Bir türevin geometrik anlamı, belirli bir noktadaki türevdir. Türevin geometrik anlamı

Öğrenmek için geometrik değer türev için y = f(x) fonksiyonunun grafiğini düşünün. Hadi alalım keyfi nokta Koordinatları (x, y) ve ona yakın bir N noktası (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y) olan M. $\overline(M_(1) M)$ ve $\overline(N_(1) N)$ koordinatlarını ve M noktasından OX eksenine paralel düz bir çizgi çizelim.

$\frac(\Delta y)(\Delta x) $ oranı, MN sekantının OX ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu $\alpha $1 açısının tanjantıdır. $\Delta $x sıfıra yaklaştıkça, N noktası M'ye yaklaşacak ve MN sekantının sınırlayıcı konumu, M noktasındaki eğriye MT teğeti olacaktır. Dolayısıyla, f`(x) türevi teğete eşittir M (x, y) noktasındaki eğriye teğetin OX eksenine pozitif yönde oluşturduğu $\alpha $ açısının - teğetin eğimi (Şekil 1).

Şekil 1. Fonksiyon grafiği

Formül (1)'i kullanarak değerleri hesaplarken işaretlerde hata yapmamak önemlidir çünkü artış negatif de olabilir.

Bir eğri üzerinde bulunan N noktası herhangi bir taraftan M'ye yönelebilir. Dolayısıyla, Şekil 1'de teğete ters yön verilirse, $\alpha $ açısı $\pi $ miktarı kadar değişecektir ve bu, açının tanjantını ve buna bağlı olarak açısal katsayısını önemli ölçüde etkileyecektir.

Çözüm

Buradan bir türevin varlığının y = f(x) eğrisine bir teğetin varlığıyla ilişkili olduğu ve açısal katsayının - tg $\alpha $ = f`(x) sonlu olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle tanjantın OY eksenine paralel olmaması gerekir, aksi takdirde $\alpha $ = $\pi $/2 olur ve açının tanjantı sonsuz olur.

Bazı noktalarda sürekli bir eğrinin OY eksenine teğeti olmayabilir veya paralel bir teğeti olabilir (Şekil 2). O halde fonksiyonun bu değerlerde türevi olamaz. Fonksiyon eğrisi üzerinde herhangi bir sayıda benzer nokta olabilir.

Şekil 2. Eğrinin istisnai noktaları

Şekil 2'yi düşünün. $\Delta $x'in negatif veya pozitif değerlerden sıfıra yöneldiğini varsayalım:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Eğer içindeyse bu durumda ilişkilerin (1) son bir sınırı vardır ve şu şekilde gösterilir:

İlk durumda türev solda, ikinci durumda türev sağdadır.

Bir limitin varlığı sol ve sağ türevlerin denkliğini ve eşitliğini gösterir:

Sol ve sağ türevler eşit değilse, belirli bir noktada OY'ye paralel olmayan teğetler vardır (M1 noktası, Şekil 2). M2, M3 noktalarında ilişkiler (1) sonsuza doğru yönelmektedir.

M2'nin solunda yer alan N noktaları için, $\Delta $x $

$M_2$, $\Delta $x $>$ 0'ın sağında, ancak ifade aynı zamanda f(x + $\Delta $x) -- f(x) $'dır

Soldaki $M_3$ noktası için, $\Delta $x $$ 0 ve f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, yani. hem soldaki hem de sağdaki ifadeler (1) pozitiftir ve $\Delta $x -0 ve +0'a yaklaşırken +$\infty $ eğilimindedir.

Türevin bulunmaması durumu belirli noktalar düz çizgi (x = c) Şekil 3'te gösterilmektedir.

Şekil 3. Türev yok

örnek 1

Şekil 4, fonksiyonun grafiğini ve $x_0$ apsis noktasındaki grafiğe teğetini göstermektedir. Fonksiyonun apsisteki türevinin değerini bulun.

Çözüm. Bir noktadaki türev, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranına eşittir. Teğet üzerinde koordinatları tam sayı olan iki nokta seçelim. Örneğin bunlar F (-3,2) ve C (-2,4) noktaları olsun.

Geometrik anlam türev. Bu konuyla ilgili sınav görevleri mezunlar için bazı zorluklara neden olmaktadır. Çoğu aslında çok basittir.Bu yazıda türevi bulmanız gereken görevleri analiz edeceğiz. verilen program fonksiyon ve grafiğe belirli bir noktada teğet

* Üstelik bu problemlerde bu teğetin geçtiği en az iki nokta kroki üzerinde açıkça işaretlenmiştir. Çözmek için bilmeniz gerekenler nelerdir?

Belirli bir y = f(x) fonksiyonunun rastgele bir grafiğini oluşturalım Açık koordinat uçağı xo noktasında bir teğet çizin, düz çizgi ile öküz ekseni arasındaki açıyı α (alfa) olarak gösterelim

Cebir dersinden düz bir çizginin denkleminin şu şekilde olduğunu biliyoruz:

Yani fonksiyonun türevisen = F(X) x 0 noktasında teğetin eğimine eşit:

Ve açısal katsayı da teğete eşitα (alfa) açısı, yani:

α (alfa) açısı 90 dereceden küçük, büyük olabilir veya sıfıra eşit.

İki durumu örnekleyelim:

1. Teğet açısı 90 dereceden büyüktür (geniş açı).

2. Teğetin eğim açısı sıfır derecedir (teğet eksene paraleldir) Ah).

Yani, bir fonksiyonun grafiği verilen, bu grafiğe belirli bir noktada teğet olan ve teğet noktasında türevinin bulunması gereken problemler, teğetin eğimini (veya teğetin eğim açısının teğeti, ki bu da aynı şeydir).

Aşağıda, teğet ile apsis ekseni (eksen) arasındaki açının tanjantını bularak bu tür problemleri çözmeyi ele alacağız.Ah), yakın gelecekte başka bir çözüm yöntemini (açısal katsayıdan türevi bulma) ele alacağız. Bir fonksiyonun grafiğini okumak için türevin özelliklerine ilişkin bilginin gerekli olduğu problemleri de ele alacağız. Kaçırma!

Lütfen koordinat düzleminde teğetin geçtiği iki nokta olduğuna dikkat edin - bu çok önemli nokta(bu görevlerde anahtar diyebiliriz).

Başka neye ihtiyacın var?- bu geniş açının tanjantı bilgisidir.

sen = F(X) X 0 sen = F(X) noktada X 0 .

Türevin teğet noktasındaki değeri teğetin eğimine eşittir, bu da bu teğetin apsis eksenine eğim açısının teğetine eşittir. Bu açının tanjantını bulmak için grafikte iki noktanın sınırladığı parçanın hipotenüs olacağı ve bacakların eksenlere paralel olduğu bir dik üçgen oluşturacağız. Bu problemde bunlar (–5; –4), (1; 5) noktalarıdır.

Hatırlatayım: teğet dar açı V dik üçgen ilişki denir karşı bacak yanındakine.

Bacaklar hücre sayısına göre belirlenir.

Teğetin apsis eksenine eğim açısı açıya eşit BAC , Ah. Araç

Cevap: 1.5

sen = F(X) X 0 sen = F(X) noktada X 0 .

Görev bir öncekine benzer. Ayrıca grafikte iki noktayla sınırlanan parçanın hipotenüs olacağı bir dik üçgen de oluşturuyoruz. Bu problemde bunlar (–5; –7), (3; 3) noktalarıdır.

Bacaklar ayrıca hücre sayısına göre de belirlenir.

Teğetin x eksenine eğim açısı BAC açısına eşittir , AC bacağı eksene paralel olduğundan Ah. Araç

Cevap: 1.25

Şekil fonksiyonun grafiğini göstermektedirsen = F(X) ve apsis noktasında ona teğetX 0 . Fonksiyonun türevinin değerini bulunsen = F(X) noktada X 0 .

Grafikte iki noktayla sınırlanan parçanın hipotenüs olacağı bir dik üçgen oluşturuyoruz. Bu problemde bunlar (–3; 3) ve (5; 11) noktalarıdır. (5;11) noktasından itibaren bacağın bir devamını oluşturuyoruz, böylece bir dış açı elde ediyoruz.

CD x eksenine paralel olduğundan ABD açısı, teğetin x eksenine eğim açısına eşittir. Böylece ABD açısının tanjantını hesaplayacağız. 90 dereceden fazla olduğuna dikkat edin, dolayısıyla burada teğet için indirgeme formülünü kullanmanız gerekir:

Araç

*Bacak uzunlukları hücre sayısına göre hesaplanır.

Cevap: -1.75

Şekil fonksiyonun grafiğini göstermektedir sen = F(X) ve apsis noktasında ona teğet X 0 . Fonksiyonun türevinin değerini bulun sen = F(X) noktada X 0 . x 0

Bu kadar! Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

Dersin Hedefleri:

Öğrenciler şunları bilmelidir:

• ne denir eğim dümdüz;
• düz çizgi ile Öküz ekseni arasındaki açı;
• türevin geometrik anlamı nedir;
• bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi;
• bir parabole teğet oluşturma yöntemi;
• başvurabilmek teorik bilgi pratikte.

Dersin Hedefleri:

Eğitimsel: Türevin mekanik ve geometrik anlamı kavramlarıyla öğrencilerin bir bilgi, beceri ve yetenek sistemine hakim olmaları için koşullar yaratın.

Eğitimsel: Öğrencilerde bilimsel bir dünya görüşü oluşturmak.

Gelişimsel: Öğrencilerin bilişsel ilgisini, yaratıcılığını, iradesini, hafızasını, konuşmasını, dikkatini, hayal gücünü, algısını geliştirmek.

Eğitimsel ve bilişsel faaliyetleri düzenleme yöntemleri:

• görsel;
• pratik;
• İle zihinsel aktivite: endüktif;
• malzemenin asimilasyonuna göre: kısmen arama, üreme;
• bağımsızlık derecesine göre: laboratuvar çalışması;
• teşvik edici: teşvik;
• kontrol: sözlü ön anket.

Ders planı

1. Sözlü alıştırmalar (türevini bulun)
2. “Nedenleri” konulu öğrenci mesajı matematiksel analiz”.
3. Yeni materyal öğrenme
4. Fizik. Bir dakika.
5. Görevleri çözme.
6. Laboratuvar işi.
7. Dersi özetlemek.
8. Ev ödevi hakkında yorum yapmak.

Ekipman: multimedya projektörü (sunum), kartlar ( laboratuvar işi).

“İnsan ancak kendi gücüne inandığı zaman bir şeyi başarır”

L. Feuerbach

Ders boyunca sınıfın düzeni, öğrencilerin derse hazır olması, düzen ve disiplin.

Öğrenciler için hem dersin tamamı hem de bireysel aşamalar için öğrenme hedefleri belirlemek.

Hem bu konuda hem de dersin tamamında çalışılan materyalin önemini belirleyin.

Sözlü sayma

1. Türevleri bulun:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Mantık testi.

a) Eksik ifadeyi ekleyin.

Bilimin gelişiminin genel yönü, sonuçta insan faaliyetinin uygulanmasının gereklilikleri tarafından belirlenir. Karmaşık hiyerarşik yönetim sistemine sahip eski devletlerin varlığı, aritmetik ve cebirin yeterli gelişimi olmadan imkansız olurdu; çünkü vergi toplamak, ordu malzemelerini organize etmek, saraylar ve piramitler inşa etmek ve sulama sistemleri oluşturmak karmaşık hesaplamalar gerektiriyordu. Rönesans sırasında ortaçağ dünyasının farklı bölgeleri arasındaki bağlantılar genişledi, ticaret ve el sanatları gelişti. Üretimin teknik düzeyinde hızlı bir yükseliş başlıyor ve insan ya da hayvanların kas gücüyle ilgisi olmayan yeni enerji kaynakları endüstriyel olarak kullanılıyor. XI-XII yüzyıllarda dolgu ve dokuma makineleri ortaya çıktı ve XV'in ortasında - matbaa. Bu dönemde toplumsal üretimin hızla gelişmesine duyulan ihtiyaç nedeniyle, eski çağlardan beri tanımlayıcı olan doğa bilimlerinin özü değişti. Doğa biliminin amacı nesnelerin değil, doğal süreçlerin derinlemesine incelenmesidir. Sabit niceliklerle çalışan matematik, antik çağın tanımlayıcı doğa bilimine karşılık geliyordu. Sürecin sonucunu değil, akışının doğasını ve kendine özgü kalıplarını tanımlayacak bir matematiksel aygıt yaratmak gerekiyordu. Sonuç olarak 12. yüzyılın sonlarında İngiltere'de Newton ve Almanya'da Leibniz matematiksel analiz oluşturmanın ilk aşamasını tamamladılar. “Matematiksel analiz” nedir? Herhangi bir sürecin özellikleri nasıl karakterize edilebilir ve tahmin edilebilir? Bu özellikler kullanılsın mı? Belirli bir olgunun özüne daha derinlemesine nüfuz etmek için mi?

Newton ve Leibniz'in yolunu izleyelim ve süreci zamanın bir fonksiyonu olarak ele alarak nasıl analiz edebileceğimizi görelim.

Bize daha fazla yardımcı olacak birkaç kavramı tanıtalım.

Y=kx+ b doğrusal fonksiyonunun grafiği düz bir çizgidir, k sayısına denir doğrunun eğimi. k=tg, burada düz çizginin açısı yani bu düz çizgi ile Ox ekseninin pozitif yönü arasındaki açıdır.

Resim 1

y=f(x) fonksiyonunun grafiğini düşünün. Herhangi iki noktadan geçen bir kesen çizelim; örneğin AM kesantını. (İncir. 2)

Sekantın açısal katsayısı k=tg. Bir dik üçgende AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

şekil 2

Figür 3

"Hız" teriminin kendisi, bir nicelikteki değişimin diğerindeki değişime bağımlılığını karakterize eder ve ikincisinin mutlaka zaman olması gerekmez.

Yani tg sekantının eğim açısının tanjantı = .

Miktarlardaki değişikliklerin daha kısa bir süre içindeki bağımlılığıyla ilgileniyoruz. Argümanın artışını sıfıra yönlendirelim. O halde formülün sağ tarafı fonksiyonun A noktasındaki türevidir (nedenini açıklayın). Eğer x -> 0 ise, M noktası grafik boyunca A noktasına doğru hareket eder, bu da AM düz çizgisinin AB düz çizgisine yaklaştığı anlamına gelir. y = f(x) fonksiyonunun grafiğine A noktasında teğet. (Şek. 3)

Sekantın eğim açısı, teğetin eğim açısına eğilimlidir.

Türevin geometrik anlamı, bir noktadaki türevin değerinin, fonksiyonun o noktadaki grafiğine olan teğetinin eğimine eşit olmasıdır.

Türevin mekanik anlamı.

Teğet açısının tanjantı, belirli bir noktadaki fonksiyonun anlık değişim hızını, yani incelenen sürecin yeni bir karakteristiğini gösteren bir değerdir. Leibniz bu miktarı çağırdı türev ve Newton türevin kendisinin anlık olarak adlandırıldığını söyledi. hız.

91(1) sayfa 91 – tahtada gösterin.

f(x) = x 3 eğrisine x 0 – 1 noktasındaki teğetin açısal katsayısı, bu fonksiyonun x = 1'deki türevinin değeridir. f'(1) = 3x 2 ; f'(1) = 3.

91 (3.5) – dikte.

No. 92(1) – istenirse panoda.

No. 92 (3) – bağımsız olarak sözlü sınavla.

No. 92 (5) – kurulda.

Cevaplar: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

Amaç: konseptin geliştirilmesi “ mekanik anlamda türev".

Türevlerin mekaniğe uygulamaları.

Kanun belirlendi doğrusal hareket noktalar x = x(t), t.

1. Belirli bir süre boyunca ortalama hareket hızı;
2. t 04 anında hız ve ivme
3. Durma anları; noktanın durma anından sonra aynı yönde hareket etmeye devam edip etmediği veya ters yönde hareket etmeye başlayıp başlamadığı;
4. En yüksek hız Belirli bir süre boyunca hareketler.

Çalışma 12 seçeneğe göre gerçekleştirilir, görevler zorluk seviyesine göre ayrılır (ilk seçenek en düşük zorluk seviyesidir).

Çalışmaya başlamadan önce aşağıdaki sorular üzerine bir konuşma:

1. Ne fiziksel anlam yer değiştirmenin türevi? (Hız).
2. Hızın türevini bulmak mümkün mü? Bu miktar fizikte kullanılıyor mu? Ne deniyordu? (Hızlanma).
3. Anlık hız sıfıra eşittir. Vücudun bu andaki hareketi hakkında ne söylenebilir? (Bu durma anıdır).
4. Aşağıdaki ifadelerin fiziksel anlamı nedir: t 0 noktasında hareketin türevi sıfıra eşittir; Türev t 0 noktasından geçerken işaret değiştirir mi? (Vücut durur; hareketin yönü tersine değişir).

Öğrenci çalışmalarından bir örnek.

x(t)= t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

Şekil 4

İÇİNDE ters yön.

Hızın şematik bir diyagramını çizelim. En yüksek hıza bu noktada ulaşılır

t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260

Şekil 5

1) Türevin geometrik anlamı nedir?
2) Türevin mekanik anlamı nedir?
3) Çalışmanız hakkında bir sonuç çıkarın.

Sayfa 90. No.91(2,4,6), No.92(2,4,6,), s.92 No.112.

İkinci El Kitaplar

• Ders Kitabı Cebir ve analizin başlangıcı.
  Yazarlar: Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunina.
  A. B. Zhizhchenko tarafından düzenlenmiştir.
• Cebir 11. sınıf. Ders planları Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. Bölüm 1.
• İnternet kaynakları:

Ders: Bir fonksiyonun türevi kavramı, türevinin geometrik anlamı

Tüm değerlendirme aralığı boyunca sürekli olacak bir f(x) fonksiyonunu ele alalım. Söz konusu aralıkta x 0 noktasını ve fonksiyonun bu noktadaki değerini seçiyoruz.

Öyleyse, x 0 noktamızı ve (x 0 + ∆x) noktasını işaretlediğimiz grafiğe bakalım. ∆х'un seçilen iki nokta arasındaki mesafe (fark) olduğunu hatırlayın.

Ayrıca her x'in karşılık geldiğini anlamaya değer. özdeğer işlevler

Fonksiyonun x 0 ve (x 0 + ∆x) noktasındaki değerleri arasındaki farka bu fonksiyonun artışı denir: ∆у = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).

dikkat edelim Ek Bilgiler Grafikte yer alan KL adı verilen bir kesen ve bunun KN ve LN aralıklarıyla oluşturduğu üçgendir.

Sekantın bulunduğu açıya eğim açısı denir ve α ile gösterilir. Kolayca belirlenebilir ki derece ölçüsü LKN açısı da α'ya eşittir.

Şimdi bir dik üçgende tgα = LN / KN = ∆у / ∆х ilişkilerini hatırlayalım.

Yani sekantın eğim açısının tanjantı orana eşit fonksiyon artışları bağımsız değişken artışlarına göre değişir.

Bir kerede türev, bir fonksiyonun artışının sonsuz küçük aralıklarda argümanın artışına oranının limitidir.

Türev, bir fonksiyonun belirli bir alan üzerindeki değişme hızını belirler.

Türevin geometrik anlamı

Herhangi bir fonksiyonun belirli bir noktada türevini bulursanız, belirli bir akımda grafiğe teğetinin OX eksenine göre bulunacağı açıyı belirleyebilirsiniz. Grafiğe dikkat edin - teğetsel eğim açısı φ harfiyle gösterilir ve düz çizgi denklemindeki k katsayısı ile belirlenir: y = kx + b.

Yani türevin geometrik anlamının, fonksiyonun bir noktasındaki teğet açısının tanjantı olduğu sonucuna varabiliriz.

Ders. Türev. Türevin geometrik ve mekanik anlamı

Eğer bu limit mevcutsa fonksiyona bir noktada türevlenebilir denir. Bir fonksiyonun türevi (formül 2) ile gösterilir.

1. Türevin geometrik anlamı. Fonksiyonun grafiğine bakalım. Şekil 1'den, fonksiyonun grafiğindeki herhangi iki A ve B noktası için formül 3'ün yazılabildiği açıktır. AB sekantının eğim açısını içerir.

Dolayısıyla fark oranı sekantın eğimine eşittir. A noktasını sabitleyip B noktasını ona doğru hareket ettirirseniz, sınırsız olarak azalır ve 0'a yaklaşır ve AB sekantı AC teğetine yaklaşır. Dolayısıyla fark oranının limiti, A noktasındaki teğetin eğimine eşittir. Bu da şu sonuca varır.

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, bu fonksiyonun grafiğinin o noktadaki teğetinin eğimidir. Türevin geometrik anlamı budur.

1. Teğet denklem . Fonksiyonun grafiğine bir noktadaki teğet denklemini türetelim. İÇİNDE Genel dava açısal katsayılı bir düz çizginin denklemi şu şekildedir: . B'yi bulmak için teğetin A noktasından geçmesi gerçeğinden yararlanırız: . Bu şu anlama gelir: . Bu ifadeyi b yerine değiştirerek teğet denklemi elde ederiz (formül 4).