Ekuacioni është shprehje matematikore, e cila është një barazi që përmban një të panjohur. Nëse një barazi është e vërtetë për çdo vlerë të pranueshme të të panjohurave të përfshira në të, atëherë quhet identitet; për shembull: një lidhje e formës (x – 1)2 = (x – 1) (x – 1) vlen për të gjitha vlerat e x.
Nëse një ekuacion që përmban një x të panjohur vlen vetëm për vlera të caktuara të x dhe jo për të gjitha vlerat e x, si në rastin e një identiteti, atëherë mund të jetë e dobishme të përcaktohen ato vlera të x për të cilat ekuacioni është i vlefshëm. Vlerat e tilla të x quhen rrënjë ose zgjidhje të ekuacionit. Për shembull, numri 5 është rrënja e ekuacionit 2x + 7= 17.
Në degën e matematikës të quajtur teoria e ekuacioneve, lënda kryesore e studimit janë metodat për zgjidhjen e ekuacioneve. NË kursi shkollor Ekuacionet e algjebrës marrin shumë vëmendje.
Historia e studimit të ekuacioneve daton shumë shekuj. Më së shumti matematikanë të famshëm të cilët kontribuan në zhvillimin e teorisë së ekuacioneve ishin:
Arkimedi (rreth 287–212 pes) ishte një shkencëtar, matematikan dhe mekanik i lashtë grek. Ndërsa studionte një problem që u reduktua në një ekuacion kub, Arkimedi zbuloi rolin e karakteristikës, e cila më vonë u quajt diskriminuese.
Francois Viet jetoi në shekullin e 16-të. Ai dha një kontribut të madh në studimin e problemeve të ndryshme në matematikë. Në veçanti, ai prezantoi emërtimet e shkronjave koeficientët e ekuacionit dhe vendosi lidhjen ndërmjet rrënjëve të ekuacionit kuadratik.
Leonhard Euler (1707 – 1783) - matematikan, mekanik, fizikan dhe astronom. Autori i St. 800 punime në analizën matematikore, ekuacionet diferenciale, gjeometria, teoria e numrave, llogaritjet e përafërta, mekanika qiellore, matematika, optika, balistika, ndërtimi i anijeve, teoria e muzikës etj. Ai pati një ndikim të rëndësishëm në zhvillimin e shkencës. Ai nxori formulat (formulat e Euler-it) duke shprehur funksionet trigonometrike ndryshorja x përmes një funksioni eksponencial.
Lagranzh Joseph Louis (1736 - 1813), Matematikan francez dhe mekanik. Ai ka kryer kërkime të jashtëzakonshme, duke përfshirë kërkime mbi algjebrën (funksioni simetrik i rrënjëve të një ekuacioni, mbi ekuacionet diferenciale (teoria e zgjidhjeve njëjës, metoda e ndryshimit të konstanteve).
J. Lagrange dhe A. Vandermonde janë matematikanë francezë. Në 1771, u përdor për herë të parë një metodë për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve (metoda e zëvendësimit).
Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - matematikan gjerman. Ai shkroi një libër që përshkruante teorinë e ekuacioneve për ndarjen e një rrethi (d.m.th., ekuacionet xn - 1 = 0), i cili në shumë mënyra ishte një prototip i teorisë Galois. Përveç kësaj metodat e zakonshme zgjidhjet e këtyre ekuacioneve, vendosën një lidhje midis tyre dhe konstruksionit shumëkëndëshat e rregullt. Për herë të parë që nga shkencëtarët e lashtë grekë, ai bëri një hap të rëndësishëm përpara në këtë çështje, domethënë: ai gjeti të gjitha ato vlera të n për të cilat mund të ndërtohet një n-gon i rregullt me një busull dhe një vizore. Kam studiuar metodën e shtimit. Unë arrita në përfundimin se sistemet e ekuacioneve mund të shtohen, ndahen dhe shumëzohen.
O. I. Somov - pasuroi pjesë të ndryshme të matematikës me vepra të rëndësishme dhe të shumta, ndër to edhe teoria e ekuacioneve të caktuara algjebrike gradat më të larta.
Galois Evariste (1811-1832) - matematikan francez. Merita e tij kryesore është formulimi i një sërë idesh në të cilat ai erdhi në lidhje me vazhdimin e kërkimit mbi zgjidhshmërinë e ekuacioneve algjebrike, të filluar nga J. Lagrange, N. Abel dhe të tjerë, dhe krijoi teorinë e ekuacioneve algjebrike të nivelit më të lartë. gradë me një të panjohur.
A. V. Pogorelov (1919 - 1981) - Puna e tij është e lidhur metodat gjeometrike Me metodat analitike teoria e ekuacioneve diferenciale të pjesshme. Punimet e tij gjithashtu patën një ndikim të rëndësishëm në teorinë e ekuacioneve diferenciale jolineare.
P. Ruffini - matematikan italian. Ai i kushtoi një sërë veprash vërtetimit të pazgjidhshmërisë së ekuacioneve të shkallës 5, duke përdorur sistematikisht mbylljen e grupit të zëvendësimeve.
Përkundër faktit se shkencëtarët kanë studiuar ekuacionet për një kohë të gjatë, shkenca nuk e di se si dhe kur njerëzit kishin nevojë të përdorin ekuacione. Dihet vetëm se njerëzit kanë zgjidhur probleme që çojnë në zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta që nga koha kur u bënë njerëz. Një tjetër 3 - 4 mijë vjet para Krishtit. e. Egjiptianët dhe babilonasit dinin të zgjidhnin ekuacionet. Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve përkon me atë modern, por nuk dihet se si kanë arritur deri aty.
NË Egjipti i lashtë dhe Babilonisë, u përdor metoda e pozicionit të rremë. Një ekuacion i shkallës së parë me një të panjohur gjithmonë mund të reduktohet në formën ax + b = c, në të cilin a, b, c janë numra të plotë. Sipas rregullave veprimet aritmetike sëpatë = c - b,
Nëse b > c, atëherë c b është një numër negativ. Numrat negativë ishin të panjohura për egjiptianët dhe shumë popuj të tjerë të mëvonshëm (ata filluan të përdoren në matematikë në baza të barabarta me numra pozitivë vetëm në shekullin e shtatëmbëdhjetë). Për të zgjidhur problemet që ne tani i zgjidhim me ekuacione të shkallës së parë, u shpik metoda e pozicionit të rremë. Në papirusin Ahmes, 15 probleme zgjidhen me këtë metodë. Egjiptianët kishin shenjë e veçantë për të treguar datë e panjohur, e cila deri në të kaluarën e afërt lexohej "si" dhe përkthehej me fjalën "grumbull" ("grumbull" ose "numër i panjohur" njësish). Tani ata lexojnë pak më pak gabimisht: "Po". Metoda e zgjidhjes e përdorur nga Ahmes quhet metoda e një pozicioni të rremë. Me këtë metodë zgjidhen ekuacionet e formës ax = b. Kjo metodë përfshin ndarjen e secilës anë të ekuacionit me a. U përdor si nga egjiptianët ashtu edhe nga babilonasit. U kombe të ndryshmeËshtë përdorur metoda e dy pozicioneve false. Arabët e mekanizuan këtë metodë dhe morën formën në të cilën u transferua në tekstet shkollore popujt evropianë, duke përfshirë Aritmetikën e Magnitsky. Magnitsky e quan zgjidhjen një "rregull të rremë" dhe shkruan në pjesën e librit të tij që përshkruan këtë metodë:
Kjo pjesë është shumë dinake, sepse mund të vendosni gjithçka me të. Jo vetëm ajo që është në shtetësi, por edhe shkencat e larta në hapësirë, Ashtu siç numërohen në sferën e qiellit, Ashtu siç kanë nevojë të mençurit.
Përmbajtja e poezive të Magnitsky mund të përmblidhet shkurtimisht si më poshtë: kjo pjesë e aritmetikës është shumë e ndërlikuar. Me ndihmën e tij, ju mund të llogaritni jo vetëm atë që nevojitet në praktikën e përditshme, por gjithashtu zgjidh pyetjet "më të larta" me të cilat përballen "të mençurit". Magnitsky përdor "rregullin e rremë" në formën që i dhanë arabët, duke e quajtur atë "aritmetika e dy gabimeve" ose "metoda e peshores". Matematikanët indianë shpesh jepnin probleme në vargje. Problemi i Lotusit:
Mbi liqenin e qetë, gjysmë mase mbi ujë, dukej ngjyra e lotusit. Ai u rrit vetëm dhe era, si dallgë, e përkuli anash dhe jo më
Lule mbi ujë. Syri i peshkatarit e gjeti dy metra larg vendit ku u rrit. Sa i thellë është uji i liqenit këtu? Unë do t'ju bëj një pyetje.
Llojet e ekuacioneve
Ekuacionet lineare janë ekuacione të formës: ax + b = 0, ku a dhe b janë disa konstante. Nëse a nuk është e barabartë me zero, atëherë ekuacioni ka një rrënjë të vetme: x = - b: a (ax + b; sëpatë = - b; x = - b: a.).
Për shembull: zgjidhni ekuacionin linear: 4x + 12 = 0.
Zgjidhje: Meqenëse a = 4, dhe b = 12, atëherë x = - 12: 4; x = - 3.
Kontrollo: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.
Meqenëse 0 = 0, atëherë -3 është rrënja e ekuacionit origjinal.
Përgjigju. x = -3
Nëse a është e barabartë me zero dhe b është e barabartë me zero, atëherë rrënja e ekuacionit ax + b = 0 është çdo numër.
Për shembull:
0 = 0. Meqenëse 0 është e barabartë me 0, atëherë rrënja e ekuacionit 0x + 0 = 0 është çdo numër.
Nëse a është e barabartë me zero dhe b nuk është e barabartë me zero, atëherë ekuacioni ax + b = 0 nuk ka rrënjë.
Për shembull:
0 = 6. Meqenëse 0 nuk është e barabartë me 6, atëherë 0x – 6 = 0 nuk ka rrënjë.
Sistemet e ekuacioneve lineare.
Një sistem ekuacionesh lineare është një sistem në të cilin të gjitha ekuacionet janë lineare.
Të zgjidhësh një sistem do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet e tij.
Para se të zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare, mund të përcaktoni numrin e zgjidhjeve të tij.
Le të jepet sistemi i ekuacioneve: (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2.
Nëse a1 pjesëtuar me a2 nuk është e barabartë me b1 pjesëtuar me b2, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike.
Nëse a1 pjesëtuar me a2 është e barabartë me b1 pjesëtuar me b2, por e barabartë me c1 pjesëtuar me c2, atëherë sistemi nuk ka zgjidhje.
Nëse a1 pjesëtuar me a2 është e barabartë me b1 pjesëtuar me b2 dhe e barabartë me c1 pjesëtuar me c2, atëherë sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje.
Një sistem ekuacionesh që ka të paktën një zgjidhje quhet i njëkohshëm.
Një sistem i përbashkët quhet i caktuar nëse ka numri përfundimtar zgjidhje, dhe e pacaktuar nëse bashkësia e zgjidhjeve të saj është e pafundme.
Një sistem që nuk ka një zgjidhje të vetme quhet jo konsistent ose kontradiktor.
Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve lineare
Ka disa mënyra për të zgjidhur ekuacionet lineare:
1) Metoda e përzgjedhjes. Kjo është më mënyra më e thjeshtë. Ajo qëndron në faktin se të gjithë janë të përzgjedhur vlerat e vlefshme i panjohur me numërim.
Për shembull:
Zgjidhe ekuacionin.
Le të jetë x = 1. Atëherë
4 = 6. Meqenëse 4 nuk është e barabartë me 6, atëherë supozimi ynë se x = 1 ishte i pasaktë.
Le të jetë x = 2.
6 = 6. Meqenëse 6 është e barabartë me 6, atëherë supozimi ynë që x = 2 ishte i saktë.
Përgjigje: x = 2.
2) Metoda e thjeshtimit
Kjo metodë konsiston në transferimin e të gjithë termave që përmbajnë të panjohurën në anën e majtë, dhe të njohurit në të djathtë me shenjë e kundërt, jepni të ngjashme dhe pjesëtoni të dyja anët e ekuacionit me koeficientin e të panjohurës.
Për shembull:
Zgjidhe ekuacionin.
5x – 4 = 11 + 2x;
5x – 2x = 11 + 4;
3x = 15; : (3) x = 5.
Përgjigju. x = 5.
3) Metoda grafike.
Ai konsiston në ndërtimin e një grafiku funksionesh ekuacioni i dhënë. Meqenëse në një ekuacion linear y = 0, grafiku do të jetë paralel me ordinatën. Pika e prerjes së grafikut me boshtin x do të jetë zgjidhja e këtij ekuacioni.
Për shembull:
Zgjidhe ekuacionin.
Le të jetë y = 7. Pastaj y = 2x + 3.
Le të paraqesim funksionet e të dy ekuacioneve:
Metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare
Në klasën e shtatë, ata studiojnë tre mënyra për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve:
1) Metoda e zëvendësimit.
Kjo metodë konsiston në shprehjen e një të panjohure në terma të tjetrës në një nga ekuacionet. Shprehja që rezulton zëvendësohet me një ekuacion tjetër, i cili më pas kthehet në një ekuacion me një të panjohur dhe më pas zgjidhet. Vlera rezultuese e kësaj të panjohure zëvendësohet në çdo ekuacion të sistemit origjinal dhe gjendet vlera e të panjohurës së dytë.
Për shembull.
Të zgjidhë sistemin e ekuacioneve.
5x - 2y - 2 = 1.
3x + y = 4; y = 4 - 3x.
Le të zëvendësojmë shprehjen që rezulton në një ekuacion tjetër:
5x – 2(4 – 3x) -2 = 1;
5x – 8 + 6x = 1 + 2;
11x = 11; : (11) x = 1.
Le të zëvendësojmë vlerën që rezulton në ekuacionin 3x + y = 4.
3 1 + y = 4;
3 + y = 4; y = 4 – 3; y = 1.
Ekzaminimi.
/3 1 + 1 = 4,
\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;
Përgjigje: x = 1; y = 1.
2) Metoda e shtimit.
Kjo metodë është që nëse këtë sistem përbëhet nga ekuacione që, kur shtohen term për term, formojnë një ekuacion me një të panjohur, pastaj duke zgjidhur këtë ekuacion, marrim vlerën e një prej të panjohurave. Vlera rezultuese e kësaj të panjohure zëvendësohet në çdo ekuacion të sistemit origjinal dhe gjendet vlera e të panjohurës së dytë.
Për shembull:
Të zgjidhë sistemin e ekuacioneve.
/3у – 2х = 5,
\5x – 3y = 4.
Le të zgjidhim ekuacionin që rezulton.
3x = 9; : (3) x = 3.
Le të zëvendësojmë vlerën që rezulton në ekuacionin 3y – 2x = 5.
3у – 2 3 = 5;
3u = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.
Pra x = 3; y = 3 2/3.
Ekzaminimi.
/3 11/3 – 2 3 = 5,
\5 · 3 – 3 · 11/ 3 = 4;
Përgjigju. x = 3; y = 3 2/3
3) Metoda grafike.
Kjo metodë bazohet në faktin se ekuacionet vizatohen në një sistem koordinativ. Nëse grafikët e një ekuacioni kryqëzohen, atëherë koordinatat e pikës së kryqëzimit janë zgjidhja e këtij sistemi. Nëse grafikët e ekuacionit janë drejtëza paralele, atëherë ky sistem nuk ka zgjidhje. Nëse grafikët e ekuacioneve bashkohen në një vijë të drejtë, atëherë sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje.
Për shembull.
Të zgjidhë sistemin e ekuacioneve.
18x + 3y - 1 = 8.
2x - y = 5; 18x + 3y - 1 = 8;
Y = 5 - 2x; 3y = 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.
Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve y = 2x - 5 dhe y = 3 - 6x në të njëjtin sistem koordinativ.
Grafikët e funksioneve y = 2x - 5 dhe y = 3 - 6x priten në pikën A (1; -3).
Prandaj, zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh do të jetë x = 1 dhe y = -3.
Ekzaminimi.
2 1 - (- 3) = 5,
18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.
18 - 9 – 1 = 8;
Përgjigju. x = 1; y = -3.
konkluzioni
Bazuar në të gjitha sa më sipër, mund të konkludojmë se ekuacionet janë të nevojshme në bota moderne jo vetëm për zgjidhje probleme praktike, por edhe si mjet shkencor. Kjo është arsyeja pse kaq shumë shkencëtarë e kanë studiuar këtë çështje dhe vazhdojnë ta studiojnë atë.
Ekuacionet lineare. Zgjidhje, shembuj.
Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")
Ekuacionet lineare.
Ekuacionet lineare nuk janë më temë komplekse matematika shkollore. Por ka disa truke që mund të mashtrojnë edhe një student të trajnuar. Le ta kuptojmë?)
Zakonisht një ekuacion linear përkufizohet si një ekuacion i formës:
sëpatë + b = 0 Ku a dhe b- çdo numër.
2x + 7 = 0. Këtu a=2, b=7
0.1x - 2.3 = 0 Këtu a=0.1, b=-2.3
12x + 1/2 = 0 Këtu a=12, b=1/2
Asgjë e komplikuar, apo jo? Sidomos nëse nuk i vëreni fjalët: "ku a dhe b janë çdo numër"... Dhe nëse e vëreni dhe mendoni pa kujdes për këtë?) Në fund të fundit, nëse a=0, b=0(a është e mundur ndonjë numër?), atëherë marrim një shprehje qesharake:
Por kjo nuk është e gjitha! Nëse, të themi, a=0, A b=5, Kjo rezulton të jetë diçka krejtësisht absurde:
E cila është e bezdisshme dhe minon besimin në matematikë, po...) Sidomos gjatë provimeve. Por nga këto shprehje të çuditshme ju duhet të gjeni edhe X! E cila nuk ekziston fare. Dhe, çuditërisht, ky X është shumë i lehtë për t'u gjetur. Ne do të mësojmë ta bëjmë këtë. Në këtë mësim.
Si të njohim një ekuacion linear nga pamja e tij? Varet se çfarë pamjen.) Mashtrimi është se jo vetëm ekuacionet e formës quhen ekuacione lineare sëpatë + b = 0 , por edhe çdo ekuacion që mund të reduktohet në këtë formë me transformime dhe thjeshtime. Dhe kush e di nëse zbret apo jo?)
Një ekuacion linear mund të njihet qartë në disa raste. Le të themi, nëse kemi një ekuacion në të cilin ka vetëm të panjohura të shkallës së parë dhe numra. Dhe në ekuacion nuk ka thyesat pjesëtuar me i panjohur , kjo është e rëndësishme! Dhe ndarja sipas numri, ose një thyesë numerike - kjo është e mirëseardhur! Për shembull:
Ky është një ekuacion linear. Këtu ka thyesa, por nuk ka x në katror, kub, etj., dhe nuk ka x në emërues, d.m.th. Nr pjesëtimi me x. Dhe këtu është ekuacioni
nuk mund të quhet linear. Këtu X-të janë të gjitha në shkallën e parë, por ka pjesëtimi me shprehje me x. Pas thjeshtimeve dhe transformimeve, mund të merrni një ekuacion linear, një ekuacion kuadratik ose çdo gjë që dëshironi.
Rezulton se është e pamundur të njohësh ekuacionin linear në ndonjë shembull të ndërlikuar derisa pothuajse ta zgjidhësh atë. Kjo është shqetësuese. Por në detyra, si rregull, ata nuk pyesin për formën e ekuacionit, apo jo? Detyrat kërkojnë ekuacione vendosin. Kjo më bën të lumtur.)
Zgjidhja e ekuacioneve lineare. Shembuj.
E gjithë zgjidhja e ekuacioneve lineare përbëhet nga transformime identike të ekuacioneve. Meqë ra fjala, këto transformime (dy prej tyre!) janë baza e zgjidhjeve të gjitha ekuacionet e matematikës. Me fjalë të tjera, zgjidhja ndonjë ekuacioni fillon pikërisht me këto transformime. Në rastin e ekuacioneve lineare, ajo (zgjidhja) bazohet në këto shndërrime dhe përfundon me një përgjigje të plotë. Ka kuptim të ndiqni lidhjen, apo jo?) Për më tepër, ka edhe shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve lineare atje.
Së pari, le të shohim shembullin më të thjeshtë. Pa asnjë kurth. Supozoni se duhet ta zgjidhim këtë ekuacion.
x - 3 = 2 - 4x
Ky është një ekuacion linear. X-të janë të gjitha në fuqinë e parë, nuk ka ndarje me X-të. Por, në fakt, për ne nuk ka rëndësi se çfarë lloj ekuacioni është. Duhet ta zgjidhim. Skema këtu është e thjeshtë. Mblidhni gjithçka me X në anën e majtë të ekuacionit, gjithçka pa X (numra) në të djathtë.
Për ta bërë këtë ju duhet të transferoni - 4x në anën e majtë, me një ndryshim të shenjës, natyrisht, dhe - 3 - në të djathtë. Nga rruga, kjo është transformimi i parë identik i ekuacioneve. I befasuar? Kjo do të thotë që ju nuk e keni ndjekur lidhjen, por më kot...) Marrim:
x + 4x = 2 + 3
Këtu janë të ngjashme, ne konsiderojmë:
Çfarë na nevojitet për një lumturi të plotë? Po, në mënyrë që të ketë një X të pastër në të majtë! Pesë është në rrugë. Largimi i të pestëve me ndihmën transformimi i dytë identik i ekuacioneve. Domethënë, ne i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me 5. Marrim një përgjigje të gatshme:
Një shembull elementar, sigurisht. Kjo është për ngrohje.) Nuk është shumë e qartë pse kujtova transformime identike këtu? OK. Le të marrim demin nga brirët.) Le të vendosim diçka më të fortë.
Për shembull, këtu është ekuacioni:
Ku të fillojmë? Me X - në të majtë, pa X - në të djathtë? Kjo është e mundur. Me hapa të vegjël rrugë e gjatë. Ose mund ta bëni menjëherë, në një mënyrë universale dhe të fuqishme. Nëse, sigurisht, keni transformime identike të ekuacioneve në arsenalin tuaj.
ju pyes pyetje kyçe: Çfarë nuk ju pëlqen më shumë në këtë ekuacion?
95 nga 100 persona do të përgjigjen: thyesat ! Përgjigja është e saktë. Pra, le të shpëtoj prej tyre. Prandaj, ne fillojmë menjëherë me transformimi i dytë i identitetit. Me çfarë ju nevojitet për të shumëzuar thyesën në të majtë në mënyrë që emëruesi të zvogëlohet plotësisht? Ashtu është, në 3. Dhe në të djathtë? Me 4. Por matematika na lejon të shumëzojmë të dyja anët me të njëjtin numër. Si mund të dalim? Le të shumëzojmë të dyja anët me 12! Ato. në emërues i përbashkët. Atëherë do të zvogëlohen edhe tre edhe katër. Mos harroni se ju duhet të shumëzoni secilën pjesë tërësisht. Ja si duket hapi i parë:
Zgjerimi i kllapave:
Kushtojini vëmendje! Numëruesi (x+2) E vendosa në kllapa! Kjo sepse kur shumëzohen thyesat, shumëzohet i gjithë numëruesi! Tani mund të zvogëloni fraksionet:
Zgjeroni kllapat e mbetura:
Jo një shembull, por kënaqësi e plotë!) Tani le të kujtojmë magjinë nga klasat e vogla: me një X - në të majtë, pa një X - në të djathtë! Dhe aplikoni këtë transformim:
Këtu janë disa të ngjashme:
Dhe ndani të dyja pjesët me 25, d.m.th. aplikoni përsëri transformimin e dytë:
Kjo është ajo. Përgjigje: X=0,16
Ju lutemi vini re: për të sjellë ekuacionin origjinal konfuz në një formë të bukur, ne përdorëm dy (vetëm dy!) transformimet e identitetit– përkthim majtas-djathtas me ndryshim të shenjës dhe shumëzim-pjestim të një ekuacioni me të njëjtin numër. Kjo metodë universale! Ne do të punojmë në këtë mënyrë me ndonjë ekuacionet! Absolutisht kushdo. Kjo është arsyeja pse unë vazhdoj të përsëris për këto transformime identike me lodhje.)
Siç mund ta shihni, parimi i zgjidhjes së ekuacioneve lineare është i thjeshtë. Marrim ekuacionin dhe e thjeshtojmë me transformimet e identitetit përpara se të marrë një përgjigje. Problemet kryesore këtu janë në llogaritjet, jo në parimin e zgjidhjes.
Por... Ka surpriza të tilla në procesin e zgjidhjes së ekuacioneve lineare më elementare që mund t'ju çojnë në një hutim të fortë...) Për fat të mirë, mund të ketë vetëm dy surpriza të tilla. Le t'i quajmë raste të veçanta.
Raste të veçanta në zgjidhjen e ekuacioneve lineare.
Surpriza e parë.
Le të themi se e keni marrë atë ekuacioni më elementar, diçka si:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Pak e mërzitur, e lëvizim me një X në të majtë, pa X - në të djathtë... Me ndryshimin e shenjës, gjithçka është perfekte... Marrim:
2x-5x+3x=5-2-3
Ne numërojmë, dhe... oops!!! Ne marrim:
Kjo barazi në vetvete nuk është e kundërshtueshme. Zero me të vërtetë e barabartë me zero. Por X mungon! Dhe ne duhet të shkruajmë në përgjigje, me çfarë është x e barabartë? Përndryshe, zgjidhja nuk llogaritet, apo jo...) Bllokim?
Qete! Në raste të tilla të dyshimta, rregullat më të përgjithshme do t'ju shpëtojnë. Si të zgjidhen ekuacionet? Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion? Kjo do të thotë, gjeni të gjitha vlerat e x të cilat, kur zëvendësohen në ekuacioni origjinal, do të na japë barazi të vërtetë.
Por ne kemi barazi të vërtetë tashmë funksionoi! 0=0, sa më saktë?! Mbetet për të kuptuar se në çfarë x ndodh kjo. Në cilat vlera të X mund të zëvendësohen origjinale ekuacioni nëse këto x a do të reduktohen akoma në zero? Hajde?)
po!!! X-të mund të zëvendësohen ndonjë! cilat dëshironi? Të paktën 5, të paktën 0.05, të paktën -220. Ata ende do të tkurren. Nëse nuk më besoni, mund ta kontrolloni.) Zëvendësoni çdo vlerë të X në origjinale ekuacioni dhe llogaritja. Do të funksionojë gjatë gjithë kohës e vërteta e pastër: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 e kështu me radhë.
Këtu është përgjigja juaj: x - çdo numër.
Përgjigja mund të shkruhet me simbole të ndryshme matematikore, thelbi nuk ndryshon. Kjo është një përgjigje plotësisht e saktë dhe e plotë.
Surpriza e dytë.
Le të marrim të njëjtin ekuacion linear elementar dhe të ndryshojmë vetëm një numër në të. Kjo është ajo që ne do të vendosim:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Pas të njëjtave transformime identike, marrim diçka intriguese:
Si kjo. Ne zgjidhëm një ekuacion linear dhe morëm një barazi të çuditshme. Duke folur gjuha matematikore, kemi marrë barazi e rreme. Dhe duke folur në gjuhë të thjeshtë, kjo nuk është e vërtetë. Rave. Por megjithatë, kjo marrëzi është një arsye shumë e mirë vendimi i duhur ekuacionet.)
Përsëri ne mendojmë bazuar në rregulla të përgjithshme. Çfarë x, kur zëvendësohet në ekuacionin origjinal, do të na japë e vërtetë barazia? Po, asnjë! Nuk ka X të tilla. Pavarësisht se çfarë vendosni, gjithçka do të reduktohet, do të mbeten vetëm marrëzi.)
Këtu është përgjigja juaj: nuk ka zgjidhje.
Kjo është gjithashtu një përgjigje plotësisht e plotë. Në matematikë, përgjigje të tilla gjenden shpesh.
Si kjo. Tani, shpresoj, zhdukja e X-ve në procesin e zgjidhjes së ndonjë ekuacioni (jo thjesht linear) nuk do t'ju ngatërrojë aspak. Kjo tashmë është një çështje e njohur.)
Tani që kemi trajtuar të gjitha kurthet në ekuacionet lineare, ka kuptim t'i zgjidhim ato.
Nëse ju pëlqen kjo faqe...
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)
Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
Prapa Përpara
Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha tiparet e prezantimit. Nëse jeni të interesuar këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.
Objektivat e mësimit:
Edukative:
- Përmblidhni njohuritë për të gjitha llojet e ekuacioneve, theksojnë rëndësinë e të gjitha metodave të përdorura në zgjidhjen e ekuacioneve.
- Intensifikimi i punës së nxënësve nëpërmjet një sërë teknikash në mësim.
- Testoni aftësitë teorike dhe praktike në zgjidhjen e ekuacioneve.
- Përqendrohuni në faktin se një ekuacion mund të zgjidhet në disa mënyra
Edukative:
- Rritja e interesit të nxënësve për lëndën përmes përdorimit të TIK-ut.
- Njohja e nxënësve me materialin historik mbi temën.
- Zhvillimi aktiviteti mendor gjatë përcaktimit të llojit të ekuacionit dhe metodave për zgjidhjen e tij.
Edukative:
- Fut disiplinën në klasë.
- Zhvillimi i aftësisë për të perceptuar bukurinë tek vetja, tek një person tjetër dhe në botën përreth nesh.
Lloji i mësimit:
- Mësimi i përgjithësimit dhe sistematizimit të njohurive.
Lloji i mësimit:
- Të kombinuara.
Pajisjet materiale dhe teknike:
- Kompjuter
- Ekrani
- Projektor
- Disku me prezantimin e temës
Metodat dhe teknikat:
- Duke përdorur një prezantim
- Bisedë frontale
- Punë gojore
- Momentet e lojës
- Puna në çifte
- Puna në bord
- Puna në fletore
Plani i mësimit:
- Momenti organizativ (1 minuta)
- Dekodimi i temës së mësimit (3 minuta)
- Deklaratë e temës dhe qëllimit të mësimit (1 minutë)
- Ngrohje teorike (3 minuta)
- Ekskursion historik (3 minuta)
- Lojë "Hiqni tepricën" (2 minuta)
- Punë krijuese(2 minuta)
- Detyra "Gjeni gabimin" (2 minuta)
- Zgjidhja e një ekuacioni në disa mënyra (në rrëshqitje) (3 minuta)
- Zgjidhja e një ekuacioni në disa mënyra (në tabelë) (24 minuta)
- Punë e pavarur në dyshe e ndjekur nga shpjegimi (5 minuta)
- Detyrë shtëpie individuale (1 minuta)
- Reflektim përmbledhës i mësimit (1 minutë)
Epigrafi i mësimit:
"Ju mund të mësoni vetëm përmes argëtimit, për të tretur njohuritë, ju duhet ta përthithni atë me oreks."
A.Franca
Përmbledhja e mësimit
Pjesa organizative
Kontrolloj gatishmërinë e nxënësve për mësimin dhe shënoj ata që mungojnë në mësim. Djema, shkrimtari francez i shekullit të 19-të A. France vuri në dukje një herë: "Ju mund të mësoni vetëm përmes argëtimit për të tretur njohuritë, ju duhet ta përthithni atë me oreks". Pra, le të ndjekim këshillat e shkrimtarit në mësimin tonë dhe të tretim njohuritë me shumë oreks, sepse ato do të jenë të dobishme në jetën tonë.
Dekodimi i temës së mësimit
Për të kaluar në një detyrë më komplekse, le ta shtrijmë trurin tonë me detyra të thjeshta. Tema e mësimit tonë është e koduar duke zgjidhur detyrat me gojë dhe duke gjetur përgjigjen e tyre, duke ditur se çdo përgjigje ka shkronjën e saj, ne do të zbulojmë temën e mësimit. Sllajdi i prezantimit 3
Komunikimi i temës dhe qëllimit të orës së mësimit
Ju vetë emërtuat temën e mësimit sot
"Llojet e ekuacioneve dhe metodat për zgjidhjen e tyre." Sllajdi i prezantimit 4
Qëllimi: Kujtoni dhe përgjithësoni të gjitha llojet e ekuacioneve dhe metodave për zgjidhjen e tyre. Zgjidh një ekuacion duke përdorur të gjitha metodat. Diapozitivi 5 i prezantimit Lexoni deklaratën e Ajnshtajnit rrëshqitja 5 e prezantimit
Ngrohje teorike
Diapozitivi 7 i prezantimit të pyetjeve
Përgjigjet
- Barazia që përmban vlerë e ndryshueshme, i caktuar me ndonjë shkronjë.
- Kjo do të thotë të gjesh të gjitha rrënjët e tij, ose të provosh se nuk ka rrënjë.
- Vlera e ndryshores në të cilën ekuacioni bëhet i vërtetë.
- Pas këtij përkufizimi, lexoni një poezi për ekuacionin 12,13,14
Përgjigjet për 2 pyetjet e fundit Sllajdi i prezantimit 9,10,11
Ekskursion historik
Informacion historik rreth "Kush e shpiku ekuacionin dhe kur" rrëshqitja e prezantimit 15
Le të imagjinojmë se një nënë primitive e quajtur... megjithatë, ajo ndoshta nuk kishte as emër, zgjodhi 12 mollë nga një pemë për t'ia dhënë secilit prej 4 fëmijëve të saj. Ajo ndoshta nuk dinte të numëronte jo vetëm deri në 12, por as në katër, dhe sigurisht nuk dinte të ndante 12 me 4. Dhe ndoshta i ndante mollët kështu: fillimisht i dha secilit fëmijë një mollë, pastaj një mollë tjetër. , pastaj një tjetër vetëm dhe pastaj pashë që nuk kishte më mollë dhe fëmijët ishin të lumtur. Nëse i shkruajmë këto veprime në gjuhën moderne matematikore, marrim x4=12, domethënë nëna ime zgjidhi problemin e kompozimit të një ekuacioni. Me sa duket, është e pamundur t'i përgjigjemi pyetjes së shtruar më lart. Problemet që çojnë në zgjidhjen e ekuacioneve janë zgjidhur nga njerëzit që përdorin sensin e shëndoshë që nga koha kur u bënë njerëz. Edhe 3-4 mijë vjet para Krishtit, egjiptianët dhe babilonasit ishin në gjendje të zgjidhnin ekuacionet më të thjeshta, forma e të cilave dhe metodat e zgjidhjes nuk ishin të ngjashme me ato moderne. Grekët trashëguan njohuritë e egjiptianëve dhe vazhduan. Suksesi më i madh Zhvillimi i doktrinës së ekuacioneve u arrit nga shkencëtari grek Diophantus (shekulli III), për të cilin ata shkruan:
Ai zgjidhi shumë probleme.
Ai parashikoi erëra dhe dushe.
Vërtet dija e tij është e mrekullueshme.
Matematikani i Azisë Qendrore Muhamed al Khorezmi (shek. IX) dha një kontribut të madh në zgjidhjen e ekuacioneve. Libri i tij i famshëm al-Khwarizmi i kushtohet zgjidhjes së ekuacioneve. Quhet "Kitab el-xhebr uel-mukabela", d.m.th. "Libri i plotësimit dhe kundërshtimit". Ky libër u bë i njohur për evropianët, dhe nga fjala "al-jabr" nga titulli i tij doli fjala "algjebër" - emri i një prej pjesëve kryesore të matematikës. Më pas, shumë matematikanë punuan në problemet e ekuacioneve. Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në formën x2+in=0 u formulua nga matematikani gjerman Stiefel, i cili jetoi në shekullin e 15-të. Pas veprave të matematikanit holandez Girard (shek. XVI), si dhe Dekartit dhe Njutonit, metoda e zgjidhjes mori një formë moderne. Formulat që shprehin varësinë e rrënjëve të një ekuacioni nga koeficientët e tij u prezantuan nga Vieth. Francois Viet jetoi në shekullin e 16-të. Ai dha një kontribut të madh në studimin e problemeve të ndryshme në matematikë dhe astronomi; në veçanti, ai prezantoi emërtimet e shkronjave për koeficientët e ekuacionit. Tani le të njihemi me një episod interesant nga jeta e tij. Viet fitoi famë të madhe nën Mbretin Henry III, gjatë Luftës Franko-Spanjolle. Inkuizitorët spanjollë shpikën një shkrim sekret shumë kompleks, falë të cilit spanjollët korrespondonin me armiqtë e tyre Henri III edhe në vetë Francën.
Më kot francezët u përpoqën të gjenin çelësin e kodit dhe më pas mbreti iu drejtua Vietas. Ata thonë se Viet e gjeti çelësin e kodit në dy javë punë të vazhdueshme, pas së cilës, papritur për Spanjën, Franca filloi të fitonte një betejë pas tjetrës. Të bindur se kodi nuk mund të deshifrohej, spanjollët akuzuan Vietin se kishte lidhje me djallin dhe e dënuan atë të digjej në dru. Për fat të mirë, ai nuk u ekstradua në Inkuizicionin dhe hyri në histori si një matematikan i madh.
Lojë "Hiqni tepricën"
Qëllimi i lojës orientimi në llojet e ekuacioneve.
Na janë dhënë tre kolona e ekuacioneve, në Për secilën prej tyre, ekuacionet përcaktohen sipas disa kritereve, por njëra prej tyre është e tepërt për ta gjetur dhe karakterizuar atë. Sllajdi i prezantimit 16
Punë krijuese
Qëllimi i kësaj detyre: Të dëgjuarit e të kuptuarit të të folurit matematikor, orientimi i fëmijëve në llojet e ekuacioneve.
Në ekran shihni 9 ekuacione. Secili ekuacion ka numrin e tij, unë do të emërtoj llojin e këtij ekuacioni, dhe ju duhet të gjeni një ekuacion të këtij lloji, dhe të vendosni vetëm numrin nën të cilin shfaqet, si rezultat do të merrni një numër 9-shifror Sllajdi i prezantimit 17
- Ekuacioni kuadratik i reduktuar.
- Ekuacioni racional thyesor
- Ekuacioni kub
- Ekuacioni logaritmik
- Ekuacioni linear
- Ekuacioni kuadratik jo i plotë
- Ekuacioni eksponencial
- Ekuacion irracional
- Ekuacioni trigonometrik
Detyra "Gjeni gabimin"
Një nxënës zgjidhi ekuacione, por e gjithë klasa qeshi, ai bëri një gabim në çdo ekuacion, detyra juaj është ta gjeni dhe ta korrigjoni. Sllajdi i prezantimit 18
Zgjidhja e një ekuacioni në disa mënyra
Tani le të zgjidhim një ekuacion në të gjitha mënyrat e mundshme, për të kursyer kohë në klasë, një ekuacion në ekran. Tani do të emërtoni llojin e këtij ekuacioni dhe do të shpjegoni se çfarë metode është përdorur për të zgjidhur këtë ekuacion 19-27
Zgjidhja e një ekuacioni në disa mënyra (në tabelë)
Ne shikuam shembullin dhe tani le të zgjidhim ekuacionin në tabelë në çdo mënyrë të mundshme.
X-2 - ekuacion irracional
Le të vendosim në katror të dy anët e ekuacionit.
X 2 +2x+4x-1-4=0
Ne e zgjidhim këtë ekuacion në tabelë në 9 mënyra.
Punë e pavarur në dyshe e ndjekur nga shpjegimi në tabelë
Dhe tani ju do të punoni në çifte, unë jap një ekuacion në tryezën tuaj, detyra juaj është të përcaktoni llojin e ekuacionit, të listoni të gjitha mënyrat për të zgjidhur këtë ekuacion, të zgjidhni 1-2 në mënyrat më racionale për ju. (2 minuta)
Detyrat për të punuar në dyshe
Zgjidhe ekuacionin
Pas punë e pavarur në dyshe, një përfaqësues vjen në tabelë, paraqet ekuacionin e tij, zgjidh në një mënyrë
Detyrë shtëpie individuale(e diferencuar)
Zgjidhe ekuacionin
(përcaktoni llojin e ekuacionit, zgjidhni në të gjitha mënyrat në një fletë të veçantë)
Përmbledhja e mësimit të reflektimit.
Unë e përmbledh mësimin, tërheq vëmendjen për faktin se një ekuacion mund të zgjidhet në shumë mënyra, jap nota, nxjerr një përfundim se kush ishte aktiv dhe kush duhet të jetë më aktiv. Unë lexova deklaratën e Kalinin, rrëshqitja e prezantimit 28
Shikoni me kujdes qëllimet që kemi vendosur për mësimin e sotëm:
- Çfarë mendoni se kemi arritur të bëjmë?
- Çfarë nuk funksionoi aq mirë?
- Çfarë ju pëlqeu dhe kujtuat veçanërisht?
- Sot mësova diçka të re...
- Njohuritë e mia ishin të dobishme gjatë mësimit ...
- Ishte e vështirë për mua ...
- Më pëlqeu mësimi ...
Letërsia.
- Dorofeev G.V. “Përmbledhja e detyrave për zhvillimin e provimit me shkrim në matematikë për lëndën shkolla e mesme” - M.: Bustard, 2006.
- Garner Martin. Puzzles matematikore dhe argëtim.
- Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Materiale didaktike mbi algjebrën dhe fillimet e analizës për klasën e 10-të, klasën e 11-të. M.: Iluminizmi. 2002.
Si rregull, ekuacionet shfaqen në probleme në të cilat duhet të gjeni një sasi të caktuar. Ekuacioni ju lejon të formuloni problemin në gjuhën e algjebrës. Pasi kemi zgjidhur ekuacionin, marrim vlerën e sasisë së dëshiruar, e cila quhet e panjohur. “Andrey ka disa rubla në portofolin e tij. Nëse e shumëzoni këtë numër me 2 dhe më pas zbrisni 5, merrni 10. Sa para ka Andrei? Le ta caktojmë shumën e panjohur të parave si x dhe të shkruajmë ekuacionin: 2x-5=10.
Për të folur për mënyra për zgjidhjen e ekuacioneve, së pari ju duhet të përcaktoni konceptet bazë dhe të njiheni me shënimet e pranuara përgjithësisht. Për lloje të ndryshme ekuacionet, ekzistojnë algoritme të ndryshme për zgjidhjen e tyre. Mënyra më e lehtë për të zgjidhur ekuacionet është e shkallës së parë me një të panjohur. Shumë njerëz e njohin formulën për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike nga shkolla. Teknikat matematikë e lartë do të ndihmojë në zgjidhjen e ekuacioneve më shumë rendit të lartë. Bashkësia e numrave mbi të cilët përcaktohet një ekuacion është i lidhur ngushtë me zgjidhjet e tij. Marrëdhënia midis ekuacioneve dhe grafikëve të funksioneve është gjithashtu interesante, pasi paraqitja grafike e ekuacioneve është një ndihmë e madhe në zgjidhjen e tyre.
Përshkrimi. Një ekuacion është një barazi matematikore me një ose më shumë madhësi të panjohura, për shembull 2x+3y=0.
Shprehjet në të dy anët e shenjës së barabartë quhen anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit. Letrat Alfabeti latin tregohen të panjohurat. Edhe pse mund të ketë ndonjë numër të panjohurash, më poshtë do të flasim vetëm për ekuacione me një të panjohur, të cilën do ta shënojmë me x.
Ekuacioni i fuqisë- Kjo shkallë maksimale, në të cilën ngrihet e panjohura. Për shembull,
$3x^4+6x-1=0$ është një ekuacion i shkallës së katërt, $x-4x^2+6x=8$ është një ekuacion i shkallës së dytë.
Quhen numrat me të cilët shumëzohet e panjohura koeficientët. Në shembullin e mëparshëm, e panjohura për fuqinë e katërt ka një koeficient 3. Nëse, kur zëvendësohet x me këtë numër, plotësohet barazia e dhënë, atëherë thuhet se ky numër plotëson ekuacionin. Është quajtur zgjidhja e ekuacionit, ose rrënja e saj. Për shembull, 3 është rrënja, ose zgjidhja, e ekuacionit 2x+8=14, pasi 2*3+8=6+8=14.
Zgjidhja e ekuacioneve. Le të themi se duam të zgjidhim ekuacionin 2x+5=11.
Ju mund të zëvendësoni një vlerë x në të, për shembull x=2. Zëvendësoni x me 2 dhe merrni: 2*2+5=4+5=9.
Këtu ka diçka që nuk shkon sepse në anën e djathtë të ekuacionit duhet të kishim marrë 11. Le të provojmë x=3: 2*3+5=6+5=11.
Përgjigja është e saktë. Rezulton se nëse e panjohura merr vlerën 3, atëherë barazia është e kënaqur. Prandaj, ne kemi treguar se numri 3 është një zgjidhje e ekuacionit.
Metoda që kemi përdorur për të zgjidhur këtë ekuacion quhet metoda e përzgjedhjes. Është e qartë se është e papërshtatshme për t'u përdorur. Për më tepër, ajo nuk mund të quhet as një metodë. Për ta verifikuar këtë, thjesht përpiquni ta zbatoni atë në një ekuacion të formës $x^4-5x^2+16=2365$.
Metodat e zgjidhjes. Ekzistojnë të ashtuquajturat "rregulla të lojës" me të cilat do të jenë të dobishme për t'u njohur. Qëllimi ynë është të përcaktojmë vlerën e të panjohurës që plotëson ekuacionin. Prandaj, është e nevojshme të identifikohet e panjohura në një farë mënyre. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të transferohen termat e ekuacionit nga një pjesë në tjetrën. Rregulli i parë për zgjidhjen e ekuacioneve është...
1. Kur zhvendoset një anëtar i një ekuacioni nga një pjesë në tjetrën, shenja e tij ndryshon në të kundërtën: plus ndryshon në minus dhe anasjelltas. Merrni si shembull ekuacionin 2x+5=11. Le të lëvizim 5 nga ana e majtë në të djathtë: 2x=11-5. Ekuacioni do të bëhet 2x=6.
Le të kalojmë te rregulli i dytë.
2. Të dyja anët e ekuacionit mund të shumëzohen dhe pjesëtohen me një numër që nuk është i barabartë me zero. Le të zbatojmë këtë rregull në ekuacionin tonë: $x=\frac62=3$. Në anën e majtë të barazisë mbeti vetëm e panjohura x, prandaj gjetëm vlerën e saj dhe zgjidhëm ekuacionin.
Ne sapo kemi parë problemin më të thjeshtë - ekuacion linear me një të panjohur. Ekuacionet e këtij lloji kanë gjithmonë një zgjidhje, për më tepër, ato gjithmonë mund të zgjidhen duke përdorur veprimet më të thjeshta: mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim. Mjerisht, jo të gjitha ekuacionet janë kaq të thjeshta. Për më tepër, shkalla e kompleksitetit të tyre rritet shumë shpejt. Për shembull, ekuacionet e shkallës së dytë mund të zgjidhen lehtësisht nga çdo nxënës i shkollës së mesme, por metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare ose ekuacioneve të gradave më të larta studiohen vetëm në shkollën e mesme.
Në një kurs të matematikës shkollore, një fëmijë dëgjon për herë të parë termin "ekuacion". Çfarë është kjo, le të përpiqemi ta kuptojmë së bashku. Në këtë artikull do të shqyrtojmë llojet dhe metodat e zgjidhjes.
Matematika. Ekuacionet
Për të filluar, ju sugjerojmë të kuptoni vetë konceptin, çfarë është? Siç thonë shumë tekste të matematikës, një ekuacion janë disa shprehje midis të cilave duhet të ketë një shenjë të barabartë. Këto shprehje përmbajnë shkronja, të ashtuquajturat variabla, vlera e të cilave duhet gjetur.
Ky është një atribut i sistemit që ndryshon vlerën e tij. Një shembull i qartë variablat janë:
- temperatura e ajrit;
- rritja e fëmijës;
- peshë dhe kështu me radhë.
Në matematikë, ato caktohen me shkronja, për shembull, x, a, b, c... Zakonisht një detyrë matematikore shkon kështu: gjeni vlerën e ekuacionit. Kjo do të thotë se është e nevojshme të gjendet vlera e këtyre variablave.
Varieteteve
Ekuacioni (ne diskutuam se çfarë është në paragrafin e mëparshëm) mund të jetë i formës së mëposhtme:
- lineare;
- katror;
- kub;
- algjebrike;
- transcendentale.
Për më shumë njohje e detajuar me të gjitha llojet, le të shqyrtojmë secilën veç e veç.
Ekuacioni linear
Kjo është specia e parë me të cilën njihen nxënësit e shkollës. Ato zgjidhen mjaft shpejt dhe thjesht. Pra, çfarë është një ekuacion linear? Kjo është një shprehje e formës: ah=c. Nuk është veçanërisht e qartë, prandaj le të japim disa shembuj: 2x=26; 5x=40; 1.2x=6.
Le të shohim shembuj të ekuacioneve. Për ta bërë këtë, ne duhet të mbledhim të gjitha të dhënat e njohura nga njëra anë dhe të panjohurat nga ana tjetër: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. Përdoret këtu rregullat bazë matematika: a*c=e, nga kjo c=e/a; a=e/c. Për të përfunduar zgjidhjen e ekuacionit, kryejmë një veprim (në rastin tonë, pjesëtimi) x = 13; x=8; x=5. Këta ishin shembuj të shumëzimit, tani le të shohim zbritjen dhe mbledhjen: x+3=9; 10x-5=15. Të dhënat e njohura i transferojmë në një drejtim: x=9-3; x=20/10. Kryeni veprimin e fundit: x=6; x=2.
Janë të mundshme edhe variantet e ekuacioneve lineare, ku përdoren më shumë se një ndryshore: 2x-2y=4. Për të zgjidhur, duhet të shtojmë 2y në secilën pjesë, marrim 2x-2y+2y=4-2y, siç kemi vërejtur, në anën e majtë të shenjës së barabartë -2y dhe +2y anuloni, duke na lënë: 2x=4 -2у. Hapi i fundit është të ndajmë secilën pjesë me dy, marrim përgjigjen: x është e barabartë me dy minus y.
Problemet me ekuacionet gjenden edhe në papiruset e Ahmes. Këtu është një problem: një numër dhe pjesa e katërt e tij mblidhen me 15. Për ta zgjidhur atë, shkruajmë ekuacionin e mëposhtëm: x plus një e katërta x është e barabartë me pesëmbëdhjetë. Shohim një shembull tjetër bazuar në rezultatin e zgjidhjes, marrim përgjigjen: x=12. Por ky problem mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër, domethënë egjiptiane ose, siç quhet ndryshe, metoda e supozimit. Përdoret në papirus zgjidhje tjetër: merr katër dhe pjesën e katërt të saj, pra një. Në total ata japin pesë, tani pesëmbëdhjetë duhet të ndahen me shumën, marrim tre, hapi i fundit është të shumëzojmë tre me katër. Marrim përgjigjen: 12. Pse në zgjidhje pjesëtojmë pesëmbëdhjetë me pesë? Pra, zbulojmë sa herë pesëmbëdhjetë, domethënë, rezultati që duhet të marrim është më pak se pesë. Problemet u zgjidhën në këtë mënyrë në mesjetë, ajo u bë e njohur si metoda e pozicionit të rremë.
Ekuacionet kuadratike
Përveç shembujve të diskutuar më parë, ka edhe të tjerë. cilat saktësisht? Ekuacioni kuadratik, çfarë është ai? Ato duken si sëpatë 2 +bx+c=0. Për t'i zgjidhur ato, duhet të njiheni me disa koncepte dhe rregulla.
Së pari, duhet të gjeni diskriminuesin duke përdorur formulën: b 2 -4ac. Ekzistojnë tre rezultate të mundshme të vendimit:
- diskriminuese më i madh se zero;
- më pak se zero;
- e barabartë me zero.
Në opsionin e parë përgjigjen mund ta marrim nga dy rrënjë, të cilat gjenden sipas formulës: -b+-rrënja e diskriminuesit pjesëtuar me dyfishin e koeficientit të parë, pra 2a.
Në rastin e dytë, ekuacioni nuk ka rrënjë. Në rastin e tretë, rrënja gjendet duke përdorur formulën: -b/2a.
Le të shohim një shembull të një ekuacioni kuadratik për një hyrje më të detajuar: tre x në katror minus katërmbëdhjetë x minus pesë janë të barabarta zero. Për të filluar, siç u shkrua më herët, ne po kërkojmë një diskriminues, në rastin tonë është i barabartë me 256. Vini re se numri që rezulton është më i madh se zero, prandaj, duhet të marrim një përgjigje të përbërë nga dy rrënjë. Ne e zëvendësojmë diskriminuesin që rezulton në formulën për gjetjen e rrënjëve. Si rezultat, kemi: x është e barabartë me pesë dhe minus një të tretën.
Raste të veçanta në ekuacionet kuadratike
Këta janë shembuj në të cilët disa vlera janë zero (a, b ose c), dhe ndoshta më shumë se një.
Për shembull, le të marrim ekuacionin e mëposhtëm, i cili është një kuadratik: dy x në katror janë zero, këtu shohim se b dhe c janë të barabarta me zero. Le të përpiqemi ta zgjidhim, për ta bërë këtë pjesëtojmë të dyja anët e ekuacionit me dy, kemi: x 2 =0. Si rezultat, marrim x=0.
Një rast tjetër është 16x 2 -9=0. Këtu vetëm b=0. Le të zgjidhim ekuacionin, transferojmë koeficientin e lirë në anën e djathtë: 16x 2 = 9, tani çdo pjesë e ndajmë me gjashtëmbëdhjetë: x 2 = nëntë të gjashtëmbëdhjetët. Meqenëse kemi x në katror, rrënja e 9/16 mund të jetë ose negative ose pozitive. Përgjigjen e shkruajmë si më poshtë: x është plus/minus tre të katërtat.
Një përgjigje tjetër e mundshme është se ekuacioni nuk ka rrënjë fare. Le të shohim këtë shembull: 5x 2 +80=0, këtu b=0. Për të zgjidhur anëtar i lirë hidhe brenda anën e djathtë, pas këtyre veprimeve marrim: 5x 2 = -80, tani çdo pjesë e ndajmë me pesë: x 2 = minus gjashtëmbëdhjetë. Nëse ndonjë numër është në katror, atëherë vlerë negative nuk do ta marrim. Prandaj, përgjigja jonë është: ekuacioni nuk ka rrënjë.
Zgjerimi trinomial
Një detyrë mbi ekuacionet kuadratike mund të tingëllojë gjithashtu si kjo: zgjero trinom kuadratik nga shumëzuesit. Kjo mund të bëhet duke përdorur formulën e mëposhtme: a(x-x 1)(x-x 2). Për ta bërë këtë, si në versionin tjetër të detyrës, është e nevojshme të gjendet një diskriminues.
Le të shqyrtojmë shembulli tjetër: 3x 2 -14x-5, faktoro trinomin. Ne e gjejmë diskriminuesin duke përdorur një formulë tashmë të njohur për ne, rezulton të jetë e barabartë me 256. Vërejmë menjëherë se 256 është më e madhe se zero, prandaj, ekuacioni do të ketë dy rrënjë. I gjejmë, si në paragrafin e mëparshëm, kemi: x = pesë dhe minus një të tretën. Le të përdorim formulën për faktorizimin e trinomit: 3(x-5)(x+1/3). Në kllapin e dytë kemi marrë një shenjë të barabartë, sepse formula përmban një shenjë minus, dhe rrënja është gjithashtu negative, duke përdorur njohuritë bazë të matematikës, në shumë kemi një shenjë plus. Për ta thjeshtuar, le të shumëzojmë termat e parë dhe të tretë të ekuacionit për të hequr qafe thyesën: (x-5) (x+1).
Ekuacione reduktuese në kuadratike
Në këtë pikë do të mësojmë se si të zgjidhim më shumë ekuacionet komplekse. Le të fillojmë menjëherë me një shembull:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Mund të vërejmë elemente përsëritëse: (x 2 - 2x), për ta zgjidhur është e përshtatshme për ne që ta zëvendësojmë me një variabël tjetër, dhe më pas zgjidhni menjëherë ekuacionin e zakonshëm kuadratik Vëmë re se në një detyrë të tillë do të marrim katër rrënjë, kjo nuk duhet t'ju trembë. Shënojmë përsëritjen e ndryshores a. Marrim: a 2 -2a-3=0. Hapi ynë tjetër është të gjejmë diskriminuesin e ekuacionit të ri. Marrim 16, gjejmë dy rrënjë: minus një dhe tre. Kujtojmë që kemi bërë zëvendësimin, zëvendësojmë këto vlera, si rezultat kemi ekuacionet: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. I zgjidhim në përgjigjen e parë: x e barabartë me një, në të dytën: x është e barabartë me minus një dhe tre. Përgjigjen e shkruajmë si më poshtë: plus/minus një dhe tre. Si rregull, përgjigja shkruhet në rend rritës.
Ekuacionet kubike
Le të shohim edhe një opsioni i mundshëm. Bëhet fjalë për ekuacionet kubike. Ato duken si: sëpatë 3 + b x 2 + cx + d =0. Ne do të shohim shembuj të ekuacioneve më poshtë, por së pari, një teori të vogël. Ato mund të kenë tre rrënjë, dhe ekziston gjithashtu një formulë për gjetjen e diskriminuesit për një ekuacion kub.
Le të shohim një shembull: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Si ta zgjidhim atë? Për ta bërë këtë, thjesht vendosim x jashtë kllapave: x(3x 2 +4x+2)=0. Gjithçka që duhet të bëjmë është të llogarisim rrënjët e ekuacionit në kllapa. Diskriminuesi i ekuacionit kuadratik në kllapa është më i vogël se zero, në bazë të kësaj shprehja ka rrënjë: x=0.
Algjebër. Ekuacionet
Le të kalojmë në pamjen tjetër. Tani do të shikojmë shkurtimisht ekuacionet algjebrike. Një nga detyrat është si më poshtë: faktori 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Më së shumti në një mënyrë të përshtatshme do të ketë grupimin e mëposhtëm: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Vini re se ne kemi përfaqësuar 8x 2 nga shprehja e parë si shumën e 3x 2 dhe 5x 2. Tani nxjerrim nga çdo kllapa shumëzues i përbashkët 3x 2 (x2+1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1). Shohim që kemi një faktor të përbashkët: x në katror plus një, e nxjerrim nga kllapa: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Zgjerimi i mëtejshëm nuk është i mundur pasi të dy ekuacionet kanë një diskriminues negativ.
Ekuacionet transcendentale
Ne ju sugjerojmë të merreni me llojin e mëposhtëm. Këto janë ekuacione që përmbajnë funksione transcendentale, përkatësisht logaritmike, trigonometrike ose eksponenciale. Shembuj: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 e kështu me radhë. Si zgjidhen ato do të mësoni në kursin e trigonometrisë.
Funksioni
Hapi i fundit është shqyrtimi i konceptit të një ekuacioni të një funksioni. Ndryshe nga opsionet e mëparshme, këtij lloji nuk zgjidhet, por në bazë të tij ndërtohet një orar. Për ta bërë këtë, ia vlen të analizoni mirë ekuacionin, duke gjetur gjithçka pikat e nevojshme për të ndërtuar, llogaritur pikët minimale dhe maksimale.
