Doğal logaritma ve a tabanındaki logaritmanın türevi için formüllerin ispatı ve türetilmesi. ln 2x, ln 3x ve ln nx'in türevlerini hesaplama örnekleri. Yöntemle n'inci mertebeden logaritmanın türevi için formülün kanıtı matematiksel tümevarım.

a tabanında doğal logaritma ve logaritmanın türevleri için formüllerin türetilmesi

x'in doğal logaritmasının türevi, bir bölü x'e eşittir:
(1) (lnx)' =.

a tabanına göre logaritmanın türevi eşittir bir bölü değişken x çarpı doğal logaritma bir:
(2) (log x)' =.

Kanıt

biraz olsun pozitif sayı, olumsuzluk bire eşit. Temel bir logaritma olan x değişkenine bağlı bir işlev düşünün:
.
Bu fonksiyon ile tanımlanır. x'e göre türevini bulalım. Tanım olarak, türev aşağıdaki limittir:
(3) .

Bu ifadeyi bilinene indirgemek için dönüştürelim. matematiksel özellikler ve kurallar. Bunu yapmak için aşağıdaki gerçekleri bilmemiz gerekir:
ANCAK) Logaritmanın özellikleri. Aşağıdaki formüllere ihtiyacımız var:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Sürekli bir fonksiyon için logaritmanın sürekliliği ve limitlerin özelliği:
(7) .
Burada, bir limiti olan ve bu limit pozitif olan bir fonksiyon var.
AT)İkinci harika sınırın anlamı:
(8) .

Bu gerçekleri sınırlarımıza kadar uyguluyoruz. Önce cebirsel ifadeyi dönüştürüyoruz
.
Bunu yapmak için (4) ve (5) özelliklerini uyguluyoruz.

.

Özelliği (7) kullanıyoruz ve ikinci harika sınır (8):
.

Ve son olarak, (6) özelliğini uygulayın:
.
taban logaritması e aranan doğal logaritma. Bu şekilde işaretlenir:
.
O zamanlar ;
.

Böylece logaritmanın türevi için formül (2)'yi elde etmiş oluyoruz.

Doğal logaritmanın türevi

Bir kez daha logaritmanın a tabanındaki türevinin formülünü yazıyoruz:
.
Bu formül, doğal logaritma için en basit biçime sahiptir, bunun için , . O zamanlar
(1) .

Bu basitliği nedeniyle, doğal logaritma, analizde ve matematiğin diferansiyel hesapla ilgili diğer alanlarında çok yaygın olarak kullanılmaktadır. logaritmik fonksiyonlar diğer tabanlarla, özellik (6) kullanılarak doğal logaritma cinsinden ifade edilebilir:
.

Sabit türev işaretinden çıkarılırsa, logaritmanın temel türevi formül (1)'den bulunabilir:
.

Logaritmanın türevini kanıtlamanın diğer yolları

Burada, üssün türevinin formülünü bildiğimizi varsayıyoruz:
(9) .
Daha sonra, logaritmanın üssün tersi olduğu göz önüne alındığında, doğal logaritmanın türevi için formülü türetebiliriz.

Doğal logaritmanın türevinin formülünü kanıtlayalım, ters fonksiyonun türevi için formülü uygulama:
.
bizim durumumuzda . Doğal logaritmanın tersi üstür:
.
Türevi formül (9) ile belirlenir. Değişkenler herhangi bir harfle gösterilebilir. Formül (9)'da, x değişkenini y ile değiştiriyoruz:
.
O zamandan beri
.
O zamanlar
.
Formül kanıtlanmıştır.

Şimdi doğal logaritmanın türevinin formülünü kullanarak ispatlıyoruz. farklılaşma kuralları karmaşık fonksiyon . ve fonksiyonları birbirine ters olduğundan, o zaman
.
Bu denklemi x değişkenine göre farklılaştırın:
(10) .
x'in türevi bire eşittir:
.
Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını uyguluyoruz:
.
Burada . (10) yerine koy:
.
Buradan
.

Örnek

türevlerini bul 2x, ln 3x ve ln nx.

Çözüm

Orijinal işlevler var benzer görünüm. Bu nedenle, fonksiyonun türevini bulacağız y = günlük nx. Sonra n = 2 ve n = 3 yerine koyarız. Ve böylece, türevler için formüller elde ederiz. ln 2x ve ln 3x .

Yani, fonksiyonun türevini arıyoruz
y = günlük nx .
Bu fonksiyonu iki fonksiyondan oluşan karmaşık bir fonksiyon olarak gösterelim:
1) Değişken bağımlı fonksiyonlar: ;
2) Değişken bağımlı fonksiyonlar: .
Ardından, orijinal işlev ve işlevlerinden oluşur:
.

Fonksiyonun x değişkenine göre türevini bulalım:
.
Fonksiyonun değişkene göre türevini bulalım:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uyguluyoruz.
.
Burada yer değiştirdik.

Böylece şunları bulduk:
(11) .
Türevin n'ye bağlı olmadığını görüyoruz. Orijinal fonksiyonu, çarpım logaritma formülünü kullanarak dönüştürürsek, bu sonuç oldukça doğaldır:
.
- bir sabittir. Türevi sıfırdır. O zaman, toplamın farklılaşma kuralına göre, şunu elde ederiz:
.

Cevap

; ; .

Logaritma modulo x'in türevi

Başka bir çok türevi bulun önemli işlev- x modülünün doğal logaritması:
(12) .

Davayı ele alalım. Ardından işlev şöyle görünür:
.
Türevi formül (1) ile belirlenir:
.

Şimdi davayı düşünün. Ardından işlev şöyle görünür:
,
nerede .
Ancak yukarıdaki örnekte bu fonksiyonun türevini de bulduk. n'ye bağlı değildir ve eşittir
.
O zamanlar
.

Bu iki durumu tek bir formülde birleştiriyoruz:
.

Buna göre, a tabanına göre logaritma için şunu elde ederiz:
.

Doğal logaritmanın daha yüksek mertebeden türevleri

işlevi göz önünde bulundurun
.
Birinci dereceden türevini bulduk:
(13) .

İkinci dereceden türevi bulalım:
.
Üçüncü mertebenin türevini bulalım:
.
Dördüncü mertebenin türevini bulalım:
.

n'inci dereceden türevin şu şekilde olduğu görülebilir:
(14) .
Bunu matematiksel tümevarımla kanıtlayalım.

Kanıt

n = 1 değerini formül (14) ile değiştirelim:
.
beri, o zaman için n = 1 , formül (14) geçerlidir.

n = k için formül (14)'ün sağlandığını varsayalım. Bundan, formülün n = k için geçerli olduğunun sonucu olduğunu kanıtlayalım. + 1 .

Aslında, n = k için şuna sahibiz:
.
x'e göre farklılaştırın :

.
Yani elimizde:
.
Bu formül, n = k + için formül (14) ile örtüşmektedir. 1 . Böylece, formül (14)'ün n = k için geçerli olduğu varsayımından, formül (14)'ün n = k + için geçerli olduğu sonucu çıkar. 1 .

Bu nedenle, n'inci dereceden türev için formül (14), herhangi bir n için geçerlidir.

a tabanına göre logaritmanın yüksek mertebeden türevleri

a taban logaritmasının n'inci türevini bulmak için, onu doğal logaritma cinsinden ifade etmeniz gerekir:
.
Formül (14)'ü uygulayarak, n'inci türevi buluruz:
.

Üstel (e üzeri x) ve üstel fonksiyonun (a üzeri x) türevi için formüllerin ispatı ve türetilmesi. e^2x, e^3x ve e^nx'in türevlerini hesaplama örnekleri. Yüksek dereceden türevler için formüller.

Üssün türevi üstelin kendisine eşittir (e üzeri x'in türevi eşittir e üzeri x'in):
(1) (e x )' = e x.

Tabanı a olan üstel bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun kendisine eşittir ve a'nın doğal logaritması ile çarpılır:
(2) .

Üssü e üzeri x'in türevi için formülün türetilmesi

Üs, üs tabanı aşağıdaki sınır olan e sayısına eşit olan üstel bir fonksiyondur:
.
Burada hem doğal hem de gerçek Numara. Daha sonra, üssün türevi için formül (1)'i türetiyoruz.

Üslü sayının türevi için formülün türetilmesi

e üssü x'in üssünü ele alalım:
y = e x .
Bu işlev, tümü için tanımlanmıştır. x'e göre türevini bulalım. Tanım olarak, türev aşağıdaki limittir:
(3) .

Bu ifadeyi bilinen matematiksel özelliklere ve kurallara indirgemek için dönüştürelim. Bunun için aşağıdaki gerçeklere ihtiyacımız var:
ANCAK)Üs özelliği:
(4) ;
B) Logaritma özelliği:
(5) ;
AT) Sürekli bir fonksiyon için logaritmanın sürekliliği ve limitlerin özelliği:
(6) .
Burada, bir limiti olan ve bu limit pozitif olan bir fonksiyon var.
G)İkinci harika sınırın anlamı:
(7) .

Bu gerçekleri limitimize uyguluyoruz (3). Özelliği (4) kullanıyoruz:
;
.

Bir değişiklik yapalım. O zamanlar ; .
Üs sürekliliğinden dolayı,
.
Bu nedenle, , . Sonuç olarak, şunu elde ederiz:
.

Bir değişiklik yapalım. O zamanlar . , . Ve bizde:
.

Logaritmanın (5) özelliğini uyguluyoruz:
. O zamanlar
.

(6) özelliğini uygulayalım. Pozitif bir limit olduğundan ve logaritma sürekli olduğundan, o zaman:
.
Burada da ikinci dikkate değer limiti (7) kullandık. O zamanlar
.

Böylece, üssün türevi için formül (1)'i elde etmiş oluyoruz.

Üstel fonksiyonun türevi için formülün türetilmesi

Şimdi üstel fonksiyonun a derecesi tabanlı türevi için formül (2)'yi türetiyoruz. Buna inanıyoruz ve . O zaman üstel fonksiyon
(8)
Herkes için tanımlanmış.

Formül (8)'i dönüştürelim. Bunun için kullanıyoruz üstel fonksiyonun özellikleri ve logaritma.
;
.
Böylece, formülü (8) aşağıdaki forma dönüştürdük:
.

e üzeri x'in yüksek dereceli türevleri

Şimdi yüksek mertebeden türevleri bulalım. Önce üsse bakalım:
(14) .
(1) .

(14) fonksiyonunun türevinin (14) fonksiyonunun kendisine eşit olduğunu görüyoruz. (1)'i farklılaştırarak, ikinci ve üçüncü dereceden türevler elde ederiz:
;
.

Bu, n'inci dereceden türevinin de orijinal fonksiyona eşit olduğunu gösterir:
.

Üstel fonksiyonun daha yüksek mertebeden türevleri

Şimdi düşünün üstel fonksiyon a taban derecesi ile:
.
Birinci dereceden türevini bulduk:
(15) .

(15)'i farklılaştırarak, ikinci ve üçüncü dereceden türevler elde ederiz:
;
.

Her farklılaşmanın, orijinal fonksiyonun ile çarpılmasına yol açtığını görüyoruz. Bu nedenle, n'inci türev aşağıdaki forma sahiptir:
.

karmaşık türevler. Logaritmik türev.
üstel fonksiyonun türevi

Farklılaştırma tekniğimizi geliştirmeye devam ediyoruz. Bu derste, işlenen materyali pekiştireceğiz, daha karmaşık türevleri ele alacağız ve ayrıca türevi, özellikle logaritmik türevi bulmak için yeni püf noktaları ve püf noktaları hakkında bilgi sahibi olacağız.

okuyanlar için düşük seviye hazırlık, makaleye bakın Türevi nasıl bulunur? Çözüm örnekleri bu da becerilerinizi neredeyse sıfırdan geliştirmenizi sağlayacaktır. Ardından, sayfayı dikkatlice incelemeniz gerekir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, anlamak ve çözmek tüm verdiğim örnekler. Bu ders mantıksal olarak üst üste üçüncü ve ustalaştıktan sonra, oldukça karmaşık işlevleri güvenle ayırt edeceksiniz. “Başka nerede? Ve bu kadar yeter!", çünkü tüm örnekler ve çözümler gerçek kaynaklardan alınmıştır. kontrol işleri ve pratikte sıklıkla karşılaşılır.

Tekrarla başlayalım. derste Karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrıntılı yorumlarla bir dizi örneği inceledik. Diferansiyel analiz ve diğer bölümlerin incelenmesi sırasında matematiksel analiz- çok sık ayrım yapmanız gerekecek ve örnekleri ayrıntılı olarak boyamak her zaman uygun (ve her zaman gerekli değil) değildir. Bu nedenle, türevlerin sözlü bulmasında pratik yapacağız. Bunun için en uygun "adaylar", en basit karmaşık fonksiyonların türevleridir, örneğin:

Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralına göre :

Gelecekte diğer matan konularını incelerken, örneğin ayrıntılı kayıtçoğu zaman gerekli değildir, öğrencinin otomatik pilotta benzer türevleri bulabileceği varsayılır. Farz edelim ki sabah saat 3'te bir telefon görüşmesi, ve hoş ses"İki x'in tanjantının türevi nedir?" diye sordu. Bunu neredeyse anında ve kibar bir yanıt izlemelidir: .

İlk örnek hemen amaçlanacak bağımsız karar.

örnek 1

Aşağıdaki türevleri sözlü olarak tek adımda bulun, örneğin: . Görevi tamamlamak için yalnızca kullanmanız gerekir temel fonksiyonların türev tablosu(zaten hatırlamadıysa). Herhangi bir zorluk yaşarsanız, dersi tekrar okumanızı tavsiye ederim. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Dersin sonunda cevaplar

karmaşık türevler

Ön topçu hazırlığından sonra, 3-4-5 işlev ekli örnekler daha az korkutucu olacaktır. Belki aşağıdaki iki örnek bazılarına karmaşık gelebilir, ancak anlaşılırsa (birisi acı çekecek), o zaman hemen hemen her şey diferansiyel hesap bir çocuk şakası gibi görünecek.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken her şeyden önce gereklidir. Sağ YATIRIMLARI ANLAYIN. Şüpheli durumlarda hatırlatırım faydalı teknik: örneğin "x" deneysel değerini alırız ve (zihinsel olarak veya bir taslak üzerinde) yerine koymaya çalışırız verilen değer korkunç bir ifadeye dönüştü.

1) İlk önce ifadeyi hesaplamamız gerekiyor, bu yüzden toplam en derin yuvalamadır.

2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:

4) Ardından kosinüsün küpünü alın:

5) Beşinci adımda fark:

6) Ve son olarak, en dıştaki fonksiyon kareköktür:

Karmaşık Fonksiyon Farklılaşma Formülü uygulamak Ters sipariş, en dıştaki işlevden en içteki işleve. karar veriyoruz:

Hata yok gibi...

(1) türevini alıyoruz kare kök.

(2) Kuralı kullanarak farkın türevini alıyoruz

(3) Üçlünün türevi sıfıra eşittir. İkinci terimde derecenin (küp) türevini alıyoruz.

(4) Kosinüsün türevini alıyoruz.

(5) Logaritmanın türevini alıyoruz.

(6) Son olarak en derin yuvalamanın türevini alıyoruz.

Çok zor görünebilir, ancak bu en acımasız örnek değil. Örneğin, Kuznetsov'un koleksiyonunu alın ve analiz edilen türevin tüm çekiciliğini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.

Sonraki örnek Bağımsız bir çözüm için.

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

İpucu: Önce doğrusallık kurallarını ve çarpımın farklılaşma kuralını uyguluyoruz.

Tam çözüm ve dersin sonunda cevap.

Daha kompakt ve güzel bir şeye geçmenin zamanı geldi.
Bir örneğin iki değil, bir çarpım vermesi alışılmadık bir durum değildir. üç fonksiyon. türevi nasıl bulunur üçlü ürünlerçarpanlar?

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Önce bakıyoruz ama üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına çevirmek mümkün mü? Örneğin çarpımda iki polinomumuz olsaydı parantezleri açabilirdik. Ancak bu örnekte tüm işlevler farklıdır: derece, üs ve logaritma.

Bu gibi durumlarda gerekli art ardaürün farklılaştırma kuralını uygula iki defa

İşin püf noktası, "y" için iki işlevin ürününü belirtmemizdir: ve "ve" için - logaritma:. Bu neden yapılabilir? bu mu - bu iki faktörün ürünü değil ve kural çalışmıyor mu?! Karmaşık bir şey yok:

Şimdi kuralı ikinci kez uygulamak kalıyor parantez içine almak:

Hala saptırabilir ve parantez içindeki bir şeyi çıkarabilirsiniz, ancak bu durum cevabı bu formda bırakmak daha iyidir - kontrol etmesi daha kolay olacaktır.

Yukarıdaki örnek ikinci şekilde çözülebilir:

Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.

Örnek 5

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir, örnekte ilk şekilde çözülür.

Düşünmek benzer örnekler kesirler ile.

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada birkaç yoldan gidebilirsiniz:

Veya bunun gibi:

Ancak, her şeyden önce, bölümün farklılaşma kuralını kullanırsak, çözüm daha kompakt bir şekilde yazılabilir. , payın tamamını alarak:

Prensip olarak örnek çözülür ve bu şekilde bırakılırsa hata olmaz. Ancak zamanınız varsa, taslağı kontrol etmeniz her zaman tavsiye edilir, ancak cevabı basitleştirmek mümkün mü? Payın ifadesini şuna getiriyoruz: ortak payda ve üç katlı kesirden kurtulun:

Eksi ek basitleştirmeler türevi bulurken değil, banal okul dönüşümleri yaparken hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan, öğretmenler genellikle görevi reddeder ve türevini "akla getirmeyi" ister.

Kendin yap çözümü için daha basit bir örnek:

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Türevi bulma tekniklerinde ustalaşmaya devam ediyoruz ve şimdi farklılaşma için "korkunç" bir logaritma önerildiğinde tipik bir durumu ele alacağız.

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada, karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını kullanarak uzun bir yol kat edebilirsiniz:

Ancak ilk adım sizi hemen umutsuzluğa sürükler - tatsız bir türevi almanız gerekir. kesirli derece ve sonra ayrıca kesirden.

Bu yüzden önceki"süslü" logaritmanın türevi nasıl alınır, daha önce iyi bilinen okul özellikleri kullanılarak basitleştirilmiştir:

! Elinizin altında bir alıştırma defteriniz varsa, bu formülleri hemen oraya kopyalayın. Bir defteriniz yoksa, bunları bir kağıda çizin, çünkü dersin geri kalan örnekleri bu formüller etrafında dönecektir.

Çözümün kendisi şu şekilde formüle edilebilir:

Fonksiyonu dönüştürelim:

Türevi buluyoruz:

Fonksiyonun kendisinin ön dönüşümü, çözümü büyük ölçüde basitleştirdi. Bu nedenle, türev için benzer bir logaritma önerildiğinde, her zaman "onu parçalamak" tavsiye edilir.

Ve şimdi bağımsız bir çözüm için birkaç basit örnek:

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Dersin sonunda tüm dönüşümler ve cevaplar.

logaritmik türev

Logaritmaların türevi bu kadar tatlı bir müzikse, o zaman şu soru ortaya çıkıyor: bazı durumlarda logaritmayı yapay olarak düzenlemek mümkün müdür? Olabilmek! Ve hatta gerekli.

Örnek 11

Bir fonksiyonun türevini bulun

Son zamanlarda düşündüğümüz benzer örnekler. Ne yapalım? Bölümün farklılaşma kuralı ve ardından ürünün farklılaşma kuralı art arda uygulanabilir. Bu yöntemin dezavantajı, hiç uğraşmak istemediğiniz üç katlı devasa bir kesir elde etmenizdir.

Ama teoride ve pratikte logaritmik türev diye harika bir şey var. Logaritmalar, her iki tarafa "asılarak" yapay olarak düzenlenebilir:

Şimdi sağ tarafın logaritmasını olabildiğince "kırmanız" gerekiyor (formüller gözünüzün önünde mi?). Bu süreci ayrıntılı olarak anlatacağım:

Farklılaşma ile başlayalım.
Her iki bölümü de bir vuruşla bitiriyoruz:

Sağ tarafın türevi oldukça basit, onun hakkında yorum yapmayacağım çünkü bu metni okuyorsanız, güvenle halledebilmelisiniz.

Peki ya sol taraf?

sol tarafta bizde karmaşık fonksiyon. “Neden logaritmanın altında bir “y” harfi var?” Sorusunu öngörüyorum.

Gerçek şu ki, bu "bir harf y" - KENDİ BAŞINA BİR FONKSİYONDUR(çok net değilse, dolaylı olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi makalesine bakın). Bu nedenle, logaritma harici bir fonksiyondur ve "y", iç işlev. Ve bileşik fonksiyon türev kuralını kullanıyoruz :

Sol tarafta, sanki bir dalga gibi sihirli değnek bir türevimiz var. Ayrıca, orantı kuralına göre, “y” yi sol tarafın paydasından sağ tarafın üstüne atıyoruz:

Ve şimdi ayırt ederken ne tür bir "oyun" işlevinden bahsettiğimizi hatırlıyoruz? Koşula bakalım:

Son cevap:

Örnek 12

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bir kendin yap örneğidir. Örnek tasarım şablonu bu türden dersin sonunda.

Logaritmik türevin yardımıyla 4-7 numaralı örneklerden herhangi birini çözmek mümkün oldu, başka bir şey de oradaki fonksiyonların daha basit olması ve belki de logaritmik türevin kullanımının pek haklı olmaması.

üstel fonksiyonun türevi

Bu işlevi henüz ele almadık. Üstel bir fonksiyon, sahip bir fonksiyondur. ve derece ve taban "x" e bağlıdır. Klasik örnek, size herhangi bir ders kitabında veya herhangi bir derste verilecek:

Üstel bir fonksiyonun türevi nasıl bulunur?

Az önce ele alınan tekniği - logaritmik türevi - kullanmak gereklidir. Her iki tarafa da logaritma asıyoruz:

Kural olarak, derece sağ taraftaki logaritmanın altından alınır:

Sonuç olarak, sağ tarafta, farklılaştırılacak iki işlevli bir ürünümüz var. standart formül .

Türevi buluyoruz, bunun için her iki parçayı da darbelerin altına alıyoruz:

Daha fazla eylemler basit:

Nihayet:

Bazı dönüşümler tamamen açık değilse, lütfen Örnek 11'deki açıklamaları dikkatlice yeniden okuyun.

AT pratik görevlerüstel fonksiyon her zaman dikkate alınan ders örneğinden daha karmaşık olacaktır.

Örnek 13

Bir fonksiyonun türevini bulun

Logaritmik türevi kullanıyoruz.

Sağ tarafta bir sabitimiz ve iki faktörün ürünü var - "x" ve "x'in logaritmasının logaritması" (logaritmanın altına başka bir logaritma yerleştirilmiştir). Bir sabitin türevini alırken, hatırladığımız gibi, onu hemen türevin işaretinden çıkarmak daha iyidir, böylece yoluna girmez; ve tabii ki bilindik kuralı uygulayın :

Gördüğünüz gibi, logaritmik türevi uygulama algoritması herhangi bir özel hile veya püf noktası içermez ve üstel fonksiyonun türevini bulmak genellikle "eziyet" ile ilişkilendirilmez.

Türev bulma işlemine diferansiyel denir.

En basit (ve çok basit olmayan) fonksiyonlar için türev bulma problemlerinin çözülmesinin bir sonucu olarak, türevi, argümanın artışına oranının limiti olarak tanımlayarak, bir türevler tablosu ortaya çıktı ve tam olarak belirli kurallar farklılaşma. Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) türev bulma alanında ilk çalışan kişilerdi.

Bu nedenle, zamanımızda herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının yukarıda belirtilen limitini hesaplamak gerekli değildir, sadece tabloyu kullanmak yeterlidir. türevler ve türev alma kuralları. Aşağıdaki algoritma türevi bulmak için uygundur.

Türevi bulmak için, kontur işaretinin altında bir ifadeye ihtiyacınız var basit işlevleri parçala ve hangi eylemlerin belirlendiğini (çarpım, toplam, bölüm) bu işlevler ilişkilidir. diğer türevler temel fonksiyonlar türevler tablosunda ve ürünün türevleri için formüller, toplam ve bölüm - farklılaşma kurallarında buluyoruz. İlk iki örnekten sonra türev tablosu ve türev kuralları verilmiştir.

örnek 1 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Farklılaşma kurallarından, fonksiyonların toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamı olduğunu öğreniyoruz, yani.

Türev tablosundan "X" in türevinin bire eşit olduğunu ve sinüsün türevinin kosinüs olduğunu öğreniyoruz. Bu değerleri türevlerin toplamında yerine koyuyoruz ve problemin koşulunun gerektirdiği türevi buluyoruz:

Örnek 2 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Sabit bir faktöre sahip ikinci terimin türevin işaretinden çıkarılabileceği toplamın bir türevi olarak farklılaştırın:

Hala bir şeyin nereden geldiğine dair sorular varsa, bunlar kural olarak türev tablosunu ve en basit türev kurallarını okuduktan sonra netleşir. Hemen onlara gidiyoruz.

Basit fonksiyonların türev tablosu

1. Bir sabitin (sayı) türevi. Fonksiyon ifadesinde bulunan herhangi bir sayı (1, 2, 5, 200...). Her zaman sıfır. Çok sık gerekli olduğu için bunu hatırlamak çok önemlidir.
2. Bağımsız değişkenin türevi. Çoğu zaman "x". Her zaman bire eşittir. Bu da hatırlamak önemlidir
3. Derecenin türevi. Problemleri çözerken, karekök olmayanları bir kuvvete dönüştürmeniz gerekir.
4. Bir değişkenin -1'in kuvvetine göre türevi
5. Karekökün türevi
6. Sinüs türevi
7. Kosinüs türevi
8. Teğet türevi
9. Kotanjantın türevi
10. Arksinüsün türevi
11. Ark kosinüsünün türevi
12. Ark teğetinin türevi
13. Ters tanjantın türevi
14. Doğal logaritmanın türevi
15. Logaritmik bir fonksiyonun türevi
16. Üslü sayının türevi
17. Üstel fonksiyonun türevi

Farklılaşma kuralları

1. Toplam veya farkın türevi
2. Bir ürünün türevi
2a. Sabit bir faktörle çarpılan bir ifadenin türevi
3. Bölümün türevi
4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Kural 1eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilir, sonra aynı noktada fonksiyonlar

ve

şunlar. fonksiyonların cebirsel toplamının türevi cebirsel toplam bu fonksiyonların türevleri.

Sonuçlar. İki türevlenebilir fonksiyon bir sabitle farklılık gösteriyorsa, türevleri, yani

Kural 2eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilirlerse, çarpımları da aynı noktada türevlenebilir olur.

ve

şunlar. iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin ve diğerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir.

Sonuç 1. sabit çarpan türevin işaretinden çıkarılabilir:

Sonuç 2. Birkaç türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi, faktörlerin her birinin ve diğerlerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir.

Örneğin, üç çarpan için:

Kural 3eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilir ve , o zaman bu noktada bölümleri de türevlenebilir.u/v ve

şunlar. iki fonksiyonun bir bölümünün türevi, payı paydanın ve payın türevi ile payın çarpımı arasındaki fark olan ve paydası önceki payın karesi olan bir kesre eşittir .

Diğer sayfalarda nereye bakmalı?

Çarpımın türevini ve içindeki bölümü bulurken gerçek görevler her zaman birkaç farklılaştırma kuralının aynı anda uygulanması gerekir, bu nedenle daha fazla örnek bu türevler hakkında - makalede"Bir çarpım ve bölümün türevi".

Yorum. Bir sabiti (yani bir sayıyı) toplamdaki bir terim ve sabit bir çarpan olarak karıştırmamalısınız! Bir terim olması durumunda türevi sıfıra eşittir ve sabit bir çarpan olması durumunda türevlerin işaretinden çıkarılır. BT tipik hata, meydana gelen İlk aşama türevleri öğreniyor, ancak birkaç bir-iki bileşenli örneği çözdükçe, ortalama bir öğrenci artık bu hatayı yapmıyor.

Ve eğer bir çarpımı veya bölümü farklılaştırırken, bir teriminiz varsa sen"v, burada sen- bir sayı, örneğin 2 veya 5, yani bir sabit, o zaman bu sayının türevi sıfıra eşit olacaktır ve bu nedenle tüm terim sıfıra eşit olacaktır (böyle bir durum örnek 10'da analiz edilmiştir) .

Başka yaygın hata - mekanik çözüm basit bir fonksiyonun türevi olarak karmaşık bir fonksiyonun türevi. Bu yüzden karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrı bir makaleye ayrılmıştır. Ama önce türevleri bulmayı öğreneceğiz basit fonksiyonlar.

Yol boyunca ifade dönüşümleri olmadan yapamazsınız. Bunu yapmak için, yeni Windows kılavuzlarında açmanız gerekebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler ve Kesirli işlemler .

Kuvvetli ve köklü türevlere çözüm arıyorsanız, yani fonksiyon göründüğünde , ardından "Küslü ve köklü kesirlerin toplamının türevi" dersini izleyin.

gibi bir göreviniz varsa , o zaman "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" dersindesiniz.

Adım adım örnekler - türev nasıl bulunur

Örnek 3 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Fonksiyon ifadesinin bölümlerini belirliyoruz: ifadenin tamamı ürünü temsil ediyor ve çarpanları, terimlerinden birinin sabit bir faktör içerdiği toplamlardır. Çarpım farklılaştırma kuralını uyguluyoruz: iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin ve diğerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir:

Daha sonra, toplamın farklılaşma kuralını uyguluyoruz: cebirsel fonksiyonlar toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir. Bizim durumumuzda, her toplamda, eksi işaretli ikinci terim. Her toplamda, türevi bire eşit olan bağımsız bir değişken ve türevi sıfıra eşit olan bir sabit (sayı) görüyoruz. Böylece, "x" bire, eksi 5 - sıfıra dönüşür. İkinci ifadede "x" 2 ile çarpıldığı için "x"in türevi ile aynı birimle ikiyi çarpıyoruz. biz alırız aşağıdaki değerler türevler:

Bulunan türevleri ürünlerin toplamında yerine koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği tüm fonksiyonun türevini elde ederiz:

Örnek 4 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bölümün türevini bulmamız isteniyor. Bir bölümü farklılaştırmak için formülü uyguluyoruz: iki fonksiyonun bir bölümünün türevi, payı paydanın çarpımı ile payın ve payın türevi ile paydanın türevi arasındaki fark olan bir kesre eşittir ve payda, önceki payın karesidir. Biz:

Örnek 2'de paydaki çarpanların türevini zaten bulmuştuk. Mevcut örnekte paydaki ikinci çarpan olan çarpımın eksi işaretiyle alındığını da unutmayalım:

Bir fonksiyonun türevini bulmanız gereken, sürekli bir kök ve derece yığınının olduğu bu tür problemlere çözüm arıyorsanız, örneğin, o zaman sınıfa hoşgeldin "Küslü ve köklü kesirler toplamının türevi" .

Sinüs, kosinüs, teğet ve diğerlerinin türevleri hakkında daha fazla şey öğrenmeniz gerekiyorsa trigonometrik fonksiyonlar, yani, işlev şuna benzediğinde , o zaman dersin var "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" .

Örnek 5 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, çarpanlarından biri bağımsız değişkenin karekökü olan ve türevini türev tablosundan öğrendiğimiz bir çarpım görüyoruz. Ürün farklılaştırma kuralına göre ve tablo değeri elde ettiğimiz karekökün türevi:

Örnek 6 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, böleni bağımsız değişkenin karekökü olan bölümü görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uyguladığımız bölümün türev kuralına ve karekökün türevinin tablosal değerine göre şunu elde ederiz:

Paydaki kesri ortadan kaldırmak için pay ve paydayı ile çarpın.

Bu derste, türev alma formüllerini ve kurallarını nasıl uygulayacağımızı öğreneceğiz.

Örnekler. Fonksiyonların türevlerini bulun.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Kuralı Uygulamak ben, formüller 4, 2 ve 1. Biz:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Aynı formülleri ve formülü kullanarak benzer şekilde çözüyoruz 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Kuralı Uygulamak ben, formüller 3, 5 ve 6 ve 1.

Kuralı Uygulamak IV, formüller 5 ve 1 .

Beşinci örnekte, kurala göre ben toplamın türevi türevlerin toplamına eşittir ve az önce 1. terimin türevini bulduk (örnek 4 ), bu nedenle, türevleri bulacağız 2. ve 3 üncüŞartlar ve 1. için terim, sonucu hemen yazabiliriz.

Farklılaşmak 2. ve 3 üncü formüle göre terimler 4 . Bunu yapmak için, paydalarda üçüncü ve dördüncü derecelerin köklerini üslere dönüştürüyoruz. olumsuz göstergeler ve sonra, tarafından 4 formül, kuvvetlerin türevlerini buluyoruz.

Bakmak verilen örnek ve sonuç. Deseni yakaladın mı? İyi. Bu, aldığımız anlamına gelir yeni formül ve türev tablomuza ekleyebiliriz.

Altıncı örneği çözelim ve bir formül daha türetelim.

kuralı kullanıyoruz IV ve formül 4 . Ortaya çıkan kesirleri azaltıyoruz.

biz bakarız bu işlev ve türevi hakkında. Elbette kalıbı anladınız ve formülü adlandırmaya hazırsınız:

Yeni formüller öğrenmek!

Örnekler.

1. Argüman artışını ve işlev artışını y= bulun x2, eğer başlangıç ​​değeri argüman eşitti 4 ve yeni 4,01 .

Çözüm.

Yeni bağımsız değişken değeri x \u003d x 0 + Δx. Verileri değiştirin: 4.01=4+Δx, dolayısıyla bağımsız değişkenin artışı Δх=4.01-4=0.01. Bir fonksiyonun artışı, tanımı gereği, fonksiyonun yeni ve önceki değerleri arasındaki farka eşittir, yani. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). bir fonksiyonumuz olduğuna göre y=x2, sonra Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Cevap: bağımsız değişken artışı Δх=0.01; fonksiyon artışı Δу=0,0801.

Fonksiyon artışını başka bir şekilde bulmak mümkündü: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.

2. Fonksiyon grafiğine teğetin eğim açısını bulun y=f(x) noktada x 0, eğer f "(x 0) \u003d 1.

Çözüm.

Temas noktasındaki türevin değeri x 0 ve teğetin eğiminin teğetinin değeridir ( geometrik anlamda türev). Sahibiz: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °,çünkü tg45°=1.

Cevap: bu fonksiyonun grafiğine teğet, Öküz ekseninin pozitif yönü ile şuna eşit bir açı oluşturur: 45°.

3. Bir fonksiyonun türevi için formülü türetme y=xn.

farklılaşma bir fonksiyonun türevini bulma eylemidir.

Türevleri bulurken, türev derecesi için formül türettiğimiz gibi, türevin tanımına göre türetilen formüller kullanılır: (x n)" = nx n-1.

İşte formüller.

türev tablosu sözlü formülasyonları telaffuz ederek ezberlemek daha kolay olacaktır:

1. Türev sabit değer sıfıra eşittir.

2. X vuruşu bire eşittir.

3. Sabit çarpan, türevin işaretinden çıkarılabilir.

4. Bir derecenin türevi, bu derecenin üssünün aynı tabana sahip derece ile çarpımına eşittir, ancak üs bir eksiktir.

5. Kökün türevi, bir bölü aynı köklerin ikisine eşittir.

6. Birlik bölü x'in türevi, eksi bir bölü x karedir.

7. Sinüs'ün türevi kosinüs'e eşittir.

8. Kosinüsün türevi eksi sinüse eşittir.

9. Teğetin türevi, bir bölü kosinüsün karesine eşittir.

10. Kotanjantın türevi eksi bir bölü sinüsün karesidir.

Öğretiriz farklılaşma kuralları.

1. Cebirsel toplamın türevi, türev terimlerinin cebirsel toplamına eşittir.

2. Çarpımın türevi, birinci faktörün türevinin ikinci ile çarpımı artı birinci faktörün ürünü ile ikincinin türevinin çarpımına eşittir.

3. "Y"nin "ve"ye bölünen türevi, payda "y'nin "ve" eksi "y ile çarpılan bir vuruş olduğu, bir vuruşla çarpıldığı" ve payda - "ve kare" olduğu bir kesre eşittir. ”.

4. özel durum formüller 3.

Birlikte öğrenelim!

1 sayfadan 1. sayfa 1