Aşağıdaki ana teoremi kanıtlayalım.

Teorem. Segmentte sürekli [ A, B] işlev F(X) bu segmentte entegre edilebilir.

Kanıt. Herhangi biri verilsin ε > 0. Fonksiyonun düzgün sürekliliğinden dolayı F(X) segmentte [ A, B] pozitif bir sayı için ε /(B - A) bunu belirtebilirsiniz δ > 0, bölümleme sırasında T bölüm [ A, B] kısmi segmentlere [ x ben -1 , x ben], uzunluk Δ x ben bunlardan daha az var δ , dalgalanma ωi işlevler F(X) bu tür kısmi segmentlerin her birinde daha az olacaktır ε /(B - A). Bu nedenle, bu tür bölümler için T

Bu nedenle, sürekli bir bölüm için [ A, B] işlevler F(X) İntegrallenebilirlik için yeterli koşullar karşılanmıştır.

Newton-Leibniz formülü- İşlem alma arasındaki ilişkiyi verir belirli integral ve antiderivatifin hesaplanması. Newton-Leibniz formülü - temel formül integral hesabı.

Bu formül herhangi bir işlev için doğru f(x), segmentte sürekli [a, b], F- için antiderivatif f(x). Bu nedenle, belirli bir integrali hesaplamak için bazı ters türevleri bulmanız gerekir. F işlevler f(x), değerlerini noktalarda hesaplayın a ve b ve farkı bulun F(b) – F(a).

Metodik özellikler Bir integralin tanımını tanıtmak.

Konu 11. sınıfta işleniyor ve temel amacı öğrencilere alan hesaplamayı öğretmektir. kavisli yamuk ve diğer daha karmaşık rakamlar ve hacimleri hesaplama geometrik gövde Bir integral kullanarak. Bu konunun önemi, integralin alınması veya terstürevin bulunmasıdır. ters problem türevini bulmak. Öğrenciler bu konuyu öğrenmeden önce şu fonksiyonları fonksiyonlarla gerçekleştirebiliyorlardı: toplama, çıkarma, çarpma ve bölme. Bu konuyu çalıştıktan sonra öğrenciler yeni bir aktivite gerçekleştirebilmelidir: farklılaştırma.

Bu konunun incelenmesi sona eriyor okul kursu matematiksel analiz

Bu konu içerir aşağıdaki sorular: ters türev, ters türevin temel özelliği, ters türev bulmanın üç kuralı, eğrisel bir yamuğun alanı, integral, Newton-Leibniz formülü, integralin uygulaması.

İntegral kavramını tanıtmanın iki yolu vardır: 1. yol, integrali bir antiderivatifin artışı olarak düşünmektir; Örneğin, A.N.'nin ders kitabında. Kolmogorov. ve 2. yöntem - integralin integral toplamlarının limiti olarak değerlendirilmesi. Örneğin Alimov Sh.A. ders kitabı.

Okul çocukları için en zor ve erişilemez olanı ikinci yaklaşımdır, çünkü limitler teorisi okulda incelenmemektedir. Okul ilk yaklaşımı kullanır. S cr.tr. =F(b)-F(a) – bu yaklaşım şu şekilde uygulanır: modern ders kitapları.

Karşılaştırmalı analiz konu içeriği okul ders kitapları

A. N. Kolmogorov'un “Cebir ve analizin başlangıcı” ders kitabında integral tanıtılırken eğrisel bir yamuk alanının hesaplanması sorunu ele alınmaktadır. Yazar ders kitabında eğrisel bir yamuğun alanını hesaplamanın iki yolunu veriyor: eğrisel bir yamuğun alanı üzerindeki teoremi kullanmak ve integral toplamları kullanmak. İkinci yöntem integralin tanımlanmasına gelir. İntegral toplamları kullanarak, cisimlerin hacimlerini, işlerini hesaplamak için formüller de türetilir. değişken kuvvetçubuğun kütlesini ve kütle merkezini bulmanın yanı sıra.

Mordkovich A.G.'nin ders kitabında “Cebir ve analizin başlangıcı”, “Belirli integral” kavramını tanıtırken bu kavram yani eğrisel bir yamuğun alanını hesaplama problemi, bir çubuğun kütlesini hesaplama problemi ve bir noktayı hareket ettirme problemi. Her üç problem de çözüldüğünde aynı matematiksel modele indirgenir.

S. M. Nikolsky'nin “Cebir ve analizin başlangıcı” ders kitabında, eğrisel bir yamuğun alanını hesaplama probleminin dikkate alınması, integral toplamları ve bunların limiti kavramına yol açar ve ardından belirli bir integralin tanımı yapılır. . Teorik arka plan belirli bir integralin uygulanması bu şekilde dikkate alınır fiziksel problemler kuvvet çalışmasına yönelik görevler olarak, iş elektrik yükü Değişken yoğunluklu bir çubuğun kütlesini, duvardaki sıvı basıncını ve ağırlık merkezini hesaplamak için.

Sh. A. Alimov'un “Cebir ve analizin başlangıcı” ders kitabında, integral kavramını tanıtmadan önce, alanın hesaplanmasının bulmaya indirgendiği eğrisel bir yamuğun alanını bulma sorunu ele alınmaktadır. f(x) fonksiyonunun terstürevi F(x). F(b) - F(a) farkına f(x) fonksiyonunun parça üzerindeki integrali denir. Daha sonra yazar, integral toplamları kullanarak eğrisel bir yamuğun alanını hesaplamayı düşünüyor, integralin yaklaşık olarak hesaplanmasına yönelik bu yöntemin hantal hesaplamalar gerektirdiğini ve bulmanın mümkün olmadığı durumlarda kullanıldığını söylüyor fonksiyonun antiderivatifi. İntegralin uygulanmasına örnek olarak suyun bir tanktan dışarı akması ve kuvvet işinin bulunması problemleri verilmiştir. Şunun için görevler: bağımsız karar aynı türdendir ve sayıları çok azdır.

d(τ)→0

Açıklama 1. Eğer f(x) fonksiyonu a, b uç noktalarına sahip bir aralıkta integrallenebilirse eşitsizlik geçerlidir

Açıklama 2. Eğer f(x) fonksiyonu üzerinde sürekli ise, f(x) ≥ 0

Ve x0 : f(x0 ) > 0, sonra f(x) dx > 0.

1.6 Parçalı sürekli fonksiyonun integrali

İntegrallenebilir fonksiyonlar sınıfını sınıftan daha geniş olarak ele alalım. sürekli fonksiyonlar. Bu, bir tane daha gösteren aşağıdaki lemmayı gerektirir yeterli koşul Fonksiyonun integrallenebilirliği.

Lemma 1.3. f(x) fonksiyonunun aralıkta integrallenebilir olmasına izin verin. Bir fonksiyonun değerini değiştirme sonlu sayı puanlar onun integrallenebilirliğini ve integralin değerini etkilemez.

Kesinlik için A > 0 olsun. ε > 0'ı sabitleyelim ve şunu seçelim:

keyfi bölme τ = (xk )n k=0 N çapı d(τ) ile<2A . Точка α может принадлежать только одному отрезку разбиения, если α не является точкой из разбиения τ, или двум отрезкам, если α является точкой из разбиения τ, не совпадающей с a или b. В любом случае

I(fe) = fe (x) dx = 0.

2) fR olsun,

0,x\(α),

ve g(x) = A − f(α), x = α.

O halde fe (x) = f(x) + g(x), x ve Teorem 1.12'ye göre fe fonksiyonu üzerinde integrallenebilir ve

Bir fonksiyonun değerinde bir değişiklik segment üzerindeki sonlu sayıda noktada meydana gelirse, bu tür her nokta için g fonksiyonuna benzer, üzerinde integrallenebilir bir fonksiyon oluşturulmalı ve (1.21)'e benzer bir toplam oluşturulmalıdır. ve Teorem 1.12'yi uygulayın.

Tanım 1.6. Fonksiyon f:

segment üzerinde sürekli, sonlu sayıda noktanın dahil edilmesiyle birinci tür bir süreksizlik.

→ R'nin parçalı sürekli olduğu söylenir ve hangi noktalardır?

Pirinç. 1.1: Parçalı sürekli fonksiyon örneği

Artık Riemann integrallenebilir fonksiyonlarının sınıfını genişleten bir sonucu kanıtlayabiliriz.

Teorem 1.19. Eğer bir f: → R fonksiyonu aralıkta parçalı sürekli ise, o zaman onun üzerinde integrallenebilir.

f(x) fonksiyonunun parça üzerinde birinci tür c(a, b)'den bir süreksizlik noktasına sahip olduğu, yani sonlu süreksizlik noktalarının olduğu durumu ele alalım.

sınır değerleri f(c + 0) ve f(c − 0). Fonksiyonlara bakalım

f1 (x) ve f2 (x) fonksiyonları sırasıyla aralıklarda sürekli olduğundan ve bu aralıklarda integrallenebilir olduklarından. O halde, Lemma 1.3'e göre, f1(x) fonksiyonundan bir noktada bir değer farklı olan f(x) fonksiyonu, aralığında integrallenebilirdir. Benzer şekilde f(x) de aralığında integrallenebilir. Daha sonra Teorem 1.17'ye göre f(x) üzerinde integrallenebilir.

Yorum. Eğer f(x) fonksiyonu doğru parçası üzerinde parçalı olarak sürekli ise, bu durumda integrallenebilirdir ve böyle bir fonksiyonun belirli integralini hesaplamak için, parça sonlu sayıda parçaya bölünür, böylece f(x) bir sürekli olur ve (ak, bk) aralıklarında sınırlı fonksiyon.

1.7 Birinci integral ortalama değer teoremi

Teorem 1.20. F ve g fonksiyonlarının koşulları sağlamasına izin verin:

Örneğin g(x) ≥ 0, x olsun, o zaman koşul 2)'den mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x), x sonucu çıkar. f ve g fonksiyonlarından beri

aralıkta integrallenebilirse, bu durumda f g fonksiyonu da bu aralıkta integrallenebilirdir ve Teorem 1.18'e göre

durumda herhangi bir µ için eşitlik (1.22) sağlanır.

µ'nin tanımı eşitliği ifade eder (1.22) . Teorem g(x) ≤ 0 durumunda benzer şekilde kanıtlanır.

Sonuç 1. Eğer bir f fonksiyonu m ≤ f(x) ≤ M, x aralığında integrallenebilirse, o zaman

µ : f(x) dx = µ(b − a).

Sonuç 2. Eğer f(x) fonksiyonu aralıkta sürekli ise ve g(x) fonksiyonu integrallenebilirse ve üzerindeki işareti değiştirmiyorsa, o zaman

f(x) fonksiyonunun bir aralıktaki sürekliliğinden, onun bu aralıkta integrallenebilir olduğu sonucu çıkar. Weierstrass'ın ikinci teoremine göre

Bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun ara değerine ilişkin Bolzano-Cauchy teoremine göre, p ve q noktalarında uç noktaları olan bir parçaya ait bir c noktası vardır ve dolayısıyla f(c) = µ olacak şekilde c vardır. Böylece,

Belirli bir integral kavramına yol açan problemler (kavisli bir yamuk alanında problem, değişken bir kuvvetin etkisi altında işin hesaplanmasında problem). Belirli integral kavramı. Darboux toplamları ve özellikleri (genel bakış). İntegrallenebilirlik için gerekli ve yeterli koşul. Sürekli bir fonksiyonun integrallenebilirliği. Belirli integralin temel özellikleri

Kavisli bir yamuk alanında problem. düşünelim düz şekil, çizgilerle sınırlanmış F(X), (bkz. Şekil 3)'de belirtilen sürekli pozitif bir fonksiyondur. Bu rakama denir kavisli yamuk. Alanla ilgili soruyu soralım F bu yamuk.

Bölmek [ A, B] noktalar ve izin ver λ = maksimum( X k +1 - X k). Doğrudan X = X k yamukumuzu kırın N dar şeritler. Fonksiyondan beri F(X) sürekliyse, o zaman çok az değişir X k ≤ X ≤ X k+1 ve büyük bir hata olmadan [ aralığında hesaplanabilir. X k , X k+1 ] sabit ve eşit F(ξ k), Nerede ξ k aralıkta keyfi bir noktadır [ X k , X k+1 ] Yapılan varsayımın yukarıda bahsedilen şeritleri dikdörtgen olarak ve yamukumuzun tamamını Şekil 2'de gösterilen basamaklı şekil olarak almaya eşdeğer olduğunu görmek kolaydır. 4. Bu kademeli rakamın alanı açıkça eşittir Bu alanın küçük olduğunu varsaymak doğaldır. λ ilgilendiğimiz alanın yaklaşık değeridir F. Bu nedenle, tanım gereği arayacağız alan eğrisel yamuk sınırımız .

Bir fonksiyonun en az bir antiderivatifi varsa, o zaman sonsuz sayıda antiderivatifi vardır. Uygulamada, antiderivatifin değerlerindeki farkın noktalarda aranması sıklıkla gereklidir. B Ve A. Bu fark keyfi bir sabitin seçimine bağlı değildir. İle,Çünkü .. Fonksiyona izin ver F bir aralıkta verilmiştir ve üzerinde ters türevi vardır F. Fark denir belirli integral işlevler F segment boyunca ve şunu belirtin Sayılar B Ve A isminde entegrasyonun üst ve alt sınırları. Segment entegrasyon alanı.

Değişken kuvvet çalışması. Hareketi düşünün maddi nokta x noktasının eksen üzerindeki konumuna bağlı olarak değişken bir f kuvvetinin etkisi altında OX ekseni boyunca, yani. x'in bir fonksiyonu olan kuvvet. Daha sonra maddi bir noktayı x = a konumundan x = b konumuna taşımak için gereken A işi aşağıdaki formülle hesaplanır:

OP'nin özellikleri.

1) Eğer fonksiyon F aralığın antiderivatifi varsa ve herhangi bir sayıysa, o zaman .

2) Fonksiyonların bir aralıkta antiderivatifi varsa, o zaman.

3) Katkı özelliği. Eğer fonksiyon F segment üzerinde bir antiderivatif var ve o zaman .

4) Eğer fonksiyon F segmentinde bir antiderivatif varsa, o zaman .

5)6)

7) Eğer fonksiyon F segment üzerinde bir ters türevi vardır ve çifttir, o zaman . Eğer F o halde tuhaf.

8) Eğer fonksiyon F bir periyodu var ve segmentte bunun için bir ters türev var F, o zaman herkes için A eşitlik doğrudur .

9) Eğer .

11) Eşitsizliklerin bir aralıkta geçerli olduğunu varsayalım ve bu aralıkta fonksiyon F antiderivatifi vardır. Daha sonra .

Darboux toplamları. Toplamları oluşturalım. Bunlara alt ve üst Darboux toplamları denir.

ÖzelliklerDarboux toplamları: 1) Segmenti aralıklara bölen mevcut noktalara yeni noktalar eklenirse, o zaman alt Darboux toplamı yalnızca artabilir ve üst toplam azalır. Onlar. τ', τ bölümünün geliştirilmiş hali ise, o zaman .

2) Her alt Darboux toplamı, aralığın farklı bir bölümüne karşılık gelse bile, üst toplamların her birini aşmaz.

3) - fonksiyonun salınımı − fonksiyonun alt Darboux integrali F on , üst Darboux integralidir. Alt Darboux toplamları kümesi () üst Darboux toplamlarından en az biri ile yukarıdan sınırlanmıştır, bu durumda ve'ye sahiptir. Üst Darboux toplamları () kümesi aşağıda sınırlanmıştır, dolayısıyla - ve vardır. O..

Buİntegrallenebilirlik için gerekli bir koşul. Bir fonksiyon bir aralıkta integrallenebiliyorsa, bu aralıkta sınırlıdır . Buİntegrallenebilirlik için gerekli ve yeterli koşullar. Belirli bir aralıkla sınırlı bir fonksiyonun bu aralıkta integrallenebilmesi için gerekli ve yeterlidir. Bu koşul, herhangi bir ε>0 için δ(ε)>0'ın var olduğu, herhangi bir τ incelik bölümü için δ'dan küçük olduğu anlamına gelir. aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir: -<ε.

BuSürekli bir fonksiyonun integrallenebilirliği. Eğer f(x)üzerinde sürekli ise integrallenebilirdir. Bu. Fonksiyon belirli ve monotondur ve üzerinde integrallenebilirdir. Bu. Bir fonksiyon sınırlı sayıda nokta dışında bir aralık üzerinde sınırlı ve sürekli ise, o zaman bu aralık üzerinde integrallenebilirdir.