Tanım: Bir elips, bir düzlem üzerindeki bir noktalar kümesidir, her birinin verilen iki noktaya olan mesafelerinin toplamı sabittir.

M, elipsin rastgele bir noktasıdır. O - F 1 F 2'nin ortası. F 1 F 2 \u003d 2 sn. Mesafelerin toplamı 2a'dır Koordinat sistemini Ox F 1, F 2'den geçecek ve Oy 2s'yi ikiye bölecek şekilde seçiyoruz.

F 1 M+ F 2 M=2a. - ur-e elips.

Dönüştürelim: ; 2a>2c, a>c,a 2 -c 2 =b 2

Açıktır ki, elipsin her noktası bu denklemi sağlamaktadır. Ama beri dönüşüm sürecinde her iki parçanın da karesini iki kez aldık, sonra ekstra puan elde edilip edilmediğini kontrol etmek gerekiyor. Başka bir deyişle, denklemdeki (4) her noktanın bir elipse ait olduğunu kontrol etmeniz gerekir. Önce Denklem (4)'e karşılık gelen çizginin şekli hakkında bazı açıklamalar yapalım.

. Doğrunun orijine göre simetrik olduğu denklemlerden görülebilir. Yükselmekle birlikte 0'dan a'ya, b'den 0'a azalır. Eğrinin noktaları dikdörtgenin içinde yer alır.

Şimdi elde edilen denklemle tanımlanan çizginin her noktasının elipse ait olduğunu kontrol edelim. Bunu yapmak için, M(x 0, y 0) noktasının koordinatları (4)'ü sağlıyorsa F 1 M+ F 2 M=2a olduğunu göstermek gerekir.

Böylece ekstra puan ortaya çıkmadı.

Sayılar Ve - elipsin ana ve küçük yarı eksenleri F 1, F 2 - elipsin odakları.

-de
alırız
- daire denklemi.

Bir elipsin parametrik denklemleri: Yarıçaplı iki daire oluşturun Ve orijin merkezlidir. O noktasından Öküz'e t açısıyla eğimli bir ışın çiziyoruz. B'den geçen yatay bir çizgi ve A'dan geçen dikey bir çizgi çizelim. t'yi 0'dan 2 π'ye değiştirerek, M noktası bir elipsi tanımlayacaktır.
- elips denkleminin parametreleri. a=b için elde ederiz
- parametrik denklemler daireler.

Tanım. Bir elipsin eksantrikliği, odaklar arasındaki mesafenin yarısının ana ekseninin uzunluğuna oranıdır: .

Çünkü
, buradan < 1.
, buradan,

Yorum: Bir elipsin eksantrikliği, uzamasının bir ölçüsü olarak düşünülebilir. Eksantriklik ne kadar büyükse, oran (elipsin küçük ekseninin ana yarı eksenine oranı) o kadar küçüktür.

hiperbolün eksantrikliği.

Tanım: Bir hiperbol, bir düzlemdeki noktaların yeridir ve bu düzlemin odaklar olarak adlandırılan iki sabit F 1 ve F 2 noktasına olan uzaklıklarının mutlak değeri sabit bir değerdir ve 0'a eşit değildir.

Yine F 1 F 2 segmentinin ortasındaki koordinat eksenlerini ve orijini seçiyoruz. F 1 F 2 mesafesi 2 s'ye eşittir. Uzaklık farkını 2a ile gösterelim.

Elimizdeki tanımdan:
. 2a<2c, а

VE mem:

karesini alalım.

yine bir meydanda. Basit dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz:

Her iki tarafı da bölerek
alırız:
.

Bir elips durumunda olduğu gibi, çift kareye rağmen ekstra puan almayacağımızı kontrol etmek gerekir. Ve bu nedenle denklem (1) bir hiperbolün denklemidir.

Önce denklem (1) ile tanımlanan çizginin bazı özelliklerini not edelim. Denklem (1) şunu ima eder:
.

Çizgi (1), koordinat eksenleri ve orijine göre simetriktir. açık ki
. Yani grupta
eğri noktası yoktur. Bu nedenle eğri, biri yarım düzlemde bulunan iki ayrı koldan oluşur.
(sağ dal) ve ikincisi - yarım düzlemde -
(sol dal).

М(х 0 ,у 0) denklem (1) tarafından tanımlanan çizginin rastgele bir noktası olsun.
. bunu ispatlarsak
, o zaman denklemin (1) bir hiperbolün denklemi olduğunu ispatlayacağız.

sonra y 0'ı bu formülde yerine koyarız, parantezleri açarız, benzerlerini veririz ve bunu dikkate alarak
her kök altında tam kareler seçin. Sonuç olarak, şunu elde ederiz:
. İzin vermek
(sağ dalın noktaları için), o zaman.

-de
(sol dalın noktaları için) o zaman.

Böylece . anladık
. Yani denklem (1) bir hiperbolün denklemidir. Ekstra puan yoktu.

a sayısına hiperbolün gerçek yarı ekseni, b sayısına hayali yarı eksen denir. Bir hiperbolün simetri ekseni ile kesişme noktalarına hiperbolün köşeleri denir. F 1 ve F 2 noktaları hiperbolün odak noktalarıdır.

HAKKINDA
Hiperbol formülünün bir özelliğini daha not edelim. Bir hiperbol ile birlikte bir çift düz çizgi düşünün.
. İlk çeyrekte, aynı apsis ile, hiperbolün noktalarının ordinatları, çizginin karşılık gelen noktalarının karşılık gelen ordinatlarından daha azdır, çünkü
. , Çünkü . Onlar. apsiste sınırsız bir artışla hiperbolün noktaları, düz çizginin karşılık gelen noktalarına mümkün olduğunca yakın yaklaşır
. Simetri nedeniyle, hiperbolün diğer çeyreklerdeki noktaları, düz çizgilerin noktalarına sonsuza kadar yaklaşır.
.

doğrudan
hiperbolün asimptotlarıdır. Hiperbolün asimptotları, hiperbolün simetri eksenleri etrafında simetrik olarak yerleştirilmiş kenarları 2a ve 2b olan bir dikdörtgenin köşegenleri boyunca yönlendirilir.

a=b ise hiperbolün denklemi şu şekli alır:
. Böyle bir hiperbole ikizkenar denir.

Bir hiperbolün eksantrikliği. C hiperbolün odakları arasındaki mesafenin yarısı ve hiperbolün gerçek yarı ekseni olsun.

Tanım: Bir hiperbolün eksantrikliği miktardır .

c, a, b arasındaki ilişki göz önüne alındığında şunu elde ederiz:
. Hiperbolün eksantrikliği 1'den büyüktür.

Yorum: Bir hiperbolün eksantrikliği, asimptotları arasındaki açının açıklığının boyutu olarak düşünülebilir, çünkü
, burada φ, hiperbolün asimptotları arasındaki açıdır.

Tanım 7.1. F 1 ve F 2 sabit noktalarına olan uzaklıklarının toplamının belirli bir sabit olduğu düzlem üzerindeki tüm noktaların kümesine denir. elips.

Bir elipsin tanımı, onu geometrik olarak oluşturmanın aşağıdaki yolunu verir. Düzlemde iki F 1 ve F 2 noktasını sabitleriz ve negatif olmayan bir sabit değeri 2a ile gösteririz. F 1 ve F 2 noktaları arasındaki mesafe 2c'ye eşit olsun. 2a uzunluğunda uzamayan bir ipliğin, örneğin iki iğne yardımıyla F 1 ve F 2 noktalarında sabitlendiğini hayal edin. Bunun ancak a ≥ c için mümkün olduğu açıktır. İpliği bir kalemle çekerek, elips olacak bir çizgi çizin (Şek. 7.1).

Yani a ≥ c ise tanımlanan küme boş değildir. a = c olduğunda, elips F 1 ve F 2 uçlarına sahip bir parçadır ve c = 0 olduğunda, yani bir elipsin tanımında belirtilen sabit noktalar çakışırsa, bu a yarıçaplı bir dairedir. Bu dejenere durumları göz ardı ederek, kural olarak a > c > 0 olduğunu varsayacağız.

Elips tanımı 7.1'deki (bkz. Şekil 7.1) sabit noktalar F 1 ve F 2 olarak adlandırılır. elips hileleri, aralarındaki mesafe, 2c ile gösterilir, - odak uzaklığı ve F 1 M ve F 2 M bağlantı segmentleri keyfi nokta Odaklarıyla bir elips üzerinde M, - odak yarıçapı.

Elips biçimi tamamen |F 1 F 2 | odak uzaklığı tarafından belirlenir. = 2с ve parametre a ve düzlemdeki konumu - bir çift nokta ile F 1 ve F 2 .

Bir elipsin tanımından, F 1 ve F 2 odaklarından geçen düz bir çizgi hakkında ve ayrıca F 1 F 2 segmentini ikiye bölen ve ona dik olan düz bir çizgi hakkında simetrik olduğu sonucu çıkar (Şekil 7.2, a). Bu çizgiler denir elips eksenleri. Kesiştikleri O noktası, elipsin simetri merkezidir ve buna denir. elipsin merkezi ve elipsin simetri eksenleriyle kesişme noktaları (Şekil 7.2, a'daki A, B, C ve D noktaları) - elipsin köşeleri.

a sayısı denir bir elipsin yarı ana ekseni, ve b = √ (a 2 - c 2) - onun yarı küçük eksen. c > 0 için ana yarı eksen a'nın, elipsin merkezinden elipsin odaklarıyla aynı eksen üzerindeki köşelerine olan mesafeye eşit olduğunu görmek kolaydır (Şekil'deki A ve B köşeleri). 7.2, a) ve küçük yarı eksen b, merkez elipsin diğer iki köşesine olan mesafeye eşittir (Şekil 7.2, a'daki C ve D köşeleri).

Elips denklemi. Odak noktaları ana eksen 2a olan F 1 ve F 2 noktalarında olan düzlem üzerinde bir elips düşünün. Odak uzaklığı 2c olsun, 2c = |F 1 F 2 |

Düzlemde dikdörtgen bir Oxy koordinat sistemi seçiyoruz, böylece orijini elipsin merkeziyle çakışıyor ve odaklar üzerinde apsis(Şekil 7.2, b). Bu koordinat sistemi denir kanonik söz konusu elips için ve karşılık gelen değişkenler kanonik.

Seçilen koordinat sisteminde odakların F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) koordinatları vardır. Noktalar arasındaki uzaklık formülünü kullanarak |F 1 M| koşulunu yazıyoruz. + |F 2 M| = 2a koordinatlarda:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Bu denklem elverişsizdir çünkü iki karekök içerir. Öyleyse dönüştürelim. Denklem (7.2)'deki ikinci radikali şuna aktaralım: Sağ Taraf ve karesini alın:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Braketleri açtıktan ve dökümü yaptıktan sonra benzer terimler alırız

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

burada ε = c/a. İkinci radikali de kaldırmak için kare alma işlemini tekrarlıyoruz: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 veya girilen ε parametresinin değeri verildiğinde (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . a 2 - c 2 = b 2 > 0 olduğundan, o zaman

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Denklem (7.4), elips üzerinde uzanan tüm noktaların koordinatları ile sağlanır. Ancak bu denklemi türetirken eşdeğer olmayan dönüşümler kullanıldı. orijinal denklem(7.2) - iki gönye alma, çıkarma kare radikaller. Bir denklemin karesini almak eşdeğer dönüşüm, her iki kısmı da miktarlar içeriyorsa aynı işaret, ancak dönüşümlerimizde bunu kontrol etmedik.

Aşağıdakileri dikkate alırsak, dönüşümlerin denkliğini kontrol edemeyebiliriz. Nokta çifti F 1 ve F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, düzlemde bu noktalarda odakları olan bir elips ailesi tanımlar. F 1 F 2 segmentinin noktaları dışında düzlemin her noktası, belirtilen ailenin bazı elipslerine aittir. Bu durumda, odak yarıçaplarının toplamı benzersiz bir şekilde belirli bir elipsi belirlediğinden, iki elips kesişmez. Bu nedenle, tarif edilen kavşaksız elips ailesi, F 1 F 2 segmentinin noktaları dışında tüm düzlemi kapsar. Koordinatları a parametresinin belirli bir değeri ile denklemi (7.4) karşılayan bir nokta kümesini ele alalım. Bu küme birkaç elips arasında dağıtılabilir mi? Kümenin bazı noktaları, yarı büyük ekseni a olan bir elipse aittir. Bu kümede yarı büyük ekseni a olan bir elips üzerinde uzanan bir nokta olsun. Daha sonra bu noktanın koordinatları denkleme uyar

onlar. (7.4) ve (7.5) denklemlerinin sahip olduğu genel çözümler. Ancak, sistemin doğrulandığını doğrulamak kolaydır.

için ã ≠ a'nın çözümü yoktur. Bunu yapmak için, örneğin x'i ilk denklemden çıkarmak yeterlidir:

hangi dönüşümlerden sonra denkleme yol açar

ã ≠ a için çözümü olmayan, çünkü . Yani (7.4), yarı ana ekseni a > 0 ve küçük yarı ekseni b = √ (a 2 - c 2) > 0 olan bir elipsin denklemidir. elipsin kanonik denklemi.

Elips görünümü. Yukarıda ele alınan geometrik yol bir elips oluşturmak, yeterli bir fikir verir dış görünüş elips. Ancak bir elipsin formu, kanonik denkleminin (7.4) yardımıyla da incelenebilir. Örneğin, y ≥ 0'ı dikkate alarak, y'yi x cinsinden ifade edebilirsiniz: y = b√(1 - x 2 /a 2) ve bu işlevi inceledikten sonra grafiğini oluşturun. Bir elips oluşturmanın başka bir yolu daha var. Elipsin (7.4) kanonik koordinat sisteminin orijininde merkezli a yarıçaplı bir daire, x 2 + y 2 = a 2 denklemiyle tanımlanır. a/b > 1 katsayısı ile sıkıştırılırsa y ekseni, o zaman x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2 denklemiyle tanımlanan bir eğri elde edersiniz, yani bir elips.

Açıklama 7.1. Aynı daire a/b katsayısı ile sıkıştırılırsa

Elips eksantrikliği. Bir elipsin odak uzaklığının ana eksenine oranına denir. elips eksantrikliği ve ε ile gösterilir. Verilen bir elips için

kanonik denklem (7.4), ε = 2c/2a = с/a. (7.4)'te a ve b parametreleri a eşitsizliği ile ilişkili ise

c = 0 için elips daireye dönüştüğünde ve ε = 0. Diğer durumlarda 0

Denklem (7.3), denklem (7.4) ile eşdeğerdir çünkü (7.4) ve (7.2) denklemleri eşdeğerdir. Bu nedenle, (7.3) aynı zamanda bir elips denklemidir. Ek olarak, ilişki (7.3), |F 2 M| uzunluğu için basit, köksüz bir formül vermesi bakımından ilginçtir. elipsin M(x; y) noktasının odak yarıçaplarından biri: |F 2 M| = bir + εx.

İkinci odak yarıçapı için benzer bir formül, simetri değerlendirmelerinden veya denklemin (7.2) karesini almadan önce, ikincinin değil, birinci radikalin sağ tarafa aktarıldığı tekrarlanan hesaplamalardan elde edilebilir. Yani, elips üzerindeki herhangi bir M(x; y) noktası için (bkz. Şekil 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

ve bu denklemlerin her biri bir elips denklemidir.

Örnek 7.1. Yarı ana ekseni 5 ve eksantrikliği 0,8 olan bir elipsin kanonik denklemini bulalım ve inşa edelim.

Elipsin ana yarı eksenini a = 5 ve eksantrikliği ε = 0.8 bilerek, onun küçük yarı eksenini b buluruz. B \u003d √ (a 2 - c 2) ve c \u003d εa \u003d 4 olduğundan, o zaman b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Yani kanonik denklem x 2 / 5 2 biçimindedir + y 2 / 3 2 \u003d 1. Bir elips oluşturmak için, kenarları elipsin simetri eksenlerine paralel ve ona eşit olan, kanonik koordinat sisteminin orijini merkezli bir dikdörtgen çizmek uygundur. karşılık gelen eksenler (Şekil 7.4). Bu dikdörtgen şununla kesişir:

A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) köşelerindeki elipsin eksenleri ve elipsin kendisi içinde yazılıdır. Şek. 7.4 ayrıca elipsin F 1.2 (±4; 0) odaklarını gösterir.

Bir elipsin geometrik özellikleri.(7.6)'daki ilk denklemi |F 1 M| = (a/ε - x)ε. a > c için a / ε - x değerinin pozitif olduğuna dikkat edin, çünkü F 1 odağı elipse ait değildir. Bu değer, bu çizginin solundaki M(x; y) noktasından d:x = a/ε dikey çizgisine olan mesafedir. Elips denklemi şu şekilde yazılabilir:

|F 1 M|/(а/ε - x) = ε

Bu, bu elipsin, F 1 M odak yarıçapının uzunluğunun d düz çizgiye olan mesafeye oranının ε'ya eşit sabit bir değer olduğu düzlemin M (x; y) noktalarından oluştuğu anlamına gelir (Şek. 7.5).

D satırında x \u003d -a / ε denklemiyle verilen elipsin merkezine göre d'ye simetrik olan bir "çift" - dikey bir d" çizgisi vardır. D ile ilgili olarak, elips tanımlanır d ile aynı şekilde. Hem d hem de d" satırları çağrılır elips doğrultmanları. Elipsin doğrultmanları, odaklarının bulunduğu elipsin simetri eksenine diktir ve elipsin merkezinden a / ε = a 2 / c mesafesiyle ayrılır (bkz. Şekil 7.5).

Directrix'ten kendisine en yakın odağa olan p mesafesine denir. elipsin odak parametresi. Bu parametre şuna eşittir:

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Elips başka bir önemli geometrik özellik: odak yarıçapları F 1 M ve F 2 M, M noktasında elipse teğettir eşit açılar(Şekil 7.6).

Bu mülkün net bir fiziksel anlam. F 1 odağına bir ışık kaynağı yerleştirilirse, bu odaktan çıkan ışın, elipsten yansıdıktan sonra, ikinci odak yarıçapı boyunca ilerleyecektir, çünkü yansımadan sonra, yansımadan önceki eğriyle aynı açıda olacaktır. . Böylece, F 1 odağını terk eden tüm ışınlar, ikinci odak F 2'de yoğunlaşacaktır ve bunun tersi de geçerlidir. Bu yoruma dayanarak, bu özellik denir bir elipsin optik özelliği.

Bir elips çizmeden önce, onun bazı özelliklerini öğrenelim.

Mülkiyet 33.1. Bir elipsin, biri odaklarını içeren, karşılıklı olarak dik iki simetri ekseni ve bir simetri merkezi vardır. Kanonik denklem (33.4) tarafından bir elips veriliyorsa, simetri eksenleri Ox ve Oy eksenleridir ve koordinatların orijini simetri merkezidir.

Kanıt. Denklem (33.4) temelinde ispatı yapalım.

Elips denklem (33.4) ile verilsin ve M 1 (x 1 ;y 1)- elipsin bir noktası. Daha sonra

Nokta M 2 (-x 1 ; y 1) mesele bu simetrik nokta Oy eksenine göre M 1 (Şekil 33.2).

Pirinç. 33.2 Noktaların simetrisi

Denklemin (33.4) sol tarafının değerini M 2 noktasında hesaplıyoruz.

Eşitlik sayesinde (33.6) elde ederiz

dolayısıyla nokta M2 bir elips üzerinde yer alır. Nokta M3 (x1 ; -y1) bir noktaya simetrik bir noktadır M1 eksen hakkında Öküz(Şekil 33.2). Bunun için, benzer bir şekilde, şunu doğrularız:

yani M3 elipsin bir noktasıdır. Son nokta M 4 (-x 1 ; -y 1) simetrik bir noktadır M1 orijine göre (Şekil 33.2). Önceki mantığı tekrarlayarak, bu noktanın da elipsin üzerinde olduğunu anlıyoruz. Böylece, elipsin denklemi (33.4) varsa, ifade kanıtlanmıştır. Ve Teorem 1'e göre, herhangi bir koordinat sistemindeki herhangi bir elipsin böyle bir denklemi olduğundan, lemma tamamen kanıtlanmıştır.

Bir elips oluşturalım denklem tarafından verilen(33.4). Simetri nedeniyle, elipsin üst yarım düzlemde kalan kısmını çizmenin yeterli olduğuna dikkat edin. (33.4) denkleminden y'yi ifade edip kökün önüne "+" işaretini alarak bu doğrunun denklemini elde ederiz,

Bu fonksiyonu çizelim. Tanım alanı - segment [-A; a], y(0)=b, artan değişkenle X itibaren 0 önce A fonksiyon monoton azalandır. Grafiğin eksene göre simetrisinden dolayı Oy işlev y değişimle monoton olarak artar. -Aönce 0 . Türev aralığın tüm noktalarında tanımlı (0;a) ve dolayısıyla grafik pürüzsüzdür (kırılma içermez, herhangi bir noktada bir teğet vardır). İkinci türev aralığın tüm noktalarında negatif (a;b), bu nedenle, grafik yukarı doğru dışbükeydir.

[-α; a]. Denklemden (33.4) değişkeni ifade ediyoruz X başından sonuna kadar y: . Açıkçası, noktada y=0 bu fonksiyonun bir türevi vardır, yani bu grafiğe şu noktada bir teğettir: (bir, 0) var. Eksene paralel olup olmadığını kontrol etmek kolaydır Oy. Elips simetrisinden bunun düzgün bir eğri olduğu sonucuna varıyoruz ve elde edilen verileri dikkate alarak onu oluşturuyoruz (Şekil 33.3).

Pirinç. 33.3 Elips

Tanım 33.4. Bir elipsin simetri eksenleriyle kesiştiği noktalara ne ad verilir? zirvelerelips, simetri merkezi –– merkez elips, odakları içeren iki köşe arasındaki parçaya denir ana eksen elips, uzunluğunun yarısı –– yarı büyük eksen elips. Simetri ekseni üzerindeki köşeler arasında odak içermeyen doğru parçaya denir. küçük eksen elips, uzunluğunun yarısı –– yarı küçük eksen. değer denir eksantriklik elips .

Bir elips, bir düzlemdeki noktaların yeridir, her birinden verilen iki F_1 noktasına olan mesafelerin toplamıdır ve F_2, bunlar arasındaki mesafeden (2c) daha büyük olan sabit bir değerdir (2a). verilen puanlar(Şekil 3.36, a). Bu geometrik tanım ifade eder bir elipsin odak özelliği.

Bir elipsin odak özelliği

F_1 ve F_2 noktalarına elipsin odakları denir, aralarındaki mesafe 2c=F_1F_2 - odak uzaklığı, F_1F_2 segmentinin orta noktası O - elipsin merkezi, 2a sayısı - elipsin ana ekseninin uzunluğu (sırasıyla, a sayısı - elipsin ana yarı ekseni). Elipsin rastgele bir M noktasını odaklarıyla birleştiren F_1M ve F_2M segmentlerine, M noktasının odak yarıçapları denir. Bir elipsin iki noktasını birleştiren doğru parçasına elipsin kirişi denir.

e=\frac(c)(a) oranına elipsin dışmerkezliği denir. Tanımdan (2a>2c) şu çıkar ki 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Bir elipsin geometrik tanımı, odak özelliğini ifade ederek, analitik tanımına eşdeğerdir - bir elipsin kanonik denklemi tarafından verilen bir çizgi:

Aslında, dikdörtgen bir koordinat sistemi tanıtalım (Şekil 3.36, c). Elips merkezi O, koordinat sisteminin orijini olarak alınır; odaklardan geçen düz çizgi (elipsin odak ekseni veya birinci ekseni), apsis ekseni olarak alacağız (üzerindeki pozitif yön F_1 noktasından F_2 noktasına); odak eksenine dik olan ve elipsin merkezinden (elipsin ikinci ekseni) geçen düz bir çizgiyi y ekseni olarak alacağız (y eksenindeki yön şu şekilde seçilir) dikdörtgen sistem Oxy'nin koordinatlarının doğru olduğu ortaya çıktı).

Odak özelliğini ifade eden geometrik tanımını kullanarak bir elipsin denklemini formüle edelim. Seçilen koordinat sisteminde odakların koordinatlarını belirliyoruz. F_1(-c,0),~F_2(c,0). Elipslere ait gelişigüzel bir M(x,y) noktası için şuna sahibiz:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Bu eşitliği koordinat biçiminde yazarsak şunu elde ederiz:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

İkinci radikali sağ tarafa aktarıyoruz, denklemin her iki tarafının karesini alıyoruz ve benzer terimleri veriyoruz:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

4'e bölerek denklemin her iki tarafının da karesini alırız:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

gösteren b=\sqrt(a^2-c^2)>0, alırız b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Her iki parçayı da a^2b^2\ne0 ile bölerek şu sonuca varırız: kanonik denklem elips:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Bu nedenle, seçilen koordinat sistemi kanoniktir.

Elipsin odakları çakışırsa, a=b olduğundan, elips bir dairedir (Şekil 3.36.6). Bu durumda, orijini noktasında olan herhangi bir dikdörtgen koordinat sistemi O\eşdeğer F_1\eşdeğer F_2 ve x^2+y^2=a^2 denklemi O merkezli ve a yarıçaplı bir çemberin denklemidir.

akıl yürüterek Ters sipariş, koordinatları denklemi (3.49) sağlayan tüm noktaların ve sadece kendilerinin ait olduğu gösterilebilir. geometrik yer noktalara elips denir. Başka bir deyişle, analitik tanım elips eşdeğerdir geometrik tanım elipsin odak özelliğini ifade etmek.

Bir elipsin dizin özelliği

Bir elipsin doğrultmanları, kanonik koordinat sisteminin ordinat eksenine paralel \frac(a^2)(c) uzaklıktan geçen iki düz çizgidir. c=0 için, elips bir çember olduğunda, doğrultmanlar yoktur (doğrultmanların sonsuza kadar kaldırıldığını varsayabiliriz).

Dışmerkezlik 0 olan elips Düzlemdeki noktaların yeri, her biri için, belirli bir F noktasına (odak) olan uzaklığın, belirli bir noktadan geçmeyen belirli bir düz çizgiye (d) uzaklığa oranı (doğrultma) sabittir ve eksantriklik e ( elips dizini özelliği). Burada F ve d, kanonik koordinat sisteminin y ekseninin aynı tarafında bulunan elipsin odaklarından ve doğrultmanlarından biridir, yani F_1,d_1 veya F_2,d_2 .

Aslında, örneğin, odak F_2 ve directrix d_2 (Şekil 3.37.6) için koşul \frac(r_2)(\rho_2)=e koordinat formunda yazılabilir:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Mantıksızlıktan kurtulmak ve değiştirmek e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, elipsin (3.49) kanonik denklemine ulaşıyoruz. F_1 odağı ve directrix için benzer bir akıl yürütme gerçekleştirilebilir. d_1\iki nokta üst üste\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Kutupsal koordinatlarda elips denklemi

F_1r\varphi (Şekil 3.37,c ve 3.37(2)) kutupsal koordinat sistemindeki elips denklemi şu şekildedir:

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

p=\frac(b^2)(a) elipsin odak parametresidir.

Aslında, elipsin sol odağını F_1 kutupsal koordinat sisteminin kutbu olarak ve F_1F_2 ışınını kutupsal eksen olarak seçelim (Şekil 3.37, c). Daha sonra, bir elipsin geometrik tanımına (odak özelliğine) göre rastgele bir M(r,\varphi) noktası için r+MF_2=2a olur. M(r,\varphi) ve F_2(2c,0) noktaları arasındaki mesafeyi ifade ediyoruz (bkz. açıklama 2.8'in 2. maddesi):

\begin(hizalı)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(hizalı)

Bu nedenle, koordinat formunda, F_1M+F_2M=2a elipsinin denklemi şu şekle sahiptir:

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Denklemin her iki tarafının da kökünü ayırıp karesini alıyoruz, 4'e bölüyoruz ve benzer terimler veriyoruz:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Kutup yarıçapını r ifade ediyoruz ve ikameyi yapıyoruz e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Elips denklemindeki katsayıların geometrik anlamı

Elipsin kesişme noktalarını (bkz. Şekil 3.37, a) koordinat eksenleriyle (zliplerin köşeleri) bulalım. Denklemde y=0'ı değiştirerek, elipsin apsis ekseniyle (odak ekseniyle) kesişme noktalarını buluruz: x=\pm a . Bu nedenle, elips içine alınmış odak ekseni segmentinin uzunluğu 2a'ya eşittir. Bu parça, yukarıda belirtildiği gibi, elipsin ana ekseni olarak adlandırılır ve a sayısı, elipsin ana yarı eksenidir. x=0 yerine koyarak, y=\pm b elde ederiz. Bu nedenle, elipsin içine alınmış elipsin ikinci ekseninin parçasının uzunluğu 2b'ye eşittir. Bu parçaya elipsin küçük ekseni, b sayısına da elipsin küçük yarı ekseni denir.

Gerçekten mi, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a ve b=a eşitliği yalnızca elipsin bir çember olduğu c=0 durumunda elde edilir. Davranış k=\frac(b)(a)\leqslant1 elipsin büzülme faktörü olarak adlandırılır.

Açıklamalar 3.9

1. x=\pm a,~y=\pm b çizgileri, içinde elipsin bulunduğu koordinat düzlemindeki ana dikdörtgeni sınırlar (bkz. Şekil 3.37, a).

2. Bir elips şu şekilde tanımlanabilir: bir çemberin çapına küçültülmesiyle elde edilen noktaların yeri.

Aslında, Oxy dikdörtgen koordinat sisteminde daire denkleminin x^2+y^2=a^2 biçiminde olmasına izin verin. 0 faktörüyle x eksenine sıkıştırıldığında

\begin(durumlar)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(durumlar)

Çemberin denkleminde x=x" ve y=\frac(1)(k)y" yerine koyarak, M(x" noktasının M"(x",y") görüntüsünün koordinatları için bir denklem elde ederiz. ,y):

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\sağ)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

çünkü b=k\cdot a . Bu, elipsin kanonik denklemidir.

3. Koordinat eksenleri (kanonik koordinat sisteminin) elipsin simetri eksenleridir (elipsin ana eksenleri olarak adlandırılır) ve merkezi simetri merkezidir.

Aslında, M(x,y) noktası elipse aitse. koordinat eksenlerine göre M noktasına simetrik olan M"(x,-y) ve M""(-x,y) noktaları da aynı elipse aittir.

4. Bir kutupsal koordinat sistemindeki bir elipsin denkleminden r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(bkz. Şekil 3.37, c), odak parametresinin geometrik anlamı açıklığa kavuşturulur - bu, odak eksenine dik olarak odak noktasından geçen elips kirişinin uzunluğunun yarısıdır ( r = p en \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Eksantriklik e, elipsin şeklini, yani elips ile daire arasındaki farkı karakterize eder. e ne kadar büyükse, elips o kadar uzundur ve e sıfıra ne kadar yakınsa, elips daireye o kadar yakındır (Şekil 3.38, a). Aslında, e=\frac(c)(a) ve c^2=a^2-b^2 verildiğinde, şunu elde ederiz:

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\sağ )\^2=1-k^2, !}

k, elipsin daralma faktörüdür, 0

6. Denklem \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 için

7. Denklem \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b eksenleri koordinat eksenlerine paralel olan O "(x_0, y_0) noktasında merkezlenmiş bir elips tanımlar (Şekil 3.38, c). Bu denklem, paralel öteleme (3.36) kullanılarak kanonik olana indirgenir.