İndirgeme formülleri sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjanttan `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) açılarıyla gitmenize izin veren ilişkilerdir. 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, birim çemberin ilk çeyreğinde yer alan `\alpha` açısının aynı fonksiyonlarına eşittir. Böylece indirgeme formülleri bizi 0 ila 90 derece aralığındaki açılarla çalışmaya "yönlendirir" ki bu çok uygundur.
Hepsi bir arada 32 indirgeme formülü var. Birleşik Devlet Sınavı, sınavlar ve testler sırasında şüphesiz kullanışlı olacaklar. Ancak bunları ezberlemenize gerek olmadığı konusunda hemen uyaralım! Biraz zaman harcamanız ve uygulamalarının algoritmasını anlamanız gerekiyor, o zaman sizin için zor olmayacaktır. doğru an gerekli eşitliği elde ederiz.
Öncelikle tüm indirgeme formüllerini yazalım:
Açı için (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) veya (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Açı (`\pi \pm \alpha`) veya (`180^\circ \pm \alpha`) için:
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Açı için (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) veya (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;' ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;' ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Açı (`2\pi \pm \alpha`) veya (`360^\circ \pm \alpha`) için:
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
İndirgeme formüllerini genellikle açıların radyan cinsinden yazıldığı bir tablo biçiminde bulabilirsiniz:
Bunu kullanmak için ihtiyacımız olan fonksiyonun bulunduğu satırı ve istenen argümanın bulunduğu sütunu seçmemiz gerekir. Örneğin, bir tablo kullanarak 'sin(\pi + \alpha)'nın neye eşit olacağını bulmak için, 'sin \beta' satırı ile \pi + sütununun kesiştiği noktada cevabı bulmak yeterlidir. \alfa`. ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha` elde ederiz.
Ve açıların derece cinsinden yazıldığı ikinci benzer tablo:
İndirgeme formülleri veya bunların nasıl hatırlanacağı için anımsatıcı kural
Daha önce de belirttiğimiz gibi yukarıdaki ilişkilerin tamamını ezberlemenize gerek yoktur. Onlara dikkatlice baktığınızda muhtemelen bazı desenleri fark etmişsinizdir. Herhangi bir indirgeme formülünü kolayca elde edebileceğimiz bir anımsatıcı kural (anımsatıcı - hatırla) formüle etmemize izin verirler.
Hemen belirtelim ki, bu kuralı uygulamak için işaretleri iyi tanımanız (ya da hatırlamanız) gerekir. trigonometrik fonksiyonlar Birim çemberin farklı bölgelerinde. 
Aşının kendisi 3 aşamadan oluşur:
- İşlev argümanı `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ olarak temsil edilmelidir. pm \alpha` ve `\alpha` gereklidir dar açı(0'dan 90 dereceye kadar).
- `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` argümanları için, dönüştürülmüş ifadenin trigonometrik fonksiyonu bir ortak fonksiyona, yani tam tersi (sinüs) olarak değişir. kosinüse, kotanjanta teğet ve tam tersi). `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` bağımsız değişkenleri için işlev değişmez.
- Orijinal fonksiyonun işareti belirlenir. Sağ tarafta ortaya çıkan fonksiyon aynı işarete sahip olacaktır.
Bu kuralın pratikte nasıl uygulanabileceğini görmek için birkaç ifadeyi dönüştürelim:
1. 'çünkü(\pi + \alfa)'.
Fonksiyon tersine çevrilmez. `\pi + \alpha` açısı üçüncü çeyrektedir, bu çeyrekteki kosinüs “-” işaretine sahiptir, dolayısıyla dönüştürülen fonksiyon da “-” işaretine sahip olacaktır.
Cevap: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alfa)`.
Anımsatıcı kurala göre işlev tersine çevrilecektir. `\frac (3\pi)2 - \alpha` açısı üçüncü çeyrektedir, buradaki sinüs “-” işaretine sahiptir, dolayısıyla sonuç da “-” işaretine sahip olacaktır.
Cevap: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. 'çünkü(\frac (7\pi)2 - \alfa)'.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alfa))'. `3\pi`yi `2\pi+\pi` olarak temsil edelim. '2\pi' fonksiyonun periyodudur.
Önemli: `cos \alpha` ve `sin \alpha` fonksiyonlarının periyodu `2\pi` veya `360^\circ`'dir, argüman bu değerler kadar artırılırsa veya azaltılırsa değerleri değişmeyecektir.
Buna dayanarak ifademiz şu şekilde yazılabilir: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Anımsatıcı kuralını iki kez uygulayarak şunu elde ederiz: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Cevap: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
At kuralı
Yukarıda açıklanan anımsatıcı kuralın ikinci noktasına aynı zamanda indirgeme formüllerinin at kuralı da denir. Acaba neden atlar?
Yani, `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ argümanlarına sahip fonksiyonlarımız var pm \alpha`, `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` noktaları anahtardır ve koordinat eksenlerinde bulunurlar. `\pi' ve `2\pi` açık yatay eksen abscissa ve `\frac (\pi)2` ve `\frac (3\pi)2` dikey eksen koordine etmek
Kendimize şu soruyu soruyoruz: “Bir fonksiyon eş fonksiyona dönüşür mü?” Bu soruyu cevaplamak için başınızı kilit noktanın bulunduğu eksen boyunca hareket ettirmeniz gerekir.
Yani kilit noktaları yatay eksende olan tartışmalara başımızı yanlara sallayarak “hayır” cevabı veriyoruz. Anahtar noktaları dikey eksende bulunan köşelere ise at gibi başımızı yukarıdan aşağıya doğru sallayarak “evet” cevabını veriyoruz :)
Yazarın indirgeme formüllerini ezberlemeden nasıl hatırlayacağınızı ayrıntılı olarak anlattığı bir video eğitimini izlemenizi öneririz.
İndirgeme formüllerini kullanmanın pratik örnekleri
İndirgeme formüllerinin kullanımı 9. ve 10. sınıflarda başlar. Bunları kullanmanın birçok sorunu Birleşik Devlet Sınavına sunuldu. Bu formülleri uygulamanız gereken sorunlardan bazıları şunlardır:
- dik üçgen çözme problemleri;
- sayısal ve alfabetik dönüşümler trigonometrik ifadeler değerlerinin hesaplanması;
- stereometrik görevler.
Örnek 1. İndirgeme formüllerini kullanarak hesaplama yapın a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Çözüm: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3';
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2';
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2'.
Örnek 2. İndirgeme formüllerini kullanarak kosinüsü sinüsten sinüse ifade ettikten sonra sayıları karşılaştırın: 1) 'sin \frac (9\pi)8' ve 'cos \frac (9\pi)8'; 2) 'sin \frac (\pi)8' ve 'cos \frac (3\pi)10'.
Çözüm: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8'
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8'
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5'
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Öncelikle `\frac (\pi)2 + \alpha` argümanının sinüs ve kosinüsü için iki formülü kanıtlayalım: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` ve ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Gerisi onlardan türetilmiştir. Hadi alalım birim çember ve üzerinde koordinatları (1,0) olan A noktası. Döndükten sonra izin ver Teğet ve kotanjant tanımından yola çıkarak ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\) elde ederiz. pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` ve ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, bu şunu kanıtlar: '\frac (\pi)2 + \alpha' açısının tanjant ve kotanjantını azaltma formülleri. Formülleri `\frac (\pi)2 - \alpha` argümanıyla ispatlamak için bunu `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` olarak gösterip yukarıdaki gibi aynı yolu takip etmeniz yeterlidir. Örneğin, 'cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)'. `\pi + \alpha` ve `\pi - \alpha` açıları `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` ve `\frac (\pi) olarak temsil edilebilir ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` sırasıyla. Ve `\frac (3\pi)2 + \alpha` ve `\frac (3\pi)2 - \alpha`, `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` ve `\pi olarak +(\frac (\pi)2-\alfa)`. Trigonometri. İndirgeme formülleri. İndirgeme formüllerinin öğretilmesine gerek yoktur; anlaşılmaları gerekir. Bunların türetilmesi için kullanılan algoritmayı anlayın. Çok kolay! Bir birim çember alalım ve tüm derece ölçülerini (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) üzerine yerleştirelim. Sin(a) ve cos(a) fonksiyonlarını her çeyrekte analiz edelim. Y ekseni boyunca sin(a) fonksiyonuna ve X ekseni boyunca cos(a) fonksiyonuna baktığımızı unutmayın. İlk çeyrekte fonksiyonun olduğu açıktır. günah(a)>0 İkinci çeyrekte fonksiyonun açık olduğu açıktır. günah(a)>0Çünkü Y ekseni bu çeyrekte pozitiftir. Üçüncü çeyrekte fonksiyonların açık olduğu açıktır. günah(a) Üçüncü çeyrek (180+α) veya (270-α) gibi derece cinsinden tanımlanabilir.
Dördüncü çeyrekte fonksiyonun olduğu açıktır. sin(a) çünkü Y ekseni bu çeyrekte negatiftir. Şimdi indirgeme formüllerinin kendilerine bakalım. Basitçe hatırlayalım algoritma: Ve böylece bu algoritmayı çeyrekler halinde analiz etmeye başlayacağız. cos(90-α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun sin(90-α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun cos(360+α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun sin(360+α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun cos(90+α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun sin(90+α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun cos(180-α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun sin(180-α) ifadesinin neye eşit olacağını bulun Üçüncü ve dördüncü çeyreklerden bahsediyorum, benzer şekilde bir tablo oluşturalım: Abone YOUTUBE'daki kanala ve videoyu izleyin, matematik ve geometri sınavlarına bizimle hazırlanın. Trigonometrik fonksiyonları azaltmak için formüller nasıl hatırlanır? Bir çağrışım kullanırsanız kolaydır. Bu çağrışım benim tarafımdan icat edilmedi. Daha önce de belirtildiği gibi, iyi birliktelik"yakalamalı", yani neden olmalı parlak duygular. Bu birlikteliğin yarattığı duyguları olumlu diyemem. Ancak bir sonuç verir - azaltma formüllerini hatırlamanıza olanak tanır, bu da onun var olma hakkına sahip olduğu anlamına gelir. Sonuçta beğenmezseniz kullanmak zorunda değilsiniz değil mi? İndirgeme formülleri şu şekildedir: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). +α'nın saat yönünün tersine hareket verdiğini, - α'nın saat yönünde hareket verdiğini unutmayın. İndirgeme formülleriyle çalışmak için iki noktaya ihtiyacınız vardır: 1) bir işaret koyun başlangıç fonksiyonu(Ders kitaplarında şöyle yazıyorlar: indirgenebilir. Ancak kafanızı karıştırmamak için, buna başlangıç demek daha iyidir), eğer α'nın ilk çeyreğin açısı olduğunu, yani küçük olduğunu düşünürsek. 2) Yatay çap - π±α, 2π±α, 3π±α... - genel olarak kesir olmadığında fonksiyonun adı değişmez. Dikey π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α... - bir kesir olduğunda fonksiyonun adı değişir: sinüs - kosinüse, kosinüs - sinüse, teğet - kotanjanta ve kotanjant - teğete. Şimdi aslında dernek: dikey çap (bir kesir var) - sarhoş ayakta. Ona erken ne olacak? yoksa çok mu geç? Doğru, düşecek. Fonksiyonun adı değişecek. Çap yataysa, sarhoş zaten yatıyor demektir. Muhtemelen uyuyordur. Ona bir şey olmaz, o zaten kabul etmiştir. yatay konum. Buna göre fonksiyonun adı değişmez. Yani, sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α), vb. ±cosα ver, ve sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … - ±sinα. Nasıl olduğunu zaten biliyoruz. Bu nasıl çalışır? Örneklere bakalım. 1) cos(π/2+α)=? π/2 oluyoruz. +α saat yönünün tersine ileri gideceğimiz anlamına geldiğinden. Kendimizi kosinüsün “-“ işaretine sahip olduğu ikinci çeyrekte buluyoruz. İşlevin adı değişir (“sarhoş kişi ayakta duruyor”, yani düşeceği anlamına gelir). Bu yüzden, cos(π/2+α)=-sin α. Gelelim 2π'ye. -α olduğundan geriye doğru, yani saat yönünde gideriz. Kendimizi teğetin “-“ işaretine sahip olduğu IV çeyreğinde buluyoruz. İşlevin adı değişmiyor (çap yatay, "sarhoş zaten yatıyor"). Böylece tan(2π-α)=- tanα olur. 3) ctg²(3π/2-α)=? Bir fonksiyonun eşit güce yükseltildiği örneklerin çözülmesi daha da kolaydır. Çift dereceli “-” onu kaldırır, yani sadece fonksiyonun adının değişip değişmediğini bulmanız gerekir. Çap dikeydir (“sarhoş durmak” diye bir kesir vardır, düşecektir), fonksiyonun adı değişir. Şunu elde ederiz: ctg²(3π/2-α)= tan²α. Azaltma formüllerini kullanmanın iki kuralı vardır. 1. Açı (π/2 ±a) veya (3*π/2 ±a) olarak gösterilebiliyorsa, o zaman işlev adı değişiklikleri sin'den cos'a, cos'dan sin'e, tg'den ctg'ye, ctg'den tg'ye. Açı (π ±a) veya (2*π ±a) biçiminde gösterilebiliyorsa, o zaman Fonksiyonun adı değişmeden kalır. Aşağıdaki resme bakın, tabelayı ne zaman değiştirmeniz gerektiğini, ne zaman değiştirmemeniz gerektiğini şematik olarak gösteriyor. 2. "Olduğun gibi kal" kuralı. İndirgenmiş fonksiyonun işareti aynı kalır. Orijinal fonksiyonun artı işareti varsa, indirgenmiş fonksiyonun da artı işareti vardır. Orijinal fonksiyonun eksi işareti varsa, azaltılmış fonksiyonun da eksi işareti vardır. Aşağıdaki şekil çeyreğe bağlı olarak temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini göstermektedir. Sin(150˚) Hesapla İndirgeme formüllerini kullanalım: Sin(150˚) ikinci çeyrektedir; bu çeyrekte günahın işaretinin +'ya eşit olduğunu görüyoruz. Bu, verilen fonksiyonun aynı zamanda artı işaretine sahip olacağı anlamına gelir. İkinci kuralı uyguladık. Şimdi 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ π/2'dir. Yani π/2+60 durumuyla karşı karşıyayız, dolayısıyla ilk kurala göre fonksiyonu sin'den cos'a değiştiriyoruz. Sonuç olarak Sin(150˚) = cos(60˚) = ½ elde ederiz. İstenirse tüm indirgeme formülleri tek bir tabloda özetlenebilir. Ancak bu iki kuralı hatırlayıp kullanmak yine de daha kolaydır. Bu makale şuna adanmıştır: detaylı çalışma trigonometrik formüller hayaletler Dan tam liste indirgeme formülleri, kullanım örnekleri gösterilmiş ve formüllerin doğruluğunun kanıtı verilmiştir. Makale ayrıca, her formülü ezberlemeden indirgeme formülleri türetmenize olanak tanıyan bir anımsatıcı kural da sağlar. Yandex.RTB R-A-339285-1 İndirgeme formülleri, keyfi büyüklükteki açıların temel trigonometrik fonksiyonlarını 0 ila 90 derece (0 ila π 2 radyan) aralığındaki açıların fonksiyonlarına azaltmanıza olanak tanır. 0'dan 90 dereceye kadar açılarla çalışmak, keyfi olarak çalışmaya göre çok daha uygundur. büyük değerler bu nedenle trigonometri problemlerinin çözümünde indirgeme formülleri yaygın olarak kullanılmaktadır. Formüllerin kendisini yazmadan önce, anlamanız için birkaç önemli noktayı açıklığa kavuşturalım. Şimdi doğrudan indirgeme formüllerine geçelim. Azaltma formülleri keyfi ve keyfi ile çalışmaktan kurtulmanıza olanak tanır geniş açılar 0 ila 90 derece arasında değişen açılarla çalışmak. Tüm formülleri tablo halinde yazalım. Azaltma formülleri sin α + 2 π z = sin α , çünkü α + 2 π z = çünkü α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , çünkü - α + 2 π z = çünkü α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - çünkü α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - çünkü α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - çünkü α , çünkü 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α, c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α İÇİNDE bu durumda formüller radyan cinsinden yazılır. Ancak bunları derece kullanarak da yazabilirsiniz. Radyanı dereceye dönüştürmek, π'yi 180 dereceyle değiştirmek yeterlidir. İndirgeme formüllerinin nasıl kullanılacağını ve bu formüllerin pratik örneklerle çözmek için nasıl kullanıldığını göstereceğiz. Trigonometrik fonksiyonun işaretinin altındaki açı bir değil birçok şekilde temsil edilebilir. Örneğin, bir trigonometrik fonksiyonun argümanı ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z biçiminde temsil edilebilir. Bunu gösterelim. α = 16 π 3 açısını alalım. Bu açı şu şekilde yazılabilir: α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π Kullanılan açı gösterimine bağlı olarak karşılık gelen formül hayaletler Aynı açıyı α = 16 π 3 alalım ve tanjantını hesaplayalım Örnek 1: İndirgeme formüllerini kullanma α = 16 π 3 , t g α = ? α = 16 π 3 açısını α = π + π 3 + 2 π 2 olarak temsil edelim. Açının bu temsili indirgeme formülüne karşılık gelecektir t g (π + α + 2 π z) = t g α t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3 Tabloyu kullanarak teğetin değerini belirtiyoruz Şimdi α = 16 π 3 açısının başka bir gösterimini kullanıyoruz. Örnek 2: İndirgeme formüllerini kullanma α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3 Son olarak yazdığımız açının üçüncü gösterimi için Örnek 3. İndirgeme formüllerinin kullanılması α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3 Şimdi daha karmaşık indirgeme formüllerinin kullanımına bir örnek verelim Örnek 4: İndirgeme formüllerini kullanma Bir dar açının sinüs ve kosinüsü boyunca 197°'lik bir günah düşünelim. İndirgeme formüllerini uygulayabilmek için α = 197 ° açısını formlardan birinde temsil etmeniz gerekir. ± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Sorunun koşullarına göre açının dar olması gerekir. Buna göre onu temsil etmenin iki yolu var: 197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73° Aldık sin 197° = sin (180° + 17°) sin 197° = sin (270° - 73°) Şimdi sinüsleri azaltma formüllerine bakalım ve uygun olanları seçelim. sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270° - 73° + 360°z) = - cos 73° Pek çok indirgeme formülü vardır ve neyse ki bunları ezberlemeye gerek yoktur. İndirgeme formüllerinin elde edilebileceği düzenlilikler vardır. farklı açılar ve trigonometrik fonksiyonlar. Bu kalıplara anımsatıcı kurallar denir. Anımsatıcılar ezberleme sanatıdır. Anımsatıcı kural üç bölümden oluşur veya üç aşamadan oluşur. Anımsatıcı kural 1. Orijinal fonksiyonun argümanı aşağıdaki formlardan biriyle temsil edilir: ± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz α açısı 0 ile 90 derece arasında olmalıdır. 2. Orijinal trigonometrik fonksiyonun işareti belirlenir. Formülün sağ tarafında yazılan fonksiyon aynı işarete sahip olacaktır. 3. ± α + 2 πz ve π ± α + 2 πz açıları için orijinal fonksiyonun adı değişmeden kalır ve π 2 ± α + 2 πz ve 3 π 2 ± α + 2 πz açıları için sırasıyla şu şekilde değişir: "ortak işlev". Sinüs - kosinüs. Teğet - kotanjant. İndirgeme formülleri için anımsatıcı kılavuzu kullanmak için, birim çemberin çeyreğine göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleyebilmeniz gerekir. Anımsatıcı kuralı kullanma örneklerine bakalım. Örnek 1: Anımsatıcı kural kullanma cos π 2 - α + 2 πz ve t g π - α + 2 πz için indirgeme formüllerini yazalım. α ilk çeyreğin logudur. 1. α koşulu ilk çeyreğin logu olduğundan kuralın ilk noktasını atlıyoruz. 2. İşaretleri tanımlayın çünkü işlevlerπ 2 - α + 2 πz ve t g π - α + 2 πz. π 2 - α + 2 πz açısı aynı zamanda ilk çeyreğin açısıdır ve π - α + 2 πz açısı ikinci çeyrektedir. İlk çeyrekte kosinüs fonksiyonu pozitiftir ve ikinci çeyrekteki teğet eksi işaretine sahiptir. Bu aşamada gerekli formüllerin nasıl görüneceğini yazalım. çünkü π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = - 3. Üçüncü noktaya göre π 2 - α + 2 π açısı için fonksiyonun adı Konfüçyüs olarak değişir, π - α + 2 πz açısı için ise fonksiyonun adı aynı kalır. Hadi yazalım: çünkü π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α Şimdi yukarıda verilen formüllere bakalım ve anımsatıcı kuralın çalıştığından emin olalım. Belirli bir açı olan α = 777° olan bir örneğe bakalım. Sinüs alfayı dar açının trigonometrik fonksiyonuna indirgeyelim. Örnek 2: Anımsatıcı kural kullanma 1. α = 777 ° açısını gerekli biçimde hayal edin 777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2 2. Orijinal açı ilk çeyreğin açısıdır. Bu, açının sinüsünün olduğu anlamına gelir olumlu işaret. Sonuç olarak elimizde: 3. sin 777° = sin (57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin (90° - 33° + 360° 2) = cos 33° Şimdi anımsatıcı kuralı kullanırken trigonometrik fonksiyonun işaretini doğru belirlemenin ve açıyı doğru şekilde temsil etmenin ne kadar önemli olduğunu gösteren bir örneğe bakalım. Bir kez daha tekrarlayalım. Önemli! α açısı dar olmalı! 5 π 3 açısının tanjantını hesaplayalım. Ana trigonometrik fonksiyonların değer tablosundan hemen t g 5 π 3 = - 3 değerini alabilirsiniz, ancak anımsatıcı kuralı uygulayacağız. Örnek 3: Anımsatıcı kural kullanma α = 5 π 3 açısını gerekli formda hayal edelim ve kuralı kullanalım t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3 Alfa açısını 5 π 3 = π + 2 π 3 biçiminde temsil edersek, anımsatıcı kuralın uygulanmasının sonucu yanlış olacaktır. t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3 Yanlış sonuç, 2 π 3 açısının dar olmamasından kaynaklanmaktadır. İndirgeme formüllerinin kanıtı, trigonometrik fonksiyonların periyodiklik ve simetri özelliklerine ve ayrıca π 2 ve 3 π 2 açılarına göre kayma özelliğine dayanmaktadır. Tüm indirgeme formüllerinin geçerliliğinin kanıtı, 2 πz terimi dikkate alınmadan gerçekleştirilebilir, çünkü bu, açıdaki bir tamsayı değişikliğini belirtir. tam devrimler ve periyodiklik özelliğini tam olarak yansıtır. İlk 16 formül doğrudan temel trigonometrik fonksiyonların özelliklerinden kaynaklanmaktadır: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant. İşte sinüsler ve kosinüsler için indirgeme formüllerinin bir kanıtı sin π 2 + α = cos α ve cos π 2 + α = - sin α Birim çembere bakalım, başlangıç noktasıα açısına göre döndükten sonra A 1 x, y noktasına ve π 2 + α açısına göre döndükten sonra A 2 noktasına gitti. Her iki noktadan da apsis eksenine dikler çiziyoruz. İki dik üçgen O A 1 H 1 ve O A 2 H 2 hipotenüs ve komşu açılarda eşittir. Daire üzerindeki noktaların konumundan ve üçgenlerin eşitliğinden A 2 noktasının A 2 - y, x koordinatlarına sahip olduğu sonucuna varabiliriz. Sinüs ve kosinüs tanımlarını kullanarak şunu yazıyoruz: sin α = y, çünkü α = x, sin π 2 + α = x, çünkü π 2 + α = y günah π 2 + α = çünkü α, çünkü π 2 + α = - sin α Trigonometrinin temel özdeşliklerini ve henüz kanıtlanmış olanları dikkate alarak şunu yazabiliriz: t g π 2 + α = sin π 2 + α çünkü π 2 + α = çünkü α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = çünkü π 2 + α sin π 2 + α = - sin α çünkü α = - tgα İndirgeme formüllerini π 2 - α argümanıyla kanıtlamak için π 2 + (- α) biçiminde sunulması gerekir. Örneğin: cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α İspat, zıt işaretli argümanlarla trigonometrik fonksiyonların özelliklerini kullanır. Diğer tüm indirgeme formülleri yukarıda yazılanlara dayanarak kanıtlanabilir. Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
`\alpha` açısında `A_1(x, y)` noktasına gidecek ve `\frac (\pi)2 + \alpha` açısıyla döndükten sonra `A_2(-y, x)` noktasına gidecektir. Bu noktalardan OX doğrusuna dik açıları bıraktığımızda 'OA_1H_1' ve 'OA_2H_2' üçgenlerinin hipotenüsleri ve komşu açıları eşit olduğundan eşit olduğunu görüyoruz. Daha sonra sinüs ve kosinüs tanımlarına dayanarak `sin\alpha=y`, `cos\alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos yazabiliriz. (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. İndirgemeyi kanıtlayan ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` ve ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha` ifadesini nereye yazabiliriz? sinüs ve kosinüs açıları için formüller `\frac (\pi)2 + \alpha`.
Ve işlev cos(a)>0
İlk çeyrek şu şekilde açıklanabilir: derece ölçüsü(90-α) veya (360+α) gibi.
Bir fonksiyon cos(a) çünkü X ekseni bu çeyrekte negatiftir.
İkinci çeyrek (90+α) veya (180-α) gibi derece cinsinden tanımlanabilir.
Bir fonksiyon cos(a)>0, çünkü X ekseni bu çeyrekte pozitiftir.
Dördüncü çeyrek (270+α) veya (360-α) gibi derece cinsinden tanımlanabilir.
1. Çeyrek.(Her zaman hangi çeyrekte olduğunuza bakın).
2. İmza.(Çeyrek ile ilgili olarak bkz. olumlu veya negatif fonksiyonlar kosinüs veya sinüs).
3. Parantez içinde (90° veya π/2) ve (270° veya 3π/2) varsa, o zaman fonksiyon değişiklikleri.
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. Birinci çeyrek.
İrade cos(90-α) = sin(α)
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. Birinci çeyrek.
İrade günah(90-α) = cos(α)
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. Birinci çeyrek.
2. İlk çeyrekte kosinüs fonksiyonunun işareti pozitiftir.
İrade cos(360+α) = cos(α)
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. Birinci çeyrek.
2. İlk çeyrekte sinüs fonksiyonunun işareti pozitiftir.
3. Parantez içinde (90° veya π/2) ve (270° veya 3π/2) yoksa fonksiyon değişmez.
İrade sin(360+α) = sin(α)
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. İkinci çeyrek.
3. Parantez içinde (90° veya π/2) varsa fonksiyon kosinüsten sinüse değişir.
İrade cos(90+α) = -sin(α)
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. İkinci çeyrek.
3. Parantez içinde (90° veya π/2) varsa fonksiyon sinüsten kosinüse değişir.
İrade sin(90+α) = cos(α)
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. İkinci çeyrek.
2. İkinci çeyrekte kosinüs fonksiyonunun işareti negatiftir.
3. Parantez içinde (90° veya π/2) ve (270° veya 3π/2) yoksa fonksiyon değişmez.
İrade cos(180-α) = cos(α)
Algoritmaya göre mantık yürütüyoruz:
1. İkinci çeyrek.
2. İkinci çeyrekte sinüs fonksiyonunun işareti pozitiftir.
3. Parantez içinde (90° veya π/2) ve (270° veya 3π/2) yoksa fonksiyon değişmez.
İrade günah(180-α) = günah(α)
Çalışmalarınızda yardıma mı ihtiyacınız var?
Önceki konu: Azaltma formülleri. Liste
İndirgeme formüllerini kullanma örnekleri
Anımsatıcı kural
