Trigonometrik ifadelerin 16 dönüşümü. Ders "Trigonometrik ifadeleri basitleştirme"

Ders 1

Ders: 11. sınıf (Birleşik Devlet Sınavına hazırlık)

Basitleştirme trigonometrik ifadeler.

Basit trigonometrik denklemlerin çözümü. (2 saat)

Hedefler:

• Öğrencilerin trigonometri formüllerinin kullanımı ve basit trigonometrik denklemlerin çözümü ile ilgili bilgi ve becerilerini sistematikleştirin, genelleştirin ve genişletin.

Ders için ekipmanlar:

Ders yapısı:

1. Organizasyon anı
2. Dizüstü bilgisayarlarda test. Sonuçların tartışılması.
3. Trigonometrik ifadeleri basitleştirme
4. Basit trigonometrik denklemleri çözme
5. Bağımsız iş.
6. Ders özeti. Ev ödevinin açıklanması.

1. Organizasyon anı. (2 dakika.)

Öğretmen dinleyicileri selamlar, dersin konusunu duyurur, daha önce trigonometri formüllerinin tekrarlanması görevinin verildiğini hatırlatır ve öğrencileri sınava hazırlar.

2. Test etme. (15 dk + 3 dk tartışma)

Amaç trigonometrik formüller hakkındaki bilgiyi ve bunları uygulama yeteneğini test etmektir. Her öğrencinin masasında testin bir versiyonunun bulunduğu bir dizüstü bilgisayar vardır.

Çok sayıda seçenek olabilir, bunlardan birine örnek vereceğim:

Ben seçeneğim.

İfadeleri basitleştirin:

a) temel trigonometrik kimlikler

1. günah 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) toplama formülleri

3. sin5x - sin3x;

c) Bir çarpımı toplama dönüştürmek

6. 2sin8y cos3y;

d) çift açı formülleri

7. 2sin5x cos5x;

e) yarım açı formülleri

f) üçlü açı formülleri

Ve) evrensel ikame

h) derecede azalma

16. çünkü 2 (3x/7);

Öğrenciler cevaplarını dizüstü bilgisayarda her formülün yanında görürler.

Yapılan iş bilgisayar tarafından anında kontrol edilir. Sonuçlar herkesin görebileceği geniş bir ekranda görüntülenir.

Ayrıca çalışmalar bittikten sonra doğru cevaplar öğrencilerin dizüstü bilgisayarlarında gösterilmektedir. Her öğrenci nerede hata yapıldığını ve hangi formülleri tekrarlaması gerektiğini görür.

3. Trigonometrik ifadelerin basitleştirilmesi. (25 dk.)

Amaç uygulamayı tekrarlamak, pratik yapmak ve pekiştirmektir. temel formüller trigonometri. Birleşik Devlet Sınavından B7 problemlerini çözme.

Bu aşamada, sınıfın güçlü öğrencilerden (sonraki testlerle bağımsız olarak çalışan) ve öğretmenle çalışan zayıf öğrencilerden oluşan gruplara bölünmesi tavsiye edilir.

Güçlü öğrenciler için ödev (önceden hazırlanmış) basılı esas). Ana vurgu indirgeme formülleri üzerindedir ve çift ​​açı Birleşik Devlet Sınavı 2011'e göre.

İfadeleri basitleştirin (güçlü öğrenciler için):

Aynı zamanda öğretmen zayıf öğrencilerle çalışır, öğrencilerin dikte ettiği ekrandaki görevleri tartışır ve çözer.

Hesaplamak:

5) sin(270° - α) + cos (270° + α)

6)

Basitleştirin:

Güçlü grubun çalışmalarının sonuçlarını tartışmanın zamanı gelmişti.

Cevaplar ekranda beliriyor ve ayrıca bir video kamera kullanılarak 5 farklı öğrencinin çalışmaları görüntüleniyor (her biri için bir görev).

Zayıf grup ise çözümün şartını ve yöntemini görür. Tartışma ve analizler sürüyor. Kullanma teknik araçlarçabuk olur.

4. Basit trigonometrik denklemlerin çözümü. (30 dk.)

Amaç, en basit trigonometrik denklemlerin çözümünü tekrarlamak, sistematize etmek, genelleştirmek ve köklerini yazmaktır. B3 probleminin çözümü.

Herhangi bir trigonometrik denklem, onu nasıl çözersek çözelim, en basitine götürür.

Öğrenciler görevi tamamlarken özel durum ve denklemlerin köklerini yazmaya dikkat etmelidir. Genel görünüm ve son denklemdeki köklerin seçimi.

Denklemleri çözün:

Cevabınız olarak en küçük pozitif kökü yazın.

5. Bağımsız çalışma (10 dk.)

Amaç, edinilen becerileri test etmek, sorunları, hataları ve bunları ortadan kaldırmanın yollarını belirlemektir.

Çok seviyeli çalışma öğrencinin tercihine sunulur.

Seçenek "3"

1) İfadenin değerini bulun

2) 1 - sin 2 3α - cos 2 3α ifadesini basitleştirin

3) Denklemi çözün

"4" seçeneği

1) İfadenin değerini bulun

2) Denklemi çözün Cevabınızdaki en küçük pozitif kökü yazın.

"5" seçeneği

1) Aşağıdaki durumda tanα'yı bulun:

2) Denklemin kökünü bulun Cevabınız olarak en küçük pozitif kökü yazın.

6. Ders özeti (5 dk.)

Öğretmen derste tekrarlanan ve pekiştirilenleri özetler trigonometrik formüller, basit trigonometrik denklemlerin çözümü.

Ödevler bir sonraki derste rastgele kontrol ile (önceden basılı olarak hazırlanır) verilir.

Denklemleri çözün:

9)

10) Cevabınızda en küçük pozitif kökü belirtin.

Ders 2

Ders: 11. sınıf (Birleşik Devlet Sınavına hazırlık)

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri. Kök seçimi. (2 saat)

Hedefler:

• Çeşitli türdeki trigonometrik denklemlerin çözümüne ilişkin bilgiyi genelleştirin ve sistematikleştirin.
• Gelişimi teşvik edin matematiksel düşünmeöğrencilere gözlem yapma, karşılaştırma, genelleme, sınıflandırma yeteneği kazandırılır.
• Öğrencileri zihinsel aktivite sürecindeki zorlukların üstesinden gelmeye, öz kontrole ve aktivitelerinin iç gözlemini yapmaya teşvik edin.

Ders için ekipmanlar: KRMu, her öğrenci için dizüstü bilgisayarlar.

Ders yapısı:

1. Organizasyon anı
2. D/z ve benliğin tartışılması. son dersten çalışma
3. Trigonometrik denklemleri çözme yöntemlerinin gözden geçirilmesi.
4. Trigonometrik denklemleri çözme
5. Trigonometrik denklemlerde köklerin seçimi.
6. Bağımsız iş.
7. Ders özeti. Ev ödevi.

1. Organizasyon anı (2 dk.)

Öğretmen dinleyicileri selamlar, dersin konusunu ve çalışma planını duyurur.

2.a) Analiz Ev ödevi(5 dakika.)

Amaç yürütmeyi kontrol etmektir. Bir çalışma bir video kamera kullanılarak ekranda görüntülenir, geri kalanı öğretmen kontrolü için seçici olarak toplanır.

b) Analiz bağımsız iş(3 dakika.)

Amaç, hataları analiz etmek ve bunların üstesinden gelmenin yollarını göstermektir.

Cevaplar ve çözümler ekranda gösteriliyor; öğrencilere çalışmaları önceden dağıtılıyor. Analiz hızla ilerliyor.

3. Trigonometrik denklemleri çözme yöntemlerinin gözden geçirilmesi (5 dk.)

Amaç trigonometrik denklemleri çözme yöntemlerini hatırlamaktır.

Öğrencilere trigonometrik denklemleri çözmek için hangi yöntemleri bildiklerini sorun. Temel (sıklıkla kullanılan) yöntemler olarak adlandırılan yöntemlerin olduğunu vurgulayın:

• değişken değiştirme,
• çarpanlara ayırma,
• homojen denklemler,

ve uygulanan yöntemler vardır:

• Bir toplamı bir ürüne ve bir ürünü toplama dönüştürmek için formülleri kullanma,
• formüllere göre derecede azalma,
• evrensel trigonometrik ikame
• giriiş yardımcı açı,
• bazılarına göre çarpma trigonometrik fonksiyon.

Bir denklemin farklı şekillerde çözülebileceği de unutulmamalıdır.

4. Trigonometrik denklemlerin çözümü (30 dk.)

Amaç, Birleşik Devlet Sınavından C1 çözümüne hazırlanmak için bu konudaki bilgi ve becerileri genelleştirmek ve pekiştirmektir.

Her yöntemin denklemlerini öğrencilerle birlikte çözmenin uygun olduğunu düşünüyorum.

Öğrenci çözümü dikte eder, öğretmen tablete yazar ve tüm süreç ekranda görüntülenir. Bu, hafızanızda daha önce kapsanan materyali hızlı ve etkili bir şekilde hatırlamanıza olanak sağlayacaktır.

Denklemleri çözün:

1) 6cos değişkeninin değiştirilmesi 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) çarpanlara ayırma 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homojen denklemler günah 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) toplamı cos5x + cos7x = cos(π + 6x) çarpımına dönüştürmek

5) çarpımı 2sinx sin2x + cos3x = 0 toplamına dönüştürmek

6) sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5 derecesinin azaltılması

7) evrensel trigonometrik ikame sinx + 5cosx + 5 = 0.

Bu denklemi çözerken şunu unutmamak gerekir: Bu method sinüs ve kosinüsün yerini tg(x/2) aldığından tanım aralığının daralmasına yol açar. Bu nedenle cevabı yazmadan önce π + 2πn, n Z kümesindeki sayıların bu denklemin atları olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir.

8) √3sinx + cosx - √2 = 0 yardımcı açısının tanıtılması

9) bir trigonometrik fonksiyonla çarpma cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Trigonometrik denklemlerin köklerinin seçimi (20 dk.)

Üniversitelere girerken yoğun rekabet koşullarında sınavın ilk bölümünü çözmek tek başına yeterli olmadığından çoğu öğrencinin ikinci bölümdeki (C1, C2, C3) görevlere dikkat etmesi gerekir.

Bu nedenle dersin bu aşamasının amacı, daha önce çalışılan materyali hatırlamak ve Birleşik Devlet Sınavı 2011'deki C1 problemini çözmeye hazırlanmaktır.

Var olmak trigonometrik denklemler Cevabı yazarken köklerin seçilmesinin gerekli olduğu. Bunun nedeni bazı kısıtlamalardır, örneğin: kesrin paydası değildir sıfıra eşit, çift kökün altındaki ifade negatif değildir, logaritma işaretinin altındaki ifade pozitiftir, vb.

Bu tür denklemler denklem olarak kabul edilir artan karmaşıklık ve Birleşik Devlet Sınavının versiyonu ikinci bölümde, yani C1'dedir.

Denklemi çözün:

O halde bir kesir sıfıra eşittir kullanarak birim çember kökleri seçelim (bkz. Şekil 1)

Resim 1.

x = π + 2πn, n Z'yi elde ederiz

Cevap: π + 2πn, nZ

Ekranda köklerin seçimi renkli bir görüntüde bir daire üzerinde gösterilir.

Faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda çarpım sıfıra eşittir ve yay anlamını kaybetmez. Daha sonra

Birim çemberi kullanarak kökleri seçiyoruz (bkz. Şekil 2)

“Trigonometrik ifadelerin basitleştirilmesi” video dersi öğrencilerin çözme becerilerini geliştirmeyi amaçlamaktadır. trigonometrik problemler temel trigonometrik kimlikleri kullanma. Video derste trigonometrik özdeşlik türleri ve bunları kullanarak problem çözme örnekleri tartışılmaktadır. Başvuruyor görsel materyalÖğretmenin ders hedeflerine ulaşması daha kolay olur. Materyalin canlı sunumu ezberlemeyi teşvik eder önemli noktalar. Animasyon efektlerinin ve seslendirmenin kullanılması, materyali açıklama aşamasında öğretmenin yerini tamamen değiştirmenize olanak tanır. Böylece öğretmen bu görsel yardımı matematik derslerinde kullanarak öğretimin etkililiğini artırabilir.

Video dersinin başında konusu duyurulur. Sonra daha önce incelenen trigonometrik özdeşlikleri hatırlıyoruz. Ekran eşitlikleri gösterir sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, burada kϵZ için t≠π/2+πk, ctg t=cos t/sin t, t≠πk için doğru, burada kϵZ, tg t· ctg t=1, t≠πk/2 için, burada kϵZ, temel trigonometrik özdeşlikler olarak adlandırılır. Eşitliğin kanıtlanması veya bir ifadenin basitleştirilmesinin gerekli olduğu problemlerin çözümünde bu kimliklerin sıklıkla kullanıldığına dikkat çekiliyor.

Aşağıda bu kimliklerin problem çözmede uygulanmasına ilişkin örnekleri ele alıyoruz. İlk olarak, ifadeleri basitleştirme problemlerinin çözülmesinin düşünülmesi önerilmektedir. Örnek 1'de cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t ifadesini basitleştirmek gerekiyor. Örneği çözmek için önce parantezlerin dışına çıkarın ortak çarpançünkü 2 ton. Parantez içindeki bu dönüşüm sonucunda trigonometrinin ana kimliğinden değeri sin 2 t'ye eşit olan 1-cos 2 t ifadesi elde edilir. İfadeyi dönüştürdükten sonra, parantezlerden sin 2 t'nin başka bir ortak faktörünü çıkarmanın mümkün olduğu açıktır, bundan sonra ifade şöyle olur: günah yazın 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Aynı temel özdeşlikten parantez içindeki ifadenin değeri 1'e eşit çıkıyor. Sadeleştirme sonucunda cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t elde ediyoruz.

Örnek 2'de maliyet/(1- sint)+ maliyet/(1+ sint) ifadesinin basitleştirilmesi gerekmektedir. Her iki kesrin payları da ifade maliyetini içerdiğinden ortak çarpan olarak parantez dışında çıkarılabilir. Daha sonra parantez içindeki kesirler azaltılır. ortak paydaçarpma (1- sint)(1+ sint). getirdikten sonra benzer terimler pay 2 olarak kalır ve payda 1 - sin 2 t olarak kalır. Ekranın sağ tarafında sin 2 t+cos 2 t=1 temel trigonometrik özdeşlik hatırlanır. Bunu kullanarak cos 2 t kesrinin paydasını buluyoruz. Kesirleri indirdikten sonra maliyet/(1-sint)+ maliyet/(1+ sint)=2/maliyet ifadesinin basitleştirilmiş halini elde ederiz.

Daha sonra, trigonometrinin temel kimlikleri hakkında edinilen bilgileri kullanan kimlik kanıtlarının örneklerini ele alacağız. Örnek 3'te (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t özdeşliğini kanıtlamak gereklidir. Ekranın sağ tarafında ispat için gerekli olacak üç kimlik görüntülenir - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t ve kısıtlamalarla birlikte tg t=sin t/cost t. Özdeşliği kanıtlamak için önce parantezler açılır, ardından ana trigonometrik özdeşliğin tg t·ctg t=1 ifadesini yansıtan bir çarpım oluşturulur. Daha sonra kotanjant tanımındaki özdeşliğe göre ctg 2 t dönüştürülür. Dönüşümler sonucunda 1-cos 2 t ifadesi elde edilir. Ana kimliği kullanarak ifadenin anlamını buluruz. Böylece (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t olduğu kanıtlanmıştır.

Örnek 4'te tg t+ctg t=6 ise tg 2 t+ctg 2 t ifadesinin değerini bulmanız gerekir. İfadeyi hesaplamak için önce eşitliğin sağ ve sol taraflarının karesini alın (tg t+ctg t) 2 =6 2. Kısaltılmış çarpma formülü ekranın sağ tarafında çağrılır. İfadenin sol tarafındaki parantezleri açtıktan sonra tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t toplamı oluşturulur ve bunu dönüştürmek için trigonometrik özdeşliklerden birini uygulayabilirsiniz tg t·ctg t=1 şekli ekranın sağ tarafında çağrılır. Dönüşüm sonrasında tg 2 t+ctg 2 t=34 eşitliği elde edilir. Eşitliğin sol tarafı problemin koşuluna denk geldiğinden cevap 34 olur. Problem çözüldü.

Geleneksel olarak kullanılması için “Trigonometrik ifadelerin basitleştirilmesi” video dersi önerilir. okul dersi matematik. Materyal aynı zamanda uygulamayı yapan öğretmen için de yararlı olacaktır. uzaktan Eğitim. Trigonometrik problemleri çözme becerilerini geliştirmek.

METİN KOD ÇÖZME:

"Trigonometrik ifadelerin basitleştirilmesi."

Eşitlikler

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinüs kare te artı kosinüs kare te eşittir bir)

2)tgt =, t ≠ + πk için, kϵZ (teğet te, sinüs te'nin kosinüs te'ye oranına eşittir; te, pi'ye iki artı pi ka eşit değildir, ka, zet'e aittir)

3)ctgt = , t ≠ πk için, kϵZ (kotanjant te, kosinüs te'nin sinüs te'ye oranına eşittir; te, pi ka'ya eşit değildir, ka, zet'e aittir).

4) tgt ∙ ctgt = 1 için t ≠ , kϵZ (te, ka tepe noktasına eşit olmadığında teğet te'nin kotanjant te ile çarpımı bire eşittir, ikiye bölünür, ka zet'e aittir)

temel trigonometrik özdeşlikler denir.

Genellikle trigonometrik ifadelerin basitleştirilmesinde ve kanıtlanmasında kullanılırlar.

Trigonometrik ifadeleri basitleştirmek için bu formülleri kullanma örneklerine bakalım.

ÖRNEK 1. İfadeyi basitleştirin: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (ifade a kosinüs kare te eksi dördüncü derece te kosinüs artı dördüncü derece te sinüs).

Çözüm. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + günah 4 t = sin 2 t (cos 2 t + günah 2) t) = günah 2 t 1= günah 2 t

(ortak faktör kosinüs kare te'yi çıkarırız, parantez içinde birlik ile kare sinüs te arasındaki farkı elde ederiz, bu da birinci özdeşliğin karesi sinüs te'ye eşittir. Dördüncü kuvvet sinüs te'nin toplamını alırız. çarpım kosinüs kare te ve sinüs kare te parantezlerin dışındaki ortak faktör sinüs kare te'yi çıkarıyoruz, parantez içinde kosinüs ve sinüsün karelerinin toplamını alıyoruz; trigonometrik özdeşlik bire eşittir. Sonuç olarak sinüs te'nin karesini elde ederiz.

ÖRNEK 2. İfadeyi basitleştirin: + .

(be ifadesi, paydadaki birinci kosinüs te'nin payındaki iki kesrin toplamıdır, payda bir eksi sinüs te, ikinci kosinüs te'nin payı, ikincinin paydasındaki artı sinüs te).

(Parantezlerden kosinüs te ortak faktörünü alalım ve parantez içinde onu bir eksi sinüs te ile bir artı sinüs te'nin çarpımı olan ortak bir paydaya getirelim.

Payda şunu elde ediyoruz: bir artı sinüs te artı bir eksi sinüs te, benzerlerini veriyoruz, benzerleri getirdikten sonra pay ikiye eşit oluyor.

Paydada kısaltılmış çarpma formülünü (kareler farkı) uygulayabilir ve temel trigonometrik özdeşliğe göre birlik ile sinüs te'nin karesi arasındaki farkı elde edebilirsiniz.

kosinüs te'nin karesine eşittir. Kosinüs te ile indirgedikten sonra son cevabı elde ederiz: ikiye bölünen kosinüs te).

Trigonometrik ifadeleri ispatlarken bu formülleri kullanma örneklerine bakalım.

ÖRNEK 3. Özdeşliği kanıtlayın (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (teğet te ve sinüs te'nin kareleri arasındaki farkın, kotanjant te'nin karesi ile çarpımı, şu ifadenin karesine eşittir: sinüs te).

Kanıt.

Haydi dönüşelim Sol Taraf eşitlik:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - çünkü 2 t = günah 2 t

(Parantezleri açalım; daha önce elde edilen ilişkiden teğet te'nin karelerinin kotanjant te ile çarpımının bire eşit olduğu bilinmektedir. Kotanjant te'yi hatırlayın orana eşit kosinüs te x sinüs te, yani kotanjantın karesi, kosinüs te'nin karesinin sinüs te'nin karesine oranıdır.

Sinüs kare te ile indirgeme sonrasında, birlik ile kosinüs kare te arasındaki farkı elde ederiz; bu, sinüs kare te)'ye eşittir. Q.E.D.

ÖRNEK 4. tgt + ctgt = 6 ise tg 2 t + ctg 2 t ifadesinin değerini bulun.

(teğet ve kotanjantın toplamı altı ise, teğet te ve kotanjant te'nin karelerinin toplamı).

Çözüm. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Orijinal eşitliğin her iki tarafının karesini alalım:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (teğet te ve kotanjant te'nin toplamının karesi altının karesine eşittir). Kısaltılmış çarpma formülünü hatırlayalım: İki büyüklüğün toplamının karesi kareye eşit birinci artı birincinin ve ikincinin çarpımının iki katı artı ikincinin karesi. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 elde ederiz (teğet kare te artı teğet te ve kotanjant te çarpımının iki katı artı kotanjant kare te eşittir otuz altı) .

Teğet te ve kotanjant te'nin çarpımı bire eşit olduğundan, tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (teğet te ve kotanjant te ve ikinin karelerinin toplamı otuz altıya eşittir),