siç duhet, atëherë vektorët do të jenë kolinear).
2) Kontrolloni nëse pika plotëson ekuacionin që rezulton.
Në shumicën e rasteve, testimi analitik mund të kryhet lehtësisht me gojë. Shikoni dy ekuacionet dhe shumë prej jush do të përcaktojnë shpejt paralelizmin e vijave pa ndonjë vizatim.
Shembujt për zgjidhje të pavarura sot do të jenë krijues. Sepse ju ende do të duhet të konkurroni me Baba Yaga, dhe ajo, ju e dini, është një dashnore e të gjitha llojeve të gjëegjëzave.
Shembulli 3
Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon në një pikë paralele me drejtëzën nëse
Ka një racionale dhe një jo aq racionale mënyrë racionale Zgjidhjet. Shumica shkurtore- në fund të orës së mësimit.
Kemi punuar pak me linjat paralele dhe do t'u kthehemi më vonë. Rasti i rreshtave që përputhen është me pak interes, prandaj le të shqyrtojmë një problem që është i njohur për ju kurrikula shkollore:
Si të gjeni pikën e kryqëzimit të dy drejtëzave?
Nëse drejt 
kryqëzohen në pikën , atëherë koordinatat e tij janë zgjidhja sistemet e ekuacioneve lineare 
Si të gjeni pikën e kryqëzimit të vijave? Zgjidheni sistemin.
Ja ku shkoni kuptimi gjeometrik sistemet me dy ekuacionet lineare me dy të panjohura- këto janë dy linja kryqëzuese (më shpesh) në një aeroplan.
Shembulli 4
Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave
Zgjidhje: Ekzistojnë dy mënyra për të zgjidhur - grafike dhe analitike.
Metoda grafikeështë thjesht të vizatoni linjat e dhëna dhe të zbuloni pikën e kryqëzimit direkt nga vizatimi: 
Këtu është pika jonë: . Për të kontrolluar, ju duhet të zëvendësoni koordinatat e saj në çdo ekuacion të vijës, ato duhet të përshtaten si atje, ashtu edhe atje. Me fjalë të tjera, koordinatat e një pike janë një zgjidhje për sistemin. Në thelb, ne shikuam një zgjidhje grafike sistemet e ekuacioneve lineare me dy ekuacione, dy të panjohura.
Metoda grafike, natyrisht, nuk është e keqe, por ka disavantazhe të dukshme. Jo, çështja nuk është se nxënësit e klasës së shtatë vendosin në këtë mënyrë, çështja është se do të duhet kohë për të krijuar një vizatim të saktë dhe të SAKTË. Për më tepër, disa vija të drejta nuk janë aq të lehta për t'u ndërtuar, dhe vetë pika e kryqëzimit mund të jetë e vendosur diku në mbretërinë e tridhjetë jashtë fletës së fletores.
Prandaj, është më e përshtatshme të kërkoni pikën e kryqëzimit metodë analitike. Le të zgjidhim sistemin: 
Për zgjidhjen e sistemit është përdorur metoda e mbledhjes term pas termi të ekuacioneve. Për të zhvilluar aftësitë përkatëse, merrni një mësim Si të zgjidhim një sistem ekuacionesh?
Përgjigju:
Kontrolli është i parëndësishëm - koordinatat e pikës së kryqëzimit duhet të plotësojnë çdo ekuacion të sistemit.
Shembulli 5
Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave nëse ato kryqëzohen.
Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Është e përshtatshme për të ndarë detyrën në disa faza. Analiza e gjendjes sugjeron që është e nevojshme:
1) Shkruani ekuacionin e drejtëzës.
2) Krijo një ekuacion të një drejtëze.
3) Gjeni pozicionin relativ të vijave.
4) Nëse linjat kryqëzohen, atëherë gjeni pikën e kryqëzimit.
Zhvillimi i një algoritmi veprimi është tipik për shumë njerëz problemet gjeometrike, dhe unë do të fokusohem vazhdimisht në këtë.
Zgjidhje e plotë dhe përgjigja në fund të mësimit:
As edhe një palë këpucë nuk ishin konsumuar para se të shkonim në pjesën e dytë të mësimit:
Vija pingule. Largësia nga një pikë në një vijë.
Këndi midis vijave të drejta
Le të fillojmë me një tipike dhe shumë detyrë e rëndësishme. Në pjesën e parë, mësuam se si të ndërtojmë një vijë të drejtë paralele me këtë, dhe tani kasolle në këmbët e pulës do të kthehet 90 gradë:
Si të ndërtohet një drejtëz pingul me një të dhënë?
Shembulli 6
Vija e drejtë jepet nga ekuacioni. Shkruani një ekuacion pingul me drejtëzën që kalon nëpër pikë.
Zgjidhje: Me kusht dihet se . Do të ishte mirë të gjeje vektorin drejtues të linjës. Meqenëse vijat janë pingule, truku është i thjeshtë:
Nga ekuacioni “heqim” vektorin normal: , i cili do të jetë vektori drejtues i drejtëzës.
Le të hartojmë ekuacionin e një drejtëze duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi:
Përgjigju: 
Le të zgjerojmë skicën gjeometrike:
Hmmm... Qiell portokalli, det portokalli, deve portokalli.
Verifikimi analitik i zgjidhjes:
1) Ne nxjerrim vektorët e drejtimit nga ekuacionet 
dhe me ndihmën prodhim skalar i vektorëve arrijmë në përfundimin se drejtëzat janë vërtet pingule: .
Nga rruga, ju mund të përdorni vektorë normalë, është edhe më e lehtë.
2) Kontrolloni nëse pika plotëson ekuacionin që rezulton 
.
Testi, përsëri, është i lehtë për t'u kryer me gojë.
Shembulli 7
Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave pingule nëse ekuacioni është i njohur 
dhe periudha.
Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Problemi ka disa veprime, kështu që është i përshtatshëm për të formuluar zgjidhjen pikë për pikë.
Është e jona një udhëtim argëtues vazhdon:
Largësia nga pika në vijë
Ne kemi një rrip të drejtë lumi përpara dhe detyra jonë është të arrijmë në të me rrugën më të shkurtër. Nuk ka pengesa, dhe rruga më optimale do të jetë lëvizja përgjatë pingulit. Kjo do të thotë, distanca nga një pikë në një vijë është gjatësia e segmentit pingul.
Distanca në gjeometri shënohet tradicionalisht Letra greke“ro”, për shembull: – distanca nga pika “em” deri te drejtëza “de”.
Largësia nga pika në vijë 
shprehur me formulë
Shembulli 8
Gjeni distancën nga një pikë në një vijë 
Zgjidhje: gjithçka që duhet të bëni është të zëvendësoni me kujdes numrat në formulë dhe të kryeni llogaritjet:
Përgjigju: 
Le të bëjmë vizatimin: 
Distanca e gjetur nga pika në vijë është saktësisht gjatësia e segmentit të kuq. Nëse bëni një vizatim mbi letër me kuadrate në një shkallë prej 1 njësi. = 1 cm (2 qeliza), atëherë distanca mund të matet me një vizore të zakonshme.
Le të shqyrtojmë një detyrë tjetër bazuar në të njëjtin vizatim:
Detyra është të gjejmë koordinatat e një pike që është simetrike me pikën në lidhje me drejtëzën 
. Unë sugjeroj të kryeni vetë hapat, por unë do të përshkruaj algoritmin e zgjidhjes me rezultate të ndërmjetme:
1) Gjeni një vijë që është pingul me drejtëzën.
2) Gjeni pikën e kryqëzimit të drejtëzave: 
.
Të dy veprimet diskutohen në detaje në këtë mësim.
3) Pika është mesi i segmentit. Ne i dimë koordinatat e mesit dhe njërit nga skajet. Nga formulat për koordinatat e mesit të një segmenti ne gjejme .
Do të ishte mirë të kontrolloni që distanca të jetë gjithashtu 2.2 njësi.
Këtu mund të lindin vështirësi në llogaritjet, por një mikrollogaritës është një ndihmë e madhe në kullë, duke ju lejuar të llogaritni thyesat e zakonshme. Ju kam këshilluar shumë herë dhe do t'ju rekomandoj përsëri.
Si të gjeni distancën midis dy drejtëzave paralele?
Shembulli 9
Gjeni distancën midis dy drejtëzave paralele
Ky është një shembull tjetër që ju të vendosni vetë. Unë do t'ju jap një sugjerim të vogël: ka pafundësisht shumë mënyra për ta zgjidhur këtë. Debriefing në fund të mësimit, por është më mirë të përpiqeni të merrni me mend vetë, mendoj se zgjuarsia juaj ishte zhvilluar mirë.
Këndi ndërmjet dy vijave të drejta
Çdo cep është një bllokim: 
Në gjeometri, këndi ndërmjet dy vijave të drejta merret si këndi MË I VOGËL, nga i cili automatikisht rezulton se nuk mund të jetë i mpirë. Në figurë, këndi i treguar nga harku i kuq nuk konsiderohet këndi ndërmjet vijave të kryqëzuara. Dhe fqinji i tij "e gjelbër" ose të orientuar në të kundërt këndi i "mjedrës".
Nëse vijat janë pingule, atëherë secili nga 4 këndet mund të merret si kënd ndërmjet tyre.
Si ndryshojnë këndet? Orientim. Së pari, drejtimi në të cilin këndi "lëviz" është thelbësisht i rëndësishëm. Së dyti, një kënd i orientuar negativisht shkruhet me një shenjë minus, për shembull nëse .
Pse të thashë këtë? Duket se mund t'ia dalim me konceptin e zakonshëm të një këndi. Fakti është se formulat me të cilat do të gjejmë kënde mund të rezultojnë lehtësisht në një rezultat negativ dhe kjo nuk duhet t'ju habisë. Një kënd me një shenjë minus nuk është më i keq dhe ka një kuptim gjeometrik shumë specifik. Në vizatim për kënd negativ Sigurohuni që të tregoni orientimin e tij me një shigjetë (në drejtim të akrepave të orës).
Si të gjeni këndin midis dy vijave të drejta? Ekzistojnë dy formula pune:
Shembulli 10
Gjeni këndin midis vijave
Zgjidhje Dhe Metoda e parë
Konsideroni dy drejtëza të dhëna nga ekuacionet në pamje e përgjithshme:
Nëse drejt jo pingul, Kjo i orientuar Këndi midis tyre mund të llogaritet duke përdorur formulën: 
Më së shumti vëmendje e ngushtë le ta kthejmë atë në emërues - kjo është pikërisht produkt skalar vektorët drejtues të drejtëzave:
Nëse , atëherë emëruesi i formulës bëhet zero, dhe vektorët do të jenë ortogonalë dhe vijat do të jenë pingul. Për këtë arsye u bë një rezervë për mosperpendikularitetin e drejtëzave në formulim.
Bazuar në sa më sipër, është i përshtatshëm për të zyrtarizuar zgjidhjen në dy hapa:
1) Le të llogarisim produkt skalar vektorët drejtues të drejtëzave:
, që do të thotë se vijat nuk janë pingule.
2) Gjeni këndin midis vijave të drejta duke përdorur formulën:
Duke përdorur funksioni i anasjelltëËshtë e lehtë të gjesh vetë këndin. Në këtë rast, ne përdorim çuditshmërinë e arktangjentës (shih. Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare):
Përgjigju: 
Në përgjigje tregojmë vlerën e saktë, si dhe një vlerë të përafërt (mundësisht në të dyja shkallët dhe radianët), e llogaritur duke përdorur një kalkulator.
Epo, minus, minus, nuk ka punë të madhe. Këtu është një ilustrim gjeometrik: 
Nuk është për t'u habitur që këndi doli të kishte një orientim negativ, sepse në deklaratën e problemit numri i parë është një vijë e drejtë dhe "zhvidhosja" e këndit filloi pikërisht me të.
Nëse vërtet dëshironi të merrni një kënd pozitiv, duhet të ndërroni linjat, domethënë të merrni koeficientët nga ekuacioni i dytë 
, dhe merrni koeficientët nga ekuacioni i parë. Me pak fjalë, duhet të filloni me një direktivë 
.
Ky artikull flet për temën « distanca nga një pikë në një vijë », Diskuton përcaktimin e distancës nga një pikë në një vijë me shembuj të ilustruar duke përdorur metodën e koordinatave. Çdo bllok teorik në fund ka treguar shembuj të zgjidhjes së problemeve të ngjashme.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Distanca nga një pikë në një vijë gjendet duke përcaktuar distancën nga pika në pikë. Le të hedhim një vështrim më të afërt.
Le të jetë një drejtëz a dhe një pikë M 1 që nuk i përket drejtëzës së dhënë. Ne vizatojmë një vijë të drejtë b përmes saj, e vendosur pingul me drejtëzën a. Pika e kryqëzimit le të marrim ato të drejta për N 1. Ne marrim se M 1 H 1 është një pingul, i cili u ul nga pika M 1 në drejtëzën a.
Përkufizimi 1
Largësia nga pika M 1 në drejtëzën a quhet distanca midis pikave M 1 dhe H 1.
Ka përkufizime që përfshijnë gjatësinë e pingules.
Përkufizimi 2
Largësia nga një pikë në një vijëështë gjatësia e pingules së tërhequr nga një pikë e caktuar në një drejtëz të caktuar.
Përkufizimet janë ekuivalente. Konsideroni figurën më poshtë.
Dihet se distanca nga një pikë në një vijë është më e vogla nga të gjitha të mundshmet. Le ta shohim këtë me një shembull.
Nëse marrim një pikë Q të shtrirë në një drejtëz a, e cila nuk përkon me pikën M 1, atëherë gjejmë se segmenti M 1 Q quhet segment i pjerrët, i ulur nga M 1 në një drejtëz a. Është e nevojshme të tregohet se pingulja nga pika M 1 është më e vogël se çdo vijë tjetër e pjerrët e tërhequr nga pika në vijën e drejtë.
Për ta vërtetuar këtë, merrni parasysh trekëndëshin M 1 Q 1 H 1, ku M 1 Q 1 është hipotenuza. Dihet se gjatësia e saj është gjithmonë më e madhe se gjatësia e ndonjërës prej këmbëve. Kjo do të thotë se kemi M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Të dhënat fillestare për gjetjen nga një pikë në një vijë ju lejojnë të përdorni disa metoda zgjidhjeje: përmes teoremës së Pitagorës, përcaktimi i sinusit, kosinusit, tangjentës së një këndi dhe të tjera. Shumica e detyrave të këtij lloji zgjidhen në shkollë gjatë mësimeve të gjeometrisë.
Kur, gjatë gjetjes së distancës nga një pikë në një vijë, është e mundur të futet një sistem koordinativ drejtkëndor, atëherë përdoret metoda e koordinatave. Në këtë paragraf, ne do të shqyrtojmë dy metodat kryesore për të gjetur distancën e kërkuar nga një pikë e caktuar.
Metoda e parë përfshin kërkimin e distancës si një pingul i tërhequr nga M 1 në drejtëzën a. Metoda e dytë përdor ekuacioni normal drejtëza a për të gjetur distancën e kërkuar.
Nëse ka një pikë në plan me koordinata M 1 (x 1, y 1), e vendosur në sistem drejtkëndor koordinatat, drejtëza a, dhe është e nevojshme të gjendet distanca M 1 H 1, llogaritja mund të bëhet në dy mënyra. Le t'i shikojmë ato.
Mënyra e parë
Nëse ka koordinata të pikës H 1 të barabarta me x 2, y 2, atëherë distanca nga pika në vijë llogaritet duke përdorur koordinatat nga formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
Tani le të kalojmë në gjetjen e koordinatave të pikës H 1.
Dihet se një drejtëz në O x y korrespondon me ekuacionin e një drejtëze në rrafsh. Le të marrim metodën e përcaktimit të një drejtëze a duke shkruar një ekuacion të përgjithshëm të një drejtëze ose një ekuacion me një koeficient këndor. Përpilojmë ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër pikën M 1 pingul me një drejtëz të dhënë a. Vijën e drejtë ta shënojmë me shkronjën b. H 1 është pika e kryqëzimit të linjave a dhe b, që do të thotë për të përcaktuar koordinatat që ju nevojiten për të përdorur artikullin në të cilin ne po flasim për për koordinatat e pikave të kryqëzimit të dy drejtëzave.
Mund të shihet se algoritmi për gjetjen e distancës nga një pikë e caktuar M 1 (x 1, y 1) në drejtëzën a kryhet sipas pikave:
Përkufizimi 3
- gjetja e ekuacionit të përgjithshëm të një drejtëze a, që ka formën A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, ose një ekuacion me një koeficient këndi, që ka formën y = k 1 x + b 1;
- duke marrë një ekuacion të përgjithshëm të drejtëzës b, që ka formën A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ose një ekuacion me një koeficient këndor y = k 2 x + b 2, nëse drejtëza b pret pikën M 1 dhe është pingul me një vijë e dhënë a;
- përcaktimi i koordinatave x 2, y 2 të pikës H 1, e cila është pika e kryqëzimit të a dhe b, për këtë qëllim sistemi i ekuacioneve lineare zgjidhet A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x. + B 2 y + C 2 = 0 ose y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
- duke llogaritur distancën e kërkuar nga një pikë në një vijë duke përdorur formulën M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
Mënyra e dytë
Teorema mund të ndihmojë në përgjigjen e pyetjes së gjetjes së distancës nga një pikë e caktuar në një drejtëz të caktuar në një plan.
Teorema
Sistemi i koordinatave drejtkëndëshe ka O x y ka një pikë M 1 (x 1, y 1), nga e cila tërhiqet një vijë e drejtë në rrafsh, e dhënë nga ekuacioni normal i planit, që ka formën cos α x + cos β y - p = 0, e barabartë me Vlera absolute e përftuar në anën e majtë të ekuacionit normal të drejtëzës, e llogaritur në x = x 1, y = y 1, do të thotë se M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - f.
Dëshmi
Drejtëza a korrespondon me ekuacionin normal të rrafshit, që ka formën cos α x + cos β y - p = 0, atëherë n → = (cos α, cos β) konsiderohet vektori normal i drejtëzës a në një distancë nga origjina për të rreshtuar a me p njësi . Është e nevojshme të shfaqen të gjitha të dhënat në figurë, të shtoni një pikë me koordinatat M 1 (x 1, y 1), ku vektori i rrezes së pikës M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Është e nevojshme të vizatoni një vijë të drejtë nga një pikë në një vijë të drejtë, të cilën e shënojmë si M 1 H 1 . Është e nevojshme të tregohen projeksionet M 2 dhe H 2 të pikave M 1 dhe H 2 në një vijë të drejtë që kalon nëpër pikën O me një vektor drejtimi të formës n → = (cos α, cos β) dhe të shënojmë projeksioni numerik i vektorit si O M 1 → = (x 1, y 1) në drejtimin n → = (cos α , cos β) si n p n → O M 1 → .
Ndryshimet varen nga vendndodhja e vetë pikës M1. Le të shohim figurën më poshtë.
Ne i rregullojmë rezultatet duke përdorur formulën M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Pastaj e sjellim barazinë në këtë formë M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p në mënyrë që të marrim n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .
Prodhimi skalar i vektorëve rezulton në një formulë të transformuar të formës n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , që është prodhimi në forma koordinative të formës n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Kjo do të thotë se marrim se n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Nga kjo rrjedh se M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Teorema është vërtetuar.
Ne zbulojmë se për të gjetur distancën nga pika M 1 (x 1, y 1) në vijën e drejtë a në aeroplan, duhet të kryeni disa veprime:
Përkufizimi 4
- marrja e ekuacionit normal të drejtëzës a cos α · x + cos β · y - p = 0, me kusht që të mos jetë në detyrë;
- llogaritja e shprehjes cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, ku vlera që rezulton merr M 1 H 1.
Le t'i zbatojmë këto metoda për të zgjidhur problemet me gjetjen e distancës nga një pikë në një plan.
Shembulli 1
Gjeni distancën nga pika me koordinata M 1 (- 1, 2) në vijën e drejtë 4 x - 3 y + 35 = 0.
Zgjidhje
Le të përdorim metodën e parë për të zgjidhur.
Për ta bërë këtë, është e nevojshme të gjendet ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës b, e cila kalon nëpër një pikë të caktuar M 1 (- 1, 2), pingul me vijën 4 x - 3 y + 35 = 0. Nga kushti del qartë se drejtëza b është pingul me drejtëzën a, atëherë vektori i drejtimit të saj ka koordinata të barabarta me (4, - 3). Kështu, ne kemi mundësinë të shkruajmë ekuacionin kanonik të drejtëzës b në rrafsh, pasi ka koordinata të pikës M 1, e cila i përket drejtëzës b. Të përcaktojmë koordinatat e vektorit drejtues të drejtëzës b. Marrim se x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Ekuacioni kanonik që rezulton duhet të shndërrohet në një të përgjithshëm. Pastaj e marrim atë
x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0
Le të gjejmë koordinatat e pikave të kryqëzimit të drejtëzave, të cilat do t'i marrim si emërtim H 1. Transformimet duken kështu:
4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5
Nga sa u shkrua më sipër, kemi se koordinatat e pikës H 1 janë të barabarta me (- 5; 5).
Është e nevojshme të llogaritet distanca nga pika M 1 në vijën e drejtë a. Kemi që koordinatat e pikave M 1 (- 1, 2) dhe H 1 (- 5, 5), pastaj i zëvendësojmë në formulë për të gjetur distancën dhe për të marrë atë
M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5
Zgjidhja e dytë.
Për të zgjidhur në një mënyrë tjetër, është e nevojshme të merret ekuacioni normal i drejtëzës. Ne llogarisim vlerën e faktorit normalizues dhe shumëzojmë të dy anët e ekuacionit 4 x - 3 y + 35 = 0. Nga këtu marrim se faktori normalizues është i barabartë me - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, dhe ekuacioni normal do të jetë i formës - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .
Sipas algoritmit të llogaritjes, është e nevojshme të merret ekuacioni normal i linjës dhe të llogaritet me vlerat x = - 1, y = 2. Atëherë e marrim atë
4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5
Nga kjo marrim se distanca nga pika M 1 (- 1, 2) në drejtëzën e dhënë 4 x - 3 y + 35 = 0 ka vlerën - 5 = 5.
Përgjigje: 5 .
Është e qartë se në këtë metodëËshtë e rëndësishme të përdoret ekuacioni normal i një linje, pasi kjo metodë është më e shkurtra. Por metoda e parë është e përshtatshme sepse është konsistente dhe logjike, megjithëse ka më shumë pikë llogaritëse.
Shembulli 2
Në aeroplan ekziston një sistem koordinativ drejtkëndor O x y me pikën M 1 (8, 0) dhe drejtëz y = 1 2 x + 1. Gjeni distancën nga një pikë e caktuar në një vijë të drejtë.
Zgjidhje
Zgjidhja e parë përfshin derdhjen ekuacioni i dhënë me pjerrësinë në një ekuacion të përgjithshëm. Për ta thjeshtuar, mund ta bëni ndryshe.
Nëse prodhimi i koeficientëve këndorë të drejtëzave pingule ka vlerën - 1, atëherë shpat drejtëza pingul me atë të dhënë y = 1 2 x + 1 ka vlerën 2. Tani marrim ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër një pikë me koordinatat M 1 (8, 0). Kemi që y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .
Ne vazhdojmë të gjejmë koordinatat e pikës H 1, domethënë pikat e kryqëzimit y = - 2 x + 16 dhe y = 1 2 x + 1. Ne hartojmë një sistem ekuacionesh dhe marrim:
y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)
Nga kjo rrjedh se distanca nga pika me koordinatat M 1 (8, 0) në drejtëzën y = 1 2 x + 1 është e barabartë me distancën nga pika e fillimit dhe pika e fundit me koordinatat M 1 (8, 0) dhe H 1 (6, 4) . Le të llogarisim dhe të gjejmë se M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.
Zgjidhja në mënyrën e dytë është kalimi nga një ekuacion me koeficient në formën e tij normale. Kjo do të thotë, marrim y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, atëherë vlera e faktorit normalizues do të jetë - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Nga kjo rrjedh se ekuacioni normal i drejtëzës merr formën - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Le të bëjmë llogaritjen nga pika M 1 8, 0 në një vijë të formës - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Ne marrim:
M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5
Përgjigje: 2 5 .
Shembulli 3
Është e nevojshme të llogaritet distanca nga pika me koordinatat M 1 (- 2, 4) në linjat 2 x - 3 = 0 dhe y + 1 = 0.
Zgjidhje
Ne marrim ekuacionin pamje normale vijë e drejtë 2 x - 3 = 0:
2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0
Pastaj vazhdojmë me llogaritjen e distancës nga pika M 1 - 2, 4 në vijën e drejtë x - 3 2 = 0. Ne marrim:
M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2
Ekuacioni i drejtëzës y + 1 = 0 ka një faktor normalizues me vlerë të barabartë me -1. Kjo do të thotë që ekuacioni do të marrë formën - y - 1 = 0. Ne vazhdojmë me llogaritjen e distancës nga pika M 1 (- 2, 4) në vijën e drejtë - y - 1 = 0. Ne gjejmë se është e barabartë me - 4 - 1 = 5.
Përgjigje: 3 1 2 dhe 5.
Le të hedhim një vështrim më të afërt në gjetjen e distancës nga një pikë e caktuar në aeroplan deri në boshtet koordinative O x dhe O y.
Në një sistem koordinativ drejtkëndor, boshti O y ka një ekuacion të një drejtëze, e cila është e paplotë dhe ka formën x = 0, dhe O x - y = 0. Ekuacionet janë normale për boshtet e koordinatave, atëherë është e nevojshme të gjendet distanca nga pika me koordinatat M 1 x 1, y 1 në vijat. Kjo bëhet në bazë të formulave M 1 H 1 = x 1 dhe M 1 H 1 = y 1. Le të shohim figurën më poshtë.
Shembulli 4
Gjeni distancën nga pika M 1 (6, - 7) deri te vijat koordinative të vendosura në rrafshin O x y.
Zgjidhje
Meqenëse ekuacioni y = 0 lidhet me drejtëzën O x, mund të gjejmë distancën nga M 1 s koordinatat e dhëna, në këtë vijë të drejtë duke përdorur formulën. Ne marrim se 6 = 6.
Meqenëse ekuacioni x = 0 i referohet drejtëzës O y, mund të gjeni distancën nga M 1 në këtë drejtëz duke përdorur formulën. Pastaj marrim atë - 7 = 7.
Përgjigje: distanca nga M 1 në O x ka një vlerë prej 6, dhe nga M 1 në O y ka një vlerë prej 7.
Kur në hapësirën tredimensionale kemi një pikë me koordinata M 1 (x 1, y 1, z 1), është e nevojshme të gjejmë distancën nga pika A në drejtëzën a.
Le të shqyrtojmë dy metoda që ju lejojnë të llogaritni distancën nga një pikë në një vijë të drejtë a të vendosur në hapësirë. Rasti i parë merr në konsideratë distancën nga pika M 1 në një drejtëz, ku një pikë në vijë quhet H 1 dhe është baza e një pingule të tërhequr nga pika M 1 në drejtëzën a. Rasti i dytë sugjeron që pikat e këtij rrafshi duhet të kërkohen si lartësia e paralelogramit.
Mënyra e parë
Nga përkufizimi kemi se distanca nga pika M 1 e vendosur në drejtëzën a është gjatësia e pingules M 1 H 1 , atëherë marrim se me koordinatat e gjetura të pikës H 1 , atëherë gjejmë distancën midis M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) dhe H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , bazuar në formulën M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.
Konstatojmë se e gjithë zgjidhja shkon drejt gjetjes së koordinatave të bazës së pingules së tërhequr nga M 1 në drejtëzën a. Kjo bëhet si më poshtë: H 1 është pika ku drejtëza a kryqëzohet me rrafshin që kalon në pikën e dhënë.
Kjo do të thotë se algoritmi për përcaktimin e distancës nga pika M 1 (x 1, y 1, z 1) në rreshtin a në hapësirë nënkupton disa pika:
Përkufizimi 5
- hartimi i ekuacionit të rrafshit χ si ekuacion i rrafshit që kalon në një pikë të caktuar që ndodhet pingul me drejtëzën;
- përcaktimi i koordinatave (x 2, y 2, z 2) që i përkasin pikës H 1, e cila është pika e kryqëzimit të drejtëzës a dhe rrafshit χ;
- duke llogaritur distancën nga një pikë në një vijë duke përdorur formulën M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.
Mënyra e dytë
Nga kushti kemi një drejtëz a, atëherë mund të përcaktojmë vektorin e drejtimit a → = a x, a y, a z me koordinata x 3, y 3, z 3 dhe një pikë të caktuar M 3 që i përket drejtëzës a. Nëse keni koordinatat e pikave M 1 (x 1, y 1) dhe M 3 x 3, y 3, z 3, mund të llogaritni M 3 M 1 →:
M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)
Ne duhet t'i lëmë mënjanë vektorët a → = a x, a y, a z dhe M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 nga pika M 3, t'i lidhim dhe të marrim një paralelogram. figura. M 1 H 1 është lartësia e paralelogramit.
Le të shohim figurën më poshtë.
Kemi që lartësia M 1 H 1 është distanca e kërkuar, atëherë duhet ta gjejmë duke përdorur formulën. Kjo do të thotë, ne jemi duke kërkuar për M 1 H 1.
Le të shënojmë zonën e paralelogramit me shkronjën S, të gjetur me formulën duke përdorur vektorin a → = (a x, a y, a z) dhe M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Formula e zonës është S = a → × M 3 M 1 → . Gjithashtu, sipërfaqja e figurës është e barabartë me prodhimin e gjatësive të anëve të saj dhe lartësisë, marrim se S = a → · M 1 H 1 me a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , e cila është gjatësia e vektorit a → = (a x , a y , a z) , qenie anën e barabartë paralelogrami. Kjo do të thotë se M 1 H 1 është distanca nga pika në vijë. Gjendet duke përdorur formulën M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Për të gjetur distancën nga një pikë me koordinata M 1 (x 1, y 1, z 1) në një vijë të drejtë a në hapësirë, duhet të kryeni disa hapa të algoritmit:
Përkufizimi 6
- përcaktimi i vektorit të drejtimit të drejtëzës a - a → = (a x, a y, a z);
- llogaritja e gjatësisë së vektorit të drejtimit a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
- marrja e koordinatave x 3 , y 3 , z 3 që i përket pikës M 3 që ndodhet në drejtëzën a;
- njehsimi i koordinatave të vektorit M 3 M 1 → ;
- gjetja e prodhimit vektorial të vektorëve a → (a x , a y , a z) dhe M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 si a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 për të marrë gjatësinë duke përdorur formulën a → × M 3 M 1 → ;
- duke llogaritur distancën nga një pikë në një drejtëz M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Zgjidhja e problemeve të gjetjes së distancës nga një pikë e caktuar në një vijë të caktuar në hapësirë
Shembulli 5Gjeni distancën nga pika me koordinata M 1 2, - 4, - 1 deri në drejtëzën x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.
Zgjidhje
Metoda e parë fillon duke shkruar ekuacionin e rrafshit χ që kalon nëpër M 1 dhe pingul pikë e dhënë. Ne marrim një shprehje si:
2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Është e nevojshme të gjenden koordinatat e pikës H 1, e cila është pika e kryqëzimit me rrafshin χ në vijën e specifikuar nga kushti. Ne duhet të lëvizim nga formë kanonike tek ai që ndërpritet. Pastaj marrim një sistem ekuacionesh të formës:
x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Është e nevojshme të llogaritet sistemi x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 me metodën e Cramer-it, atëherë marrim se:
∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0
Nga këtu kemi atë H 1 (1, - 1, 0).
M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11
Metoda e dytë është të filloni duke kërkuar për koordinatat në ekuacioni kanonik. Për ta bërë këtë, duhet t'i kushtoni vëmendje emëruesve të fraksionit. Atëherë a → = 2, - 1, 5 është vektori i drejtimit të drejtëzës x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Është e nevojshme të llogaritet gjatësia duke përdorur formulën a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.
Është e qartë se drejtëza x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 pret pikën M 3 (- 1 , 0 , - 5), pra kemi se vektori me origjinë M 3 (- 1 , 0 , - 5) dhe fundi i tij në pikën M 1 2, - 4, - 1 është M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Ne gjejme produkt vektorial a → = (2, - 1, 5) dhe M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).
Marrim një shprehje të formës a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →
gjejmë se gjatësia e prodhimit të vektorit është e barabartë me një → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.
Ne kemi të gjitha të dhënat për të përdorur formulën për llogaritjen e distancës nga një pikë për një vijë të drejtë, kështu që le ta zbatojmë atë dhe të marrim:
M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11
Përgjigje: 11 .
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Distanca nga një pikë në një vijë është gjatësia e pingulit të tërhequr nga pika në vijë. NË gjeometri përshkrueseështë përcaktuar grafikisht sipas algoritmit të mëposhtëm.
Algoritmi
- Vija e drejtë zhvendoset në një pozicion në të cilin do të jetë paralel me çdo plan projeksioni. Për këtë qëllim përdoren metoda të transformimit të projeksioneve ortogonale.
- Nga një pikë vizatoni një pingul në një vijë. Në thelb të këtij ndërtimi qëndron teorema mbi projeksionin e një këndi të drejtë.
- Gjatësia e një pingule përcaktohet duke transformuar projeksionet e saj ose duke përdorur metodën e trekëndëshit kënddrejtë.
Figura e mëposhtme tregon vizatim kompleks pika M dhe drejtëza b e përcaktuar nga segmenti CD. Ju duhet të gjeni distancën midis tyre.
Sipas algoritmit tonë, gjëja e parë që duhet të bëni është të lëvizni vijën e drejtë në pozicion paralel me rrafshin projeksionet. Është e rëndësishme të kuptohet se pasi të jenë kryer transformimet, distanca aktuale midis pikës dhe vijës nuk duhet të ndryshojë. Kjo është arsyeja pse këtu është e përshtatshme të përdoret metoda e zëvendësimit të aeroplanit, e cila nuk përfshin lëvizjen e figurave në hapësirë.
Rezultatet e fazës së parë të ndërtimit janë paraqitur më poshtë. Figura tregon se si një plan shtesë ballor P 4 futet paralel me b. NË sistemi i ri(P 1, P 4) pikat C"" 1, D"" 1, M"" 1 janë në të njëjtën distancë nga boshti X 1 si C"", D"", M"" nga boshti X.
Duke kryer pjesën e dytë të algoritmit, nga M"" 1 ne ulim pingulen M"" 1 N"" 1 në drejtëzën b"" 1, pasi këndi i drejtë MND midis b dhe MN është projektuar në rrafshin P. 4 në madhësi të plotë. Duke përdorur linjën e komunikimit, ne përcaktojmë pozicionin e pikës N" dhe kryejmë projeksionin M"N" të segmentit MN.
Aktiv fazën përfundimtare ju duhet të përcaktoni madhësinë e segmentit MN nga projeksionet e tij M"N" dhe M"" 1 N"" 1. Për këtë po ndërtojmë trekëndësh kënddrejtë M"" 1 N"" 1 N 0, e cila ka anën N"" 1 N 0 e barabartë me diferencën(Y M 1 – Y N 1) duke hequr pikat M" dhe N" nga boshti X 1. Gjatësia e hipotenuzës M"" 1 N 0 e trekëndëshit M"" 1 N"" 1 N 0 i përgjigjet distancës së dëshiruar nga M në b.
Zgjidhja e dytë
- Paralelisht me CD-në, ne prezantojmë një të re rrafshi ballor P 4. Ai kryqëzon P 1 përgjatë boshtit X 1, dhe X 1 ∥C"D". Në përputhje me metodën e zëvendësimit të planeve, ne përcaktojmë projeksionet e pikave C"" 1, D"" 1 dhe M"" 1, siç tregohet në figurë.
- pingul me C"" 1 D"" 1 ndërtojmë një shtesë plan horizontal P 5 mbi të cilën drejtëza b është projektuar në pikën C" 2 = b" 2.
- Distanca midis pikës M dhe vijës b përcaktohet nga gjatësia e segmentit M" 2 C" 2, të treguar me të kuqe.
Detyra të ngjashme:
Aftësia për të gjetur distancën midis objekteve të ndryshme gjeometrike është e rëndësishme kur llogaritet sipërfaqja e formave dhe vëllimet e tyre. Në këtë artikull do të shqyrtojmë pyetjen se si të gjejmë distancën nga një pikë në një vijë në hapësirë dhe në një aeroplan.
Përshkrimi matematikor i një linje
Për të kuptuar se si të gjeni distancën nga një pikë në një vijë, duhet të kuptoni pyetjen detyrë matematike këto objekte gjeometrike.
Çdo gjë është e thjeshtë me një pikë, ajo përshkruhet nga një grup koordinatash, numri i të cilave korrespondon me dimensionin e hapësirës. Për shembull, në një aeroplan këto janë dy koordinata, në hapësirën tre-dimensionale - tre.
Sa i përket një objekti njëdimensional - një vijë e drejtë, disa lloje ekuacionesh përdoren për ta përshkruar atë. Le të shqyrtojmë vetëm dy prej tyre.
Lloji i parë quhet ekuacion vektorial. Më poshtë janë shprehjet për linjat në hapësirën tre-dimensionale dhe dy-dimensionale:
(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α × (a; b; c);
(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)
Në këto shprehje, koordinatat me indekse zero përshkruajnë pikën nëpër të cilën kalon një vijë e caktuar, bashkësia e koordinatave (a; b; c) dhe (a; b) janë të ashtuquajturat vektorë të drejtimit për vijën përkatëse, α është a parametër që mund të marrë çdo vlerë aktuale.
Ekuacioni i vektorit është i përshtatshëm në kuptimin që përmban në mënyrë eksplicite vektorin e drejtimit të vijës, koordinatat e së cilës mund të përdoren kur zgjidhen probleme të paralelizmit ose pingulitetit të objekteve të ndryshme gjeometrike, për shembull, dy vija të drejta.
Lloji i dytë i ekuacionit që do të shqyrtojmë për një vijë quhet i përgjithshëm. Në hapësirë jepet ky lloj ekuacionet e përgjithshme dy avionë. Në aeroplan që ka formën e mëposhtme:
A × x + B × y + C = 0
Kur vizatoni një grafik, ai shpesh shkruhet si një varësi nga X/Y, domethënë:
y = -A / B × x +(-C / B)
Këtu anëtar i lirë-C / B korrespondon me koordinatën e kryqëzimit të vijës me boshtin y, dhe koeficienti -A / B shoqërohet me këndin e prirjes së vijës në boshtin x.
Koncepti i distancës midis një vije dhe një pike
Pasi të keni trajtuar ekuacionet, mund të kaloni drejtpërdrejt në përgjigjen e pyetjes se si të gjeni distancën nga një pikë në një vijë të drejtë. Në klasën e 7-të shkollat fillojnë ta marrin në konsideratë këtë çështje duke përcaktuar vlerën e duhur.
Distanca midis një drejtëze dhe një pike është gjatësia e segmentit pingul me këtë drejtëz, i cili është hequr nga pika në fjalë. Figura më poshtë tregon një drejtëz r dhe një pikë A. Segmenti pingul me drejtëzën r është paraqitur me blu. Gjatësia e saj është distanca e kërkuar.
Foto këtu rasti dydimensional, megjithatë këtë përkufizim distancat janë gjithashtu të vlefshme për një problem tredimensional.
Formulat e nevojshme
Varësisht nga forma në të cilën është shkruar ekuacioni i drejtëzës dhe në çfarë hapësire është zgjidhur problemi, dy formulat bazë, duke i dhënë një përgjigje pyetjes se si të gjejmë distancën midis një drejtëze dhe një pike.
Le të shënojmë pikë e njohur simboli P 2 . Nëse jepet ekuacioni i një drejtëze forma vektoriale, atëherë për d distancën ndërmjet objekteve në shqyrtim është e vlefshme formula:
d = || / |v¯|
Kjo do të thotë, për të përcaktuar d, duhet të llogaritni modulin e produktit vektorial të udhëzuesit për vektorin e drejtëz v¯ dhe vektorin P 1 P 2 ¯, fillimi i të cilit shtrihet në një pikë arbitrare P 1 në vijën e drejtë. , dhe fundi është në pikën P 2 , pastaj ndajeni këtë modul me gjatësinë v ¯. Kjo formulë është universale për banesë dhe hapësirë tredimensionale.
Nëse problemi konsiderohet në një rrafsh në sistemin koordinativ xy dhe ekuacioni i drejtëzës jepet në formë të përgjithshme, atëherë formulën e mëposhtme Ju mund të gjeni distancën nga një vijë e drejtë në një pikë si kjo:
Vija e drejtë: A × x + B × y + C = 0;
Pika: P 2 (x 2; y 2; z 2);
Largësia: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)
Formula e mësipërme është mjaft e thjeshtë, por përdorimi i saj është i kufizuar nga kushtet e përmendura më sipër.
Koordinatat e projeksionit të një pike në një vijë të drejtë dhe distancë
Ju gjithashtu mund t'i përgjigjeni pyetjes se si të gjeni distancën nga një pikë në një vijë në një mënyrë tjetër që nuk përfshin memorizimin e formulave të dhëna. Kjo metodë përfshin përcaktimin e një pike në një vijë që është projeksioni i pikës origjinale.
Supozoni se ekziston një pikë M dhe një drejtëz r. Projeksioni mbi r i një pike M korrespondon me një pikë të caktuar M 1 . Distanca nga M në r është e barabartë me gjatësinë e vektorit MM 1 ¯.
Si të gjeni koordinatat e M 1? Shume e thjeshte. Mjafton të kujtojmë se vektori i vijës v¯ do të jetë pingul me MM 1¯, domethënë, produkti i tyre skalar duhet të jetë e barabartë me zero. Duke i shtuar këtij kushti faktin që koordinatat M 1 duhet të plotësojnë ekuacionin e drejtëzës r, fitojmë një sistem ekuacionesh të thjeshta lineare. Si rezultat i zgjidhjes së tij, fitohen koordinatat e projeksionit të pikës M në r.
Teknika e përshkruar në këtë paragraf për gjetjen e distancës nga një vijë e drejtë në një pikë mund të përdoret për një plan dhe për hapësirë, por zbatimi i saj kërkon njohuri. ekuacioni vektorial për vijë të drejtë.
Problemi i aeroplanit
Tani është koha për të treguar se si të përdoret aparati matematikor i paraqitur për zgjidhje probleme reale. Supozoni se një pikë M(-4; 5) është dhënë në plan. Është e nevojshme të gjendet distanca nga pika M në një vijë të drejtë, e cila përshkruhet nga një ekuacion i përgjithshëm:
3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5
Kjo do të thotë, M nuk shtrihet në një vijë.
Meqenëse ekuacioni i një drejtëze nuk është dhënë në formë të përgjithshme, ne e reduktojmë atë në një formë të tillë në mënyrë që të mund të përdorim formula përkatëse, ne kemi:
y = 3 × x + 6 =>
3 × x - y + 6 = 0
Tani mund ta zëvendësoni numrat e njohur në formulën për d:
d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 +B 2) =
= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48
Problem në hapësirë
Tani le të shqyrtojmë rastin në hapësirë. Le të përshkruhet vija e drejtë ekuacioni i mëposhtëm:
(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)
Sa është distanca prej tij në pikën M(0; 2; -3)?
Ashtu si në rastin e mëparshëm, le të kontrollojmë nëse M i përket vijës së dhënë. Për ta bërë këtë, ne i zëvendësojmë koordinatat në ekuacion dhe e rishkruajmë atë në mënyrë eksplicite:
x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;
y = 2 = -1 -2 × α => α = -3/2;
Që nga marrja parametra të ndryshëmα, atëherë M nuk shtrihet në këtë vijë. Tani le të llogarisim distancën nga ajo në vijën e drejtë.
Për të përdorur formulën për d, merrni pikë arbitrare në një vijë të drejtë, për shembull P(1; -1; 0), atëherë:
Le të llogarisim produktin e vektorit ndërmjet PM¯ dhe vektorit drejtues të drejtëzës v¯. Ne marrim:
= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)
Tani ne i zëvendësojmë modulet e vektorit të gjetur dhe vektorit v¯ në formulën për d, marrim:
d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95
Kjo përgjigje mund të merret duke përdorur teknikën e përshkruar më sipër, e cila përfshin zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare. Në këtë dhe detyrat e mëparshme vlerat e llogaritura të distancës nga një vijë e drejtë në një pikë janë paraqitur në njësi të sistemit koordinativ përkatës.
