Düzlemler arası açı, geometrik yöntem.

“Uçakta koordinat sistemi” - Hipparchus. Matematik dersinde konunun rolü nedir ve ilgili disiplinler? Ptolemy. Koordinat sistemine ne ad verilir? Ne tür koordinat sistemlerini biliyorsunuz? ile bir nokta nasıl çizilir verilen koordinatlar Açık koordinat uçağı? Koordinatların kökeninin tarihine aşina mısınız? Koordinat düzlemindeki bir noktanın koordinatları nasıl belirlenir?

“Düzlem koordinatları” - Öküz ekseni – abscissa x. Pilotlar ve denizciler bir koordinat ızgarası kullanarak nesnelerin konumunu belirler. Oy ekseni y koordinatıdır. Satranç oynarken koordinat yöntemi de kullanılır. Sınıfımızdaki tüm öğrenciler resim yapmaktan büyük keyif aldılar. Dikdörtgen ızgara aynı zamanda Rönesans sanatçıları tarafından da kullanılmıştır.

“Küba” - Küba Bölgesi - 111 bin km? Bazı alanlar çimen savanlarına benzer bitki örtüsüyle kaplıdır. Tepeler ve dağlar bölgenin yaklaşık üçte birini kaplar. Yüzey suları. Bankacılık sektörü güçleniyor. Yıllık ortalama sıcaklık 25,5°C’dir. Akut döviz kıtlığı. Sıcaklık yüzey suları kıyı açıklarında kışın 22-24 °, yazın ise 28-30 °C'dir.

“Uçaktaki vektörler” - Analitik Geometri. Problem 2. Uzayda bir nokta ve bir vektör veriliyor. Direkt vektörün düzlemde bulunduğu geçerli noktayı düşünün. Bir doğrunun denkleminin incelenmesi. İki vektöre paralel bir noktadan geçen düzlemin denklemi. Normal vektör – vektör, düzleme dik. Eğer t parametresini hariç tutarsak parametrik denklem, sonra elde ederiz kanonik denklem dümdüz.

“Uçak sorunları” - Görev No. 3. Görev No. 4. Sorunları çözmek için bir plan hazırlamak. Yükseklik özelliği dik üçgen, hipotenüse çizilir. Küçük bir teori. İki düzlemin diklik işaretini formüle edin. "Dikeyliği" test edin. Hazır çizimler kullanarak problemleri çözme. Temas noktasına çizilen teğet ve yarıçapın özelliği.

"Dar açının sinüs kosinüs tanjantı" - Dikdörtgen düşünün ABC üçgeni: ?A=30°, ?B=60°. Trigonometrik kimlikler. 30° açının sinüs, kosinüs ve tanjant değerleri. Pisagor teoremine göre AB2 = AC2+ BC2 = 2 AC2 = 2 BC2, dolayısıyla bir açının sinüs, kosinüs ve tanjant değerleri 60° olur. ABC ikizkenar dik üçgenini düşünün: AC=BC, ?A=45°, ?B=45°.

Bu makale düzlemler arasındaki açı ve bunun nasıl bulunacağı hakkındadır. Öncelikle iki düzlem arasındaki açının tanımı ve grafiksel gösterimi verilmiştir. Bundan sonra koordinat yöntemini kullanarak kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulma prensibi analiz edildi ve bu düzlemlerin normal vektörlerinin bilinen koordinatlarını kullanarak kesişen düzlemler arasındaki açıyı hesaplamanıza olanak tanıyan bir formül elde edildi. Sonuç olarak gösterilmiştir detaylı çözümler karakteristik görevler.

Sayfada gezinme.

Düzlemler arasındaki açı - tanım.

Kesişen iki düzlem arasındaki açının belirlenmesine kademeli olarak yaklaşmamızı sağlayacak argümanlar sunalım.

Bize kesişen iki düzlem verilsin. Bu düzlemler, c harfiyle gösterdiğimiz düz bir çizgi boyunca kesişir. C doğrusunun M noktasından geçen ve c doğrusuna dik bir düzlem çizelim. Bu durumda düzlem düzlemlerle kesişecektir ve. Düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi a, düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi b olarak gösterelim. Açıkçası, a ve b doğruları M noktasında kesişiyor.

Kesişen a ve b çizgileri arasındaki açının, düzlemin içinden geçtiği c doğrusu üzerindeki M noktasının konumuna bağlı olmadığını göstermek kolaydır.

c doğrusuna dik ve düzlemden farklı bir düzlem çizelim. Düzlem, sırasıyla 1 ve b 1 olarak gösterdiğimiz düzlemlerle ve düz çizgiler boyunca kesişir.

Düzlem oluşturma yönteminden, a ve b çizgilerinin c çizgisine dik olduğu ve a 1 ve b 1 çizgilerinin c çizgisine dik olduğu sonucu çıkar. a ve a 1 doğruları aynı düzlemde olduklarından ve c doğrusuna dik olduklarından paraleldirler. Benzer şekilde, b ve b 1 çizgileri aynı düzlemde bulunur ve c doğrusuna diktir, dolayısıyla paraleldirler. Yani yapabilirsin paralel aktarım düzlemden düzleme, burada a 1 düz çizgisi a düz çizgisiyle ve b düz çizgisi b 1 düz çizgisiyle çakışır. Bu nedenle, kesişen iki çizgi a 1 ve b 1 arasındaki açı açıya eşit kesişen a ve b çizgileri arasında.

Bu, kesişen düzlemlerde yer alan a ve b çizgileri arasındaki açının, düzlemin içinden geçtiği M noktasının seçimine bağlı olmadığını kanıtlar. Bu nedenle bu açıyı kesişen iki düzlem arasındaki açı olarak almak mantıklıdır.

Artık kesişen iki düzlem arasındaki açının tanımını seslendirebilirsiniz.

Tanım.

Düz bir çizgide kesişen iki düzlem arasındaki açı ve- bu, düzlemlerin c çizgisine dik düzlemle kesiştiği, kesişen iki çizgi a ve b arasındaki açıdır.

İki düzlem arasındaki açının tanımı biraz farklı verilebilir. Düzlemlerin kesiştiği düz çizgi c üzerinde, bir M noktasını işaretleyin ve bunun içinden, düz çizgi c'ye dik ve düzlemlerde yatan düz çizgiler a ve b çizin ve sırasıyla düz çizgiler a arasındaki açı ve b, düzlemler arasındaki açıdır ve. Genellikle pratikte düzlemler arasındaki açıyı elde etmek için bu tür yapılar yapılır.

Kesişen çizgiler arasındaki açı aşmadığından belirtilen tanımdan şu sonuç çıkar: derece ölçüsü kesişen iki düzlem arasındaki açı ifade edilir gerçek Numara aralıktan. Bu durumda kesişen düzlemlere denir. dik aralarındaki açı doksan derece ise. Arasındaki açı paralel düzlemler ya hiç belirlemezler ya da sıfıra eşit sayarlar.

Kesişen iki düzlem arasındaki açının bulunması.

Genellikle kesişen iki düzlem arasında bir açı bulurken ilk önce şunları yapmanız gerekir: ek yapılar Aralarındaki açı istenen açıya eşit olan kesişen çizgileri görmek ve ardından eşitlik işaretlerini, benzerlik işaretlerini, kosinüs teoremini veya bir açının sinüs, kosinüs ve tanjant tanımlarını kullanarak bu açıyı orijinal verilerle ilişkilendirmek. Geometri dersinde lise benzer sorunlar yaşanıyor.

Örnek olarak, 2012 Matematik Birleşik Devlet Sınavından Problem C2'nin çözümünü verelim (koşul kasıtlı olarak değiştirildi, ancak bu, çözümün ilkesini etkilemez). İçinde kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulmanız gerekiyordu.

Örnek.

Çözüm.

İlk önce bir çizim yapalım.

Düzlemler arasındaki açıyı “görmek” için ek yapılar yapalım.

Öncelikle ABC ve BED 1 düzlemlerinin kesiştiği bir düz çizgi tanımlayalım. B noktası ortak noktalarından biridir. Bu düzlemlerin ikinci ortak noktasını bulalım. DA ve D 1 E çizgileri aynı ADD 1 düzleminde yer alır ve paralel değildirler ve bu nedenle kesişirler. Öte yandan, DA çizgisi ABC düzleminde ve D 1 E çizgisi - BED 1 düzleminde yer alır, bu nedenle DA ve D 1 E çizgilerinin kesişme noktası olacaktır. ortak nokta ABC ve BED 1 uçakları. Öyleyse DA ve D 1 E çizgilerini F harfiyle kesiştikleri noktayı belirten kesişme noktasına kadar devam ettirelim. O halde BF, ABC ve BED 1 düzlemlerinin kesiştiği düz çizgidir.

Sırasıyla ABC ve BED 1 düzlemlerinde uzanan, BF çizgisi üzerindeki bir noktadan geçen ve BF çizgisine dik iki çizgi oluşturmaya devam ediyor - bu çizgiler arasındaki açı, tanım gereği, aralarında istenen açıya eşit olacaktır. ABC uçakları ve YATAK 1. Hadi yapalım.

Nokta A, E noktasının ABC düzlemine izdüşümüdür. M noktasında dik açıyla BF çizgisiyle kesişen bir düz çizgi çizelim. O halde AM düz çizgisi, EM düz çizgisinin ABC düzlemine izdüşümüdür ve üç dik teoremine göredir.

Böylece ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki gerekli açı eşittir.

Eğer iki kenarının uzunluğunu biliyorsak, AEM dik üçgeninden bu açının sinüsünü, kosinüsünü veya tanjantını (ve dolayısıyla açının kendisini) belirleyebiliriz. Koşuldan AE uzunluğunu bulmak kolaydır: E noktası AA 1 kenarını A noktasından itibaren sayarak 4'e 3 oranında böldüğüne ve AA 1 kenarının uzunluğu 7 olduğuna göre AE = 4 olur. AM uzunluğunu bulalım.

Bunu yapmak için, AM'nin yüksekliği olduğu A dik açısına sahip bir ABF dik üçgenini düşünün. AB = 2 koşuluna göre. AF kenarının uzunluğunu DD 1 F ve AEF dik üçgenlerinin benzerliğinden bulabiliriz:

Pisagor teoremini kullanarak ABF üçgenini buluyoruz. AM uzunluğunu ABF üçgeninin alanı boyunca buluyoruz: bir tarafta ABF üçgeninin alanı şuna eşittir: , diğer tarafta , Neresi .

Böylece, AEM dik üçgeninden elimizdeki .

Bu durumda ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki gerekli açı eşittir (not edin ki ).

Cevap:

Bazı durumlarda kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulmak için Oxyz'i ayarlamak ve koordinat yöntemini kullanmak uygundur. Orada duralım.

Görevi belirleyelim: kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulun. İstenilen açıyı olarak gösterelim.

Belirli bir Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde kesişen düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatlarını bildiğimizi ve veya bunları bulma fırsatına sahip olduğumuzu varsayacağız. İzin vermek düzlemin normal vektörüdür ve düzlemin normal vektörüdür. Kesişen düzlemler arasındaki açının nasıl bulunacağını ve bu düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları aracılığıyla göstereceğiz.

Düzlemlerin kesiştiği doğruyu c olarak gösterelim. C doğrusu üzerindeki M noktasından c doğrusuna dik bir düzlem çiziyoruz. Düzlem düzlemleri keser ve sırasıyla a ve b çizgileri boyunca a ve b çizgileri M noktasında kesişir. Tanım gereği, kesişen düzlemler arasındaki açı, kesişen a ve b çizgileri arasındaki açıya eşittir.

Düzlemdeki M noktasından itibaren normal vektörleri ve düzlemleri çizelim. Bu durumda, vektör a doğrusuna dik bir doğru üzerinde, vektör de b doğrusuna dik bir doğru üzerinde yer alır. Dolayısıyla düzlemde vektör a doğrusuna ait normal vektördür, b doğrusuna ait normal vektördür.

Kesişen çizgiler arasındaki açıyı bulma yazımızda normal vektörlerin koordinatlarını kullanarak kesişen çizgiler arasındaki açının kosinüsünü hesaplamamızı sağlayan bir formül aldık. Böylece, a ve b çizgileri arasındaki açının kosinüsü ve sonuç olarak, kesişen düzlemler arasındaki açının kosinüsü ve formülle bulunur, burada Ve sırasıyla düzlemlerin normal vektörleridir ve. Daha sonra şu şekilde hesaplanır .

Önceki örneği koordinat yöntemini kullanarak çözelim.

Örnek.

AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 ve E noktasının AA 1 kenarını A noktasından sayarak 4 ila 3 oranında böldüğü dikdörtgen paralel yüzlü ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 verilmiştir. ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm.

Bir köşedeki dikdörtgen paralelyüzlü kenarların çiftler halinde dik olması nedeniyle, aşağıdakilerin tanıtılması uygundur: dikdörtgen sistem Oxyz'i şu şekilde koordine eder: başlangıç ​​köşe C ile hizalanır ve koordinat eksenleri Ox, Oy ve Oz sırasıyla CD, CB ve CC 1 taraflarına yönlendirilir.

ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açı, bu düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları aracılığıyla aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir; burada ve sırasıyla ABC ve BED 1 düzlemlerinin normal vektörleridir. Normal vektörlerin koordinatlarını belirleyelim.

1. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpünde E ve F noktaları sırasıyla A 1 B 1 ve A 1 D 1 kenarlarının orta noktalarıdır. AEF ve BDD 1 düzlemleri arasındaki açının tanjantını bulun.
   Çözüm [, 205Kb].
2. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpü veriliyor. AB 1 D 1 ve ACD 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
   Çözüm [, 150Kb].
3. Çoğu zaman bir çizimi oluştururken rahatsızlık duyuyorum; üçgenler görünmüyor. Taslakta çokyüzlüyü "çevirmeye" başlıyorum ve en başarılı açıyı seçiyorum. Bu sorunu çözerken böyle oldu...
   ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpünde BA 1 C 1 ve BAD 1 düzlemleri arasındaki açının sinüsünü bulun.
   Çözüm [, 165Kb].
4. Sağda dörtgen prizma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, taban kenarı 12 ve yüksekliği 21, M noktası AA 1 kenarı üzerinde AM=8 olacak şekilde alınır. K noktası BB 1 kenarı üzerinde alınır ve KB 1 =8 olur. D 1 MK düzlemi ile CC 1 D 1 düzlemi arasındaki açıyı bulun.
   Çözüm [, 350Kb].
5. Taban tarafı 4 ve yüksekliği 7 olan düzgün bir dörtgen ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizmasında, M noktası AA 1 kenarı üzerinde AM = 2 olacak şekilde alınır. K noktası BB 1 kenarı üzerinde KB 1 = 2 olacak şekilde alınmıştır. D 1 MK düzlemi ile CC 1 D 1 düzlemi arasındaki açıyı bulun.
6. Normal bir dörtgen prizma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1'de, tabanın kenarları 2'ye ve yan kenarlar 5'e eşittir. AA 1 kenarında E noktası işaretlenir, böylece AE: EA 1 = 3: 2. ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
   Çözüm [, 304Kb], koordinat yöntemi [, 180Kb].
7. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 düz prizmasının tabanı, 2 tarafı ve B açısı 120 0'a eşit olan bir eşkenar dörtgendir. AC ve B 1 D 1 düz çizgileri arasındaki mesafenin 4'e eşit olduğu biliniyorsa, ABD 1 düzleminin prizmanın tabanıyla oluşturduğu açıyı bulun.
   Çözüm [, 145Kb].
8. ABCA 1 B 1 C 1 normal üçgen prizmasının taban tarafı 2'ye, yan yüzün köşegeni ise eşittir. A 1 BC düzlemi ile prizmanın taban düzlemi arasındaki açıyı bulun.
   Çizim [, 18.2Kb], çözüm.
9. Sağda üçgen prizma ABCA 1 B 1 C 1 tabanın kenarları 3'e, yan kenarlar 1'e eşittir. D noktası CC 1 kenarının ortasıdır. ABC ve ADB 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
   Çözüm [, 180Kb].
10. Tüm kenarları 1'e eşit olan normal bir ABCA 1 B 1 C 1 üçgen prizmasında, ACB 1 ve A 1 C 1 B düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
    Çözüm [, 267Kb].
    
11. Düz bir ABCA 1 B 1 C 1 prizmasının tabanı, alanı 12, AB = 5 olan bir ABC üçgenidir. Prizmanın yan kenarı 36'dır. ABC 1 düzlemleri arasındaki açının tanjantını bulun. ve ABC.
    Çözüm [, 162Kb].
12. ABCA 1 B 1 C 1 dik prizmasının tabanı ikizkenar üçgen ABC, burada CB=CA=5, BA=6. Prizmanın yüksekliği 24'tür. M noktası AA 1 kenarının ortası, K noktası BB 1 kenarının ortasıdır. MKS 1'in düzlemleri ile prizmanın taban düzlemi arasındaki açıyı bulun.
    Çözüm [, 151Kb].
13. İÇİNDE dikdörtgen paralel yüzlü ABCDA 1 B 1 C 1 D AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4 olan Şekil 1'de, ACD 1 ve A 1 B 1 C 1 düzlemleri arasındaki açının tanjantını bulun.
    Çözüm [, 239Kb].
14. AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4 olan dikdörtgen paralel yüzlü ABCDA 1 B 1 C 1 D'de, ACD 1 ve A 1 B 1 C 1 düzlemleri arasındaki açının tanjantını bulun.
15. AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4 olan dikdörtgen paralel yüzlü ABCDA 1 B 1 C 1 D 1'de, CDD 1 ve BDA 1 düzlemleri arasındaki açının tanjantını bulun.
    Çözüm [, 105Kb].
16. Dikdörtgen paralel yüzlü ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 noktasında N, CD, AB = 3, BC = 2, BB 1 = 2 kenarının ortasıdır. AB 1 N ve ABC düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
    Çözüm [, 256Kb].
17. Dikdörtgen paralel yüzlü ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 noktasında M, B 1 C 1, AB = 3, BC = 4, BB 1 = 2 kenarının ortasıdır. BMD ve ABC düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
    Çözüm [, 188Kb].
18. Dikdörtgen paralel yüzlü bir ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 verildiğinde, kenarların uzunlukları AB = 2, AD = AA 1 = 1. CD 1 B 1 ve CDA 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
    Çözüm [, 174Kb], koordinat yöntemi [, 210Kb].
19. Dikdörtgen paralel yüzlü bir ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB=AA 1 =4, AD=3. ACB 1 düzleminin CDD 1 C 1 yüzüyle oluşturduğu açının tanjantını bulun.
    Çözüm [, 168Kb].
20. Dikdörtgen paralel yüzlü ABCDA 1 B 1 C 1 D 1'de AB = 8, AD = 6, CC 1 = 5 kenarları bilinmektedir. BDD 1 ve AD 1 B 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
    Çözüm [, 185Kb].
21. Dikdörtgen paralel yüzlü ABCDA 1 B 1 C 1 D 1'de AB = 5, AD = 12, CC 1 = 15 kenarları bilinmektedir. ABC ve A 1 DB düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
    Çözüm [, 190Kb].
22. Sağda altıgen prizma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, tüm kenarları 1'e eşit olan A, E ve D 1 köşelerinden bir düzlem çizilir. Bulmak Dihedral açı(derece cinsinden) bu düzlem ile prizmanın tabanının düzlemi arasındadır.
    Çözüm [, 107Kb].
23. Köşesi S olan düzgün bir dörtgen piramit SABCD'de tüm kenarlar birbirine eşittir. M noktası SC kenarının ortasıdır. ADM düzlemi ile taban düzlemi arasındaki açıyı bulun.
    Çözüm [, 208Kb], başka bir çizim
24. Tepe noktası S olan düzenli dörtgen bir SABCD piramidinde, yan kenarlar tabanın kenarlarından iki kat daha uzundur. M noktası SC kenarının ortasıdır. ADM düzlemi ile taban düzlemi arasındaki açıyı bulun.
    Çözüm
25. ABCD tabanına sahip SABCD düzgün dörtgen piramidinde tabanın kenarı 3'tür ve yan kaburga 5'tir. M noktasının BS kenarını BM: MS = 2:1 olacak şekilde böldüğü ABC ve ACM düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
    Çözüm [, 167Kb]
26. Tabanı ABCD olan düzgün bir dörtgen SABCD piramidinde, taban tarafı 6 ve yan kenarı 10'dur. M noktasının BS kenarını BM:MS = 2:1 olacak şekilde böldüğü ABC ve ACM düzlemleri arasındaki açıyı bulun.
27. Üssünde dörtgen piramit SABCD, kenarı olan bir ABCD karesidir. Tüm yan kenarların uzunlukları 3'e eşittir, M noktası AS kenarının ortasıdır. BM düz çizgisi boyunca AC köşegenine paralel bir düzlem çiziliyor. Değeri belirleyin dar açı(derece cinsinden) bu düzlem ile SAC düzlemi arasındadır.
    Çözüm [