Simetri türleri, benzerlik dönüşümü ve özellikleri. Geometrik dönüşümler

75. Şekil dönüşümlerine örnekler.

Şekillerin dönüşümleri düzlemde ve uzayda geometri dersinde incelenir. Belirli bir şeklin düzlemdeki veya uzaydaki her noktası bir şekilde kaydırılırsa yeni bir şekil elde ederiz. Bu rakamın bundan dönüşümle elde edildiğini söylüyorlar. İşte şekil dönüşümlerine ilişkin bazı örnekler.

1. Noktaya göre simetri ( merkezi simetri). Bir noktaya göre simetri şu şekilde tanımlanır. O sabit bir nokta ve X keyfi bir nokta olsun. Noktalar aynı düz çizgi üzerinde yer alıyorsa, bir noktanın O noktasına göre X noktasına simetrik olduğu söylenir. simetrik nokta Oha, O noktasının kendisi var. Şekilde O noktasına göre birbirine simetrik olan 203 adet X noktası var.

F olsun - bu figür ve O düzlemin sabit bir noktasıdır. Bir F şeklinin, X noktalarının her birinin belirli bir O noktasına göre X'e simetrik bir noktaya gittiği bir şekle dönüştürülmesine O noktasına göre simetri dönüşümü denir. Şekil 204 merkeze göre simetrik olanı gösterir Ö.

Şekil 205, O noktasına göre simetrik olan iki küpü göstermektedir.

O noktasına göre simetri dönüşümü ötelenirse

şeklin kendi içinde olması durumunda şekle merkezi simetrik denir ve O noktası simetri merkezidir. Örneğin paralelkenar merkezi olarak simetrik bir şekildir. Simetrisinin merkezi köşegenlerin kesişme noktasıdır (Şekil 206, a). O merkezli bir daire aynı zamanda O simetri merkezine sahip merkezi olarak simetrik bir şekildir (Şekil 206, b) Listelenen şekillerin tümü düzdür.

Uzayda ve düzlemde merkezi simetrik figürlerin birçok örneği vardır. Örneğin, Şekil 207'de şu şekiller gösterilmektedir: bir küp, bir küre, bir paralelyüz.

2. Düz bir çizgiye göre simetri ( eksenel simetri). I sabit bir düz çizgi olsun (Şekil 208). Eğer düz çizgi I düz çizgisine dikse ve O, düz çizgiler ile I'nin kesişme noktası ise, bir noktanın bir X noktasına I düz çizgisine göre simetrik olduğu söylenir. I düz çizgisine göre simetrik olan nokta X noktasının kendisidir. Bu noktaya simetrik olan nokta X noktasıdır. Şekil 208'de noktalar I düz çizgisine göre simetriktir.

Her X noktasının I doğrusuna göre simetrik bir noktaya gittiği bir F şeklinin dönüşümüne I doğrusuna göre simetri dönüşümü denir. Bu durumda şekillere I doğrusuna göre simetrik denir.

düz çizgi I. Şekil 208,b, düz çizgi I'e göre simetrik olan daireleri göstermektedir.

Şekil 209, I düz çizgisine göre simetrik olan iki küreyi göstermektedir.

I doğrusuna göre simetrinin dönüşümü F şeklini kendine dönüştürüyorsa bu şekle 19 çizgisine göre simetrik, I doğrusuna da şeklin simetri ekseni denir.

Örneğin, bir dikdörtgenin kenarlarına paralel köşegenlerinin kesişme noktasından geçen düz çizgiler, dikdörtgenin simetri eksenleridir (Şekil 210, a). Bir eşkenar dörtgenin köşegenlerinin üzerinde bulunduğu düz çizgiler onun simetri eksenleridir (Şekil 210, b). Daire, merkezinden geçen herhangi bir düz çizgiye göre simetriktir (Şekil 210, c). Bu rakamların tamamı düzdür.

Uzayda ve düzlemde simetri eksenlerine sahip pek çok şekil örneği vardır. Şekil 211'de aşağıdaki şekiller gösterilmektedir: bunlar küboid, koni, düzenli dörtgen piramit.

3. Düzleme göre simetri. a keyfi sabit bir düzlem olsun. X noktasından a düzlemine (O, bunun a düzlemi ile kesişme noktasıdır) ve O noktasının ötesindeki uzantısına bir dik indirilir.

bir segmenti bir kenara ayır Puanlara eşit X ve a düzlemine göre simetrik olarak adlandırılır (Şekil 212).

F şeklinin her X noktasının a düzlemine göre simetrik bir X noktasına gittiği F şeklinin dönüşümüne düzleme göre simetri dönüşümü denir. Bu durumda şekillere düzleme göre simetrik denir.

Şekil 213 a düzlemine göre simetrik olan iki küreyi göstermektedir.

Bir düzleme göre simetrinin dönüşümü bir şekli kendine dönüştürüyorsa, bu şeklin düzleme göre simetrik olduğu söylenir; düzleme simetri düzlemi denir.

Şekil 214 bir kürenin iki simetri düzlemini göstermektedir. Kürenin bu tür simetri düzlemlerine sahip olduğuna dikkat edin sonsuz küme. Küpün ayrıca simetri düzlemleri de vardır. Şekil 215'te bunlardan ikisi gösterilmektedir.

4. Homotetiklik. F belirli bir şekil ve O sabit bir nokta olsun (Şekil 216). Hadi size yol gösterelim keyfi nokta F şeklinin X'i bir ışındır ve üzerinde şuna eşit bir parça çizer: pozitif sayı. X noktalarının her birinin belirtilen şekilde oluşturulmuş bir noktaya gittiği bir şeklin dönüşümüne homotelik denir.

Sayfa 1

Şekillerin dönüşümleri düzlemde ve uzayda geometri dersinde incelenir. Belirli bir şeklin düzlemdeki veya uzaydaki her noktası bir şekilde kaydırılırsa yeni bir şekil elde ederiz. Bu rakamın bundan dönüşümle elde edildiği söyleniyor.  

F şeklinin F2'ye dönüşümü, karşılık gelen noktalar arasındaki mesafe ilişkilerini koruduğu için bir benzerlik dönüşümüdür, ancak bu dönüşüm bir homojenlik değildir.  

Bir F şeklinin bir F şekline dönüşümüne merkezi benzeri dönüşüm veya homotetiklik denir.  

Bir F şeklinin bir P şekline dönüştürülmesine, bu dönüşüm sırasında noktalar arasındaki mesafelerin aynı sayıda değişmesi (artması veya azalması) durumunda benzerlik dönüşümü denir.  

Bir F şeklinin bir FI şekline dönüştürülmesinin, bir F şeklinin çeşitli noktalarını bir F şeklinin çeşitli yanma kutularına aktarmasına izin verin. Bir F şeklinin rastgele bir X noktasının bu dönüşümle bir F şeklinin bir X noktasına gitmesine izin verin. X noktasının bir X noktasına gideceği bir FI rakamının bir F şekline dönüştürülmesine, belirli bir rakamın ters dönüşümü denir. Dönüşüm, ters hareket aynı zamanda bir harekettir.  

Geometride bu nitelikteki şekillerin dönüşümüne benzerlik dönüşümü denir.  

Bu durumda bir figürün dönüşümü onun yer değiştirmesi olarak anlaşılır. Dönüşümler arasında hareketler ve benzerlik dönüşümü öne çıkıyor. Belirli hareket türleri dikkate alınır: eksenel simetri, merkezi simetri, dönme, paralel öteleme. Benzerlik dönüşümünün özel bir türü homotetiktir.  

Bu dönüşüme karşılık gelen rakamlara denir. Karşılıklı kutupsal olanına denk gelen bir şekle denir.  

Geometride şekillerin bu tür dönüşümüne benzer denir.  

Hareket derken, figürlerin tüm noktaları değişmeden böyle bir dönüşümünü kastediyoruz. göreceli konum sabit projeksiyon düzlemlerine göre değiştirin. Düzlem paralel hareketle şeklin tüm noktaları paralel düzlemlerde hareket eder. Bunlar genellikle seviye düzlemleri veya projeksiyon düzlemleridir. Noktaların hareket ettiği çizgilere yörüngeler denir; bunlar düzlem eğrilerdir.  

Ancak çoğu durumda bu olur faydalı kullanım Bir figürü benzer bir şekle dönüştürmek. Bu benzerlik açıları korur ancak mesafeleri değiştirebilir. Bu durumda tüm mesafeler benzerlik katsayısı olarak adlandırılan aynı oranda artar (veya azalır).  

Çoğu zaman rakamları dönüştürme yöntemini kullanarak bir problemin çözümüne ulaşmak mümkündür ve hatta çoğu durumda bu yöntemin başarısı ilk bakışta öngörülebilir. Bu yöntem, verilen veya istenen şeklin veya bunların bir kısmının, orijinal spesifik yapıyla ilişkili yeni bir şekille değiştirilmesinden ve kişinin problemi çözmesine veya çözümüne yaklaşmasına olanak sağlamayı içerir. Şimdilik yalnızca yeni şeklin eskisine eşit olduğu ve ondan yalnızca konum açısından farklı olduğu dönüşümleri ele alacağız.  

Desargue'ci bir konfigürasyonun inşası, figürlerin dönüşümleri ve inşaatla ilgili ilginç bir sonuca yol açar. perspektif projeksiyonları. Karar verirken önceki görev beş nokta verildi - piramidin çeşitli bölümlerinde aynı kenarda yer alan iki M ve P noktası, bir Desargues noktası S ve iki A ve A noktasıyla tanımlanan bir Desargues düz çizgisi. Piramidin bir bölümünün (tabanının) diğer iki noktası olan B ve C için, başka bir bölümde karşılık gelen B ve C noktaları bulundu. Karşılık gelen noktalar aynı kenarda bulunan noktalardır.  

AYNA SİMETRİSİ. Klasik "sol-sağ" simetrisi, formun bir yarısı olduğu gibi, aynadaki görüntü bir diğer. Bu şekilleri ayna benzeri iki eşit parçaya bölen hayali düzleme simetri düzlemi denir ve Latince “m” harfiyle gösterilir.

MERKEZİ-EKSENEL SİMETRİ (eksenel, dönme simetrisi).

İki veya daha fazla simetri düzleminin kesişmesiyle oluşan merkezi (genellikle dikey) bir eksen etrafındaki simetri. Şu tarihte: tam dönüş(360*) şekil kendisiyle birkaç kez birleştirilir. Bu tür kombinasyonların sayısı, Latince "n" harfi ve bir sayı ile gösterilen simetri ekseninin sırasını (dönüşüm sayısı) belirler. Karenin dörtlü ekseni (“n4”), altıgenin altı ekseni ve pentagramın beş katlı ekseni vardır.

Çeviri Simetrisi (çeviri simetrisi).

"Sonsuz" rakamlara yol açan en basit dönüşüm, bir elemanın düz bir çizgi boyunca sonlu uzunluktaki bir "a" parçasına aktarılmasıdır. Kılavuza çeviri ekseni, aralıklara ise çeviri periyotları denir. Asimetrik bir eleman eksen boyunca aktarılırsa, kutupsal bir eksenden söz ederler, bu da özelliklerin olduğu anlamına gelir. doğrusal şekil bir yöndekiler karşıt yönlerdekilerden farklıdır. Böylece mimari vurgulanır. ileri hareket tek istikamette.

Dönüştürme eksenine ek olarak, başka dönüşüm türleri de - yansıma ve döndürme - dahil edilebilir. Kısmi aralıklar (1/2, ¼, ¾, vb.) kullanılarak daha karmaşık “çizimler” elde edilir. Benzer şekilde “sınır” (Fransız sınırları) adı verilen doğrusal sonsuz desenler oluşturulur. Bu tür simetrik dönüşümlere BERDS SİMETRİSİ denir ve içinde, öteleme simetrisinde olduğu gibi, kutupsal (yönlü) formlar ve kutupsal olmayanlar ayırt edilir.

ÖRGÜ SÜSLERİNİN VE SIKI AMBALAJLARIN SİMETRİSİ. (“PARKELER”).

Bu tür simetri aşağıdakilerden oluşan homojen nesneleri tanımlamak ve analiz etmek için kullanılır: özdeş elemanlar Hem hacimsel hem de düzlemsel yapılar.

En basit örgü süslemesi paralelkenarlardan oluşan bir ızgaradır. Düz bir ızgara, paralel olmayan iki öteleme eksenine sahiptir veya daha doğrusu, "düz" bir ızgara, planın sonlu bölümlere ayrılmasıdır; kimlik dönüşümü iki tane daha doğrusal olmayan kayma otomorfizmini kabul eder. Sonsuz sayıda ağ, düğümleri bağlama yöntemlerine bağlı olarak aynı düğüm sistemine karşılık gelir. Tüm nokta sistemleri öteleme eksenlerine ek olarak başka simetri elemanları da içerir. Örneğin, her bir köşe noktasında üç kılavuzun kesiştiği ve altı adet kılavuzun bulunduğu düzenli bir üçgen ağ. dikey eksenler düğümlerde.

Simetri ve hücre parametreleri bakımından birbirinden farklı olan yalnızca beş paralelkenar nokta sistemi vardır:

Kare sistem düğümler,

Doğru üçgen sistem düğümler,

Eşkenar dörtgen düğüm sistemi,

Dikdörtgen sistem düğümler,

Düğümlerin eğik paralelkenar sistemi.

Dikdörtgen olmayan ağlara dayanarak, düzlemleri bölmek için oldukça etkileyici sistemler elde edilir.

Ne zaman üç boyutlu uzay Beş nokta sistemini değil, Bravais kafesleri adı verilen 14 sonsuz şekli birbirinden ayırmak mümkündür.

SPİRAL SİMETRİ (sarmal).

Bu simetri grubu oluşur sıralı dönüşüm iki tür kullanan formlar - döndürme ve çeviri. Bir şekil, art arda iki işlem gerçekleştirildikten sonra kendisiyle aynı hizaya gelirse, bir "sarmal eksen" simetrisine sahip olur: bir açıyla döndürme ve dönme ekseni boyunca 1'e eşit bir mesafeyle öteleme. Açı 360*/n ise vida eksenine n/... mertebesinden eksen adı verilir. Büküm hem sağa hem de sola yapılabildiğinden sağ ve sol vida eksenleri arasında ayrım yapılır. Spiral temsil eder yer Arşimet spirali gibi tek bir yapım kuralını karşılayan noktalar r = bir

BENZERLİK SİMETRİSİ.

Şekillerin dönüşümlerinin doğasına uygun olarak, İZOMETRİK (ortogonal) ve İZOMETRİK OLMAYAN (afine, projektif vb.) simetri grupları ayırt edilir.

İzometrik – dönme grupları, yansımalar, ötelemeler, orijinal elemanların metrik özelliklerini korur. Bunlar yukarıda tartışılan tüm simetri gruplarını içerir. Sonsuz rakamların izometrik dönüşümlerine "HAREKETLER" adı verilir.

AFFİN grupları, sonsuz rakamların izin verdiği HOMOJEN DEFORMASYON kümelerinden oluşur - germe, sıkıştırma, perspektif daralmaları.

BENZERLİK DÖNÜŞÜM grupları afin gruplarının özel bir durumudur. Elementler sıralı seri benzer rakamlar birbirleriyle tutarlıdır orantılı bağımlılık. Aritmetik, geometrik veya harmonik ilerlemenin değerleriyle ilişkilendirilebilirler.

Böylece YEDİ ana simetri grubu vardır. Simetri eksenlerinin sayısı ve diğer dönüşümler birleştirildiğinde bu gruplara göre 230 elde edilmesi mümkün olur. olası türler uzayı homojen elemanlara bölen nokta kafesler.

Maloyazovskaya Başkurt spor salonu

Geometri

Makale

“Şekil Dönüşümleri”

Tamamlayan: 10B sınıfı öğrencisi

Khaliullin A.N.

Kontrol eden: Israfilova R.Kh.

Maloyaz 2003

BEN . Dönüşüm.

II . Dönüşüm türleri

1. Homotetiklik

2. Benzerlik

3. Hareket

III . Hareket türleri

1. Bir noktaya göre simetri

2. Düz bir çizgiye göre simetri

3. Düzleme göre simetri

4. Döndür

5. Paralel aktarım boşlukta

BEN . Dönüştürmek- Verilen bir şeklin her noktasının bir şekilde yer değiştirmesi ve yeni bir şekil elde edilmesi.

II . Uzayda dönüşüm türleri : benzerlik, benzerlik, hareket.

F şeklinin dönüşümü denir benzerlik dönüşümü, bu dönüşüm sırasında noktalar arasındaki mesafeler aynı sayıda değişirse; F şeklinin herhangi bir X ve Y noktası ve gittiği F' şeklinin X', Y' noktaları için, X'Y' = k * XY.

Benzerlik özellikleri: 1. Benzerlik, çizgileri düz çizgilere, yarım çizgileri yarım çizgilere, parçaları parçalara dönüştürür.

2. Benzerlik yarım çizgiler arasındaki açıları korur

3. Benzerlik düzlemleri düzlemlere dönüştürür.

İki şekil benzerlik dönüşümü ile birbirine dönüştürülüyorsa benzer denir.

Homotetiklik

Homotetiklik, homotetik katsayısı k ile O merkezine göre en basit dönüşümdür. Bu, OX ışınının rastgele bir X' noktasını OX' = k*OX olacak şekilde dönüştüren bir dönüşümdür.

Homotetik özellik: 1. Homotetik dönüşüm kullanarak, homotetik merkezden geçmeyen herhangi bir düzlemi paralel düzlem(ya da kendinize k =1).

Kanıt. Aslında O homotelik merkezi olsun ve a da O noktasından geçmeyen herhangi bir düzlem olsun. a düzlemindeki herhangi bir AB düz çizgisini alın. Homotetik dönüşüm, A noktasını OA ışını üzerindeki A' noktasına ve B noktasını OB ışını üzerindeki B' noktasına götürür; OA'/OA = k, OB'/OB = k, burada k homotelik katsayısıdır. Bu, AOB ve A'OB' üçgenlerinin benzerliğini ima eder. Üçgenlerin benzerliğinden eşitlik çıkar karşılık gelen açılar OAB ve OA'B', AB ve A'B' düz çizgilerinin paralelliği anlamına gelir. Şimdi a düzlemindeki başka bir AC düz çizgisini alalım. Homotetik durumda A'C' paralel çizgisine gidecektir. Söz konusu homojenlik ile a düzlemi, A'B', A'C' doğrularından geçerek a' düzlemine girecektir. A'B'||AB ve A'C'||AC olduğundan, bir düzlemin kesişen iki çizgisinin sırasıyla başka bir düzlemin kesişen çizgilerine paralel olduğu teoremine göre, a ve a' düzlemleri paraleldir; kanıtlanması gerekiyordu.

Hareket

Hareket- noktalar arasındaki mesafeyi koruyorsa bir şeklin diğerine dönüştürülmesi, yani; bir şeklin herhangi iki X ve Y noktasını başka bir şeklin X, Y noktalarına dönüştürür, böylece XY = XY olur

Hareket özellikleri: 1. Hareket ederken, düz bir çizgi üzerinde bulunan noktalar, düz bir çizgi üzerinde yer alan noktalara dönüşür ve göreceli konumlarının sırası korunur. Bu, eğer A, B, C bir çizgi üzerinde yatıyorsa A 1, B 1, C 1 noktalarına gittiği anlamına gelir. O halde bu noktalar da düz bir çizgi üzerinde yer alır; B noktası A ve C noktaları arasında yer alıyorsa, B 1 noktası A 1 ve C 1 noktaları arasında yer alır.

Kanıt. AC doğrusunun B noktası A ve C noktaları arasında olsun. A 1 , B 1 , C 1 noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu kanıtlayalım.

A 1 , B 1 , C 1 noktaları bir doğru üzerinde yer almıyorsa, bunlar bir üçgenin köşeleridir. Bu nedenle A 1 C 1< A 1 B 1 + B 1 C 1 . По определению движения отсюда следует, что AC

Bir çelişkiye ulaştık. Bu, B 1 noktasının A 1 C 1 doğrusu üzerinde olduğu anlamına gelir. Teoremin ilk ifadesi kanıtlanmıştır.

Şimdi B 1 noktasının A 1 ile C 1 arasında olduğunu gösterelim. A 1 noktasının B 1 ve C 1 noktaları arasında olduğunu varsayalım. O halde A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1 ve dolayısıyla AB+AC=BC. Ancak bu AB+BC=AC eşitsizliğiyle çelişiyor. Dolayısıyla A 1 noktası B 1 ve C 1 noktaları arasında olamaz.

Benzer şekilde C1 noktasının A1 ve B1 noktaları arasında olamayacağını kanıtlıyoruz.

A 1 , B 1 , C 1 noktalarından biri diğer ikisinin arasında yer aldığından bu nokta yalnızca B 1 olabilir. Teorem tamamen kanıtlanmıştır.

2. Hareket ederken düz çizgiler düz çizgilere, yarı düz çizgiler yarı düz çizgilere, bölümler parçalara dönüşür

3. Hareket ederken yarım çizgiler arasındaki açılar korunur.

Kanıt. AB ve AC'nin A noktasından çıkan ancak bu doğru üzerinde yer almayan iki yarım çizgi olmasına izin verin. Hareket ederken bu yarım çizgiler bazı A 1 B 1 ve A 1 C 1 yarım çizgilerine dönüşür. Hareket mesafeyi koruduğu için ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri, üçgenlerin eşitliğine ilişkin üçüncü kritere göre eşittir. Üçgenlerin eşitliğinden BAC ve B 1 A 1 C 1 açılarının eşit olduğu sonucu çıkar ve bunun kanıtlanması gerekir.

4. Hareket, düzlemi düzleme dönüştürür.

Bu özelliği kanıtlayalım. a keyfi bir düzlem olsun. Aynı doğru üzerinde olmayan A, B, C noktalarından herhangi birini işaretleyelim. Aralarından bir düzlem çizelim.

Söz konusu hareket sırasında a düzleminin a" düzlemine dönüştüğünü kanıtlayalım.

Yani a düz çizgisi a düzleminde yer alır. X noktası hareket ederken, a" düz çizgisinin ve dolayısıyla a" düzleminin X" noktasına gider ki bunun kanıtlanması gerekiyordu.

Uzayda ve düzlemde iki figür denir eşit, eğer hareketle birleştirilirlerse.

III . Hareket türleri: bir noktaya göre simetri, bir doğruya göre simetri, bir düzleme göre simetri, dönme, hareket, paralel öteleme.

Bir noktaya göre simetri

Bir F şeklinin, her X noktasının belirli bir O noktasına göre simetrik bir X" noktasına gittiği bir F" şekline dönüşümüne denir bir noktaya göre simetrinin dönüşümü O. Bu durumda F ve F" rakamlarına denir noktaya göre simetrikÖ.

Örneğin paralelkenar merkezi olarak simetrik bir şekildir. Simetri merkezi köşegenlerin kesişme noktasıdır.

Teorem: Bir noktaya göre simetrinin dönüşümü bir harekettir.

Kanıt. X ve Y, F şeklinin iki rastgele noktası olsun. O noktası etrafındaki bir simetri dönüşümü, onları X" ve Y" noktalarına dönüştürür. XOY ve X"OY" üçgenlerini düşünün. Bu üçgenler birinci üçgen eşitliği kriterine göre eşlerdir. O köşesindeki açıları dikey olarak eşittir ve O noktasına göre simetri tanımı gereği OX=OX", OY=OY". Üçgenlerin eşitliğinden kenarların eşitliği çıkar: XY=X"Y". Bu, O noktasına göre simetrinin hareket olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.

Düz bir çizgiye göre simetri

g sabit bir doğru olsun. Rastgele bir X noktası alalım ve AX dik noktasını g düz çizgisine bırakalım. A noktasının ötesinde dik olarak devamında, AX segmentine eşit olan AX" segmentini bırakırız. X" noktasına denir simetrik nokta X nispeten düz G. Eğer bir X noktası bir g doğrusu üzerinde yer alıyorsa, bu durumda ona simetrik olan nokta X noktasının kendisidir. Açıkçası, X" noktasına simetrik olan nokta bir X noktasıdır.

Eğer g düz çizgisine göre bir simetri dönüşümü F şeklini kendi içine alıyorsa, bu şekle denir. düze göre simetrik g ve g doğrusuna denir simetri ekseni rakamlar.

Örneğin bir dikdörtgenin kenarlarına paralel köşegenlerinin kesişme noktasından geçen düz çizgiler dikdörtgenin simetri eksenleridir. Bir eşkenar dörtgenin köşegenlerinin üzerinde bulunduğu düz çizgiler onun simetri eksenleridir.

Teorem: Simetrinin düz bir çizgiye göre dönüşümü bir harekettir.

İki keyfi A (x;y) ve B (x;y) noktasını alalım. A" (-x;y) ve B" (-x;y) noktalarına hareket edecekler.

AB 2 =(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2

A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2

Bundan AB=A"B" olduğunu görebiliriz. Bu, simetrinin düz bir çizgiye göre dönüşümünün hareket olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.

Düzleme göre simetri

a keyfi sabit bir düzlem olsun. Şeklin X noktasından XA dik açısını a düzlemine indiririz ve A noktasının ötesindeki uzantısı üzerinde XA'ya eşit AX" parçasını bırakırız. X" noktasına denir simetrik a düzlemine göre X noktasına ve X'i kendisine simetrik X noktasına götüren dönüşüme denir düzleme göre simetrinin dönüşümü A.

Bir düzlemin geometrik dönüşümü, bu düzlemin kendi üzerine birebir eşlenmesidir. En önemli geometrik dönüşümler hareketlerdir; mesafeyi koruyan dönüşümler Başka bir deyişle, eğer bir düzlemin hareketi ise, bu düzlemin herhangi iki noktası için ve noktaları arasındaki mesafe eşittir.

Hareketler, şekillerin eşitliği (uyum) kavramıyla ilişkilendirilir: iki şekil ve a düzlemi, eğer bu düzlemde birinci şekli ikinciye aktaran bir hareket varsa eşit olarak adlandırılır. Aslında bu tanım, iki rakamı, eğer biri diğerinin üzerine tüm noktalarıyla çakışacak şekilde yerleştirilebiliyorsa eşit olarak adlandıran Öklid (bkz. Geometri) tarafından da kullanılmıştır; Burada süperpozisyon, şeklin sağlam bir bütün olarak (mesafeleri değiştirmeden) yeniden düzenlenmesi olarak anlaşılmalıdır. hareket.

Düzlem hareketlerine örnek olarak eksenel ve merkezi simetri, paralel öteleme ve dönme verilebilir. Örnek olarak paralel aktarımın tanımını hatırlayalım. Düzlemin bir vektörü olsun. Her noktayı (Şekil 1) bir noktaya götüren geometrik dönüşüme bir vektöre paralel transfer denir. Paralel transfer bir harekettir: işaret edip ve'ye giderseniz, yani. , , o zaman ve bu nedenle .

Hareketleri kullanarak geometrik problemleri çözerken, kesişimi koruma özelliği sıklıkla kullanılır: herhangi bir hareketle şekillerin kesişimi, görüntülerinin kesişimine dönüşür, yani. eğer - keyfi figürler, o zaman figür hareket sonucunda bir figüre dönüşür. (Benzer bir özellik birleşme için de geçerlidir.)

Sorun 1. Merkezi açının ortaortasına ait olan bir daire, kenarlarını ve noktalarında keser (Şekil 2). Kanıtla .

Çözüm. Açının kenarlarından biriyle ve sınırı söz konusu daire olan daireyle belirtelim. Açının açıortayına göre simetri ile ışın, açının ikinci kenarını oluşturan bir ışına dönüşür ve daire de kendine dönüşür: , . Kesişme korunumu özelliğine göre şekil , yani içine girer. Başka bir deyişle, segment segmentin içine girer ve dolayısıyla .

Görev 2. Bir açının içinde verilen bir noktadan (açılmamış olandan daha küçük), açının kenarları arasında kalan kısmı bu noktada ikiye bölünen düz bir çizgi çizin.

Çözüm. Noktaya göre simetri ile ve açının kenarlarının üzerinde bulunduğu düz çizgilerle belirtelim (Şekil 3). Simetri sonucunda düz çizgi, açının ikinci kenarını noktasında kesen, kendisine paralel bir düz çizgiye dönüşür. O zamandan beri simetrik bir nokta simetrik bir doğruya aittir, yani. . Böylece, ve noktaları, 'ye göre simetriktir ve bu nedenle segment, bu noktada ikiye bölünür; düz - istenen.

Görev 1'de eksenel simetrinin, Görev 2'de ise merkezi simetrinin neden kullanıldığını anlamak zor değil. Bir açının açıortayı onun simetri ekseni olduğundan, problem 1'de eksenel simetriyi uygulama girişimi tamamen doğaldır (problem 2'deki merkezi simetrinin kullanılmasıyla aynıdır, çünkü parçanın bir noktada ikiye bölünmesi gerekir; gerekli noktalar noktaya göre simetrik olmalıdır). Diğer durumlarda ise problem koşullarının analizi, uygulanması çözüm sağlayan bir hareket bulmayı mümkün kılar.

Problem 3. Üçgenin kenarlarında ve dışında kareler inşa edilmiştir. Doğru parçasının üçgenin kenarortayına dik olduğunu ve bu kenarortayın iki katı uzunlukta olduğunu kanıtlayın.

Çözüm. 90° döndürme uygulamaya çalışalım yani bir nokta etrafında (saat yönünde) 90° döndürüldüğünde doğru parçasının paralel ve iki katı uzunluğa sahip bir doğru parçasına dönüşmesini sağlayalım. Bu döndürmeyle vektör (Şekil 4)'e ve vektör de . Bu nedenle vektör içine girer, yani içine. Ama o zamandan beri. Yani, 90° döndürüldüğünde vektör şuna dönüşür: eşit bir vektöre dönüştürülür. Bundan şu sonuç çıkıyor ve .

Hareketler ve yönelim arasındaki bağlantı çok önemlidir. İncirde. Şekil 5, konturu üzerinde pozitif bir geçiş yönünün (saat yönünün tersine) belirtildiği bir çokgeni göstermektedir. Paralel öteleme ile aynı çapraz yönde bir çokgen elde edilir; paralel aktarım, geçişin yönünü korur veya dedikleri gibi yönelimi korur. Döndürme (özellikle 180° dönme anlamına gelen merkezi simetri) aynı zamanda yönlendirmeyi de korur (Şekil 6). Aksine, eksenel simetri baypasın yönünü tersine çevirir (Şekil 7), yani. yönelimi değiştirir. Yönü değiştiren hareketin bir başka örneği de kayma simetrisidir, yani. vektörü paralel olan bazı doğru ve paralel ötelemelere göre simetri bileşimi (Şekil 8).

19. yüzyılın Fransız tamircisi ve geometrisi. M. Chals aşağıdaki teoremi formüle etti: Bir düzlemin yönelimi koruyan herhangi bir hareketi ya paralel öteleme ya da dönmedir; Yönünü değiştiren bir düzlemin herhangi bir hareketi eksenel veya kayma simetrisidir.

Problem 4. Kesişen eksenlere sahip iki eksenel simetrinin bileşiminin bir dönüşü temsil ettiğini kanıtlayın.

Çözüm. Eksenleri (düz çizgiler ve ) noktasında kesişen eksenel simetriler olsun ve olsun. Her iki hareket de yönelimi değiştirdiğinden, kompozisyonları (önce gerçekleştirilir, sonra gerçekleştirilir) yönelimi koruyan bir harekettir. Chall teoremine göre ya paralel öteleme ya da dönme vardır. Ancak her hareket sırasında nokta hareketsiz olduğundan, kompozisyonları sırasında nokta yerinde kalır. Bu nedenle nokta etrafında bir dönme söz konusudur. Dönme açısının nasıl bulunacağı Şekil 2'de açıkça görülmektedir. 9: eğer düz çizgiler arasındaki açı ve ise, o zaman (nokta hareketle kendi içine ve hareketle de 'ye göre simetrik bir noktaya çevrildiğinden) tercüme edilen hareket bir açıyla (noktanın etrafında) bir dönüştür. .

Düzlemin geometrik dönüşümlerinin bir sonraki en önemli grubu benzerlik dönüşümleridir. Bunlardan en basiti homojenliktir. Merkezi ve katsayılı bir homojenliğin, rastgele bir noktayı şu şekilde bir noktaya dönüştüren geometrik bir dönüşüm olduğunu hatırlayalım (Şekil 10). Homotetiklik her doğruyu kendisine paralel bir doğruya, her daireyi de tekrar daireye dönüştürür. Homotetiklik açıları korur ve tüm uzunlukları bir faktör kadar artırır: Homotetik altında noktalar ’ye giderse o zaman . Bundan, homojenliğin figürlerin şeklini (fakat boyutunu değil) koruduğu sonucu çıkar; örneğin, merkez ve katsayı ile benzerlik sırasında şeklin içine girdiği şekil, şeklin büyütülmüş bir kopyası ise (Şekil 10) ve eğer küçültülmüş bir kopya ise.

Homotette tüm uzunluklar aynı sayıda değiştiğinden uzunlukların oranı değişmez. Mesafeleri tahmin etmenin çeşitli yöntemleri buna dayanmaktadır; örneğin elin uzunluğunu ve başparmağın uzunluğunu bilmek ve uzatılmış bir elin başparmağının bir nesnenin görünen görüntüsüne kaç kez sığdığını tahmin etmek, dikey bir nesnenin yüksekliğinin mesafeye oranını bulabilir. (Şekil 11'de elimizde , buradan ölçerek bulabilirsiniz ve dolayısıyla yaklaşık üç kat daha büyük olan borunun yüksekliğini bulabilirsiniz).

Görev 5. Belirli bir sektöre yazılı bir kare oluşturun (karenin iki köşesi bir yarıçap üzerinde, üçüncüsü diğerinde, dördüncüsü sektörün yayında yer alır).

Çözüm. ve (Şekil 12) köşeye yazılmış iki kare olsun. Noktasını alan merkezli bir homotetiklik ile (bu homoteliğin katsayısı eşittir), parça parçaya dönüşür ve dolayısıyla kare kareye dönüşür (çünkü açılar ve oranlar da aynıdır). bölümler korunur). Bundan, köşelerin ve noktadan çıkan aynı ışın üzerinde yer aldığı sonucu çıkar. Artık, bir açıyla yazılı bir kare oluşturarak ve bir ışın çizerek, istenen karenin tepe noktasını (yani ışının sektörün yayı ile kesişme noktasını) bulabileceğimiz ve ardından gerekli işlemi tamamlayabileceğimiz açıktır. kare (Şek. 13).

Düzlemin herhangi bir noktası için ve noktaları arasındaki mesafe eşitse, düzlem dönüşümüne katsayılı benzerlik denir. Herhangi bir benzerlik (homtetizm gibi - benzerliğin özel bir durumu), uzunlukların oranının yanı sıra açıları da korur; figürlerin şeklini korur. Ancak benzerlik, homoteliğin aksine, bir doğruyu kendisine paralel olmayan bir doğruya dönüştürebilir.

İncirde. Şekil 14'te aynı alanın farklı ölçeklerde yapılmış ve düzlem üzerinde farklı şekilde uzanan iki planı gösterilmektedir. Bu düzlemler benzer ancak homotetik olmayan şekilleri temsil eder; örneğin bir doğru ve ona karşılık gelen doğru paralel değildir. Bir plandan plan elde etmek için şunu yapabilirsiniz: önce planı, kenarları planın kenarlarına paralel olacak şekilde döndürün ve ardından homojenlik uygulayın. Yani hareket (dönme) ve homotelik bileşimi kullanılarak ,'ye benzer bir plan elde edilir.

Bu durum geneldir; herhangi bir benzerlik, hareketin ve homoteliğin olduğu bir kompozisyon biçiminde temsil edilir. Buradan, benzerlik yöntemini kullanarak problemleri çözerken kişinin kendisini yalnızca homojenliği (bir miktar hareket eşliğinde) dikkate almakla sınırlayabileceği açıktır. Bunun bazı kolaylıkları vardır: Kenar oranlarının eşitliğini yazarken (ve bu ilişkilerin homotetik üçgenler için ne kadar kolay yazıldığını) farklı konumdaki benzer üçgenlerin karşılık gelen kenarlarının ne kadar yoğun bir dikkatle bulunduğunu hatırlayın.

Problem 6. Bir üçgenin kenarları ilişkiyle ilişkilidir. Açının açının iki katı olduğunu kanıtlayın.

Çözüm. Doğru üzerinde , ve ile arasında yer alacak şekilde bir nokta olsun (Şekil 15). O zaman üçgen ikizkenardır ve bu nedenle ; Ayrıca, . Açının açıortayına göre simetri ile noktalar noktalara dönüşecek ve öyle ki, ; Ayrıca . Eşitlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

buradan, merkez ve katsayı ile homojenlik altında noktaların -'ye gittiği sonucu çıkar. Bu nedenle ve çünkü, yani. . Üçgenin dış açısı olduğundan açıların toplamına eşittir ve yani. açının iki katına eşittir.

Benzerlik dönüşümleri hakkındaki hikayenin sonunda, bunların bir grup dönüşüm oluşturduklarını ve bu nedenle (bkz. Geometri) Erlangen programına göre "kendi" geometrilerini tanımladıklarını belirtiyoruz. Bu grubun değişmezleri (yani tüm benzerlik dönüşümleri altında korunan ve benzerlik geometrisinde incelenen özellikler) açı, iki parçanın uzunluklarının oranı, iki düz çizginin paralelliği vb.'dir. Her ne kadar parçanın uzunluğu artık korunmasa da, benzerlikler geometrisinde uzunlukların oranının korunmasından dolayı ikizkenar üçgenden (yani yan kenarların uzunluklarının oranının eşit olduğu bir üçgenden) bahsedebiliriz. 1'e eşit). Bir ikizkenar üçgende taban açılarının eşit olduğu teoremi benzerlikler geometrisinde de doğrudur. Pisagor teoremi de geçerlidir (formda , nerede ve bacakların uzunluklarının hipotenüs uzunluğuna oranları) vb.

Ancak benzerlikler geometrisinin sunum biçimi dışında Öklid geometrisinden hiçbir farkı olmadığını düşünmemek gerekir. Bu iki geometriyi birbirinden ayıran gerçekler var. Örneğin, eğer bu doğrunun herhangi iki noktası için, doğruyu kendisine ve noktayı da içine alan bir dönüşüm (söz konusu geometriyi tanımlayan gruba ait) varsa, bir doğrunun kendi üzerinde kayabileceğini söyleme konusunda anlaşalım. Öklid geometrisinde (yani bir düzlemin hareket grubuyla tanımlanan geometride), kendi üzerlerinde kayabilen yalnızca iki tür bağlantılı çizgi (yani tek parçadan oluşan) vardır: düz çizgiler ve daireler. Ve benzerliklerin geometrisinde, düz çizgilerden ve dairelerden farklı, kendi üzerlerinde kayabilen çizgiler vardır; bunlar denklemle kutupsal koordinatlarda tanımlanan logaritmik spirallerdir (Şekil 16).

Benzerlik geometrisine ilişkin olağandışı bir gerçeği, bir nokta etrafında belirli bir açıyla dönme ve merkez ve katsayı ile bir homojenlik olan dönüşümü dikkate alarak elde ediyoruz. Dönüşüm sırasında birbirine dönüşen noktaların dizisi olsun, yani. herhangi bir bütün için (Şekil 17). Bu noktalar aynı logaritmik spiral üzerinde yer alır ve herhangi bir tamsayı için açı aynı değere sahiptir. Bu noktaları tutarlı bir şekilde birleştirerek sonsuz bir kesikli çizgi elde ederiz. , kendisine dönüşümle çevrilir ve her köşe, komşu köşeye çevrilir.

Dikkate alınan benzerlik dönüşümünün (buna dönme genişlemesi denir) karmaşık sayılarla yakın bir bağlantısı olduğuna dikkat edin. Karmaşık bir sayı, orijinden noktaya giden yönlendirilmiş bir bölüm olarak temsil edilebilir. Bu geometrik gösterimle karmaşık sayılar vektör olarak eklenir (Şekil 18). Karmaşık sayıların çarpımının geometrik bir yorumunu elde etmek için yukarıda tartışılan dönme genişlemesi uygundur. Yani, bir karmaşık sayı olsun, onun modülü olsun (yani temsil eden parçanın uzunluğu) ve argüman olsun (yani temsil eden yön parçasının apsis ekseninin pozitif kısmına eğim açısı). Sayı, ilk olarak 1 sayısını temsil eden vektörün bir faktör tarafından uzatılması ve ikinci olarak bir açıyla döndürülmesi durumunda (Şekil 19), yani. vektör, vektör 1'den dönüşüm yoluyla elde edilirse, sayı 1 sayısından elde edilir. burada merkez orijinde ve katsayılı bir homotetiktir ve orijin etrafında bir açıyla dönmedir. Bu yüzden, . Eğer şimdi başka bir karmaşık sayı ise, o zaman bir dönüşüm uygulandığında (yani görüntü vektörünü bir faktör kadar uzatıp bir açıyla döndürmek) sayı şu hale gelir (Şekil 19). Başka bir şekilde de söyleyebiliriz: Şekil 2'deki üçgenler. 19 benzer. Bu, karmaşık sayıların çarpımının geometrik bir yorumunu verir. Söylenenlerden, tüm karmaşık sayılar aynı karmaşık sayıyla çarpıldığında, karmaşık sayılar düzleminin tamamının dönme gerilmesine maruz kaldığı açıktır. Özellikle elimizdeki herhangi üç karmaşık sayı için burada modülü, vektörlerin uzunluklarının oranına eşit olan ve argümanı bu vektörler arasındaki açıya eşit olan karmaşık bir sayıdır (Şekil 20).

Problem 7. Bir üçgenin kenarlarında, onun dışında benzer üçgenler inşa ediliyor. Medyanların kesişme noktasının medyanların kesişme noktasıyla çakıştığını kanıtlayın.

Çözüm. ile belirtelim , , , , , vektörleriyle temsil edilen karmaşık sayılar. Daha sonra , , burada modülü, söz konusu benzer üçgenlerin yan kenarlarının oranına eşit olan karmaşık bir sayıdır ve argüman eşittir (Şekil 21). Bu eşitlikleri topladığımızda (bariz basitleştirmelerden sonra):

(Sayının argümanı sıfırdan farklı olduğundan) şu sonucu çıkarır. Vektör gösterimine geçip 3'e bölerek şunu elde ederiz:

ve bu, medyanların kesişme noktalarının çakıştığı anlamına gelir (bkz. Vektör).

Modern geometride önemli rol oynayan diğer dönüşümlerden kısaca bahsedelim. Öklid düzleminin dönüşümü, her bir çizgiyi tekrar düz bir çizgiye ve birbirine paralel çizgileri tekrar paralel çizgilere dönüştürüyorsa afin olarak adlandırılır (Şekil 22). Düzlemde bir koordinat sistemi tanıtılırsa, afin dönüşüm doğrusal ilişkilerle verilir, yani. noktanın gideceği nokta formüllerle belirlenir

,

nerede (ve tam tersi: bu tür formüller bazı afin dönüşümleri belirtir). Ayrıca, düzlemin aynı çizgi üzerinde yer almayan üç noktası ve aynı çizgi üzerinde yer almayan diğer üç nokta varsa, o zaman var olur ve dahası, noktaları alan yalnızca bir afin dönüşüm vardır. sırasıyla . Afin dönüşümler sırasında uzunlukların ve açıların değişebileceğini unutmayın. Segmentlerin uzunluklarının oranı da korunmaz (benzerlik dönüşümlerinin aksine). Ancak iki paralel parçanın uzunluklarının oranı herhangi bir afin dönüşüm altında korunur. Özellikle, bir afin dönüşüm altında, bir doğru parçasının orta noktası tekrar parçanın ortasına gider, bir paralelkenar bir paralelkenarın içine girer, bir üçgenin medyanı bir ortancaya gider, vb. Bir afin dönüşüm altında bir daire bir üçgenin içine gider. elips ve yukarıda belirtilen afin dönüşümlerin özelliklerinden, elipsin kirişlerinin paralel çizgilerin orta noktalarının elipsin merkezinden geçen bir parça üzerinde yer aldığı kolaylıkla anlaşılır (Şekil 23).

Düzlemin tüm afin dönüşümleri bir arada ele alındığında bir dönüşüm grubu oluşturur ve bu nedenle (bkz. Geometri) bir miktar geometri tanımlarlar. Buna afin geometri denir. Bu grubun değişmezleri (yani afin geometride incelenen şekillerin özellikleri), noktaların doğrusal dizilimi, paralellik, paralel doğru parçalarının uzunluklarının oranı ve bunlardan elde edilen diğer özelliklerdir (örneğin bir merkezin varlığı). bir şekildeki simetri). Bu geometri hakkında daha fazla detaylı konuşmadan, yukarıda belirtilen afin dönüşümlerin özelliklerinin problem çözümünde nasıl uygulanabileceğini örneklerle göstereceğiz.

Problem 8. Rasgele bir yamukta tabanların orta noktalarının, köşegenlerin kesişme noktasının ve yan kenarların uzantılarının kesişme noktasının aynı düz çizgi üzerinde bulunduğunu kanıtlayın.

Çözüm. Bir ikizkenar yamuk için bu açıktır (çünkü bir ikizkenar yamuk, tabanların orta noktalarından geçen göreceli düz çizgiye simetriktir). Şimdi isteğe bağlı bir yamuk ve aynı taban uzunluklarına sahip bir ikizkenar yamuk olsun (Şekil 24). Sırasıyla puan alan bir afin dönüşümü düşünelim. Bu dönüşümle çizgiler içine girecektir (çünkü , ve doğruların paralelliği korunur). Ayrıca, o zamandan beri nokta gidecektir (paralel bölümlerin ilişkisi korunduğu için). Başka bir deyişle yamuk yamuğa dönüşecektir. Sonuç olarak, noktaların doğrusal düzeni kalacaktır; Yamukta noktalar aynı düz çizgi üzerinde bulunur.

Problem 9. Bir üçgenin içine bir elips yazılır ve her biri elipsin tepe noktasını ve teğet noktasını karşı tarafa bağlayan üç parça çizilir. Bu üç doğru parçasının bir noktada kesiştiğini kanıtlayın.

Çözüm. Belirli bir daireyi söz konusu elipse dönüştüren bir afin dönüşüm ve bu dönüşüm altında .'ye dönüşen bir üçgen olsun. İncelenen özellik, kanıtlanması kolay olduğu gibi, yazılı bir daire için (Şekil 25'in sol kısmı) doğru olduğundan, yazılı bir elips (şeklin sağ kısmı) için de doğrudur.

"Projektif Geometri" makalesi, bir düzlemin uygunsuz ("sonsuz derecede uzak") noktalarla doldurulmasının onu nasıl projektif bir düzleme dönüştürdüğünden bahsediyor. Noktaların doğrusal düzenini koruyan projektif düzlemin geometrik dönüşümlerine projektif dönüşümler denir. Projektif dönüşümler koordinatlarda doğrusal kesirli formüllerle belirtilir:

(1)

Daha ayrıntılı olarak: eğer bir koordinat sistemi verilen bir Öklid düzlemi ise ve uygunsuz elemanların eklenmesiyle elde edilen bir yansıtmalı düzlem ise, o zaman düzlemin herhangi bir yansıtmalı dönüşümü, aşağıdaki koşulların sağlanması koşuluyla, (1) formülleri ile söz konusu koordinatlara yazılır. nokta ve gittiği nokta uygunsuz değildir.

Projektif dönüşümler, projektif düzlemin bir grup dönüşümünü oluşturur. Erlangen programına göre bu grup bazı geometrileri tanımlar - bu projektif geometridir. Projektif dönüşümlerin değişmezleri (yani projektif geometride incelenen şekillerin özellikleri), noktaların doğrusal düzenlenmesi, aynı düz çizgi üzerinde yer alan dört noktanın uyumsuz oranı vb.'dir.

Eğer yansıtmalı düzlemin üçü aynı doğru üzerinde olmayan dört noktası varsa ve bu düzlemin üçü de aynı doğru üzerinde olmayan diğer dört noktası varsa, o zaman sadece bir tane yansıtmalı dönüşüm vardır. bu, açıkça aynı düz çizgi üzerinde yer aldığı anlamına gelir (düz çizgiler ve arasındaki şeridin orta çizgisinde). Ters dönüşümü uygulayarak, Şekil 2'de olduğu sonucuna varırız. Soldaki Şekil 26'da noktalar aynı doğru üzerinde yer alır (çünkü yansıtmalı dönüşüm noktaların doğrusal düzenini korur).

Yukarıda tartışılan tüm dönüşümler, noktaların doğrusal düzenlemesini (Öklid veya projektif düzlemde) korudu. Başka bir deyişle, düzlemdeki tüm düz çizgilerden oluşan sistem yeniden aynı çizgi sistemine çevrilir. Başka bir çizgi sistemine göre benzer özelliklere sahip olan ilginç bir dönüşüm sınıfı vardır. Yani: bir düzlemde (Öklidyen) tamamı düz çizgilerden ve dairelerden oluşan bir sistem düşünelim. Bu çizgi sistemini tekrar aynı sisteme dönüştüren dönüşümlere dairesel dönüşümler denir. Başka bir deyişle, dairesel bir dönüşüm sırasında, düz bir çizgi ya düz bir çizgiye ya da bir daireye geri döner (ve aynı şey bir daire için de geçerlidir). Aşağıda, dairesel dönüşümleri değerlendirirken gerekli olan Öklid düzlemiyle ilgili bir kuralı açıklığa kavuşturacağız, ancak önce dairesel dönüşümün önemli bir örneğini, yani ters çevirmeyi ele alacağız.

Ve yarıçap. Buna dayanarak, düzlemde bu doğruların aynı açıda kesiştiği tek bir uygunsuz noktanın olduğunu kabul ettik. Özellikle daire ters çevirme dairesine dik ise, yani. onu dik açıyla keserse (bu tür daireler Lobaçevski'nin geometri hakkındaki makalesinin sonunda tartışılmıştır), daha sonra ters çevirme sırasında bu daire kendi kendine döner (yalnızca ters dairenin içinde ve dışında yer alan kısımları yer değiştirir). Ters çevirme, dairesel dönüşümlerin en önemlisidir: Düzlemin herhangi bir dairesel dönüşümünün ya bir ters çevirme, bir benzerlik ya da bir ters çevirme ve benzerlik bileşimi olduğu kanıtlanabilir. Birlikte ele alındığında dairesel dönüşümler, dairesel bir düzlem üzerinde benzersiz bir geometriyi (“dairesel”) tanımlayan bir dönüşümler grubunu oluşturur.

Düzlemin en önemli geometrik dönüşümlerinden bahsettik. Ayrıca üç boyutlu uzayın, Lobaçevski düzleminin (veya uzayının) ve diğer geometrik nesnelerin geometrik dönüşümlerini de düşünebilirsiniz. Özellikle şunu belirtelim ki, üç boyutlu uzayın hareketidir (ve'den beri ve düz çizgiyi tekrar düz çizgiye dönüştürür). Düzlemin herhangi bir projektif dönüşümünün bu biçimde temsil edilebileceği ortaya çıktı.

Geometrik dönüşümlere aşinalık ve bunları uygulama yeteneği matematik kültürünün önemli bir unsurudur.